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¿Quién avisa a la policía? Cournot Bertrand Productos diferenciados Bienes públicos

Tema 4: Aplicaciones del equilibrio de NashMicroeconomía Avanzada II

Iñigo Iturbe-Ormaeche

U. de Alicante

2008-09


¿Quién avisa a la policía?

Cournot

Bertrand

Productos diferenciados

Bienes públicos


Basado en Osborne (2004)

� Un grupo de n personas observa un crimen. Todos querríanque la policía reciba el aviso, pero pre�eren que otro haga lallamada de teléfono

� En concreto, v es el valor que para cada individuo tiene el quela policía reciba el aviso. El coste de hacer la llamada es c.Suponemos que v > c > 0

� Esta situación se puede modelar como un juego en formaestratégica en el que los jugadores son las n personas, lasestrategias puras son {T, NT}, donde T es �telefonear a lapolicía� y NT �no telefonear a la policía�. Los pagos son 0 sinadie llama, v� c para quien hace la llamada y v para quienno hace la llamada (si la hace otro)


Matriz de pagos cuando n=2

� En el caso n = 2 podemos representar los pagos en unamatriz:

1n2 T NTT v-c, v-c v-c, vNT v, v-c 0, 0

� Vemos que hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras:(T, NT) y (NT, T). En cada uno de ellos sólo una personallama

� Para el caso general, hay n equilibrios en estrategias puras, encada uno de los cuales llama una sola persona

� Todos ellos son equilibrios asimétricos y cuál de ellos seproduce puede depender de las normas sociales. Por ejemplo,hace la llamada la persona de más edad


Equilibrio en estrategias mixtas� Este juego tiene un equilibrio (simétrico) en estrategias mixtasen el que cada uno hace la llamada con la misma probabilidadp

� En este equilibrio, el pago esperado de T debe ser igual al deNT

� El pago esperado de T es v� c. El de NT es:

v�Prfalguno de los otros llama g++0�Prfninguno de los otros llamag

� Pero la probabilidad de que ninguno de los otros llame es(1� p)n�1. ¿Por qué?

� Por lo tanto, el pago esperado de NT esv� (1� ((1� p)n�1))

� Al igualar ambos pagos, obtenemos que c/v = (1� p)n�1, oque p� = 1� (c/v)1/(n�1)


Interpretación del equilibrio

� En el equilibrio cada uno llama con probabilidadp� = 1� (c/v)1/(n�1) . Es fácil ver que p� disminuye con eltamaño del grupo n. ¿Por qué?

� Pero, ¿qué ocurre con la probabilidad de que nadie llame?� Esta probabilidad es (1� p�)n = (c/v)n/(n�1). Losorprendente es que esta probabilidad, ¡crece con el tamañodel grupo n! Cuanto mayor es el tamaño del grupo, másprobable es que la policía no sea informada del crimen

� Por ejemplo, si c = 1, v = 3, la probabilidad de que nadiellame es 1/9=0.11 cuando n = 2, es de 0.19 cuando n = 3,es de 0.295 cuando n = 10 y es de 0.329 cuando n = 100


Qué es un oligopolio

� Un oligopolio es una estructura de mercado que se encuentraentre el monopolio y la competencia perfecta

� Hay un número pequeño de empresas, y cada una de ellaspuede afectar al precio de mercado

� Por lo tanto, cada empresa sabe que puede afectar al preciode mercado, pero también sabe que las demás también lopueden afectar

� La empresa tiene que pensar, no sólo cómo responderán losconsumidores a sus decisiones de producción, sino tambiéncómo responderán las otras empresas. Por lo tanto, tendremosque modelar la interacción estratégica entre las empresas


Modelo de Cournot

� En el modelo de Cournot las empresas decidensimultáneamente la cantidad que quieren producir. El precioes el que vacía el mercado

� Si hay dos empresas (duopolio) que producen q1 y q2, elprecio de mercado es P(Q) donde Q = q1+q2 .

� Suponemos que las dos empresas tienen la misma función decostes c(qi)

� Vamos a ver cómo es el problema de maximización de cadaempresa. Es importante recordar que cada empresa elige suproducción para maximizar sus bene�cios, tomando comodada la producción de la otra empresa


Problema de maximización

� La empresa 1 resuelve el problema:

m«axq1P(q1+q2)q1�c(q1 )


m«axq2P(q1+q2)q2�c(q2 )

� En el formato de Teoría de Juegos tenemos un juego en formaestratégica:

1. Jugadores: las 2 empresas2. Estrategias: Si = [0,+∞)3. Pagos: las funciones de bene�cios


Condiciones de primer orden� Resolvemos el problema de la primera empresa y obtenemos laCPO:

P0(q�1+q2)q1 +P(q�1+q2) = c0(q�1)

� Esta condición es diferente de la que obteníamos encompetencia perfecta por el primer término de la izquierda.Ahora la empresa tiene en cuenta que un aumento de laproducción reduce el precio de venta

� A partir de aquí podríamos obtener la función de mejorrespuesta de la empresa 1, ρ1(q2) (la de la 2 se obtiene deforma similar)

� En un equilibrio de Nash, cada jugador debe elegir una mejorrespuesta a la estrategia de su rival. Por tanto:

q�1 = ρ1(q�2)

q�2 = ρ2(q�1)


Caracterización del equilibrio de Nash� Si sustituimos las cantidades óptimas en las CPO, obtenemos:

P0(q�1+q�2)q

�1 +P(q

�1+q

�2) = c0(q�1)

P0(q�1+q�2)q

�2 +P(q

�1+q

�2) = c0(q�2)

� Si q�1 = q�2 = q�, entonces:

P0(2q�)q� +P(2q�) = c0(q�)

� Si sólo hubiese una empresa (monopolio), la producciónóptima qM sería:

P0(qM)qM+P(qM) = c

0(qM)

� ¿Qué relación hay entre la producción total y los precios delduopolio y los del monopolio?

� ¿Y con la producción total y el precio de competenciaperfecta?


Relación con monopolio

� Vemos que 2q� > qM y, por tanto, P(2q�) < P(qM).Primero probamos que 2q� � qM.

� Supongamos que 2q� < qM. Entonces una de las empresas,p. ej. la 1, podría aumentar su producción a bq1 = qM� q�

obteniendo más bene�cios, ya que los bene�cios máximostotales corresponden a la producción de monopolio. Comoesto además reduce el precio, la empresa 2 estará peor. Portanto, 2q� � qM

� Ahora vemos que 2q� 6= qM y, por tanto, 2q� > qM. Si2q� = qM, sustituyendo en la ecuación de arriba:

P0(qM)qM

2+P(qM) = c

0(qM

2),

contradiciendo la CPO del monopolio. Por tanto, 2q� > qM yP(2q�) < P(qM)


Ejemplo lineal� Suponemos una demanda lineal P(Q) =M� dQ y costeslineales c(qi) = cqi


m«axq1(M� d(q1+q2))q1�cq1


m«axq2(M� d(q1+q2))q2�cq2

� La CPO de la empresa 1 es:

�dq�1 +M� d(q�1+q�2) = c

� La CPO de la empresa 2 es:

�dq�2 +M� d(q�1+q�2) = c


Computando el equilibrio

� Resolvemos las dos condiciones y obtenemos q�1 = q�2 =

M�c3d

� La cantidad total producida es Q� =q�1+q�2 =

2(M�c)3d . El

precio es P� = M+2c3

� En comparación, en competencia perfecta QCP = M�cd y

PCP = c� Si fuese un monopolio, la producción sería qM = M�c

2d y elprecio PM = M+c

2


Competencia en precios

� Ahora en lugar de suponer que las empresas eligen cuántoproducir, vamos a suponer que eligen sus precios, y el mercadodetermina la cantidad de forma que el mercado se vacía

� Puede parecer un cambio pequeño, pero el equilibrio de Nashcambia radicalmente

� Suponemos que hay dos empresas con los mismos costesc(qi) = cqi

� Tenemos que ver qué precios ponen las empresas en elequilibrio. Ahora, si una empresa pone un precio más bajo quesu rival se lleva todos los consumidores

� Vamos a ver que el único equilibrio es p�1 = p�2 = c


Equilibrio

� Si ambos eligen p�1 = p�2 = c, ambos tienen bene�cios cero

� Obviamente, a ninguna le interesa cambiar a p < c� Por otro lado, si alguna cambia a p > c también obtiene unbene�cio de cero, ya que nadie le va a comprar

� Dado que nadie puede mejorar estrictamente eligiendo otroprecio, p�1 = p

�2 = c es un equilibrio

� Para ver que es único, supongamos que las empresas eligen losprecios p1 � p2 . Obviamente p1 � c. Pero si p1 = c+ α,con α > 0, esto nunca puede ser un equilibrio. ¿Por qué?

� Por lo tanto, la que pone el precio más bajo debe poner elprecio igual a c

� ¿Puede ser un equilibrio p1 = c y p2 = c+ β?


Bertrand con n empresas� Ahora suponemos que hay n empresas con la misma funciónde costes c(qi) = cqi

� La demanda es F(p)� Una combinación de estrategias es:

p � (p1,p2, ..,pn)

� Los consumidores compran a quien vende más barato. En casode empate, la demanda se reparte entre todas las empresascon el precio más bajo

� De�nimos θ(p) = m«¬nfp1,p2, ..,png� El bene�cio de la empresa i es:

πi (p) =

(0 si pi > θ(p)

(pi �c)F(θ(p))

#fj2N:pj=θ(p)g si pi = θ(p)


Equilibrio con n empresas

� El equilibrio de Bertrand es una combinación de estrategias(p�1 , ..,p

�n) tal que se cumplen dos condiciones:

1. θ(p�) = c2. #fj 2 N : p�j = θ(p�)g � 2

� En el equilibrio los bene�cios de todas las empresas son cero.La competencia en precios es tan fuerte que se llega alequilibrio competitivo

� Para este resultado sólo hacen falta dos empresas� ¿Qué ocurriría si las empresas tienen limitada su capacidad deproducción?


Productos diferenciados

� Hay dos empresas con la misma función de costes c(qi) = cqi� La demanda inversa de la empresa 1 esp1(q1,q2) =M� q1� b q2 y la de la empresa 2 esp2(q1,q2) =M� q2� b q1, donde b 2 (�1,+1) es unparámetro que mide el grado en que ambos productos sonsustitutivos

� Podemos obtener la función de demanda de la empresa 1 (lade la 2 es similar) como:

F1(p1, p2) =M1+ b

� 11� b2 p1 +

b1� b2 p2

� Los bene�cios de la empresa 1 son:

π1(p1,p2) = (p1� c)F1(p1,p2)


Equilibrio

� Si derivamos respecto a p1 obtenemos la función de mejorrespuesta de la empresa 1 (la de la 2 es similar):

ρ1(p2) =12[M(1� b) + c+ bp2]

� Resolviendo, computamos el equilibrio:

p�1 = p�2 =M(1� b) + c

2� b

� Si son sustitutos perfectos (b = 1), tenemos p�1 = p�2 = c� Si no son sustitutos perfectos (b < 1), entoncesp�1 = p�2 > c


Caso b>0


Bienes públicos

� Un bien público es un bien que tiene dos características:1. No existe rivalidad en el consumo, ya que el consumo de unbien público por un individuo no reduce las posibilidades deconsumo de otros individuos

2. No son excluyentes, porque cuesta mucho excluir a cualquierindividuo del disfrute de las ventajas de un bien público

� Ejemplos clásicos: la defensa nacional, la vista de un paisaje,un faro, el alumbrado público, etc

� Hay un grupo de N personas que quieren invertir en un bienpúblico

� Suponemos que el bien produce un bene�cio G si se inviertec(G) en él. Suponemos c�(G)>0

� Vamos a ver cuánto se invierte en el bien público


E�ciencia

� Primero vemos cuál es la cantidad e�ciente de bien público� La cantidad e�ciente es la que maximiza los bene�cios totalesnetos para la sociedad:

m«axG

N

∑i=1G�C(G)

= m«axGNG�C(G)

� La solución óptima es C0(G�) = N� Ahora vamos a ver cuál es la solución si cada individuo decidede forma individual cuánto invierte en el bien público


Equilibrio de Nash

� En el equilibrio de Nash, cada uno decide cuánto invertir,tomando como dado lo que hacen los demás

� Consideramos al individuo i. La contribución de todos losdemás es G�i. El individuo i resuelve:

m«axg(g+G�i)�C(g+G�i)

� La CPO es C0(g�+G�i) = 1� Si todos invierten lo mismo en el bien público, entoncesG�i = (N� 1)g�, por lo que tenemos C0(Ng�) = 1, y lacantidad total de bien público es bG = Ng� que cumpleC0(bG) = 1. Obviamente bG < G�

� Este es el problema del polizón (�free-rider�). Cada individuono piensa en el bene�cio que el bien público da a los demás,por lo que no invierte su�ciente en él

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