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Tema 3:Conjuntos y Funciones
Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla
Logica y ComputabilidadCurso 2009–10
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.1
Contenido
ConjuntosOperaciones con conjuntos
FuncionesTipos de funcionesComposicionNumerabilidad
PredicadosOperaciones con predicados
Minimizacion e Induccion
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.2
Conjuntos
I Escribimos x ∈ C para expresar que x es un elemento de C .I Ademas, x 6∈ C expresa que x NO es un elemento de C .I Dada una propiedad Θ, denotamos por {t : Θ(t)} al conjunto
formado por aquellos elementos que verifican la propiedad Θ.I El conjunto vacıo de denota por ∅.
Igualdad entre conjuntos
I Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismoselementos, es decir, si
Para todo x , x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B
I Por tanto, dada una propiedad, Θ, si A = {x : Θ(x)}entonces, para todo x ,
x ∈ A ⇐⇒ Θ(x)
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.3
Subconjuntos
I A es un subconjunto de B, y lo expresamos, A ⊆ B, si todoelemento de A es elemento de B, es decir,
Para todo x , x ∈ A =⇒ x ∈ B
I En consecuencia,
A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A
Ası, podemos probar que dos conjuntos A y B son igualespor doble inclusion, es decir, probando que A ⊆ B y B ⊆ A.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.4
Operaciones con conjuntos
I Union: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}I Interseccion: A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}I Diferencia: A− B = {x : x ∈ A y x /∈ B}I Complementario: Fijado un conjunto C , para cada A ⊆ C el
complementario de A (en C ) se define como
A = C − A = {x ∈ C : x /∈ A}
I Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, el conjuntopotencia de A (o conjunto de las partes de A) es
P(A) = {C : C ⊆ A}
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.5
Producto cartesiano
I Producto cartesiano: A× B = {(u, v) : u ∈ A y v ∈ B},donde (u, v) denota al par ordenado formado por u y v .
I La propiedad caracterıstica de los pares ordenados es
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c y b = d
I En general, para cada n ≥ 3, podemos considerar n-tuplas,(a1, a2, ..., an), cuya propiedad caracterıstica es:
(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) ⇐⇒ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn
I A1 × ...× An = {(x1, ..., xn) : x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An}.I Si A1 = ... = An = A, escribiremos An = A× A× (n... ×A.
Ademas, la n–tupla (x1, . . . , xn) se denotara por ~x .
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.6
Funciones
I Una funcion f es un conjunto de pares ordenados, tal que
(a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f =⇒ b = c
I El dominio de una funcion f es el conjunto:
dom(f ) = {x : ∃y ((x , y) ∈ f )}
I El rango de f es el conjunto:
rang(f ) = {y : ∃x ((x , y) ∈ f )}
I Si f es una funcion, para cada a ∈ dom(f ) existe un unicob ∈ rang(f ) tal que (a, b) ∈ f . Por ello usaremos la notacionhabitual, f (a) = b para expresar que (a, b) ∈ f .
I Ejemplo: Sea A un conjunto. La funcion identidad de A es lafuncion IdA : A→ A, dada por IdA(x) = x .
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.7
Igualdad entre funciones
I Notacion: Escribiremos f (x) ↓ para expresar que x ∈ dom(f )y utilizaremos la notacion f (x) ↑ para expresar quex /∈ dom(f ).(En este ultimo caso se dice que f no esta definida en x).
I Si f y g son funciones, entonces f = g si y solo si tienen losmismos elementos (pares ordenados). Por tanto,
f = g ⇐⇒
dom(f ) = dom(g)ypara todo x ∈ dom(f ), f (x) = g(x)
⇐⇒ Para todo x ,
f (x) ↓ ⇐⇒ g(x) ↓yf (x) = g(x)
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.8
Tipos de funciones
Sean A y B dos conjuntos y f una funcion.
I f es una aplicacion de A en B (o funcion total de A en B) yescribiremos f : A −→ B, si
dom(f ) = A y rang(f ) ⊆ B
I f es una funcion parcial de A en B, f : A − → B, si
dom(f ) ⊆ A y rang(f ) ⊆ B
I Una funcion f : A − → B es:
I inyectiva si para todo x1, x2 ∈ dom(f ),
f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2
I sobreyectiva (o suprayectiva o exhaustiva) si rang(f ) = B, esdecir,
∀y ∈ B∃x ∈ A(f (x) = y)
I biyectiva si es total, inyectiva y sobreyectiva.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.9
Composicion de funciones
Sean f : A − → B y g : B − → C . Se define la composicion de fy g como la funcion (parcial) h : A − → C dada por
h = {(x , y) ∈ A× C : Existe z ∈ B tal que f (x) = z y g(z) = y}
Graficamente,
Af−→ B
g−→ Cx 7→ f (x) 7→ g(f (x)) (= h(x))
Notacion: h = g ◦ f .
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.10
Funcion inversa
I Dada una funcion f decimos que una funcion g es la inversade f si, para todo x y todo y se tiene,
f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x
I Si existe, la inversa de f es unica y se denota por f −1.
I Sea f una funcion. Entonces,
f tiene inversa ⇐⇒ f es inyectiva.
I Proposicion: Sea f : A −→ B una aplicacion. Entonces,
1. f −1 es aplicacion de B en A ⇐⇒ f es biyectiva(en cuyo caso, f −1 tambien sera biyectiva)
2. Si f es biyectiva, f ◦ f −1 = IdB y f −1 ◦ f = IdA.Si, ademas, A = B entonces, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.11
Conjuntos numerables
Definicion: Un conjunto A es numerable si existe una aplicacionbiyectiva de N en A.
I Si un conjunto, A, es numerable, entonces los elementos de Apueden ordenarse en una lista infinita sin repeticiones:
a0, a1, . . . , an, . . .
I N2 es numerable.Para probarlo, basta demostrar que la siguiente funcionJ : N2 → N es biyectiva:
J(x , y) =(x + y)(x + y + 1)
2+ x
I En general, para cada k ≥ 2, el conjunto Nk es numerable.
I El conjunto de los numeros racionales Q es numerable.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.12
Conjuntos no numerables
No todo conjunto infinito es numerable.
I Ejemplos:I El conjunto de los numeros reales, R.I El intervalo [0, 1) ⊆ R.I P(N).
Estos resultados fueron probados por G. Cantor utilizando lamisma idea basica: El metodo diagonal de Cantor.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.13
Predicados y conjuntos
Definicion: (n ≥ 1) Un predicado n–ario sobre A es una aplicacionθ : An → {0, 1}.
I Dado (x1, . . . , xn) ∈ An, si θ(x1, ..., xn) = 1 diremos que elpredicado θ se verifica (o que es cierto) para (x1, ..., xn).Escribiremos θ(~x) en vez de θ(~x) = 1.
I Si θ(x1, ..., xn) = 0 diremos que el predicado no se verifica (oque es falso) para (x1, ..., xn).
I Podemos identificar un predicado n–ario sobre A,θ : An → {0, 1}, con un subconjunto de An:
Sθ = {~x ∈ An : θ(~x) = 1}
I Los predicados nos permiten identificar con funciones lossubconjuntos de A y, en general, las relaciones entreelementos de A.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.14
Funcion caracterıstica
Definicion: Sea B ⊆ An. Llamaremos funcion caracterıstica delsubconjunto B, al predicado CB definido sobre An como sigue:
CB(~x) =
{1 si ~x ∈ B0 si ~x /∈ B
I La funcion caracterıstica de B ⊆ An, nos permite identificar elconjunto B con un predicado (precisamente, CB).
I Si θ es un predicado n–ario sobre A y B = Sθ entoncesCB = θ.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.15
Operaciones con predicados
I Definicion: Dados los predicados θ y θ′, definimos lospredicados ¬θ, θ ∨ θ′, θ ∧ θ′, θ → θ′ y θ ↔ θ′, ası:
I (¬θ)(~x) ≡ ¬θ(~x) = 1− θ(~x).I (θ ∨ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∨ θ′(~x) = max(θ(~x), θ′(~x))I (θ ∧ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∧ θ′(~x) = min(θ(~x), θ′(~x)).I θ → θ′ = (¬θ) ∨ θ′.I θ ↔ θ′ = (θ → θ′) ∧ (θ′ → θ).
I Estas operaciones reflejan las operaciones entre conjuntos delsiguiente modo. Sean θ1 y θ2 predicados n–arios sobre An.Entonces
I Sθ1∨θ2 = Sθ1 ∪ Sθ2 .I Sθ1∧θ2 = Sθ1 ∩ Sθ2 .I S¬θ1 = An − Sθ1 .
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.16
Cuantificacion acotada
Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existencialacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∃z)≤yθ y se define mediante:
(∃z)≤yθ(~x , z) =
{1 si existe z0 ≤ y tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario
El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universalacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∀z)≤yθ y se define mediante:
(∀z)≤yθ(~x , z) =
{1 si para todo z0 ≤ y se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario
I (∃z)≤yθ(~x , z) = θ(~x , 0) ∨ θ(~x , 1) ∨ ... ∨ θ(~x , y)
I (∀z)≤y θ(~x , z) = θ(~x , 0) ∧ θ(~x , 1) ∧ ... ∧ θ(~x , y)
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.17
Cuantificacion no acotada
Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existenciales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∃z) θ y sedefine mediante:
(∃z) θ(~x , z) =
{1 si existe z0 tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario.
El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∀z) θ y sedefine mediante:
(∀z) θ(~x , z) =
{1 si para todo z0 se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.18
El principio de minimizacion
I Expresion sobre predicados. Sea θ un predicado 1–ariosobre N. Si ∃x θ(x) entonces ∃m (θ(m) ∧ ∀y < m ¬θ(y))
I Notacion: indicaremos que m es mınimo escribiendo:
m = µx(θ(x))
I Expresion conjuntista. Sea A ⊆ N. Si A 6= ∅ entonces∃m (m ∈ A ∧ ∀y < m(y /∈ A))
I Notacion: indicaremos que m es el mınimo escribiendo:
m = min(A)
I Ejercicio: Probar utilizando este principio que:I “Todo numero natural n ≥ 2 es divisible por un numero
primo”.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.19
El principio de Induccion
I Induccion debil.
Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:
1. Caso base: θ(0), y2. Paso inductivo: ∀n(θ(n) −→ θ(n + 1))
Entonces, ∀n θ(n).I Ejercicio: Probar utilizando este principio que:
I
n∑i=0
i =n(n + 1)
2
I
n∑i=0
(2i + 1) = (n + 1)2
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.20
El Principio de Induccion (II)
I Induccion fuerte
Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:
1. Caso base: θ(0), y2. Paso inductivo: ∀n([∀p ≤ n θ(p)] −→ θ(n + 1)).
Entonces, ∀n φ(n).I Ejercicio: Probar utilizando este principio que:
I “Todo numero natural n ≥ 2 puede descomponerse en unproducto de numeros primos”.
LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.21