Tema 3: Campo Eléctrico · 2013-11-11 · • Rayos, tormentas eléctricas, pararrayos. • Carga...

Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/66Tema 3: Campo eléctrico

Tema 3: Campo Eléctrico

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2007/08



1. Introducción

2. Carga eléctrica: propiedades

3. Ley de Couloumb

4. Campos eléctricos : Cálculo de campos eléctricos

5. Líneas de campo eléctrico

6. Dipolo eléctrico

7. Flujo eléctrico y Ley de Gauss

8. Aplicaciones de la Ley de Gauss

9. Campo eléctrico en presencia de conductores

Índice

Tema 3: Campo Eléctrico



De las cuatro fuerzas fundamentales:

•Gravedad

•Electromagnética

•Electro débil

•Nuclear fuerteÁmbito nuclear

Ésta será la de

nuestro interés

Liga a los protones y neutrones

en el núcleo. Vence la repulsión

protón-protón. Corto alcance.

1. Introducción



La interacción electromagnética no se

restringe al ámbito atómico:

• Radio.

• Televisión.

• Cualquier aparato que funciona con

corriente eléctrica.

• Rayos, tormentas eléctricas, pararrayos.

• Carga estática por efecto del rozamiento

• Propiedades implícitas: Propiedades de los

sólidos y líquidos, materiales en general,

propiedades mecánicas de los muelles.

• Nuestra vida normal diaria (p.ej. andar)

depende de las fuerzas eléctricas que se

producen a nivel atómico.

1. Introducción



• Históricamente, los fenómenos eléctricos son conocidos desde el año

2000 A.C. (antigua civilización china).

• En Occidente, (Grecia antigua), 700 A.C., se observa que el ámbar

(elektron) atrae trozos de paja, plumas y también que la magnetita

(piedra procedente de Magnesia, Turquía) atrae al hierro.

• En 1600, William Gilbert descubre el carácter general de que la

electrificación no está restringida al ámbar.

• En 1785, Charles Couloumb descubre la ley del inverso del cuadrado

de la distancia para la carga (Ley de Couloumb).

1. Introducción



• En 1820, Charles Oersted descubre que la brújula se desvía cerca de

una corriente eléctrica.

• En 1831, M. Faraday (Inglaterra)

y

J. Henry (EE.UU.)

• En 1873, W.C. Maxwell (Escocia) formula las leyes del

Electromagnetismo tal como las conocemos hoy. Dichas leyes son

válidas para cualquier clase de fenómeno electromagnético.

descubren que cuando se mueve

un imán cerca de un aro metálico,

aparece una corriente eléctrica en

el aro.

1. Introducción



nn

np

p

pp

e-e-

e-

e-

El átomo es eléctricamente neutro:

• Concepto de carga neta

• La materia en general es

eléctricamente neutra porque

carga del proton ≡ carga del e−no de protones ≡ no e−

Átomo“Carga fundamental”= 1.602177× 10−19 C

Coulombios (S.I.)Coulombios (S.I.)

2. La carga eléctrica

+

No. Atómico Z



Cuantización:

No se ha observado ninguna cantidad de carga que no sea un

múltiplo entero (Ne) de la carga fundamental.

El modelo estándar de partículas elementales prevé que los

protones, neutrones, e-, y todas las partículas están formadas

por quarks, cuya carga es

pero no han sido observados individualmente.

Propiedades de la carga

Conservación:

Cuando, por ejemplo por rozamiento, un cuerpo queda cargado

positivamente, y el otro negativamente, no se pierde carga. La

carga se conserva siempre en un sistema cerrado. Principio de

Conservación de la Carga

ó 1 2

3 3± ± -, e e



Propiedades de la carga

Dualidad:

La carga se manifiesta en sus dos versiones:

• Positiva (+) (carga de los protones)

• Negativa (—) (carga de los electrones)

• Cargas del mismo signo se repelen, y de distinto signo

se atraen

B. Franklin

(1706-1790)Nombre Símbolo

Invariancia relativista:

El espacio, el tiempo y la masa son magnitudes que

varían dependiendo de la velocidad del móvil.

La carga NO: es invariante



Clasificación de los materiales

Según la dificultad-facilidad al movimiento de la carga en

ellos:

Semiconductores

Silicio

Germanio

Semiconductores

Silicio

Germanio

Aislantes

Carga eléctrica

fuertemente sujeta a

los átomos

Aislantes

Carga eléctrica

fuertemente sujeta a

los átomos

Conductores

Los electrones se

mueven libremente

dentro del material,

formando un "gas

de electrones" o

"fluido eléctrico"

Conductores

Los electrones se

mueven libremente

dentro del material,

formando un "gas

de electrones" o

"fluido eléctrico"

Base de la era de

la información

Metales

Tierra

No metales

carga libre



Carga por inducción

¿Cómo se puede cargar un objeto eléctricamente neutro?



Otro ejemplo:

Carga por inducción



3. Ley de Couloumb3. Ley de Couloumb

Está dirigida

a lo largo de

la línea que

las une

Atractiva

Repulsiva

cargas de

distinto signo

cargas de

igual signo

Varía inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia

Es proporcional al producto de las

cargas

Experimento de Couloumb

Experimento de Cavendish

para masas y fuerzas

gravitatorias

K =1

4πε0= 8.99× 109Nm

2

C2

F = Kq1q2r2

Permitividad dieléctrica del vacío

La fuerza ejercida por

una carga puntual

sobre sobre otra:

(módulo)

Matemáticamente:

212

0 2

C8.854 10

N mε −= ⋅

Ley experimental



3. Ley de Couloumb

Si tenemos en cuenta la dirección:

~r1,2 =~r2−~r1~r1,2r1,2

= Vector unitario

apuntando de q1

a q2

•Formalmente idéntica a la

de Newton de la gravedad.

•En la práctica, distintas,

porque la gravedad sólo es

ATRACTIVA

La gravedad es irrelevante a escalas

atómicas, pero predominante a

escala astrónomica, para objetos

grandes y neutros donde se

neutralizan las fuerzas eléctricas.

1 21,2 1,22

1,2

F uq qK

r=

1,2u =

(apunta de q1 q2)



Por el filamento de una

linterna: 1019

e-/s

Por el filamento de una

linterna: 1019

e-/s

La carga de todos los electrones

de una moneda: 105C

La carga de todos los electrones

de una moneda: 105C

La carga del electrón:

1C≡carga de aprox. 6×1018e−

1cm

Cu1m

F ' 9 × 109N(un millón de

toneladas)

1C 1C

μC = 10−6CnC = 10−9CpC = 10−12CfC = 10−15 C

3. Ley de Couloumb

!

Un cubo de Cu de

1 cm de lado:

e-242.4 10⋅

e = C191.602176462(63) 10−×



Para un sistema de cargas:

Principio de superposición:

Cuando dos o más cargas ejercen

fuerzas simultáneamente sobre una

tercera, la fuerza total es la SUMA

VECTORIAL de las fuerzas

individuales

~F0 = ~F1 + ~F2 + ~F3 + · · · =NXi=1

~Fi

3. Ley de Couloumb



• La Ley de Couloumb es válida para cualquier sistema de

cargas.

• Se ha formulado para vacío.

• Se puede asumir aire vacío (Diferencia )

(Necesitará ser modificada en caso de que las cargas se

hallaran en un medio material, porque las fuerzas

eléctricas también actúan sobre las cargas de las

moléculas del material).

3. Ley de Couloumb

1

2000



¿Cómo ‘viaja’ esa acción?

¿Qué o cuál es el agente que transporta esa acción a lo

largo del espacio?

¿Cómo sabe una carga que la otra esta ahí?

¿Y si una de las cargas cambia súbitamente de valor y/o

posición, cómo, cuándo, por qué se entera la otra del

cambio?

4. Campo Eléctrico

¿Cómo se comunica la fuerza que

provoca una carga a la otra?

La fuerza eléctrica es una acción a distancia



4. Campo Eléctrico

El 'campo' es un concepto bastante amplio: no tiene por

qué restringirse al caso eléctrico:

+

Un campo de hierba

Un campo de

velocidades

Un campo

eléctrico

Un campo de

temperatura



Podemos definir un campo en una región o recinto, si a

cada punto del espacio podemos asignarle un valor

(escalar o vectorial) a una magnitud.

• Un campo de temperaturas

• Un campo de velocidades

ESCALAR

VECTORIAL

¿Cómo definíamos el campo de velocidades en un fluido?

• A cada punto del espacio (ej: tubería), le asignábamos una

velocidad (la que llevaba la partícula justo en ese punto).

• Es un campo vectorial, porque la velocidad es un vector.

• En general, la velocidad varía de punto a punto

Por ejemplo:

campo de velocidades uniforme)(si no varía

4. Campo Eléctrico



Otro ejemplo: El campo gravitatorio

~g =~Fgm0

Gravedad terrestre, es decir, campo que crea (que

se asocia) a la Tierra. Pero la masa

también crea su propio campo

gravitatorio.

Masa "prueba" o “test”.

4. Campo Eléctrico

Fuerza de la gravedad , actuando sobre una

masa prueba gF

0m

0m



Tierra

MT

m0~Fg~Fg

La fuerza de atracción es la misma

~gm0=~FgMT

→ 0~g

La diferencia de tamaño de la Tierra

hace que el ‘campo gravitatorio’ al que

nos referimos sea inconfundible (el otro

es despreciable).

4. Campo Eléctrico



Análogamente, definimos el campo eléctrico:

~E =~Feq0

Campo asociado a ‘q’Carga test, pequena,positiva (por convenio)

q

~Fe ~Fe

q0

~E

~E

Fuerza electrica entre la carga test q0y la que genera el campo, ‘q’

4. Campo Eléctrico

La carga test

tiene que ser ,

idealmente nula

¿Por qué?¿Por qué?



Podemos pensar que el campo

es un artificio matemático

en cuyo caso, daría igual el

valor de q0, puesto que ‘se van’:

~E =~Feq0,

~E =q q0/r

2

q0

Sin embargo, el campo no es un artificio matemático,

sino un ente real. Si q0 fuera apreciable: en cada punto

del espacio generaría/aportaría un campo asociado a ella.

q q0 ~Eq + ~Eq0Entes reales, no matemáticos,

asociados a cada carga.

4. Campo Eléctrico



Se ‘empañaría’ el verdadero valor del campo asociado sólo a q.

La definición más rigurosa del campo asociado a q:

~E= limq0→0

~Feq0=

14πε0

qr2~ur

distancia a q

vector unitario

en la dirección

radial, desde q

Campo

producido por q

en un punto del

espacio

4. Campo Eléctrico



Campo debido a un sistema de cargas puntuales

¿Cómo se calcula?

~F0 =Xi

~Fi(Ppio superposición

para la fuerza)

(Ppio superposición

para el campo)

Está sujeto al principio de superposición

(pues es una fuerza, en realidad)

~E0 =~F0q0= ~E1 + ~E2 + · · · =

Xi

~Ei



vector unitario

en la dirección

radial, de qia P

distancia

de qia P

Carga i-ésima

De modo que:

~Ep =NXi=1

~Ei =NXi=1

Kqir2i,p

~ui,pCampo total,

en un punto

P cualquiera

P


ii i,P2

i,P

qE = K ×u

r

Campo debido a cada

carga, en P:

,i Pu




• Punto campo y punto fuente

• Dirección del campo para

cargas del mismo signo y de

signo opuesto



Campo debido a distribuciones continuas de carga

¿Qué ocurre si en lugar de tener una distribuciones

discretas de carga, tenemos distribuciones CONTINUAS?

Hilos, líneas

de carga

Por ejemplo:

Superficies

Distribución:

Lineal

Superficial

VolumétricaVolúmenes



¿Cómo se calcula el

campo en estos

casos?

• Se subdivide la distribución en

‘elementos de carga’ dq

• Cada uno de ellos produce un

campo:

d~E = Kdq

r2~ur

• El campo total se obtiene

integrando a toda la distribución

~E =

ZV

d~E =

ZV

Kdq

r2~ur

Extendida a todo el volumen en el

que se extiende la carga




dq = ρ dV

dq = σ ds

dq = λdl

elemento de longitud

elemento de superficie

elemento de volumen

densidad lineal de carga

densidad superficial de carga

densidad volumétrica de carga

A lo largo de una línea:

Sobre una superficie:

En un volumen:

dl

d~S

dV


Si la distribución de carga es uniforme:



5. Líneas de campo eléctrico

Una línea de campo es una trayectoria tal que

el campo es tangente a ella en cada punto.

0d × =r E

x y z

d dx dy dz

E E E

= + +

= + +

r i j k

E i j k x y z

dx dy dz

E E E= =

E

Ecuación de las líneas de campo

Matemáticamente:

E

E



Ejemplo: líneas del campo de una carga puntual

en el plano x-y:

2 2 1/ 2( )

r

x y

r r

x y

r x y

+= =

= +

= +

r i ju

r i j

Las líneas de campo: dx dy

y Kxx y= =

Haz de rectas que

pasan por el origen

donde:

204 r

q

rπε=E u

Líneas de campo eléctrico




Ejemplos para otras configuraciones de cargas:

DipoloCarga puntual Dos cargas positivas




•Son tangentes al campo en

cada punto.

•Comienzan en las cargas

positivas (fuentes) y

terminan en las negativas

(sumideros).

•El número de líneas que

entran/salen de una carga

es proporcional a la carga.

•La densidad de líneas es

proporcional al módulo del

campo.



0d × =r E

v

Las líneas de campo o líneas de fuerza ¿son las

trayectorias que seguiría una carga test, positiva,

pequeña, dejada en libertad en el campo?

/dt

v

Línea de campo Trayectoria de una partícula

v

v

0 0 d

dt× = × =

rE Ev

De la ecuación de la línea de campo:

E

E

E




En general no coinciden, (porque E es paralelo a la aceleración, no a

la velocidad), aunque sí lo hacen en muchas aplicaciones prácticas

(corriente eléctrica, condensadores, campos uniformes, aceleradores

lineales, campo lejano, etc)

La trayectoria de una partícula coincide con una

línea de campo cuando la velocidad de la partícula

es paralela al campo en cada punto.


No pueden cortarse (el campo estaría multivaluado).

Es una representación simbólica (sólo pueden

representarse 'algunas', pero en realidad por cada punto del

espacio pasa -podría trazarse- una línea de campo -y sólo una-).



Movimiento de cargas puntuales dentro de un campo eléctrico

~Fe

¿Qué efecto tiene un campo

sobre una carga puntual?

Si tenemos una partıcula de masa m ycarga q sometida a un campo ~E sufreuna fuerza

~Fe = q~E

y por tanto, una aceleracion

~a =q~E

m

= m~a

E

m, q



Movimiento de cargas puntuales dentro de un campo eléctrico

~a = −eEm~j

ay

=

relación carga-

masa del e-

unitario en la

dirección vertical y

vy = ayt

vx = cte

yf =1

2ayt

2

velocidad

inicial

desplazamiento

vertical

La trayectoria del

e- es una parábola:

Si se conoce el campo E, se puede determinar la relación

carga-masa de la partícula: (Experimento de Thomson, 1897)

xf = v0t



6. Dipolos eléctricos en campos e-

¿Cuál es el efecto del

campo sobre un sistema

como éste:

• dos cargas

• iguales y

opuestas

• separadas por

una distancia L

+ —

+q −q

L

DIPOLO



Dipolos eléctricos en campos e-

Se define el momento

dipolar eléctrico:

~p = q~L

El dipolo sufre un torque de orientación:

~τ = ~p× ~E

momento dipolarcampo eléctrico externo

producto vectorial

que tiende a alinear el dipolo en la dirección del campo.



7. Ley de Gauss

•Es una de las cuatro leyes fundamentales del

electromagnetismo (Leyes de Maxwell)

•Es equivalente, para cargas estáticas, a la Ley de

Couloumb

El flujo eléctrico a través de una superficie

cerrada es proporcional a la carga encerrada

en dicha superficie.

El flujo eléctrico a través de una superficie

cerrada es proporcional a la carga encerrada

en dicha superficie.

Ley de GaussLey de Gauss



Ley de Gauss

Ley de Gauss

Superficie 'cerrada'

Encierra un volumen

Superficie 'abierta'

No encierra un volumen



Superficie cerrada Superficie abierta

¿Cómo se definen?

Vectorialmente

Siempre hacia fuera de S

Módulo: Área de la superficie

Dirección: Normal a la superficie

Sentido: C

~S

Según el sentido de circulación de C:

Antihorario:

Horario:

Regla de la

mano derecha

cerradaabierta

Ley de Gauss



•Cuando la superficie es extensa, y no plana, la

superficie -el vector superficie- cambia de dirección en

cada punto

•En cada punto se define un elemento diferencial de

superficie, con módulo dA, y dirección y sentido según

la regla anterior.

Ley de Gauss



Ley de Gauss: Flujo eléctrico

Para una superficie plana, el flujo es el

producto escalar del campo por la

superficie:

producto escalar

vectoresescalar

Lo normal es que no lo podamos definir/calcular así,

a menos que la superficie sea plana.

φ = ~E · ~SUnidades:

Flujo eléctrico

a través de S:

Flujo eléctrico

a través de S: ≡∙N

Cm2¸



Ley de Gauss. Flujo eléctrico

Pero en general:

φ = lim∆A→0

Xi

~Eid~Si =

ZS

~E · d~S

Para superficie plana:

módulos

φ = ~E · ~S = ES




Para superficies

ABIERTAS

Para superficies

CERRADAS

φe =

ZS

~E · d~S

φe =

IS

~E · d~S



El flujo eléctrico es proporcional al campo,

El campo es proporcional a las líneas de campo,

El flujo es proporcional a las líneas de campo.




Calculemos el flujo eléctrico en un caso sencillo

Sea una carga puntual Q

centrada en una superficie

esférica S.


¿Cual es el flujo electrico(φe) creado por Q queatraviesa S?



Respuesta:

Según la definición de flujo:

porque se trata de una

esfera (superficie cerrada)

• El campo que crea una carga puntual:

• La superficie —elemental-:

d~S = dS ~n

φe =

IS

~E · d~S

~E = KQ

r2~ur ~ur || ~S, ~E || ~S

vector normal ala superficie, || ~E

Ley de Gauss. Flujo eléctricoCalculo del flujo eléctrico en un caso sencillo



φe =

IS

~E · d~S =IS

E · dSvectores

paralelosmódulo

(escalar)

Además, E (módulo) es constante sobre la superficie

esférica:

φe = E

IS

dS = E · S = KQ

R2· 4πR2

S =valor del area de la superficie=area de la esfera=4πR2

(módulo del vector superficie)

Ley de Gauss. Flujo eléctricoCalculo del flujo eléctrico en un caso sencillo



La Ley de Gauss es válida para cualquier superficie

cerrada y/o distribución de carga (también para

cargas no estáticas). Si el medio no es el vacío habría

que introducir el efecto del medio.

A pesar de su generalidad, sólo es útil para

distribuciones de alta simetría.

La Ley de Gauss es válida para cualquier superficie

cerrada y/o distribución de carga (también para

cargas no estáticas). Si el medio no es el vacío habría

que introducir el efecto del medio.

A pesar de su generalidad, sólo es útil para

distribuciones de alta simetría.

Calculo del flujo eléctrico en un caso sencillo

φe = 4πKQ =Q

ε0

K =1

4πε0

carga encerrada por S

permitividad del vacío=

8.85 × 10−12 C2

Nm2

Ley de GaussLey de Gauss




Para cualquier superficie (no necesariamente paralela

al campo)

= Kq

IS

~ur · ~nr2

dS =q

ε0

unitario en la dirección r

vector unitario normal a S

dΩ

=

4π

=elemento diferencial deangulo solido substendidodesde q abarcando dSÁngulo sólido completo substendido

por cualquier superficie cerrada

(desde un punto interior)

φe =

IS

~E · d~S =IS

Kq

r2~ur · ~ndS =

rdS




Situaciones de simetría definida, en la que la Ley

de Gauss puede ser útil:

Situaciones de simetría definida, en la que la Ley

de Gauss puede ser útil:

1) Simetría plana o rectangular

Sistemas de planos

paralelos…

PlanosVolúmenes rectangulares,

paralelepipédicos




2) Simetría cilíndrica

- Hilos de carga

— Cilindros huecos ó macizos

— Sistemas de cilindros

coaxiales

— Cable coaxial

Aplicaciones de la Ley de Gauss



3) Simetría esférica

Esferas (huecas o macizas)

Cortezas esféricas

Esferas concéntricas…




Los conductores tienen una

estructura atómica de red

cristalina ordenada, formada por

iones + (en posiciones fijas) y

una nube electrónica formada por

los e- de valencia, que pueden

desplazarse libremente por el

material conductor (Nube o gas

electrónico).


+ + + +

+ + + +

+ + + +



Esta libertad de movimiento de la carga e- es la causa de las

peculiares propiedades de los conductores: baja resistencia,

peculiar geometría del campo en sus proximidades, efecto

skin, apantallamiento... Veamos algunas.

En el interior de un conductor en

equilibrio, el campo e- siempre es nulo

En el interior de un conductor en

equilibrio, el campo e- siempre es nulo





Si existiera campo en el interior del conductor, las

cargas, libres, se moverían en la dirección del campo,

provocando una corriente e- y el conductor no estaría en

equilibrio (porque sus cargas no lo estarían)

El campo dentro de un conductor

en equilibrio deber ser nulo

El campo dentro de un conductor

en equilibrio deber ser nulo


E = 0



La carga de un conductor sólo

puede estar ubicada en la superficie

La carga de un conductor sólo

puede estar ubicada en la superficie


Por la Ley de Gauss:=0 Gauss

qencerrada = 0 No puede haber carga

volumétrica, sólo superficial

No puede haber carga

volumétrica, sólo superficial

Q

E = 0

S


Si ~E = 0 en ∀ punto interiorI~E · d~S = 0 = qencerrada

ε0



Si un conductor hueco tiene cargas en su interior, la

carga del interior aparece distribuida sobre la superficie

externa del conductor.

Si un conductor hueco tiene cargas en su interior, la

carga del interior aparece distribuida sobre la superficie

externa del conductor.¿Por qué?¿Por qué?

Por la Ley de Gauss:

=0

La superficie

gaussiana tiene

que encerrar una

carga neta = 0

Superficie

externa

Superficie

interna

Carga en

el interior

Superficie Gaussiana Se

Conductor

Hueco

q

~E = 0

tan próxima a la

superficie interior

como queramos

SuperficieGaussiana Si

ISi

~E · d~S = q

ε0


Carga sobre la

superficie interna

qSint =−q



Sabiendo que el conductor inicialmente estaba neutro

(qneta=0), y que no puede haber carga más que sobre las

dos superficies (interna y externa):

qSe + qSi = 0


qSext = q

Carga sobre la superficie

externa del conductor



El campo en la superficie de un conductor:

a) Es normal (direccion)

b) Vale σε0(modulo)

a) Por qué es normal:

El campo eléctrico es conservativo:IC

~E · d~r= 0 =

Et = 0

componente

tangencial

del campo

1

4

2

3

∆ l

∆S → 0

C


0 0porque Δs 0


=

Z1

+

Z2

+

Z3

+

Z4

= Et∆l = 0

0

E=0



b) Por que su modulo vale σε0

Aplicando Gauss:

Valor del área de

la cara superior

Carga sobre

la superficie

Como la carga se puede

expresar en función de la

densidad superficial: q = σ S

En =σ

ε0

∆S

~En

Superficie

de Gauss S

Sólo hay flujo a

través de la cara

superior

IS

~E · d~S = En S = q

ε0




Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté

(vol. II)

•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)

•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.

•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.

Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté

Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.

Pearson Education

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