Tema 2 Representación de la información Fundamentos de Informática. I.T.I. Mecánica e I.T.I....

Tema 2

Representación de la información

Fundamentos de Informática. I.T.I. Mecánica e I.T.I. Química.

Curso 2010/2011Depto. de INFORMÁTICA UVA

Temas 2 y 3: Representación de la Información

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Objetivos

Al terminar esta lección deberás ser capaz de:– Describir los problemas derivados del uso de precisión

finita en el ordenador– Describir el concepto de sistema de numeración y

enumerar los más utilizados en informática– Realizar cambios de base entre los sistemas de

numeración estudiados– Representar e interpretar el valor de números enteros y

reales utilizando los códigos más usuales en informática– Representar caracteres en el ordenador


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Contenidos

1. Números de precisión finita

2. Sistemas de numeración

3. Representación de números enteros

4. Representación de números reales

5. Representación de caracteres


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Números de precisión finita

El ordenador utiliza el sistema binario (0 y 1) para representar la información.

Los ordenadores almacenan los datos en registros de una longitud finita (8, 16, 32, … 256 bits). Esto significa que el número de dígitos con el que pueden operar es limitado.

Ejemplo: – Si un registro manejara 3 dígitos enteros decimales sólo se

podrían representar los números del 000 al 999.– Rango limitado: [000, 999]


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Precisión (p):Precisión (p): número de bits utilizado para representar información

Con p bits podemos codificar m = 2p símbolos distintos, por tanto, el conjunto de números que se pueden representar es limitado (finito)

(Operación inversa) Para codificar m símbolos distintos, necesitamos p bits, tal que p es el mínimo p que cumple: 2 p-1 < m <= 2p, que equivale a p >= log2 m = 3.32 · log (m), con p N


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Limitaciones– Desbordamiento (overflow): El resultado de una operación

es mayor que el máximo número representable con una determinada precisión p

– Agotamiento o subdesbordamiento (underflow): El resultado de una operación es menor que el mínimo representable con una precisión p

– Errores de redondeo: El resultado de una operación no es representable con la precisión utilizada. Hay que aproximar al número más cercano posible.


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Ejemplos (suponiendo dígitos decimales)– p = 3– Rango = [000, 999]– Ejemplo de overflow:

En teoría : 700 + (400 –300) = (700 + 400) – 300 En la práctica: 700 + 100 ≠

Overflow!


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Por lo tanto:– El uso de números de precisión finita limita la

aritmética de los ordenadores– Hay que tener en cuenta la posible aparición de

errores– Hay que idear recursos para trabajar con

números negativos y números reales


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Contenidos







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Sistemas de numeración

Un sistema de numeración posee un conjunto de símbolos D– Cada dígito d es un símbolo de D

Un sistema en base b usa B símbolos– D= {0, .. , B-1}

Un número es una cadena de dígitos… d4d3d2d1d0,d-1d-2 ... di D

Punto decimal


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Sistemas de numeraciónValor de un número en base b

Sea el número:

… d4d3d2d1d0,d-1 … / di D = 0, 1, 2, …, B-2, B-1

El valor que representa el número se calcula teniendo en cuenta la posición i de cada dígito, su valor, y el valor de la base B:

di * Bi = d4·B4+ d3·B3+ d2·B2+ d1·B1+ d0·B0+ d-1·B-1...

Punto decimal


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Los más típicos en informática son:– Decimal B = 10– Binario B = 2– Octal B = 8– Hexadecimal B = 16

Para saber en qué sistema está representado el número se emplea un subíndice

– 10 para decimal Ej: 938 10

– 2 para binario Ej: 102

– 8 para octal Ej: 345 8

– H ó 16 para hexadecimal Ej: FA893 H

Sistemas de numeraciónSistemas más frecuentes


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Sistemas de numeraciónSistemas más frecuentes

Decimal: – B = 10– D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}– Ejemplo

459,2 10 = 4·102 + 5·101 + 9·100 + 2·10-1 = 459,2 10 -459,2 10 = -1 * (4·102 + 5·101 + 9·100 + 2·10-1) = -459,2 10

Binario:– B = 2 – D = {0,1}– Ejemplo

101,12 = 1·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1 = 5,5 10 -101,12 = -1 * (1·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1) = -5,5 10


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Sistemas de numeraciónSistemas más frecuentes (2)

Octal: – B = 8 – D = {0,1,2,3,4,5,6,7}– Ejemplo:

453,2 8 = 4·82 + 5·81 + 3·80 + 2·8-1 = 299,2510 -453,2 8 = -1 * (4·82 + 5·81 + 3·80 + 2·8-1) = -299,2510

Hexadecimal: – B = 16– D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}– Ejemplo:

1BA,F H = 1·162 + 11·161 + 10·160 + 15·16-1 = 442,937510 -1BA,F H = -1 * (1·162 + 11·161 + 10·160 + 15·16-1) = -442,937510


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Sistemas de numeraciónEjemplo

102 <> 108 <> 1010 <> 10H

10 2 = 1·21 + 0·100 = 2 10

10 8 = 1·81 + 0·100 = 8 10

10 H = 1·161 + 0·100 = 16 10

10 10 = 1·101 + 0·100 = 10 10


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Sistemas de numeraciónCambio de base

Decimal Hexadecimal

Octal Binario

Principio de la base

B y tomar residuos

Conversión por tabla (2)

Conversión por tabla (1)


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Binario, octal ó hexadecimal decimal– Aplicar el “Principio de la base”, es decir, aplicar

la fórmula:

– Ejemplos:7CDH = 7·162 + C·161 + D·160 =

= 7·256 + 12·16 + 13 =

= 199710

di Bi


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– 111012 =

= 1·24 + 1·23 + 1·22+ 0·21+ 1·20 =

= 24 + 23 + 22 + 1 =

= 16 + 8 + 4 + 1 = 2910

– 3718 =

= 3·82 + 7·81 + 1·80 =

= 3·64 + 7·8 + 1= 24910


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Binario Octal: a través de la tabla

Binario Octal Binario Octal

000 0 100 4

001 1 101 5

010 2 110 6

011 3 111 7


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Binario Hexad. Binario Hexad.

0000 0 1000 8

0001 1 1001 9

0010 2 1010 A

0011 3 1011 B

0100 4 1100 C

0101 5 1101 D

0110 6 1110 E

0111 7 1111 F

Binario Hexadecimal: a través de la tabla


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Binario a octal y hexadecimal (ejemplos)

11001,101 2 =

= 011 001, 101 2 = 31,5 8

= 0001 1001, 1010 2 = 19, A H

Octal y hexadecimal a binario (ejemplos)

AB,16 H = 1010 1011, 0001 0110 2

734 8 = 111 011 100 2


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De decimal a binario (1/2)– La parte entera del número se obtiene dividiendo

por B = 2 la parte entera del número decimal de partida y los sucesivos cocientes hasta que cociente sea 0 ó 1. Los residuos (restos) de estas divisiones son las cifras binarias. El último cociente será el bit más significativo (izda) y el primer residuo será el bit menos significativo (dcha).


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De decimal a binario (continuación)– La parte fraccionaria se obtiene multiplicando por

B = 2 sucesivamente la parte fraccionaria del número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van obteniendo. El número lo componen las partes enteras (ceros o unos) de los productos obtenidos.

– El número completo se forma anexando la parte entera y la fraccionaria obtenidas, separadas por la coma decimal


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Cocientes Residuos

29 1

14 0

7 1

3 1

1 1

29,710 Parte entera Parte decimal

29,710 11101,10112

Productos Rdos

0,7 · 2 = 1,4 1

0,4 · 2 = 0,8 0

0,8 · 2 = 1,6 1

0,6 · 2 = 1,2 1

…


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Contenidos







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Representación números enteros

Binario natural– Con p bits, Rango = [0, 2p-1]

– Ejemplo: Con p= 3 bits, rango = [0, 23-1] = [0,7]

– Problema: No permite representar números negativos.

0 2p -1

Rango

- +


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Códigos para representar números enteros:– Signo-magnitud– Complemento a 1– Complemento a 2 – En exceso a N


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Signo magnitud1. Bit más a la izquierda: bit de signo

0 para + y 1 para -

2. Resto de bits: valor absoluto

Ejemplos: 1101s-m = -510

-1010 (precisión 5 bits) = 11010s-m

-1010 (precisión 8 bits) = 10001010s-m


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Signo magnitud– Rango con p bits = [- (2p-1-1), 2p-1-1]

EjemploCon p=5, rango = [-(25-1-1), 25-1-1] = [-15, 15]

0 2p-1 -1

Rango

- +

- (2p-1 -1)


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Complemento a 1– Los números positivos se expresan igual que en

binario natural. – Para hacer los negativos se toma el

correspondiente positivo y se cambian los ceros por unos y viceversa

– Para todas las cantidades representadas, el bit de la izquierda vale 0 para el + y 1 para el -


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Complemento a 1– Rango con p bits = [-(2p-1-1), 2p-1-1]

Ejemplo– Con p=5, rango = [-(25-1-1), 25-1-1] = [-15, 15]

0 2p-1 -1

Rango

- +

- (2p-1 -1)


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Complemento a 2– Los números positivos se representan en

binario natural– Para representar un número negativo, se hace

el complemento a 1 y se suma 1 (en binario) – El bit de la izquierda vale 0 para los números

positivos y 1 para los negativos


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Complemento a 2– Rango con p bits = [-2p-1, 2p-1-1]– Ejemplo:

– Con p= 5, rango = [-24, 24-1] = [-16, 15]

0 2p-1 -1

Rango

- +

- 2p-1


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Ejemplos: Decimal a complemento a 2 (p=5 bits)- 1010 = C1 (01010) = 10101 + 1 = 10110c2

10 10 = 01010c2

Ejemplos: Complemento a 2 a decimal (p=5 bits)

00111c2 Empieza por 0 es positivo se interpreta en binario natural

Resultado: 00111c2 = 710

11011c2 Empieza por 1 es negativo Se complementa para hallar el

valor absoluto:

11011c2 = C1 (11011) + 1 = 00100 + 1 = 00101 = 5

Resultado: 11011c2 = - 510


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Exceso a N– El sistema guarda el valor más N, de forma que

el número resultante es siempre positivo– Normalmente, si tenemos precisión p: N = 2p-1

– Rango = -2p-1, 2p-1 -1– Ejemplo: exceso a 128 (27)

–310 -3+128= 12510 (= 011111012)


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Tabla de códigos, con p = 3

Nº decimal Signo-Magnitud

Complemento a 1

Complemento a 2

Exceso a N

3 011 011 011 111

2 010 010 010 110

1 001 001 001 101

0 000 000 000 100

-0 100 111 --- ---

-1 101 110 111 011

-2 110 101 110 010

-3 111 100 101 001

-4 --- --- 100 000


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Contenidos







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Representación en punto flotante

La notación en punto flotante, exponencial o científica se usa con números reales.

– Por ejemplo, la magnitud 13257.3285 se puede expresar:13257.3285 = 13257.3285·100 = 132573.285·10 -1 = 132573285·10-4 = 1.32573285·104

Forma general: N = ±M·be

– ± → Signo del número – M → mantisa en valor absoluto– b → base – e → exponente

Se dice que el número está normalizadocuando el número más significativoestá en la cifra de las unidades


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Representación IEEE 754

Representación normalizada. Base: 2 (no se representa)

N = ± M · 2e

Sólo es necesario representar el signo, la mantisa y el exponente


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Se representa:– Un campo de signo que ocupa 1 bit– Un campo de exponente (c) que ocupa nc bits– Un campo de mantisa (m’) que ocupa nm bits

El orden de almacenamiento es: campo de signo (s), campo de exponente (e) y campo de mantisa (m).

1 nc nm

s c m'


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Signo:– 0 para + y 1 para -

Exponente: – En exceso a N = 2 p-1-1, con p = número de

dígitos reservados para el exponente. El valor almacenado se denomina característica (c=e+N)


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Mantisa:1. Se normaliza el número: El exponente se ajusta de

forma tal que el 1 más significativo de la mantisa se encuentre en la posición 0 (posición de las unidades)

2. El campo de la mantisa (m’) se obtiene almacenando sólo la parte fraccionaria del número normalizado. Es decir, no se almacena la información "1.”

Ejemplo: N = 1101.01 = 1.10101·23 m’ = 10101


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Dos formatos:– Precisión simple (SP) y doble (DP)

Precisión simple: palabra de 32 dígitos– ns = 1 bits

– nc= 8 bits

– nm’= 23 bits

1 8 23

s c m'


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Precisión doble: palabra de 64 dígitos– ns = 1bits

– nc= 11 bits

– nm= 52 bits

1 11 52

s c m'


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Casos especiales:– Si c=111...1

Si m’ = 0 + ó - Si m’ <> 0 caracteres especiales

– Si c=0000...0. Excepción doble: Mantisa es 0.M’ Exponente: exceso N = 2p-1 - 2


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Precisión simple (Resumen): – Exceso normal N = 27-1 = 127– Si c=255 y m’ <> 0 M = carácter especial– Si c=255 y m’ = 0 M = (-1)s · infinito– Si 0<c<255 M = (-1)s · 1,m’ · 2c-127

– Si c=0 y m’<>0 M = (-1)s · 0,m’ · 2c-126

– Si c=0 y m’ = 0 M = 0

alejandra

Se puede incluir una transparencia de valores límite


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Un buen programador debe tener en cuenta cómo se almacenan los nº reales en el computador, ya que se pueden presentar problemas inherentes a la forma en que se representan los nº (con un número limitado de bits).


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Dificultades al obtener:– resultados intermedios, de números

excesivamente pequeños. Puede ocurrir al restar dos números casi iguales o al dividir si el divisor es mucho mayor que el dividendo. En estos casos puede perderse la precisión de los cálculos o producirse un desbordamiento a cero.

– resultados numéricos excesivamente grandes, es decir por desbordamiento. Por ejemplo, al dividir un número por otro mucho menor que él o al efectuar sumas o productos sucesivos con números muy elevados.


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Dificultades al comparar dos números :– En general una mantisa decimal no puede representarse

exactamente con nm bits, lo que genera un error "de representación". Esto da lugar a problemas al comparar la igualdad entre ellos (máxime si los números se han obtenido con procedimientos distintos), ya que el computador considera que dos números son iguales únicamente si son iguales todos sus bits.

– Luego, la detección de igualdades debe hacerse con números enteros o considerando que

x=y si y solo si |x-y| <error


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Contenidos







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Códigos alfanuméricos

Los caracteres alfanuméricos se codifican mediante un número entero.– Caracteres alfabéticos– Caracteres numéricos– Caracteres de control– Caracteres especiales

Códigos: ASCII, Unicode


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ASCII: (American Standard Code for Information Interchange)

Muy utilizado 7 bits 27 caracteres = 128 caracteres Código ASCII extendido: 8 bits 28 = 256

caracteres


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Código ASCII


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Código de algunos caracteres:

Carácter Código Carácter Código

‘a’ 97 ‘z’ 122

‘A’ 65 ‘Z’ 90

‘0’ 48 ‘9’ 57

NUL 0


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Inconvenientes del código ASCII (sobre todo con Internet):

– Los símbolos codificados son insuficientes para representar los caracteres especiales que requieren numerosas aplicaciones.

– Los símbolos y códigos añadidos en la versión ampliada a 8 bits no están normalizados.

– Están basados en los caracteres latinos, existiendo otras culturas que utilizan otros símbolos muy distintos.

– Los lenguajes escritos de diversas culturas orientales, como la china, japonesa y coreana se basan en la utilización de ideogramas o símbolos, siendo, por tanto, inoperantes los códigos que sólo codifican letras individuales.


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Unicode (ISO/IEC 10646) – Propuesto por un consorcio de empresas y entidades que

trata de hacer posible escribir aplicaciones que sean capaces de procesar texto de muy diversas culturas.

– Propiedades buscadas: Universalidad, trata de cubrir la mayoría de lenguajes

escritos existentes en la actualidad: 16 bits 65.356 símbolos Unicidad, a cada carácter se le asigna exactamente un único

código (idiogramascon imagen distinta, tienen igual código), y Uniformidad, ya que todos los símbolos se representan con

un número fijo de bits (16).


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Bibliografía

Prieto et al. “Introducción a la informática”, McGraw Hill

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