Tema 2 - Piezas Sometidas a Flexion

8/18/2019 Tema 2 - Piezas Sometidas a Flexion

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TEMA 2.PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN.

1.1) Tipos de piezas sometidas a fe!i"# .

Las piezas sometidas a flexión se denominan vigas . Pueden ser de tres tipos:

1-) Vigas de alma llena

El alma de la viga no tiene huecos . Pueden ser perfiles comerciales o vigasarmadas . Las primeras son perfiles de caractersticas especificadas en la E!-"# mientras$ue las segundas son vigas constituidas por chapas $ue se sueldan entre s.

• Los perfiles a su vez se dividen en :- %nicos o simples- &ompuestos ' varios perfiles colocados en paralelo )- (eforzados ' perfiles comerciales los cuales se refuerzan mediante chapas

soldadas a las alas o al alma .• Las armadas pueden ser en o en ca*ón .

+-) Vigas de alma aligerada .

Esta clase de vigas presentan huecos en el alma . ,e pueden constituir mediante perfiles comerciales o mediante chapas soldadas .

-)&erchas

,e usan en cuiertas de naves industriales / donde cada uno de sus elementos est0nsometidos fundamentalmente a esf. axil / aun$ue tamin se puede presentar momentoflector .

1.2) M$todo de est%dio de as &i'as .

&ual$uiera $ue sea el tipo de viga siempre se seguir0 el mismo proceso para suestudio :

1-,e realizan los c0lculos previos : Esfuerzos / movimientos ...+-2imensionamiento estudiando principalmente las tensiones 3 las deformaciones

' flechas ).-&omproación de las inestailidades siguientes :

• Pandeo local de alas comprimidas .

• Pandeo lateral del alma.

• Pandeo lateral de toda la viga.

• !ollamiento.

1.+.1) Estudio de tensiones .

-Luz de c0lculo.


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,e denomina as a la distancia de los e*es entre los apo3os . En el caso de $ue unaviga apo3e un f0rica de ladrillo o de hormigón se toma como luz de c0lculo la distanciaentre los e*es de paso de las reacciones .

-4ensiones normales .Las tensiones normales m0ximas a tracción o a compresión se otienen con la le3

de 5avier .

σmaxmax

max

6

3= ∗

3max es la distancia al c.d.g. de la sección $ue desde la fira m0s ale*ada .

En los elementos no simtricos ha3 $ue determinar cual es la fira m0s ale*ada delc.d.g. de la sección / por$ue en ella ser0 donde se produzca la m0xima tensión normal.

-4ensiones tangenciales .,on provocadas por los esfuerzos cortantes . ,e determinan mediante la Le3 de

7ouravs83

τ

τ

max

max x

x

V ,

e

, momento es

= ∗

∗= tatico de la fira donde es maxima

• En los perfiles en / $ue son los m0s usados / se pueden utilizar las siguientesfórmulas simplificadas :

•

τmediaalma

V

!=

V0lida cuando la superficie m0s pe$ue9a de las almas no supongam0s del 1# de la sección total del perfil .

• En piezas en

τ τmax media≈ ∗11/

-4ensiones de comparación .,on tensiones $ue nos sirven para determinar la resistencia de la sección .Las

tensiones otenidas se comparan con las admisiles / as es $ue hemos de comparar lastensiones en tres puntos de la pieza : donde la tensiones normales sean m0ximas'1) /donde lo sea las tangenciales'+) 3 donde lo sea el con*unto de las dos') . En una viga en esos puntos son :


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La tensión en 1 se compara con la σu del acero empleado .La tensión en + se compara con la m0xima tangencial admisile $ue es

τ σ

max

u=-

La tensión en se compara con la ; tensión de comparación ; 3 $ue es :

σ σ τco med= + ∗-+ - + tensión $ue ha de ser menor $ue la σu del acero empleado

1.+.+) Estudio de deformaciones en las vigas .

,e las denominan flechas . 6uchas veces el perfil a colocar vendr0 determinado por la flecha m0xima $ue puede presentar . Esta flecha m0xima puede calcularse por

cual$uiera de los mtodos de la resistencia de materiales . %na forma r0pida 3 areviadaes la recogida en el artculo .


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) e e e

i)

!

e

e

e

r sin rigidi

sin rigidi

/ zador

zador

= ∗ ∗ ∗ = ∗

= = ∗

∗ =

∗

1

1++>

+>

1+

+>1+

+> + -

- <

<

+

!un$ue por c0lculo no sean necesarios es conveniente poner rigidizadores en

todos los puntos donde existan cargas puntuales / los puntos de pase de las reacciones / 3en el caso de $ue una viga apo3e directamente sore un pilar .

1.+. >1

>>1<

>>1@

/

/

/

acero ! - A

acero ! - />>@ .


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+-) ,e determinan las siguientes varialesd- distancia longitudinal entre dos rigidizadores consecutivos $ue sean ultra-rgidos

α- dBha .%n rigidizador es ultra-rgido cuando su con relación al e*e contenido en el alma

sea

ha≥ ∗

1 # #>

<

/

-) &alculamos las tensiones m0ximas en la viga / 3 $ue ser0n :

τ σ σ

ϕ

σ

σϕ

ϕϕ

1 1 +

+

1

+ +

> 1

1

1

C

C

' )

C

C

' )

C

C

' )

C

' )C

=∗

=∗

+ ∗ =∗

− ∗

=≤ ≤ ⇒= − ⇒< ⇒

4

e h

5

e h

6

h 5

e h

6

h

a

c

a

a

4

a

a

4

c

D D

&omp. simple o compuesta

lexion simple

4racc. simple o compuesta

/=Cσeσ ν

σ

e

ea

tens

EE

h

=

= ∗

.

/

critica de Euler . &on acero de F >/- 3 E F +/1E@ Gg B cm es :+

1=" = <

+

#-) 2eterminamos la tensión ideal de aolladura / tanto normal como tangencial:

σ σ

τ σ

i e

i e

G

G

G

C

C

= ∗

= ∗

1

+

1 +3 G vienen indicados en la norma pag. 1#+

@-) ,e determina la tensión de comparación .Esta tensión de comparación viene indicada en el artculo .σco. estamos en el domnio pl0stico deemos calcular la tensión decomparación real σco/r $ue ser0 σco/r =(√G r )Cσco/i . 5o se produce aollamiento si σco/r ≥σco.

5otas : En los perfiles comerciales la relación

eha siempre es ma3or $ue las

restricciones impuestas en la E!-"# / no es necesario comproar la aolladura .

4ampoco es necesario comproar aolladura si toda la sección est0 traccionada .


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1.+.#) Pandeo lateral de la viga .

En toda viga existe un cordón comprimido de tal forma $ue si la viga no searriostra el pandeo la hace salir de su e*e / 3 por lo tanto se somete la viga a momentostorsores .

!rriostrar una viga es inmovilizarla transversalmente / impedir $ue la viga se salgade su plano . En el caso de la construcción de viviendas el elemento $ue arriostra la vigases el for*ado . En edificación industrial se colocan piezas transversales de forma nocontinua ' denominadas correas o arriostramientos ) .

2eeremos comproar el pandeo lateral siempre $ue no se den los siguientes casos:

1- ?alla arriostramiento continuo .+- ?alla arriostramientos puntuales a una distancia menor $ue veces el radio de

giro del cordón comprimido con relación al e*e contenido en el alma de la viga .

L i

!arriostramiento 3 cord comp3 cc

cc

≤ ∗ ≤ ∗ / . .

/

,i es necesario comproar el pandeo lateral procederemos de la siguiente forma :

1-) ,e calcula el momento crtico / $ue es el momento $ue hace $ue la viga se salgade su e*e .

Para vigas constituidas por perfiles simtricos al menos respecto de un e*e' perfiles en / % / ? ) / 3 siempre $ue la viga est iapo3ada / podemos calcular elmomento crtico de la viga con la siguiente expresión :

6l

E H cri 3 t. = ∗ ∗ ∗ ∗π

l F distancia entre puntos inmovilizados transversalmente . ,i ha3 $ue comproar una viga dada se puede partir de la situación en la $ue no existen puntos arriostrados .E F módulo de elasticidad longitudinal del aceroH F módulo de elasticidad transversal del acero ' =1>>>> 8gBcm+ )3 F momento de inercia con respecto al e*e 3t F módulo de torsión . ,e puede calcular por talas o manualmente .

,i la viga no cumple las condiciones antes indicadas el momento crtico se calculasiguiendo el ane*o .!


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El módulo de torsión ser0 :

e

t t i

i

n

t i

= ∗

= ∗ ∗

=

∑α

β

α β

/

/

1

-C)

3 se otienen de la norma / pag 1="

+-) ,e determina la σcri. / $ue ser0 el momento crtico dividido por el móduloresistente segJn el e*e x 3 calculamos el lmite de proporcionalidad σ pF>/=Cσe.

3−) ,e compara σcri con el lmite de proporcionalidad .

,i σcri ≤σ p estamos en el dominio el0stico /con lo cual no se produce pandeo si elmomento flector al $ue est0 sometida la viga es menor $ue el crtico .

,i σcri ≥σ

p

estamos en el dominio pl0stico por lo cual deemos calcular el momentocrtico real / $ue ser0 6 cri/ real F G pC6 cri / estando determinada la constante G p en la p0gina1


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En las p0ginas "-"-@## sirven para otener los perfiles $ue resistan tantoa tensión normal como a tangencial con solo introducir el momento 3 el cortante dec0lculo .

1.+ ) i'as de pe*fies *efo*zados .

&uando un perfil tiene m0s tensión o m0s flecha de la admisile es necesario tomar

un perfil ma3or / aun$ue en algunos casos es mucho m0s interesante reforzar el perfilmediante plataandas soldadas a el las cuales aumentan su inercia con lo cual sedisminu3e la tensión 3 la deformación .

Las plataandas suelen ir soldadas al perfil / en la ma3ora de los casos se colocanen las alas 3 de forma simtrica . ,in emargo ha3 veces $ue por motivos especiales esimposile colocarlas simtricamente / por lo $ue se colocan asimtricamente o serefuerza el alma .

La norma dice $ue las plataandas tienen $ue seguir la envolvente de la le3 demomentos flectores 3 $ue ha3 $ue prolongarlas al menos la mitad de su anchura desde el

punto donde de*an de ser estrictamente necesarias .

1., ) i'as m-tipes .,e usan cuando el canto $ue puede ocupar el perfil est0 limitado 3 ha3 $ue recurrir

a parear perfiles para logra $ue la estructura resista .,e usan en cargaderos / 3 es una solución ante todo antieconómica $ue $ueda

reservada para casos excepcionales .Las norma dice $ue los dos perfiles $ue forman la viga han de ir unidos

solidariamente / 3a sea con tornillos o mediante una soldadura .,e calculan como una viga est0ndar / 3 por su disposición el módulo resistente de

la viga ser0 el dole del módulo de los perfiles originales ' en el caso de $ue la viga estformada por dos perfiles ) .

1. ) i'as a*madas .

Para cual$uier caso de carga 3 de sustentación siempre es posile otener un perfilarmado $ue consumen mucho menos material $ue un perfil convencional / por lo cual esm0s arato . ,in emargo al tener $ue soldar una serie de chapas para conformar el perfilel encarecimiento originado por la mano de ora puede original $ue el perfil resulte m0scaro .

&omo hemos dicho se constru3en soldando chapas / siendo dos las formas m0sutilizadas : en 3 a ca*ón .


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,u uso de reserva a edificación industrial 3 ora civil . En el caso de la industria seemplean en el caso de vigas de grandes luces 3 elevadas cargas .

El prolema de estas vigas es su c0lculo / 3a $ue dee hacerse por tanteos / lo cualhace el proceso largo 3 pesado . ,in emargo ha3 un mtodo para lograr una primeraaproximación $ue reduzca sensilemente los c0lculos .

Primeramente fi*amos el coeficiente β en función de los lmites de comproación deaollamiento / $ue para !-/>1< . ,in emargo cuanto menor es este coeficiente

m0s se aprovecha el material / por lo cual a veces ser0 necesario elegir un β/>1< con locual deeremos comproar el aollamiento .

El módulo de inercia de la sección con respecto a x ser0 / con aproximación :

)x ) alma ) plata.andas e h !h

Kx)x

h !

Kx

h e h

Kx

h h

! ! ! e hKx

h

h hKx

h

h

!Kx

h h

p

p

total a p

total

= + ≈ ∗ ∗ + ∗ ∗

= ⇒ = − ∗ ∗ = − ∗ ∗

= + ≈ ∗ + ∗ − ∗ ∗

= ∗ + ∗ − ∗ ∗

= ∗ + ∗ ∗

1

1+ +

+

+

1

@

1

@

+ +1

@

+1

@

+1

-

-

+

+

+ + +

+

β

β β β

β

&omo Kx viene determinado por la cargas 3 β lo fi*o 3o solo me $ueda comovariale ;hI / 3 si intentamos optimizar la sección su valor ser0 :

∂∂ β

β

β

!

hh

Kx

h

h

total

optimo= ⇒ = ∗

∗ ∗

=

>-

+-

-

-

se deduce tamien : Kx F+

-

+

-

Kx

!nteriormente haamos deducido $ue el 0rea de las plataandas era:

!Kx

hh h h

e

hh e h !

Entonces ! ! ! ! ! !

p alma

total alma plataanda alma alma alma

= − ∗ ∗ = ∗ ∗ − ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗

⇒ = + ∗ = + ∗ ∗ = ∗

1

@

+

-

1

@

1

+

1

+

1

+

+ +1

++

+ + + +β β β

&oeficiente de aprovechamiento desde el punto de vista resistente .


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,e denomina as a la relación entre el módulo resistente elevado a la +B 3 el 0reatotal :

! ! e h hKx

Kx

&Kx

!

total alma

(

total

= ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗

= ∗ ∗

= =∗

+ + + +-

++ @+

1

+ @+

+

+-

1-

+-

+-

1-

β ββ

β

β

/

/

2e a$u se deduce $ue el coeficiente de aprovechamiento es alto cuando tengo

mucho Kx 3 poca 0rea / 3 esto se consigue si β es a*o . !s es $ue deer comproar aolladura cuando eli*a un β menor de >/>1< / sin olvidar $ue la norma prohie $ue seamenor de >/>>@ .

4amin se puede realizar un planteamiento similar con el fin de optimizar materialdesde el punto de vista de las deformaciones . En este caso traa*aremos con el momentode inercia 3a $ue la flecha es inversamente proporcional a l .

x e h !h

e hh

!

!x

he h

h

x

he h

x

hh

! ! ! e hx

hh h

x

hh

!

x

h h

plataanda plataanda

plataanda

total alma plataanda

total

≈ ∗ ∗ + ∗ ∗

≈ ∗ ∗ + ∗

= ∗

− ∗ ∗ ∗ = ∗

− ∗ ∗ = ∗

− ∗ ∗

= + ∗ ≈ ∗ + ∗

− ∗ ∗ = ∗ + ∗

− ∗ ∗

= ∗

+ ∗ ∗

1

1++

+

1

1+ +

+ 1

1+

+ + 1

@

+ 1

@

+< 1

-

< 1

-

< -

+

-

+

-

+

+

-

+ + +

+

+

+ +

+

+

++

β

β β β

β,i al igua

!

hh

xx

h

Entoncesx

hh

h

hh

! he

hh !

total

plataanda

plataanda alma

l $ue antes usco un optimo:

!

∂∂ β

β

β β

β

β

= ⇒ = ∗

⇒ = ∗

= ∗

− ∗ ∗ = ∗ ∗∗

− ∗ ∗

= ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗

= + ∗ = ∗

>@

@

+ 1

@+

@

1

@

1

@

1

@

1

@

<

<

+

+

<

+

+

+ +

A A 2 A+

(

Atota ama pata/a#da ama

2educimos pues $ue a menor coeficiente β ma3or x 3 por lo tanto menor flecha .!l igual $ue antes para conseguir uenos resultados deer0 hacer β pe$ue9o / con lo cuales posile $ue tenga $ue comproar aolladura .

2e las dos alturas óptimas se toma la ma3or 3 se fi*a la reacción entre 0reas enfunción de la condición m0s limitativa / 3a sea resistencia o tensión .

En estructuras de edificación ;normalI la condición m0s restrictiva suele ser laresistencia / por lo cual lo m0s haitual es tomar la ;hI óptima dada por la resistencia 3comproar despus las deformaciones .

1.0 ) i'as a&eoadas .


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,e forman a partir de perfiles normalizados / normalmente P5 o PE / $ue secortan / se superponen 3 se sueldan / con lo cual se aumenta el canto 3 el momento deinercia / logrando as $ue la viga tenga menos deformaciones 3 tensiones para las mismascargas . En ocasiones las vigas alveoladas se peraltan ' se aumenta su canto soldando

chapas intercaladas ) .!dem0s los alveolos permiten el paso de conducciones .

,u uso se reserva para cargas uniformemente distriuidas / 3a $ue la existencia decargas puntuales elevadas hace $ue la viga no pueda calcularse por los mtodos dec0lculo disponiles .

El c0lculo de vigas alveoladas se aseme*a al c0lculo de las vigas Vierendel / $ue sonvigas formadas por perfiles unidos en nudos rgidos 3 de la forma $ue se aprecia en lafigura . ,i una viga Vierendel est0 sometida a una carga uniforme los momentos flectoresson nulos en los puntos medios de las arras / pudindose aseme*ar a $ue existe en dicho

punto una articulación .En las vigas alveoladas tamin se suponen articulaciones / aseme*0ndolas a una

Vierendel .

2enominamos paso a la distancia de corte comprendida entre dos puntosgeomtricamente iguales .

Para estudiar la viga cogeremos un tramo de viga comprendida entre articulaciones3 la supondremos sometida a flexión simple .


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-) &omproación del cordón .

El cordón es la zona de la viga $ue est0 sometida a esfuerzos axiles ' zona ralladade la figura ) / estos esfuerzos son deidos al momento flector al $ue est0 sometida laviga . Las tensiones en este cordón son :

[ ]

σ 6cordon c o c

o c

6z

!

6

7 !

6

v !

2efinimosv !

cm

C

CC C

= =∗

=∗ ∗

= ∗ ∗−

+

1+

-la constante G 1

El cordón plastificar0 cuando la tensión alcance el lmite Jltimo / 3 ste aparecer0cuando el momento tenga un valor $ue denominaremos momento Jltimo / entonces :

σ

σ σ

%

%

o c

%

%

6

v !

Entonces6

6

=∗ ∗

⇒ = ∗

+

6

C

C

C

!dem0s el cordón superior se puede considerar empotrado en !-! con lo cualhar0 unas tensiones normales deidas al momento $ue provoca la carga puntual de valor 4CB+ .

6f 64 P 4 P

6

)3

4 P

)v

de.ido a 4 4C

de.ido a 4 4C

c

a

C

C

= = ∗ = ∗

= = ∗ = ∗

∗ ∗

C C

C

+ @ 1+

1+σ σ


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[ ]

2e igual forma $ue antes la se alcanza cuando aparece el cortante ultimo

con lo $ue podemos afirmar :

la constante G

u

u u

+u

σ

σ σ σ

σ

= ∗

∗ ∗ ⇒ = ∗

= = ∗∗−

4 P

v

4

4

2efinimos4

P v

cm

u

ca 4C

u

u

a

c

1+

1++

C

Para comproar el peor de todos los casos tomamos como valor de las tensionesnormales la suma de los dos trminos en valor asoluto / con lo $ue tenemos :

( )

σ σ σ σ σ σ4M4 6 4u

uu

u

u u

u

u

uu

u

u

c a

6

6

4

4

6

6

4

4

6

44 6

,e demuest

&6

4

G

G

! v P v

= = + = ∗ + ∗

+ ≤

+ ∗ ≤ ⇒ + ∗ ≤

+ ∗ ≤

= ∗ ∗ ∗ + ∗

= = = ∗ ∗ ∗

∗

C C C

C C

C C

C

Para $ue la viga resista ha de cumplirse

6ultiplicando la relacion anterior por 6 tenemos :

6

' momemto total al $ue esta sometida la viga )

ra facilmente $ue la constante & vale :

C

1

@+

1

>

M T M

M T M

%

%

TOT

c o

* *

1

2 A v M C T

c

La viga se ha de comproar en el punto donde la cominación de el momentoflector 3 la constante & por el cortante es m0xima .

-) &omproación del tirante .

El tirante es la parte central de la viga alveolada . Para su estudio eliminaremos la parte inferior de la figura anterior / con lo $ue nos $ueda :


14/15

= ∗ − ∗ − −

∗ = ⇒ = −

∗

∗

⇒ = ∗ = ∗ = ∗∗

∗ ∗∗

= ∗∗

≤

=

∑ ? v 4 P4 P

? 4 P

v

??

!

4

vP

Pe

4

v e

o6oo

med

maxu

u

C

C C C

C C

C

C C C

C C

C

C

C

/

+ + + +>

+ +

-

+

-

+

-

+ +

1

-

"

< -

>

>

5ormalmente es despreciale frente a 4 3 haitualmente vale > / ademas si lo

despreciamos estamos del lado de la seguridad .

provoca tens tang .

El cortante para el cual se denomina cortante ultimo N /

C

max

max 1

τ τ

τ σ

τ τ su valor es :

N1 = ∗ ∗ ∗

≤

σ u v e-

<

">

La &i'a es &aida si T 3

1

!dem0s ?C provoca flexión / $ue ser0 variale a lo largo del montante . ! unadistancia x / 3 en una sección de longitud h valdr0 :

σ

σ

σ

C

C C C

= ∗

∗ ∗

∗ = ∗ ∗

∗

= ∗ ∗ ∗

∗ ∗

= ∗ ∗ ∗

∗ ∗

? x

e h

h ? x

e h

4 P x

e h v

e h v

P x

11+ +

@ -

-

- + +

>

+

>

El valor de 4 C para el cual la tension vale se denomina N

N ' este valor tamien se otiene de talas )

La viga es valida si el cortante al $ue esta sometida es menor $ue N

u +

+

u

+

-) Estailidad del cordón .

!l estar comprimido el cordón puede pandear . El cortante para el $ue esto ocurrees :


15/15

NE e

v

v a

v

a

N N

N N N N N

N N

cri

cri

cri cri

cri cri

= ∗

∗ ∗

∗ − ∗ − ∗∗

=

− ≥ ∗ ⇒ ≤

− ∗ > ≥ ⇒ ≤ ∗ +

− > ⇒ ≤ ∗

-

>

>

>

+ +

+ + +

+

11=

< > = +

-

1 +

+ +1

-

-+

-

/

/

)

) ' )

)

distancia entre el centro de la viga 3 el aligeramineto

F 6itad de la altura del peralte . ,i no lo ha3 es > .

,e puden dar varios casos :

N la viga es estale si N

la viga es estale si N

N la viga es estale si N

N es el cortante en la viga .

C

C

C

C

-) 2eformaciones en la viga .

La flecha en la viga est0 provocada por el flector 3 el cortante . La flecha de eflector so otiene como en los casos haituales / es decir mediante la resistencia demateriales variando la inercia de la viga . ,e tomar0 como momento de inercia de la vigael de los cortantes m0s la mitad del momento de inercia del montante .

( ) ! v

e a

f f f

f N

! H

6 c c

6 4

4a

= ∗ ∗ + ∗ + ∗ +

= +

=∗

+ +->

+

-

C)

!a e v

a a a

V p

a

v

e v p

c

= ∗

∗∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ +

∗+ ∗

∗ + ∗+ ∗

∗ ∗+

>

+>/AA>/+

->/-A# + -

-

>+ >/@

+ -

>

>/>>>#"->

+

>/1@@A' )

Tema 2 - Piezas Sometidas a Flexion

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