TEMA 2. GEOMETRIA 3º ESO 2011 - IES Nou Deramadoriesnouderramador.edu.gva.es/dibujo/eso2/imagenes...

3º ESO

TEMA 2. GEOMETRÍA

Departamento de

Artes Plásticas

y Dibujo

1

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

REPASO GEOMETRÍA PLANA Departamento deArtes Plásticas

O

P

radio

(r)

diámetro(d)

O

tangente (tg)

secante

O

segmento circular

sector circular

O

o1

o2

o3

o1 circunferencia secante

tg

o2 circunferencia tangenteo3 circunferencia exterior

O

o2

o1 circunferencia interior

tg

o2 circunferencia tangente exterioro3 circunferencia tangente interior

o3

o1

O

d

b

b

d

ángulo inscrito

ángulo central

O

a

d

a

d

ángulo exterior

ángulo central

a=

si d = 180 entonces b = 90

w

w

d-w2

b=d/2

ARCO CAPAZ

a

a

A B

ARCO CAPAZ de 90º

a

Polígono INSCRITO Polígono CIRCUNSCRITO

M N1 2 3

1

2

3

TEOREMA THALES

rP

PERPENDICULAR por elExtremo de una semirrecta

r

P

PERPENDICULAR a por un punto P de r

una recta r

r

A

PERPENDICULAR por un punto A exterior

a una recta r

r

A

PARALELA por un punto A exterior

a una recta r

M N

MEDIATRIZ de un SEGMENTOBISECTRIZ de un ANGULO

r

t

BISECTRIZ de un ANGULO POLÍGONO IRREGULAR

POLÍGONO REGULAR POLÍGONO EXTRELLADODIAGONALES de un polígono APONEMA de un polígono

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

REPASO GEOMETRÍA PLANA Departamento deArtes Plásticas

TRIÁNGULO EQUILÁTERO TRIÁNGULO ISÓSCELES

a b

cA B

C

a=b=c

a b

c

a=b=c

TRIÁNGULO ESCALENO

ab

c

a=b=c

Según sus lados

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

A

a > 90º

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a=90º

Según sus ángulos

a b c < 90º

a = ALTURAS

Puntos y rectas NOTABLES de un triángulo

a

B

C A A

O

O = ORTOCENTROm = MEDIANAS

mB

B = BARICENTRO

b = BISECTRICES

bI

I = INCENTROcircunferencia inscrita

d = MEDIATRICES

dC

C = CIRCUNCENTROcircunferencia circunscrita

circunferencias EXINSCRITAS

Lineas rectasPARALELAS Lineas curvas PARALELAS PERPENDICULARES

90ºHORIZONTALES

VERTICALES

OBLICUAS

MATERIALES UTILIZADOS EN DIBUJO TÉCNICO

Mesa de dibujo técnico y paralex Paralex casero

Escalímetros y plantillas de letras. Reglas y plantillas: escuadra, cartabón, bigotera, Plantillas de letras, círculos, curvas y elipses. plantilla de curvas

LÁPICES

NOMENCLATURA LÁPICES GRAFITO

LÁPIZ DUREZA APLICACIÓN

8B,7B6B

EXTRABLANDA

SOMBREAR.DIBUJO ARTÍSTICO

5B,4B3B

MUY BLANDA

CROQUISDIBUJO ARQUITECTURA

2B, BHB

BLANDA DIBUJOS, ESCRITURA

F - H2H, 3H4H, 5H

DUROS OMUYDUROS

DIBUJOS TÉCNICOSCARTOGRAFÍAPLANOS

RELACIÓNDE NUME-RACIÓN

2B 0

B 1

HB 2

2H 4

4H 6

enlaces al archivo de materiales.Compases

Cuchillas, rotuladores y estilógrafos

Cómo sacar punta a un compás o lápiz

medidores de curvas y

6

TEMA 1. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS.

Ideas:Los elementos que vamos a ver durante todo el curso son objetos que se distribuyen a lo largo de un plano con

diferentes objetivos: representar la realidad del espacio en dos dimensiones o bien representar las tres dimensiones.

Todas estas representaciones o dibujos están bajo ciertos condicionantes muy importantes: primero han de ser muy

precisos para que sean realmente útiles. Segundo, han de seguir una Norma, es decir un acuerdo internacional

para que en todas partes sea igual. Hay que tener en cuenta que el dibujo técnico es un lenguaje gráfico universal y

como medio de expresión se tiene que entender por todos los que participen en este lenguaje. Por todo ello el

resultado de nuestro trabajo ha de ser CLARO y LIMPIO, que no ofrezca confusión ni que hayan elementos que

nos puedan distraer. Todos los datos han de ser rigurosos y ofrecernos toda la información necesaria.Los elementos que antes mencionábamos y en lo que está basado el dibujo técnico son, por orden de simpleza:

EL PUNTO: El punto en realidad sólamente existe como idea

filosófica, puesto que realmente no existe: no tiene dimensiones. Sin embargo nosotros lo vamos a utilizar mucho.La forma más usual de representar El punto será como una mancha

muy pequeña, redonda y rellena o bien como la intersección de dos

rectas también pequeñas.Se se nombra con letras mayúsculas, A, B, C, M, N, O. P,......Un punto en el plano, es un punto PROPIO. Un punto en el infinito será

un punto IMPROPIO.

LA LÍNEA: La línea solamente exíste a medias, un poco también como

idea filosófica pero que también se utiliza bastante: solamente tiene

una dimensión (1d): la longitud. Por lo tanto se puede medir su

longitud.La forma de representar la línea se mediante la consecución de

multitud de puntos muy juntos y alineados: la línea es una consecución

alineada de puntos. Puesto que la linea está compuesta por un punto

detrás del otro, cuando dos línea se cortan, su intersección,

obviamente, será un punto.Las líneas pueden ser: curvas, rectas, quebradas, mixtas. Hay una línea recta cuando se unen dos puntos en su mínima

distancia.No tienen principio ni final; el inicio y el final de una recta estará en el

infinito, en un punto impropio.La forma de denominar a una recta es con letras minúsculas,

normalmente consonantes: r, s, t, u , v, etc.Cuando un recta tiene un inicio en el plano y el final en el infinito se

llama semirecta.Cuando se acota una recta por medio de dos puntos el resultado se

llama SEGMENTO. Los segmento más normales que vamos a utilizar

son los segmento rectos. Los segmentos se denominan con los

nombres de los puntos que acotan dicho segmento: AB. MN, PQ,.

También se pueden nombrar con una letra minúscula.Según la disposicion espacial en el plano y el ángulo que forman con

otras rectas tenemos la siguiente clasificación:

A

P

linea recta

linea curva

linea quebrada

linea mixta

dos puntos

tipos de líneas r

s

t

u

B

Segmento AB

M NSegmento MN

A

P Semirecta

Horizontal

Vert

ical

Oblicua

Perpendiculares

Forman 90º entre sí.

Diagonal

Paralelas

No se cortan nunca y si lo hacenes en un punto Impropio

7

EL PLANO: El plano existe a medias puesto que solamente tiene dos

dimensiones (2D): el ancho y el alto.A los planos los llamamos por medio de letras griegas: a, b,w, etc.Los planos también son infinitos y los acotamos por donde a nosotros

nos conviene. Un plano se puede definir como la intersección de tres

rectas entre sí. Dos planos pueden cortarse. La intersección de dos

planos que se cortan es una recta. Los planos también se

representan mediante las rectas que forman en las intersecciones de

otros planos.Todo lo estudiado en este tema serán las construcciones geométricas

que precisamente solamente tienen dos dimensiones y se

representan precisamente en un plano (que se puede considerar

nuestras láminas de dibujo).

EL VOLUMEN: Cuando trabajamos con tres dimensiones (3D),

estamos ante el volumen o el espacio. Una figura con volumen tiene

ancho, alto y profundo y ocupa un lugar en el espacio. El espacio y el

volumen se pueden representar en el plano mediante los diferentes

SISTEMAS DE REPRESENTACION que estudiaremos en temas

posteriores.

a

Plano alfa

r

s

t

Ancho

Alto

Profundo

Hexaedro o cubo

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS.

Para la correcta realización de los diferentes trazados geométricos

necesitamos saber el manejo preciso de todos los instrumentos de

dibujo: escuadra y cartabón, compás, lápices, transportador de

ángulos, etc. Además se necesita una cierta actitud como limpieza,

orden, precisión, claridad, ...En todo trazado geométrico distinguiremos siempre tres fases de

realización:1.- El conocimiento de los datos previos.2.- Las operaciones gráficas.3.- El resultado final.En la representación gráfica (dibujo) diferenciaremos cada una de

estas fases del proceso por el grosor y la visualización del trazado de

las líneas: los datos de partida y las líneas auxiliares que nos ayudan

a construir irán en línea muy fina y en un tono muy claro; los datos o

elementos importantes irán en líneas de grosor medio o tono medio;

el resultado final irá en línea gruesa y en un tono oscuro. Para ello

utilizaremos un lápiz de grafito duro, como puede ser el 4H, siempre

sin apretar y con suavidad, afilado y marcando más fuerte el

resultado.

Para dibujar utilizaremos un lápiz

afilado, fino y de dureza alta: un

4H o bien portaminas de 0,5 mm.

Datos: f ino y gr is medio.

Construcciones: fino y claro

Resultados: más oscuro y grueso

Primeras construcciones: PARALELAS con las reglas.

Las rectas paralelas NUNCA se cortan.Para empezar construiremos paralelas con la escuadra y el cartabón.

Mira atentamente el gráfico donde se explica como utilizar las reglas

para hacer paralelas horizontales, verticales y diagonales, así como

los ángulos que se pueden construir con ellas.

Tanto el lápiz como el compás

han de estar siempre bien afilados

papel de lija

Método para coger bien las reglas

Angulo: 90º

Angulo: 45º Angulo: 45º Angulo: 60º Angulo: 30º

Angulo: 90º

ESCUADRA CARTABÓN

Fecha

Nº de lámina Título de lámina

Curso

Nota

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS

Nombre de Alumno

3 cm 3 cm

1 c

m1 c

m

Lámina Nº 1: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS I. ÁNGULOS CON REGLAS

MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico.

REALIZACIÓN: Una sesión 50 minutos

PASOS: 1. Dividir la lámina en cuatro (4) partes iguales2. En la primera parte dibujar líneas rectas paralelas horizontales a 0,5 cm de distancia. 2.2. Dibujar una linea diagonal que forme con las horizontales un ángulo de 75º. Este ángulo se realizará con la escuadra y el cartabón. (figura 1)

3. En la segunda parte dibujar líneas rectas verticales a 0,5 cm de distancia. 3.2. . Dibujar una linea diagonal que forme conla horizontal un ángulo de 60º. Este ángulo serealizará con el cartabón. (figura 2)

4. En la tercera parte dibujar líneas rectas diagonales a 0,5 cm de distancia con un ángulosobre la horizontal de 30º. Realizarlo con el cartabón. (figura 3) 4.2. . Dibujar una linea diagonal que forme con las paralelas de 90º (ángulo recto). Este ángulose realizará con la escuadra y el cartabón. (figura 3)

5. En la cuarta parte dibujar líneas rectas diagonales a 0,5 cm de distancia con un ángulosobre la horizontal de 45º en los dos sentidos.Realizarlo con la escuadra y el cartabón. (figura 4) 5.2. . Las diagonales deberán formar entre sícuadrados de 0,5 cm de lado por lo tanto las dos diagonales deberán formar un ángulo de 90º.(figura 4)

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

90º

30º

75º 60º

45º

90º


1 c

m1 c

m

(figura 4)(figura 3)

(figura 1)

REALIZACIÓN del CASILLERO para anotar los DATOS de la LÁMINA y del AUTOR: Se realizará un casillero con dos rectas paralelas horizontales a 1 cm de separación entre ellas. Dentro del margen.Dibujar dos paralelas verticales a 30 mm. de los márgenes derecho e izquierdo respectivamente.El casillero se realizará a lápiz 2H o 4H sin apretar y los datos se escribirán en MAYÚSCULAS y con letra pequeña.

75º(figura 2)

60º

30º

90º90

º

45º

90º

45º

45º

90

º

30

º6

0º

(figura 1)90º

45º

45º

90º

30º60º

(figura 2)

90º

45º 45º

90º

30º

60º

75º

90º

45º45º

90º

30º 60º

120º60º

90º

45º45º

90º

30º 60º30º

(figura 3)

90º

45º 45º

90º

30º

60º

90º

90º

45º 45º

45º

(figura 4)

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

90º

30º

75º

60º

45º

90º

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLASI. ÁNGULOS

Departamento deArtes Plásticas

10

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina Nota:



Curso:90º

45º45º

90º

30º

60º90

º45

º

45º

90

º

30

º6

0º

1

3

90

º

45

º4

5º

90º

30º

60º

90º

45º

45º

90º

30º

60º

1

2

90º

45º

45º

90º

30º

60º

2

90º45º

45º

90º

30º60º3

90º

45º 45º

90º

30º

60º

75º

90º

45º 45º90º

30º

60º

135º

1

290º

45º 45º

45º

horizontal vertical

90º

45º 45º

90º

30º

60º

105º

90º

45º

45º

90º

30º

60º

105º

90º

45º

45º

90

º

30

º6

0º

120º

90º

45º45º

90º

30º 60º

120º60º

45º 135º75º-105º

1

2

3

60º-120º

90º

45º

45º

90º30º

60º

150º

150º-30º

90º

45º45º

90º

30º 60º

30º

150º

cuadrado

90º

45º45º

90º

30º

60º

1

90

º

45

º4

5º

90º

30º

60º

2

11

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina Nota:



Curso:90º

45º45º

90º

30º

60º90

º45

º

45º

90

º

30

º6

0º

1

3

90

º

45

º4

5º

90º

30º

60º

90º

45º

45º

90º

30º

60º

1

2

90º

45º

45º

90º

30º

60º

2

90º45º

45º

90º

30º60º3

90º

45º 45º

90º

30º

60º

75º

90º

45º 45º90º

30º

60º

135º

1

290º

45º 45º

45º

horizontal vertical

90º

45º 45º

90º

30º

60º

105º

90º

45º

45º

90º

30º

60º

105º

90º

45º

45º

90

º

30

º6

0º

120º

90º

45º45º

90º

30º 60º

120º60º

45º 135º75º-105º

1

2

3

60º-120º

90º

45º

45º

90º30º

60º

150º

150º-30º

90º

45º45º

90º

30º 60º

30º

150º

cuadrado

90º

45º45º

90º

30º

60º

1

90

º

45

º4

5º

90º

30º

60º

2

12

90º

45º 45º90º

30º

60º

ENUNCIADO Y PASOS: 1º Dibujar la figura propuesta con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.

Lámina Nº 2: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II. FIGURAS


REALIZACIÓN: sesiones de 30 minutos cada figura.

30 mm. mm.20 mm.20 mm.20

1.- Dibujar una línea recta en la base del recuadro

donde se va a ralizar el diseño.

En la línea recta se marcan las medidas principales:

30mm. y tres de 20 mm.

30 mm. mm.20 mm.20 mm.20

60º

60º

135º

90º

45º 45º

2.- Dibujar los ángulos con la escuadra y el cartabón.

Desde el punto indicado del vértice del ángulo poner

el ángulo de 60º con el cartabón. El ángulo de 135º

puede realizarse con la combinación de las reglas o

bien con el ángulo suplementario: 45º con la

escuadra.

3.- Realizar la verticales y paralelas por las zonas

marcadas.

4.- Marcar las cotas verticales 50 mm, 20 mm, 16 mm.

5.- Marcar los ángulos en los vértices indicados

como en el punto 2.

20

mm

.

mm

.5

0

mm

.1

6

30º

60º 60º30º

6.- Unir los extremos superiores, los puntos A y B.

Hallar el punto medio con la mediatriz de AB.

Dibujar un arco de circunferencia de diámetro AB

A B

7. Realizar paralelas a 0,5 cm en el interior de toda

la figura. Marcar más oscuro o a color la figura

completa.

Para realizar la SEGUNDA figura, elegir UNA, la que más

te guste o diseña tú una nueva. Se trata de que utilices

la escuadra y el cartabón para realizar horizontales,

verticales y oblicuas, paralelas, perpendiculares y

diagonales.

La figura puede decorarse en blanco y negro, con manchas

negras o bien pintarlos y realizar una decoración en color.

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II

Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.

Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

mm.20 mm.20 mm.20 mm.30

mm.70

mm

.5

0

mm

.2

0

135º

30º60º

60º mm

.1

6

LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO:

Lámina nº : PARALELAS Y PERPENDICULARES III. Con compás

Para la realización de las siguientes construcciones hay que tener en

cuenta todo los visto anteriormente y seguir los pasos meticulosamente.1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir. Es la

distancia que hay de un punto de un extremo al otro extremo. Esa

distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o bien solamente gráfica

(la distancia que se puede medir mediante el compás).Para realizar este ejercicio se utilizará el compás y se sumaran las

distancias gráficas.

2.-Resta de segmentos: El ejercicio es igual que el anterior pero en

este caso se resta a la primera distancia la segunda distancia con el

compás.

3.-Multiplicar un segmento: Como en matemáticas, se suman

consecutivamente las unidades tantas veces como se quiera

multiplicar.

4.- Dividir un segmento por 2 (MEDIATRIZ de un segmento) Para realizar una mediatriz de un segmento se pone el compás en un

extremo del segmento y se abre éste un poco más de la mitad del

segmento. Se traza una semicircunferencia. Estos mismos pasos se

realizan en el otro extremo del segmento.

La mediatriz es el primer elemento complejo de geometría y se utiliza

muchísimo en dibujo. La característica geométrica de la mediatriz es

que si de cualquier punto de ella lo unimos a los extremos del segmento

la distancia del punto a un extremo y al otro es la misma.

LUGAR GEOMÉTRICO: Un lugar geométrico es cuando hay una

agrupación de puntos que tienen en común alguna ley matemática o

geométrica. Lugar geométrico son: la mediatriz, la bisectriz, la

circunferencia, la potencia de un punto, el arco capaz, etc. Ejemplo:

La MEDIATRIZ es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que

unidos a los extremos de un segmento son equidistantes.

5.- Dividir un segmento en partes iguales. (Teorema de Thales).Para dividir un segmento en cualquier número de partes iguales hemos

de dibujar una recta por el extremo del segmento. La distancia y el

ángulo pueden ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner la

misma medida tantas veces como queramos dividir el segmento (ver

suma de segmentos). Con la última medida: unirla con una recta al otro

extremo del segmento. Por último dibujar paralelas a esta última recta.

TEOREMA DE THALES: Si un haz de rectas paralelas son cortadas por

dos recta no paralelas (que se corten entre sí) todos los segmentos

resultantes son PROPORCIONALES. Esta es una proporcion directa:

varian de tal forma que se razón permanece constante. a/b=c/d=p/q= k

(se verá más adelante en la PROPORCIONALIDAD DIRECTA).

Suma los siguientes segmentos

A B

CAB

Datos:

Realización:

B C

Resta los siguientes segmentos

A B

A C

Datos:

Realización:

A CB

Resultado

Resultado

Multiplica el siguiente segmento por 3.

A B

A B

Divide el segmento MN por 2 (MEDIATRIZ de MN)

M N

División de un segmento en partes iguales.(TEOREMA DE THALES)

M N

a

b

c

a´ b´ c´

M Na´ b´ c´

Relación de proporcionalidad:

a´

a=

b´

b=

c´

c

14

6.- Dividir un segmento en partes proporcionales. (Teorema de

Thales).Para dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos

dados hemos de actuar igual que con el ejercicio 5: hemos de dibujar

una recta por el extremo del segmento. La distancia y el ángulo pueden

ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner las medidas de los

segmentos dados (se hace con el compás). Con la última medida del

último segmento: unirla con una recta al otro extremo del segmento. Por

último dibujar paralelas a esta última recta por los extremos de los

segmentos dados.

7.- Levantar una perpendicular por el extremo de una semirecta:Poner el compás en el extremo de la semirrecta (A). Abrir el compás

con una medida cualquiera. Dibujar una semicircunferencia. Donde la

semicircunferencia corta a la semirecta, punto M, poner el compás, y sin

mover la anchura, dibujar otro arco que corte al primero en N.

Igualmente, desde N, dibujar otro arco que vaya desde el extremo de la

semirecta. Cortará al primer arco en O. Desde O, dibujar otro arco hasta

que corte en P. Se unen P y A con una recta.

8.-Dibujar una perpendicular a la recta s por un punto de la recta

dado P.Se pone el compás en P y se abre con una distancia cualquiera.Se dibuja un arco de circunferenica que corte a s en dos partes.M y N son dos puntos que equidistan de P, luego P es el centro de un

segmento formado por M y N. Para hallar la perpendicular se dibuja la

mediatriz de MN.

9.- Dibujar una perpendicular a la recta t por un punto exterior a la

recta dado P.El ejercicio es idéntico al primero, pero en este caso el punto P está

fuera de la recta.

10.- Dibujar una recta paralela a otra y que pase por un punto.Dada la recta u y el punto P, exterior a ella.Dibujar un arco de circunferenica, con centro en P y que corte a u, con

un radio cualquiera. Este arco corta a u en M. Desde M dibujar el mismo

arco, esta vez que pase por P, cortará a u en N. Con el compás se mide

la distancia que hay de N a P y trasladar esa distancia desde M hasta

que corte al arco que pasa por M = O. Unir O y P mediante una recta.

TEORIA DE LAS PARALELAS: Cuando un par de rectas paralelas son

cortadas por un haz de rectas también paralelas, los segmentos

producidos son IGUALES y los ángulos también.

División de un segmento en partesproporcionales.

M N

a

a´ b´ c´

A

B

C

B

C

D

b

c

Segmentos dados

Ejerciciob

c

a´

a=

b´

b=

c´

c

rA

M

NO

P Perpendicular auna semirecta.

s

P

M

N

P

t

M N

a

P

uM

N

a

b

c

d

a=b=c=da

b

En un trapecio la base menor es igual queel producido por dos lados paralelos desdeuno de sus vértices.

16

1.- Suma los siguientes segmentos

A B

2.- Resta los siguientes segmentos

4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)

5.- Divide el segmento MN por 3División de un segmento en partes iguales(teorema de Tales)

6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales alos siguientes segmentos(teorema de Tales)

7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta 8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r

9.-Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto Aexterior a ella.

10. Dibuja una paralela a la recta r por un punto Aexterior a ella.

B C C D

A B

A B A C

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS


P

t

M N

M N

M N

A

B

C

B

C

D

b

c

a

P

u

s

P

rA

17

3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3)


7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta 8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r


Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS.


P

t

M

N

M N

a

a´ b´ c´

A

B

C

B

C

D

b

c

b

c

a

P

uM

N

s

P

M

N

rA

M

NO

P

10. Dibuja una paralela a la recta r por un punto Aexterior a ella.

A B B C C D

A B

A B A C

M N

A B CDAD A C

B

A

a

a a aD

4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)

1.- Suma los siguientes segmentos 2.- Resta los siguientes segmentos


18


M N

a

b

c

a´ b´ c´

Taa´

=bb´

=cc´

a= b = ca´= b´= c´

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota



1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir.

Es la distancia que hay de un punto de un extremo al otro

extremo. Esa distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o

bien sólo gráfica, es decir, la medida del segmento se traslada

con el compás y no nos importa cuánto mide en cm.

Para realizar el ejercicio se dibuja una línea recta cualquiera

y sobre ella se traslada, con el compás, las diferentes

medidas de AB, BC y CD.

A B B C C D

A B C DAD

1.- Suma los siguientes segmentos

A B A C

A C

B

2.- Resta los siguientes segmentos

2.- Resta de segmentos. AC-AB.Sobre una línea recta cualquiera situar la medida del

segmento mayor AC y después desde A situar la medida de

AB. El resto de AC-AB será BC.

A B

A

a

a a a

D


3.- Multiplicación de segmentos. AB X 3Sobre una línea recta cualquiera situar la medida del

segmento a (AB) son el compás tres veces de forma

consecutiva.

M N

4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)4.- División de un segmento en dos partes iguales.Dibujar la MEDIATRIZ de un segmento, (MN).1. Se dibuja un arco de circunferencia cuyo centro es un

extremo del segmento, M por ejemplo, y cuyo radio es mayor

que la mitad del segmento (se abre el compás a ojo

claramente mayor que la mitad. Se puede coger como radio

NM).2. Sin tocar el compás y con el mismo radio se coloca en N y

se dibuja otro arco.3. Se une P y Q que son los puntos donde se cortan los arcos.Ser precisos al unir los puntos y que pasen solo por P y Q.Señalar más oscuro o con color fino la mediatriz.

P

Q


M N

a

b

c

a´ b´ c´

5.- División de un segmento en diversas partes IGUALES.1. Dibujar el segmento MN.2.Trazar una línea recta desde M y con cualquier ángulo (no te

quedes corto, da igual que pase de N.3. Poner medidas IGUALES sobre la recta dibujada. En este

caso del ejercicio 3 medidas iguales.4. Por el último extremo de las 3 medidas, el punto T, dibujar

una línea que lo una con N.5. Trazar PARALELAS a TN por los puntos anteriormente

marcados. 6. Estas paralelas cortarán al segmento MN en tantas partes

IGUALES como nos piden en el ejercicio. - El ejercicio estará MAL si primero intentamos o ponemos las

medidas en MN y luego hacemos paralelas para cortar MT. - El ángulo que forma NT NO TIENE POR QUE SER RECTO

90º. por lo tanto no dibujar la perpendicular primero y luego

dividir, si MT queda antes o después de N no importa.

Taa´

=bb´

=cc´

a= b = ca´= b´= c´

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota




M N

a

a´ b´ c´

A

B

C

B

C

D

b

c

b

c

a

6.- División de un segmento en diversas partes

PROPORCIONALES. Teorema de Thales.1.Dibujar el segmento MN.2.Dibujar una línea recta desde M y con cualquier ángulo. La

distancia de esta recta es suficiente para contener a, b y c.3.Desde M situar en la recta anterior, y con el compás, las

medidas de los segmentos a, b y c. Empezar por ejemplo por

AB. Desde M situar la medida de AB.4. Desde B situar la medida de BC y desde C situar con el

compás la medida de CD.5.Unir D con N mediante una línea recta.6.Dibujar paralelar a DN por C y por B hasta que corten a MN.

- El ejercicio estará MAL si primero intentamos o ponemos las

medidas en MN y luego hacemos paralelas para cortar MT.- La suma de a+b+c NO ES IGUAL que MN, es

PROPORCIONAL - El ángulo que forma NT NO TIENE POR QUE SER RECTO

90º. por lo tanto no dibujar la perpendicular primero y luego

dividir, si MT queda antes o después de N no importa.

A

B

C

D

A´ B´ C´ D´

aa´

=bb´

=cc´

7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta

rA

M

NO

P

7.- Dibujar una perpendicular por el extremo de una

semirecta. A1. Poner el compás en el punto A y abrirlo con un radio

cualquiera.2. Trazar un arco hasta que corte a r. (la semirecta)3. Donde a cortado el arco a la semirecta, el punto M, y con el

mismo radio anterior, poner el compás( sin mover el radio).

Este nuevo arco cortará al primero en el punto N.4. Poner como antes el compás en N y dibujar un nuevo arco

que pasará por el punto A y que cortará al arco anterior en el

punto O.5. Poner el compás en O y dibujar un nuevo arco que corte al

anterior en el punto P.6. Unir el punto P con el punto A.7. Marcar más oscuro o en color fino la perpendicular.

8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r

s

P

M

N

8.- Dibujar una PERPENDICULAR a la recta s y que pase

por el punto P perteneciente a s.1. Poner el compás en el punto P y abrirlo con cualquier radio.2.Dibujar un arco cualquiera que corte la recta s en dos

puntos M y N.3. Los punto M y N son los extremos de un segmento el MN.4. Dibujar la MEDIATRIZ del segmento MN como en el

ejercicio 4. La mediatriz de MN será la PERPENDICULAR a s

que además pasa por P.


P

t

M

N

9.- Dibujar una PERPENDICULAR a la recta t y que pase

por el punto P exterior a la recta t.Igual que en el ejercicio 81. Poner el compás en el punto P y abrirlo con cualquier radio

siempre que corte a la recta t holgadamente.2.Dibujar un arco cualquiera que corte la recta t en dos

puntos M y N.3. Los punto M y N son los extremos de un segmento el MN.4. Dibujar la MEDIATRIZ del segmento MN como en el

ejercicio 4. La mediatriz de MN será la PERPENDICULAR a t

que además pasa por P.

LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO:

Lámina nº 6: ÁNGULOS

Un ángulo se forma cuando dos rectas se cortan. El punto de

intersección es el vértice y las rectas los lados de los ángulos que se

forman. Se puede decir que un ángulo es la parte del plano limitada

por dos semirectas, llamadas lados, que parten de un mismo punto,

llamado vértice.Los ángulos se nombran con letras griegas a, b, c, minúsculas o con la

misma letra que su vértice (que es un punto).Los ángulos se miden en grados, con un transportador. Cada grado

tiene 60 minutos y cada minuto 60 segundos.- Cuando un ángulo mide 90º se llama ángulo recto.- Si mide 180º, ángulo llano.-Los ángulo de menos de 90º se llaman agudos y los que tienen más

de 90º obtusos.-Dos ángulos son complementarios, si su suma es un ángulo recto y

se llaman suplementarios si su suma es un ángulo llano.

-Cuando una recta corta a otras dos paralelas forman ángulos con las

siguientes propiedades: Todos los ángulos a y los b son iguales. Observar en los otros dibujos como coinciden los ángulos en

determinadas figuras geométricas.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: La bisectriz es una recta que divide a

un ángulo en dos partes iguales. Es el Lugar Geométrico de los

puntos del plano que equidistan de dos rectas llamadas lados del

ángulo. Para dibujarla se traza un arco con centro en V que corte a los lados

en los puntos M y N. La bisectriz coincide con la mediatriz del

segmento MN. Para trazar la bisectriz de dos rectas que no se cortan en el papel: 1. Se traza la bisectriz de dos rectas paralelas a los lados del ángulo a

igual distancia. 2. También se puede hacer cortando con una recta los dos lados del

ángulo y trazando las bisectrices de los ángulos que forman.

Para trazar ángulos con las reglas ya se ha visto en el primer ejercicio

o lámina.Para trazar ángulos con el compás: - ángulos de 90º, vistos en la lámina anterior.-Para un ángulo de 45: trazar la bisectriz del de 90º-ángulo de 60º: dibujar un triángulo equilátero, trazando dos arcos con

el mismo radio y con centro en V y P.

90º

recto

180º

llano

<90º

Agudo

>90º

Obtuso

b

Complementarios

a

ab

Suplementarios

aa

aa

b

b

b

b

a

a

a

b

b

aa

b b

a

V

M

N

V

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CUANDO LOS LADOS NO SE CORTAN EN EL PAPEL

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

Resumen recordatorio de ÁNGULOS

6O º

Ángulo AGUDO

Departamento deArtes Plásticas y

Dibujo

105º

Ángulo OBTUSO

90º 90º

90º

90º=

Ángulo RECTO Ángulo LLANO

180º

COMPLEMENTARIOS

b

aab

SUPLEMENTARIOS

90º90º

45º 45º 30º60º

Escuadra Cartabón

Ángulos de lasreglas

90º

45º

45º

90

º

30

º6

0º

120º

90º

45º 45º90º

30º

60º

135º

90º

45º 45º

90º

30º

60º

75º

90º

45º 45º

90º

30º

60º

105º

90º

45º

45º

90º30º

60º

150º

90º

45º 45º

135º

Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón.

a

ba

a

a

b

b

b

Correspondencia deángulos cuando dos rectas paralelas soncortadas por otra recta cualquiera.

Algunos ángulos sepueden construir con el ángulo suplementario.

Ángulos de la circunferencia

o

Ángulo Inscrito

Ángulo Central

ab

a=b/2

o

a=b/2

a

b

a

b

El ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central, por eso cualquier punto de la semicircunferencia es un ángulo de 90º con respectoal diámetro de la misma.

w

aw= = 90º

=180º

o

a=b/2

ab

Ángulo Seminscrito

Tg

o

a=(b-g)/2

a

b

Ángulo ExteriorV

g

o

a=(b-g)/2

a

b

Ángulo ExteriorV

g

o

a=(b-g)/2

a

b

Ángulo Interior

g

Arco Capaz.

A B

o

b

a

ADYACENTE Y/O CONSECUTIVO

o

a

bo

aw

Arco Capaz de 90º

a

a

a

Ángulos de lados paralelos

Alternos:1-2,3-4, ...correspondientes:2-5, 3-8, ...

1

2

3

4

6

5

7

8

C

B

AE

F

D

E´

A,B,C,..interiores de unpolígono. E´ exterior.

AD

A es cóncavoD convexo.

Polígono cóncavo. Polígono convexo

División de un ángulo en dospartes iguales.

BISECTRIZ de un ángulo

r

t

r

t

División de un ángulo en partes iguales

Bisectriz cuando el vérticeestá fuera del papel.

Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos60º35´42´´

Opuestos por el vértice

a

ab

b

Suma de ángulosde un triángulo:180º

a

bg

a

b

gw

Suma de ángulosde un cuadrilátero:360º.

Ángulos iguales

90º

90º

30º

30º

Ángulos de lados perpendiculares

Ángulos de un trapecioisósceles

= 180ºa + b + g

a + b + g + w= 180º

aa

b b

Ejemplo: si mide 75º entonces 75º+75º=150º¿cuánto mide ?. 360º-150º=210º/2=105º.

ba

90º

45º

45º

90º

30º 60º

165º

15º

90º

30º 60º

120º

120º60º30º150º

23

EJERCICIOS: 1.- Construir un ángulo con el semicírculo que sea de 60º y otro de 120º2.- Medir con el transportador de ángulos los cuatro ángulos dibujados en la ficha.3.- Dibujar la BISECTRIZ del ángulo dado.4.- Dividir un ángulo el ángulo de 90º dado en tres partes iguales.5.- Sumar los ángulos a y b dados.6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.

Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS.


BISECTRIZ de un ángulo. 1. Lo primero que debemos hacer es un ARCO concentro en el vértice V y radio cualquiera. Este arcocortará a los lados del ángulo en dos punto P y Q.2. Desde P y desde Q dibujar dos arcos con el mismoradio.3. Estos arcos se cortarán entre sí en F.4. Unir F con V y marcar más oscuro o en color.

La lámina se deberá realizar en una sesión de 55 minutos..

1.- BISECTRIZ de un ángulo


V

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

OPERACIONES CON ANGULOS.


t

P

Q

F

90

30

30

30

2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales con el compás

V

Dividir un ángulo recto en tres partes iguales.

Un ángulo recto es de 90º. Dividir un ángulo de 90º entres partes iguales saldría a 30º cada uno. El ejercicioconsiste en realizar ángulo de 60º.Pasos: 1. Dibujar un arco cualquiera que corte a los lados del ángulo en los punto M y N2. Con el mismo radio que el arco anterior poner elcompás en M y en N y dibujar dos arcos iguales quecortarán al primero en los puntos P y Q.3. Unir V con P y con Q.

Q

PM

N

b

aa+ b

a b

V V

V

3.- Suma los siguientes angulos a y b

Sumar o restar ángulos.

En este ejercicio sumaremos dos ángulos a y b, que serán trasladados y se pondrán uno después de otro.1. Dibujar una recta cualquiera en el lugar que nos interese. Poner un punto que será el vértice V.(si ya están puestos estos datos realizarlo desde allí)2. Dibujar un arco IGUAL para los dos ángulos a y b y dibujarlo igualmente desde V.3. Con el compás medir el arco a y ponerlo a partir de M.4. Medir con el compás el arco b y ponerlo a partir de N.5. Desde P, dibujar una recta hasta V.6. Marcar más oscuro o en color el ángulo resultante.

M

N

P

Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS.

La construcción de ángulos con el compás está basado en la geometría. Algunos los hemos visto ya como es elde 90º (perpendicular a una recta con el compás), el de 45º (bisectriz de 90º), 22º 30´ (bisectriz de 45º) y otrosestán basados en la costrucción de triángulos, por ejemplo los relacionados con ángulos de 60º (la mitad 30º,la mitad de 30º, 15º, etc.). Un triángulo equilátero (tiene los tres lados iguales y por lo tanto los tres ángulosiguales) tiene tres ángulos de 60º, puesto que 60º x 3 = 180º, que es la suma de los ángulos de los triángulos.Los demás ángulos como 75º, 135º, etc. están basados en la suma de diferentes ángulos o en ángulos com-plementarios o suplementarios. Ejemplo: 75º = 45º + 30º, para construir un ángulo de 75º hay que sumar unángulo de 45º y otro de 30º.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

OPERACIONES CON ANGULOS.


6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.

120º6O º

1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados

1. Como hemos dicho anteriormente un ángulo de 60º es el de untriángulo equilátero, por lo tanto la solución estará en construir uno,de las medidas del lado que queramos.2. Dibujar una recta cualquiera como base.3. Poner el compás donde queramos de la recta, por ejemplo A.4. Abrir el compás con un radio aleatorio, por ejemplo hasta B.5. Trazar un arco. Sin mover el radio poner el compás en B ytrazar otro arco (de radio BA). 6. Unir A con P, punto donde se cruzan los dos arcos.7. Señalar mediante un arco más pequeño el ángulo de 60º.

- El ángulo de 120º será el suplementario de 60º. Es decir, la rectaes un ángulo llano de 180º, si construimos unos de 60º, lo que nosqueda será un ángulo de 120º; 60º + 120º = 180º.

A B

P

30º

2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados. Ángulo de 150º.ÁNGULO DE 30º, de 15º y de 150º.

ÁNGULO DE 60º y de 120º

1. El ángulo de 30º es la mitad de 60º. Por lo tanto para construiruno habrá que trazar la BISECTRIZ de un ángulo de 60º.2. Sobre una recta cualquiera como base construir un ángulo de 60ºy trazarle posteriormente la bisectriz.3. Si a este ángulo de 30º construido le trazamos la bisectriz igual-mente obtendremos dos ángulos de 15º.4. El ángulo SUPLEMENTARIO de 30º es el de 150º.

150º

15º

165º

Una vez construido el de 30º

90º

3.- ÁNGULO DE 90º, de 45º y de 135º gradosÁNGULO DE 90º y de 45º.

1. Para construir el ángulo de 90º, realizar el ejercicio nº 7 de lalámina de “Paralelas y perpendiculares con el compás” visto anteriormente.2. Para construir el ángulo de 45º, hallar o dibujar la BISECTRIZ delángulo de 90º.3. El ángulo 22º30' es la bisectriz de 45º.4. El ángulo 135º es el suplementario de 45º.

45º135º

ÁNGULO DE 75º.

1. Para realizar el ángulo de 75º tienes dos opciones: a) Suma losángulos de 30º + 45º construidos anteriormente con el procedi-miento aprendido en la ficha. b) De un ángulo de 90º divídelo entres partes, como en el ejercicio 2 de la página anterior y dibujala bisectriz de uno de los ángulos de 30º resultantes. Suma entonces 15º (bisectriz de 30º) + 60º (30º + 30º)

ÁNGULO DE 105º.

1. También tienes dos opciones: una es quesumes los ángulos 45º + 60º, y la otra opciónes que dibujes un ángulo de 75º, el ángulosuplementario es el de 105º buscado.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

ÁNGULOS CON EL COMPÁS

90 75

45

3022.5

0

18

0

60120

ANGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS

CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS

Construcción de un ÁNGULO DE 6Oº con el semicirculo


90

2.- Dividir un angulo de 90º con el compás 3.- Suma y resta de angulos

a b

15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º

Mide los siguientes angulos con el transportador


22

V V

VVV

1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados 2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados, Ángulos de 150º y 165º.

3.- ÁNGULO DE 90º, 45º y 22º30´ grados 5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º 6.- ÁNGULO DE 105º

15º

165º

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


90 75

45

3022.5

0

180

60120



75º

6Oº

45º

105º


1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados 2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados, Ángulos de 150º y 165º.


90

30

30

30

2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes igualescon el compás

b

a

15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º


a+ b


Dibujo

Medidas de ángulos con el Transportador de ángulos o


VVV

3.- Suma y resta de angulos

a b

V V

120º6O º

A B

P

150º

30º

90º

45º135º 45º

30º

15º

75º

3.- ÁNGULO DE 90º, 45º y 22º30´ grados 5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º 6.- ÁNGULO DE 105º

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

90º

30º

75º 60º

45º

90º


Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II

20

30º

50

150º

135º

20

20

16

30

30

60º

60º

70

Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.

Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


90 75

45

3022.5

0

180

60120



30º

45

75

90º

6O

45

105

120º6O º


1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados 2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados 3.- ÁNGULO DE 90º grados

4.- ÁNGULO DE 45º grados 5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º6.- ÁNGULO DE 105º


90

30

30

30

2.- Dividir un angulo de 90º con el compás 3.- Suma y resta de angulos

ab

b

a

15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º


a+ b

Suma los siguientes segmentos

A B

Resta los siguientes segmentos

Multiplica el siguientes segmento por 3 Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)

Divide el segmento MN por 3División de un segmento en partes iguales(teorema de Tales)

Divide el segmento AD en partes proporcionales alos siguientes segmentos(teorema de Tales)

Perpendicular por el extremo de una semirecta Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r

Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto Aexterior a ella. Dibuja una paralela a la recta r por un punto A

exterior a ella.

B C C D

A B

A B A C

M N

M N

A B

A D

CB

C D

a

b

c

r

rP

r

P

r

A

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

OPERACIONES CON SEGMENTOS.

GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESORelación de láminas de geometría plana de la primera evaluación

Departamento de Artes Plásticas Estas láminas las tienes a tu disposición en la página de internet:http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador

1 2

3 4


Departamento de Artes Plásticas Estas láminas las tienes a tu disposición en la página de internet:http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador

1.- PENTÁGONO dado el RADIO r = 25 mm.

A

B

CD

E

A B

C

D

E

3.- HEXAGONO dado el RADIO r = 35 mm.

A

B

C

D

E

F

El lado del hexagono es igual al radio

4.- OCTOGONO DE RADIO R=30 mm.

A

B

C

D

E

F

G

H

5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

A

B

CD

E

6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

AB

C

D

E

F

G

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

POLÍGONOS REGULARES


r

2.- PENTÁGONO dado el LADO AB = 30 mm.

L

r

El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota



BA

10

9

8

7

12

6

UNDECAGONO DE LADO = 36 mm.

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

2

M

Q

METODO GENERAL

C

E

D

F

G

H

I

J

K

METODO GENERAL

POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm

MÉTODO GENERAL

5 6

7 8

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

TRIÁNGULOS

1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm.

BA

C

2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferenciade radio r = 25 mm.

A B

C

BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.

A B

C

a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm

A

BC

c

a

b

A

BC

c

A

B

C

b

a

3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:.

bL

4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados:

c

a

b

5. Hallar la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo: 6.-Dados los siguientes lados, dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

a = un lado

c= hipotenusa.

Curso

Nota:


Dibujo

b

c

a

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

CUADRILÁTEROS

BA

C

A

B

CD

D

1.- Dibujar un CUADRADO de lado L= 38 mm.

A B

C

A

B

C

D

DIAGONAL d =

LADO AB =

D

d

2.- Dibujar un CUADRADO dada la diagonal. d

d

L

3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados:

L1

L2

4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas: d

d1

d2

d1

d2

5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:

L

d

L

d

6.-Dibujar un ROMBO dado el lado y la diagonal:

A

B

C

D

A

B

C

D

Lángulo A 60º

L

60º

A

7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo:

B

CD

L

BM

L

h

BM

bm

Lh

BM

bm

h

L

8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:

A B

D C

BM

bm

h

9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:

L1L2L3L4d

d

L3

L2

L1

L4

10.-TRAPEZOIDE:


Dibujo

L1

L2 L2

LÁMINA 1. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LAS REGLAS 1. (ángulos con la escuadra y cartabón)Realizar las paralelas con la escuadra y cartabón a 5 mm. de separación. Añadir los ángulos indicados:Dividir la lámina en 4 partes iguales. 1. En el primer recuadro dibujar paralelas horizontales. Dibujar una diagonal a 75º que corte a las paralelas.2. En el segundo recuadro dibujar paralelas verticales. Dibujar una diagonal a 30º3.- En el tercer recuadro dibujar paralelas diagonales con un ángulo de 60º. Dibujar una recta perpendicular a l a s paralelar (ángulo 90º).4. En el cuarto recuadro dibujar cuadrados con una inclinación con respecto a la horizontal de 45º.

LÁMINA 2. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LAS REGLAS 2. (Construcción de figuras geométricas)A.- Realizar la figura propuesta a escala 1:1 según las medidas de las acotaciones. Tomar las medidas del croquis de la fotocopia.

B.- A continuación realizar un diseño inventado como los que aparecen abajo de ejemplo. La condición es que debe reflejar líneas rectas paralelas y ángulos, realizando una composición geométrica.

LÁMINA 3. SEGMENTOS. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON EL COMPÁS.Realizar los ejercicios propuestos: 1.- Sumar tres segmentos dados. Se colocan de forma consecutiva uno después del otro unidos por los puntos en común. Primero se dibuja una recta y después se coloca sobre ella las medidas de AB, BC, CD que se han tomado una a una con el compás.2.- Restar dos segmentos dados. Se coloca el segmento más grande y se le resta el más pequeño. (se cogen las medidas con el compás)3.- Multiplicar un segmento por 3. Se dibuja una recta. Se toma la medida del segmento con el compás. Se pone esa medida tantas veces como se pida sobre la recta.4.- Dividir un segmento en dos partes iguales (Mediatriz de un segmento). Se pone el compás sobre M o N y se abre más de la mitad del segmento. Se dibuja un arco arriba y abajo del segmento. La misma operación se realiza en el otro extremo del segmento. Unir las intersecciones de de los arcos que se cortan mediante una recta.5.- Dividir un segmento en PARTES IGUALES (Teorema de Tales). Se dibuja una recta (r) desde cualquier extremo del segmento y con cualquier ángulo (por ejemplo desde M). Sobre ella (r) poner con el compás, abierto con cualquier apertura, tantas medidas como nos propongan dividir el segmento original (sumar las medidas, segmentos, uno tras otro desde M). Unir la última parte de estas divisiones con el otro extremo del segmento (N): se obtiene una recta (t). Dibujar paralelas a esta recta (t) por las divisiones que hemos dibujado al principio hasta que corten al segmento MN.6.- Dividir un segmento en PARTES PROPORCIONALES (Teorema de Tales). El procedimiento es igual que el anterior pero en la recta r sumanos los segmentos, a partir de M, que nos da el enunciado. En el ejercicio anterior sobre r se sumaban segmentos iguales, y en este ejercicio se suman segmentos diferentes.7.- Construir una PERPENDICULAR por el extrema de una semirecta (ángulo de 90º).Se dibuja un arco de circunferencia de radio cualquiera y con centro en el extremo de la semirecta. A partir de ahora, y sin mover el radio del compás, se van haciendo los mismos arcos con centro donde vayan cortando los anteriores.8.- Dibujar una perpendicular a una recta por un punto de la misma. Se trata de hacer una perpendicular a un segmento cualquiera cuyo centro es el punto que nos dan.m9.- Dibujar una perpendicular a una recta por un punto exterior a la misma. Idem anterior pero en este caso el punto está fuera de la recta.10.- Trazar una paralela a una recta dada por un punto exterior a ella. Varios métodos.

LÁMINA 4. ÁNGULOS (ángulos con el transportador y construcción de ángulos con el compás)1.- Medir los cuatro ángulos dibujados con el transportador de ángulos si señalarlos en la ficha.2.- Realizar los tres ejercicios propuestos: a. Dividir un ángulo cualquiera en dos partes iguales (BISECTRIZ de un ángulo). Se abre el compás con cualquier radio. Se coloca en el vértice del ángulo y se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. Con centro en estos lado, donde cortó el arco anterior y abriendo el compás lo suficiente, se trazan dos arcos que se cortan en un punto de la bisectriz. Unir mediante una recta este punto último con el vértice del ángulo. b. Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales (3 ángulos de 60º). Dibujar ángulo de 60º iguales (o triángulos equiláteros) desde el vértice del ángulo. c. Sumar o restar dos o más ángulos.3.- Dibujar o construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º y 30´, 30º 45º, 60º, 75º, 90º, 120º, 135º.Se trata de dibujar para los de 90º una perpendicular a una recta. El de 45º la bisectriz del ángulo anterior. etc.Para el de 60º un triángulo equilátero. Para el de 30º la bisectriz del de 60º, etc. También se puede hacer con el ejercicio 2.b.Para los demás ángulo se trata de sumar o rectar lo ángulos anteriores o bien pensar como saldrían si resto a 180º (una recta) un ángulo ya construido (por ejemplo para hallar el de 135º, 120º, etc ya estudiados.


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1

2

3

4

Construir las siguientes figuras geométricas según los datos de cada enunciado:Cuando los datos sean numéricos realizarlos con las reglas milimetradas.Cuando los datos son gráficos utilizar el compás para trasladar las medidas. (Ejemplo: si los lados de un triángulo están dibujados como segmentos, coger las medidas con el compás. No utiliar las reglas para medirlo porque puede ser que no sean números enteros.)

LÁMINA 5. TRIÁNGULOS.

1.- Dibujar un triángulo EQUILÁTERO de lado 50 mm. (todos los lados iguales. Sus ángulos forman 60º, recordar ángulos). Dibujar el segmento AB = 5 cm. en la parte inferior. Poner el compás en A y abrir hasta B, dibujar un arco. Realizar la misma operación poniendo el compás en B. Unir donde se cortan los dos arcos con A y con B.2.- Dibujar un triángulo EQUILÁTERO que está inscrito en una circunferencia (El triángulo está dentro de la circunferencia y sus vértices pertenecen a la misma). Radio de la circunferencia 25 mm. El lado de un hexágono es igual que el radio de la circunferencia circunscrita. Un triángulo es la mitad de un hexágono. Dibujar un diámetro a la circunferencia. Poner el compás en un extremo del diámetro. Abrir el compás hasta el centro de la circunferencia y dibujar un arco hasta que corte a ésta en ambos lados. Unir el extremo del diámetro con estos dos puntos.3.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES de base 25 mm y de lado 55 mm. Dibujar la base. Con el compás y de radio el lado dibujar dos arcos con centro en A y en B.4.- Dibujar un triángulo escaleno de lados: a=55mm. b=45mm, c=65mm.5.- Circunscribir una circunferencia a un triángulo cualquiera. Considerar sus vértices como tres puntos. El ejercicio se resuelve como si fuera pasar una circunferencia por tres puntos. Hallar las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Donde se crucen las mediatrices será un punto (llamado Circuncentro) que es el centro de la circunferencia que se pide. La circunferencia ha de pasar por los punto A,B y C.6.- Dibujar un triángulo rectángulo de medidas dadas. Los lados son a=cateto y b=hipotenusa. Dibujar primero un ángulo de 90º. Colocar en uno de los lados el cateto y en su extremo, con el compás hacer un arco igual a la medida de la hipotenusa.

LAMINA 6. CUADRILÁTEROS.1.- Dibujar un cuadrado de lado 38 mm. Dibuja un lado con la medida. Por cada extremo de este segmento dibuja dos perpendiculares. Lleva con el compás la medida del lado a cada perpendicular.2.- Dibujar un cuadrado dada la diagonal. Primero hallar la mediatriz de la diagonal. Después dibujar una circunferencia con la diagonal (radio la mitad de la diagonal). Por la mitad de la diagonal trazar una perpendicular. Por cada extremo de cada diagonal unir para hallar los lados del cuadrado.3.-Dibujar un rectángulo de lados dados. Primero dibujar el lado mayor y en cada extremo levantar perpendiculares donde se pone el lado menor.4.-Dibujar un rectángulo dada la diagonal y un lado. Con la diagonal, y como hemos explicado con el cuadrado, se dibuja una circunferencia. Los extremos de la diagonal son los puntos-vértices A y C. Poner el compás en A y dibujar un arco con radio el lado del rectángulo AB. Hacer lo mismo con el extremo C.5.-Dibujar un rombo dadas las dos diagonales. Dibujar las dos diagonales perpendiculares y que se corten por la mitad. Unir cada extremo de las diagonales.6.-Dibujar un rombo dado el lado y la diagonal. Primero se dibuja la diagonal y con el compás y de radio el lado, se hacen arcos con centro en los extremos de la diagonal. 7.-Dibujar un rombo dado el lado y un ángulo. Se dibuja un lado y en su extremo se dibuja el ángulo. En cada lado se pone la medida del lado y para finalizar hay dos opciones, o bien se dibujar paralelas a cada lado o bien en cada extremo de los lados dibujados y con el compás se dibujan arcos con el radio el lado.8.- Dibujar un trapecio isósceles dado la base mayor, el lado y la altura del trapecio (distancia entre las dos bases). Se coloca el lado mayor en la parte inferior, por la mitad se levanta un perpendicular con la medida de la altura. Con esa distancia se dibuja una paralela a la base mayor (o perpendicular a la altura). Con el compás y de radio el lado se dibuja un arco hasta que corte a la paralela anterior. El compás hay que ponerlo en los extremos de la base mayor.9.-Dibujar un trapecio rectángulo dada la base mayor, la base menor y la altura. Construir un ángulo de 90º y poner en cada lado del ángulo las medidas de la base mayor y de la altura. Perpendicular a la altura (o paralela a la base mayor) se dibuja la base menor. Unir el extremo libre de la base mayor con el de la base menor.10.- Dibujar un trapezoide con las medidas dadas. La solución consiste en dibujar triángulos con los datos que nos dan. Vamos a empezar con la diagonal y dos de los lados, L2 y L3. Si tomamos como base la diagonal ya dibujada, construimos otro triángulo con los lados que nos faltan.


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5

6

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaESQUEMA TRIÁNGULOS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

Equilátero

LADOS

Todos iguales

ÁNGULOS

Iguales. Son los tres de

60º

Dos iguales =lados

Una diferente =base

Dos iguales. Uno,

el opuesto a la

base, diferente.

Los tresdiferentes

Los tres diferentes.

Isósceles

Escaleno

SEGÚN SUS LADOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Rectángulo

ÁNGULOS

Un ángulo recto.

Menores de 90º

Uno de los ángulosmayor de 90º

Obtusángulo

El lado mayor =hipotenusa.Dos lados menores =catetos.

Acutángulo

Ángulos agudos

Un ángulo obtuso

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

A B

C

c

a

B

b

BARICENTRO.

Las medianas son lasrectas que van deel punto medio de unlado hasta el vérticeopuesto.

MEDIANAS.

mc

Se cumple queCB = 2 cB

a=b=ca b

cA B

C

a b

ca=b=c

a=b=ca

b

c

A

B

C

A

ABC < 90º

A > 90º

A A=90º

A B

C

c

b

ORTOCENTROALTURAS

O

hc

hc = ALTURAS

A

C

c

ba

CIRCUNCENTRO

Las mediatrices de suslados.El circuncentro es elcentro de la circunferenciacircunscrita.

MEDIATRICES.

C

mc

A B

C

c

ba

INCENTRO

Bisectrices de losángulos del triángulo.Es el centro de lacircunferenciainscrita.

BISECTRICES.

I

bc

TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO

Resultado de unir los pies de las medianas(baricentro)

OTRAS PROPIEDADES- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos,pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circun-centro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta.

En un triángulo el vértice y el ladoopuesto se nombran con la mismaletra, en mayúsculas y minúsculasrespectivamente.

A B

C

c

a b

La altura de un triángulo (h)es la recta perpendicular aun lado hasta elvértice opuesto.

hh

Resultado de unir los pies de las alturas(ortocentro)

TRIÁNGULO ÓRTICO

MN

QTRIÁNGULO PODAR

Resultado de unir los pies de las perpen-diculares desde un punto cualquiera P

P

Las mediatrices ylas alturas se pueden cortarfuera del triángulo,por lo que el circuncentroy el ortocentro puedenestar fuera también.

O

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

TRIÁNGULOS

1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm. 2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferenciade radio r = 25 mm.

BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm. a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm

3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:. 4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados:

6.-Dados los siguientes lados, dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

a = un lado

c= hipotenusa.

Curso

Nota:


Dibujo

5. Dada la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo, se pide:Dibujar el triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 cm.El vértice C estará más próximo de A que de B.

A B

c

a

b

base = cL = lado a y b

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

TRIÁNGULOS

1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm.

BA

C

2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferenciade radio r = 25 mm.

A B

C

BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.

A B

C

a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm

A

BC

c

a

b

A

BC

cb

a

3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:.

base = cL = lado a y b

4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados:

c

a

b

5. Dada la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo, se pide:Dibujar el triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 cm.El vértice C estará más próximo de A que de B.

6.-Dados los siguientes lados, dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

a = un lado

c= hipotenusa.

Curso

Nota:


Dibujo

b

c

a

A B

C

base

L = lado

o

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


A B

CBAConstrucción de un triángulo equilátero conociendo el lado.

Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sitúa uno

de ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB y

donde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vértice C

A B

C

1. Dibujar la circunferencia con el radio indicado.

2. Dibujar un Diámetro (que pase por el centro de la circunferencia O).

3.El diámetro corta a la circunferencia en C y en M. C es un vértice

del triángulo.

4. Poner el compás en M, y con radio igual que el de la circunferencia,

dibujar un arco (debe de pasar por O), que cortará a ésta en A y B, los

vértices del triángulo.

5. Dibujar el triángulo uniendo A, B y C.

Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia

o

M

Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES dado el lado igual y la base (lado desigual)

A B

Cbase

Lado

b

c

a

1. Dibujar la base en la parte inferior del recuadro.

2. Con el compás medir el lado L, bien de forma gráfica si nos dan el lado

dibujado o bien midiendo con el compás la medida que nos den numérica.

3. Con la medida del lado y poniendo el compás en cada uno de los extremos

de la base ( A y B) dibujar dos arcos que se cortarán en el vértice C.

4. Dibujar el triángulo isósceles uniendo A, B y C.

5. Poner la nomenclatura de los lados a, b y c.

Dibujar un TRIANGULO ESCALENO cuando nos dan los tres lados.

A

BC

c

a

b

c

a

b1. En una recta cualquiera dibujar uno de los lados en la base del espacio donde

tengamos que colocarlo. En este ejemplo se dibuja el lado a (CB)

2. Tomar la medida de uno de los lado (por ejemplo el lado b - CA) y colocando

el compás con esta medida en C dibujar un arco de circunferencia.

3. Tomar la medida con el compás del otro lado que nos queda, el lado c - AB

y sobre el vértice B dibujar un arco de circunferencia.

4.Donde se corten los dos arcos de circunferenicia que hemos dibujado

estará el vértice A.

5. Dibujar el triángulo uniendo los vértices A, B y C.

6. Poner la nomenclatura de los lados y los vértices.

Dos de los lados del triángulo deben de sumar más que el tercer lado.

Dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO dado un lado y la hipotenusa.

A

BC

cb

a

a = un lado

c= hipotenusa.1. Sobre una recta cualquiera colocar el lado a.

2. Por un extremo de a dibujar una perpendicular. (en el ejemplo es el punto C)

3. Por el otro extremo de a (el punto B) y con la medida de la hipotenusa

dibujar con el compás un arco de circunferencia hasta que corte a la

perpendicular en el punto A, vértice del triángulo.

4. Unir los puntos C, B y A para dibujar el triángulo buscado.

TRIÁNGULOS

Figura 1

Figura 2

Figura 1

Figura 2

Dibujar un TRIANGULO RECTÁNGULO, cuando nos dan la hipotenusa yun cateto.

1. La semicircunferencia es es ARCO CAPAZ de un ángulo de 90º, es decir

que cualquier punto que cojamos de una semicircunferencia será vértice de un

triángulo rectángulo y el diámetro de la semicircunferencia será la hipotenusa.

1. Hallar el punto medio de la hipotenusa. 2. Con centro en ese punto dibujar

una semicircunferencia que pase por A y por B.

3. Con la medida que nos den del cateto o lado hacer un arco desde A que

corte a la semicircunferencia: ese punto será el vértice C. A B

C

o

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

TRIÁNGULOS. PUNTOS NOTABLES

1. Dibujar las medianas y hallar el BARICENTRO del siguientetriángulo: Comprobar que si divides una mediana del triángulo, elbaricentro estará a 2/3 del vértice.

Curso

Nota:


Dibujo

A B

C

2. Hallar las bisectrices y el INCENTRO del siguiente triángulo.Dibujar la circunferencia INSCRITA

C

A B

3. Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.

C

A B

3. Dibujar la circunferencia CIRCUNSCRITA al siguiente triángulo

Dí cómo se llama el punto Notable, centro de la circunferencia:

______________________________________________

Dí cómo se llama las rectas notables que definen en punto

notable anterior___________________________________.

A

BC

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina


1. Dibujar las medianas y hallar el BARICENTRO del siguientetriángulo: Comprobar que si divides una mediana del triángulo, elbaricentro estará a 2/3 del vértice.

Curso

Nota:


Dibujo

A B

C

c

a

B

b


I bc

C

A B

O

hc

3. Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.

C

A B

mc

A

BC

2. Hallar las bisectrices y el INCENTRO del siguiente triángulo.Dibujar la circunferencia INSCRITA

3. Dibujar la circunferencia CIRCUNSCRITA al siguiente triángulo

Dí cómo se llama el punto Notable, centro de la circunferencia:

______________________________________________

Dí cómo se llama las rectas notables que definen en punto

notable anterior___________________________________.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


Dibujar las MEDIANAS y el BARICENTRO del triángulo dado.

1. Para dibujar un MEDIANA del lado de un triángulo hay que hallar el PUNTO

MEDIO del lado, por medio de una mediatriz. Unir este punto P con el vértice

opuesto C.

2. Hay que dibujar las tres medianas del triángulo, una por cada lado.

3. Donde se cortan las tres medianas es el punto llamado BARICENTRO.

4. Para comprobar que PB es 1/3 de PC, coger con el compás la medida PB

y comprobar que se puede poner dos veces desde B hasta C.


A B

C

c

a

B

b


P

I

bc

C

A B

Dibujar las BISECTRICES y el INCENTRO del triángulo dado.Dibujar la circunferencia INSCRITA.

1. Para dibujar las bisectrices del triángulo hay que dibujar las bisectrices de

cada uno de los ángulos.

2. Donde se corten las bisectrices estará el punto notable que llamamos

INCENTRO, centro de la circunferencia inscrita.

3. Desde el incentro dibujar perpendiculares a los lados para hallar los puntos

de tangencia = radio de la circunferencia que hay que dibujar.

Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.

1. Las rectas notables de un triángulo para hallar el ortocentro son las

ALTURAS. La altura de un triángulo es la recta que es perpendicular a

un lado del triángulo y que pasa por el vértice opuesto.

2. Para hallar el ortocentro hay que dibujar las tres alturas de los tres lados

del triángulo.

Ohc

C

A

B

B

mc

A

C

Hallar el CIRCUNCENTRO de un triángulo dado.

1. El circuncentro es un punto Notable de los triángulos desde el cual se puede

dibujar una circunferencia que sea CIRCUNSCRITA al triángulo y que pasará

por sus tres vértices A, B y C. Por lo tanto si el radio de dicha circunferenica

es el mismo hasta A, hasta B y hasta C significa que estarán en sus respectivas

MEDIATRICES.

2. Las mediatrices son por lo tanto las rectas notables de un triángulo para

hallar el circuncentro.

3. Desde B dibujar una circunferencia que pase de la mitad de BC.

4. Desde C y con el mismo radio que la circunferencia anterior dibujar un arco

que corte a la anterior.

5. Desde A dibujar otro arco con el mismo radio y que también corte al primer

arco.

6. Unir con rectas los puntos de cortes de los respectivos arcos: mediatrices.

7. Una vez hallado el circuncentro dibujar la circunferencia que pase por A, B y C.

Fecha

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

Polígono INSCRITOPolígono CIRCUNSCRITO

POLÍGONO IRREGULARPOLÍGONO REGULAR

diámetro(d)

ladovértice

ángulo interior

ánguloexterior

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO POLÍGONO EXTRELLADO

DIAGONALES de un polígono

radio -

apotem

a

radi

o

r = radio circunferencia circunscrita r = apotema del polígono

r = radio de la circunferencia incrita

Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones.

La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”.

Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados.

Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores

y exteriores.

El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero,

pentágono, hexágono, etc.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

L

L

d

CUADRADO

Área: L2

B

A

d

RECTÁNGULO

Área: AxB

PARALELOGRAMO

Área: AxB

dd

B

A

1

2

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a

Área: b x a/2

c

b

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

h

Área: b x h

b

c = a + b 2 2

2

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

h

Área: b x h

b

2

h

TRAPECIO

Área: B+b x hd

d

b

h

1

2

B

2

TRAPEZOIDE

Área: (h + H)a +bh +cH

dd12

2

h

H

b a c

PENTÁGONO

r

R

L108º

HEXÁGONO

r

R

L

120º

60º

Área: perímetro x apotema (r)

2

AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

A

B

O

C D

b

a

TRIÁNGULO INSCRIBIBLE

POLÍGONO: Es la porción del plano limitada por rectas que se cortan.

- Polígono regular: tiene todos los lados y ángulos iguales.

-Polígono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ángulos.

-Polígono inscrito: es el que tiene sus vértices en una circunferencia.

-Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia.

-Polígonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vértices del polígono regular.

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Cuadrado

LADOS

Igualesparalelos dos a dos

ÁNGULOS

Iguales. Son todos rectos.

DIAGONALES

Iguales. PerpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rectángulo Son Iguales los ladosparalelos.

Iguales. Son todos rectos.

Iguales. No perpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rombo Los cuatro iguales.Paralelos dos a dos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas,perpendiculares yse cortan en unpunto medio.

Romboide Son iguales los ladosparalelos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas,No perpendicularesSe cortan en unpunto medio.

TrapecioIsósceles

Son iguales Los que se apoyanen la misma baseson iguales.

Son iguales. No secortan en el puntomedio.

TrapecioEscaleno

Son distintos Son todos distintosNo son rectos

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

TrapecioRectángulo

Son distintosUn lado es perpendi-cular a las bases

Tienen dos ángulos rectos.

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

Trapecios

Base Menor

Base Mayor

Lado

Diagonales

Los trapecios tienensiempre dos lados paralelos: son las bases.

Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo

Es el único tipo de trapecios que esinscriptible en unacircunferencia.

LadoTrapezoide

PA

RA

LE

LO

GR

AM

OS

TR

AP

EC

IO

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

POLÍGONOS

CLASIFICACIÓN.

DECENAS

kai

UNIDAD

gono

POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS

NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.

triángulo cuadrado pentágono hexágono

heptágono octágono eneágono decágono

triángulo

cuadrado

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Endecágono

Dodecágono

Tridecágono

Tetradecágono

Pentadecágono

Hexadecágono

Heptadecágono

Octadecágono

Eneadecágono

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Triacon tágono

Tetracon tágono

Pen tacon tágono

Hexacon tágono

Hep tacon tágono

O ctacon tágono

Eneacon tágono

Hectágono

Chiliágono

Miriágono

M egágono

20

30

40

50

60

70

80

90

100

.000

10 .000

.000 .0001

1

Triacon t

Icoságono o Isodecágono

20:Icosa-

30:Triaconta-

40:Tetraconta-

50:Pentaconta-

60:Hexaconta-

70:Heptaconta-

80:Octaconta-

90:Eneaconta-

1:hená

2:dí

3:trí

4:tetrá

5:pentá

6:hexá

7:heptá

8:octá

9:eneá

Los polígonos se designan por el número de sus lados.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


Dibujar un cuadrado cuando nos dan el lado.

1. El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales y sus dos diagonales iguales.

2. La medida del lado (puede ser numérica o gráfica) se traslada sobre una recta

cualquiera.

3. Se dibujar perpendiculares desde el punto A y desde el B.

4 Con el compás en el punto A se traza un arco con el radio AB hasta que corta a la

perpendicular en el punto D.

5. Se hace lo mismo desde el punto B para obtener el punto C.

6. Se unen D y C

CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.

L

A B

CD

A B

d

diagonal dDibujar un cuadrado cuando nos dan la diagonal.

- El cuadrado tiene sus dos diagonales iguales y perpendiculares (forman 90º).

- Por lo tanto los extremos de la diagonal son dos puntos opuestos del cuadrado, por

ejemplo B y D.

- Si cogemos la diagonal y la giramos, de forma perpendicular por el centro, tendremos

los otros dos puntos del cuadrado A y C.

1. Para realizar estas operaciones lo primero que haremos es poner la medida de la

diagonal en una recta cualquiera (tener en cuenta que esté más o menos en el centro

del recuadro a dibujar el cuadrado),

2. Dibujamos la mediatriz de la diagonal.

3. Ponemos el compás en el punto medio y dibujamos una circunferencia de radio la

mitad de la diagonal.

Esta circunferencia nos cortará a la mediatriz en los puntos A y C.

B

A

C

D

L1

L2

A B

C D

- El rectángulo tiene sus cuatro lados perpendiculares

- El rectángulo tiene sus lados iguales dos a dos.

- Por lo tanto si ponemos los dos lados que nos dan de forma

perpendicular, tendremos medio rectángulo dibujado.

1. Colocar sobre una recta cualquiera el lado L1, más grande, y desde un extremo,

por ejemplo el punto A, levantar una perpendicular. Colocar en esta perpendicular, y

desde A, la medida del otro lado L2, más pequeño. Con esto tenemos dibujado A, B y C.

2. Para finalizar se pueden hacer dos cosas: o bien ponemos el compás en C con la

medida de L1 y desde B con la medida de L2 y donde se corten los dos arcos que

dibujemos estará el punto D.

O bien, otra alternativa es dibujar paralelas a L1 y L2 respectivamente y donde se

corten las paralelas estará el punto D. L1

L2

d

Dibujar un RECTÁNGULO cuando nos dan los dos lados.

Dibujar un RECTÁNGULO cuando nos dan la diagonal y un lado.

A

B

C

D

d

L

pm

pm

1. El rectángulo tiene sus cuatro lados perpendiculares

y sus lados paralelos dos a dos.

2. La semicircunferencia, como vimos con los triángulos,

es el arco capaz de 90º, es decir que cualquier punto que

cojamos de la semicircunferencia, unido a los extremos del segmento que

la conforma, formará un ángulo de 90º.

3. Valiendonos de esta propiedad, pondremos la diagonal sobre una recta cualquiera

en el centro del recuadro a dibujar y hallaremos el punto medio (pm) de la diagonal.

4. Pondremos el compás en el punto medio (pm) y dibujaremos una circunferencia con

radio Pm A, por ejemplo.

5. Pondremos el compás en el punto A, con la medida del lado del rectángulo,

y dibujaremos un arco hasta que corte a la circunferencia. Este será el punto B. Haremos

lo mismo desde el punto C para hallar D, pero en sentido inverso (hacia abajo).

6. Para acabar con el rectángulo, uniremos A con B, B con C, C con D y D con A.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


Dibujar un rombo cuando nos dan las diagonales.

El rombo tiene los cuatro lados iguales y las diagonales perpendiculares.

Sabiendo esto deberemos colocar las dos diagonales que nos dan de forma

perpendicular y que se corten en el centro.

1. Para ello pondremos una de las diagonales, por ejemplo d1 sobre una recta cualquiera

en el centro del recuadro donde se debe de dibujar el rombo.

2. Dibujaremos las mediatrices de las dos diagonales.

3. Sobre la mediatriz de d1 pondremos la medida de d2, con el compás y desde el punto

medio (pm).

4. Unir los puntos vértices A,B,C y D para dibujar el rombo.

CUADRILÁTEROS. Rombo, trapecio y romboide.

A

d1

d2

d1

d2C

B D

B Dpm

A C

B

D

L

d

Lado

diagonal

Dibujar un rombo cuando nos dan el lado y la diagonal.

El rombo tiene los cuatro lados iguales por la tanto, si tenemos la diagonal, solamente

tendremos que poner en cada extremo los lados con el compás.

1. En primer lugar colocaremos sobre una recta, la diagonal d.

2. Desde los extremos A y C y con el compás con la medida del lado, dibujaremos

sendos arcos.

3. Donde se cortan los arcos serán los puntos B y D.

4. Unir los puntos para dibujar el rombo.

B

A C

D

A C

B D

A

Dibujar un rombo cuando nos dan el lado y un ángulo.

1. En una recta colocamos el vértice A y desde este punto dibujamos un ángulo de 60º

como ya hemos visto anteriormente en el tema de ángulos o en triángulos (triángulo

equilátero). Para realizar los arcos de circunferencia cogeremos la medida del lado AB.

2. Al dibujar el ángulo de 60º hemos hallado a la vez el vértice D del rombo.

3. Para concluir hay dos opciones: la primera sería dibujar paralelas a AB y a AD

respectivamente y obtendríamos así el punto C. La segunda opción es coger la

medida del lado con el compás (recordar que ya la tenemos para dibujar el ángulo) y

dibujar dos arcos, uno desde D y otro desde B. Donde se corten estos dos arcos será

el punto C.

4. Dibujar correctamente el rombo y marcarlo más oscuro o en color fino. Poner nomen-

clatura (A,B,C, etc.)

Lado 60º

A B

C

60º

D

A B

Lado

BM

L

hbm

Lh

Dibujar un trapecio isósceles.Los datos que nos dan son:Un lado, la base mayor y la altura.

El trapecio tiene dos lados paralelos que

son las bases. El trapecio isósceles tiene

los lados no paralelos iguales. El trapecio

isósceles es simétrico.

1. Colocar la base mayor sobre una recta.

2. Dibujar una paralela a la base mayor a

una distancia igual a la altura.

3. Desde los extremos de la base mayor, A

y B, con el compás dibujar arcos con un

radio igual a el lado. Donde corten los arcos

a la paralela serán los vértices D y C.

A B

CD

L

A B

BMbmh

Dibujar un trapecio rectángulo.Los datos que nos dan son:Base mayor, base menor y la altura.

El trapecio rectángulo tiene un ángulo de

90º.

1. Colocar la base mayor AB sobre una recta.

2. Dibujar una perpendicular por un extremo

de la base mayor, por ejemplo por A.

3. Dibujar una paralela a la base mayor con la

medida de la altura. Donde corte la paralela

a la perpendicular anterior será el Vértice D.

4. Desde D colocar la medida de la base

menor bm (DC). Unir C con B. Repasar.

A B

CD

BM

L h

BM

A B

D C

L1L2L3L4d

Dibujar un trapezoide dados los cuatrolados y una diagonal..

Un trapezoide no tiene ningún lado paralelo y

sus medidas son distintas. Si miramos aten-

tamente, los lados con la diagonal forman

dos triángulos. Se trata de dibujar dichos trián-

gulos. 1. Se dibuja la diagonal. 2. Con las

medidas de L3 y L2 se dibujan arcos desde

A y C respectivamente. Donde se cortan los

arcos tenemos el vértice D. 3. Se hace lo mis-

mo desde A y C con las medidas de L1 y L4,

para hallar el vértice B. Se unen los vértices.

D

C

A

BA D

L3d

DC

L2

C

L4

L1B

A B

A C

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

CUADRILÁTEROS


DIAGONAL d =

LADO AB =



L1

L2


d1

d2

5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:L

d


B

Lángulo A 60º


BM

L

h

BM

bm

h

8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado: 9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:

L1L2L3L4d

10.-TRAPEZOIDE:


Dibujo

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

CUADRILÁTEROS

BA

C

A

B

CD

D


A B

C

A

B

C

D

DIAGONAL d =

LADO AB =

D

d


d

L


L1

L2


d1

d2

d1

d2

5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:

L

d

L

d


A

B

C

D

A

B

C

D

Lángulo A 60º

L

60º

A


B

CD

L

BM

L

h

BM

bm

Lh

BM

bm

h

L

8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:

A B

D C

BM

bm

h

9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:

L1L2L3L4d

d

L3

L2

L1

L4

10.-TRAPEZOIDE:


Dibujo

L1

L2 L2

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el RADIO.

1. Dibujar una circunferencia de radio el que nos dan.

2. Dibujar dos diámetros perpendiculares (ojo que pasen por el centro de la circunferencia).

3. Dibujar la mediatriz de uno de los radios (por ejemplo OP). La mediatriz corta al radio en M.

4. Dibujar un arco de radio MA (poner el compás en M y abrir hasta el punto A). Este arco

cortará en el punto K al diámetro horizontal.

5.La medida AK es la medida del lado del pentágono. L5. Ponerlo 5 veces alrededor de la

circunferencia.

6. Desde A se realiza un arco con la medida (radio) AK que corta a la circunferencia en B y E.

7. Desde B y desde E se dibujar arcos con radio L5 o AB hasta cortar en el vértice C y D.

8. Unir todos los vértices y repasar más oscuro o en color fino.

Hay que tener precisión a la hora de unir los vértices. Realizarlo con limpieza y claridad.

Si dibujamos las mediatrices de los lados obtendremos un decágono. También es el

segmento KO.


A

B

C D

r

O

E

r

MkP

L5

A B

C

D

E

P

M

A BDibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el LADO.

1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r.

2. Por el punto B, levantar una perpendicular.

3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm)

4. Desde el punto B abrir el compás hasta A y dibujar un arco que corte a la

perpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco más el arco.

5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el compás hasta P y dibujar un arco

que corte a la recta r en el punto M.

6. Desde el punto A abrir el compás hasta el punto M y dibujar un arco que corte

al primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y también cortará a la mediatriz en

el punto D. C y D son vértices del pentágono.

7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.

8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.

Donde se cortan los arcos anteriores será el punto y vértice final del pentágono: E.

pm

r


Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el RADIO. r

El radio de la circunferencia es igual lado del hexágono.

1. Dibujar la circunferencia con el radio dado. Poner el radio seis veces sobre

la circunferencia.

2. Para realizar el ejercicio correctamente y de forma más exacta, a parte que nos

va a servir para realizar otros polígonos es la siguiente: dibujar dos diámetros

perpendiculares.

3. Desde el punto A (el diámetro vertical corta a la circunferencia en A y en D) poner

el compás y con el radio dado dibujar un arco que corte a la circunferencia en los

vértices B y F. El arco debe de pasar por el centro O.

4. Dibujar otro arco desde D para hallar C y E. (el arco debe de pasar por el centro O)

5. Unir los vértices A,B,C,D,E y F. Marcar más oscuro o de color fino.

Si realizamos esta operación desde los extremos del diámetro horizontal M y N

obtendremos otros seis puntos con lo que obtendremos un dodecágono (polígono de

doce vértices).

Si en vez de coger todos los vértices, unimos de dos en dos (por ejemplo A con C,

C con E y E con A) obtendremos un triángulo equilátero.

A

rB

C

D

E

F

OMN

LDibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el LADO. A BComo el lado del hexágono es igual al radio, lo que tendremos que

hacer es buscar el centro de la circunferencia donde esté inscrito

el hexágono. Debemos de saber también que si dividimos una

circunferenica (360º) en seis partes iguales obtendremos ángulos de

60º. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º.

1. Pondremos el lado AB sobre una recta r.

2. Dibujaremos un triángulo equilátero de lado AB: poner el compás en

A y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B.

3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de la

circunferencia del hexágono.

4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por A

y por B).

5. Hallar los vértices del hexágono como en el ejercicio anterior.

A B

oC

DE

F

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota



Ar

r

Dibujar un OCTÓGONO dado el radio.

1. Lo primero que haremos es dibujar la circunferencia con el radio dado.

2.Después dibujar dos diámetros perpendiculares. (ojo, que pasen por el punto O)

3. Los diámetros cortarán a la circunferenica en los puntos A, C, E y G, vértices de

un cuadrado.

4. Dibujar la mediatriz de AC y de CE para obtener los puntos B, D, F, H.

Tambien se pueden dibujar las bisectrices de los cuatro ángulos que forman las

diagonales.

5. Unir los vértices y márcar más oscuro o de color, fino.


B

C

D

E

F

G

H

O

Polígonos estrellados.

Un polígono regular estrellado es un polígono cóncavo

en forma de estrella con diferentes vértices o puntas.

Para construir un polígono estrellado hay varios

métodos. El que se utiliza más en dibujo técnico es el

El Método de Reducción: consiste en trazar la estrella

inscrita dentro del polígono regular. Por lo tanto hay

que dibujar primero su polígono regular en el que está

sustentado, y unir los vértices de éste de dos en dos,

de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco,

etc. Otro método es El Método de Extensión: consiste

en utilizar el polígono regular como centro, trazándose

las puntas de las estrella mediante la prolongación de

los lados del polígono regular.

El número de polígonos estrellados que se pueden

dibujar con un número de vértices diferente, es igual la

cantidad de números primos con el número de vértices

del polígono base dividido por dos. Un número es

primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes.

Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo

tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2.

A

B E

C D

O

Para construir un pentágono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentágono

regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado.

Después hay que unir los vértices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B,

y así continuamente hasta que se cierra el polígono (hasta que se lleva a A al final).

Dibujar un pentágono estrellado.

Dibujar un heptágono estrellado (de siete puntas).

Para construir un polígono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el

heptágono regular. Para construir el heptágono se realiza con los primeros pasos del

pentágono según el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado.

2. Se dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP.

4. El lado del heptágono será KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A.

A

B

C

E

O

M

k

P

L7

D

F

G

AB

C

D

G

F

E

O

Para construir un polígono estrellado de siete puntas, unir los vértices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polígono verde)

puesto que este polígono tiene dos estrellados.

AB

C

D

G

F

E

O


A B




5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm. 6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota



L



Dibujo

O

O

O

O

O


A

B

CD

E

A B

C

D

E


A

B

C

D

E

F



A

B

C

D

E

F

G

H

5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

A

B

CD

E

6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

AB

C

D

E

F

G

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


r


L

r



Dibujo

O

O

O

O

O

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


Dibujar polígonos regulares con EL MÉTODO GENERAL.

Hay que tener en cuenta que el método general es un método inexacto. Por lo tanto para construir polígonos en dibujo técnico se utiliza el

método específico de cada uno de ellos. Estos métodos se pueden utilizar para grandes polígonos de un número elevado de lados pero el

resultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

A

B

O

C

D

E F

G

H

I

P

M

MÉTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO.

1. Dibuja un diámetro vertical

(ojo, que pase por el centro O)

2. divídelo por el teorema de tales en tantas partes

como lados deba de tener el polígono que queremos

construir, en nuestro ejemplo 9.

3. Desde A, extremo del diámetro se dibuja un arco

de rado AP (el diámetro). Desde el otro extremo

P se realiza otro arco igual que el primero.

4. Donde se cortan los dos arcos será el punto M.

5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la

división de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2

del diámetro con el nº 2 de la división del teorema de

tales.

6. La prolongación de esta recta, M2, cortará a la

circunferencia en el punto B primera división de la

circunferencia. La recta AB será el lado del eneágono.

7. Ir colocando la medida AB consecutivamente

desde A.

A tener en cuenta:

Si el polígono es de lados impar como es el caso,

el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitad

por el diámetro.

Si al acabar el polígono no coincide la última

medida con el punto A, hay que rectificar AB, más

grande o más pequeño según el caso.

Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeño

que sea en AB se multiplicará por 9 en este caso.

10

98

7

12

6

11

G

FH

I

J

K

A B

C

D

E

MÉTODO GENERAL cuando nos dan el LADO.

1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior

del recuadro a dibujar el polígono.

2. Como el polígono que vamos a dibujar es de 11

lados vamos a dibujar en primer lugar una

circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados.

El polígono de 11 estará entre estos dos últimos,

luego el centro de la circunferencia circunscrita también.

(ver hexágono según el lado)

3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual.

4. Donde se cortan los dos arcos será el centro de la

circunferencia de 6 lados (hexágono). Dibujamos la

circunferencia

5. Dibujamos el diámetro de dicha circunferencia.

Este diámetro corta a la circunferencia en 12, centro

de la circunferencia de 12 lados (dodecágono).

6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seis

partes iguales.

7. Cada una de las partes en que se divide será un

centro de una circunferencia del número señalado en

el que caben tantos lados AB como divisiones

marcadas (por ejemplo la división 7 será el polígono

de siete lados AB)

8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el

compás en 11 y dibujamos una circunferencia.

9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces

el lado AB.

10. Repasar siempre la figura un poco más oscuro

o con un color con el lápiz bien afilado.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


BA


METODO GENERAL

METODO GENERAL


MÉTODO GENERAL


Dibujo

O

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


BA

10

9

8

7

12

6


11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

2

M

Q

METODO GENERAL

C

E

D

F

G

I

J

K

METODO GENERAL


MÉTODO GENERAL


Dibujo

O

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota


Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda lalámina.

MÉTODO GENERAL


Dibujo

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