Tema 13: Transitorios

1. Introducción

• Concepto de transitorio

• Orden del circuito

2. Transitorios de primer orden

• Respuesta natural

• Respuesta transitoria en continua

• Respuesta transitoria en alterna

3. Transitorios de segundo orden

• Circuitos básicos

• Respuesta natural

• Respuesta ante escalón (continua)

• Respuesta a onda sinusoidal (alterna)

4. Ejemplos de aplicación

Tema 13: Transitorios de 1er y 2º orden

V(t)

t=0

Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.

Los transitorios son debidos a elementos que almacenan energía: Bobinas y condensadores.

Introducción. Concepto de transitorio

Resistencias y

FuentesCeq

Resistencias y

FuentesLeq

Resistencias y

FuentesCeq1

Ceq2

ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que tenga el circuito.

Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden

Resistencias y

FuentesLeq1

Leq2

Resistencias y

FuentesLeq

Ceq

Introducción. Orden del circuito

CVC(t)ReqResistencias

CVC(t)

Req vista desde el condensador

0(0)cv V

e( ) R ( )c q cv t i t

( )( ) cc

dv ti t C

dt

e

( ) 1 ( ) 0R

cc

q

dv t v tdt C

/( ) tcv t A e

eR q C

0A V

Cte de tiempo

El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔV=V0-V∞

/0( ) t

cv t V e

Cálculo de la constante, A:

0(0)cv V

/( ) tcv t A e

Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Respuesta natural

Condiciones iniciales

CVC(t)

Req

V

CircuitoActivo

CVC(t)

Thévenin visto desde el condensador

Resistencias Y Fuentes

/0( ) ( ) tX t X X X e

0(0)cv V

e e

( ) 1 1( )R R

cc

q q

dv t v t Vdt C C

/0( ) ( ) t

cv t V V V e

eR q C Cte de tiempo

( )cv V

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio


El condensador evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial

Para un t=τ se alcanza un 63% del salto (ΔV=V∞-V0)

Única para el circuito

/ /0( ) (1 )t t

cv t V e V e

Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero

Transitorios de primer orden. Respuesta en continua

CircuitoActivo

CVC(t)

Thévenin visto desde el condensador


/( ) 2 cos( ) tX t X t K e

0(0)cv V

e e

( ) 1 1( ) ( )R R

cc ca

q q

dv t v t V tdt C C

/( ) 2 cos( ) tcv t V t K e

eR q C Cte de tiempo

/tK e



Vc(t)

Única para el circuitoCálculo de la constante, K:

0(0)cv V

(0) 2 coscv V K

0 2 cosK V V

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna

L

iL(t)

Geq

0(0)Li I

0A I

e( ) ( )L q Li t G v t

( )( ) LL

di tv t Ldt

e

( ) 1 0LL

q

di t idt G L

/( ) tLi t A e

eqG L Cte de tiempo

La bobina se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial I0 hasta 0

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔI=I0-I∞

Resistencias L

Geq vista desde la bobina

iL(t)

Cálculo de la constante, A:

/( ) tLi t A e

0(0)Li I

/0( ) t

Li t I e

Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Respuesta natural


CircuitoActivo

L

Norton visto desde la bobina


iL(t)

Geq L

iL(t)

i

/0( ) ( ) tX t X X X e

0(0)Li I

e e

( ) 1 1( )Lc

q q

di t v t Idt G L G L

Cte de tiempo

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

iL(t)

I0

I∞

La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial



( )Li I

Para un t=τ se alcanza un 63% del valor salto

/ /0( ) (1 )t t

li t I e I e

Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero

Única para el circuito

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

Transitorios de primer orden. Respuesta en continua

eqG L

( )Li t

/( ) 2 cos( ) tX t X t K e

CircuitoActivo

L

Norton visto desde la bobina


iL(t)

0(0)Li I

.e e

( ) 1 1( ) ( )Lc LR P

q q

di t v t i tdt G L G L

/( ) 2 cos( ) tLi t I t K e

Cte de tiempo

Geq L

iL(t)

Icc(t)


Respuesta forzada=permanente

/tK e

Respuesta natural=transitorio

Única para el circuitoCálculo de la constante, K:

(0) 2 cosli I K

0 2 cosK I I 0(0)Li I

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna

eqG L

Resistencias y

FuentesC

L

00

( )(0) cL

t

dv ti I C

dt

2e

2

R( ) ( ) 1 1( ) ( )qC Cg

d v t dv t Vc t V tdt L dt LC LC

• RLC serie: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en serie.

0(0)cv V

• RLC paralelo: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en paralelo.

Req L

iL(t)

Ig(t)C

VC(t)

L CResistencias

y Fuentes

2

2e

( ) ( )1 1 1( ) ( )R

L Lg

q

d i t di t Vc t i tdt C dt LC LC

0(0)Li I 00

( )(0) LC

t

di tv V Ldt


VC(t)

Req

C

L

Vg(t)

iL(t)


Equivalante Thévenin

visto desde el cjto. LC Leq

Ceq

Equivalante Norton visto desde el cjto. LC

Leq Ceq

Transitorios de segundo orden. Circuitos básicos

2 21 2 0,S S

2 202 0S S

Respuesta natural

2202

( ) ( )2 ( ) 0d X t dX t X tdt dt

1 21 2( ) S t S tX t K e K e

e

e

0

R,

2constante de amortiguamiento α 1 ,2R

1frecuencia de resonancia ,

q

q

para RLC serieL

para RLC paraleloC

para RLC serie y paraleloLC

Polinomio característico

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) S t S tX t K e K e

Respuesta Sobre amortiguada

1 2S S 0

1 2( ) ( ) tX t K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

1 dS j 2 dS j 0

1 2( ) os( )tdX t K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

Transitorios de segundo orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) S t S t

cV t V K e K e

Respuesta Sobreamortiguada

t

X(t)

0V

V

( )cV t

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete: V∞

1 21 1 2 2

( ) ( ) S t S tc cI t dV tK S e K S e

C dt

01

01 2 2

1 1/

V VKI CS S K

0 1 1 2 2/I C K S K S En forma matricial:

0 1 2V V K K





1 1 2( ) ( )

( )t tc cI t dV tK e K t K e

C dt

01

02

0 1/1

V VKI CK

0 1 2/I C K K

En forma matricial: 0 2V V K

1 2S S

0

1 2( ) ( ) tcV t V K t K e


0V V

( )cV t





1 2 1 2

( ) ( )( ) os( )t tc c

d d d

I t dV tK e sen t K K e c t K

C dt

0

0

1 1/d

V VXI CY

0 1 2 1 2/ osdI C K senK K c K En forma matricial:

0 1 2osV V K c K

1 dS j 2 dS j

0

1 2( ) os( )tc dV t V K e c t K



0V

V

( )cV t

1 2osX K c K 1 2Y K senK2 2

1K X Y

2 ( / )K arctg Y X

Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) 2 cos( ) S t S t

cV t V t K e K e

Respuesta Sobreamortiguada



Rég. permannete:

1 21 1 2 2

( ) ( )2 ( ) S t S tc cI t dV tV sen t K S e K S e

C dt

01

1 2 2 0

2 cos1 1

/ 2

V VKS S K I C V sen

0 1 1 2 2/ 2I C V sen K S K S

En forma matricial: 0 1 22 cosV V K K

2 cos( )V t

( )cV t

1 21 2

S t S tK e K e

1 1 2( )

( ) 2 ( ) ( )t tcc

dV tI t C V sen t K e K t K e

dt

01

2 0

2 cos0 11 / 2

V VKK I C V sen

0 1 2/ 2I C V sen K K

En forma matricial: 0 22 cosV V K

1 2S S

0

1 2( ) 2 cos( ) ( ) tcV t V t K t K e



( )cV t

1 2( ) tK t K e



Rég. permannete: 2 cos( )V t

1 2 1 2( )

( ) 2 ( ) ( ) os( )t tcc d d d

dV tI t C V sen t K e sen t K K e c t K

dt

0

0

1 1 2 cos

/ 2d

V VXY I C V sen

0 1 2 1 2/ 2 osdI C V sen K senK K c K

En forma matricial: 0 1 22 cos osV V K c K

1 dS j 2 dS j

0

1 2( ) 2 cos( ) os( )tc dV t V t K e c t K



1 2osX K c K 1 2Y K senK

2 21K X Y

2 ( / )K arctg Y X


1 2os( )tdK e c t K



Rég. permannete: 2 cos( )V t

50 V

Interruptor

4

0.1 H

t = 0

R = 4 R = 2.5 R = 7.5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

14

16

18

20

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)t 0.025 s

t 0.013 s

t 0.04 si = 50/4 = 12.5 A

L/R 0.1/4 0.025 s

i = 50/2.5 = 20 A

L/R 0.1/2.5 0.04 s

i = 50/7.5 = 6 A

L/R 0.1/7.5 0.013 s

Motor de CC

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

Circuito de primer orden

Influencia de la resistencia:

R afecta a la cte. de tiempo y a I∞

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

Transitorio de arranque de un motor CC

50 V

Interruptor

4

0.1 H

t = 0

L = 0.1H L = 0.2H L = 0.05H

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

L → 0

i = 50/4 = 12.5 A

L/R

Influencia de la bobina:

L afecta a la cte. de tiempo

Motor de CC

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

Circuito de primer orden

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

t 0.025 s

t 0.0125 s

t 0.05 s

Transitorio de arranque de un motor CC

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e de

l prim

ario

(A)

1er Orden 2º Orden

Conmutación

2

12 VInterruptor cerrado

1F

1 100

5 mH

R/2L 200

0 1/LC 14142 << 0 Subamortiguado

Interruptor abierto

Circuito de primer ordenCircuito de segundo orden serie

2 20 0d

Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-150

-100

-50

0

50

100

150

Tiempo (s)

Tens

ión

del p

rimar

io d

el tr

ansf

orm

ador

(V)

Conmutación Régimen permanente final

Pico de tensión: chispa en la bujía

R = 2 R = 4 R = 0.5

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden

τ=L/R

0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018 0.0185 0.019

-300

-200

-100

0

100

200

300

Tiempo (s)

Tens

ión

del p

rimar

io d

el tr

afo

(V)

2 20 0d

Influencia de la resistencia:


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

Tiempo (s)

Tens

ión

del s

ecun

dario

del

traf

o (V

)

L = 5 mH L = 7.5mHL = 2.5mH

R

12 VInterruptor C

1 100

L


2 20 0d


τ=L/R

0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018

-1

-0.5

0

0.5

1

x 104

Tiempo (s)

Tens

ión

del s

ecun

dario

del

traf

o (V

)

Influencia de la bobina:


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e de

l prim

ario

(A)

L = 2.5mH R = 4 C = 0.5F

R

12 VInterruptor C

1 100

L


2 20 0d


τ=L/R

Influencia de R, L y C en el transitorio de 1er orden:


Tema 13: Transitorios

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