Tema 13 Resolucion Robinson

5/26/2018 Tema 13 Resolucion Robinson

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26/11/2012Madrid, Espaa

Facultad de InformticaGrado en Ingeniera Informtica

Lgica

Profesor: Javier [email protected]

PARTE 3: DEMOSTRACIN AUTOMTICA

Tema 12: Teorema de Herbrand

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mailto:[email protected]:[email protected]


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Introduccin.

Componentes

Parte 1Lgica Proposicional

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Parte 2Lgica de Primer Orden

Parte 3Demostracin Automtica

Parte 4Resolucin


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Introduccin.

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{llueve o hace sol, no llueve, no hace sol}

Si doy por cierto que llueve o hace sol y afirmo que no llueve,entonces llegara a la conclusin de que hacesol

Pero si tambin afirmo que nohace sol,esto es contradictorio con ladeduccin anterior, por lo que

Es inconsistente hacer las tres afirmaciones anterioressimultneamente


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Motivacin.

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Sabemos que {ll s, ll, s} define la frmula (ll s) ll s

Tambin podemos demostrar que T[ll s, ll, s] s s

1. ll s premisa2. ll premisa3. s corte 1,24. s premisa5. s s I3,4

Por tanto, de una frmula insatisfacible hemos llegado a deducir unacontradiccin

ll s ll s ll s (ll s) ll s

V V V F F F

V F V F V F

F V V V F F

F F F V V F

insatisfacible


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Motivacin.

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Idea general: Plantear un mtodo de obtencin de nuevas instanciasdeducidas del conjunto original, de forma que si llega a deducirse unliteral y su negacin puede concluirse que el conjunto original esinsatisfacible.

Est basado en el lema de la contradiccin: Una frmula F es insatisfaciblesii a partir de ella se puede deducir una contradiccin (T[F] P P)

1. T[F] P P sii F P P (teorema de la deduccin)

2. Por definicin: F P P sii en toda interpretacin i o bien i(F) = F o bien i(F)= V y i(P P) = V

3. Pero i(P P) = F para toda i, por tanto F P P sii en toda interpretacin i,i(F) = F

4. F P P sii F es insatisfacible

5. T[F] P P sii F es insatisfacible (silogismo 1,4)


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El mtodo de resolucin de Robinson.

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Est basado en la regla de resolucin bsica: De dos instancias bsicas LC1 y L C2 (L es un literal) puede deducirse una nueva instancia bsicaC1 C2, llamada resolvente

La aplicacin sucesiva de la regla de resolucin permite obtener una

contradiccin cuando el conjunto original es insatisfacible

La contradiccin se obtiene cuando se deducen dos instancias bsicas(literales aislados) L y L. La aplicacin de la regla sobre L y L genera ,llamada clusula vaca

L C1 L C2

C1 C2


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Para asegurarnos de deducir la clusula vaca siempre que el conjunto seacontradictorio, necesitamos tener en cuenta la idempotencia (L L L)

Regla de resolucin bsica extendida: De dos instancias bsicas L L C1 y L L C2 (L es un literal) puede deducirse una nuevainstancia bsica C1 C2

La aplicacin de esta regla extendida se denominapaso de resolucin sobreL con resolvente C1 C2

L L L L

L L

L L


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Mtodo: Dado un conjunto C de instancias bsicas:

1) Generar el conjunto R de todos los resolventes que pueden obtenerseaplicando la regla de resolucin entre instancias del conjunto C de todas las

formas posibles

2) Si est incluida en R entonces terminar C es insatisfacible

3) Si R C significa que ya se han generado todos los resolventes posibles,entonces terminar C es satisfacible

4) Hacer C = C R y repetir desde 1)


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El mtodo de resolucin es correcto

Si por la aplicacin sucesiva de la regla de resolucin deducimos , entonces elconjunto inicial de instancias bsicas es insatisfacible.

El mtodo de resolucin es completo

Si el conjunto inicial es insatisfacible, entonces podemos asegurar que con laaplicacin sucesiva de la regla de resolucin llegaremos a deducir la clusula vaca.

Un conjunto de instancias bsicas es insatisfacible sii se puede deducir a partirde l por resolucin

Se podra definir un nuevo sistema de deduccin basado en la regla deresolucin. Este sistema tendra una nica regla y por tanto sera muchoms simple que otros sistemas de deduccin formales que utilizan msreglas de deduccin (ej. deduccin natural)


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C = {I1: p(a, f(b)), I2: p(b, f(b)), I3: p(a, f(b)) q(f(b)), I4: p(b, f(b)) q(f(b))} resuelve I1 con I2: NO resuelve I2 con I3: NO resuelve I1 con I3: q(f(b)) resuelve I2 con I4: q(f(b)) resuelve I1 con I4: NO resuelve I3 con I4: p(a, f(b)) p(b, f(b))

R = {I5: q(f(b)), I6: q(f(b)), I7: p(a, f(b)) p(b, f(b))}

En R no est , por tanto redefinimos C = C R y buscamos nuevos resolventes:

resuelve I1 con I5: NO resuelve I2 con I5: NO resuelve I1 con I6: NO resuelve I2 con I6: NO resuelve I1 con I7: p(b, f(b)) resuelve I2 con I7: p(a, f(b))

resuelve I3 con I5: NO resuelve I4 con I5: p(b, f(b)) resuelve I3 con I6: p(a, f(b)) resuelve I4 con I6: NO resuelve I3 con I7: NO resuelve I4 con I7: NO

resuelve I5 con I6: resuelve I5 con I7: NO resuelve I6 con I7: NO

R = {p(b, f(b)), p(a, f(b)), }

R incluye a C es insatisfacible


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En la prctica, la aplicacin de sucesivos pasos de resolucin se puede representar enforma de rbol (rbol de resolucin):

rbol binario invertido (cada dos nodos tienen unhijocomn)

cada nodo representa una instancia bsica

el nodo hijo de otros dos nodos es el resolvente de las instancias correspondientes

En el rbol de resolucin slo se representan los pasos relevantes para llegar a

Conjunto de instancias bsicas: {p(a, f(b)), p(b, f(b)), p(a, f(b)) q(f(b)), p(b, f(b)) q(f(b))}

p(a, f(b)) p(a, f(b)) q(f(b))

p(b, f(b)) q(f(b))

q(f(b))

p(b, f(b)) p(b, f(b))

Puede deducirse por

resolucin la clusula vaca,

por lo que el conjunto de

instancias es insatisfacible


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Procedimiento general de decisin de insatisfacibilidad:

1) Generar todos los conjuntos posibles de instancias bsicas

2) Para cada conjunto de instancias bsicas aplicar el mtodo de resolucin

El paso 1) es especialmente costoso e ineficiente. Idea de Robinson:retrasar la sustitucin de variables por trminos de H, instanciando sloaquellas variables que sean necesarias en cada paso de resolucin

Robinson plante trabajar directamente con las clusulas pero de manera que

representen siempre una clase de instancias bsicas lo ms general posible.Cada aplicacin de la regla de resolucin debe dar un resolvente (convariables) que represente la clase de instancias bsicas que se hubieranpodido obtener aplicando resolucin con instancias bsicas

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