Esquema T. 11. Distribuciones de variable continua (1º CC.SS.)   Jesús C. Sastre   1  

 

1. Distribuciones de probabilidad de variable continua.

a. Definición de distribuciones de probabilidad de variable continua.

o Distribución de probabilidad de variable continua = Idealización de una distribución estadística de variable continua.

b. Función densidad o densidad de probabilidad. o Definición: función 𝑦 = 𝑓(𝑥), que delinea la idealización del histograma

de una distribución estadística. o El significado geométrico del área comprendida entre el eje 𝑋 y la función

densidad de probabilidad 𝑦 = 𝑓(𝑥), darán lugar a las probabilidades. o Características:

1. Ha de ser 𝑓 𝑥 ≥ 0,∀𝑥 ∈ ℝ. 2. El área total bajo la curva, debe dar 1 (probabilidades

normalizadas).

c. Cálculo de probabilidades a partir de la función densidad de probabilidad. o Para hallar la probabilidad 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = área bajo la curva en [𝑎, 𝑏]. o Las probabilidades de sucesos puntuales son cero (el área de la curva bajo

un punto, es cero): 𝑃 𝑥 = 𝑎 = 0 o Por tanto, 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 .

d. Parámetros.

o La media (𝜇), y la desviación típica (𝜎), tienen los mismos significados que en las distribuciones estadísticas.

1. Media (𝜇): centro de gravedad de la distribución. 2. Desviación típica (𝜎): medida de la dispersión.

e. Cálculo de la probabilidad a partir de la función de densidad 𝑦 = 𝑓(𝑥).

o El cálculo exacto del área bajo la curva viene dada por la integral de la función.

o En este curso, haremos un estudio de casos sencillos, que se puedan calcular sin necesidad de saber integrar.

o Casos concretos:

• 𝑦 = 𝑘. • 𝑦 = 𝑚𝑥.

Esquema T. 11. Distribuciones de variable continua (1º CC.SS.)   Jesús C. Sastre   2  

 

Ejemplo.

2. La distribución normal.

a. Definición: la campana de Gauss, curva de Gauss o curva

normal, es una función de probabilidad: o Continua. o Simétrica. o Cuyo máximo coincide con la media.

b. Forma de la curva, según los valores de 𝜇 y 𝜎.

c. Situaciones en las que se utiliza la

distribución normal. o Caracteres morfológicos de

individuos (altura, peso…). o Caracteres fisiológicos (efectos de

una misma dosis de fármaco sobre distintos individuos).

o En general, toda característica que se obtenga como suma de muchos factores.

d. Distribución de probabilidades bajo la curva normal. En una primera aproximación, el reparto de probabilidades en una distribución 𝑁(𝜇,𝜎) cualquiera, se realiza del siguiente modo:

Esquema T. 11. Distribuciones de variable continua (1º CC.SS.)   Jesús C. Sastre   3  

 

Ejemplo.

3. Cálculo de probabilidades en distribuciones normales. Cuando los intervalos en los que se calculan las probabilidades distan un número

entero de desviaciones típicas, es muy fácil hacer los cálculos (apartado anterior). Cuando los extremos de los intervalos no coinciden con estas distancias, necesitaremos más datos para calcular dichas probabilidades. En concreto, necesitaremos una tabla con las áreas bajo la curva normal 𝑁(0,1).

a. Tabla de áreas bajo la curva normal 𝑵(𝟎,𝟏).

En la distribución 𝑁(0,1), a la variable se le suele representar por a letra 𝑧. La siguiente tabla nos da las 𝑃 𝑧 ≤ 𝑘 , 𝑘 ∈ [0,4). Al conjunto de estas probabilidades se les llama 𝜙(𝑘).

De esta forma, tenemos, por ejemplo:

𝑃 𝑧 ≤ 0,37 = 𝜙 0,37 = 0,6443

De la misma forma, conociendo una probabilidad, se puede hallar el valor de 𝑘 asociado a ella.

Esquema T. 11. Distribuciones de variable continua (1º CC.SS.)   Jesús C. Sastre   4  

 

b. Cálculo de probabilidades en una distribución 𝑵(𝟎,𝟏). Aplicando la teoría de conjuntos, se calculan probabilidades, y mezclando unas y otras, se hallan las pedidas en el ejercicio concreto.

Esquema T. 11. Distribuciones de variable continua (1º CC.SS.)   Jesús C. Sastre   5  

 

Ejemplo

c. Cálculo de probabilidades en una distribución 𝑁(𝜇,𝜎). Si 𝑥 es 𝑁(𝜇,𝜎), para calcular la probabilidad 𝑃[ℎ < 𝑥 < 𝑘] se procede del siguiente modo:

𝑷 𝒉 < 𝒙 < 𝒌 = 𝑷[𝒉 − 𝝁𝝈

< 𝒛 <𝒌 − 𝝁𝝈

]

El cambio 𝒌 → 𝒌!𝝁𝝈

se llama tipificación de la variable.

La variable ya tipificada sigue una distribución 𝑁(0,1). NOTA: hemos llamado 𝑥 a la variable de una distribución 𝑁(𝜇,𝜎) cualquiera, mientras que a la variable de la distribución 𝑁(0,1), se le llamará 𝑧.

Ejemplo

Esquema T. 11. Distribuciones de variable continua (1º CC.SS.)   Jesús C. Sastre   6  

 

4. La distribución binomial se aproxima a la normal.

Para ciertos valores de 𝑛 y 𝑝, as distribuciones binomiales tienen un extraordinario parecido con las correspondientes distribuciones normales.

En general, una binomial 𝐵(𝑛, 𝑝) se parece a una curva normal cuanto mayor es el producto 𝑛𝑝 (o 𝑛𝑞, si 𝑞 < 𝑝).

Cuando 𝑛𝑝 y 𝑛𝑞 son ambos mayores que 3, la aproximación es bastante buena. Y si superan a 5, la aproximación es casi perfecta.

Naturalmente, la curva normal a la cual se aproxima tiene la misma media y la misma desviación típica que la binomial, es decir:

𝜇 = 𝑛𝑝

𝜎 = 𝑛𝑝𝑞

a. Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal.

Si 𝑥 es 𝐵(𝑛, 𝑝), y se parece mucho a 𝑥’, 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝𝑞), el cálculo de probabilidades

de 𝑥 puede hacerse a partir de 𝑥′ del siguiente modo: 𝑃 𝑥 = 𝑘 = 𝑃[𝑘 − 0,5 < 𝑥! < 𝑘 + 0,5]

Es decir, a cada valor puntual de 𝑥   0,1,2,… , 𝑘,… , 𝑛 se le asocia en 𝑥′ un intervalo centrado en 𝑘 y de radio 0,5. Es decir:

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 = 𝑃[𝑎 − 0,5 < 𝑥! < 𝑏 − 0,5] 𝑃 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑃[𝑎 + 0,5 < 𝑥! < 𝑏 + 0,5]

𝑃 𝑎 < 𝑥 = 𝑃[𝑎 + 0,5 < 𝑥!] Ejemplo