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TEMA 10. TEMPERATURA Y CALOR

Definir, desde un punto de vista microscópico, los conceptos de temperatura, presión y calor. Conocer y aplicar las ecuaciones de estado de gases ideales. Definir y calibrar escalas de temperatura usando un gas ideal. Comprender los conceptos de calor específico y calor latente de una sustancia. Aplicar correctamente los balances energéticos y de materia en procesos de calorimetría. Calcular la dilatación de objetos debida a variaciones de temperatura. Expresar con sus propias palabras las principales características de los modos de transferencia de calor.

OBJETIVOS

ÍNDICE

10.1 Sistemas de muchas partículas. Temperatura y calor 10.2 Gases ideales y reales: ecuación de estado 10.3 Termómetros y escalas de temperatura 10.4 Dilatación térmica 10.5 Calor específico y calor latente 10.6 Propagación del calor


10.1 Sistemas de muchas partículas: temperatura y calor 10.1.1 Termodinámica

La temperatura es una propiedad de los objetos que nos permite saber si al tocarlos, notaremos una sensación de calor o de frío


Hasta el Siglo XIX se creía que el calor era una propiedad de la materia distinta de las propiedades mecánicas. Su estudio originó la Termodinámica. Hoy se sabe que es una ampliación de la Mecánica de sistemas formados por muchas partículas

10.1 Sistemas de muchas partículas: temperatura y calor 10.1.2 Interacción mecánica: trabajo en los cambios de volumen


Equilibrio mecánico 𝑊𝑊 = � 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑉𝑉𝑓𝑓

𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 �⃗�𝐹 =𝑑𝑑�⃗�𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑊𝑊 = 𝐹𝐹𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐹𝐹 = 𝑃𝑃𝑃𝑃

�⃗�𝐹 �⃗�𝑣𝑖𝑖

�⃗�𝑣𝑗𝑗 = 0

�⃗�𝐹

𝑑𝑑�⃗�𝐹

10.1 Sistemas de muchas partículas: temperatura y calor 10.1.3 Interacción térmica: calor y temperatura


�̅�𝑣2: velocidad cuadrática media

𝐸𝐸�𝑐𝑐 =1𝑁𝑁�

12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖2

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

Energía cinética media por partícula vi: velocidad de una partícula respecto del centro de masas Si mi = cte = m

�⃗�𝑣𝑖𝑖 �⃗�𝑣𝑗𝑗 = 0

𝐸𝐸�𝑐𝑐 =12𝑚𝑚

∑𝑣𝑣𝑖𝑖2

𝑁𝑁 =12𝑚𝑚�̅�𝑣

2

𝐸𝐸�𝑐𝑐1 = 𝐸𝐸�𝑐𝑐2

Equilibrio térmico

𝑇𝑇 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝐸𝐸�𝑐𝑐

𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2

Membrana elástica de separación

10.2 Gases ideales y reales: Ecuación de estado 10.2.1 Ecuación de estado de los gases ideales


Gas ideal: Es una aproximación a un gas real con baja densidad, por lo que se puede considerar formado por moléculas de tamaño despreciable frente al volumen ocupado y entre las que únicamente existen fuerzas cuando chocan entre sí.

N moléculas de gas ideal en un recipiente rectangular de volumen V Δ𝑝𝑝 = 2𝑚𝑚�̅�𝑣𝑥𝑥

12𝑃𝑃𝑁𝑁�̅�𝑣𝑥𝑥Δ𝑑𝑑

𝑑𝑑=𝑃𝑃𝑁𝑁𝑚𝑚�̅�𝑣𝑥𝑥2Δ𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝐹𝐹 =Δ𝑝𝑝Δ𝑑𝑑 =

𝑃𝑃𝑁𝑁𝑚𝑚�̅�𝑣𝑥𝑥2

𝑑𝑑

�̅�𝑣𝑥𝑥2 = �̅�𝑣𝑦𝑦2 = �̅�𝑣𝑧𝑧2

10.2 Gases ideales y reales: Ecuación de estado 10.2.1 Ecuación de estado de los gases ideales


N moléculas de gas ideal en un depósito rectangular de volumen V

𝑃𝑃 =𝐹𝐹𝑃𝑃

=𝑁𝑁𝑚𝑚�̅�𝑣𝑥𝑥2

𝑑𝑑

𝑃𝑃𝑑𝑑 =13𝑁𝑁𝑚𝑚�̅�𝑣

2 =23𝑁𝑁𝐸𝐸

�𝑐𝑐 =23𝑁𝑁𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑇𝑇 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇

𝑁𝑁 =2

3𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 = 1,38 ∙ 10−23 𝐽𝐽/𝐾𝐾:𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐵𝐵𝑑𝑑𝐵𝐵𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 𝐶𝐶𝑁𝑁𝐴𝐴

𝑁𝑁𝐴𝐴 = 6,022 ∙ 1023𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵 :𝑁𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑃𝑃𝑣𝑣𝐶𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶𝑑𝑑𝑝𝑝𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁𝑇𝑇 = 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑇𝑇

𝑛𝑛 = 𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁 = 8,314𝐽𝐽

𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐾𝐾:𝐶𝐶𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅𝑐𝑐𝑝𝑝𝐴𝐴

Constantes universales de los gases

�̅�𝑣2 = �̅�𝑣𝑥𝑥2 + �̅�𝑣𝑦𝑦2 + �̅�𝑣𝑧𝑧2 = 3�̅�𝑣𝑥𝑥2

10.2 Gases ideales y reales: Ecuación de estado 10.2.2 Casos particulares


𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 ⟹ 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑇𝑇

= 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐

Ley de Boyle-Mariotte (T=cte) 𝑃𝑃𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐

Primera ley de Gay-Lussac (P=cte) 𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐

Segunda ley de Gay-Lussac (V=cte) 𝑃𝑃𝑇𝑇 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐

10.2 Gases ideales y reales: Ecuación de estado 10.2.3 Ejemplos


Un depósito de 10,0 L contiene gas a 0°C y a una presión de 4,00 atm. ¿Cuántos moles de gas hay en el depósito? ¿Cuántas moléculas?

𝑃𝑃𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑇𝑇 ⟹ 𝐶𝐶 =𝑃𝑃𝑑𝑑𝑛𝑛𝑇𝑇 = 1,79 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵𝑐𝑐𝐶𝐶

𝑁𝑁 = 𝐶𝐶𝑁𝑁𝐴𝐴 = 1,08 ∙ 1024𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵𝑚𝑐𝑐𝑝𝑝𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶

10.2 Gases ideales y reales: Ecuación de estado 10.2.3 Ejemplos


Una habitación tiene 6 m·5 m·3 m. (a) Si la presión del aire en ella es 1 atm y su temperatura es 300 K, hallar el número de moles de aire en la habitación. (b) Si la temperatura sube en 5 K y la presión permanece constante, ¿cuántos moles de aire salen de la habitación?

3 m

6 m

5 m

𝑃𝑃𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑇𝑇 ⟹ 𝐶𝐶 =𝑃𝑃𝑑𝑑𝑛𝑛𝑇𝑇 = 3,66 ∙ 103 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵𝑐𝑐𝐶𝐶

𝐶𝐶 =𝑃𝑃𝑑𝑑𝑛𝑛𝑇𝑇 = 3,60 ∙ 103 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵𝑐𝑐𝐶𝐶 ⟹ 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐵𝐵𝑐𝑐𝐶𝐶 60 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵𝑐𝑐𝐶𝐶

(a)

(b)

10.3 Termómetros y escalas de temperatura 10.3.1 Equilibrio térmico


Principio cero de la termodinámica: Si dos objetos están en equilibrio térmico con un tercero, entonces están en equilibrio térmico entre sí.

Se dice que dos cuerpos tienen la misma temperatura si están en equilibrio térmico entre sí.

El concepto de temperatura, al igual que el de fuerza, se origina con la percepción de nuestros sentidos

10.3 Termómetros y escalas de temperatura 10.3.2 Termómetros


Para comprobar si dos objetos se encuentran a la misma temperatura, se ponen en contacto mutuo, o bien con un tercero (termómetro), y se comprueba si están en equilibrio térmico (si las propiedades termométricas no varían).

Una propiedad física que varía con la temperatura se denomina propiedad termométrica (presión, volumen, etc.)

En un termómetro de bulbo (líquido), la longitud L del capilar depende de la temperatura.

L 𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝛼𝛼

10.3 Termómetros y escalas de temperatura 10.3.2 Termómetros


Otros sensores de temperatura: Termopar. Entre dos metales distintos en contacto aparece una fuerza electromotriz función de la temperatura. Detector de temperatura resistivo y termistor. La resistencia eléctrica varía de forma predecible con la temperatura. Pirómetro de radiación y pirómetro óptico. Son sensibles a la radiación. Se pueden combinar con un sistema automatizado de adquisición de datos.

Termómetro de gas (hidrógeno o helio): gran precisión y exactitud, aunque el dispositivo es grande y de lenta respuesta

𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑃𝑃

10.3 Termómetros y escalas de temperatura 10.3.3 Escalas de temperatura


Escala de gas

Agua en su punto triple. Contiene líquido, hielo y vapor de agua, todo en equilibrio (T=0,01°C y p=4,58 mmHg)

𝛼𝛼 =273,16𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑇𝑇 = 273,16𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝

Sea P la presión en un termómetro de gas a V=cte en equilibrio térmico con un cuerpo

El valor de α se obtiene midiendo la presión del termómetro en un estado de referencia, como el punto triple (pt)

𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑃𝑃

Por tanto



Escala de gas

Lecturas de diferentes termómetros de gas a V=cte para un valor de T frente a Ppt

𝑇𝑇 = 273,16 lim𝑃𝑃,𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝→0

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝

Los valores de P y Ppt dependen de la cantidad y de la identidad del gas utilizado. Sin embargo, al disminuir la cantidad, resulta que cuando P→0, el valor P/Ppt es el mismo con todos los gases. Por tanto

Así, se ha medido T≈20 K. En realidad, no se puede reducir tanto la cantidad de gas en el termómetro



𝑇𝑇 °𝐶𝐶 = 𝑇𝑇 𝐾𝐾 − 273,15

𝑇𝑇 °𝑛𝑛 = 1,8 𝑇𝑇 𝐾𝐾

𝑇𝑇 °𝐹𝐹 = 𝑇𝑇 °𝑛𝑛 − 459,67

𝑇𝑇 °𝐹𝐹 = 1,8 𝑇𝑇 °𝐶𝐶 + 32

10.3 Termómetros y escalas de temperatura 10.3.4 Ejemplos


La relación entre la resistencia y la temperatura de un resistor es 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛0𝑐𝑐𝐵𝐵/𝑇𝑇, donde R se expresa en ohmios (Ω), T en K, y R0 y B son constantes. (a) Si R = 7.360 Ω en el punto de congelación del agua y 153 Ω en el punto de ebullición del agua, calcular R0 y B. (b) ¿Cuál es la resistencia del termistor a 98,6°F? (c) ¿Cuál es la variación de la resistencia con la temperatura (dR/dT) en el punto de congelación y en el punto de ebullición? (d) ¿Para cuál de estas temperaturas es más sensible este termistor ?

7.360 = 𝑛𝑛0𝑐𝑐𝐵𝐵/273

153 = 𝑛𝑛0𝑐𝑐𝐵𝐵/373 𝐵𝐵 = 3.944 𝐾𝐾 𝑛𝑛0 = 3,914 ∙ 10−3 Ω

(a)

(b)

𝑛𝑛 = 𝑛𝑛0𝑐𝑐𝐵𝐵/𝑇𝑇 = 1.312 Ω (c)

𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 = −

𝑛𝑛0𝐵𝐵𝑇𝑇2 𝑐𝑐𝐵𝐵/𝑇𝑇

𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 𝑇𝑇=273 𝐾𝐾

= −389Ω 𝐾𝐾⁄

𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 𝑇𝑇=373 𝐾𝐾

= −4,33Ω 𝐾𝐾⁄ (d)

El termistor tiene mayor sensibilidad a bajas temperaturas

10.4 Calor específico y calor latente 10.4.1 Capacidad térmica o calorífica


En general, cuando un cuerpo recibe energía en forma de calor, aumenta su temperatura. La cantidad de calor es proporcional al incremento de temperatura y a la masa de la sustancia.

𝑄𝑄 = 𝐶𝐶∆𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑐𝑐∆𝑇𝑇

Lingotes de acero en un horno (T=1.340°C) para fabricar tubos

𝐶𝐶: 𝑐𝑐𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑 𝑐𝑐𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶

𝑐𝑐: 𝑐𝑐𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶𝑝𝑝 𝑐𝑐𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶 𝐽𝐽 𝑁𝑁𝐴𝐴 ∙ 𝐾𝐾⁄

𝑐𝑐′ = 𝑐𝑐𝑚𝑚: 𝑐𝑐𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶𝑝𝑝 𝑐𝑐𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶𝑝𝑝 𝐽𝐽 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐵𝐵 ∙ 𝐾𝐾⁄

10.4 Calor específico y calor latente 10.4.2 Calor específico y calor molar


Los líquidos aparecen en rojo y el gas en azul

10.4 Calor específico y calor latente 10.4.3 Calorimetría. Medida del calor específico de un cuerpo


Calorímetro

Se quiere determinar el calor específico c de un cuerpo: Se calienta el objeto de masa m hasta Tio conocida. Se dispone de un recipiente (calorímetro) que contiene agua a Tia. Se conocen las masas del agua, ma, y del recipiente, mr. Se introduce el objeto en el calorímetro y se espera hasta alcanzar la temperatura final de equilibrio, Tf.

Datos: m (kg), Tio (°C), Tia (°C), ma (kg), ca (J/kg K), mr (kg), Tf (°C)

Calcular: c (J/kg K)

10.4 Calor específico y calor latente 10.4.3 Calorimetría. Medida del calor específico de un cuerpo


Calorímetro

Calor que sale del objeto: 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑓𝑓)

Calor que entra en el agua y el recipiente: 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑓𝑓 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑇𝑇𝑓𝑓 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑠𝑠

La expresión se simplifica definiendo el equivalente en agua del calorímetro, me: 𝑚𝑚𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑎𝑎⁄

Igualando Qsale y Qentra se puede calcular c: 𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑓𝑓 = 𝑚𝑚𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑓𝑓 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑠𝑠

𝑐𝑐 =𝑚𝑚𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑓𝑓 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑠𝑠

𝑚𝑚 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑓𝑓

10.4 Calor específico y calor latente 10.4.4 Cambios de fase: calor latente


La energía necesaria para producir un cambio de fase (sólido, líquido o vapor) no produce cambios en la energía cinética media por partícula, sino que da lugar a una variación de la energía potencial (se rompen los enlaces moleculares que mantienen una estructura cristalina en un sólido o se vence la atracción entre moléculas en un líquido)

La temperatura del hielo es constante durante el cambio de fase

𝑄𝑄 = 𝑚𝑚𝛼𝛼

𝛼𝛼: 𝑐𝑐𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶𝑝𝑝 𝐵𝐵𝐶𝐶𝑑𝑑𝑐𝑐𝐶𝐶𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐽𝐽 𝑁𝑁𝐴𝐴⁄

10.4 Calor específico y calor latente 10.4.5 Ejemplos


Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20°C. Se introduce un trozo de hielo de 100 g a -20°C (calor específico, 2,0 kJ/kg K). (a) Determinar la temperatura final del sistema. (b) Se añade un segundo trozo de hielo de 200 g a -20°C. ¿Cuánto hielo queda en el sistema en equilibrio? (c) ¿Sería distinta la respuesta al apartado (b) si ambos trozos se agregaran al mismo tiempo?

𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 20 − 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒 = 𝑚𝑚ℎ 𝑐𝑐ℎ 0 − −20 + 𝛼𝛼ℎ + 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒 − 0 ⟹ 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒 = 3°𝐶𝐶

La temperatura final es mayor que 0°C porque la energía que sale del agua líquida y el calorímetro suponiendo que la temperatura de equilibrio fuese 0°C es mayor que la que entra al hielo para fundirse. Por tanto:

(a)

(b) 𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 3 − 0 = 𝑚𝑚ℎ 𝑐𝑐ℎ 0 − −20 + 𝛼𝛼ℎ ⟹ 𝑚𝑚ℎ = 24 𝐴𝐴

Hay 176 g de hielo en equilibrio (c) El resultado hubiese sido el mismo

10.5 Dilatación térmica 10.5.1 Dilatación lineal


∆𝛼𝛼𝛼𝛼 = 𝛼𝛼Δ𝑇𝑇

𝛼𝛼 =Δ𝛼𝛼 𝛼𝛼⁄Δ𝑇𝑇

𝛼𝛼 = limΔ𝑇𝑇→0

Δ𝛼𝛼 𝛼𝛼⁄Δ𝑇𝑇 =

1𝛼𝛼𝑑𝑑𝛼𝛼𝑑𝑑𝑇𝑇

α: Coeficiente de dilatación térmica lineal (K-1)

Trayectoria en zigzag (permite la dilatación térmica) del oleoducto de Alaska (tubería de 1.300 km de longitud y 1,22 m de diámetro). Está diseñado para soportar temperaturas que van de - 53°C hasta 63°C.

10.5 Dilatación térmica 10.5.2 Dilatación de volumen


𝛽𝛽 = limΔ𝑇𝑇→0

Δ𝑑𝑑 𝑑𝑑⁄Δ𝑇𝑇 =

1𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇

β: Coeficiente de dilatación de volumen (K-1)

L2

L1

L3

T=T

L2+ΔL2

T=T+ΔT

L1+ΔL1

L3+ΔL3

𝑑𝑑 = 𝛼𝛼1𝛼𝛼2𝛼𝛼3

𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑇𝑇 = 𝛼𝛼1𝛼𝛼2

𝜕𝜕𝛼𝛼3𝜕𝜕𝑇𝑇 + 𝛼𝛼1

𝜕𝜕𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑇𝑇 𝛼𝛼3 +

𝜕𝜕𝛼𝛼1𝜕𝜕𝑇𝑇 𝛼𝛼2𝛼𝛼3

𝛽𝛽 =1𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑇𝑇 =

1𝛼𝛼3𝜕𝜕𝛼𝛼3𝜕𝜕𝑇𝑇 +

1𝛼𝛼2𝜕𝜕𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑇𝑇 +

1𝛼𝛼1𝜕𝜕𝛼𝛼1𝜕𝜕𝑇𝑇 = 3𝛼𝛼



Valores aproximados de los coeficientes de dilatación térmica para varias sustancias



Volumen de un gramo de agua a la presión atmosférica en función de la temperatura. El volumen mínimo se da a 4°C y corresponde a la máxima densidad. Por debajo de 0°C se representa la curva del agua sobreenfriada a partir del punto de congelación normal sin que solidifique.

10.5 Dilatación térmica 10.5.3 Esfuerzo térmico


Las juntas de dilatación permiten que los puentes se dilaten con los aumentos de temperatura

Si se quiere evitar la dilatación (o contracción) de un elemento cuando aumenta (o disminuye) su temperatura, hay que aplicar un esfuerzo de compresión a sus extremos.

Δ𝛼𝛼𝛼𝛼0 𝑝𝑝𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖

+Δ𝛼𝛼𝛼𝛼0 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑚𝑚𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑐𝑒𝑒

= 0

𝛼𝛼Δ𝑇𝑇 +1𝑌𝑌𝐹𝐹𝑃𝑃

= 0

𝐹𝐹𝑃𝑃 = −𝛼𝛼𝑌𝑌Δ𝑇𝑇

Δ𝑇𝑇 < 0 ⟹ 𝐹𝐹 𝑃𝑃⁄ > 0; 𝑇𝑇𝑝𝑝𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶

Δ𝑇𝑇 > 0 ⟹ 𝐹𝐹 𝑃𝑃⁄ < 0;𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶

10.5 Dilatación térmica 10.5.4 Ejemplos


Una abrazadera de cobre debe ajustar fuertemente alrededor de una barra de acero cuyo diámetro es 6,0000 cm a 20°C. El diámetro interior de la abrazadera de cobre a esa temperatura es de 5,9800 cm. ¿A qué temperatura debe calentarse la abrazadera para que ajuste perfectamente sobre la barra de acero, suponiendo que ésta permanece a 20°C?

∆𝑇𝑇 =1𝛼𝛼Δ𝛼𝛼𝛼𝛼 ⟹ 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇0 + ∆𝑇𝑇 = 217°𝐶𝐶

L L+ΔL

Abrazadera Barra

10.6 Transferencia de calor 10.6.1 Conducción


Modos de transferencia del calor



(a) Barra conductora aislada con sus extremos a dos temperatura diferentes. (b) Segmento de la barra de longitud dx. El flujo de calor a través de esta porción es proporcional al área de su sección recta y a la diferencia de temperaturas dT, e inversamente proporcional a dx, el espesor del segmento



∆𝑇𝑇 = �̇�𝑄∆𝐹𝐹𝑁𝑁𝑃𝑃

= �̇�𝑄𝑛𝑛𝑝𝑝

𝑛𝑛 =∆𝐹𝐹𝑁𝑁𝑃𝑃

R: resistencia térmica (K/W)

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 = �̇�𝑄𝑛𝑛1

𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇3 = �̇�𝑄𝑛𝑛2 𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇3 = �̇�𝑄 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 = �̇�𝑄𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒

𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒 = 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖 �̇�𝑄 =∆𝑇𝑇𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒

⟹



�̇�𝑄1 =∆𝑇𝑇𝑛𝑛1

�̇�𝑄2 =∆𝑇𝑇𝑛𝑛2

�̇�𝑄𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠 = �̇�𝑄1+�̇�𝑄2= ∆𝑇𝑇1𝑛𝑛1

+1𝑛𝑛2

=∆𝑇𝑇𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒

1𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒

=1𝑛𝑛1

+1𝑛𝑛2

= ∑1𝑛𝑛𝑖𝑖



Valores de la conductividad térmica, k, para diversos materiales

�̇�𝑄 =𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑊𝑊)

�̇�𝑞 =�̇�𝑄𝑃𝑃 =

𝑁𝑁𝑐𝑐 ∆𝑇𝑇 (𝑊𝑊 𝑚𝑚2)⁄

e: espesor (m)

10.6 Transferencia de calor 10.6.2 Convección


�̇�𝑄 =𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑃𝑃𝐴∆𝑇𝑇 (𝑊𝑊)

�̇�𝑞 =�̇�𝑄𝑃𝑃 = 𝐴∆𝑇𝑇 (𝑊𝑊 𝑚𝑚2)⁄

h: coeficiente de transferencia de calor por convección (W/m2 K)

10.6 Transferencia de calor 10.6.3 Radiación


�̇�𝑄 =𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑐𝑐𝜎𝜎𝑃𝑃𝑇𝑇4 (𝑊𝑊)

σ: 5,6703·10-8 W/m2 K4 Constante de Stefan-Boltzmann

e: emisividad de la superficie radiante. Adimensional

�̇�𝑄𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠 = 𝑐𝑐𝜎𝜎𝑃𝑃 𝑇𝑇4 −𝑇𝑇04 (𝑊𝑊)

T

T0



Cuerpo negro: Cuerpo que absorbe toda la radiación que incide sobre él. Su emisividad es igual a 1.

Un pequeño orificio en una cavidad es la mejor aproximación a un cuerpo negro ideal



Potencia radiada en función de la longitud de onda correspondiente a la radiación emitida por un cuerpo negro. La temperatura de la superficie radiante se Indica en la figura.

𝜆𝜆𝑚𝑚𝑠𝑠𝑥𝑥 =2,898 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝐾𝐾

𝑇𝑇

Ley de desplazamiento de Wien

10.6 Transferencia de calor 10.6.4 Ejemplos


Dos cubos metálicos con aristas de 3 cm, uno de cobre (Cu) y otro de aluminio (Al), se disponen como se muestra en la figura. Determinar (a) el flujo calorífico que atraviesa cada cubo, (b) la corriente térmica total y (c) la resistencia térmica equivalente del sistema de los dos cubos.

(a)

(b)

(c)

�̇�𝑄𝐶𝐶𝐶𝐶 =∆𝑇𝑇𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶

= 0,96 𝑁𝑁𝑊𝑊

�̇�𝑄𝐴𝐴𝑠𝑠 =∆𝑇𝑇𝑛𝑛𝐴𝐴𝑠𝑠

= 0,57 𝑁𝑁𝑊𝑊

�̇�𝑄𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠 = �̇�𝑄𝐶𝐶𝐶𝐶+�̇�𝑄𝐴𝐴𝑠𝑠= 1,53 𝑁𝑁𝑊𝑊

1𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒

=1𝑛𝑛𝐶𝐶𝐶𝐶

+1𝑛𝑛𝐴𝐴𝑠𝑠

⟹ 𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒 = 0,052 𝐾𝐾/𝑊𝑊

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