Contenido

10 Superficies 110.1 Concepto de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.2 Plano tangente y recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

10.2.1 Superficie en forma implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410.2.2 Superficie en forma explcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610.2.3 Superficie en forma parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

10.3 Superfices de revolucion y de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.3.1 Superficies de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.3.2 Superficies de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

10.4 Superficies conicas y cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.4.1 Superficies conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.4.2 Superficies cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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Captulo 10

Superficies

Concepto de superficie.- Plano tangente y recta normal a una superficie.- Superfices derevolucion y de traslacion.- Superficies conicas y cilndricas.

10.1 Concepto de superficie

Llamamos superficie en el espacio al lugar geometrico de los puntos (x, y, z) queverifican la ecuacion

F (x, y, z) = 0

que se llama ecuacion implcita de las superficie

Ejemplo 10.1.1.1

1.

x3 + y2 z2 = 0

cuya grafica es

2. Un cono de vertice el origen

x2 + y2 3z2 = 0

cuya grafica es

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3.

4x y2 z2 = 0cuya grafica es

4. La ecuacion de un cilindro es

y2 + z2 = 1

cuya grafica es

Observamos que en el plano Y Z representa una circunferencia y en el espacio tridi-mensional una superficie cilndrica.

Una superficie tambien puede definirse en forma parametrica

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

siendo(u, v) D R2

Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones parametricas de la superficieEjemplo 10.1.1.2

2

Algebra Alejandro Perez Cuellar

1. Las ecuaciones parametricas de una esfera de radio r sonx = r cosu cos vy = r cosu sen vz = r senu

siendo pi2 u pi

2, 0 v 2pi

la grafica correspondiente es

2. Las ecuaciones parametricas de un toro sonx = (R + r cos v) cosuy = (R + r cos v) senuz = r sen v

siendo(u, v) [0, 2pi]

la grafica correspondiente es

Una superficie tambien puede definirse en forma explcita, de una de las siguientes man-eras

z = f(x, y), y = f(x, z), x = f(y, z)

La ecuacion anterior se denomina ecuacion explcita de la superficie

Por ejemplo, el paraboloide hiperbolico

z =x2

2 y

2

3

la grafica correspondiente es

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10.2 Plano tangente y recta normal

10.2.1 Superficie en forma implcita

Dada una superficie en forma implcita

F (x, y, z) = 0

la condicion para que una curva

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

este situada sobre la superficie, es que para todo valor del parametro t del intervalo dedefinicion de la curva, se verifique

F (x(t), y(t), z(t)) = 0

Sea P = (x0, y0, z0) un punto de la superficie y consideremos todas las curvas contenidasen la superficie y que pasan por P , existira una recta tangente a cada curva en dichopunto, vamos a tratar de hallar el lugar geometrico de los puntos de todas las rectastangentes.La ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto P , obtenido al darle a t el valort0, sabemos que tiene por ecuacion

x x0x(t0)

=y y0y(t0)

=z z0z(t0)

como la curva esta contenida en la superficie se cumple que

F (x(t), y(t), z(t)) = 0

derivando respecto de t, se obtiene(F

x

)P

x(t0) +(F

y

)P

y(t0) +(F

z

)P

z(t0) = 0

eliminando x(t0), y(t0), z(t0) entre las dos ecuaciones, obtenemos el lugar geometricobuscado

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Algebra Alejandro Perez Cuellar

(F

x

)P

(x x0) +(F

y

)P

(y y0) +(F

z

)P

(z z0) = 0

que como vemos es independiente de la curva tomada.La ecuacion resultante es la ecuacion de un plano, al que se llama plano tangente a la superficieen el punto P.Hemos supuesto que las derivadas parciales F

x, Fy, Fz

, no se anulan simultaneamenteen el punto P . A los puntos de la superficie en que esto ocurre se les llama puntosordinarios. A los puntos que no son ordinarios se les llama puntos singulares.Ejemplo 10.2.2.1 Vamos a calcular el plano tangente a la superficie

yx2 + zy2 xz2 18 = 0en el punto P = (2, 0, 3).Si F (x, y, z) = yz2 + zy2 xz2 18, se cumple que

F

x= 2xy z2, F

y= x2 + 2yz,

F

z= y2 2xz

que en el punto P , valen(F

x

)P

= 9,(F

y

)P

= 4,

(F

z

)P

= 12

la ecuacion del plano tangente sera

9(x+ 2) + 4(y 0) + 12(z 3) = 0 9x+ 4y + 12z 54 = 0en la grafica siguiente aparecen la superficie y el plano tangente

Se llama recta normal a una superficie en un punto P a la recta perpendicular al planotangente a la superficie en ese punto. Un vector caracterstico del plano tangente es el(

F

x,F

y,F

z

)y este vector sera un vector de direccion de la recta normal, luego las ecuaciones de estaen el punto P seran

x x0(Fx

)P

=y y0(Fy

)P

=z z0(Fz

)P

En el ejemplo anterior, la recta normal sera

x+ 2

9 =y 0

4=z 3

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10.2.2 Superficie en forma explcita

Si la superficie viene dada en forma explcita

z = f(x, y)

se cumple queF

x=f

x,

F

y=f

y,

F

z= 1

por tanto, las ecuaciones del plano tangente y la recta normal seran(f

x

)P

(x x0) +(f

y

)P

(y y0) (z z0) = 0

x x0(fx

)P

=y y0(fy

)P

=z z01

Ejemplo 10.2.2.2 Calcula las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal ala superficie

z = (1 + sen y)ex

en el punto P = (0, pi2, 2).

En este caso f = (1 + sen y)ex y por tanto, fx

= (1 + sen y)ex, fy

= cos yex, que en elpunto P valen (

f

x

)P

= 2,

(f

y

)P

= 0

con lo que las ecuaciones del plano tangente y la recta normal son:

plano tangente: 2(x 0) + 0(y pi2) (z 2) = 0 2x z + 2 = 0

recta normal: x02

=ypi

2

0= z21

{y pi

2= 0

x+ 2z 4 = 0

10.2.3 Superficie en forma parametrica

Si la superficie viene dada en forma parametricax = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

siendo(u, v) D R2

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un punto P de la superficie se obtendra dandole valores a u y a v, por tanto P =(x0, y0, z0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)).Si fijamos un valor u = u0 en la ecuacion de la superficie, obtenemos la ecuacion de unacurva contenida en la superficie (ya solamente hay un parametro)

x = x(u0, v)y = y(u0, v)z = z(u0, v)

Analogamente, si fijamos un valor v = v0 en la ecuacion de la superficie, obtenemos laecuacion de otra curva contenida en la superficie

x = x(u, v0)y = y(u, v0)z = z(u, v0)

Los vectores (x

u,y

u,z

u

)P

(x

v,y

v,z

v

)P

son paralelos al plano tangente, con lo cual la ecuacion del plano tangente quedara de-terminada por el punto y por los dos vectores, siendo

x x0 y y0 z z0(xu

)P

(yu

)P

(zu

)P(

xv

)P

(yv

)P

(zv

)P

= 0

Ejemplo 10.2.2.3 Calcular el plano tangente y la recta normal a la superficiex = u cos vy = u sen vz = u

en el punto correspondiente a los valores u = 1, v = 0.El punto es P = (1, 0, 1) y los vectores de direccion son(

x

u,y

u,z

u

)P

= (cos v, sen v, 1)P = (1, 0, 1)(x

v,y

v,z

v

)P

= (u sen v, u cos v, 0)P = (0, 1, 0)

la ecuacion del plano tangente esx 1 y 0 z 1

1 0 10 1 0

= 0 x+ z = 0la ecuacion de la recta normal es

x 11 =

y 00

=z 1

1{y = 0x+ z 2 = 0

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10.3 Superfices de revolucion y de traslacion

10.3.1 Superficies de revolucion

As se denominan las que pueden ser engendradas por una lnea L (generatriz), plana oalabeada, recta o curva, al girar en torno de una recta que se llama eje de la superficie.Si la lnea L es recta, y corta al eje bajo angulo distinto de 90o, se obtiene una superficieconica de revolucion; si es perpendicular al eje, se obtiene un plano; si es paralela aleje, resulta una superficie cilndrica de revolucion; y si se cruza con el oblicuamente, seengendra un hiperboloide alabeado de revolucion.Cuando la generatriz L es una circunferencia y el eje es un diametro, se produce unasuperficie esferica; si el eje esta en el plano de la circunferencia pero no pasa por sucentro, resulta una superficie de revolucion que se llama toro.Si la generatriz es una elipse, hiperbola o parabola y el eje de rotacion es uneje de la curva,se obtienen, respectivamente, un elipsoide de revolucion, un hiperboloide de revolucion (de una hoja o de dos, segun que el eje de giro sea el eje no traverso de la hiperbola o seael traverso) o un paraboloide de revolucion.Todo punto de la lnea L describe durante el giro una circunferencia con su centro en el ejede rotacion y cuyo plano es perpendicular a el; estas circunferencias se llaman paralelosde la superficie. Cualquier plano que pase por el eje de giro se denomina plano meridianoy corta a la superficie segun una lnea plana llamada meridiana . Los paralelos de radio

maximo o mnimo se llaman ecuadores .Si suponemos que el eje de rotacion es el ejeOZ y que la lnea L que gira tiene por ecuacionen el plano ZOX, z = f(x), la ecuacion de la superficie de revolucion engendrada es

z = f(x2 + y2)

es decir, basta sustituir x porx2 + y2 en la ecuacion de la lnea L, z = f(x), que gira

alrededor del eje OZ.Veamos dos casos particulares

1. Cono de revolucion: Tomando el vertice como origen y como eje OZ el eje del cono,la ecuacion de la generatriz sera x = az, por tanto, la ecuacion del cono es

x2 + y2 = az

o lo que es lo mismo

x2 + y2 = a2z2

2. Toro: Ya sabemos que se denomina toro a la superficie engendrada por la rotacionde una circunferencia en torno de una recta de su plano que no sea diametro. Unneumatico de coche bien inflado da una idea muy aproximada de esta superficie.Supongamos una circunferencia centrada en el punto (a, 0) y de radio r

(x a)2 + z2 = r2

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la ecuacion del toro sera

(x2 + y2 a)2 + z2 = r2

Con un oportuno cambio de letras podemos establecer la regla en el caso de que la lneaque gira estuviera referida el plano Y OZ, o cuando el eje de rotacion fuera el OX o el OY .

En el caso general de que la lnea generatriz tenga de ecuacion

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

y el eje de giro tenga por vector de direcion ~e = (a, b, c), si tomamos un punto P =(x0, y0, z0), en el eje de giro y formamos las ecuaciones{

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = uax+ by + cz = v

que representan para cada par de valores de u y v una circunferencia, obtenida comola interseccion de una esfera con un plano, centrada en el eje de giro y cuyo plano esperpendicular a ester eje. Esta circunferencia sera un paralelo de la superficie cuandotenga un punto en comun con la generatriz , es decir, debe haber un valor de t = t0, talque el correspondiente punto de , verifique las dos ecuaciones anteriores. Eliminandot, x, y, z entre las cinco ecuaciones

x = x(t)y = y(t)z = z(t)(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = uax+ by + cz = v

obtendremos una relacion f(u, v) = 0 que nos indica cuales son los valores de u y v paraque las circunferencias anteriores sean paralelos. En definitiva, la ecuacion de la superficiede revolucion sera

f((x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2, ax+ by + cz) = 0

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10.3.2 Superficies de traslacion

Sea

x = x(u)y = y(u)z = z(u)

una curva que llamaremos curva directriz y sea

x = x(v)y = y(v)z = z(v)

otra curva, que llamaremos curva generatriz. Supongamos que y tienen un punto encomun, M = (x0, y0, z0). Se llama superficie de traslacion de directriz y generatriz a la superficie engendrada por al trasladarse paralelamente a si misma de manera queel punto comun con (inicialmenmte M ) recorra .En el caso particular de que sea una recta, se obtendra una superficie cilndrica dedirectriz .Las ecuaciones parametricas de la superficie de traslacion son

x = x(u) + x(v) x0y = y(u) + y(v) y0z = z(u) + z(v) z0

10.4 Superficies conicas y cilndricas

10.4.1 Superficies conicas

La superficie conica esta engendrada por una recta r, llamada generatriz, que se apoyaconstantemente en una lnea , denominada directriz, y pasa por un punto fijo V que sellama vertice.Si (a, b, c) son las coordenadas del vertice, las ecuaciones de la generatriz seran

x a

=y b

=z c

que tambien pueden escribirse como

x a =

(z c), y b =

(z c)

o sea {x a = u(z c)y b = v(z c)

siendo u, v parametros.Si la ecuacion de la directriz es

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

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la ecuacion de la superficie conica la obtendremos elimando x, y, z, t entre las cinco ecua-ciones

x a = u(z c)y b = v(z c)

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

al final obtendremos una ecuacion f(u, v) = 0, que nos dara la condicion para que larecta se apoye en la directriz, siendo la ecuacion de la superficie conica

f(x az c ,

y bz c) = 0

Ejemplo 10.4.4.1 Hallar la ecuacion del cono de vertice (0, 1, 3) que tiene por directrizla parabola x =

t2

2

y = tz = 0

Eliminando x, y, z, t entre las ecuacionesx = t

2

2

y = tz = 0

x = u(z 3)y 1 = v(z 3)

se obtiene9v2 6v + 6u+ 1 = 0

por tanto, la ecuacion del cono es

9

(y 1z 3

)2 6y 1

z 3 + 6x

z 3 + 1 = 0

que simplificada queda9y2 + z2 + 6xz 6yz 18x = 0

10.4.2 Superficies cilndricas

Una superficie cilndrica esta engendrada por una recta g, llamada generatriz, que semueve en el espacio, conservandose paralela durante el movimiento a un vector ~e dado ycortando constantemente a una lnea fija , llamada directriz.Las ecuaciones de la generatriz g, por ser paralela al vector ~e = (a, b, c) seran

x x0a

=y y0b

=z z0c

o sea x = a

cz a

cz0 + x0

y = bcz b

cz0 + y0

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suponiendo que c 6= 0 y llamando

u = acz0 + x0, v = b

cz0 + y0

ya que x0, y0, z0 son variables, obtenemosx = a

cz + u

y = bcz + v

Como la generatriz g se apoya en la directriz

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, el sistema formado por

las cinco ecuaciones

x = acz + u

y = bcz + v

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

debe tener solucion, eliminando x, y, z, t entre las cinco ecuaciones obtendremos f(u, v) =0, con lo que finalmente, la ecuacion de la superficie cilndrica sera

f(x acz, y b

cz) = 0

Ejemplo 10.4.4.2 Hallar la ecuacion del cilindro de generatrices paralelas al vector

~e = (2, 3, 1) que tiene por directriz la circunferencia

{x2 + y2 + z2 4 = 0x+ y 6z = 0

Las ecuaciones de la generatriz seran{x = 2z + uy = 3z + v

que sustituyendo en las ecuaciones de la directriz nos queda{(2z + u)2 + (3z + v)2 + z2 4 = 0(2z + u) + (3z + v) 6z = 0

despejamos z en la segunda, z = u+ v, y sustituimos en la primera

(3u+ v)2 + (3u+ 4v)2 + (u+ v)2 4 = 0 19u2 + 18v2 + 32uv 4 = 0

finalmente, la ecuacion del cilindro es

19(x2z)2+18(y3z)2+32(x2z)(y3z)4 = 0 19x2+18y2+430z2+32xy172xz172yz4 = 0

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