Tema 10. N GDL.

Tema 10. N GDL: Frecuencias naturales y modos de vibración
T 10. Frecuencias naturales y modos de vibración
10.1 Vibración libre no amortiguada: frecuencias naturales y modos de vibración
10.2 Matrices modal y espectral
10.3 Ortogonalidad modal: matrices de rigidez y masas generalizadas
10.4 Teorema de expansión
10.6 Vibración libre amortiguada
10.6.2 Respuesta con amortiguamiento clásico.
10.7 Métodos de obtención de los modos de vibración
10.7.1. Problema estándar
10.8 Vectores de Ritz.
10.1. Vibración libre amortiguada: frecuencias naturales y modos de vibración
Se desarrolla en este tema la respuesta de sistemas de N GDL en vibración libre, introduciendo los
conceptos fundamentales de modos y frecuencias de vibración, su aplicación en sistemas lineales en
vibración libre, y finalmente los métodos numéricos básicos para obtenerlos.
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.1 Vibración libre no amortiguada
Consideramos una estructura con N GDL dinámicos, la ecuación del movimiento es un sistema de N
EDO acopladas: (t = 0) (0)
0 (t = 0) (0)
con
En el caso de un edificio a cortante de dos plantas, la respuesta en vibración libre para las condiciones
iniciales indicadas, es de la forma:
(0) (-0.5,2)
(0) (0,0)
u =
u =

Respuestas modales
φ2 = (-1, 1) Respuesta genérica
Es posible excitar el pórtico a cortante de dos plantas con dos condiciones iniciales diferentes, a las que
la estructura responde con movimientos armónicos puros (modos naturales de vibración φ), manteniendo
la forma inicial de la configuración deformada.
El movimiento asociado a cada modo es la
solución de un sistema básico con la forma:

Se denominan nodos de un modo de vibración natural a los puntos que permanecen inmóviles durante
la vibración del modo.
Puesto que cada modo de vibración es un armónico puro, vibra con una frecuencia natural ωi (rad/s), cumpliéndose:
1 2 1 2
ω ω
La vibración libre de una estructura en uno de sus modos naturales de vibración (modo i), se puede
expresar como:
i i(t) q (t)=u φ ( ) cos seni i iq t A t B t ω ω = +con
Siendo independiente del tiempo el modo de vibración φi, y la función temporal qi un armónico puro
cuyas constantes A y B son función de las condiciones iniciales.
Sustituyendo la expresión de u(t) en la ecuación del movimiento se obtiene el problema de autovalores:
( )2 20 1,..., 1,...,
i i i
ω ω φ
Cuya solución son los N modos de vibración de la estructura (autovectores), y las N frecuencias
naturales asociadas (autovalores):
2 2( ) + = ⇒ − + = ⇒ = mu ku 0 m k 0 k m i i i i i i i
q t ω ω φ φ φ

Hay tantos modos de vibración como GDL dinámicos tiene la estructura.
El primer modo de vibración se denomina fundamental y tiene el periodo más alto.
1 2 n...ω < ω < < ω

Presa de gravedad T1 = 0.25 s, T2 = 0.11 s, T3 = 0.079 s

10.2. Matriz modal y matriz espectral
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.2 Matriz modal y espectral
[ ]1 N,...,
11 12 1Ν
21 22 2Ν
Ν1 Ν2 ΝΝ
φ φ φ
0
ω
= ω
2
Ω
En una estructura con N grados de libertad dinámicos, se definen:
Matriz modal Φ:
Matriz espectral Ω2:
El problema de autovalores se puede rescribir como:

Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.3 Ortogonalidad modal
Los modos de vibración son ortogonales respecto a las matrices de masa y rigidez
Τ Τ
m r m r 0 y 0≠ ⇒ = =k mφ φ φSi r m
1 1
i i
0 K 0 M
r r m m
2 Τ 2 Τ
k m k m
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ
− )φ φ φ φ
r r r r r r
m r r r
La ortogonalidad modal implica que las siguientes matrices sean diagonales:
Τ 2 2 Τ 2
i i i i i i i i iK ( ) ) M= = =m mφ φ φω ω ω
Demostración:
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.3 Ortogonalidad modal
A partir de la propiedad de ortogonalidad modal se deduce que el trabajo realizado por las fuerzas
de inercia asociadas al modo i, sobre los desplazamientos de un modo r diferente de i, es nulo.
Las fuerzas estáticas equivalentes asociadas a un modo también cumplen la propiedad anterior.
Normalización de los modos de vibración
Los modos de vibración pueden multiplicarse por un factor constante sin alterarse, por ello es habitual
normalizarlos de distintas formas:
- Normalización en masa: Mi = 1 i = 1,…, N
i i i
M 1
M Luego
φ φ Φ Φ = Ι
φ φ Φ Φ = Ω
Para normalizar en masa el modo de vibración i basta con calcular Mi y aplicar:
i i i i norm i
i
M = ⇒ =mφ φ φ φ
Al ser las matrices generalizadas diagonales, el sistema de ecuaciones inicial se transforma en un
sistema de EDO desacopladas
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.4 Expansión modal
Los modos de vibración son una base del espacio de configuraciones deformadas de la estructura.
Cualquier configuración compatible con las condiciones de contorno, puede expresarse como una
combinación lineal de los modos, con unas amplitudes que dependen de la configuración supuesta.
Dado un vector de desplazamientos u:
1
N
= =∑u q qΦ
1 m
i m m
m
φ φ
Ejemplo:
3
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.4 Expansión modal
Ejemplo:
1 3
1 2
3.464 2
6.928
22 6
EI k
m mh
ω
Si u = (1, 1) los coeficientes de expansión modal son:
Τ
10.5. Respuesta en vibración libre no amortiguada
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.5 Respuesta vibración libre
Una vez calculados los modos y las frecuencias naturales de vibración, la respuesta general se
obtiene por superposición de las respuestas modales:
(t = 0) (0) 0
i 1 i 1
= = ω + ω∑ ∑u φ φ
Para determinar las 2N constantes de integración: N
i i N i 1
i i i i i i N i 1
i i i
(0) B
φ
φ
φ
No es necesario resolver los dos sistemas de N ecuaciones algebraicas, aplicando el teorema de expansión:
Τ N i
N Τ
i 1 i
B q (0) /(0) (0) q (0) q (0)
M
i 1 i 1 i
= =
La ortogonalidad modal permite desacoplar (si el amortiguamiento es clásico) el sistema de N
ecuaciones diferenciales, obteniéndose N ecuaciones diferenciales ordinarias.
Las variables temporales qi(t) que modulan en cada instante la contribución a la respuesta de un
modo, se denominan coordenadas generalizadas
Ejemplo:
- Respuesta en vibración libre si u(0) = (1, 2)T y la velocidad inicial es nula:
Τ
(0) q (0) 2
M q (t) 2cos t u (t) 1/ 2 (t) 2cos t
q (t) 0 u (t) 1(0) q (0) 0
M
= = = ω
⇒ ⇒ = = ω = = =
Ejemplo:
- Respuesta en vibración libre si u(0) = (-1, 1) T y la velocidad inicial es nula:
Τ
M q (t) 0 u (t) 1 (t) cos t
q (t) 1cos t u (t) 1(0) q (0) 1
M
m k
- Respuesta en vibración libre si u(0) = (-1/2, 2) T y la velocidad inicial es nula:
Τ
(0) q (0) 1
M q (t) 1cos t u (t) 0.5 1 (t) cos t cos t
q (t) 1cos t u (t) 1 1(0) q (0) 1
M
= = = ω −
10.6. Respuesta en vibración libre amortiguada
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.6 Vibración libre amortiguada
(t = 0) (0) 0
(t = 0) (0) con
u = u
i
q =
= =∑u qΦ 0+ + =m q c q k q Φ Φ
con
K k
Premultiplicando por φT
Tras resolver las EDO desacopladas en las coordenadas generalizadas, se obtiene la solución
en el espacio real
)((t) φu
La contribución a la respuesta de cada modo de vibración es un armónico puro amortiguado, que al
combinarse con el resto de respuestas modales produce una respuesta compleja
Las estructuras con C diagonal se dice que tienen amortiguamiento clásico, si C es no diagonal el
amortiguamiento es no clásico
10.6.1 Amortiguamiento no clásico
Vibración libre amortiguada para un desplazamiento inicial del primer modo de vibración
3
24 p
0.5 1 : ;
φ φ
Pasando a la forma generalizada: 1.5 0 0.75 0 2.25 4.5
0 3 0 6 4.5 18 m k c
= = =
q q q m c k
q q q

10.6.1 Amortiguamiento no clásico
La contribución a la respuesta de cada modo de vibración ya no es un armónico puro. Los modos
y frecuencias de vibración ya no controlan la respuesta modal.

10.6.2 Amortiguamiento clásico
Vibración libre amortiguada para un desplazamiento inicial del primer modo de vibración
3
24 p
0.5 1 : ;
φ φ
Pasando a la forma generalizada: 1.5 0 0.75 0 1.5 0
0 3 0 6 0 12 m k c
= = =
q q q m c k
q q q
+ + =

10.6.2 Amortiguamiento clásico
Vibración libre amortiguada para un desplazamiento inicial del segundo modo de vibración
Cada una de las N EDO desacopladas es de la forma:
T
i i i i i i i i iM q + C q + K q = 0 con C = φ φc
Definiendo el factor de amortiguamiento modal como:
i i
i i
ω

10.6.2 Respuesta en estructuras con amortiguamiento clásico
T
i i i
i i i i i i 2 i i i i
i i i
M q + C q + K q = 0 con K C = =
M 2M
c
iA
con
ω
2
i i i i i iq + 2 q + q = 0ζ ω ω
Solución ya planteada en estructuras con 1 GDL
1
i i iA iA
ζω ζ ω ω ω
ω

10.7. Métodos de obtención numérica de los modos y frecuencias naturales
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.7 Obtención numérica freq. y modos
10.7.1. Problema estándar
El problema de autovalores tiene la forma:
Los autovalores son las raíces de la ecuación característica:
( ) det( ) = 0 (II) p λ λ = −k m
En una estructura con N GDL dinámicos, p(λ) es un polinomio de grado N. Encontrar los autovalores
es equivalente a obtener las raices de p(l), por lo que los métodos de solución son iterativos.
Métodos de obtención de los autovalores y autovectores:
Iteraciones vectoriales sobre la ecuación (I)
Métodos de transformación basados en la ortogonalidad modal
Métodos iterativos polinomiales sobre la ecuación (II)
Para cada par (λn, φn) únicamente se calcula de forma iterativa el autovalor o el autovector:
( - ) 0i i
λ λ
Ay y A m k m y m A
φ
φ

10.7.2. Cociente de Rayleigh
2 2 2 T
i i i i i i i i i i i T
i i
ω ω ω = ⇒ = ⇒ =T T k k m k m
m
φ φ
Cociente de Rayleigh
Se puede deducir también igualando la energía cinética máxima con la energía potencial máxima de
un sistema, en la hipótesis de que la vibración es un movimiento armónico simple con frecuencia ωi
y con la forma φi.
Se utiliza para estimar frecuencias naturales y en casi todos los métodos iterativos por tener las
siguientes propiedades:
- Si φi es un modo de vibración, el cociente de Rayleigh es el cuadrado de la frecuencia
natural asociada
- Si φi es una aproximación del modo de vibración i con un error inifinitesimal de primer
orden, el cociente de Rayleigh de φi es una aproximación del cuadrado de la frecuencia
natural asociada con un error infinitesimal de segundo orden (el cociente de Rayleigh es
estacionario en la vecindad de un modo de vibración real)
- El cociente de Rayleigh esta acotado entre el menor autovalor (ωi) y el mayor
autovalor (ω N) de un problema.

10.7.3 Método de iteración inversa del autovector
1) Se asumen λ(1) = 1 φ= x1
Se calcula R1 = m x1
Como X1 es arbitrario
λ(2) se obtiene como
Se chequea la convergencia
Se repite el procedimiento hasta obtener la convergencia.
λ = →k mφ
2 2 2 2
x m x x m x
2 1=kx R
1 1 1( 1)
1 1 1 1
T T
x mx x mx
autovalor y el autovector asociado

Ejemplo:
0 1 0 7 10 3 9
0 0 1/ 2 0 3 3
k m
10.7.3 Método de iteración inversa del autovector

Se procede como anteriormente

10.7.4 Método de iteración inversa del autovector con perturbación
Se trata de calcular frecuencias y modos de vibración diferentes del primero mediante el método de
iteración inversa.
x

Aplicación al ejemplo

Modificación utilizando el cociente de Rayleigh
En cada iteración se modifica μ , que será μ = λ (j)
En consecuencia el procedimiento es:
( - )
10.8. Vectores de Ritz
Tema 10. Frecuencias y modos de vibración 10.8 Vectores de Ritz
Se denominan vectores de Ritz aquellos que satisfacen las condiciones de contorno de la
estructura.
Si ψn es un vector de Ritz, la frecuencia natural ω
n se obtiene de la expresión:
2 T
ψ ψ
ψ ψ
Se trata de una base modal diferente a la de los modos naturales de vibración, pero que produce
mejores resultados en el análisis sísmico de estructuras.
Primeros dos vectores de Ritz

Obtención aproximada de las frecuencias naturales mediante vectores de Ritz
Supóngase que actúa p = s p (t)
• Primer vector de Ritz ψ1 k y1 = s
Vector normalizado:
k y2 = m ψ1
donde ψ2 es ortogonal a ψ1
1 2 1 1 1 2 1 2
T T T a a= +my m mψ ψ ψ ψ
debido a la ortogonalidad 1 1 1 21 0T T = =m mψ ψ ψ
luego
T a m

Comparación de los vectores de
Ritz y los modos de vibración.

Tema 10. N GDL.

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