Tema 1: Introducción · Electricidad y Magnetismo -Grupo 21.1 Curso 2010/2011 Rotacional -Derivada...
Transcript of Tema 1: Introducción · Electricidad y Magnetismo -Grupo 21.1 Curso 2010/2011 Rotacional -Derivada...
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
Tema 1: Introducción
� Concepto de campo
� Repaso de álgebra vectorial
� Sistemas de coordenadas
�Cartesiano
�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
� Operadores vectoriales.
�Gradiente
�Divergencia
�Rotacional
�Derivada temporal
�Combinación de operadores: Laplaciana
�Expresiones con operadores
�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos
J.L. Fernández JambrinaEyM 1d-1
Circulación sobre contornos cerrados
• Ya se ha mencionado la circulación de uncampo vectorial a lo largo de contornos cerrados:
• Interpretación:
– Si se supone que el campo representa la velocidadde un fluido de densidad y viscosidad homogéneas,y que el contorno representa la guía de una cadenacon paletas, entonces la circulación muestra la tendencia de dicha cadena a desplazarse sobre la guía:
– Si la circulación es positiva, la cadena tenderá a moverseen el sentido definido como positivo.
– Si es negativa, en sentido contrario.
– Si es nula, no se moverá.
• Importante:
– La circulación no mide el que las líneas de campo den vueltas en un sentido u otro, aunque se ve influenciada por dicho hecho.
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-2
C
dlr
∫ ⋅C
ldArr
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
Rotacional
• Definición:
– Es un vector que se define componente a componente según la expresión:
– Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte
– Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu.
– La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo de la circulación se debe relacionar con û según la regla del sacacorchos.
• El rotacional cuantifica la contribución del campo en cada punto a las circulaciones sobre contornos cerrados.
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-3
( ) ( )u
C
SC
uuS
ldAAA u
u
u
∫ ⋅=×∇=
→→
vrrr
00
limrot
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-4
• Comenzando por la componente û1, se puede
considerar el contorno de la figura y la superficieu1=cte correspondiente.
– Empezando a calcular la circulación por ellado de la derecha:
– Sólo contribuye la componente A3.
– A medida que la longitud del tramo tiende a cero, se puede aproximar el integrando por su valor en el centro del tramo y, a continuación, expresar a partir del valor en en punto P :
Expresión en curvilíneas ...
u1
u2
u3
P
∆∆∆∆u2
∆∆∆∆u3333
u1
u2
u3
P
∆∆∆∆u2
∆∆∆∆u3333
2
22
2
2 333
2
22
2332
33333
33
33
ˆu
u
uu
uuuu
uu
uu
b
aduhAduhuAldA
∆+
∆+∆−∆
+
∆+∆− ∫=∫ ⋅=⋅∫
rrr
32
2
3333
2
33322
2
uu
u
hAhAuhAldA
P
Puu
b
a∆
∆∂∂
+→∆→⋅∆
+∫
rr
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-5
–
– Trabajando con el lado opuesto:
– Combinado las contribuciones:
– La contribución de los otros dos lados es:
32
3
222
3
3
2222
23
3
2222
2
2
uuu
hAu
ad
u
u
hAhA
cb
uu
u
hAhAldAldA
a
d
c
b
∆∆−=∆
→
∆−+
+
→
∆
∆+−→⋅+⋅ ∫∫
∂∂
∂∂
∂∂
444 3444 21
4444 34444 21
rrrr
Expresión en curvilíneas ...(2)
u1
u2
u3
P
∆∆∆∆u2
∆∆∆∆u3333
a
b
32
2
3333
2
22
3332
uu
u
hAhAuhAldA
P
Pu
u
d
c∆
∆∂∂
−−→∆−→⋅∆
−
∫rr
u1
u2
u3
P
∆∆∆∆u2
∆∆∆∆u3333
c
d
32
2
3333
2
22
3332
uu
u
hAhAuhAldA
P
Pu
u
b
a∆
∆∂∂
+→∆→⋅∆
+
∫rr
32
2
33 uuu
hAldAldA
P
d
c
b
a∆∆
∂∂
→⋅+⋅ ∫∫rrrr
u1
u2
u3
P
∆∆∆∆u2
∆∆∆∆u3333
c
d
b
a
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-6
Expresión en curvilíneas ...(3)
• Finalmente:
• La componente 2:
• La componente 3:
( )
3322
32
323
22
2
33
32
3232
32
3
22
2
33
100
1
11
lim 1
1
1
hAhA
uuhhu
hA
u
hA
hh
uuhh
uuu
hA
u
hA
S
ldAA
C
SC
∂∂
∂∂
=
∂∂
−∂∂
=
=∆∆
∆∆
∂∂
−∂∂
=⋅
=×∇∫
→→
rr
u1
u2
u3
( )1133
13
131
33
3
11
13
2
11
hAhA
uuhhu
hA
u
hA
hhA ∂
∂∂∂
=
∂∂
−∂∂
=×∇
( )2211
21
213
11
1
22
21
3
11
hAhA
uuhhu
hA
u
hA
hhA ∂
∂∂∂
=
∂∂
−∂∂
=×∇
u1
u2
u3
u1
u2
u3
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-7
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas Esféricas
332211
321
332211
321
ˆˆˆ
1
hAhAhA
uuu
uhuhuh
hhhA
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇r
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
A
AAA
zyx
zyx
A xyzxyz
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
−+
−+
−==×∇
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂r
zAAA
z
z
A
ϕρ ρ∂∂
∂ϕ∂
∂ρ∂
ϕρρ
ρ
ˆˆˆ1
=×∇r
ϕθ θ∂ϕ∂
∂θ∂
∂∂
ϕθθ
θ=×∇
ArsenrAAr
rsenrr
senrA
r
ˆˆˆ
12
r
Expresiones del rotacional
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-8
Teorema de Stokes
• Enunciado:
La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno
cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una
superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de
circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla
del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios.
CS
$n
∫∫∫ ⋅×∇=⋅SC
SdAldArrrr
Nota: Cada contorno tiene asociadas infinitas
superficies a efectos de este teorema.
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-9
Teorema de Stokes (2)
• Demostración:
– La superficie escogida se puede dividir en un número arbitrario de subsuperficies manteniendo el sentido de circulación a sus contornos.
– Al sumar la circulación a lo largo de todos los contornos de la superficies, se cancelan las contribuciones de los lados interiores. Sólo queda la circulación a lo largo del contorno exterior:
– Si los contornos son suficientemente pequeños, a partir de la definición de rotacional:
– Si el número de subsuperficies tiende a infinito y su tamaño a cero:
C
( ) ∑∫∫∫
⋅×∇=⋅⇒⋅×∇=⋅⇒⋅
=×∇→→
N
i
iiC
iiC
u
C
SC
u nSAldAnSAldAS
ldAA
i
u
u
u
ˆˆlim
00
rrrrvrvr
r
+ = ∑∫∫ ⋅=⋅N
iCC i
ldAldArrrr
∫∫∑∫ ⋅×∇=⋅×∇=⋅∞→ S
N
i
iiNC
SdAnSAldArrrrr
ˆlim
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-10
Definición alternativa del rotacional.
• La definición del rotacional utilizada:
– Permite una interpretación directa útil.
– Al definir el rotacional a través de sus componentes no permite comprobar fácilmente que el rotacional es un vector.
• Algunos textos utilizan la definición:Esta definición:
– No permite una interpretación directa útil.
– Hace evidente que el rotacional es un vector.
– Por su parecido con la definición de la divergencia, esta definición lleva directamente a la siguiente expresión integral:
– La verificación de esta expresión es prueba de que ambas definiciones con equivalentes (y de que el rotacional es un vector).
( )u
C
SC
uS
ldAA u
u
u
∫ ⋅=×∇
→→
vrr
00
lim
V
SdAA S
SV
∫∫ ×−=×∇
→→
rrr
00lim
∫∫∫∫∫ ×−=×∇SV
SdAdVArrr
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-11
Definición alternativa del rotacional. (2)
– Se va a realizar la demostración término a término en coordenadas cartesianas:
» Definiendo un vector auxiliar de la formaes evidente que:
» Análogamente:
» Y ...
» Queda demostrado
∫∫∫∫∫ ×−=×∇SV
SdAdVArrr
( )y
AyAyA z
zz ∂∂
=⋅∇ ˆ;ˆ
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂∂
Syz
Sz
Vz
V
z dSASdyAdVyAdVy
A rˆˆ
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂
∂S
zyS
yV
yV
ydSASdzAdVzAdV
z
A rˆˆ
[ ] ( ) [ ]
[ ] ( ) [ ]
[ ] ( ) [ ]
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
×−=×∇
×−=−=
∂∂
−∂
∂=×∇
×−=−=
∂∂
−∂∂
=×∇
×−=−=
∂
∂−
∂∂
=×∇
SV
Sz
Syxxy
V
xy
Vz
Sy
Sxzzx
V
zx
Vy
Sx
Szyyz
V
yz
Vx
SdAdVA
SdAdSAdSAdVy
A
x
AdVA
SdAdSAdSAdVx
A
z
AdVA
SdAdSAdSAdVz
A
y
AdVA
rrr
rrr
rrr
rrr
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-12
El operador nabla: ∇
• Repetidamente se ha utilizado el símbolo ∇∇∇∇ en la nomenclatura de los operadores descritos.
• Este símbolo representa un operador bien definido en coordenadas cartesianas:
• En otros sistemas de coordenadas su definición no es tan clara, pero resulta útil para simplificar la nomenclatura.
• Tiene carácter vectorial y diferencial: se deben seguir las normas correspondientes para su aplicación.
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇z
zy
yx
x ˆˆˆ
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-13
El operador nabla: (2)
• Gradiente:
– Producto de un escalar por un vector:
• Divergencia:
– Producto escalar de dos vectores:
• Rotacional:
– Producto vectorial de dos vectores:
zz
Uy
y
Ux
x
UU
zz
yy
xxU ˆˆˆˆˆˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
( )z
A
y
A
x
AzAyAxA
zz
yy
xxA zyx
zyx ∂∂
+∂
∂+
∂∂
=++⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=⋅∇ ˆˆˆˆˆˆr
( )zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
zAyAxAz
zy
yx
xA∂∂
∂∂
∂∂
=++×
∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-14
El operador nabla: ∇ (3)
• Existe una definición general:
×−=×∇⇔×∆
=×∇
⋅=⋅∇⇔⋅∆
=⋅∇
=∇⇔∆
=∇
⇒∆
=∇
∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫
∆→∆
∆→∆
∆→∆
∆→∆
V SSV
V SSV
V SSV
SV
SdAdVAASdV
A
SdAdVASdAV
A
SUdUdVSUdV
U
SdV
rrrrr
rrrrrr
rr
or
o
1lim
1lim
1lim
1lim
0
0
0
0
Electricidad y Magnetismo - Grupo
21.1
Curso 2010/2011
Rotacional - Derivada Temporal
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-15
Derivada Temporal
• En rigor debería hablarse de derivada de un campo vectorial respecto de un parámetro, pero como este parámetro suele ser el tiempo se habla de derivada temporal
• Los detalles que se desea resaltar se entenderán mejor con un ejemplo:
– Dado un campo vectorial y un móvil cuya posición está dada por : Calcule el vector derivada del campo respecto al tiempo según se observa desde el móvil.
» Sin olvidar que los vectores unitarios dependen de la posición.
» donde:
• Las expresiones de la forma dependen de cada caso:
( )tuuuA ,,, 321
r
( ) ( ) ( )( )tututur321
,,r
Ar
( )dt
udA
dt
udA
dt
udA
dt
dAu
dt
dAu
dt
dAuuAuAuA
dt
d
dt
Ad3
32
21
13
32
21
1332211
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++++=++=
r
t
A
dt
du
u
A
dt
du
u
A
dt
du
u
A
dt
dA iiiii
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= 3
3
2
2
1
1dt
du
u
u
dt
du
u
u
dt
du
u
u
dt
ud iiii 3
3
2
2
1
1
ˆˆˆˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
j
i
u
u
∂∂ ˆ
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-16
Derivada Temporal (2)
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
0ˆˆˆ
0ˆˆˆ
0ˆˆˆ
=========dz
zd
dy
zd
dx
zd
dz
yd
dy
yd
dx
yd
dz
xd
dy
xd
dx
xd
0ˆ
0ˆ
0ˆ
0ˆ
ˆˆ
0ˆ
0ˆ
ˆˆ
0ˆ
==ϕ
=ρ
=ϕ
ρ−=ϕϕ
=ρϕ
=ρ
ϕ=ϕρ
=ρρ
dz
zd
d
zd
d
zddz
d
d
d
d
ddz
d
d
d
d
d
θθ−θ−=ϕϕ
=θϕ
=ϕ
ϕθ=ϕθ
−=θθ
=θ
ϕθ=ϕ
θ=θ
=
ˆcosˆsenˆ
0ˆ
0ˆ
ˆcosˆ
ˆˆ
0ˆ
ˆsenˆˆˆ
0ˆ
rd
d
d
d
dr
dd
dr
d
d
dr
d
d
rd
d
rd
dr
rd