Tema 06 - Integrales Múltiples

7/23/2019 Tema 06 - Integrales Múltiples

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Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nac ional de Río Cuarto VI.1

TEMA VI: INTEGRALES MÚLTIPLES

VI.1 INTEGRALES DOBLES.

De igual modo, a como hemos procedido en otros temas, recordemos cómo definimos en

cálculo de una variable a la integral definida ( )dx x f

b

a

∫ ; se define como el límite de sumas de

Riemann, que pueden efectuarse de la siguiente manera: dividimos el intervalo b xa ≤≤ en

n subdivisiones iguales, cada una de ancho xΔ . Entonces,n

ab x

−=Δ . Suponga que

1 n x , ,x son los puntos finales de las subdivisiones, como se muestra en las figuras 1 y 2.

Hacemos dos sumas especiales de Riemann:

Suma por la izquierda ( ) ( ) ( ) x x f x x f x x f n Δ++Δ+Δ= −110

y

Suma por la derecha ( ) ( ) ( ) x x f x x f x x f n Δ++Δ+Δ= 21

Para definir la integral definida, tomamos límite de esas sumas conforme n tiende a infinito.

La integral definida de f entre a y b : ( )dx x f

b

a

∫ es el límite de las sumas por izquierda o

por derecha con n subdivisiones, a medida que n se hace arbitrariamente grande. Esto es,

( ) ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ== ∑∫

−

=∞→∞→

1

0

límizquierda)lapor(suma límn

i

inn

b

a

x x f dx x f

( ) ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ== ∑∫

=∞→∞→

n

i

inn

b

a

x x f dx x f 1

límderecha)lapor(suma lím

Cada una de estas sumas se llama suma de Riemann, f se llama integrando y a y b se

llaman límites de integración.

Figura 1 Suma por la izquierda Figura 2 Suma por la derecha

0 xa = 1 x 2 x b xn = 0 xa = 2 x b xn = 1 x

Área ( ) x x f Δ= 0

Área ( ) x x f Δ= 1

( ) x f ( ) x f

1n x − 1n x −



Cálculo II - Fac ultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río CuartoVI.2

Antes de definir la integral definida de una función de dos variables, nos introduciremos en el

tema mediante un ejemplo.

Ejemplo introductorio

La distribución de temperaturas en una

losa radiante está dada por las curvas de

nivel que se muestran en la figura 3. La

superficie calefaccionada es cuadrada y

tiene 7 metros de lado.

Para promocionar las características del

sistema de calefacción, se necesita

conocer la temperatura promedio de la

losa calefaccionada.

Si para elaborar la respuesta disponemos de la información mostrada en la figura 3. Una

alternativa es dividir la región de interés (la habitación de 7 m × 7 m) en un número de

subregiones de 1 m × 1 m y efec tuar en cada subregión una estimación de temperatura

máxima y otra de temperatura mínima, como se muestran en las siguientes tablas.

22.9 21.9 20.0 19.8 21.0 220 22.6 24.5 23.5 22.9 22.3 22.9 23.1 23.4

23.5 23.0 22.4 22.3 22.5 23.0 23.2 25.9 24.3 23.8 23.6 23.7 23.8 23.9

24.5 23.9 23.7 23.6 23.7 23.7 23.8 26.3 25.9 25.0 24.6 24.5 24.4 24.3

25.8 25.0 24.8 24.6 24.5 24.4 24.3 27.0 26.7 26.2 25.9 25.3 25.1 24.8

26.8 26.3 26 25.4 25.2 24.9 24.7 28.0 27.5 27.1 26.8 26.2 25.8 25.5

27.6 27.1 26.8 26.3 25.9 25.5 25.3 29.0 28.5 27.8 27.3 26.7 26.3 26.0

28.6 27.8 27.4 26.8 26.4 26.1 25.8 30.1 29.0 28.0 27.5 27.1 26.7 26.4

Luego utilizando las estimaciones obtenidas para cada subregión es posible calcular un

valor promedio de temperaturas máximas y mínimas, esto es:

Estimaciones superiores de la temperaturaen cada subregión

Estimaciones inferiores de la temperaturaen cada subregión

x (m)

Figura 3

6

5

4

3

2

1

24

22

23

28

21

29

y (m)

1 2 3 4 5 6

25

26

27




( )

==∑

=

totalárea

subregión cada de áreamín Temp.49

1n ( )Cº553124

m49

m1C1203.1º2

2

.=×

( )

==∑

=

totalárea

subregión cada de áreamáx Temp.49

1n ( )Cº732625

m49

m1C1260.9º

2

2

.=×

Podemos decir que la temperatura promedio según nuestros cálculos corresponde a

245531ºC 257326 ºC2514285ºC

2. .

.+⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Si tomáramos subregiones más pequeñas podríamos mejorar nuestra estimación de la

temperatura promedio.

VI.1.1 Definición de integral doble.

Las sumas empleadas para estimar la temperatura promedio en la habitación son

semejantes a las sumas de Riemann que se utilizan para definir la integral definida de una

función de una variable. Para una función de dos variables, dec imos:

Dada una función continua ( ) y , x f definida en una región rectangular R sobre el plano xy .

Supongamos superpuesta en R una malla rectangular, de rectas paralelas a los ejes x e y .

Estas rectas dividen a R en pequeñas porciones de área A x yΔ = Δ Δ , sólo nos quedamos con

aquellos elementos de área AΔ que estén completamente contenidos en la región. Los

rectángulos que caen dentro de R forman una partición interna, cuya norma P , se define

como la longitud de la diagonal más larga de los n–rectángulos.

Las numeramos en cierto orden:

1 2 i n A , A , , A , , AΔ Δ Δ Δ… … donde i i i A x yΔ = Δ Δ

y seleccionamos un punto ( )i i x , y en cadaporción

i AΔ . Las áreas

i AΔ pueden no cubrir

toda la región R . Pero cuando la red se hace

progresivamente más tupida y crece el

número de términos en nS , cada vez es mayor

la parte incluida de R . y formamos la suma:

( )n

n i i i

i

S f x , y A=

= Δ∑1

Suma de Riemann

Promedio de lasestimac. inferiores

Promedio de lasestimac. superiores

x

y

z

Figura 4 Malla rectangular en el plano xy

i xΔ

i yΔ

( )i i f x , y




Para calcular la suma de Riemann, multiplicamos el área de cada subrectángulo por el valor

de la función en un punto del rectángulo ( )i i f x , y y sumamos todos los números resultantes.

Si elegimos ( )i i i f x , y M = , el valor máximo de la función en cada rectángulo, obtenemos la

suma superior:n

i i

i

M A

=

Δ∑1

. La suma inferior se obtiene al tomar el valor mínimo de la funcióni

L

en cada rec tángulo. Luego cualquier otra suma de Riemann satisface la siguiente relac ión:

( )n n n

i i i i i i i

i i i

L A f x , y A M A= = =

Δ ≤ Δ ≤ Δ∑ ∑ ∑1 1 1

donde ( )i i x , y es cualquier punto del i −ésimo subrectángulo.

Si ( ) f x, y es continua y la frontera de R está formada por un número finito de segmentos de

rectas o curvas suaves unidas por sus extremos, entonces las sumasnS tendrán un límite

cuando xΔ y yΔ tiendan a cero, o 0 P → .

Luego, definimos la integral definida como el límite de cualquiera de estas sumas para el

número de subrectángulos n que tienden a infinito o lo que es equivalente, el área de cada

subrectánguloi

AΔ , tiende a cero. Tenemos entonces la siguiente definición:

Sea f una función continua en R . Definimos la integral definida de f sobre R , como:

( ) ( )n n

i i i i x P

i i R y

f dA f x , y x y f x , y AΔ → →

= =Δ →

= Δ Δ = Δ∑ ∑∫∫ 0 01 10

lím lím

Supuesto que exista el límite. Esta integral recibe el nombre de integral doble.

La definición de la integral doble de f sobre la región R viene afectada por la frase

supuesto que exista ese límite. Se pueden dar condiciones necesarias para la existencia de

límite, no obstante, podemos dar algunas condiciones suficientes que cubren casi todas las

aplicaciones prácticas de la integrales dobles en Física e Ingeniería. Así, si f es continua en

una región R cerrada y acotada, entonces la integral doble de f sobre R existe.

Muchas veces consideramos a dA como un rectángulo infinitesimal de longitud dx y altura

dy , de modo que dydxdA = , entonces:

( ) R R

f dA f x, y dx dy=∫∫ ∫∫




x

y

z

R

( ) ( )22

y xe y , x f +−=

Ejemplo 1

Sea R el rectángulo 10 ≤≤ x y 10 ≤≤ y . Utilizar sumas de Riemann para calcular

( )dAe

R

y x∫∫ +− 22

.

Solución

Iniciamos los cálculos partiendo el

rectángulo R en 16 subrectángulos, esto

es 250. x =Δ y 250. y =Δ , luego si

observamos la forma que tiene la gráfica

de ( ) y , x f , esta disminuye a medida que

nos alejamos del origen.

Entonces para obtener una suma superior evaluamos a f en la esquina del subrectángulo

más cercana al origen:

Suma superior ( ) ( )[ ++++++++= 535307316088250939405698077880939401 .......

( ) ( )07788 07316 06065 04437 05698 05353 04437 03247 16 068. . . . . . . . .+ + + + + + + =⎤⎦

Para obtener una suma inferior, evaluamos ( ) y , x f en la esquina opuesta del rectángulo ya

que la superficie desciende tanto en la dirección de x como de y , lo cual da una suma

inferior de 0.44. Luego:

( ) 68044022

.dAe.

R

y x ≤≤ ∫∫ +−

Si queremos obtener una mejor aproximación, aumentamos el número de subdivisiones y

luego calculamos las sumas superior e inferior. En la siguiente tabla se muestran los resultados

obtenidos para diferentes números de subdivisiones.

Nº subdivisiones 8 16 32 64

Suma Superior 0.6168 0.5873 0.5725 0.5651

Suma Inferior 0.4989 0.5283 0.5430 0.5504

Si bien los valores de la suma superior e inferior se aproximan a medida que aumentamos el

número de subdivisiones, para llegar hasta el verdadero valor de la integral doble, el número

de subdivisiones debe tender hasta infinito.

Figura 5




VI.1.2 Propiedades de la integral doble

Sean f y g funciones continuas en una región R del plano, cerrada y acotada.

1. Linealidad

Si a y b son constantes: ( ) ( ) ( ) ( ) R R R

a f x ,y b g x, y dA a f x ,y dA b g x, y dA+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ∫∫

2. Aditividad respecto a la región de integración:

Si la región de integración R se puede dividir

en dos subregiones1

R y2

R que no se solapan,

entonces:

( ) ( ) ( )dA y , x f dA y , x f dA y , x f

R R R

∫∫∫∫∫∫ +=21

Nota: Dos regiones se dice que no se solapan si su intersección es un conjunto al que

asignamos área cero. Por ejemplo, el área de un segmento de recta es cero.

3. Si ( ) ( ) f x, y g x, y≤ en R y ambas son integrables: ( ) ( ) R R

f x, y dA g x, y dA≤∫∫ ∫∫

4. ( ) ( ) R R

f x, y dA f x, y dA≤∫∫ ∫∫

5. Si ( ) f x, y ≥ 0 sobre R , entonces ( ) R

f x, y dA ≥∫∫ 0

VI.1.3 Interpretac ión geométrica de la integral doble - Teorema de Fubini

Sea ( ) y , x f una función continua y no negativa sobre S , y sea S la región rectangular

definida por a x b≤ ≤ y c y d ≤ ≤ , entonces la

integral doble ( )S

f x, y dA∫∫ , puede interpretarse

como el volumen del sólido cilíndrico W , con base

S y limitado superiormente por la superficie Σ de

ecuación ( ) y , x f z = .

Demostración: la sección de W dada por el

plano 0 y y = , con y c d 0 ∈ , , es la superficie

plana 11 A ABB , mostrada en la figura 6, limitada

superiormente por la curva z f x y= , 0b g e

inferiormente por z = 0.

Figura 6

( ) y , x f z = ( )0 y , x f z = 1 A

A

B

Σ

S

W

x

y

a

b

d 0 y c 1 B

R1 R2




El área de la zona rayada es: ( )∫b

adx y , x f 0 y al tomar y0 como variable y en [ ]d ,c , el área

de tal sección plana será una función de y :

( ) ( )∫= b

adx y , x f y A (1)

Entonces si se conoce el área ( ) y A de una sección cualquiera perpendiculares al plano yz ,resulta para el volumen ( )W V de W :

( ) ( )∫= d

cdy y AW V (2)

Reemplazando en (2) la expresión obtenida en (1), resulta:

( ) ( ) ( )d b

S c aV W f x, y dx dy f x, y dx dy= =∫∫ ∫ ∫ (3)

De manera análoga, se podría haber actuado considerando áreas de secciones de W

paralelas al eje y , esto es planos dados por x x= 0 . Se obtendría entonces:

( ) ( )∫ ∫∫∫ = b

a

d

cS dxdy y , x f dydx y , x f (4)

Observación: Las expresiones obtenidas en (3) y (4) se llaman integrales repetidas o iteradas

Teorema de Fubini (forma débil): Si ( ) y , x f es continua en S , se verifica que:

( ) ( ) ( ) dydx y , x f dxdy y , x f dxdy y , x f b

a

d

c

d

c

b

aS ∫∫∫∫∫∫ == (5)

VI.1.4 Integrales dobles sobre rec tángulos.

Si la región es rectangular el teorema de Fubini nos dice que podemos calcular las integrales

dobles como integrales iteradas sin importar el orden. Esto significa que podemos calcular

una integral doble integrando respecto a una variable a la vez y en cualquier orden.

Ejemplo 2

Calcular: ( )2 4S

y x dx dy−∫∫ , siendo ( ){ }30312 ≤≤≤≤ℜ∈= y , x / y , xS

Solución:

camino 1 ( ) [ ]3 3 3 33 32 2

0 11 0 1 12 4 4 9 12 9 6 30

y

y y x dy dx y xy dx x dx x x

=

=⎡ ⎤− = − = − = − = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

camino 2 ( ) [ ]3 3 3 33 32 2

1 00 1 0 02 4 2 2 4 16 2 16 30

x

x y x dx dy xy x dy y dy y y

=

=⎡ ⎤− = − = − = − = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫




Si debiéramos calcular las integrales, usando la definición, resultaría muy tedioso, ya que

habría que computar el límite de la suma de volúmenes parciales, para lo cual sería preciso

conocer previamente las áreas i AΔ . El Teorema de Fubini, nos proporciona un procedimiento

mucho más simplificado. A continuac ión describimos la forma fuerte del Teorema de Fubini,

que se vincula con el cálculo de las integrales dobles en regiones no rectangulares.

VI.1.5 Integrales dobles sobre regiones más generales.

Regiones tipo I: ( ) ( ) ( ){ }22 1 R x, y / a x b, x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ϕ ≤ ≤ ϕ . Se trata de una región R

como la mostrada en la figura 7.

Se supone por lo tanto que la región es tal, quecualquier recta = x cte, con a x b≤ ≤ , corta a la

frontera de R únicamente en dos puntos, o en un

segmento.

Entonces, si ( ) y , x f es continua en R , se verifica:

( ) ( )( )

( )1

2

b x

R a x f x, y dA f x, y dy dx

ϕ

ϕ=∫∫ ∫ ∫ (6)

Regiones tipo II: ( ) ( ) ( ){ }22 1 R x, y / y x y , c y d = ∈ℜ ψ ≤ ≤ ψ ≤ ≤ .

La región R es ahora como la mostrada en la figura 8.

Cualquier recta = y cte, con c y d ≤ ≤ , corta a la frontera

de R únicamente en dos puntos, o en un segmento.

Entonces, si ( ) y , x f es continua en R , se verifica:

( ) ( )( )

( )1

2

d y

R c y f x, y dA f x, y dx dy

ψ

ψ=∫∫ ∫ ∫ (7)

Regiones tipo III: Son aquellas que son simultáneamente de los dos tipos anteriores,

como se muestra en la figura 9, entonces pueden utilizarse indistintamente las integrales

(6) y (7).

x

y

Figura 7a b

( ) x y 1ϕ=

( ) x y 2ϕ=

R

x

Figura 8

( ) y x 2ψ=

( ) y x 1ψ=

y

c

d

R




Otras regiones

Si la región R no es de uno de los tipos citados anteriormente, se intenta

descomponerla en subregiones i R ( )m , ,i 1= sin elementos interiores comunes, y que

sean de los modelos anteriormente citados. Por la propiedad de aditividad respecto a

la región de integración, nos queda:

( ) ( )1 i

m

R Ri

f x, y dA f x, y dx dy=

= ∑∫∫ ∫∫

Teorema de Fubini (forma fuerte): Si ( ) y , x f es continua en R , se verifica que:

Si R está definida por una región tipo I, entonces

( ) ( )( )

( )1

2

b x

R a x f x, y dA f x, y dydx

ϕ

ϕ=∫∫ ∫ ∫

Si R está definida por una región tipo II, entonces

( ) ( )( )

( )1

2

d y

R c y f x, y dA f x, y dx dy

ψ

ψ=∫∫ ∫ ∫

Ejemplo 3

Calcular: ( )2 4S

y x dx dy−∫∫ , siendo R la región

acotada limitada por las curvas de ecuaciones

2 x y = e x y = .

Solución

Se trata de la región R mostrada en la figura 9. La recta x y = y la parábola 2 x y = se

intersecan en los puntos ( )00 , y ( )11 ,

Es evidente que R es simultáneamente de los tipos I y II. Luego pueden utilizarse

indistintamente las expresiones (4) y (5).

Camino 1: ( ) [ ] [ ]∫∫∫ ∫

−=+−−=−=−==

=

1

0

34221

0

21

0 5

144442

22 dx x x x xdx xy ydxdy x y I x y

x y

x

x

Camino 2: ( ) [ ] [ ]51

222222421

0

221

0

21

02

3

−=+−−=−=−= ∫∫∫∫ =

=dy y y y ydy x xydydx x y I

y x

y x

y

y

Ejemplo 4

Calcular ( )2 4S

y x dx dy−∫∫ , siendo R la región

limitada en el semiplano superior por las rectas de

ecuaciones: 0= y , 1= y , 1−= x , x y = .

x

y

0 1

1

R

x y =

2 x y =

Figura 9

x

y

1

x y = R

1

-1Figura 10




Solución

Se trata de la región R mostrada en la figura 10. Al igual que en el ejemplo anterior, R es

indistintamente de los tipos I y II.

Camino 1:( )

1 1 12 2 2

0 1 0 012 4 2 2 2 2 2 2 3

x y y

x y x dx dy xy x dy y y y dy

=

− =−⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = − + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Camino 2: ( ) ( )0 1 1 1 0 11 12 2

01 0 0 1 02 4 2 4 4 4

y y

y y x x y x dy dx y x dy dx y xy dx y xy dx

= =

= =− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − = − + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )∫∫ =+=+−−+−=−

1

0

220

130344141 dx x x xdx x

Ejemplo 5

Calcular 2 x y

D

e e dxdy

∫∫, donde D es la región limitada por el cuadrado 1 x y+ = .

Solución

Desarrollando la expresión 1 x y+ = para los

cuatro cuadrantes (esto es, reemplazando los

valores absolutos de x y y por x , x− , y o y−

(según corresponda) llegamos a que la región

de integración es el cuadrado de la figura 11.

Por lo tanto podemos expresar la integral de la

siguiente manera:

0 12 2

1 1

x x y x y

D xe e dxdy e e dydx

+

− − −= +∫∫ ∫ ∫

1 12 2

1 1 0 12

0 1 1 01 1

2 2

x x y y

x x y x x

x

x x

e ee e dydx e dx e dx

+ − +− +

− −− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

0 12 2 2 2 2 2 2 21 12 21 0

x x x x x xe e e dx e e e dx+ − − − + −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

0 13 2 3 2

0 13 2 2 2 3 2 2 21 1 12 2 21 0

1 03 3

x x x x x x x xe e

e e dx e e dx e e+ −

+ − − − + − − − − +

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = + + − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

2 1 22 3 2 2 1 2 31 1 2 2 1 2 1

2 2 3 3 6 3 23 3 3 3

e e e ee e e e e e e e e

− −− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + − − + + − − = − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

VI.1.6 Cambio en el orden de integración.

Muchas veces suele ser útil invertir el orden de integración en una integral iterada. Los

siguientes ejemplos nos introducen en esta técnica.

x

y 1

1-1

-1

1 x y+ = 1 x y− = −

1 x y+ = − 1 x y− =

Figura 11




Ejemplo 6

Dada la integral ( ) ( )∫ ∫∫∫ ==2

0 0

2

dxdy y , x f dydx y , x f I x

R, se pide dibujar la región de

integración R y escribir la integral que se obtiene si se invierte el orden de integración.

SoluciónLa región R es la que se muestra en la figura 12:

y la integral que se obtiene al invertir el orden de integración es:

( )∫ ∫=4

0

2dxdy y , x f I

y

Ejemplo 7

Calcular la siguiente integral doble: dxdy y

I x∫ ∫ +

=8

0

2

43

11 ,

invirtiendo previamente el orden de integración.

Solución

La región de integración es la que se muestra en la figura 13:

La integral con el orden de integración invertido, queda:

( )3 3 22 2 4

4 40 0 0 0

1 1 171

4 41 1

y y ln I dx dy dy ln y

y y

⎤= = = + =

⎦+ +∫ ∫ ∫

Ejemplo 8

Calcular4 2 2

0 2

x

y / e dxdy∫ ∫

Solución

El integrando no reconoce una primitiva de sencilla formulación,sino que la misma debe expresarse mediante series.

Para evitar esto, podemos intentar cambiar el orden de integración. Proponemos así:

24 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4

0 2 0 0 0 0 0 02 1

x x x x x x x

y / e dxdy e dydx e dy dx e xdx e e⎡ ⎤= = = = = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x

y

8

x y =3

R2

Figura 13

x

y

2

2 x y =

R

4

Figura 12

x

y

2

42 y x=

2 x y=

Figura 14




VI.2 INTEGRALES TRIPLES.

El concepto de integral triple y su cálculo se desarrolla en forma idéntica al de integral

doble. Sea ( ) f x, y, z una función continua definida en una región acotada R en el espacio,

entonces la integral de f sobre R puede definirse de la siguiente manera. Dividimos una

región rectangular D que contenga a R en celdas rectangulares mediante planos

paralelos a los planos coordenados. Las dimensiones de las celdas soni i i

x y z Δ Δ Δ .

Numeramos en cierto orden las celdas interiores a D :1 2 n

V , V , , V Δ Δ Δ

y construimos así una partición interna formada por todos los paralelepípedoscompletamente situados en el interior de R . Definimos la norma P de la partición como la

longitud de la diagonal más larga de las n cajas de la partición y a continuación elegimos

un punto ( )i i i x , y ,z en cadaiV Δ y formamos la suma de Riemann:

( )1

n

n i i i i

i

S f x , y ,z V =

= Δ∑

Si f es continua y la superficie frontera de R está formada por superficies suaves unidas

según curvas continuas, entonces cuandoi

x, y, z Δ Δ Δ tienden a cero, o P → 0, las sumas

tenderán a un límite

( ) ( )0

1

límn

i i i i P

i R

f x , y ,z V f x, y, z dV →

=

Δ =∑ ∫∫∫

Este límite se llama integral triple de f sobre R . El límite también puede existir para algunas

funciones discontinuas.

iV Δ

x

y

z

R

D

Figura 15

i z Δ

i yΔ

i xΔ




Ejemplo 9

Supongamos que en la figura 15 se muestra un cuerpo sólido que ocupa una región R

cerrada y acotada en el espacio. Si ( ) z , y , xδ es la densidad puntual de dicho cuerpo, nos

interesa calcular su masa.

Solución

Supongamos que la región R está contenida en un paralelepípedo D del espacio. Se

efectúa una partición P de D con planos paralelos a los planos coordenados, obteniendo

n subregiones elementales como se muestra en la figura 15. Excluimos las subregiones que

tienen puntos fuera de R y sean 1V Δ , 2V Δ ,…, nV Δ los volúmenes de las cajas que quedan,

entonces si ( )i i i x , y ,z es un punto arbitrario de la subregión i R , y consideramos que en esa

caja la densidad se mantiene constante podemos armar la siguiente suma de Riemann, que

aproxima el valor de la masa del sólido:

masa ( ) N

i i i i

k

x , y ,z V δ =

≅ Δ∑1

Intuitivamente se ve que esta aproximación de la masa del cuerpo mejorará a medida que

el tamaño de la correspondiente partición P , disminuya ( )0→ P . Luego, puede imaginarse

la masa del cuerpo, como un cierto límite de las sumas anteriores. En esta idea se apoya el

concepto de integral triple.

VI.2.1 Definición de integral triple

Tenemos así la siguiente definición:

Sea una función ( ) z , y , x f definida en una región R sólida y acotada del espacio,

entonces la integral triple de f sobre R se define como:

( ) ( )0

1

límn

i i i i P

i R

f x, y, z dV f x , y ,z V →

=

= Δ∑∫∫∫

siempre que el límite exista

Si hubiésemos considerado el volumen de cada paralelepípedo, esto es z y x ΔΔΔ , tendríamos

que la integral triple es:




( ) R

f x, y, z dV ∫∫∫ ( )0

100

límn

i i i x

i y z

f x , y ,z x y z Δ →

=Δ →Δ →

≅ Δ Δ Δ∑

Si ( ) f x, y, z =1, cualquier suma de Riemann tendrá la forma:

( )1 1

1n n

n i i i i i

i i

S f x , y ,z V V = =

= Δ = Δ∑ ∑

Y a medida quei

x, y, z Δ Δ Δ tienden a cero, las celdasi

V Δ se hacen más pequeñas y

numerosas, y llenan cada vez más a D . Por tanto, decimos que la integral triple de la

función constante ( ) f x, y, z =1 sobre D , es numéricamente igual al volumen de D .

01

Volumen de lím 1n

i P

i R

R V dV →

=

= Δ =∑ ∫∫∫

VI.2.2 Propiedades de la integral triple

Puesto que la integral doble y la integral triple son dos conceptos análogos, la integral triple

tiene las mismas propiedades que la integral doble, cuyos enunciados son análogos a los

correspondientes para las integrales dobles.

VI.2.3 Integrales triples sobre regiones rectangulares.

En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como el límite de sumas

de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores

aproximados, utilizando métodos numéricos. Para calcular valores exactos, se aplica la

versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía

resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se

necesitarán tres integrales simples anidadas.

Veremos a continuac ión cómo se aplica el teorema de Fubini para diferentes regiones.

Si ( ){ }31 2 1 2 1 2 R x, y, z / a x a , b y b , c z c= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y ( ) z , y , x f es integrable en R ,

entonces:

( )∫∫∫ R dV z , y , x f ( )∫ ∫ ∫=2

1

2

1

2

1

a

a

b

b

c

c

dxdydz z , y , x f (8)

pudiendo variarse el orden de integración (6 formas distintas).




VI.2.4 Integrales triples sobre regiones más generales.

Regiones tipo I: ( ) ( ) ( ) ( ){ }32 1, , / , , , R x y z x y R x y z x, y′= ∈ℜ ∈ ϕ ≤ ≤ ϕ . Se trata de una región R

como la mostrada en la figura 16, donde R ′ es la

proyecc ión de R sobre el plano xy . ( R es tal quecualquier recta paralela al eje sólo cortará a la

superficie frontera de R en dos puntos a lo sumo,

o en un segmento).

Entonces, si ( ) z , y , x f es continua en R , se verifica :

( )

∫∫∫ R

dxdydz z , y , x f ( )( )

( )2

1

x ,y

R x, y

f x, y, z dz dx dy

ϕ

′ ϕ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫ (9)

Lo mismo para regiones R que cumplan las condiciones equivalentes respecto a los otros

ejes, habría así otras dos formas posibles, proyectando sobre los planos xz ó yz .

Ejemplo 10

Sea ( ) ( ) ( ){ }21 2 R x, y / a x b , x y x′= ∈ℜ ≤ ≤ ψ ≤ ≤ ψ ,

calcular ( )∫∫∫ R dV z , y , x f .

Solución

Consideremos que la región de integración es

la región sombreada que se muestra en la

figura 17. Descomponiendo la integral doble

anterior (9) sobre R ′ en dos integrales simples

iteradas, nos queda:

( )∫∫∫ R dV z , y , x f ( )( )

( )

( )

( )2 2

1 1

x x ,yb

a x x ,y

f x, y, z dz dy dx

ψ ϕ

ψ ϕ

= ∫ ∫ ∫ (10)

Como veremos más adelante, es posible hacer un conveniente cambio de variables en

la integral doble sobre R′ .

R ′

x

y

z

b

a

( )2 z x, y= ϕ

( )1 z x, y= ϕ

( )2 y x= ψ ( )1 y x= ψ

Figura 19

R′

x

y

z

b

a

( )2 z x, y= ϕ

( )1 z x, y= ϕ

R

Figura 18




Ejemplo 11

Sea ( ) ( ) ( ){ }21 2 R x, y / c x d , x y x′ = ∈ℜ ≤ ≤ ψ ≤ ≤ ψ . calcular ( )∫∫∫ R dV z , y , x f .

Solución

Si pudiera determinarse fácilmente la sección z R de R por cada plano perpendicular aleje z , a la altura z , se tendría:

( )∫∫∫ R dV z , y , x f ( ) z

b

a R

f x, y, z dx dy dz ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫

También podría haberse hecho un cambio de variables

en tal integral doble sobre R ′ , que se verá más adelante.

Análogamente si se consideran secciones por planos

perpendiculares a los otros ejes.

Otras regiones

Si la región R no es de uno de los tipos citados anteriormente, se intenta descomponerla en

subregiones i R ( )m , ,i 1= sin elementos interiores comunes, y que sean de los modelos

anteriormente citados. Por la propiedad de aditividad respecto a la región de integrac ión,

nos queda:

( )∫∫∫ R dV z , y , x f ( )∑∫∫∫=

=n

i Ri

dxdydz z , y , x f 1

Ejemplo 12

Escribir la integral ( )W

f x, y, z dV ∫∫∫ por medio de tres integrales simples iteradas en

coordenadas cartesianas, de todas las formas posibles, siendo W el prisma triangular rectode la figura 19.

Solución

La intersección del prisma con los planos

coordenados, se muestra en la figura 19 y las

diferentes posibilidades de resolución se

muestran a continuación:

z R

x

y

z

a

b

z

Figura 20

z

x

y

3

2

1

1 R

2 R 3 R

12 y

z + =

2 y =

3 x =

Figura 21




( )

( )

( )1

23 2 2

22

0 0 0

20 2 3 2

0 0 0

y

y

y R

f x, y,z dz dy dx

I f x, y, z dz dxdy

f x, y,z dz dx dy

−

−

−

⎧⎪

⎡ ⎤ ⎪⎪⎢ ⎥= = ⎨⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎪⎩

∫ ∫ ∫∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

( )

( )2

3 1 2 2

2 20 0 0

1 3 2 20

0 0 0

z

z

z R

f x, y, z dy dx dz

I f x, y, z dy dxdz

f x, y, z dy dz dx

−

−

−

⎧⎪⎡ ⎤ ⎪

= = ⎨⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪

⎪⎩

∫ ∫ ∫∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )( )

( )3

22 32

3

0 0 0

1 2 2 30

0 0 0

y

z R

f x, y, z dx dzdy

I f x, y, z dx dydz

f x, y, z dx dy dz

−

−

⎧⎪⎪⎡ ⎤ ⎪

= = ⎨⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪

⎪⎪⎩

∫ ∫ ∫∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

VI.3 CAMBIO DE VARIABLES. FÓRMULA DEL CAMBIO DE VARIABLES.

VI.3.1 Cambio de variables en Integrales simples

Para las integrales simples, la fórmula del cambio de variables es:

( ) ( )( ) ( )b d

a c f x dx f g t g t dt ′=∫ ∫ donde [ ]: f a,b → ℜ es una función continua y [ ]: g c,d → ℜ la

imagen de g en [ ]a,b , con ( )c g a = y ( )d g b = .

Podemos concluir que ( ) dt t g dx ′=

VI.3.2 Cambio de variables en Integrales dobles

Ahora queremos efectuar un cambio de variables en la integral ( )dA y , x f

R

∫∫ de acuerdo a la

siguiente aplicación:

a b xc d t y

f g

Figura 22




( ) ( )

( )⎩⎨⎧

=

=Φ

v ,u y y

v ,u x x:v ,u

(11)

que transforma una región * R del plano uv en otra R del plano xy , tal como se muestra en

la figura 21.

Si en las ecuaciones dadas por (11) es posible despejar u y v en términos de x e y , es

porque existe la aplicación inversa 1−Φ

definida por:( )( )⎩

⎨⎧

=

=

y , xvv

y , xuu que transforma los puntos

de la región R en los de * R .

Si suponemos que la aplicación Φ

es inyectiva, que tanto las funciones ( ) ( )v ,u y ,v ,u x como

sus derivadas parciales u x ∂∂ , v x ∂∂ , u y ∂∂ , v y ∂∂ son continuas en * R y si además el

jacobiano de la aplicac ión no se anula en ningún punto de * R , esto es 0≠

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=

v

y

u

yv

x

u

x

J ,

entonces la fórmula del cambio de variables para integrales dobles, viene dada por:

( ) ( ) ( )( ) dvdu J v ,u y ,v ,u x f dA y , x f * R R

∫∫∫∫ = (12)

No presentaremos la demostración de la fórmula obtenida en (12), sin embargo

estudiaremos dos situaciones que basadas en argumentos geométricos, que nos permitirán

aceptar o al menos entender su contenido.

Figura 23

1−Φ

u

vΦ

( )v ,u

x

y

( ) y , x * R R

O O




Observación: J es un factor de dilatac ión o contracción local de área, al aplicar Φ

.

Caso I: Cambio a coordenadas polares

En este caso la función que transforma la región*

R del plano θr , en otra R del plano xy es:

: x r cos

y rsen

= θ⎧Φ ⎨

= θ⎩

con π≤θ<> 200 ,r ,

siendo el jacobiano de la transformación:

r cosr sen

senr cos J =

θθ

θ−θ=

entonces ( ) [ ] θθθ= ∫∫∫∫ d dr r rsen ,cosr f dydx y , x f * R R

y de acuerdo a esto el elemento de área

en coordenadas polares será: θ= d dr r dA y puede obtenerse por consideraciones

geométricas.

Esto es, si consideramos que el área de un sector circular de radio r y amplitud θ es θ2

21 r ,

entonces el área de un rectángulo polar típico, como el mostrado en la figura 22, será:

( ) ( ) ( ) θΔΔ+θΔΔ=θΔ−θΔΔ+= 222

2

1

2

1

2

1 r r r r r r R A (13)

Si eliminamos de la ecuación (13) el infinitésimo de orden superior ( ) θΔΔ 2

21 r , nos

queda ( ) θΔΔ≅ r r R A . Por tanto θ= d dr r dA .

Φ

r

θ

O

* R

θΔ

r Δ

x

( )r r + Δ Δθ r Δ

( )r ,θ ( ) y , x

Figura 24

R

y

O




Ejemplo 13

Expresar con dos integrales simples iteradas en coordenadas polares la integral ( ) R

f x, y dA∫∫

en los siguientes casos:

a) R es un círculo con centro en el origen y radio a .b) R es una corona c ircular con centro en el origen y radios a y b ( )ba < .

c) R es un círculo con centro en ( )0 ,a y radio a .

Solución

a) La región es ( ) 2222 a y x / y , x R ≤+ℜ∈= que se

muestra en la figura 23, aplicando la fórmula del

cambio de variables:

( ) R

f x, y dA =∫∫ [ ]2

0 0

a

f r cos ,r sen r drd π

θ θ θ∫ ∫

Observar que * R , es:

b) La región ( ) 22222 b y xa / y , x R ≤+≤ℜ∈= se

muestra en la figura 25, aplicando la fórmula del

cambio de variables:

( ) R

f x, y dA =∫∫ [ ]2

0

b

a f r cos ,rsen r drd

πθ θ θ∫ ∫

Ahora * R , es:

y

R

O xa

Figura 25

θ

O ra

2π

R*

Figura 26

R

y

xO

a

b

Figura 27

θ

O rb

2π R*

a

Figura 28




c) La región que se muestra en la figura 27 está dada por: ( ) ( ) 2222 a ya x / y , x R ≤+−ℜ∈= y

aplicando la fórmula del cambio de variables:

( ) R

f x, y dA =∫∫ [ ]2 2

2 0

acos

f r cos ,rsen r drd π θ

−πθ θ θ∫ ∫

Siendo * R :

Nota: Otras coordenadas que darían una expresión razonablemente simple a la integral del

apartado c) serían las polares trasladadas al punto ( )0 ,a , esto es⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=

θ+=

sen y

cosr a x,

r J = y ( ) ar / ,r R* ≤≤∧π≤θ≤ℜ∈θ= 0202 , luego [ ]

2

0 0

a

I f a r cos ,rsen r dr d π

= + θ θ θ∫ ∫

Caso II: Cambio de coordenadas de 22 ℜ→ℜ . Transformaciones lineales

Supongamos que las regiones R y * R , son las que se muestran en la figura 29. La

aplicación lineal que mapea triángulos en triángulos será de la forma : x u v

y u v

= α + β + γ⎧ψ ⎨

= δ + ε + ξ⎩

,

luego si no conocemos la función ψ

, habrá que determinar el valor de los coeficientes

εδγβα , , , , y ξ y lo haremos mediante un mapeo de cada uno de los vértices (o podrían

mapearse también de sus lados), esto es:

R

y

xO a 2a

Figura 29

v

Figura 31

uO 1

1

x

y

O 1 2 4

1

3

4

( )v ,u *

R

R

Ψ

( ) y , x

θ

O r2a

− π /2

Figura 30

a

R*

π /2




Para encontrar la función ψ

, que mapea el triángulo * R en la región también triangular R ,

esto es el valor de los coeficientes y , , , ,α β γ δ ε ξ , resolvemos el siguiente sistema de

ecuaciones lineales, que obtenemos de efectuar la transformación en los puntos

correspondientes a los vértices de la región:

( )v ,u ( ) ( )u,v x, yψ =

⎪⎩

⎪⎨⎧

ξ+ε+δ=

γ+β+α=Ψ

vu y

vu x:

( )01 , ( )12 , ⎪⎩

⎪⎨⎧

ξ+ε+δ=

γ+β+α=

011

012

( )00 , )31 , ⎪⎩

⎪⎨⎧

ξ+ε+δ=

γ+β+α=

003

001

( )10 ,

( )44 ,

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ξ+ε+δ=

γ+β+α=

104

104

resolviendo, obtenemos: 1=α , 3=β , 1=γ , 2−=δ , 1=ε , 3=ξ , luego la transformación es

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−=

++=Ψ

32

13

vu y

vu x: y 7= J entonces ( ) ( ) ( )[ ] dvduv ,u y ,v ,u x f dydx y , x f

* R R7∫∫∫∫ = y de acuerdo a

esto el elemento de área en las coordenadas uv será: dvdudA 7= .

VI.3.3 Cambio de variables en Integrales triples – Fórmula del cambio de variables

Sean * R y R dos regiones en los espacios ( )w ,v ,u y ( ) z , y , x respectivamente y sea

( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

==

Φw ,v ,u z z

w ,v ,u y y

w ,v ,u x x

:w ,v ,u

una transformación inyectiva de * R sobre R con derivadas parciales

contínuas, entonces para cualquier función integrable : f D → ℜ , tenemos:

( )∫∫∫ R dV z , y , x f ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫∫=* R

dwdvduw ,v ,u J w ,v ,u z ,w ,v ,u y ,w ,v ,u x f

El módulo del determinante jacobiano J representa un factor de dilatac ión o contracción

local del volumen, al aplicar Φ

. El elemento de volumen en R en otras coordenadas wvu

es:

( ) dvdwduw ,v ,u J dV =




Caso I: Cambio a coordenadas cilíndricas

Ya hemos visto que en el sistema de coordenadas cilíndricas la posición de un punto P en el

espacio se determina por los tres valores ( ) z , ,r θ , donde r y θ, son las coordenadas polares

de la proyecc ión P ′ de P , sobre el plano xy .

El cambio de coordenadas viene dado por la siguiente función:

:

x r cos

y r sen

z z

= θ⎧⎪

Φ = θ⎨⎪ =⎩

y

0

0

0 0 1

cos sen

J r sen r cos r

θ θ

= − θ θ =

por lo tanto, si ( ) z , y , x f es continua en R , resulta:

( )∫∫∫ R dxdydz z , y , x f [ ]∫∫∫ θθθ=* R

dz drd r z , senr ,cosr f

La expresión dz drd r dV θ= es el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas. Estas

coordenadas son especialmente útiles para trabajar con regiones limitadas por superficies

cilíndricas de revolución en torno al eje , planos que contienen a dicho eje y planos

perpendiculares al mismo, esto es regiones limitadas por superficies coordenadas.

Caso II: Cambio a coordenadas esféricas

En el Tema I, también estudiamos las coordenadas esféricas, en las cuales la posición de un

punto ( ) z , y , x P en el espacio se determina por los tres valores ( )θϕρ , , , tales que

0 0 0 2 , , ρ ϕ π θ π < < +∞ < < < ≤

El cambio de coordenadas está dado por la función :

x sen cos

y sen sen

z cos

=ρ ϕ θ⎧⎪

Φ =ρ ϕ θ⎨⎪ =ρ ϕ⎩

, y se verifica que:

2

0

sen cos cos cos sen sen

J sen sen cos sen sen cos sen

cos sen

ϕ θ ρ ϕ θ − ρ ϕ θ

= ϕ θ ρ ϕ θ ϕ θ = ρ ϕ

ϕ − ρ ϕ

,

por lo tanto, si ( ) z , y , x f es continua en R , y resulta:

( )

∫∫∫ R

dV z , y , x f [ ]

∫∫∫ θϕρϕρϕρθϕρθϕρ=

*

R

d d d sencos , sen sen ,cos sen f 2




El elemento de volumen en coordenadas esféricas es: θϕρϕρ= d d d sendV 2 . Estas

coordenadas son especialmente útiles para trabajar con regiones limitadas por superficies

esféricas o cónicas, es dec ir para regiones limitadas por superficies coordenadas.

VI.4 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Aplicaciones geométricas - Cálculo de volúmenes

De lo visto en la interpretación geométrica de la integral doble, se deduce que si R es una

región cerrada y acotada en el plano xy y ( ) y , x f es no negativa e integrable en R , la

( )

∫∫ R

dydx y , x f representa el volumen del sólido

cilíndrico W limitado inferiormente por R , y

superiormente por la superficie Σ , que es la

gráfica de la función ( ) y , x f z = y lateralmente la

superficie cilíndrica de generatrices paralelas al

eje y la frontera de R es la directriz.

De manera análoga, si( )

y , x f no cumple

f x y ,b g ≥ 0 en R , pero es integrable sobre

R , entonces el volumen de W es:

( ) dydx y , x f V R∫∫=

O, si se trata de un sólido W , como el mostrado en la figura 31, entonces:

( ) ( ) dydx y , x f y , x f V R∫∫ −= 12

Ejemplo 14

Calcular el volumen del sólido W que se muestra en la figura 32. Está limitado superiormente

por el paraboloide 222 y xa z −−= e inferiormente por el plano xy .

R

x

y

z

( ) y , x f z 1=

Σ

( ) y , x f z 2=

W

Figura 33

R

x

y

z ( ) y , x f z = Σ

Figura 32




Solución

El paraboloide corta al plano xy en la

circunferencia

⎪⎩⎪⎨⎧

= =+0

222

z a y x

y de ac uerdo a lo antes visto, el volumen será:

)∫∫ −−= R

dydx y xaV 222 . En este punto, es

evidente la conveniencia del cambio a

coordenadas polares:

( ) ( ) 2422

4

0

4222

0 0

2222 ar r adrd r r ad dr r r aV

aa

R*

π=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−π=θ−=θ−= ∫ ∫∫∫ π

Cálculo de áreas de regiones planas

Dada una región R acotada, su área puede obtenerse como: ( ) ∫∫= R

dydx R A . En realidad

lo que calculamos es el volumen de un sólido de altura ( ) 1= y , x f y base R , que

numéricamente es igual al área de la región R .

Ejemplo 15

Hallar el área del círculo de radio a , mediante una integral doble.

Solución

a) En cartesianas dx xadxdy A

a xaa

∫∫∫ −==

−

0

22

00 44

22

, haciendo un cambio de variables:

θ= asen x , nos queda:

[ ]∫∫ π

π=θθ+=θθπ 2

0

22

0

22 21242

ad senad cosa

b) En polares 222

0 0 22 aad dr r A

aπ=π=θ= ∫ ∫

π

Figura 34

y

x

z

W

200 a , ,

a




Ejemplo 16

Calcular el área de la región limitada por la elipse de ecuación: 12

2

2

2=+

b

y

a

x , utilizando

integración doble y un adecuado cambio de variables.

Solución

Es evidente que el cambio :

xu

a

yv

b

⎧ =⎪⎪Φ ⎨⎪ =⎪⎩

, es decir, : x au

y bv

=⎧Φ ⎨

=⎩

hace corresponder tal elipse a la

circunferencia u v2 2 1+ = .

Es decir:

Luego: ( ) )∫∫∫∫∫∫ π=====** R

*

R Rab R Aabdvduabdvdu J dydx R A

Si no se da como supuesto el conocimiento del área del círculo, se efectuaría en la última

integral sobre * R , un cambio a coordenadas polares:

( ) abd dr r abdvduab R A* R

π=θ== ∫∫∫∫ π 1

0

2

0

En conjunto, el cambio x ar cos

y brsen

= θ⎧⎨

= θ⎩

transformará ** R en

R , siendo ** R la región que se muestra en la figura 34.

Ejemplo 17

Calcular el área de la región R sombreada que se

muestra en la figura 35.

θ

O r1

2π

R**

Figura 36

Figura 37

R

x

y

O

x y β=

x y α=

2b y x = 2a y x =

u

v Φ

x

y

* R R O O

1

a

b

1

Figura 35




Solución

El área está dada por ( ) ∫∫= R

dydx R A , pero el cálculo

directo de esta integral es complicado. Es conveniente

introducir un cambio de variables de acuerdo a:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

v x

y

u xy

, es decir :u

xv

y uv

⎧=⎪

Φ ⎨⎪ =⎩

entonces la correspondiente región * R en el plano v ,u es la que se muestra en la figura 36:

El jacobiano de la transformación

Φ es :

J uv

u

v

v

u

u

v

v v v=

−

= + = >

1

2 2

2 2

14

14

12

032

luego, ( )α

β−==== ∫ ∫∫∫∫∫ β

α ln

abdudv

vdvdu

vdydx R A

b

a R R * 221

21 222

2

Aplicaciones físicas

Consideremos una lámina delgada L , que ocupa la

región R del plano y cuyo espesor es despreciable. En

dicha región se distribuye de manera continua una masa

con densidad superficial ( ) y , xδ .

Masa de la lámina: ( ) ( ) dydx y , x L M R∫∫ δ=

Observac ión : ( ) y , xδ puede representar otras magnitudes físicas como por ejemplo: densidad

superficial de carga eléctrica, etc.

Momentos de inercia de L :

El momento de inercia de un punto material P de masa m , respecto a una recta r , o un

punto P 0 es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al

punto. Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a r o P 0 , es

v

ua2

β R*

b2

α

Figura 38

Figura 39

xk

yk Rk

R

x

y

L




la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto. Por tanto, los

momentos de inercia ( ) L I de L , vendrán dados por:

Respec to al eje x : ( ) ( )∫∫= R

x dydx x,yδ y L I 2

Respec to al eje y : ( ) ( )∫∫= R

y dydx x,yδ x L I 2

Respecto al origen: ( ) ( ) ( )2 2O

R I L x y δ x,y dx dy= +∫∫

Respecto a un punto P x y0 0 0 ,b g : ( ) ( )∫∫= R

P dydx x,yδd L I 20

, siendo ( ) ( )2 22

0 0d x x y y= − + −

Respec to a una recta r : ( ) ( )∫∫= R

r dydx x,yδd L I 2 , siendo 2d el cuadrado de la distancia

del punto ( )000 y , x P a la recta r .

Momentos estáticos respecto a los ejes:

El momento estático M P x b g (respectivamente M P y b g ) de un punto material ( ) y , x de una

masa m , respecto al eje x (respecto y ) es el producto de la masa por su distancia al eje x

(respecto y ), es dec ir: M P my x b g = , M P mx y b g = .

Luego, los momentos estáticos de la lámina L estarán dados por:

( ) ( )∫∫= R

x dydx y , xδ y L M

( ) ( )∫∫= R

y dydx y , xδ x L M

Centro de masa:

Las coordenadas del centro de masa de la lámina L , están dadas por:

( ) ( )

( )

( )

( )∫∫∫∫

δ

δ==

R

R y

Gdydx y , x

dydx y , x x

L M

L M L x ( )

( )

( )

( )

( ) x R

G

R

y x, y dx dy M L y L

M L x,y dx dy

δ= =

δ

∫∫∫∫

Valores promedios: ( ) ( ) ( ) L AdA y , xT LT R∫∫=

Nota: ( ) ( ) ( )O x y I L I L I L= +




Ejemplo 18

Se considera una placa delgada L de espesor uniforme y densidad de masa constante δ ,

que ocupa la región R acotada en el plano, limitada por la parábola 2 y x= y la recta y x= .

Determinar su centro de masa y los momentos de inercia respecto a los ejes de

coordenadas y respecto al origen.

Solución

La región R se muestra en la figura 38:

y los momentos estáticos vendrán dados por:

( ) ( ) ( )2

12 31 1 2

0 00

2 3 6

x

R x

x x M L x, y dA dy dx x x dx

⎡ ⎤ δ= δ = δ = δ − = δ − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

13 51 1 2 4

0 00

2 2 3 5 15

x

x R x

x x M L y dA y dydx x x dx

⎡ ⎤δ δ δ= δ = δ = − = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

13 41 1 2 3

0 0 03 4 12

x

y

R x

x x M L x dA x dydx x x dx

⎡ ⎤ δ= δ = δ = δ − = δ − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

luego, el centro de masa será:

( ) ( )

( )12

y

G

M L x L

M L= = ( )

( )

( )2

5 x

G

M L y L

M L= =

y los momentos de inercia:

( ) ( )2

14 71 12 2 3 6

0 00

3 3 4 7 28

x

x R x

x x I L y dA y dydx x x dx

⎡ ⎤δ δ δ= δ = δ = − = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

14 51 12 2 3 4

0 00

4 5 20

x

y R x

x x I L x dA x dydx x x dx

⎡ ⎤ δ= δ = δ = δ − = δ − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )0

335 x y I L I L I L= + = δ

Ejemplo 19

Hallar la masa de una lámina delgada con forma de anillo circular de radios a y b con

a b< . La densidad en cada punto es inversamente proporcional a la distancia de tal punto

al centro del anillo y la densidad en la c ircunferencia de radio menor es igual a 1.

x

y

O 1

1

R

x y =

2 x y =

Figura 40




Solución

Se sitúa la lámina L ocupando la corona circular R con

centro en el origen de coordenadas.

La densidad en cualquier punto interior a la corona es:

( )2 2

k k x, y

r x yδ = =

+ siendo r la distancia del punto al

origen.

Cuando r a= , 1δ = luego resulta que k a= , de donde: ( )2 2

a a x, y

r x yδ = =

+.

Luego la masa de la lámina L es:( ) ( ) R

L x, y dx dy= δ

∫∫

haciendo cambio de variables a polares: ( ) ( )2

02

b

a

a L r drd a b a

r

π= θ = π −∫ ∫

VI.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Son análogas al caso de las integrales dobles. Se considera ahora un sólido W que ocupa la

posición de una región R en el espacio, siendo ( ) z , y , xδ la densidad de masa en cadapunto ( ) z , y , x P . Con razonamientos similares a los citados para las integrales dobles, se

verifica:

Volumen de W : ( ) ∫∫∫= R

dxdydz W V

Masa de W : ( ) ( )∫∫∫ δ= R

dxdydz z , y , xW m

Momentos estáticos respecto a los planos coordenados:

( ) ( )∫∫∫ δ= R

yz dV z , y , x xW M ( ) ( )∫∫∫ δ= R

xz dV z , y , x yW M ( ) ( )∫∫∫ δ= R

xy dV z , y , x z W M

Coordenadas del centro de masa de W , )GGG z , y , x con:

( )( )W m

W M x

yz

G = ( )

( )W m

W M y xz

G = ( )

( )W m

W M z

xy

G =

R

y

xO

a

b

Figura 41




Momentos de inercia:

( ) ) ( )∫∫∫ δ+= R

x dV z , y , x y z W I 22 ; ( ) ) ( )∫∫∫ δ+= R

y dV z , y , x x z W I 22 ;

( ) ( )∫∫∫ δ+= R

z dV z , y , x y xW I 22 ; ( ) ( )∫∫∫ δ++= R

dV z , y , x y z xW I 2220

Valores promedios: ( ) ( ) ( )W V dV z , y , xT W T R∫∫∫=

Ejemplo 20

Determinar el volumen de un toro de revolución caracterizado por los radios r y R .

Solución

Expresado en términos menos elegante, un toro es una argolla que se obtiene haciendo

rotar un disco de radio r alrededor de un punto situado a una distancia R del centro del

disco. En la figura 40 apreciamos las vistas transversal y superior del toro. Si cortamos

transversalmente el toro a una cierta altura z , la sección será una corona circular de los

siguientes radios mayor y menor:

radio mayor: 2 2 R r z + −

radio menor: 2 2 R r z − −

El área de la corona circular vendrá dada entonces por:

( )2 2mayor menor A R R= π −

( ) ( )2 2

2 2 2 2 A R r z R r z

⎡ ⎤= π + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 24 A R r z = π −

y es ésta el área transversal que se

obtiene seccionando el toro con un

plano a una altura z . Para obtener elvolumen del toro tenemos que integrar

estas áreas transversales entre el mínimo

z y el máximo z , los cuales valores se

puede ver en la figura 40 que son r − y

r :

tabla2

2 2 2 2 1 2 24 4 2

2 2

r r

V r r

z r z V dV R r z dz R r z sen Rr

r

↓−

− −

⎡ ⎤= = π − = π − + = π⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫∫ ∫

2 2 R r z − −

R R -

R R + R -

2 2 R r z − −

2 2 R r z + −

x

x

z

y

rr

- r

Figura 42

2 2 R r z + −




Ejemplo 20

Hallar el centroide de la región W limitada en el primer octante por la superficie esférica de

centro el origen y radio a , y los planos coordenados.

Solución

El valor de ( )G z W es( )

( ) xy W

m W y su volumen vendrá dado por: ( ) 31

6V W a= π , luego:

( ) ( )2 2 2

2 2 2

0

12

a x y

xyW

R R

W zdxdydz zdz dxdy a x y dxdy

− −

= = = − −∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫

Resolviendo en coordenadas polares esta integral doble :

( ) ( ) 2 4 42 2 2 2

0 0 0

12 4 2 4 16

a

a

xyr r a M W a r rdrd a

π

⎡ ⎤π π= − θ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

entonces: ( )4

3

6 316 8G

a z W a

a

π= =

π y por simetría las coordenadas del centro geométrico serán:

3 3 38 8 8

a, a, a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Otras formas:

La integral triple correspondiente a ( ) xy M W puede resolverse en coordenadas esféricas de lasiguiente forma:

( ) 2 xy

W W W zdV cos sen d d d = = ρ ϕρ ϕ θ ϕ ρ=∫∫∫ ∫∫∫

2 4 422 2 3

0 0 00

2 2 4 16

a sen a a sen cos d d d

ππ π ⎡ ⎤π ϕ π

ρ ϕ ϕ ϕ θ ρ= =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

En coordenadas cilíndricas:

( )2 2

2

0 0 0

a a r

xy W z r dz dr d

π−

= θ∫ ∫ ∫

Ejemplo 21

Se considera el sólido W limitado por la esfera con

centro el origen y radio a y por el cono de revolución

con vértice en el origen, eje z y semiángulo en el

vertice3π

ϕ = . Hallar el volumen de W y su momento

de inercia con respecto al eje z , si la densidad del

sólido es unitaria.

R

W

y

z

x

Figura 43

y

z

W

x

Figura 44



Solución

En coordenadas esfericas :

( ) [ ]3 3

2 3 2 300 0 0

2 2 11

3 3 2

a a aV W sen d d d cos

ππ ππ π ⎡ ⎤= ρ ϕ ρ ϕ θ= − ϕ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫3

3aπ

( ) ( )2 2 z

W

I W x y dV = +∫∫∫

si ( ) ( )2 22 2 2 2

x y sen cos sen sen sen+ = ρ ϕ θ + ρ ϕ θ = ρ ϕ , se tendrá:

( )5 5

2 3 3 34 3 3 2

0 0 0 0 0

2 21

5 5

a

z

a a I W sen d d d sen d sen cos d

π π ππ π π⎡ ⎤= ρ ϕ ρ ϕ θ = ϕ ϕ= ϕ − ϕ ϕ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5 3 5 53

0

2 2 1 1 11

5 3 5 2 24 3 12a cos a a

cos

π

⎡ ⎤π ϕ π − π⎡ ⎤= − ϕ + = + + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Tema 06 - Integrales Múltiples

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