Tema 0013
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ESTADSTICA GRADOS EN INGENIERA MECNICA, INGENIERA QUMICA E
INGENIERA EN ORGANIZACIN INDUSTRIAL
Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 234
TEMA 13.- CONTRASTES DE HIPTESIS
EN MODELOS NORMALES Y SOBRE PROPORCIONES
- Contrastes de hiptesis en modelos normales. - Problemas de una muestra. - Problemas de dos muestras. - Test t por pares.
- Contraste de hiptesis sobre proporciones. - Problemas de una muestra. - Problemas de dos muestras.
- Dualidad IC Test de Hiptesis
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 235
CONTRASTES DE HIPTESIS EN MODELOS NORMALES
ESTUDIO DE UNA POBLACIN NORMAL. (PROBLEMAS DE UNA MUESTRA)
Poblacin: XN(,), Muestra: X1,...,Xn Estadsticos: X , S
Problemas de inters: Contrastes de hiptesis sobre la media . Contrastes de hiptesis sobre la varianza desviacin tpica
Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI
H0: =0
conocida
H1: 0 H1: >0 H1: z/2 z0>z
z00 H1: tn1,/2 t0>tn-1,
t00 H1:
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 236
Ejemplo: Un producto limpiador debe contener 25 gr. de un determinado componente para ser eficaz, pero se sospecha por las muchas quejas de los consumidores que el proceso de fabricacin no funciona bien y que esa cantidad es menor. Para ello se toma una muestra de 15 productos y en cada uno se mide la cantidad del componente obteniendo: X 24 1. gr. y S=0.6gr.
El contraste que hay que plantear es H H0 125 25: : contra pues queremos que los consumidores tengan que demostrar que el contenido medio est por debajo de los 25 gr.
Supongamos que se hace un test a nivel habitual .
05.0,140
,10 761.181.5
156.0251.24 t
nSXt
nSXC n
Entonces, rechazamos H0 y debemos revisar nuestro proceso de produccin. El p-valor que corresponde al valor observado t= -5.81 es 0005.081.514 tP por lo que rechazamos Ho a cualquier nivel de significacin habitual.
Si adems queremos calcular el tamao muestral necesario para que la probabilidad de NO detectar un contenido medio ineficaz de sea menor de 0.10 ((24.75)
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 237
Ejemplo: Para esmerilar discos de silicio al grueso apropiado se utiliza un cierto proceso de bruido. Para dar sensacin de homogeneidad en el producto, interesa que la variable "X=grosor de los discos" tenga una desviacin tpica lo menor posible, considerando satisfactorio el proceso si dicha desviacin no supera los 0.5 mm. Se realiza un estudio sobre una muestra de 15 discos y se obtiene S=0.64 mm. Hay evidencias de que el proceso no sea satisfactorio al nivel . Para saber si tenemos evidencias suficientes de que el proceso no funciona bien al nivel fijado debemos colocar esta situacin en de modo que tendremos evidencias suficientes de ello si somos capaces de rechazar .
22
1
220
5.0:
5.0:
H
H 2 05.0,142
2
20
22
,120
2
68.23904.225.0
64.01411
SnSnC n
Por tanto no rechazamos H0 al nivel .
El p-valor es: 0618.0904.22214 P
Imaginemos que un incremento del 50% en respecto a H0 es preocupante y queremos saber qu riesgo de no detectarlo estaramos corriendo al no rechazar H0. En este caso el valor de es 1.50.5=0.75. En las curvas CO, Carta VI (k), entrando con =1.5 y n=15 obtenemos 0.27.
Es decir, si ocurriera dicho incremento del 50% no lo detectaramos con una muestra de tamao 15 el 27% de las veces.
Para conseguir < 0.1 habramos necesitado un nmero de observaciones de aproximadamente n=30 segn las curvas CO.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 238
Ejemplo: Un artculo publicado en la revista Materials Engineering (1989, Vol. II, No. 4, pgs. 275-281) describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada espcimen falla es la siguiente (en MPa):
19.8, 15.4, 11.4, 19.5, 10.1, 18.5, 14.1, 8.8, 14.9, 7.9, 17.6, 13.6, 7.5, 12.7, 16.7, 11.9, 15.4, 11.9, 15.8, 11.4, 15.4, 11.4
Hay evidencias empricas de que >10 Mpa con un nivel de significacin =0.01? Se puede descartar que =4 Mpa al nivel =0.01? Es asumible la hiptesis de normalidad?(Plot de Normalidad visto en prcticas) Solucin: Resolvemos el problema con ayuda de STATGRAPHICS
Resistencia7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Normal Probability Plot for Resistencia
7 10 13 16 19 22
Resistencia
0,115
2050809599
99,9
perc
enta
ge
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 239
Summary Statistics for Resistencia
Count = 22 Average = 13,7136 Variance = 12,6279 Standard deviation = 3,55358 Minimum = 7,5 Maximum = 19,8 Skewness = -0,0151322 Kurtosis = -0,75137
Hypothesis Tests for Resistencia
t-test ------ Null hypothesis: mean = 10,0 Alternative: greater than
Computed t statistic = 4,90168 P-Value = 0,0000378127
Reject the null hypothesis for alpha = 0,01.
Hypothesis Tests for sigma
95,0% confidence interval for sigma: [2,73395;5,0783]
Null Hypothesis: std. deviation = 4,0 Alternative: not equal
Computed chi-squared statistic = 16,5742. P-Value = 0,526851
Do not reject the null hypothesis for alpha = 0,05.
CONCLUSIONES: 1. La media es significativamente superior a 10 Mpa. 2. No hay evidencias de que la desviacin tpica sea distinta de 4 Mpa. 3. La hiptesis de normalidad parece asumible. (Plot)
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 240
COMPARACIN DE DOS POBLACIONES NORMALES, MUESTRAS INDEPENDIENTES
Poblacin 1: X1N(1, 1), Muestra 1: 1,11,1 ,..., nXX Estadsticos: 11 , SX Poblacin 2: X2N(2, 2), Muestra 2: 2,21,2 ,..., nXX Estadsticos: 22 , SX Las muestras de las dos poblaciones son independientes.
Problemas de inters: Comparacin de medias: Inferencias sobre 12 (12=0 12). Comparacin de varianzas: Inferencias sobre 12/22 (12/22 =1 1=2).
Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI
H0: 12=1 y 2 conocidas
H1: 12 H1: 12> H1: 12z/2
z0>z z0 H1: 12 H1: 12t,/2
t0>t, t02
22
21
0 SSF
,1,10
21,1,102,1,10
21
2121
nn
nnnn
FF
FFFF Solo para n1=n2=n =1/2
o, p q, r
Muy frecuentemente la diferencia a contrastar es (2) Como es desconocido se adoptan las mismas soluciones (a) y (b) del caso de una muestra.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 241
Ejemplo: En una investigacin industrial se est buscando reducir el tiempo de secado de una pintura de imprimacin. Se ponen a prueba dos formulaciones de la pintura; la formulacin 1 es la estndar, y la formulacin 2 tiene un nuevo ingrediente pensado para reducir el tiempo de secado. Por experiencia, se sabe que la desviacin tpica del tiempo de secado es de 8 minutos, y que esta variabilidad natural no se ver afectada por la adicin del nuevo ingrediente. Se pintan 20 ejemplares en orden aleatorio, diez con cada una de las formulaciones. El promedio de los tiempos de secado de las muestras en minutos son 1211 X min. y 1122 X min. a) Qu conclusiones se pueden extraer sobre la efectividad del ingrediente nuevo, usando =0.05? b) Si la verdadera diferencia entre los tiempos medios de secado fuera de 10 minutos, hallar la
potencia de la prueba realizada en a) para detectar esta diferencia. c) Si se quiere que dicha potencia sea al menos 0.95, hallar los tamaos muestrales necesarios. d) Se puede afirmar a partir de la muestra, con un nivel de significacin =0.05, que el tiempo
medio de secado se reduce en ms de 5 minutos?
Solucin: a) Las hiptesis a contrastar son
::
211
210
HH
05.022
2
22
1
21
210
2
22
1
21
21 645.152.2
108
108
112121 z
nn
XXzz
nn
XXC
Entonces, rechazaremos H0 y concluimos que la nueva formulacin reduce el tiempo de secado. El p-valor sera 0059.0)52.2(152.2 zP y habramos rechazado H0 a cualquier nivel de significacin de los habituales.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 242
b) Para calcular la potencia pedida, utilizamos las Curvas CO, Carta VI (c), con las entradas
1088.088
1021222
221
21
nnnd
y obtenemos 0.85.
c) El tamao muestral necesario para que el test de a) tenga una potencia de 0.95 (es decir cometa un error de tipo II con una probabilidad
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 243
Ejemplo: La presencia de arsnico en el agua para consumo humano es un riesgo potencial para la salud. Un artculo publicado en Arizona Republic (Sunday, May 27, 2001) inform de las concentraciones de arsnico en el suministro de agua, en partes por billn (PPB), en 10 reas metropolitanas de Phoenix y en 10 reas rurales de Arizona. Los datos obtenidos fueron:
Metro Phoenix Rural Arizona Phoenix, 3 Rimrock, 48 Chandler, 7 Goodyear, 44 Gilbert, 25 New River, 40 Glendale, 10 Apachie Junction, 38 Mesa, 15 Buckeye, 33 Paradise Valley, 6 Nogales, 21 Peoria, 12 Black Canyon City, 20 Scottsdale, 25 Sedona, 12 Tempe, 15 Payson, 1 Sun City, 7 Casa Grande, 18
Procesando las muestras obtenemos:
Metro Phoenix: 63.75.12 11 SX Rural Arizona: 35.155.27 22 SX .
Se quiere determinar si hay diferencias entre las concentraciones medias de arsnico en el agua en ambas zonas para . Se supone normalidad para la distribucin de ambas variables.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 244
Solucin: Vamos a hacer en primer lugar un test de comparacin de varianzas, por ejemplo, con :
::
211
210
HH
21,1,102,1,10 2121 nnnn FFFFC ; 95.0,9,922
22
21
0 18.312473.0
3.1563.7 F
SS
F
Luego rechazamos la igualdad de varianzas. El p-valor sera .04936,002468,022473,02 0 FP As pues, para comparar las medias hay que trabajar con el test para varianzas distintas:
0:0:
211
210
HH
025.0,1322
2
22
1
21
2102/,
2
22
1
21
21 16.277.2
103.15
1063.7
5.275.12t
nS
nS
XXtt
nS
nS
XXC
Luego rechazamos la igualdad de medias y las concentraciones medias de arsnico en ambas zonas son diferentes para el nivel de significacin usado. El p-valor sera .016.00.0079589277.2277.2 00 tPtP
Nota:
132.132
11 2
22
22
1
21
21
22
221
21
nnS
nnS
nSnS
En este problema no podramos abordar el clculo de la potencia y el tamao muestral.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 245
Ejemplo: Se analizan dos catalizadores para ver la forma en que afectan al rendimiento promedio de un proceso qumico. El Catalizador 1 es el que se est empleando en este momento, pero el Catalizador 2 tambin es aceptable y ms econmico. Por tanto, podra adoptarse ste siempre que no haya evidencias de que cambia el rendimiento medio del proceso. Se hace una prueba en una planta piloto y los resultados son:
Catalizador 1 Catalizador II 91,50 89,19 94,18 90,95 92,18 90,46 95,39 93,21 91,79 97,19 89,07 97,04 94,72 91,07 89,91 92,75
Solucin con STATGRAPHICS:
Summary Statistics
Catalizador 1 Catalizador 2 ---------------------------------------------- Count 8 8 Average 92,3425 92,7325 Variance 5,14056 8,90099 Standard dev. 2,26728 2,98345 Minimum 89,07 89,19 Maximum 95,39 97,19 Skewness -0,0370055 0,732691 Kurtosis -1,26841 -0,827821
a) Existen diferencias entre los rendimientos promedio? =0.05 b) Se pueden considerar iguales las varianzas? =0.05 (verlo antes) c) Los rendimientos siguen leyes normales?
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
Catalizador 1
Catalizador 2
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 246
Comparison of Means 95,0% confidence interval for mean of Catalizador 1: 92,3425 +/- 1,8955 [90,447,94,238] 95,0% confidence interval for mean of Catalizador 2: 92,7325 +/- 2,49424 [90,2383,95,2267] 95,0% confidence interval for the differ. between the means assuming equal variances: -0,39 +/- 2,8415 [-3,2315,2,4515] t test to compare means Null hypothesis: mean1 = mean2 Alt. hypothesis: mean1 NE mean2 assuming equal variances: t = -0,294376 P-value = 0,77279
Comparison of Standard Deviations
95,0% Confidence Intervals Standard deviation of Catalizador 1: [1,49907;4,61453] Standard deviation of Catalizador 2: [1,97258;6,07214] Ratio of Variances: [0,115623;2,8847]
F-test to Compare Standard Deviations
Null hypothesis: sigma1 = sigma2 Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = 0,577527 P-value = 0,485992
CONCLUSIONES: a) Las varianzas se pueden considerar iguales. b) No hay evidencias de que cambie el rendimiento medio. c) La hiptesis de normalidad se puede asumir.
Catalizador 1
perc
enta
ge
89 91 93 95 970,1
15
2050809599
99,9
Catalizador 2
perc
enta
ge
89 91 93 95 97 990,1
15
2050809599
99,9
-
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 247
d) Supongamos que un cambio en el rendimiento medio de 2.5 puntos (2.5% |1-2|=2.5) se considera suficientemente importante. En caso de que se diera, interesara detectarlo, es decir, rechazar H0. Sin embargo, la muestra actual nos ha conducido a "No rechazar" H0 y cabe preguntarse cul era el riesgo de que eso ocurriese bajo el supuesto mencionado |1-2|=2.5.
Se trata de hallar el riesgo de error de tipo II, , que obtenemos en las curvas CO, Carta VI (e).
Entramos con 47.065.225.2
222121
pSd
y cortamos con la curva a n*=2n-1=15.
Obtenemos: 0.55, con lo que el riesgo sera elevado. e) Si quisiramos correr un riesgo de error de tipo II
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 248
TEST t POR PARES
Hemos estudiado el problema de comparacin de medias de dos poblaciones normales a partir de dos muestras aleatorias independientes, una de cada poblacin.
El problema de comparacin de medias se puede realizar tambin bajo un diseo muestral diferente (diseo de muestras apareadas) encaminado a obtener una mayor potencia para detectar las diferencias.
Ejemplo: Supongamos que estamos interesados en comparar la dureza de dos tipos diferentes de puntas. Para determinar la dureza, se presiona la punta sobre una pieza metlica mediante una mquina que aplica una fuerza determinada y se mide la profundidad de la depresin causada por la punta.
Diseo experimental 1: Seleccionamos varias piezas metlicas al azar, para ser probadas unas con la punta 1 y otras con la punta 2 (por ejemplo, la mitad con cada una). Podemos aplicar a los datos obtenidos el test t para muestras independientes estudiado anteriormente. El procedimiento estadstico aplicado es correcto, pero las diferencias de dureza entre las puntas quizs no se aprecien con total nitidez si las muestras de piezas metlicas se han fabricado en diferentes series y no son homogneas en algn aspecto que pueda afectar a la dureza. Es decir, las diferencias en las lecturas de dureza observadas tambin incluyen las posibles diferencias de dureza entre las piezas metlicas.
Diseo experimental 2: Se selecciona al azar una nica muestra de piezas y se prueba en cada una los dos tipos de puntas. A continuacin se analizan las diferencias entre las lecturas de dureza de ambas puntas en cada pieza de la muestra (muestras pareadas). Parece claro que ahora las diferencias de dureza observadas se debern fundamentalmente a las diferencias entre las puntas al haber eliminado la variabilidad entre las piezas metlicas probadas con cada tipo de punta.
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DISEO Y RESOLUCIN DEL TEST t POR PARES 11,1 1,2 1,1 1 1 1
22 22 2,1 2,2 2, 2
1 2 1 2
( , ) , 1: 1:, , ,..., Estadsticos :( , )2 : 2 : ,
: : , , .... , Estadsti
n
n
n
X X XX X SPoblacin MuestraPoblacin X Muestra X X X X SDiferencia D X X Muestra D D D
1 2 1, 2,
cos : , ( , ), , 1,...,
D
D D D i i i
D SD N D X X i n
),(2,1
1,,1 2122
21
2
1
2221
1XXCovSSSDD
nSXXDD
nD D
n
iiD
n
ii
Las observaciones bidimensionales son independientes entre s, pero cada observacin de la poblacin 1 est relacionada con la que tiene el mismo subndice de la poblacin 2: Diseo de dos muestras relacionadas o pareadas (apareadas). Problema de inters: Comparacin de medias: Inferencias sobre D=12 (D=0 12). El problema se convierte as en un problema de una muestra y se resuelve como un problema de contraste de hiptesis sobre la media de una poblacin normal con desconocida. (La comparacin previa de las varianzas carece aqu de inters)
Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI
H0: D=0 (1)
D desconocida
H1: D 0 H1: D >0 H1: D tn1,/2 t0>tn-1,
t0
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 250
DISEOS DE MUESTRAS INDEPENDIENTES VS. MUESTRAS RELACIONADAS:
Para comparar las medias de dos poblaciones normales, en ocasiones el investigador puede plantearse realizar un diseo por muestras independientes o por muestras relacionadas.
Siempre que sea posible es preferible el diseo de muestras pareadas porque tiene ms potencia para detectar diferencias entre las medias. La razn de esta mayor potencia estriba en que la diferencia de medias DXX 21 , que es el estadstico de contraste usado en ambos casos, tiene una varianza estimada mayor en el caso de muestras independientes si existe una asociacin positiva entre las observaciones de los pares, es decir, 0),( 21 XXCov :
222
12122
21
2 ),(2 SSXXCovSSS D PARESDD
INDRP tnS
D
nS
XX
nS
nS
XXt 02
21
22
21
210
(la asociacin entre variables cuantitativas se estudiar en el prximo tema).
Por tanto, una determinada diferencia observada entre las medias muestrales resulta mucho ms significativa estadsticamente en el caso de muestras pareadas.
Cuanto mayores son los vnculos en el apareamiento, mayor es la ganancia de potencia y la ventaja del diseo por pares. ste consigue eliminar la variabilidad debida a otros factores que no estn en estudio.
Una vez realizado el diseo y obtenidas las muestras, el anlisis de los datos slo se puede realizar mediante la tcnica correspondiente al diseo utilizado. Es decir, si las muestras son independientes no se pueden analizar como apareadas y si son apareadas no se pueden analizar como independientes.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 251
Ejemplo: Un artculo publicado en Journal of Strain Analysis (1983, Vol. 18, No. 2) compara dos mtodos, Karlsruhe y Lehigh, para predecir la resistencia al corte de vigas de placa de acero. Se aplican ambos mtodos a una muestra de nueve vigas y se obtienen los siguientes resultados: Viga S1/1 S2/1 S3/1 S4/1 S5/1 S2/1 S2/2 S2/3 S2/4 Karlsruhe Method 1.180 1.151 1.322 1.339 1.203 1.402 1.365 1.537 1.559 Lehigh Method 1.061 0.992 1.063 1.062 1.065 1.178 1.037 1.086 1.052 Diferencias 0.119 0.159 0.259 0.277 0.138 0.224 0.328 0.451 0.507
a) Determinar si hay alguna diferencia de medias entre los dos mtodos para =0.05.
HH
D
D
0:0:
1
0
025.0,802/,1 306.205.691356.02736.0 t
nS
Dtt
nS
DC
Dn
D
1356.0;2736.0 DSD Rechazamos la hiptesis nula. Los datos parecen indicar concretamente una mayor resistencia del Mtodo Karlsruhe. El p-valor es prcticamente nulo.
b) Determinar si la media con el Mtodo Karlsruhe es superior en ms de 0.2 para =0.05.
HH
D
D
2.0:2.0:
1
0
05.0,80
0,10 86.163.1
91356.02.02736.0 t
nSD
ttnS
DC
Dn
D
. p-valor=0.070.
No se rechaza H0 ,y por tanto, no queda probada H1.
c) Hallar el tamao muestral necesario para que la prueba realizada en b) detecte una diferencia de 0.25 favorable a Karlsruhe con una potencia de 0.9.
Curvas CO, Carta VI (g) .75501.0,37.01356.0
20.025.00 paresnynentredD
D
-
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 252
Ejemplo: Un Laboratorio lanza un producto diettico y anuncia en su publicidad que el uso del producto durante un mes conduce a una prdida de peso promedio de al menos 2 kg. Ocho sujetos utilizan el producto durante un mes, y los datos de peso antes y despus del uso del producto se presentan a continuacin.
a) Los datos apoyan la afirmacin del productor de los productos dietticos con ? b) En un esfuerzo por mejorar las ventas, el Laboratorio est considerando cambiar su eslogan de
"al menos 2 kg." por "al menos 3 kg." Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 Peso Antes 75.6 83.1 98,4 67.9 102.6 88.3 72.5 97.9 Peso Despus 70.3 82.2 92.3 66.1 100.2 82.7 68.6 91.4
Solucin con STATGRAPHICS
Resumen Estadstico para ANTES - DESPUES Recuento 8 Promedio 4,0625 Desviacin Estndar 2,1347 Mnimo 0,9 Mximo 6,5 Cuartil Inferior 2,1 Cuartil Superior 5,85 Sesgo -0,378689 Curtosis -1,69135
0 2 4 6 8ANTES - DESPUES
-
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INGENIERA EN ORGANIZACIN INDUSTRIAL
Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 253
Prueba de Hiptesis para ANTES - DESPUES Media Muestral = 4,0625 Mediana Muestral = 4,6 Desviacin Estndar de la Muestra = 2,1347 Prueba t Hiptesis Nula: media = 2,0 Alternativa: mayor que Estadstico t = 2,73276 Valor-P = 0,014611 Se rechaza la hiptesis nula para alfa = 0,05.
Prueba de Hiptesis para ANTES - DESPUES Media Muestral = 4,0625 Mediana Muestral = 4,6 Desviacin Estndar de la Muestra = 2,1347 Prueba t Hiptesis Nula: media = 3,0 Alternativa: mayor que Estadstico t = 1,40778 Valor-P = 0,10101 No se rechaza la hiptesis nula para alfa = 0,05.
Grfico de Probabilidad Normal
0 2 4 6 8ANTES - DESPUES
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
porc
enta
je
-
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 254
CONTRASTES DE HIPTESIS PARA MUESTRAS GRANDES
CONTRASTES DE HIPTESIS SOBRE PROPORCIONES
Sabemos que para tamaos muestrales grandes el estimador de la proporcin sigue aproximadamente una distribucin normal en aplicacin del TCL (aproximacin binomial normal).
ESTUDIO DE UNA PROPORCIN. (PROBLEMAS DE UNA MUESTRA) Poblacin: X B(p), Muestra: X1, ...,Xn. Estadstico: Xp
Problema de inters: Contraste de hiptesis sobre la proporcin p.
COMPARACIN DE PROPORCIONES (PROBLEMAS DE DOS MUESTRAS) Poblacin 1: X1 B(p1), Muestra 1: 1,11,1 ,..., nXX Estadstico: 11 Xp Poblacin 2: X2 B(p2), Muestra 2: 2,21,2 ,..., nXX Estadstico: 22 Xp Problema de inters: Contraste de hiptesis sobre p1p2 (p1p2=0 p1p2).
Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI H0: pp0
H1: pp0 H1: p>p0 H1: pz/2 z0>z
z0 H1: p1p2z/2 z0>z
z0
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Ejemplo: Un fabricante de lentes intraoculares evala una nueva mquina pulidora. El fabricante aprobar la mquina si el porcentaje de lentes pulidos que contienen defectos en la superficie est significativamente por debajo del 2%. Se toma una muestra aleatoria de 250 lentes y se encuentra que 6 de ellos tienen defectos. Qu decisin debe tomar el fabricante a nivel =0.05? Contraste para demostrar que la mquina es buena: 02.0: contra 02.0: 10 pHpH
La regin crtica para =0.05 es: 0
0 00 0
(1 )
p pC z z z zp p
n
Con los datos de la muestra tenemos: 05.000
0 645.145.0
25098.002.002.0024.0
)1(
z
npp
pp
Entonces, no rechazamos H0 y no queda probado el inters de la nueva mquina para =0.05.
El p-valor es 6736.045.0 zP ,
con lo que el riesgo de error de tipo I al rechazar H0 sera realmente grande.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 256
Ejemplo: Se utilizan dos mquinas diferentes de moldeo por inyeccin para la fabricacin de piezas de plstico. Una pieza se considera defectuosa si tiene un encogimiento excesivo o si le falta color. Se toman dos muestras aleatorias, cada una de tamao 300, y se encuentran 15 piezas defectuosas en la muestra de la Mquina 1 y 8 piezas defectuosas en la muestra de la Mquina 2. Queda con ello probado que existen diferencias entre las mquinas a nivel a nivel =0.05? El contraste que hay que plantear es: 211210 : contra : ppHppH
La regin crtica es :
2
21
21
11)1(
z
nnpp
ppC , con
21
2211 nn
pnpnp
De los datos obtenemos: 0383.020266.005.00266.0
300805.0
30015 21
ppp
Es decir: 025.0
21
21 96.149.1
30029617.00383.0
0266.005.0
11)1(
z
nnpp
pp
En consecuencia no rechazamos H0 al nivel pedido.
El p-valor es 13622.049.1 zP ,
con lo que el riesgo de error de tipo I al rechazar H0 sera superior al 10%.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 257
CONTRASTES DE HIPTESIS PARA COMPARACIN DE MEDIAS EN DE POBLACIONES INDEPENDIENTES CUALESQUIERA
Sabemos que para tamaos muestrales grandes la media muestral sigue aproximadamente una distribucin normal en aplicacin del TCL.
Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI
H0: =0 desconocida
H1: 0 H1: >0 H1: z/2 z0>z
z0 H1: 12z/2
z0>z z0
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 258
DUALIDAD INTERVALOS DE CONFIANZATESTS DE HIPTESIS
Hemos comprobado que los mismos problemas inferenciales paramtricos se pueden abordar tanto desde la perspectiva de los Intervalos de Confianza como desde la de los Tests de Hiptesis.
La relacin entre ambas metodologas es en realidad muy estrecha: Si somos capaces de construir un IC de nivel de confianza para un parmetro , este IC proporciona de manera natural un Test para realizar un contraste de hiptesis bilateral con nivel de significacin sobre el parmetro.
Procedimiento dual:
Queremos contrastar las hiptesis
01
00
::
HH
con nivel de significacin
Disponemos de una m.a.s. Construimos un IC para el parmetro con confianza . Regla de decisin:
Si IC Rechazo H0. Si IC No Rechazo H0.
.Re
0
0
00
0
ICPH
CPciertaHHchazarPIErrorP
El riesgo y la potencia no tienen un equivalente dentro del esquema de los IC.
De manera anloga, los test unitaterales son duales de las cotas de confianza.
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Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 259
De hecho, en todos los problemas inferenciales desarrollados en esta asignatura tendramos la equivalencia de las dos reglas de decisin: La Regla de Decisin basada en el Test correspondiente desarrollado en este tema. La regla de Decisin dual basada en el IC desarrollado en el Tema 11.
Comprobacin en el Contraste de Hiptesis sobre en el modelo N() con conocida:
Contraste bilateral: ::
01
00
HH
1. Regla de decisin basada en el Test desarrollado en Contraste de Hiptesis (Tema 12):
2. Regla de decisin basada en el IC desarrollado en el Tema 11:
Intervalo de Confianza:
De modo que los dos procedimientos conducen siempre a la misma decisin.
nzXnzC
nzXnzXCnzXCzn
XzZC
2/02/0
2/02/02/02/0
2/0
nzX
nzX 2/2/
CXn
zXn
zn
zXn
zXIC 2/02/02/02/0