Tehnicka Mehanika Teorija Deo OM 2012 Vlado Djurkovic

Wmbep!Q/!]vslpwj~!

UFIOJ_LB!NFIBOJLB!.!PUQPSOPTU!NBUFSJKBMB!.!Ufpsjkb!tb!qsjnfsjnb-!lsbulj!lvst!

! Cfphsbe-!3123/!hpejof!

UNIVERZITET ODBRANE VOJNA AKADEMIJA

Vlado P. \urkovi}

TEHNI^KA MEHANIKA- OTPORNOST MATERIJALA Teorija sa primerima, kratki kurs

Beograd, 2012. godine

dr Vlado P. \URKOVI], redovan profesor Tehni~ka mehanika deo otpornost materijala, teorija sa primerima-kratki kurs

Recenzenti:Prof. dr Stevan MAKSIMOVI Prof. dr Dragoljub VUJI

Izdava~:Vojna akademija BEOGRAD [tampanje odobrila Komisija za izdava~ku delatnost Vojne akademije u Beogradu, 5. januara 2012. godine

Za izdava~a:puk. Slavia SAVI, dipl.ing.

Jezi~ki redaktor:Nada RELI], profesor

Tira`: 200 primerakatampa: Sluba za izdavaku delatnost Vojne akademije u Beogradu, Gen. Pavla Juriia turma br 3, Beograd ISBN 86-xxxx-xxx-x Pre{tampavanje ili fotokopiranje nije dozvoljeno

Predgovor

QSFEHPWPS! Ovaj udbenik namenjen je kadetima Vojne akademije Univerziteta odbrane, koji izuavaju predmet Tehnika mehanika, kao i studentima tehnikih fakulteta sa namerom da studenti lake savladaju odgovarajuu materiju. Bez obzira na to to u naoj strunoj literaturi iz oblasti mehanike, deo otpornost matyerijala, postoji dosta knjiga u kojima se obrauje ova materija, smatram da e udbenik biti od koristi ne samo studentima ve e koristiti u praksi i strunjacima koji se susreu sa reavanjem sloenih problema i zadataka mehanike. U izlaganju gradiva ilo se prirodnim putem, po kome su prvo obraena poglavlja iz otpornosti materijala, a zatim dati odgovarajui primeri. Prilikom pisanja udbenika autor je pre svega imao nameru da gradivo razjasni sa pojmovne strane. Zato se prvo izlae gradivo iz teorije u cilju kontinuiranog povezivanja teorije i praktinog reavanja zadataka. U pripremi izloenog materijala korieni su udbenici navedeni u literaturi, pri emu su osnovni bili [11], [13], [14], [16], [24], [26], [29], [34], [35], [38], [40], i [41]. Bez obzira na obilje navedene literature, bilo je nepohodno pristupiti izradi ovog udbenika, radi lakeg izuavanja gradiva. Zato udbenik sadri proirena poglavlja. Udbenik daje ne samo teorijski pristup, nego sadri i dovoljan broj primera i uraenih zadataka, to daje jednu celinu. Otpornost materijala je izloena u deset poglavlja i to: uvod, naponi i deformacije, geometrijske karakteristike preseka, aksijalno naprezanje, smicanje, savijanje, uvijanje, izvijanje, lokalna naprezanja i osnove prorauna. Dat je orginalan pristup u grafikoj prezentaciji pojedinih analitikih relacija.

i

Predgovor

Udbenik sadri 150 stranica teksta, koje su ilustrovane sa 93 crtea, 44 zadataka i 9 tabela. Tehniku obradu obavio je takoe sam autor. U stvaranju ove knjige znaajnu ulogu je imala raunarska tehnika. Tekst je pisan i pripreman za tampu u WORD-u, a crtei su uraeni u AutoCAD R14. Sve crtee, kucanje i prelom teksta uradio je redovan profesor dr Vlado P. urkovi, dipl. ing. Iako sam poklonio veliku panju konanom oblikovanju ovog udbenika, svestan sam moguih greaka. Biu zahvalan svima koji mi budu ukazali na propuste i greke kojih, s obzirom na obimnost materije, sigurno ima. elim da se zahvalim izdavakoj delatnosti Vojne akademije na podrci izdavanju ovog udbenika, kao i radnicima Slube za izdavaku delatnost, na njihovom angaovanju oko konane tehnike obrade i tampanja udbenika. Autor se zahvaljuje S. Dreci, J. urki, R. elmiu, T. Nikoliu i drugim saradnicima koji su pomogli da ova knjiga dobije ba ovakvu formu i sadrinu. Takoe, najlepe se zahvaljujem recenzentima profesoru dr Stevanu Maksimoviu, dipl. ing., i prof. dr Dragoljubu Vujiu, dipl. ing. na primedbama i korisnim sugestijama, koje su doprinele da ovaj udbenik dobije svoj konaan izgled. Posebnu zahvalnost dugujem Nadi Reli, prof., koja je izvrila jeziku redakciju teksta. Beograd, januar 2012. godine Autor

ii

Sadràj

Qsfehpwps .................................................................................. ! TBESABK! ! 2/!Vwpe! 1.1. Predmet i zadatak otpornosti materijala ........................ 1.2. Kratak istorijat otpornosti materijala ............................. 1.3. Osnovni pojmovi .............................................................. 1.3.1. Telo, nosa~i, sile, materijali .............................. 1.3.2. Osnovne hipoteze u otpornosti materijala ....... 1.3.3. Va`ne napomene ............................................. 1.4. Spoljne i unutarnje sile, vrste optere}enja ..................... 1.4.1. Spoljne sile .......................................................... 1.4.2. Unutarnje sile ...................................................... 1.5. Vrste naprezanja ................................................................ 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 3/!OBQPOJ!J!EFGPSNBDJKF! Naprezanje, napon ............................................................. Deformacije ........................................................................ Dilatacija ............................................................................. Ugaona deformacija ........................................................... Veze izme|u napona i deformacija .................................. Popre~na dilatacija ............................................................. Hukov zakon ......................................................................

i iii 1 1 2 4 4 11 13 15 15 16 18 20 20 28 29 30 31 36 37 40 40 40 41 41 43 44 44

4/!HFPNFUSJKTLF!LBSBLUFSJTUJLF!QSFTFLB! 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Uvod ................................................................................. Moment inercije povr{ine preseka .................................. [tajnerova teorema ............................................................ Rotacija koordinatnog sistema ......................................... Polupre~nici inercije .......................................................... Elipsa inercije ..................................................................... Otporni moment ................................................................

iii

Sadràj

5/!BLTJKBMOP!OBQSF[BOKF! 4.1. Uvod ................................................................................... 4.2. Naponi na zatezanje i pritisak .......................................... 4.3. Primeri aksijalnih naprezanja ............................................ 4.3.1. Naprezanja izazvana promenom temperature .. 4.3.2. Aksijalna naprezanja usled sopstvene teìne ..... 6/!TNJDBOKF! 5.1. Smicanje .............................................................................. 7/!TBWJKBOKF! 6.1. Savijanje ............................................................................ 8/!VWJKBOKF! 7.1. Uvijanje ............................................................................. 9/!J[WJKBOKF! 8.1. Uvod ............................................................................... 8.2. Odre|ivanje kriti~ne sile izvijanja. êtiri osnovna slu~aja izvijanja ............................................................... 8.3. Izvijanje {tapova u neelasti~noj oblasti ......................... 8.4. Omega postupak ............................................................. 8.5. Dimenzionisanje {tapova izloènih izvijanju ................. :/!MPLBMOB!OBQSF[BOKB! 9.1. Uvod ............................................................................... 8.2. Kontaktno naprezanje .................................................... 21/!PTOPWF!QSPSB_VOB! 10.1. Uvod ............................................................................... 10.2. Dopu{teni naponi, stepen sigurnosti .............................. 10.3. Osnovni kriterijumi radne sposobnosti .......................... 10.3.1. ^vrsto}a ............................................................. 10.3.2. Krutost (elasti~nost) .......................................... 22/!MJUFSBUVSB!........................................................................!

56 56 57 58 58 59 83 83 93 93 102 102 115 115 117 119 122 123 139 139 139 142 142 144 145 146 146 148

iv

Tehnika mehanika Otpornost materijala - uvod

urkovi Vlado

!!2/!VWPE! !!2/2/!Qsfenfu!j!{bebubl!puqpsoptuj!nbufsjkbmb! Savremena nauka koja prouava razne osobine materijala svih vrsta, tj nauka o realnim materijalima, zove se reologija. U njenom domenu su sve mehanike deformabilnih tela, bilo da su vrsta, tena ili gasovita. Razvoj nauke o deformabilnim telima tekao je postepeno. Od idealno krutog tela klasine mehanike, prvo se prelo na model idealno elastinog tela. Pod idealno elastinim telom podrazumeva se telo koje deformisano spoljanjim silama moe da zauzme prvobitan oblik po prestanku dejstva sila. Model ovakvog fizikog tela prouava teorija elastinosti. Brz razvoj nauke zahtevao je od teorije elastinosti, kao sloene matematike nauke, metode rada blie inenjerskoj praksi. Uvoenjem izvesnih pretpostavki, koje su rezultat izvrenih laboratorijskih ispitivanja, matematike metode teorije elastinosti su pojednostavljene. Tako je stvorena otpornost materijala, kao nauka koja izuava mehanika svojstva konstrukcijskih materijala, uslove optereenja i ekonominost gradnje. Otpornost materijala omoguuje odreivanje otpornosti, krutosti, izdrljivosti i nosivosti, kao i deformacija mainskih delova s obzirom na optereenja kojima su oni izloeni u radu maine i s obzirom na njihove oblike. Otpornost materijala se moe smatrati uvodom u mehaniku vrstog tela tj. delom ove naune discipline, pa prema tome i definisati naukom koja se bavi prouavanjem unutranjih sila i deformacija vrstog realnog tela izloenog dejstvu spoljanjeg optereenja. Usled dejstva spoljanjeg optereenja svako vrsto telo se deformie, tj. u odreenom stepenu menja svoj oblik i zapreminu, a kao posledica toga izmeu estica u unutranjosti tela javljaju se unutranje sile. Otpornost materijala je dakle posebna nauna disciplina koja1


urkovi Vlado

obuhvata ininjerske metode prorauna: a) vrstoe; b) krutosti i c) stabilnosti. vrstoa je sposobnost konstrukcije da izdri odreeno optereenje, a da joj veliina naprezanja pri tom ne prevazie neku zadatu graninu vrednost i da pri tom ne doe do njenog poputanja. Krutost je sposobnost konstrukcije da se suprostavi spoljanjim optereenjima, a da se pri tome ne deformie preko odreene granice. Stabilnost je sposobnost konstrukcije da sauva svoj prvobitni oblik ravnotee, a pri deformacijama koje odgovaraju zadatom optereenju. U otpornosti materijala se najveim delom analiziraju unutranje sile i deformacije tapova kao elementa neke konstrukcije, uvodei pri tome neke uproene pretpostavke o ponaanju materijala i samih elemenata. Kao posledica uproenih pretpostavki o otpornosti materijala reenja svih problema su manje vie priblina, ali u irokom podruju primenljiva i dovoljno tana za ininjersku praksu. Teorija elastinosti, kao deo mehanike vrstih tela, daje tanija reenja u podruju elastinih deformacija. Dva osnovna zadatka otpornosti materijala su: a) odreivanje unutranjih sila i b) odreivanje deformacije tela. Zadatak otpornosti materijala sastoji se dakle u iznalaenju jednostavnih prorauna i obrazaca koji treba da omogue, zavisno od vrste i naina dejstva spoljnjeg optereenja, izbor materijala i dimenzije pojedinih elemenata, neke ininjerske konstrukcije garantujui pri tome odreenu vrstou, krutost i stabilnost toga elementa sa jedne strane i ekonominost sa druge strane. 2/3/!Lsbubl!jtupsjkbu!puqpsoptuj!nbufsjkbmb! Osnivaem otpornosti materijala se smatra Galileo Galilei(15641624), jer je prvi u delu Discorsi e demonstrazioni matematishe intorno a due nuove scienze, 1618 godine, pored osnovnih dinamikih problema postavio i pitanje loma materijala. Njegova hipoteza najveeg normalnog napona pri kome dolazi do loma materijala jo se i danas primenjuje pri dimenzionisanju. Posle njega itav niz naunika dao je2


urkovi Vlado

svoje priloge u formiranju otpornosti materijala kao naune discipline koja je danas poznata, kao to su: Robert Hook (1635-1703) je objavio rad De potentia restitutiva (o opruzi), to predstavlja prvi objavljeni rad u kome se raspravlja o elastinim osobinama materijala; Francuz Girard (1798. godine) objavio je prvu knjigu o Otpornosti materijala; Opat Edme Mariotte (1620-1684) Francuz; Jacob Bernoulli (1654-1705) Holananin; Daniel Bernoulli (1700-1782) Holananin; Leonard Euler (1707-1793) vajcarac; Charles Coulomb (1736-1806) Francuz; Simeon Denis Poisson (1781-1840) Francuz; Lois M. Navier (1785-1836) odrao prvi kurs O. M. Francuz; Ademar Baree de Saint-Venant (1797-1886) tvorac moderne Teorije elastinosti Francuz; Louis Augustin Cauchy (1789-1857) Francuz; Gabriel Lame (1795-1870) odrao prvi kurs Teorije elastinosti Francuz; Emile Clapeyron (1799-1864) Francuz; James Maxwell (1831-1879) Englez; D. I. uravski (1821-1891) konstruktor drvenih mostova Rus; Alberto Castigliano (1847-1884) razmatrao statiki neodreene nosae Italian; Culman C. (1821-1881) primenio Teoriju elastinosti u praksi vajcarac; Otto Mohr (1835-1918) Nemac; Prandtl, Nadal, Michell, Love, Galjerkin, A. N. Vereagin, ... , itav niz ininjera i naunika u 20-tom veku radi na problemima Teorije elastinosti i plastinosti; Stefan Timoenko (1878-1972) Rusija, SAD.

3


urkovi Vlado

2/4/!Ptopwoj!qpknpwj! 2/4/2/!Ufmp-!optbj-!tjmf-!nbufsjkbmj! Telo koje se prouava u smislu otpornosti materijala neprekidno je, tj. jedna njegova taka je nepokretno vezana sa prostorom koji okruuje telo. Pri tome dejstvo spoljanjih sila izaziva pomeranje pojedinih njegovih estica, jednih u odnosu na druge. Meumolekularne sile, tj. sile koje dejstvuju izmeu pojedinih estica, odravaju ih na odreenom meusobnom rastojanju. Pod dejstvom spoljanjih sila estice se meusobno pribliavaju ili udaljavaju, a samim tim se remeti i ravnotea meu molekularnim silama. Tako spoljanje sile, dejstvujui na telo, izazivaju u njemu pojavu unutranjih sila otpora, odnosno spoljanje sile deformiu, a unutranje sile tee da odre prvobitni oblik i zapreminu tela. Dakle vrstim realnim telom naziva se materijalni sistem koji je diskretan, sastavljen od molekula izmeu kojih dejstvuju molekularne sile. Meutim, u ininjerskim razmatranjima u otpornosti materijala pretpostavlja se da je vrsto telo jedan kontinuum tj., prostor ogranien i ispunjen materijom. U otpornosti materijala, na osnovu eksperimentalnih rezultata, veina materijala, koji se koriste u inenjerskoj praksi, posmatra se jednoobrazno, a pri tom se podrazumeva da su ti materijali sa neprekidnom, homogenom i izotropnom strukturom. Amorfni materijali, kao guma, staklo itd., imaju sasvim nepravilan raspored molekula i zato u svim pravcima imaju iste fizike i mehanike osobine. Slino se ponaaju materijali kristalaste strukture, jer su sastavljeni od mnotva sitnih kristala. Za ovakva tela, kod kojih su fizike i mehanike osobine jednake u svim pravcima, kae se da su izotropna. Tela sastavljena od kristala pravilnog oblika i orijentacije u raznim pravcima pokazuju razliite osobine, pa samim tim nisu izotropna. Sa stanovita geometrijskog oblika vrsta tela se mogu podeliti zavisno od dimenzija (duina, irina, debljina) na: tapove, ploe, ljuske i masivna tela (Sl. 1.1). tapom se naziva telo kod koga je jedna dimenzija (duina) znatno vea u poreenju sa ostale dve. tapovi mogu biti pravi i krivi, a isto tako4


urkovi Vlado

prizmatini i cilindrini, zatim mogu da budu konstantnog ili promenljivog preseka. Osom tapa naziva se linija koja prolazi kroz teita svih poprenih preseka tapa (Sl.1.1 a).

Sl.1.1 Podela vrstih tela sa stanovita geometrijskog oblika

Ploom se naziva telo kod koga su dve dimenzije znatno vee u poreenju sa treom. Ploa je takvo telo koje je ogranieno dvema parapelnim ravnima (debela ploa, tanka ploa, membrana, Sl.1.1 b). Ljuskom se naziva telo kod koga su dve dimenzije znatno vee u poreenju sa treom, ali koje je ogranieno krivim povrinama (Sl.1.1 c). Telom se naziva materijalni sistem kod koga su sve tri dimenzije veliine istog reda (Sl.1.1 d). U otpornosti materijala kao to je pomenuto posmatraju se uglavnom tapovi i to sa pravom osom, kao sastavni elementi neke konstrukcije. Konstrukcije koje su na taj nain sastavljene iz jednog ili vie tapova nazivaju se: tapnim sistemima, linijskim sistemima, linijskim nosaima ili samo nosaima. Dakle, svako kruto telo koje nosi terete i prenosi ih na oslonce nazivamo nosa (greda). Ako osa nosaa i sve spoljanje sile koje deluju na njega deluju u jednoj ravni, takve nosae nazivamo ravnim nosaima. Ravni nosai mogu biti: 10 prosti, ako su sastavljeni iz jedne ploe, tj. ako je rastojanje izmeu oslonaca A i B u isto vreme i duina l nosaa (Sl. 1. 2), sloeni, ako su sastavljeni iz vie ploa,

5


urkovi Vlado

2 0 puni ili gredni; to je svako kruto telo oslonjeno na dva oslonca, od kojih je jedan nepokretan, a drugi pokretan, odnosno ako je veza ostvarena samo na jednom mestu, onda se ta veza izvodi ukletenjem, reetkasti nosa sastavljen od vie krutih lakih tapova ije veze smatramo zglobnim. Greda je, dakle, prizmatino telo ija je duina znatno vea od druge dve dimenzije njenog poprenog preseka. Za razliku od tapa koji je izloen pritisku ili istezanju, greda se koristi kao konstrukcioni elemenat tamo gde se predvia da e biti izloena i savijanju. Nosa sa jednim ili dva prepusta naziva se greda sa prepustom, tj. sa prepustima. Konzola je jednim krajem ukletena. Gerberova greda, ili greda sa zglobom, predstavlja sloeni nosa. To su dve grede ili grede meusobno vezane zglobom G . Ovaj nosa moe biti izveden i sa vie oslonaca i vie zglobova. Okviri ili takozvani ramovi su sloeni nosai sastavljeni iz vie prostih nosaa. Sile koje deluju na nosa (sl. 1.2) mogu biti: koncentrisane; deluju u jednoj taki, a mogu biti vertikalne ili kose, i kontinualne sile (optereenja) mogu biti ravnomerno rasporeene (jednoliko rasporeene) po odreenoj duini nosaa i tada se predstavljaju povrinom pravougaonika. Karakteristika kontinualnog optereenja je optereenje po dunom metru nosaa, tzv specifino optereenje, a obeleava se sa q (Sl. 1.2). Specifino optereenje q meri se u kN , a u optem sluaju ono je m promenljivo i zavisi od apscise te se moe napisati kao q = f ( x ) , gde je osa x poduna osa nosaa. Kod jednoliko rasporeenog kontinualnog optereenja, specifino optereenje je konstantno, tj. q = const . Ako se specifino optereenje menja po linearnom zakonu q = p x , gde je p konstantni koeficijent ije su dimenzije kN , takvo kontinualno m2 optereenje se moe predstaviti povrinom trougla ili trapeza. Za sluaj neravnomerno rasporeenog kontinualnog optereenja po odreenoj6


urkovi Vlado

duini nosaa, takvo optereenje predstavljamo povrinom proizvoljnog oblika, koja je ograniena linijom optereenja q = f x .

af

Sl. 1.2 Primeri optereenja grede

Nosai mogu biti optereeni neposredno ili posredno (ekscentrino vertikalno ili horizontalno opreteenje). Za nosa kaemo da je kombinovano optereen ako je optereen svim navedenim oblicima optereenja. Optereenja se, dalje, dele prema vremenu trajanja na: stalna (teina nosaa, sile konstantnog intenziteta i poloaja) i promenljiva (uticaj vetra itd.).

Sl.1.3 Primeri statiki odreenih nosaa

Naini oslanjanja greda ili ramova odreuju i njihovu statiku odreenost ili neodreenost. Ako je greda (ili ram) oslonjen tako da postoje tri nepoznate reakcije koje se mogu odrediti iz tri jednaine

X = Y = M =0 , za takvu gredu (ili ram) kaemo da je statikii i

odreena. Ako broj jednaina ravnotee nije isti kao broj nepoznatih7


urkovi Vlado

reakcija, nosa (greda ili ram) statiki je neodreen.

Sl.1.4 Primeri statiki neodreenih nosaa

Sl. 1.5 Primeri reetkastih nosaa

Reetkastim nosaima naziva se kinematski stabilan (geometrijski neizmenljiv) sistem tapova koji su meusobno na svojim krajevima povezani zglogovima, koji je oslonjen i privren preko oslonaca8


urkovi Vlado

(leita) za nepomine take na tlu ili nekoj drugoj nepominoj konstrukciji (u najmanje dva vora kod ravnih nosaa, odnosno tri kod prostornih, Sl.1.5). Reetkasti nosai su namenjeni spoljanjem optereenju koje dejstvuje u vorovima reetke. U tom sluaju u poprenim presecima tapovima reetkastog nosaa javljaju se samo normalne sile (zateue ili pritiskujue). Dakle, usled dejstva spoljanjeg optereenja tapovi reetkastih nosaa se izduuju odnosno skrauju, a time vorovi pomeraju tj. reetka se deformie, tapovi zauzimaju novi poloaj ali ostaju pravi. Okvirima (ramovima) naziva se geomerijski stabilan (geometrijski neizmenljiv) sistem od dva ili vie tapova (nosaa) koji su meusobno kruto vezani, koji je oslonjen i privren preko oslonaca (leitanajee kruta ukletenja) za nepomine take na tlu ili neku drugu konstrukciju (Sl. 1.4, 1.6). Okviri su namenjeni spoljanjem optereenju proizvoljnog pravca koje dejstvuje u proizvoljnim takama tapova iz kojih je sastavljen. Ako spoljanje optereenje dejstvuje u jednoj glavnoj ravni okvira u poprenim presecima tog okvira javljaju se momenti savijanja, poprene i normalne sile (ako je sistem prostoran onda i u drugoj glavnoj ravni svakog tapa javljaju se takoe momenti savijanja i poprene sile, a pored toga i momenti torzije ili uvijanja).

Sl. 1.6 Primer okvirnog nosaa pre i posle dejstva optereenja

Usled dejstva spoljanjeg optereenja tapovi okvira se iskrivljuju, odnosno produuju ili skrauju zbog ega se vorovi pomeraju (zaokreu ili linearno pomeraju, sl.1.6). U otpornosti materija se prihvata definicija pojma sile koja je data u mehanici apsolutno krutog tela, sa tom razlikom to se ova definicija proiruje i na unutranjost vrstog tela, izloenog dejstvu spoljanjeg9


urkovi Vlado

optereenja. Prema poznatoj definiciji silom se naziva uzajamno mehaniko dejstvo izmeu fizikih tela pri emu se jaina tog dejstva tj. veliina sile dobije kao merni broj uporeujui tu silu sa silama unapred odreenih veliina. Proirenjem ove definicije na estice vrstog tela dolazi se do pojma unutranjih sila. Dakle, u otpornosti materijala, sile se mogu podeliti na spoljanje i unutranje sile. Spoljanjim silama i optereenjem nazivaju se sve sile koje se prenose na spoljnu konturu tela, kao i zapreminske sile koje su rasporeene po itavoj masi tela. Povrinskim silama nazivaju se one sile koje se kao posledica dejstva drugih tela prenose na spoljnu konturu posmatranog tela. Ove sile mogu se prenositi na spoljnu konturu posmatranog tela kao koncentrisane sile ili kontinualna (raspodeljena) optereenja. Koncentrisanim silama nazivaju se sile koje se prenose na konturu posmatranog tela preko veoma malih povrina koje se mogu po veliini zanemariti. Zapreminskim silama nazivaju se one sile koje su rasporeene po itavoj masi tela i vezane za estice te mase tj. sile koje dejstvuju na njegove unutranje take (npr. sopstvena teina, sile inercije koje se javljaju pri kretanju tela sa ubrzanjem). Unutranjim silama nazivaju se sile uzajamnog dejstva estica materije u samom telu. U otpornosti materijala posmatraju samo one unutranje sile koje su nastale usled dejstva spoljanjih sila ili nekih drugih spoljanjih uticaja, kao npr. temperature, ne ulazei u analizu sila privlaenja izmeu estica materije (molekularnih sila zahvaljujui kojima tela imaju vrstu strukturu tj. oblik i zapreminu). U otopornosti materijala se ne razmatraju one unutranje sile koje su nastale kao posledica tehnologije (npr. neravnomerno hlaenje livenih elemenata, pri zavarivanju, skupljanje betona i dr.). Uopteno, unutranje sile, u takama nekog vrstog tela izloenog spoljanjim silama menjaju se od take do take zavisno od vrste i veliine tog optereenja, materijala tela i od oblika i dimenzija posmatranog vrstog tela. Svi materijali koji se primenjuju u ininjerskim konstrukcijama mogu se naelno podeliti u dve grupe: ilave kod kojih slom nastupa pri znatnim deformacijama (elik, mesing, aluminijum i dr.) i

10


urkovi Vlado

krte materijale kod kojih slom nastupa pri vrlo malim deformacijama (liveno gvoe, kamen, beton, staklo i dr.). ilavi materijali su po pravilu podjednako dobro otporni na zatezanje i pritisak, dok su krti veoma dobro otporni na pritisak, a veoma slabo ili nikako na zatezanje.2/4/3/!Ptopwof!ijqpuf{f!v!puqpsoptuj!nbufsjkbmb!

U otpornosti materijala, za razliite sluajeve optereenja tela, utvruju se matematiki odnosi izmeu spoljanjih sila, unutranjih sila (napona) i deformacija i ovi se odnosi koriste za reavanje raznih problema. Sloeni oblici tela, raznovrsna fiziko-mehanika svojstva materijala predstavljaju ozbiljne tekoe da se teorijskim putem formuliu navedeni odnosi uzimajui pri ovom faktore koji karakteriu realna tela. Radi ovoga uveden je niz hipoteza koje idealizuju realno telo, to u znatnoj meri olakava i uprouje utvrivanje navedenih odnosa.2/!Ijqpuf{b!p!ofqsfljeoptuj!nbufsjkf! Po ovoj hipotezi se smatra da su tela potpuno ispunjena materijom i da predstavljaju neprekidnu sredinu, to je u suprotnosti sa tumeenjima savremene fizike o strukturi materije prema kojoj su realna tela sastavljena od materijalnih estica izmeu kojih postoji slobodan prostor. Ova hipoteza dozvoljava da se na beskonano malom zapreminskom elementu tela primene zakoni u diferencijalnom obliku, a zatim da se na celoj zapremini tela, kao neprekidne sredine, sprovedu operacije integralnog rauna. 3/!Ijqpuf{b!p!j{puspqoptuj!nbufsjkbmb! Po ovoj hipotezi se smatra da je materijal tela izotropan tj. da poseduje jednaka elastina svojstva u svim pravcima. 4/!Ijqpuf{b!p!ipnphfoptuj!nbufsjkbmb! Po ovoj hipotezi se smatra da tela imaju jednoliku strukturu po itavoj zapremini, pa su time i mehanika svojstva u svim takama tela ista.

11


urkovi Vlado

5/!Ijqpuf{b!p!nbmjn!efgpsnbdjkbnb! Po ovoj hipotezi deformacije posmatranog tela su vrlo male u odnosu na njegove dimenzije. Pri primeni statikih uslova ravnotee zanemaruju se, na osnovu ove hipoteze, promene poloaja sila koje su izazvane deformacijom tela. Ova hipoteza omoguava da se koristi princip superpozicije, koji se formulie na sledei nain: rezultat dejstva sistema spoljanjih sila na telo jednak je sumi rezultata dejstva pojedinih sila nezavisno od reda nanoenja. Na osnovu matematikih analiza o malim veliinama, kojima pripadaju deformacije, mogu se, ako u nekom izrazu figuriu deformacije raznog reda veliina, zanemariti sve vrednosti deformacija vieg reda i zadrati samo vrednosti deformacija nieg reda. U izvesnim obrascima dakle, mogue je zanemarivanje malih veliina vieg reda u odnosu na male veliine prvog reda. 6/!Ijqpuf{b!p!{bnfoj!tuwbsoph!pqufsf~fokb! flwjwbmfouojn!tjtufnpn!tjmb! Pri izuavanju deformacija tela kao celine, ako nas pri tome ne interesuju lokalne deformacije, moemo optereenje koje deluje na jedan mali deo povrine tela zameniti ekvivalentnim sistemom sila, koji se u optem sluaju svodi na glavni vektor i glavni moment. To je tzv. princip superpozicije dejstva, premo kom je dejstvo vie sila jednako zbiru dejstva pojedinih sila. Ovaj stav je poznat kao San-Venanov princip. Ovakva zamena ima uticaja na veliinu i formu lokalne deformacije, dok je bez uticaja na deformacije u takama dovoljno udaljenim od mesta delovanja sila. 7/!Ijqpuf{b!p!fmbtujojn!efgpsnbdjkbnb! Po ovoj hipotezi smatramo da tela koja su izloena dejstvu sistema spoljanjih sila dobijaju elastine deformacije. 8/!Ijqpuf{b!sbwoji!qsftflb! Zamiljeni ravni presek tela pri deformaciji ne ostaje u optem sluaju ravan, ve dobija oblik neke krive povrine. Meutim, postoje mnogi praktini sluajevi kod kojih presek ostaje ravan. Ova injenica je dovela12


urkovi Vlado

do hipoteze ravnih preseka koja predpostavlja da zamiljeni ravni presek pre deformacije tela ostaje ravan i nakon deformacije. Na primer, kod tapa svaki popreni presek ostaje ravan i upravan na osu tapa i posle deformacije. Ovaj stav poznat je kao Bernulijeva hipoteza. Zahvaljujui ovoj hipotezi znatno su uproena teorijska razmatranja niza zadataka u otpornosti materijala.2/4/4/!Wbaof!obqpnfof!

U otpornosti materijala gde se posmatraju vrsta tela u stanju elastine ravnotee mogue je primeniti sve aksiome i zakone statike izuzev:

Sl. 1.7 Primer nemogunosti primene sile kao kliznog vektora

a) aksima o apsolutno krutom telu po kome je sila klizni vektor. Znai, u otpornosti materijala nije dozvoljeno pomeranje sila duz pravca dejstva poto se time menja karakter i veliina deformacija. Primer je dat Sl. 1.7. b) zakona o zameni sistema sila drugim sistemom istog dejstva. Znai, u otpornosti materijala nije mogue primeniti ovaj zakon poto se u tom sluaju menja karakter i veliina deformacija. Primer je dat Sl. 1.8.

13


urkovi Vlado

Sl. 1.8 Primer nemogunosti zamene sistema sila drugim sistemom istog dejstva

14

Tehnika mehanika Otpornost materijala - sile

urkovi Vlado

2/5/!Tqpmkof!j!!vovusbokf!tjmf-!wstuf!pqufsf~fokb! 2/5/2/! Tqpmkof!tjmf! U Statici je sila definisana kao mehanika mera dejstva jednog tela na drugo. U prirodi nema izolovanih tela, ve postoji skup tela koji uzajamno deluju jedno na drugo. Ako se uoi jedno telo, na njega e delovati ostala tela ograniavajui njegovo kretanje, tj. ostala tela delovae kao veze. Prema aksiomu o vezama, telo se moe posmatrati kao slobodno ako se veze uklone i zamene njihovim uticajem. Njihov uticaj su sile koje deluju na posmatrano telo na taj nain to ga deformiu. Za posmatrano telo ovaj sistem sila su spoljne sile ili optereenje.

Sl. 1.9 Optereenja u vremenu

Podrobnije o silama (optereenjima), bez zavisnosti od vremena, dato je u statici. Ako se optereenje posmatra u vremenu, po svom karakteru moe biti: mirno ili statiko kada optereenje raste do odreene vrednosti a zatim se tokom vremena ne menja (sl. 1.9 a), i promenljivo kod koga se intezitet menja tokom vremena. Promenljivo optereenje moe biti udarno i bezudarno. Udarno optereenje je ono kod koga u malom vremenskom intervalu intenzitet poraste viestruko (sl.1.9 b). Bezudarno optereenje moe biti jednosmerno promenljivo i naizmenino promenljivo. Kod jednosmerno promenljivog optereenja intenzitet optereenja se menja od nule do maksimalne vrednosti pri emu se smer optereenja ne menja (sl. 1.9 c). Naizmenino prome15


urkovi Vlado

nljivo optereenje je takvo iji se intenzitet menja u granicama od maksimalne do minimalne vrednosti pri emu se smer optereenja naizmenino menja (sl.1.9 d). 2/5/3/!Vovusbokf!tjmf! Najsitniji delii materije, koji imaju osobine materije, su molekuli. To znai da se posmatrano telo sastoji iz velikog broja molekula. Molekuli deluju uzajamno jedni na druge meumolekularnim silama koje zavise od meusobnog rastojanja i od mehanikih osobina materije tela. Na vrsto telo odreenog oblika na koga ne deluje nikakvo optereenje meumolekularne sile su u ravnotei. Kada se ono izloi dejstvu uravnoteenog sistema spoljnih sila, poee da se deformie. Deformacije izazivaju promenu poloaja molekula, tj. poee da se menjaju njihova meusobna rastojanja to e uticati na promenu meumolekularnih sila koje se suprotstavljaju spoljnim silama. Deformacije e prestati onog trenutka kada se uspostavi ravnotea unutranjih i spoljanjih sila. Ukoliko se ravnotea ne uspostavi deformacije e se poveavati dok ne doe do loma. Po prestanku dejstva optereenja molekuli tee da se vrate u prvobitan poloaj tj. tee da telu vrate prvobitan oblik. Pri deformaciji tela molekuli imaju razliita pomeranja u telu to podrazumeva i razliite meumolekularne sile. To znai da unutranje sile zavise od poloaja. Odreivanje sila na ovaj nain je vrlo komplikovano, jer zahteva vrlo sloen matematiki aparat, tako da za tehniku praksu nije prihvatljiv. Zato se u mehanici vrstih tela unutranje sile drugaije definiu. vrsto telo koje je u ravnotei pod dejstvom uravnoteenog sistema spoljanjih sila zove se napregnuto telo. Kako je vrsto telo u ravnotei pod dejstvom uravnoteenog sistema spoljanjih sila, primenom aksioma 5, moe se smatrati krutim i analizirati njegova ravnotea. Za izradu delova konstrukcija koriste se razliite vrste materijala kao to je liveno gvoe, razne vrste elika, legure bakra, legure aluminijuma, beton, drvo itd. U poslednje vreme se sve vie koriste kompozitni materijali. Svi ovi materijali, zbog svoje strukture, imaju razliita mehanika svojstva pa je i ponaanje napregnutih tela od razliitog materijala razliito. Postoje sluajevi da se telo od jednog materijala16


urkovi Vlado

ponaa razliito u pojedinim oblastima naprezanja. Ovo pretstavlja tekou u prouavanju ponaanja napregnutog deformabilnog tela, zato je uvedena klasifikacija materijala u zavisnosti od njegovih mehanikih osobina. Materijal koji ima ista mehanika svojstva u svakoj taki zapremine je homogeno telo u mehanikom smislu. Ako se mehanike karakteristike materijala menjaju od take do take zapremine tela, onda je to nehomogeno telo. Ako su mehanike karakteristike materijala, u bilo kojoj taki zapremine tela, iste u svim pravcima onda je to izotropano telo. Materijal koji nema iste mehanike karakteristike u svim pravcima posmatrane take tela, je anizotropano telo. Materijal koji ima razliite mehanike osobine u dva meusobna upravna pravca je ortotropno telo. Primer ovakvog materijala je hladno valjani elini lim, iji su se kristali izduili u pravcu valjanja, tako da u pravcu valjanja ima najbolje mehanike karakteristike a u poprenom pravcu najloije. Neka se vrsto telo izloi uravnoteenom sistemu spoljnih sila. Ovo dejstvo e prouzrokovati deformaciju tela. Ako prestane dejstvo sistema spoljanjih sila mogu nastupiti dva sluaja: da svaka taka zauzme svoj prvobitni poloaj, tj. da deformacije ieznu, i da take tela ne zauzmu svoj prvobitni poloaj, tj. da deformacije ostanu trajne. U prvom sluaju telo je elastiano, a u drugom sluaju je neelastiano. elik, kao najrasprostranjeniji materijal za gradnju u mainstvu, moe se pod odreenim uslovima smatrati elastinim, homogenim i izotropnim materijalom.

17

Tehnika mehanika Otpornost materijala vrste naprezanja

urkovi Vlado

2/6/!Wstuf!obqsf{bokb! vrsto telo, odnosno posmatrani konstruktivni element, pod dejstvom uravnoteenog sistema spoljanjih sila (optereenja), zove se napregnuto telo. U zavisnosti od vrste i naina dejstva optereenja, u telu e se javiti odgovarjue naprezanje. Postoji pet vrsta osnovnih naprezanja i to: aksijalno naprezanje, naprezanje na smicanje, naprezanje na uvijanje, naprezanje na savijanje i izvijanje.

Sl. 1.10 Vrste naprezanja

Aksijalno naprezanje nekog konstruktivnog elementa bie izazvano dejstvom optereenja du ose samog elementa. Ovakvo naprezanje moe biti na zatezanje ako na element dejstvuju zateue sile (Sl. 1.10 a) i na pritisak ako dejstvuju sile na pritisak (Sl. 1.10 b).18

Tehnika mehanika Otpornost materijala vrste naprezanja

urkovi Vlado

Ako sile dejstvuju popreno na konstruktivni element u jednoj ravni (Sl. 1.10 c), tj. ele da dva susedna poprena preseka pomere (smaknu) jedan u odnosu na drugi takvo naprezanje se zove naprezanje na smicanje. Naprezanje na uvijanje konstruktivnog elementa izazivaju spregovi ija je ravan dejstva upravna na njegovu osu (Sl. 1.10 d). Naprezanje na savijanje konstruktivnog elementa izazivaju spregovi koji dejstvuju u ravni u kojoj lei njegova osa (Sl. 1.10 e). Pri dejstvu aksijalnog optereenja na pritisak moe doi do toga da konstruktivni element izgubi prvobitni oblik ravnotee (Sl. 1.10 f), pravolinijski element postaje krivolinijski, tj. izvija se. Deformacija pri izvijanju je slina kao kod savijanja. Ovo su osnovne vrste naprezanja koja su izazvana odgovarajuim optereenjem. Meutim, kod realnih konsgruktivnih elsmenata esto su optereenja takva da izazivaju istovremeno vie vrsta naprezanja. Na primer, kod ekscentrinog pritiska ili zatezanja javlja se istovremeno aksijalno naprezanje i savijanje, kod tekih vratila javlja se istovremeno uvijanje, savijanje i smicanje itd.

19

Tehnika mehanika Otpornost materijala napon

urkovi Vlado

3/!OBQPOJ!J!EFGPSNBDJKF! 3/2/!Obqsf{bokf-!obqpo! U mehanici se prouavaju kruta tela kao idealizacija realnih tela u prirodi. Takva tela imaju osobinu da rastojanje dveju proizvoljnih estica (taaka) za vreme dejstva spoljanjih optereenja ostaje nepromenjeno. To je, dakle, apstraktan pojam uveden da bi se prouilo kretanje realnih tela. Realna tela, medutim, pod dejstvom spoljanjih optereenja se deformiu, to jest, menjaju oblik i zapreminu, pa se i rastojanja izmedu estica menjaju. Takva tela se nazivaju vrsta (deformabilna) tela.

A Fu

A

GSl. 2.1 Spoljanje i unutranje sile

Spoljanja optereenja koja deluju na vrsto telo tee da ga deformiu. Materijal tela se, shodno Njutnovom zakonu akcije i reakcije, dejstvom medumolekularnih unutranjih sila suprotstavlja spoljanjim silama. Molekuli tela se tako pomeraju da se ostvari ravnotea izmeu spoljanjih i unutranjih sila. Stanje tela (elementa), koje nastaje dejstvom spoljanjeg optereenja i odgovarajuih unutranjih otpora naziva se naprezanje. Ako je, na primer, na kraju ueta obeen teret20


urkovi Vlado

teine G, onda se u uetu uspostavlja unutranja sila Fu , koja je, ako se zanemari masa ueta, po intenzitetu jednaka teini G (Sl. 2.1). Da bi se stekla jasnija predstava o veliini unutranjih sila, primenjuje se metoda fiktivnog (zamiljenog) preseka. Zamislimo da smo telo presekli po preseku K-K (sl. 2.2) i odstranili desni deo. Da bi levi deo bio u ravnotei, mora uticaj desnog, odseenog dela, da se zameni unutranjim silama, pri emu rezultanta spoljanjih sila mora da je kolinearna i jednaka po intenzitetu rezultanti unutranjih sila. Intenzitet unutranjih sila definie sile preko vektora ukupnog napona ( p ) , koji je jednak (Sl. 2.2. a i Sl. 2.3a) F dF p = lim = , Pa. A0 A dA

Sl.2.2 a) Ukupni napon, b) normalni i tangentni napon.

Vektor ukupnog napona moe se razloiti na normalni i tangentni napon (Sl. 2.2 b) p = n n + t gde su n i t odgovarajui jedinini vektori. Normalni napon je upravan na popreni presek i jednak je F n = n . A Tangentni napon (napon smicanja), deluje u ravni preseka i jednak je21


urkovi Vlado

FT , A gde su Fn i FT intenziteti normalne i tangentne komponente sile F . =Ako se kroz posmatranu taku O povue druga presena ravan, onda e povrina preseka imati drugaiji oblik i normalu drugog pravca. Raspodela unutranjih sila po novom preseku bie drugaija, pa i rezultanta unutranjih sila na maloj povrini u okolini take O. Samim tim i ukupni napon u taki O za novu povrinu preseka bie drugaiji, Zbog toga se mora naznaiti u indeksu normala povrine preseka na kojoj deluje ukupni napon (Sl. 2.3 c). Kroz jednu taku moe se povui bezbroj ravni i na svakoj od njih deluje drugi ukupan napon. Ukupni napon u svakoj presenoj ravni predstavlja stanje napona u taki. Na prvi pogled izgleda da je praktino nemogue odrediti stanje napona u taki, ali moe se pokazati da ako se poznaju ukupni naponi na tri uzajamno upravne presene ravni koje prolaze kroz posmatranu taku, onda se moe odrediti ukupan napon za bilo koju presenu ravan koja prolazi kroz posmatranu taku. Ako su vektori koji odreuju stanje napona u taki rasporeeni u prostoru onda je to prostorno stanje napona, a ako su u ravni onda je to ravno stanje napona i kada su kolinearni (istog pravca) onda je to linearno stanje napona.

Sl. 2.3 a) Proizvolja ravan preseka tela b) Presek K-K tela u ravni , c) Proizvoljna presena ravan i koordinatni sistem u taki O.22


urkovi Vlado

Jedinica za merenje napona, u meunarodnom sistemu jedinica (SI), je paskal, i obeleava se sa Pa. To je napon koji se dobije kada se sila od 1N N podeli sa povrinom od 1m 2 , tj 1Pa = 1 2 . Paskal je, u poreenju sa m naponima koji se javljaju u ininjeriskim konstrukcijama, vrlo mala veliina. Zato se upotrebljava milion puta vea jedinica megapaskal N MPa. Vrlo esto se u praksi napon izraava u , iako ta jedinica nije u mm 2 N meunarodnom sistemu jedinica. Veza izmeu MPa i je: mm 2 N 1MPa = 1 . mm 2 Neka se dato napregnuto telo presee proizvoljnom ravni koja prolazi kroz taku O (Sl. 2.3 b) i postavi koordinatni sistem l , m , n sa koordinatnim poetkom u njoj tako da osa n bude normalna na povrinu preseka, a ose l i m da lee u ravni preseka. Ukupan napon u taki O koji deluje na povrini preseka ija je normala n bie pn . Uobiajeno je da se vektor ukupnog napona razloi u dve komponente: u komponentu u pravcu normale n i komponentu ije je dejstvo u ravni preseka n . Komponenta n , koja deluje u pravcu normale, zove se normalni napon, a komponenta u ravni preseka n zove se smiui ili tangencijalni napon. Tangencijalni napon se razlae u dve komponente u pravcu ose l , n l , i u pravcu ose m , n m . Znai, prvi indeks kod tangencijalnog napona

oznaava normalu povrine u kojoj deluje, a drugi indeks oznaava pravac delovanja. Tako na primer x y oznaava tangencijalni napon u posmatranoj taki, koji deluje na povrini ija je normala osa x , a deluje u pravcu ose y . Ako se izdvoji elementarna zapremina napregnutog tela u okolini take O u obliku paralelopipeda ( dx, dy , dz ) , (Sl. 2.4), onda e se na njegovim stranicama javiti odgovarajue komponente napona, da bi izdvojeni element bio u ravnotei. Poto njegove stranice lee u trima23


urkovi Vlado

upravnim ravnima to e komponente ukupnog napona na njima definisati naponsko stanje u taki O . Komponente napona mogu da se napiu u obliku tenzora: x x y x z {i j } = y x y y z . z x z y z Moe se pokazati, iz uslova ravnotee, da su tangencijalni naponi na dvema upravnim povrinama jednaki i usmereni ka liniji preseka povrina ili od nje: x y = y x , y z = z y i z x = x z .z

x

y

y

yx

Sl. 2.4 Elementarna zapremina napregnutog tela u okolini take O u obliku paralopipeda

Dobijena zavisnost se zove stav o konjugovanosti tangencijalnih napona. Na osnovu toga, za poznavanje naponskog stanja u taki potrebno je poznavati est umesto devet komponenti (jer je tenzor napona simetrian u odnosu na glavnu dijagonalu). Postoje uzajamno upravne ravni u kojima nema tangencijalnih napona ve samo normalnih. U tom sluaju ukupni i normalni naponi se poklapaju. Ovi naponi se zovu glavni naponi, a pravci u kojima oni deluju zovu se24


urkovi Vlado

pravci glavnih napona i obeleavaju se indeksima 1, 2 i 3. Pa tenzor napona ima oblik: 1 0 0 {i j } = 0 2 0 , pri emu je 1 2 3 , Sl. 2.5. 0 0 3

Sl. 2.5 Pravci glavnih napona

Ravno stanje napona u nekoj taki napregnutog tela, kako je ve reeno, je takvo stanje u kome vektori ukupnih napona za sve presene ravni lee u jednoj ravni. Ovakvo stanje napona nastaje ako je ploa napadnuta uravnoteenim sistemom spoljnih sila u ravni ploe. U ovakvim sluajevima moe se praktino smatrati da su ukupni naponi u presecima paralelnim sa srednjom ravni ploe jednaki nuli.

Sl. 2.6 Ploa i uravnoteeni sistem sila u ravni ploe

Na (Sl. 2.6) prikazana je ploa napadnuta uravnoteenim sistemom spoljnih sila u ravni ploe, postavljene tako da je srednja ravan ploe paralelna sa koordinatnom ravni xy . Kako na povrinama paralelnim25


urkovi Vlado

sa srednjom ravni ploe, ija je normalna osa z , nema ukupnog napona pa e komponente z , z x , i z y biti jednake nuli, pa e tenzor napona za ravno stanje napona biti dat izrazom 1 1 n = ( x + y ) + ( x y ) cos 2 + sin 2 2 2 1 n l = ( x y ) sin 2 cos 2 . 2 Ako iseemo elementarni paralelopiped u okolini take O dimenzija dx , dy i onda e na stranicama dx i dy biti ukupni naponi dati komponentama y , x i (Sl. 2.7). Na ovoj slici elementarni paralelopiped je prikazan u ravni x y tako da su stranice dx i dy prikazane samo linijama dx i dy .

Sl. 2.7 Ploa u ravni i naponi na njoj

Analiza naponskog stanja svodi se na prouavanje promene napona u zavisnosti od poloaja preseka kroz taku, a krajnji cilj je da se odrede ekstremne veliine normalnih i smiuih napona, kao i poloaj preseka u kojima se oni javljaju. Ako se uzme proizvoljan presek ija normala n zaklapa ugao sa x osom, na kome su komponente napona n i n l . Postavljanjem uslova ravnotee dolazi se do jednaina:26


urkovi Vlado

1 (a) ( x + y ) + 1 ( x y ) cos 2 + sin 2 , 2 2 1 n l = ( x y ) sin 2 cos 2 . (b) 2 Iz prve jednaine (a) proizilazi da je ekstremna vrednost normalnog napona na povrinama ije normale zaklapaju uglove = 1 i = 2 , iji je tangens: 2 , tg 2 = x y a vrednosti napona su: 2 1 1 1,2 = ( x + y ) ( x y ) + 4 2 . 2 2 Pravci 1 i 2 su pravci glavnih napona, koji su meusobno upravni, a naponi 1 i 2 su glavni naponi tako da je 1 = max najve i , a 2 = min najmanji normalni napon. Na povrinama gde deluju ovi naponi nema smiuih napona. Takoe, iz druge jednaine (b) proizilazi da je ekstremna vrednost smiueg napona povrinama ije normale zaklapaju uglove = 1 i = 2 , iji je tangens: y tg 2 = x , 2 a odnos uglova i je: 1 = 1 + ; 2 = 2 + . 4 4 Povrine na kojima je najvei smiui napon zaklapaju ugao od 45 sa ravnima na kojima je najvei normalni napon. Na povrinama na kojima je najvei smiui napon postoji i normalni napon. Vrednost najveeg smiueg i normalnog napona na tim povrinama je: 2 1 max = ( x y ) + 42 i n = 1 ( x + y ) . min 2 2n =

27

Tehnika mehanika Otpornost materijala deformacije

urkovi Vlado

3/3/!Efgpsnbdjkf! Pod uticajem spoljnih sila vrsto telo se kree i istovremeno, u veoj ili manjoj meri menja svoj prvobitni oblik, tj. deformie se. Pomeranje proizvoljne take tela moe da se razdvoji na pomeranje usled kretanja tela kao krutog tela i na pomeranje usled deformacije vrstog tela. U otpornosti materijala razmatrae se deo pomeranja take tela usled deformacije tela.

Sl. 2.8 Poloaj proizvoljne take M vrstog tela

Poloaj proizvoljne take M vrstog tela odreen je vektorom poloaja r (Sl. 2.8). Ako se telo izloi dejstvu uravnoteenog sistema spoljanjih sila, usled ega e se telo deformisati, taka M prei e u poloaj M ' koji je odreen vektorom poloaja r ' . Promenu poloaja take odreuje vektor pomeranja s . Poznavanje pomeranja taaka tela (konstruktivnog elementa) pri deformaciji daje jasnu sliku o ponaanju samog tela pri deformaciji. Meutim matematiki prikaz ponaanja vrstog tela pod dejstvom spoljnih sila zahteva da se definie deformacija u okolini take. Da bi se28


urkovi Vlado

ona opisala uvode se pojmovi dilatacija i ugaona deformacija, ili klizanje, ili smicanje. 3/4/!Ejmbubdjkb! Dato je telo i u njemu taka O, a blizu nje na rastojanju l taka N koja se nalazi na osi n (Sl. 2.9). Posle deformacije taka O se pomera u O ' taka N u N ' . Sada je rastojanje O ' N ' = l ' .

Sl. 2.9 Uoene take O i N na telu

Promena prvobitne duine obeleava se sa l i iznosi l = l ' l . Znai rastojanje posle deformacije je promenilo duinu za l . Za ocenu veliine deformacije zgodnije je izraziti promenu duine u odnosu na prvobitnu duinu. Takav odnos zove se srednja dilatacija dui ON :sr ON =

l . l

Granina vrednost kada se taka N pribliava taki O, tj. kada l tei nuli, je dilatacija u taki O i pravcu n . Obeleava se sa n :

n = liml 0

l . l29


urkovi Vlado

Dilatacija je bezdimenzionalna veliina. Meutim, vrlo esto se izraava u dimenziji metara po metru, ili u procentima. Dilatacija zavisi od poloaja take i od pravca povuenog kroz taku, pa je funkcija koordinata take i uoenog pravca kroz taku.3/5/!Vhbpob!efgpsnbdjkb!

Neka su u taki O data dva uzajamno upravna pravca n i l , kao i take N i L na tim pravcima u blizini take O, (Sl. 2.10).

Sl. 2.10 Dva uzajamna pravca n i l te take N i L tela

Posle deformacije taka O pomerie se u O ' taka N u N ' , i taka M u M ' . Prilikom pomeranja dolo je do promene pravog ugla izmeu datih pravaca. Granina vrednost promene prvobitno pravog ugla kada take M i N tee taki O naziva se ugaona deformacija, ili ugao smicanja, ili klizanje i obeleava se slovom i indeksima pravaca izmeu kojih je dolo do promene prvobitno pravogugla, tj.: n l = lim N ' O ' L ' . OL0 2 ON 0

Ugaona deformacija zavisi od uoenih pravaca kroz taku i od poloaja take, tj. od koordinata take.

30

Tehnika mehanika Otpornost materijala veza izmeu napona i deformacija

urkovi Vlado

3/6/!Wf{f!j{nf}v!obqpob!j!efgpsnbdjkb! Pojmovi i jednaine izvedene u analizi napona i deformacija su esto geometrijskog karaktera, nezavisno od fizikih osobina materijala od kojeg je deformabilno telo sainjeno. Ponaanje napregnutog tela zavisi ba od fizikih osobina materijala. Naime, deformacije nisu nezavisne od napona, a njihovu zavisnost odreuju fizike osobine materijala napregnutog tela. Kako su materijali koji se primenjuju u inenjerskim konstrukcijama razliiti po svojim fizikim osobinama, to su u Otpornosti materijala uvedena ogranienja u odnosu na materijal. Otpornost materijala razmatra homogeno, izotropno i idealno elastino telo. Ovako idealizovano telo omoguuje da sve veze izmeu napona i deformacija budu iskazane relativno jednostavnim matematikim vezama. Kod idealnog tela uzimamo da su te veze linearne. Ova uproenja omoguavaju da poznavajui spoljna optereenja nekog konstruktivnog elementa, na jednostavan nain odredimo naponsko i deformaciono stanje svake take elementa.

Sl. 2.11 Standardna epruveta za ispitivanje

Eksperimentalno odreivanje veza izmeu napona i deformacija vri se za svaki materijal, tako to se epruveta (Sl. 2.11), od materijala za koji se uspostavlja ova veza, izlae aksijalnom naprezanju na istezanje31


urkovi Vlado

ili pritisak. Oblik, dimenzije i vrsta obrade epruvete odreena je SRBS (nekadanji JUS) standardom. Epruveta ima kruni (Sl. 2.11 a) ili pravougaoni popreni presek (Sl. 2.11 b), zavisnosti od oblika materijala. Ako se radi o limu onda epruveta ima pravougaoni popreni presek, a za deblje materijale ima kruni popreni presek. Duina l0 , koja se nalazi izmeu repernih taaka zove se merna duina. Na njoj se meri izduenje i promena poprenog preseka prilikom delovanja aksijalnog naprezanja. Ispitivanje se izvodi na ureaju za zatezanje koji odmah crta dijagram izmeu napona i dilatacije ( , dijagram). Ovaj dijagram je razliit za razliite materijale. Na slici (Sl. 2.12 a) pa do (Sl. 2.12 d) dati su dijagrami , za: meki elik (Sl. 1.12 a), liveno gvoe (Sl. 2.12 b), bronzu (Sl. 2.12 c) i beton (Sl. 2.12 d). Iz dijagrama , se vidi da se meki elik podjednako ponaa na istezanje i pritisak, dok liveno gvoe, bronza i beton bolje podnose pritisak nego istezanje.

Sl. 2.12 Standardni dijagram , za razliite materijale32


urkovi Vlado

Prilikom istezanja eline epruvete na , dijagramu imamo est karakteristinih taaka (Sl. 2.13 i Sl. 2.14):

0Sl. 2.13 Dijagram , i karakteristine take

Taka P (granica proporcionalnosti). Kada epruvetu stavimo u eljusti maine i izloimo zatezanju, napon raste od nule pa do vrednosti P , deformacije rastu od nule proporcionalno naponu. U tom delu dijagrama veza izmeu napona i deformacije je linearna i ako bi prestalo dejstvo napona isezle bi i deformacije. Dakle ako bismo tap rasteretili, primetili bismo da se on u potpunosti vraa u svoje prvobitno stanje, tj. da deformacije po prestanku optereenja potpuno nestaju. Ovakve se deformacije nazivaju elastine deformacije. Napon P je napon na granici proporcionalnosti. Taka E (granica elastinosti). Sa poveanjem napona do vrednosti E poveava se i deformacija, ali vie ne linearno. Ako bi prestalo dejstvo napona deformacija bi iezla, to znai da su deformacije elastine. Napon E se zove napon na granici elastinosti. Taka V (granica razvlaenja). Od take E nadalje deformacije sve bre rastu, sve do take V , kada pri naponu V tap prestaje da prua otpor daljem razvlaenju, materijal kao da je poeo da tee, dilatacija raste, a napon ostaje priblino isti do take T . Napon V naziva se granica razvlaenja. Uslovna (tehnika) granica33


urkovi Vlado

razvlaenja je napon RP koji izaziva trajno izduenje od 0,2% . Taka T (gornja i donja granica teenja). Poto je dostignuta granica teenja materijal opet poinje da prua otpor razvlaenju, dilatacija raste uz poveawe napona. ovu pojavu nazivamo ovrenje materijala. Ako napon poveavamo preko granice elastinosti pojavie se plastine deformacije. Poveanjem napona do take T = TH , materijal prestaje da daje otpor razvlaewu, pa kaemo da je materijal poeo da tee. Deformacija raste uz pad napona sve do take TL . Taka TH je gornja granica teenja, a TL je donja granica teenja. Naponi na ovim granicama su: ReH gornja granica teenja i ReL donja granica teenja.

Sl. 2.14 Dijagram zatezanja za meki elik: a) ( F , l ) zapisan na kidalici, b) ( , ) sveden na napon i relativno izduenje

Taka M (Zatezna vrstoa). Daljim poveanjem deformacije dolazi do poveanja napona, tj. dolazi do tzv. ojaanja (ovrenja) materijala sve do take M . Veliina napona u taki M zove se zatezna vrstoa i obeleava se sa Rm ili M . Zatezna vrstoa je najvei napon koji materijal moe da podnese. Taka S (Taka kidanja ili sloma materijala). Zatim nastaju34


urkovi Vlado

deformacije uz smanjenje napona sve do kidanja epruvete. Napon koji odgovara taki S naziva se napon pri slomu i obeleava sa S . Na itavom delu dijagrama od take E pa na dalje moemo primetiti da, ako tap rasteretimo, on se ne vraa u prvobitno stanje, ve rastereenje ide paralelno liniji OP , dakle, od ukupne deformacije jedan deo se vraa (elastina deformacija), dok drugi deo (plastina deformacija) trajno ostaje. Kao to vidimo, isti materijal se moe ponaati i kao elastian i kao plastian, u zavisnosti od toga koliki su naponi. Prelaskom granice elastinosti na spoljnoj povrini epruvete javljaju se tanke naprsline pod uglom od u odnosu na podunu osu epruvete, 4 tj. u pravcu ekstremnih napona, koje se nazivaju Lidersovim linijama.

35

Tehnika mehanika Otpornost materijala poprena dilatacija. Hukov zakon

urkovi Vlado

3/7/!Qpqsfob!ejmbubdjkb! Ako se tap duine l , iji je popreni presek krug prenika d , izloi dejstvu optreenja koje izaziva aksijalno naprezanje na zatezanje (Sl. 2.15), on e imati promenu duine za veliinu (izduenje) l = l1 l , a u isto vreme popreni presek e i dalje ostati krug ali e mu se prenik smanjiti za veliinu, koja se naziva suenje d = d1 d . Znai pojavie se u bilo kojoj taki preseka uzduna dilatacija (relativno izduenje) l , = l a u isto vreme i dilatacija u poprenom pravcu koja se zove poprena dilatacija ili kontrakcija ili relativno suenje p , Ona je u svim pravcima poprenog preseka ista jer je smanjenje prenika u svim pravcima isto, a njena veliina je: d . p = d

F1

F1

Sl. 2.15 tap pre i posle izduenja

Poprena dilatacija je negativna pri naprezanju na zatezanje jer je d < 0 , a pozitivna je pri naprezanju na pritisak jer se prenik poveava i tada je d > 0 . Uoeno je da poprena dilatacija nije nezavisna od uzdune dilatacije i od materijala tapa. Ovu pojavu je prvi uoio Poason i postavio zavisnost izmeu poprene i uzdune dilatacije za materijale koji se razmatraju u otpornosti materijala. Ta zavisnost je data sledeim izrazom:36


urkovi Vlado

p = ,

gde je koeficijent proporcionalnosti koji se zove Poasonov koeficijent. On je bezdimenziona veliina, a njegova brojna vrednost zavisi od materijala i ne prelazi 0,5, tj., 0 0,5 . Za krte materijale ima nie vrednosti. Njegova vrednost za elik je = 0,33 .3/8/!Ivlpw!{blpo!

Na osnovu pretpostavki uvedenih u Otpornosti materijala, telo koje poseduje te osobine je idealno. Veza izmeu napona i deformacija je linearna (Sl. 2.13). Sa Sl. 2.16 a je veza izmeu koordinata take A : = tg

Sl. 2.16 Dijagrami normalnih i tangencijalnih napona u zavisnosti od deformacija i ugla smicanja

Kako je ugao konstantan pa i tg , zavisi od materijala. Sa dijagrama , Sl. 2.13 i Sl 2.16 a, je na delu OP tg = = E = const. Ova veliina se zove modul elastinosti materijala, ili tzv. Jungov N N , pa je: modul, a obeleava se slovom E 2 , 2 cm mm 1 = E ili = . E Ovu zavisnost je prvi uspostavio engleski naunik Robert Huk. Na isti nain je veza izmeu i , Sl. 2.16 b:37


urkovi Vlado

1 . G N N gde je G 2 , elastina konstanta koja se zove modul klizanja, 2 cm mm a njena vrednost zavisi od vrste materijala. Za jedan odreeni materijal postoji zavisnost izmeu modula elastinosti, Poasonovog koeficijenta i modula klizanja: E , G= 2 (1 + ) to je dato u Tabeli 2.1. Elastina svojstva nekog idealnog tela su potpuno odreena sa dve elastine konstante, dok se trea moe izraunati koristei izraz = G , odnosno = . G Modul elastinosti i modul klizanja imaju dimsziju napona, dok je Poasonov koeficijent bezdimenziona veliina. Ova veza je linearno stanje napona. Za ravno naponsko stanje napon x izazvae dilataciju u pravcu x i y ose: 1 ,x = x , ,y = ,x = x , E E 1 a napon y dilatacije: ,, = y , ,, = ,, = y , y x y E E Sabiranjem dilatacija u pravcu x i y ose od napona x i y i uz = G ili =

jednainu = G veza izmeu napona i deformacija je: 1 1 x = ( x y ) , y = ( y x ) i = . E E G Ove jednaine izraavaju Hukov zakon za ravno naponsko stanje. Ako se radi o glavnim pravcima onda trea jednaina otpada, jer nema smiuih napona: 1 1 1 = ( 1 2 ) , 2 = ( 2 1 ) . E E

38


urkovi Vlado

Tabela 2.1. Karakteristike nekih konstruktivnih materijala Materijal Modul elastinosti E N mm 2 2,1 105

Modul klizanja G N mm 2 0,81 105

Poasonov koeficijent

elici za cementaciju SRPS C.B9.020 elici za poboljanje SRPS C.B9.021 elici za opruge SRPS C.B0.551 Tempirani liv SRPS C.J2.021 Ugljenini elici, konstrukcioni, obini SRPS C.B0.501 elici za nosee konstrukcije SRPS C.B0.501 elici za zakovice SRPS C.B0.506 elini liv SRPS C.J3.011 . . Sivi liv SRPS C.J20.020 Tehniko drvo Bakar SRPS C.D1.002 Mesing i spec. mesing Aluminijum i Al-legure za gnjeenje

0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 ........ ........ 0,23 0,30 ........ 0,3 0,28 0,40 0,26 0,33

2,1 105 2,1 105

0,81 105 0,81 105

(1,6 1,7 ) 105

........

( 2 2, 2 ) 105( 2 2, 2 ) 105

( 0,77 0,85) 105( 0,77 0,85) 105

( 2 2, 2 ) 105 ( 2,05 2,15) 105( 0, 95 0,55) 105 (1,15 0,90 ) 105 (1, 25 1,05) 1050,108 105 0,100 105

( 0,77 0,85) 105 ( 0,79 0,83) 105( 0,37 0, 21) 105 ( 0, 44 0,35) 105 ( 0, 48 0, 40 ) 105........

(1,1 1,3) 105

(1,6 1, 7 ) 105

( 0, 9 1, 4 ) 1050,72 105

(1,6 1, 7 ) 1050, 27 105

39

Tehnika mehanika Otpornost materijala geometrijske karakteristike preseka

urkovi Vlado

4/!HFPNFUSJKTLF!LBSBLUFSJTUJLF!QSFTFLB! 4/2/!Vwpe! Statiki moment preseka povrine A u odnosu na neku osu (Sl. 3.1) jednak je zbiru proizvoda elementarnih povrina tog preseka i udaljenosti njihovih teita od izabrane ose.

Sl. 3.1 Elementarna povrina preseka

Npr. u odnosu na x osu (Sl. 3.1) iznosi: S x = y dA yi Ai ,

(3.1)

i jednak je proizvodu povrine A i udaljenosti y0 njenog teita T od x ose S x = y0 A . Statiki moment preseka povrine u odnosu na osu koja prolazi kroz teite jednak je nuli. 4/3/!Npnfou!jofsdjkf!qpws|jof!qsftflb! Aksijalni moment inercije povrine preseka je zbir proizvoda elementarnih povrina i kvadrata udaljenosti njihovih teita od izabrane ose (Sl. 3.1). Npr. od x ili y ose:

I x = y 2 dA yi2 Ai ,A

I y = x 2 dA xi2 Ai .A

(3.2)

40


urkovi Vlado

Centrifugalni moment inercije povrine preseka meusobno upravnih osa x i y je:

A za par(3.3)

I xy = xy dA xi yi Ai .A

Polarni moment inercije poprenog preseka je zbir proizvoda elementarnih povrina i kvadrata udaljenosti njihovih teita od izabranog pola, taka ( O ) , Sl.3.1, gde vai: 2 = x 2 + y 2 ,

I O = ( x 2 + y 2 ) dA = x 2 dA + y 2 dA = I x + I y .A A A

(3.4)

Sl. 3.2 Elementarna povrina preseka i paralelne koordinatne ose

Moment inercije preseka je uvek pozitivan. 4/4/!\ubkofspwb!ufpsfnb! tajnerova ili Hajgensova teorema govori o vezi izmeu momenata inercije za osu koja prolazi kroz teite povrine i momenta inercije za neku proizvoljnu osu paralelnu sa prvom (teinom) osom (Sl. 3.2). Aksijalni moment inercije preseka u odnosu na osu koja je paralelna sa osom kroz teite iznosi: Iu = I x + a2 A , I v = I y + b2 A . (3.5) 4/5/!Spubdjkb!lppsejobuoph!tjtufnb!!!! Koordinatni sistema Oxy zaokrenimo oko take O za ugao u poloaj Ouv prikazan na Sl. 3.3.41


urkovi Vlado

Sl. 3.3 Promena momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema

Ako su momenti inercije I x , I y , I xy neke povrine A , za osex , y poznati, potraimo u tom sluaju vrednosti momenata inercije I u , I v , I uv uza ose u i v koje su dobijene rotacijom osa x , y za neki ugao . Veza izmeu osa koordinata dva koordinatna sistema sa istim koordinatnim poetkom u taki O , a za koji su zaokrenuti za ugao jedan u odnosu na drugi, je: u = x cos + y sin ; v = x sin + y cos . Po definiciji je I u = v 2dA , I v = u 2dA , I uv = u v dA ,A A A

a nakon uvrtavanja izraza(3.5) dobija se: I u = I x cos2 + I y sin 2 2 I xy sin cos ,I v = I x sin 2 + I y cos2 + 2 I xy sin cos ,

I uv = ( I x I y ) sin cos + I xy ( cos2 sin 2 ) .1 + cos 2 1 cos 2 , sin 2 = , 2 2 dobijaju se izrazi za aksijalne i centrifugalne momente inercije preseka, za ose zarotiranog koordinatnog sistema:Uz pomo obrazaca: cos2 =42


urkovi Vlado

1 ( I x + I y ) + 1 ( I x I y ) cos 2 I xy sin 2 , 2 2 1 1 I v = ( I x + I y ) ( I x I y ) cos 2 + I xy sin 2 , 2 2 1 I uv = ( I x I y ) sin 2 + I xy cos 2 , 2 a polarni moment inercije, bie: I O = I u + I v = I x + I y I max + I min = I x + I y ,

Iu =

(3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

to predstavlja prvu invarijantu inercije. Centrifugalni moment inercije moe se izraunati i korienjem tzv., druge invarijante tenzora inercije: razlika proizvoda momenata inercije za bilo koje dve meusobno upravne ose i kvadrata centrifugalnog momenta inercije za iste 2 2 te dve ose je invarijantna I u I v I uv = I x I y I xy , to primenjeno na glavne ose, postaje 2 I max I min = I x I y I xy . 4/6/!Qpmvqsfojdj!jofsdjkf!!! Pod poluprenikom inercije za neku osu podrazumevamo veliinu odreenu izrazom, Sl.3.4: (3.10)

Sl. 3.4 Poluprenici inercije i elipsa inercije poprenog preseka

i=

I ; I >0. A43

(3.11)


urkovi Vlado

Ova veliina za ose x i y ima oblik ix = odnosno za bilo koje ose oblik je iu =

Ix , iy = A Iv , A

Iy A

,

Iu , iv = A

a za glavne teine ose I I (3.12) i1 = 1 = imax , i2 = 2 = imin . A A Ose 1 i 2 se nazivaju glavnim osama inercije, a odgovarajui momenti inercije glavnim momentima inercije. Ukoliko je koordinatni poetak u teitu (centru) poprenog preseka, ose 1 i 2 se nazivaju glavne teine (centralne) ose inercije, a momenti inercije I1 i I 2 su glavni teini (centralni) momenti inercije. Odnosno, glavni teini koordinatni sistem je onaj teini koordinatni sistem za iji je par osa centrifugalni moment inercije jednak nuli, a aksijalni momenti inercije imaju maksimalne vrednosti. 4/7/!Fmjqtb!jofsdjkf!!! Elipsa inercije je odreena jednainom, Sl.3.4: u2 v2 + =1. (3.13) 2 i2 i12 Elipsa inercije prati oblik konture poprenog preseka, odnosno prostire se u pravcu prostiranja povrine poprenog preseka. 4/8/!Puqpsoj!npnfou!!! Od velikog znaaja za proraune su take u poprenom preseku koje su najudaljenije od teinih osa x i y , Sl.3.5.

44


urkovi Vlado

Sl. 3.5 Najudaljenije take preseka od osa x i y

Kolinici I Ix = Wx i y = W y (3.14) ymax xmax se nazivaju otpornim momentima preseka za osu x i y , a takoe se mogu nazvati geometrijskom karakteristikom poprenog preseka. Polarni otporni moment je tada: I WO = O , max a za kruni popreni presek postaje: I I WO = O = O ; D = 2 R , R D/2

(3.15)

(3.16)

45


urkovi Vlado

[bebubl! 4/2/ Za dati popreni presek (Sl. 3.6) odrediti glavne teine (centralne) momente inercije ( I1 = I max i I 2 = I min ) i nacrtati elipsu inercije.

Sl. 3.6 Popni presek

Reenje: Odreivanje povrine poprenog preseka (Sl. 3.7 a): A = A1 + A2 + A3 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 . Odreivanje poloaja teita: Ai i a 2 a + a 2 a + a 2 a 3 2 3 = 1 a = 0,167a , = T = 6 3a 2 Ai

T

Koordinate teita su: T T = 0,167a; T = 0,389a Odreivanje momenata inercije za teine ose: I x = I A 2 , I y = I A 2 , I xy = I A T T T T Momenti inercije za odreene povrine (1, 2 i 3) iz tablica su: 3 3 a 2a a 4 + a 2a = 3a 4 , I = I 1 + I 2 + I 3 = + 4 3 12 3 3 4 2a a a + 2a a = 0,667a 4 , I = I 1 + I 2 + I 3 = + 12 3 12 2 2 4 2 2 I = I 1 + I 2 + I 3 = a 2a + a a 2a = 0,417a 4 , 8 4 24

A = Ai i

i

a 2 2 2a + a 2 a + a 2 1 2a 3 2 3 = 7 a = 0,387a . = 2 18 3a

a

f

a f af

a f af

46


urkovi Vlado

Potrebni momenti inercije za teine ose su: 2 I x = I A 2 = 3a 4 3a 2 0,389a = 2,546a 4 , T

a

I y = I A 2 = 0,667a 4 3a 2 0,167a T

a

f

I xy = I A T T = 0.417a 4 3a 2 0,167a 0,389a = 0,611a 4 . Odreivanje ugla zaokreta osa 2 0,611a 4 2 I xy tg 2 = = = 0,623 , Ix Iy 2,546a 4 0,584a 4

a

f

2

= 0,584a 4 ,

fa

f

c

h

2 = 31,9230

1 = 15,962 0 , 2 = 1 + 900 = 105,962 0 .

Rotiranje osa I x > I y sledi da je osa x 1 (za 1 = 15,962 0 ) i

sledi da je osa 1 2 (za 2 = 1 + 900 ) .

Sl. 3.7 a) Usvojene povrine preseka; b) Glavne ose inercije47


urkovi Vlado

Glavni centralni momenti inercije za glavne centralne ose u i v su: 2 2 I1,2 = I u ,v = I max,min = 1 I x + I y 1 I x I y + 4 I xy , 2 2 2 2 = 1 2,546a 4 + 0,584a 4 1 2,546a 4 0,584a 4 + 4 0,611a 4 , 2 2 4 4 = 1,565a 1156a , , 4 I 2 = 0,409a 4 I1 = 2,721a , Poluprenici glavne centralne elipse su: I I 2,721a 4 i1 = 1 = imax = max = = 0,952a , A A 3a 2 I I 0,409a 4 i2 = 2 = imin = min = = 0,369a . A A 3a 2 Provera: I Invarijanta I max + I min = I x + I y

af afh

b

g

b

g

c

h

c

h c

2,721a 4 + 0,409a 4 = 2,546a 4 + 0,584a 4 , 3,13a 4 = 3,13a 4 . II Invarijanta 2 I max I min = I x I y I xy

2,721a 4 0,409a 4 = 2,546a 4 0,584a 4 0,611a 4 ,1128a 8 = 1128a 8 . , ,

c

h

2

48


urkovi Vlado

Tabela 3.1. Momenti inercije povrine preseka I x i momenti otpora Wx

49


urkovi Vlado

Tabela 3.2. Teita, povrine, momenti inercije i otporni momenti ravnih povrina

50


urkovi Vlado

51


urkovi Vlado

52


urkovi Vlado

53


urkovi Vlado

54


urkovi Vlado

55

Tehnika mehanika Otpornost materijala aksijalno naprezanje

urkovi Vlado

5/!BLTJKBMOP!OBQSF[BOKF! 5/2/!Vwpe! Ako je nosei element prav i ako je optereen uravnoteenim sistemom sila ije se napadne linije poklapaju sa osom elementa, onda je to sluaj aksijalnog naprezanja. Elementi koji su napregnuti du svoje ose zovu se tapovi. Konstrutivni elementi koji su izloeni isto aksijalnom naprezanju su: tap reetke, klipnjaa motora sa unutranjim sagorevanjem (Sl. 4.1 a), teglei ureaj na vagonu (Sl. 4.1 b), odnosno njegovi elementi: 1-tegljenica, 2-kuka tegljenika, 3-vealica, 4-vreteno i 5stremen (Sl. 4.1 v) i drugi elementi konstrukcija.

Sl. 4.1 Primeri aksijalnog naprezanja

Aksijalno naprezanje moe biti na zatezanje ili na pritisak u zavisnosti od dejstva spoljnih sila. Napon na zatszanje je pozitivan a na pritisak negativan.56


urkovi Vlado

Popreni presek ovih elemenata moe biti konstantan po celoj duini, ili promenljiv. Naprezanje moe biti izazvano konstantnom aksijalnom silom du ose elementa, ili aksijalnom silom koja je promenljiva du ose elementa. Primeri aksijalnog optereenja gde je sila promenljiva du ose elementa je optereenje od sopstvene teine tapa privrenog na gornjem kraju, centrifugalna sila koja deluje na lopaticu koja nastaje usled obrtanja pri radu turbine, itd. 5/3/!Obqpoj!ob!{buf{bokf!j!qsjujtbl! Kada je tap ukljeten na jednom kraju, a na drugom optereen silom F (Sl. 4.2 a), iji se pravac (napadna linija) poklapa sa podunom osom tapa, on je izloen aksijalnom naprezanju zatezanju. Tom prilikom duina tapa se poveava, popreni presek smanjuje. Isti sluaj aksijalnog naprezanja zatezanje nastaje i kada je tap optereen dvema aksijalnim, kolinearnim silama suprotnog smera, kao na Sl. 4.2 b.

Sl. 4.2 Aksijalno naprezanje: a),b) - zatezanje, c),d) - pritisak.

Ako je tap (stub), iji je popreni presek dovoljno veliki u odnosu na duinu tapa, izloen aksijalnoj sili F (Sl. 4.2 c), tap e biti aksijalno napregnut na pritisak. Istom naprezanju je izloen i tap optereen dvema aksijalnim, pritiskujuim silama suprotnog smera, kao na Sl. 4.2 d. U ovom sluaju duina tapa se smanjuje, a popreni presek se poveava. Popreni presek tapa u ovom sluaju je izloen normalnom naponu F F z = , p = , (4.1) A A gde indeksi oznaavaju: z zatezanje, p pritisak.57


urkovi Vlado

5/4/!QSJNFSJ!BLTJKBMOPH!OBQSF[BOKB! 5/4/2/!Obqsf{bokb!j{b{wbob!qspnfopn!ufnqfsbuvsf! Posmatrajmo pojavu, ve opisanu u fizici, da tela pri promeni temperature menjaju dimenzije. Ovo vai i za elemente konstrukcija. Posmatraemo homogeni idealno elastian tap, duine l i poprenog preseka A , koji je izloen temperaturnoj promeni t (Sl. 4.3).

Sl. 4.3 tap izloen homogenom temperaturnom polju

Povienje temperature izaziva poveanje dimenzija tela, a snienje temperature smanjenje dimenzija. Pri tome se razliiti materijali razliito ponaaju. Pri porastu temperature od t1 do t 2 , tj. za veliinu t = t 2 t1 , duina tapa l promeni se za veliinu: lt = t t 2 t1 l = t t l , (4.2) gde je t

temperature za 1K . Vrednosti koeficijenta linearnog irenja za pojedine materijale date su u tabeli 4.1. Relativna deformacija usled promene temperature se odreuje obrascem: l (4.3) t = t = t t . l Ako je tap obostrano ukleten, tako da ne moe da se iri, u poprenom preseku se javlja napon t = E t = E t t , (4.4) kao i na mestima ukletenja sila: F = t A = E t t A . (4.5)58

LM 1 OP koeficijent linearnog irenja materijala pri povienju NKQ

b

g


urkovi Vlado

Tabela 4.1 Koeficijent linearnog irenja za pojedine materijale Materijal gvoe ugljenini elik aluminijum duraluminijum

t

LM 1 OP NKQ

Materijal bakar bronza mesing cink

t

LM 1 OP NKQ

12,00 106 12,00 106 23,80 10 6 23,00 106

17,00 106 17,00 106 19,00 106 19,00 106

U sluaju da je izmeu oslonaca i tapa zazor veliine (Sl. 4.4), onda je izduenje od temperaturne promene i skraenje od sile jednako zazoru : lt + l = .

Sl. 4.4 tap sa zazorom izloen irenju

Zamenom izraza za lt i l i reavanjem po sili F , bie: F = E A t t

FG H

IJ . lK

(4.6)

5/4/3/!Bltjkbmop!obqsf{bokf!vtmfe!tpqtuwfof!ufajof!

Posmatraemo tap duine l i promenljivog poprenog preseka, vezan gornjim krajem (Sl. 4.5). Ukupna teina dela tapa ispod preseka Gz , pri konstantnoj specifinoj teini , iznosi:Gz = dV = Az dz = Az dz .V z z

z

zl

zl

(4.7)

Prema Sl. 4.5, napon u preseku na rastojanju z je:

59


urkovi Vlado

z =

zAz

Az dz=z

zl

Az

.

(4.8)

Sl. 4.5 tap optereen sopstvenom teinom na istezanje

Izduenje tapa na osnovu jednaine l =l =

zl 0

F dz F l je: = A E A E

zl0

Gz dz = E Az E

zl0

A d Az

dz .

(4.9)

Ako je popreni presek konstantan, tj. Az = A = const . , onda e teina biti: Gz = A l z , (4.10) a napon u preseku na rastojanju z : A lz z = = lz . (4.11) A Duina tapa pri kojem je napon jednak zateznoj vrstoi (jaina materijala na kidanje) naziva se kritina duina i obeleava se sa lk , tj.:

b g b g b g

j = lk , odakle je: lk =

j .

(4.12)

Na osnovu formule (4.12) moe se rei da je kritina duina tapa duina pri kojoj nastupa kidanje tapa. l2 G l Izduenje tapa konstantnog preseka bie: l = = . (4.13) 2E 2 EA60

Tehnika mehanika Otpornost materijala - aksijalno naprezanje

urkovi Vlado

[bebubl! 5/2/ Za dati {tap (Sl. 4.6 a, odrediti napone u popre~nim presecima. Dato je: A1 = 6 cm2 , A2 = 3 cm2 , A1 =2, A2 F = 96 kN . Sf|fokf; Broj nepoznatih: n: FA , FB = 2 , Broj jedna~ina: S:

Sl. 4.6 a.

d Z i = 1 ,i

b

g

Broj dodatnih jedna~ina je: n S = 2 1 = 1. Jedna~ine su: 10 Zi = 0 , FA + F FB = 0 ,

2 0 l = 0 , l FB + l F = 0 , F 2a FB a F a E A1 B + = 0 / , E A1 E A2 E A1 a A FB 2a FB a 1 + F a = 0 , A2 A 2 FB FB 1 + F = 0 , A2 FB 2 +

b g bg

(a) (b)

FG H

A1 + F = 0, A2

IJ K

FB =

F A 2+ 1 A2

=

96 = 24 kN , 2+2

61


urkovi Vlado

Iz jedna~ine (a) sledi: FA + F FB = 0 , F FB = FA , 96 24 = FA , FA = 72 kN . Odre|ivawe napona u presecima: F 72 kN = 12 2 , a = A = A1 6 cm F 24 kN =4 2 , b = B = A1 6 cm F 24 kN =8 2 . c = B = A2 3 cm [bebubl! 5/3/ [tap je u~vr{}en na oba kraja prema Sl. 4.7. Odrediti napone u preseku A1 pri temperaturnoj promeni T = 300 C . Dato je: a = 20cm , b = 10cm ,

Sl. 4.6 b.

Sl. 4.7.

c = 20cm , A1 = 1cm2 , A2 = A3 = 2 cm2 , = 125 107 , kN E = 2 104 . cm2 Sf|fokf; Broj nepoznatih: n: FA , FB = 2 , Broj jedna~ina: S:

d Z i = 1 ,i

b

g

Broj dodatnih jedna~ina je: n S = 2 1 = 1.

62


urkovi Vlado

Jedna~ine su: 10 Zi = 0 , FA + FB = 0 ,

2 0 l = 0 , l FB + l T = 0 ,FB a FB b FB c + + + l t = 0 , E A2 E A1 E A3FB2 1 3

b g b g

(a) (b)

FG a + b + c IJ + l t = 0 , HEA EA EA K l t , a b c + + E A2 E A1 E A3

FB =

Sl. 4.8.

125 107 20 + 10 + 20 300 FB = , 1 20 10 20 + + 1 2 E 2 7 125 10 50 300 2 104 FB = = 12,5 kN . 10 + 10 + 10 Odre|ivawe napona u preseku A1 : F 12,5 kN 1 = B = = 12,5 2 . A1 1 cm Napomena: Znak za napone treba da prati znak aksijalne sile.

FG H

b

g IJ K

b

g

63


urkovi Vlado

[bebubl! 5/4 Nacrtati dijagrame Fa , , l i {tapa aksijalno optere}enog (Sl. 4.9 a) ako su: F = 2kN , A = 4cm2 , a = 0,8m i kN E = 2 108 2 . m

Sl. 4.9.

odre|ujemo nepoznatu reakciju oslonca A : FA = 4 F = 8kN . Za odre|ivawe aksijalnih sila imamo dva poqa: AB i BC (Sl. 4.9 b): Fal = FA = 8kN = const . , za 0 z1 0,8m , Fad = 2 F = 4kN = const . , za 0,8 z2 1,6m . Ovim aksijalnim silama odgovaraju konstantni naponi (Sl. 4.9 c): F kN 8 poqe AB : = a = = 1 2 = const . , cm 2A 8 kN Fa 4 poqe BC : = = = 1 2 = const . . cm 2A 4 Relativno pomerawe preseka B (Sl. 4.9 d), u odnosu na nepokretni ukle{teni presek, iznosi: Fa a1 = a = 0,4 102 cm E 2 A a relativno pomerawe preseka C , u odnosu na presek B , iznosi:

Sf|fokf; Iz uslova ravnoteè: Z = FA 6 F + 2 F = 0

64


urkovi Vlado

Fa a = 0,4 102 cm , E 2 A tako da apsolutno pomerawe preseka C , tj. pomerawe u odnosu na ukle{teni presek, jednako je: l = a1 + a2 = 0,4 102 + 0,4 102 = 0 . Preostaje da se sra~unaju relativna izduèwa u ovim poqima (Sl. 4.9 e). Za wih nalazimo: a 0,004 a 0,004 = 1 = = 0,005 , = 2 = = 0,005 . a 0,8 a 0,8 a2 =[bebubl!5/5/ Nacrtati dijagrame Fa , , i l homogenog {tapa AB , duìne l , optere}enog sopstvenom teìnom G i preseka A cm2 (Sl. 4.10 a). Sf|fokf; Reakcija ukle{tewa jednaka je teìni {tapa: FA = G = A l , gde je specifi~na teìna {tapa. Zakon promene aksijalne sile odredi}emo metodom preseka (Sl. 4.10 b), u preseku na udaqenosti z od ukle{tewa, iz uslova ravnoteè: Z = Fa FA + Az = 0 , tako da je: Fa = Al + Az = A l z ,

b g

za 0 z l (Sl. 4.10 c).

Sl. 4.10.

Napon u preseku na udaqenosti z iznosi:65


urkovi Vlado

Fa = l z , za 0 z l (Sl. 4.10 d). A Prema ovom zakonu, zakon promene dilatacije (Sl. 4.10 e) ima oblik:

=

b g

lz . E E Preostalo je da odredimo zakon pomerawa preseka u odnosu na ukle{teni presek. Prema obrascu za izduèwe, imamo:l = dz =0

=

=

b gE

zz

zbz 0

l z dz =

g

bl z g 2E l bl z g = 2E2

2

2 0

=

2

, (Sl. 4.8 d)

[bebubl! 5/6/ Nosa~ ABC tereta teìne G = 10kN sastoji se od {tapova AB i BC (Sl. 4.11 a). Veze u ta~kama A , B i C su zglobne. kN kN Oba {tapa su od ~elika, za koji su: de = 1,2 105 2 , dc = 1,0 105 2 m m kN i E = 2 108 2 . m Dimenzionisati {tapove i odrediti vertikalno pomerawe ~vora B .

Sl. 4.11.66


urkovi Vlado

Sf|fokf; Iz uslova ravnoteè ~vora B nalazimo sile u {tapovima AB i BC (Sl. 4.11 b): X = S2 S1 cos = 0 ,

Y = S sin G = 0 ,1

odakle je: G S1 = = 10 5 = 22,35kN , sin S2 = G ctg = 20kN . [tap AB je optere}en na pritisak, a {tap BC na istezawe. Prema obrascu za povr{inu, wihovi preseci treba da budu: S S AAB = 2 = 20 105 m2 , ABC = 1 = 18,6 105 m2 .

dc

de

Da bismo izra~unali vertikalno pomerawe ~vora B , odredimo poloàj B1 ta~ke B pod optere}ewem. Ovo ~inimo zami{qaju}i da smo u ta~ki B rastavili {tapove i dozvolili im izduèwa, odnosno skra}ewa, pod dejstvom sila S1 i S2 (Sl. 4.11 c). Tako nalazimo poloàje B , i B" i izduèwa (odnosno skra}ewa): Sl Sl l1 = 1 1 = 1,34 mm , l2 = 2 2 = 0,5mm . E1 ABC E2 AAB Daqe, iz ta~aka B , i B" treba povu}i normale na {tapove i u wihovom preseku odrediti poloàj B1 ta~ke B . Ove normale zamewuju lukove, polupre~nika AB , i BB" , povu~ene iz centara A i C . Ovakva zamena se vr{i ~esto u otpornosti materijala, jer je deformacija {tapova mala pri upore|ivawu sa wihovim dimenzijama. U na{em primeru za vertikalno pomerawe ta~ke B imamo: BB , BB" l1 l l y = Bb + B1a = + = + 2 = l1 5 + 2 l2 = 4 mm . sin tg sin tg [bebubl! 5/7/ [tap AB , duìne l i popre~nog preseka A , u preseku m n optere}en je silom F (Sl. 4.12). Odrediti reakcije obostranog ukle{tewa {tapa.67


urkovi Vlado

Sf|fokf; Zadatak je jedanput stati~ki neodre|en, jer imamo jednu stati~ku jedna~inu, z = 0 , a dve nepoznate veli~ine, FA i FB . Drugu jedna~inu moèmo dobiti geometrijskim putem. Naime, osloba|awem kraja A od veze, silu FA progla{avamo aktivnom silom, pa je ukupno pomerawe kraja A jednako nuli pod dejstvom sila F i FA .

Sl. 4.12.

F l2 FA l1 + = 0. EA EA l Iz ovog uslova nalazimo: FA = 2 F , l1 + l2Taj uslov je:

l =

bF

A

g

da bismo iz uslova ravnoteè:

Z = F

A

+ FB F = 0

odredili i nepoznatu reakciju FB : FB =

l1 F. l1 + l2

[bebubl! 5/8/ (Sl. 4.13). Tri {tapa AB , DB i CB me|usobno su vezana zglobom B , a drugim krajevima, u ta~kama A , D i C , zglobovima za plafon. Svi {tapovi leè u jednoj ravni. U ta~ki B je obe{en teret teìne F = 10kN . Sredwi {tap je duìne l1 = 0,5m , a bo~ni sa wim obrazuju uglove = 450 . Bo~ni {tapovi su od mesinga, kN kN za koji su: de = 8,10 2 i E2 = 108 2 . Sredwi {tap je od ~elika, za m m

68


urkovi Vlado

kN kN i E1 = 2,1 108 2 . Povr{ina preseka sredweg 2 m m 2 {tapa je A1 = 1cm , a bo~nog je A2 = 2cm2 . Odrediti sile i napone u {tapovima.koji su: de = 1,3

Sl. 4.13.

Sf|fokf; Posle osloba|awa od veza, tj. uklawawa {tapova, wihove uticaje na ta~ku B zamewujemo silama F2' , F1 i F2" (Sl. 4.13 b). Za ove tri nepoznate imamo dva uslova ravnoteè, jer sve tri sile leè u jednoj ravni. Tako je ovaj zadatak jedanput stati~ki neodre|en, pa je neophodno formirati jo{ jednu jedna~inu iz geometrijskih rasu|ivawa. Umesto dva uslova ravnoteè, iskoristi}emo uslov simetrije i jedan uslov ravnoteè. Iz uslova simetrije imamo jednakost: F2' = F2" = F2 , a iz uslova ravnoteè jedna~inu: Z = 2 F2 cos + F1 F = 0 . Da bismo formirali geometrijski uslov, zami{qamo da smo {tapove oslobodili veze u ta~ki B i dozvolili im izduìvawe pod datim optere}ewem. Pri tome se {tap DB izduìo za veli~inu: Fl BB1 = l1 = 1 1 . (a) E1 A1 Izduèwa {tapova AB i BC su jednaka i zbog jednakosti materijala i zbog wihovih preseka. S obzirom na to da su posredi male deformacije, moè se uzeti da je AE = AB , pri ~emu je ta~ka E69


urkovi Vlado

dobijena spu{tawem normale iz ta~ke B na pravac AB1 . Tako je odre|ena deformacija levog {tapa EB1 , kao i desnog, i ona iznosi: EB1 = BB1 cos . (b) Sa druge strane, deformacija EB1 {tapa AB vr{i se pod dejstvom sile F2 i iznosi: Fl EB1 = 2 2 . (c) E2 A2 Zamenom jednakosti (a) i (c) u (b) dobijamo traènu dopunsku jedna~inu, u obliku: F2 l2 F1 l1 cos = . (d) E2 A2 E1 A1 Ovoj jedna~ini pridodajemo formirani uslov ravnoteè i iz tih dvaju jedna~ina nalazimo: F cos2 F 2,93kN . F1 = 5,86 kN , F2 = 1 + 2 cos2 1 + 2 cos2 Traèni naponi u popre~nim presecima {tapova su: F kN F kN ~l. = 1 = 5,86 2 , mes. = 2 = 1, 465 2 . A1 cm A2 cm [bebubl! 5/9/ êli~ni {tap, promenqivog preseka, ukle{ten je izme|u dva zida (Sl. 4.14). Odrediti napone u popre~nim presecima oba dela ako se temperatura povisila od t1 do t2 .

Sl. 4.14.Sf|fokf; Ukupno {irewe {tapa iznosi: lt = t t 2 t1 l2 + l1 .

b

gb

g

(a)

70


urkovi Vlado

Kako zidovi ne dozvoqavaju {irewe {tapa, oni }e na {tap vr{iti pritisak silom F , skra}uju}i ga za duìnu l , koliko bi se izduìo da nije ukle{ten. S obzirom na razli~itost preseka i jednakost materijala, oba dela {tapa, ovo izduèwe iznosi: F l1 F l2 l = = (b) A1 E A2 E i mora da bude jednako izduèwu (a). Izjedna~avaju}i izduèwa (a) i (b), nalazimo silu:

F=

t t2 t1 l1 + l21 l1 l + 2 E A1 A2

b

FG H

gb

IJ K

g,

kao i napone:

1 =

F , A1

2 =

F . A2

71


urkovi Vlado

[bebubl!5/:/ Nacrtati dijagrame aksijalnih sila, normalnih napona i pomerawe po duìni datog {tapa (Sl. 4.15). Uticaj sopstvene teìne {tapa zanemariti.

Sl. 4.15.

Sf|fokf/ 10 Aksijalne sile: Nepoznata veli~ina otpora podloge: FA . Stati~ki uslov ravnoteè F = 0 daje:

FA + 3F F = 0 , FA = 2 F . 0 2 Normalni naponi su: F = , A F 2F F I = A = = , 2A 2A A

72


urkovi Vlado

FA + 3F 2 F + 3F F = = , 2A 2A 2A F III = . A FL 30 Pomerawe po duìni {tapa: l = EA FL 2F L = . I deo {tapa AB , l1 = E 2 A EA FL 1 FL = . II deo {tapa BC , l2 = E 2 A 2 E A F 2L FL = 2 . III deo {tapa CD , l3 = E 2A EA Ukupno izduèwe {tapa: l = l1 + l2 + l3 , FL 1 FL FL l = + +2 , EA 2 EA EA 3 FL l = . 2 EA

II =

d i d i d i

[bebubl!5/21/ Parovodna ~eli~na cev, duìne L = 30m , montira se pri t1 = 288K . Kada se kroz wu propusti para, temperature t2 = 453K , za koliko }e se cev izduìti ako je jedan kraj slobodan? 1 . Koeficijent linearnog {irewa je = 125 107 K

LM OP N Q

Sf|fokf/ Izduèwe cevi je jednako: L = L t ,

L = 30 125 107 453 288 , L = 6,9 102 m . [bebubl! 5/22/ Data je konstrukcija kao na slici (Sl. 4.16 a). [tap AC , kru`nog popre~nog preseka, od ~elika, sa dozvoqenim73

b

g


urkovi Vlado

naponom d 1 = 160MPa i modulom elasti~nosti E1 = 200 GPa , zglobno je vezan za {tap BC , a optere}en je silom F u ta~ki C . [tap BC je kvadratnog popre~nog preseka, od drveta, sa dozvoqenim naponom d 2 = 4 MPa i modulom elasti~nosti E2 = 10GPa . Odrediti: a) potrebne dimenzije popre~nog preseka, b) horizontalno i vertikalno pomerawe zgloba C .

Sl. 4.16 a.

Sf|fokf/ a) max d i

Fi di Ai Sa slike 10.16 b je: F1 = ctg F1 = F ctg , F F F = sin F2 = , sin F2 2 tg = = 33,69 0 , 3 F1 = 60 ctg 33,69 0 = 60 1,5 = 90kN , 60 60 F2 = = = 108,17 kN , 0 sin 33,69 0,555

74


urkovi Vlado

A1 = A2 = A1 = d1 =

d1 d2 d124 F2

F1

= =

90 103 = 5,625 104 m2 , 160 106 108,17 103 = 270,425 104 m2 , 4 106

= 5,625 104 m2 ,

4 5,625 10 4

2

= 2,68 102 m2 ,

A2 = a = 270,425 104 m2 , a = 16,4 10 2 m .

Sl. 4.16 b. Sl. 4.16 c.

b) Kru`nu liniju po kojoj bi se zaokrenuo {tap aproksimiramo tangentom po{to su pomerawa vrlo mala (Sl. 4.16 c). cH = L1 ,

c = C ' C ''' = C ' D + DC ''' =V

L2 + L1ctg , sin

L1 =

F1 L1 90 103 3 = = 0,24 102 m , 4 9 E1 A1 200 10 5,625 10

75


urkovi Vlado

L2 = H

F2 L2 108,17 103 3,605 = = 0,144 102 m , E2 A2 10 109 270,425 10 4

c = L1 = 0,24 102 m ,

c =V

c

V

0,144 102 + 0,24 102 ctg 33,69 , sin 33,69 = 0,6196 102 m 0,62 102 m .

[bebubl! 5/23/ Pod dejstvom datog optere}ewa, {tap se izduì za 2mm (Sl. 4.17). Odrediti veli~inu optere}ewa F , ako su poznati moduli elasti~nosti E Al = 75GPa i E Br = 110GPa , rastojawa a1 = 0,1m , a2 = 0,1m i a3 = 0,1m , kao i povr{ine A1 = 4 104 m2 i A2 = 25 104 m2 .

Sl. 4.17.

Sf|fokf; l = a1 + a2 + a3 = 0,02 cm , F a1 F 0,1 2 = = 0,167 10 8 F , a1 = 4 9 E1 A1 2 75 10 4 10 F a2 F 0,1 = = 0,333 108 F , a2 = 9 4 E1 A1 75 10 4 10 F a3 F 0,1 = = 0,0364 108 F , a3 = 9 4 E2 A2 110 10 25 10

F 0,167 + 0,333 + 0,0364 108 = 2 103 , F = 372,8kN .

b

g

76


urkovi Vlado

[bebubl! 5/24/ Odrediti pomerawe zgloba C u op{tim brojevima ako su {tapovi AC i BC istog popre~nog preseka i od istog materijala (Sl. 4.18).

Sl. 4.18.

Sf|fokf;!10 20

F

F

x

= 0 ; FA cos 600 FB cos 300 + F = 0 ,

y

= 0 ; FA sin 600 FB sin 300 = 0 ,

FB = 3FA . 3 F 30 A FA + F = 0 , 2 2 F 3 FA = , FB = F. 2 23 a, 2 a L2 = BC = a sin 300 = , 2 3 F a F L L1 = A 1 = , 4 E A EA 3 F a 6 F a F L 2 L2 = B 2

Tehnicka Mehanika Teorija Deo OM 2012 Vlado Djurkovic

Documents

Transcript of Tehnicka Mehanika Teorija Deo OM 2012 Vlado Djurkovic