TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileUvodna razmatranja Kinematika ta£ke...
Transcript of TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileUvodna razmatranja Kinematika ta£ke...
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢
email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2017/18
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Sadrºaj
1 Uvodna razmatranjaNapomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
2 Kinematika ta£kePoloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Sadrºaj
1 Uvodna razmatranjaNapomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
2 Kinematika ta£kePoloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Tehni£ka mehanika 2
Osnovni podaci o predmetu
Naziv: Tehni£ka mehanika 2
Semestar: III
Fond £asova: 2+2
Modul: Gra�evinarstvo - Zajedni£ke osnove
�ifra i ESPB: GR02TM, 4
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Tehni£ka mehanika 2
Osnovni podaci o predmetu
Uslov za sticanje potpisa:- Uredno poha�anje nastave- Uspe²no poloºeni nenajavljeni testovi na predavanjima- Uspe²no poloºena 2 kolokvijuma
Uslov za polaganje ispita:- Dobijen potpis- Poloºen ispit iz predmeta Tehni£ka mehanika 1
Na£in polaganja ispita:- Pismeni ispit u trajanju od 4h (bez literature)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Tehni£ka mehanika 2
Osnovni podaci o predmetu
Informacije o nastavi i predmetu:- Kabineti 136, 336- www.grf.bg.ac.rs, Katedra za tehni£ku mehaniku i teorijukonstrukcija, Predmeti, Tehni£ka mehanika 2
- Vitrina ispred Kab. 136
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Tehni£ka mehanika 2 - Literatura
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Sadrºaj
1 Uvodna razmatranjaNapomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
2 Kinematika ta£kePoloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Osnovni pojmovi mehanike
Predmet izu£avanja mehanike
Mehanka je deo �zike koji se bavi prou£avanjem kretanja telapod dejstvom razli£itih mehani£kih uticaja
Osnovni pojmovi
Kretanje: promena poloºaja posmatranog tela tokom vremena
Poloºaj posmatranog tela je odnos prema referentnom telu
Posmatrano telo i Referentno telo (pogodan koordinatnisistem)
Nezavisnost prostora (3D) i vremena (t>0)
Inercijalni (prostorni) koordinatni sistem Oxyz
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Osnovni pojmovi mehanike
Osnovni pojmovi
Telo: kona£na zapremina prostora neprekidno ispunjenamaterijomMaterijalna ta£ka:
- elementarni deo tela sa beskona£no malom koli£inom mase- telo kona£nog oblika i mase, uz zanemarivanje oblika tela(geometrijska ta£ka sa kona£nom masom)
Sistem materijalnih ta£aka: skup mat. ta£aka izme�u kojihpostoje veze
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Osnovni pojmovi mehanike
Osnovni pojmovi
Veze su relacije (ograni£enja) izme�u poloºaja i/ili brzina
Alternativno, veze su prisustva drugih tela koja ograni£avaju, iliu potpunosti spre£avaju, mogu¢nost kretanja posmatranog tela
Kruto telo je telo kod koga je rastojanje izme�u bilo koje 2ta£ke je nepromenljivo
⇒ Kruto telo je sistem od ∞ mat. ta£aka (sa constme�usobnim rastojanjima)
⇒ Sistem mat. ta£aka je najop²tiji mehani£ki model
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Klasi�kacija mehanike
Sa stanovi²ta domena prostora u kome se kre¢e telo
- klasi£na mehanika (Isaak Newton, 1642-1721)
- relativisti£ka mehanika (Albert Einstein, 1879-1955)
- kvantna mehanika (Max Planck, 1858-1947)
Sa stanovi²ta agregatnog stanja tela koje se posmatra
- mehanika solida
- mehanika �uida (te£nosti i gasovi)
- mehanika plazme
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Klasi�kacija mehanike solida
Sa stanovi²ta deformacije pod uticajem sila
- mehanika nedeformabilnih (krutih) tela
- mehanika deformabilnih (£vrstih) tela
Mehanika deformabilnih (£vrstih) tela
- teorija elasti£nosti
- teorija plasti£nosti
- teorija reologije
- itd
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Klasi�kacija mehanike solida
Mehanika krutog tela, sa stanovi²ta oblasti razmatranja
- statika
- kinematika
- dinamika
Novije oblasti mehanike deformabilnih tela
- mehanika loma
- mehanika o²te¢enja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Klasi�kacija mehanike
Mehanika krutog tela, sa stanovi²ta predmeta izu£avanja
- mehanika ta£ke
- mehanika sistema materijalnih ta£aka
- mehanika krutog tela
Mehanika uop²te, sa stanovi²ta ciljne grupe korisnika mehanike
- teorijska (racionalna) mehanika
- primenjena mehanika
Mehanika uop²te, sa stanovi²ta matemati£kog pristupa
- vektorska mehanika (Njutn)
- analiti£ka mehanika (Lagranº)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Njutnovi Aksiomi Mehanike
Sir Isaak Newton, 1687. - Aksiomi mehanike
A1: Aksiom inercije
A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli£inekretanja)
A3: Aksiom akcije i reakcije
A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Njutnovi Aksiomi Mehanike
A1: Aksiom inercije
Svako telo (materijalna ta£ka) ostaje u stanju mirovanja, ili ustanju ravnomernog pravolinijskog kretanja, sve dok poduticajem sile ne bude prinu�eno da to stanje promeni.⇒ Kretanje ta£ke pri £emu je ubrzanje jednako nuli (~r = 0)
A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli£ine kretanja)
Promena koli£ine kretanja tela proporcionalna je sili koja delujei vr²i se u pravcu i smeru delovanja sile.~K = m~v d ~K
dt = ~F odn. m~a = ~F
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Njutnovi Aksiomi Mehanike
A3: Aksiom akcije i reakcije
Me�usobni mehani£ki uticaji dva tela ispoljavaju se silama kojedeluju duº iste napadne linije, imaju iste intenzitete i suprotnesmerove.Ili, ne²to kra¢e: Akciji jednog tela na drugo odgovara istareakcija drugog tela na prvo, ali suprotnog smera.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Njutnovi Aksiomi Mehanike
A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila)
Mehani£ki uticaj istovremenog delovanja dve sile u istoj ta£kitela ekvivalentan je uticaju jedne sile, u istoj ta£ki, koja jeodre�ena dijagonalom paralelograma konstruisanog nad dvemasilama kao stranicama.
Alternativno, A4 moºe da se formuli²e i u obliku:
Pri istovremenom delovanju dve sile na materijalnu ta£ku,ta£ka se kre¢e po dijagonali paralelograma, konstruisanog nadtim silama kao stranicama, za isto vreme za koje bi se kretalapo pojedinim njegovim stranama pri dejstvu svake sile posebno.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Njutnov Zakon univerzalne gravitacije
Napomene o masi tela
Masa: mera koli£ine materije u zapremini tela
Masa: mera inercije koju poseduje telo
Masa: mera energije sa kojom je ekvivalentna (E = mc2)
Dva tela masa m i M na rastojanju R se me�usobno privla£esilom (Njutnov Zakon univerzalne gravitacije):
F = γmM
R2
ili u obliku
F = mg g = γM
R2
gde je g ja£ina gravitacionog polja, odn. ubrzanje koje telo Msaop²tava telu m
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Pojmovi o silama u mehanici
Napomene o silama; 4 vrste sila
Aksiom Inercije ⇒ Sila je prinuda usled koje telo menja svojeinercijalno stanje (ravnomerno pravolinijsko kretanje ilimirovanje)
Gravitaciona sila
Elektro-magnetska sila
Slaba nuklearna sila
Jaka nuklearna sila
Peta vrsta sile (?) Objedinjavanje sila
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Pojmovi o silama u mehanici
Pojmovi o silama
Koncentrisane i raspodeljene (linijski, povr²inski, zapreminski)
Sistem sila
Ekvivalentni sistemi sila
Spolja²nje i unutra²nje sile
Rezultanta sistema sila
Slaganje i razlaganje sila
Ravnoteºni sistem sila
Osnovni ravnoteºni sistem sila
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Statika kao deo mehanike
Statika
Statika je deo mehanike koja se bavi mirovanjem posmatranihsistema i uslovima pri kojima se realizuje mirovanje. Posmatranisistem miruje, a sile koje na njega deluju su u ravnoteºi.
Aksiomi Statike
A1: Aksiom inercije
A2: Osnovni ravnoteºni sistem sila
A3: Dodavanje ili uklanjanje ravnoteºnog sistema sila
A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila)
A5: Aksiom akcije i reakcije
A6: Aksiom o vezama
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Sloboda kretanja i generalisane koordinate
Broj stepeni slobode kretanja n
Broj stepeni slobode kretanja n je broj me�usobno nezavisnihskalarnih parametara koji su potrebni i dovoljni da jednozna£noopi²u poloºaj (odn. kretanje) posmatranog sistema
Generalisane koordinate qi, (i = 1, 2, . . . , n)
Generalisane koordinate qi su usvojeni me�usobno nezavisniskalarni parametri (duºine i/ili uglovi) pomo¢u kojih sejednozna£no opisuje poloºaj (odn. kretanje) posmatranogsistema.
Generalisane koordinate su orjentisane (de�nisan smer)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Sloboda kretanja i generalisane koordinate
Slobodna materijalna ta£ka
Slobodna mat. ta£ka u 3D prostoru- broj stepeni slobode kretanja: n = 3- generalisane koordinate: q1 = x, q2 = y, q3 = z
Slobodna mat. ta£ka u ravni (Oxy)- broj stepeni slobode kretanja: n = 2- generalisane koordinate: q1 = x, q2 = y
Generalisani koordinatni sistemi
Osim Dekartovih koordinata xyz, mogu da se koriste i druge:
Polarno-cilindarske koordinate ρ, ϕ, z
Sferne koordinate R,ϕ, θ
. . .
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
Sloboda kretanja i generalisane koordinate
Slobodno kruto telo
Slobodno kruto telo u 3D prostoru- broj stepeni slobode kretanja: n = 6- generalisane koordinate:referentna ta£ka A: q1 = xA, q2 = yA, q3 = zAOjlerovi uglovi: q4 = ψ, q5 = ϑ, q6 = ϕ
Slobodno kruto telo u ravni (Oxy)- broj stepeni slobode kretanja: n = 3- generalisane koordinate: q1 = xA, q2 = yA, q3 = θ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Sadrºaj
1 Uvodna razmatranjaNapomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
2 Kinematika ta£kePoloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Poloºaj materijalne ta£ke
Poloºaj ta£ke u prostoru je odre�en me�usobnim odnosomta£ke i referentnog tela (posmatra£a)Referentno telo je pogodno izabran koordinatni sistemProstor u kome se nalazi i kre¢e ta£ka je opisan pomo¢uinercijalnog prostornog koordinatnog sistema
Poloºaj ta£ke je de�nisan kao vektor poloºaja koji je izraºen uodnosu na usvojeni koordinatni sistemObi£no se usvaja Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyzdesne orjentacije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Poloºaj materijalne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Poloºaj materijalne ta£ke
- Koordinate ta£ke P u odnosu na Oxyz . . . . . . . . . . . . P (x, y, z)
- Koordinate vektora poloºaja ta£ke P . . . . . . . . . . . .~r = {x, y, z}- Jedini£ni (bazni) vektori koordinatnog sistema . . . . . . . . . .~ı,~,~k
- Vektor poloºaja ta£ke:
~r = {x, y, z} = x~ı+ y~+ z~k
- Koordinate vektora poloºaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x, y, z
- Komponenete vektora poloºaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x~ı, y~, z~k
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Kona£na jedna£ina kretanja ta£ke
Ako se ta£ka P kre¢e, onda ona menja svoj poloºaj u tokuvremena, pa je
~r = ~r(t)
gde je t vreme
- Kona£na jedna£ina kretanja ta£ke, u vektorskom obliku je~r = ~r(t)
- Kona£ne jedna£ine kretanja ta£ke u skalarnom obliku, u odnosuna dekartove koordinate, su x = x(t) y = y(t) z = z(t)
- Ako je poznato ~r = ~r(t), onda je sve o kretanju ta£ke(na£elno) poznato
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Putanja (trajektorija) ta£ke
Putanja (trajektorija) ta£ke je geometrijsko mesto ta£aka ukojima se mat. ta£ka na²la tokom kretanja, odn. tokomvremena.
- Putanja je hodograf vektora poloºaja
- Kona£ne jedna£ine kretanja ta£ke su, u isto vreme i jedna£ineputanje u parametarskom obliku
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Putanja (trajektorija) ta£ke
- Eliminacijom parametra t se dolazi do jedna£ina trajektorije:
x = x(t)y = y(t)z = z(t)
⇒ f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z) = 0
- Jedna£ina trajektorije je linija koja je data kao presek dvepovr²i (u sistemu Dekartovih koordinata)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Trajektorija (putanja) i zakon puta
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Zakon puta s = s(t)
- Poznata je jedna£ina trajektorije
- Usvojena je lu£na koordinata s duº luka trajektorije
- Meri se iz poznatog (po£etnog) poloºaja na putanji (obi£not = 0) i u usvojenom smeru
- Zakon puta materijalne ta£ke je zavisnost s = s(t)
- Ako se poznaje trajektorija duº koje se kre¢e ta£ka i ako se znata£ka P0 od koje se meri lu£na koordinata s u datom smeru,
onda je sa s = s(t) u potpunosti odre�en poloºaj ta£ke usvakom trenutku
- To je prirodan na£in opisivanja poloºaja (odn. kretanja) ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Zakon puta
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Odre�ivanje zakona puta s = s(t) iz kona£nih jedn. kretanja
- U dva ∞ bliska poloºaja na liniji (putanji) elementarna tetivaje ≈ elementarnom luku:
|d~r| ≈ ds
- Kako je ~r = ~r(t) = {x(t), y(t), z(t)} to je
d~r = {dx, dy, dz} = {xdt, ydt, zdt}
- Intenzitet diferencijala vektora poloºaja je jednak
|d~r| =√dx2 + dy2 + dz2 =
√x2 + y2 + z2 dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Odre�ivanje zakona puta s = s(t) iz kona£nih jedn. kretanja
Diferencijal puta ds, prema relaciji |d~r| ≈ ds, dat je sa
ds =√dx2 + dy2 + dz2 =
√x2 + y2 + z2dt
- Integracijom se dobija zakon puta:
s =
∫ t
0ds =
∫ t
0
√x2 + y2 + z2dt ⇒ s = s(t)
odn. vremenska funkcija lu£ne koordinate s
- Sa poznatom trajektorijom i zakonom puta s = s(t) opisuje jekretanje ta£ke u prirodnim koordinatama τ, n, b
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Klasi�kacija kretanja ta£ke
Prema obliku putanje
Prema zakonu puta
Klasi�kacija kretanja ta£ke prema obliku putanje
Pravolinijsko kretanje
Krivolinijsko kretanje
Kretanje u 3D prostoru
Kretanje u ravni (ravan 2D prostor)
Kretanje po povr²i (zakrivljeni 2D prostor)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Klasi�kacija kretanja prema zakonu puta s = s(t)
Ravnomerno kretanje s(t) = at+ b
(konstantna brzina)
Jednoliko promenljivo kretanje s(t) = at2 + bt+ c
(konstantno ubrzanje)- jednako-ubrzano a > 0- jednako-usporeno a < 0
Periodi£no kretanje s(t) = s(t+ T ), T = const
Op²te kretanje s = s(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Sadrºaj
1 Uvodna razmatranjaNapomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike
2 Kinematika ta£kePoloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Vektor srednje brzine
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Brzina ta£ke
Posmatra se ta£ka u dva kona£no udaljena poloºaja P i P ′
u trenucima t i t1 = t+ ∆t
Srednja brzina (u intervalu ∆t = t1 − t):
~vsr =∆~r
∆t=~r(t+ ∆t)− ~r(t)
∆t
Trenutna brzina (u trenutku t) je grani£na vrednost srednjebrzine kada interval vremena teºi nuli (∆t→ 0)
~v = lim∆t→0
~vsr = lim∆t→0
~r(t+ ∆t)− ~r(t)∆t
=d~r
dt= ~r(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Vektor srednjeg ubrzanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Ubrzanje ta£ke
Srednje ubrzanje (u intervalu ∆t = t2 − t1):
~asr =∆~v
∆t=~v(t+ ∆t)− ~v(t)
∆t
Trenutno ubrzanje (u trenutku t) je grani£na vrednost srednjegubrzanja kada interval vremena teºi nuli (∆t→ 0)
~a = lim∆t→0
~asr = lim∆t→0
~v(t+ ∆t)− ~v(t)
∆t=d~v
dt=d2~r
dt2= ~r(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kinematika ta£ke
Kona£na jedna£ina kretanja, brzina i ubrzanje
Kona£na jedna£ina kretanja:
~r = ~r(t) ⇒ ~v = ~r(t) ~a = ~v(t) = ~r(t)
Dekartove koordinate Oxyz
~r = {x(t), y(t), z(t)}
~v = {x(t), y(t), z(t)}
~a = {x(t), y(t), z(t)}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Prirodni koordinatni sistem
Poznata je kona£na jedna£ina kretanja ~r = ~r(t)
Poznata trajektorija (kriva linija u prostoru)
Poznat zakon puta s = s(t)
Vektor poloºaja ta£ke se izraºava preko lu£ne koordinate s:~r = ~r(t) = ~r(s(t)) = ~r(s)
Prirodni koordinatni sistem je de�nisan u svakoj ta£ki krivelinije
Jedini£ni vektori (desne orjentacije) prirodnog sistema ~τ , ~n,~b
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Brzina i ubrzanje u prirodnim koordinatama
Prirodni koordinatni sistem ~τ , ~n,~b (u svakoj ta£ki krive)
- ort tangente: ~τ =d~r
ds
- vektor prve krivine (�eksije) ~K = d~τds | ~K| = 1
ρ
- ort glavne normale: ~n =~K
| ~K|⇒ d~τ
ds = 1ρ ~n
- ort binormale: ~b = ~τ × ~n
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Brzina i ubrzanje u prirodnim koordinatama
Vektor brzine (pravac tangente):
~v =d~r
dt=d~r
ds
ds
dt=ds
dt~τ = s~τ
Vektor ubrzanja (tangencijalno i normalno):
~a =d~v
dt=
d
dt(s~τ) = s~τ + s
d~τ
dt
kako je d~τdt = d~τ
dsdsdt = s 1
ρ ~n to se dobija
~a = s~τ +s2
ρ~n = ~aT + ~aN = ~aτ + ~an
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Brzina u prirodnim koordinatama
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Ubrzanje u prirodnim koordinatama
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kretanje ta£ke po kruºnici
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Kretanje ta£ke po kruºnici - brzina
Kruºnica polupre£nika R
Poloºaj ta£ke (lu£na koordinata ili centralni ugao):
s = s(t) ili ϕ = ϕ(t) jer je s = R · ϕ
Vektor brzine (pravac tangente):
~v = v~τ gde je v = s = R ϕ = Rω
Ugaona brzina ω = ϕ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Kretanje ta£ke po kruºnici - ubrzanje
Vektor ubrzanja (tangencijalno i normalno):
~a = ~aT + ~aN
Tangencijalno ubrzanje
aT = s = v = Rϕ = Rω = Rε
Ugaono ubrzanje ε = ω = ϕ
Normalno ubrzanje (ka centru krivine, odn. kruga)
aN =s2
ρ=v2
ρ=
(R ϕ)2
R= Rω2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Kretanje ta£ke po kruºnici - brzina i ubrzanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Kretanje ta£ke po kruºnici: primer
Materijalna ta£ka se kre¢e jednako-ubrzano po kruºnoj putanjipolupre£nika R=25m. Polaze¢i iz mirovanja, ta£ka pre�e lukduºine 50m za 10 sec. Odrediti brzinu i ubrzanje ta£ke u tomtrenutku.
Jednako-ubrzano kretanje zna£i da je tangencijalno ubrzanjekonstantno: aT = const
Kako je aT = v = s, to se, imaju¢i u vidu po£etne uslovekretanja (t = 0 : s0 = 0, v0 = 0), kao i aT = const, dobija:
aT =dv
dt⇒ dv = aTdt ⇒ v = aT t
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Kretanje ta£ke po kruºnici: primer
Kako je v = s, kao i v = aT t, to se dobija
ds
dt= v ⇒ ds = at tdt ⇒ s =
1
2aT t
2
odakle se dobija relacija
aT =2 s
t2
Unose¢i zadate numeri£ke vrednosti, dobija se vrednostkonstantnog ubrzanja:
aT =2× 50
102= 1.0m/s2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke
Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje
Prirodni koordinatni sistem
Kretanje ta£ke po kruºnici: primer
Sa ovim se dobija brzina u trenutku t = 10 sec:
v = aT t = 1.0× 10 = 10m/s
Normalno ubrzanje je dato sa
aN =v2
ρ=
102
25= 4m/s2
tako da je ukupno ubrzanje u tom trenutku jednako
a =√a2T + a2
N =√
17 = 4.123m/s2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2