1

1

TECNICA DELLE TECNICA DELLE COSTRUZIONI COSTRUZIONI

ESERCITAZIONIESERCITAZIONI

2

Corollari di Mohr• L’ordinata h(z) e la rotazionef(z), in un punto genericodella trave data, sono ugualirispettivamente al momentofittizio M*(z) e alla forza ditaglio fittizia T*(z) della traveausiliaria, pensata caricatacon il diagramma dellecurvature:

q*(z)=M(z)/EJ(z)

2

3

•Le rotazioni fA e fB agliestremi della trave realesono uguali alle reazionifittizie RA* e RB* dovute alcarico

q*(z)=M(z)/EJ(z)(curvatura)

anch’esso pensato applicatoalla trave ausiliaria.

4

Esercizio 1:Determinare l’abbassamento e la rotazione nel punto 2 della seguente struttura:

3

5

Struttura Reale

Cinem. Static . Cinem. Static .

h1=0 M1≠0 h2≠0 M2=0 f1=0 T1≠0 f2≠0 T2=0

M1*=0 M2*≠0

T1*=0 T2*≠0

Struttura Ausiliaria

Cinem. Static . Cinem. Static .

h1=0 M1≠0 h2≠0 M2=0 f1=0 T1≠0 f2≠0 T2=0

6

Soluzione:Individuiamo subito le reazioni vincolari grazie alle equazioni d’equilibrio:

E’ semplice determinare i diagrammi di azione interna:

4

7

Dal diagramma del momento otteniamo il diagramma delle curvature infatti:

Sappiamo poi che il carico fittizio sarà pari alla curvatura:

-

-

8

La struttura di servizio viene caricata con il carico fittizio.

Per conoscere l’abbassamento nel punto d’incastro dovremo calcolarci il momento flettente che compete a quell’estremo:

5

9

L’abbassamento coincide proprio con il momento

dell’incastro:

10

La reazione fittizia della trave ausiliaria V2* vale:

V2* = (PL/EJ)*L*(1/2) = PL2/2EJ =f2

6

11f2 = PL2/2EJ

h2 = PL3/3EJ

12

Esercizio 2:Data la seguente struttura determinare la rotazione dei 2 nodi estremi “o” ed “i” e l’abbassamento in mezzeria.

7

13

Ricerca della struttura ausiliaria

M1*=0 M2*=0

T1* ≠0 T2*≠0

Struttura Ausiliaria

Struttura Reale

Cinem. Static . Cinem. Static.

h1= 0 M1=0 h2= 0 M2= 0 f1 ≠ 0 T1≠0 f2≠ 0 T2 ≠ 0

14

Soluzione:Determiniamo in primo luogo le reazioni vincolari:

8

15

Per calcolare il momento dividiamo la trave in 2 campi omogenei usando una diversa ascissa curvilinea x per ogni campo. Nei 2 tratti l’espressione del momento sarà simile:

16

Da questo diagramma si ottiene quello delle curvature e quindi quello del carico fittizio

+

9

17

STRUTTURA AUSILIARIA

Dove la risultante di quei 2 triangoli sarà pari a:

Con le solite equazioni d’equilibrio determiniamo le reazioni vincolari:

18

E le rotazioni incognite saranno pari al taglio nella struttura ausiliaria:

Infatti gli abbassamenti positivi vanno dall’alto versoil basso mentre le rotazioni saranno positive seorarie e negative se antiorarie.

10

19

Q* = area triangolo = R1*

hm = M*m= R1

*(L/2) – Q*(1/3)(L/2) = PL3/48EJ

hm= PL3/48EJ

20

Esercizio 3:Data la seguente struttura determinare la rotazione dei 2 nodi estremi “o” ed “i” e l’abbassamento in mezzeria.

11

21

Soluzione:Dato che la struttura non è iperstatica la variazione termica non produce momento, però deforma la trave producendo una rotazione pari a :

e dato che la curvatura è pari al carico fittizio R(x) = q * la struttura di servizio sarà:

(dove h è l’altezza della sezione)

22

Determiniamo le reazioni vincolari:

12

23

Per conoscere le rotazioni ai nodi dovremo esprimere il taglio fittizio:

Valutandolo alle estremità otteniamo le rotazioni cercate:

24

Abbassamento in mezzeria:h = (aDTl/h) (l/2) – (2aDT/h) (l/2)(l/4)

h = (aDTl2/2h) - (aDTl2/4h) = (aDTl2/4h)