Technische Mechanik II Festigkeitslehre -...

Technische Mechanik II

Festigkeitslehre

Prof. Dr.-Ing. Peter Heinze

Hochschule Wismar

FB MVU

Satz in LATEX: Marcus Biank

2010

Inhaltsverzeichnis

1 Einfhrung 4

1.1 Spannungsbegri, ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . 61.2 Der rumliche Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Vorzeichen der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen in or-

thogonalen Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Materialgesetz, Hook'sches Gesetz 14

2.1 Der Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Elastisches und Plastisches Werkstoverhalten . . . . . . . . . . 182.3 Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Stogesetz fr Gleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Verallgemeinertes Hook'sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1 Hooke'sches Gesetz fr den ebenen Spannungszustand. . . 222.5.2 Hook'sches Gesetz fr den rumlichen Spannungszustand 232.5.3 Bercksichtigung des Temperatureinusses . . . . . . . . 23

3 Transformation der Spannungsmatrix 25

3.1 Transformation des ebenen Spannungszustandes . . . . . . . . . . 253.1.1 Spannungen an Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Hauptspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.3 Mohr'scher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Transformation des rumlichen Spannungszustandes . . . . . . . 32

4 Zug, Druck und Scherung 35

4.1 Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.1 Beispiel Flaschenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.2 Beispiel: Zugstab mit geschraubtem Anschluss . . . . . . 37

4.2 Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.1 Druckbeansprungen bei stabfrmigen Krpern . . . . . . 374.2.2 Pressungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Spannungshypothesen 41

5.1 Hypothese von der Gestaltsnderungsenergie . . . . . . . . . . . 425.1.1 Gestaltsnderung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Die Schubspannungshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Hauptspannungshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

INHALTSVERZEICHNIS 2

5.4 Experimentell entwickelter Vergleichswert fr Schweinhte nachDIN 18800 (11.90) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Spannungen aus Biegung und Normalkraft 45

6.1 Beanspruchung allein durch N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Beanspruchung allein durch My . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Beanspruchung allein durch Mz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Beanspruchung durch N , My und Mz . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.4.1 Die Groe Biegeformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.4.2 Biegung stark gekrmmter Stbe . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 Normalspannungen x von Verbundquerschnitten mit verschie-denen E-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.5.1 Der gewichtete Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.5.2 Spannungen aus Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5.3 Spannungen aus dem Biegemoment . . . . . . . . . . . . . 60

7 Flchenmomente 62

7.1 Flchenmomente 1. Ordnung, statische Momente . . . . . . . . . 627.2 Flchenmomente 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2.1 Flchenmomente fr ein rechtwinkliges Dreieck . . . . . . 647.3 Transformation des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3.1 Translation des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . 677.3.2 Rotation des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . 70

7.4 Tabellarische Ermittlung der Flchenmomente zusammengesetz-ter Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8 Dierentialgleichung der Biegelinie 74

8.1 Allgemeine Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.2 Berechnung der Biegelinie mit der Mohrschen Analogie . . . . . 76

9 Schubspannungen aus Querkraft 79

9.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.2 Schubspannungen infolge von Querkraft am Rechteckquerschnitt 839.3 Schubspannungen infolge von Querkraft bei dnnwandigen Quer-

schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4 Der Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10 Torsion 91

10.1 Wlbkrafttorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.2 St. Venant Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10.2.1 Kreis und Kreisquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2.2 Schubspannungen bei Torsion nicht kreisfrmiger Vollquer-

schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.2.3 Torsion dnnwandiger einfach geschlossener Querschnitte 10010.2.4 Torsion dnnwandiger oener Prole . . . . . . . . . . . . 106

11 Arbeitssatz 109

11.1 Eigenarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.2 Verschiebungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11111.3 Gilt das Superpositionsprinzip auch fr Arbeiten? . . . . . . . . 11211.4 Bettischer Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit . 113

INHALTSVERZEICHNIS 3

11.5 Maxwellscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11511.6 Aufgabenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12 Kraftgrenverfahren 123

12.1 Beispiel fr das Kraftgrenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 12612.1.1 Statisch bestimmtes Hauptsystem . . . . . . . . . . . . . 12612.1.2 Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

13 Stabilittsprobleme 130

13.1 Die wichtigsten Stabilittsflle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13113.2 Die Stabknickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

13.2.1 Der Eulersche Knickstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13213.2.2 Die Form der Knickbiegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . 13513.2.3 Eulerflle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13513.2.4 Ideale Knickspannung und Eulerhyperbel . . . . . . . . . 13613.2.5 Tetmajer Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.2.6 Stabilittsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

14 Literatur 139

Kapitel 1

Einfhrung

In der Starrkrperstatik wurden ebene und rumliche statisch bestimmte Trag-werke behandelt. Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen werden die Aua-gerreaktionen bestimmt und bei stabartigen Tragwerken knnen Schnittgrenberechnet werden. Die Starrkrperstatik ist jedoch immer auf statisch bestimm-te Systeme beschrnkt.

In der Elastostatik wird durch die Einfhrung eines Materialgesetzes die Be-stimmung des Krftespiels im Inneren des Krpers und der Verformung mg-lich. Damit knnen auch statisch unbestimmte Tragwerke analysiert werden.Die Festigkeitslehre beschftigt sich mit der Analyse der Beanspruchung derTragstrukturen, sie hat letztlich die Frage zu beantworten, wie weit die tatsch-liche Beanspruchung einer Konstruktion von der Beanspruchung entfernt ist, diezu ihrem Versagen fhrt.

Ein Ma fr die Beanspruchung eines Materialpartikels ist die mechanischeSpannung. Diese Spannung, auf die in dem folgenden Kapitel nher eingegangenwird, ist im Allgemeinen durch Betrachtung der Gleichgewichtsbedingungen amverformten System zu bestimmen.

Glcklicherweise sind die Verformungen bei den meisten Tragwerken sehr klein,so dass es gengt, das Gleichgewicht am unverformten System anzuschreiben.

Man spricht hier von linearer Theorie oder Theorie 1. Ordnung.

Fr einige Problemstellungen ist es jedoch erforderlich, das Gleichgewicht amverformten System zu betrachten und zu untersuchen, ob sich nach einer St-rung des Gleichgewichtszustands wieder das ursprngliche Gleichgewichtszu-stand einstellt. Zu diesen Problemen gehren die Stabilittsprobleme, die mitder Theorie II. Ordnung behandelt werden.

Fr folgenden Fall ist die lineare Theorie ausreichend:

4

KAPITEL 1. EINFHRUNG 5

$

? ?

?................

..............

.............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............

..............

...............I

.

............................................

..........................................

........................................

.....................................

...................................

.................................

..............

..............

..

..................

..........

.

............................................

.............................................

.............................................

..............................................

..............

..............

..............

.....

.....................

....................

.......

M

Q

Im Gegensatz dazu ist fr Stabilittsflle die Theorie 2. Ordnung erforderlich,da das Einspannungsmoment infolge der Verschiebung v wchst, was wiederumeine Vergrerung der Verschiebung zur Folge hat.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................

...................................

....................................

v? ?

In den folgenden Kapiteln wird es dementsprechend um die Fragen gehen, wassind Spannungen?, welche Eigenschaften haben sie?, wie hngen sie mit denVerformungen zusammen?.

Die letzte Fragestellung fhrt uns zu Materialgesetzen, von denen das Hoo-ke'sche Gesetz eine besondere Bedeutung hat.

Als weitere Fragen werden behandelt:

Wie werden Spannungen bei Stabtragwerken bestimmt, wie Verschiebun-gen?

Wie werden Spannungen aus Normalkraft, Biegemomenten und Querkrf-ten zu Vergleichsspannungen zusammengefasst, um sie mit den Ergebnis-sen am einachsigen Zugversuch zu vergleichen?

In den weiteren Kapiteln werden Methoden gezeigt, wie die Schnittgren beistatisch unbestimmten Systemen zu bestimmten sind.

Schlielich wird der Knickstab als einfaches Stabilittsproblem behandelt.


1.1 Spannungsbegri, ebener Spannungszustand

Auf einen Stabquerschnitt wirken im ebenen Fall drei, im rumlichen sechsSchnittgren.

Wir wollen uns zunchst darauf beschrnken, dass auf dem Querschnitt einzigeine Normalkraft wirkt. Sie greift denitionsgem im Schwerpunkt der Quer-schnittsche an. Die Normalkraft muss von den Materialpartikeln des Quer-schnitts aufgenommen und weitergeleitet werden.

CCCCCCCCC

PP

PPPP

PP

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

y PPPPPPPPq x

?z

S

A

Auf ein Teilstck der Gre A (A 0) wirke die Teilkraft N .Lsst man A immer kleiner werden so wird aus dem Quotienten NA durchden Grenzbergang A 0:

limA0

NA

= (1.1)

Das Ergebnis des Grenzbergangs wird als mechanische Spannung bezeichnet.Die Dimension der Spannung ist Kraft durch Flche, z.B. kNcm2 ;

Nmm2 .

In den Werkstowissenschaften wird gern die Einheit Pascal (Pa) verwendet.

Es gilt die Beziehung:

1Pa = 1N

m2; 1MPa = 1

N

mm2

Wirken die Spannungskomponenten parallel zur Stabachse, der x - Achse, sowrden sie mit xx oder abgekrzt x bezeichnet.


Selbstverstndlich muss die Summierung der Spannungen ber den Querschnittwieder die Normalkraft ergeben.

Es muss gelten: A

x dA = N (1.2)

Abbildung 1.1: Gleichverteilte Normalspannungen

Andererseits darf wegen der Voraussetzung, dass nur Normalkraft wirke, auchkein Moment auftreten.

Es muss also auch gelten:

My =A

x z dA = 0 (1.3)

Mz = A

x y dA = 0 (1.4)

Abbildung 1.2: Linear verteilte Normalspannungen

Wir betrachten hier Spannungen infolge von Schnittgren bei Stben. Stbesind solche Gebilde, bei denen zwei Ausdehnungen des Raumes (Breite und H-he) klein gegenber einer dritten Ausdehnung (Lnge) sind.


Wie spter noch gezeigt werden wird, sind die Bedingungen (1.2 ) bis (1.4) er-fllt, wenn die Spannungen konstant ber den Querschnitt verteilt sind.

Bei Spannungen, die nur aus einer Normalkraft herrhren, gilt also

x =N

A

Greift nur ein BiegemomentMy an und ist der Querschnitt zur Y- oder Z-Achsesymmetrisch, so ergibt sich die Spannungsverteilung ber der Hhe

x =MyIy z,

worin Iy eine Querschnittsgre ist, die Flchentrgheitsmoment genanntwird.

Iy =A

z2 dA (1.5)

Abbildung 1.3: Spannungsverteilung bei Biegemomentenbelastung in y-Richtung

Bei einem zu einer Achse symmetrischen Querschnitt, der nur durch ein Biege-moment Mz beansprucht ist, ergibt sich die Spannungsverteilung zu

x = MzIz y,


worin Iz =Ay2 dA ist.

Abbildung 1.4: Spannungsverteilung bei Biegemomentenbelastung in z-Richtung

Die Normalkraft N und die Biegemomente My und Mz erzeugen also Spannun-gen im Querschnitt.

Diese Spannungen nennt man Normalspannungen x; sie wirken auf der Schnitt-che, deren Flchenauennormale parallel zur x - Achse steht und die Richtungder x Spannung zeigt ebenfalls in Richtung der x - Achse.

Die Querkrfte Qz erzeugen ebenfalls Spannungen, sie werden Schubspannun-gen xz genannt.

Sie wirken auch auf die Schnittche, deren Auennormale die x - Achse ist,aber zeigen in die Richtung der z - Achse, daher ist ihr Name xz. Die Schub-spannungen wirken also in der Ebene nach der sie bezeichnet sind.

A

xz dA = Qz (1.6)

Die Verteilung der Schubspannung infolge Querkraft ber einen Rechteckquer-schnitt ist parabelfrmig:

Abbildung 1.5: Schubspannungen


ber die Querschnittsbreite ist ihre Verteilung konstant, oben und unten gehtsie auf Null und ihr Maximalwert ergibt sich zu

xy,max = 1.5 QzA

Er liegt auf der Hhe des Flchenschwerpunktes.

Wie noch gezeigt werden wird, gibt es auch Schubspannungen zx, die in dergleichen Gre auftreten.

Sie wirken in der Ebene, deren Flchennormale parallel zur z - Achse ist undzeigt in die x - Richtung.Auch Torsionsmomente haben Schubspannungen zur Folge.

1.2 Der rumliche Spannungszustand

Bisher wurden die Spannungen eines Stabes betrachtet, der durch Biegemomen-te, die Querkraft Qz und durch die Normalkraft belastet war.

Bei einem allgemein rumlich belasteten Krper knnen neun Spannungskom-ponenten auftreten, die sich jedoch auf sechs Komponenten reduzieren lassen.

Abbildung 1.6: Rumlicher Spannungszustand

Es erscheinen drei Normalspannungen x, y und z, die auch mit xx, yy undzz bezeichnet werden.

yz

Ort Richtung

@@

-

?

x

z

y

x wirkt auf der Flche, deren Auennormale parallel zur x-Achse ist,


y wirkt auf der Flche, deren Auennormale parallel zur y-Achse ist,und z entsprechend.

Abbildung 1.7: Normalspannungen

Die Normalspannungen wirken auch jeweils parallel zur Koordinatenachse, nachder sie indiziert sind.

Analog ist es mit den Schubspannungen; ihr erster Index gibt jeweils die Flchean, auf der sie wirken, der zweite die Richtung, in der sie wirkt.

Die 9 Spannungen kann man auch zu einer Spannungsmatrix zusammenfassen:

x xy xzyx y yzzx zy z

Auf der Hauptdiagonalen stehen die Normalspannungen, die anderen Elementesind mit Schubspannungen besetzt und zwar so, dass der erste Index zeilenweise,der zweite Index spaltenweise hochgezhlt wird.

1.2.1 Vorzeichen der Spannungen

In der Darstellung sind die Spannungen in positiver Richtung dargestellt.

Wie bei den Schnittgren wird auch bei den Spannungen der Begri des posi-tiven Schnittufers gebraucht.

Positiv ist ein Schnittufer, wenn die Auennormale in die positive Richtungder Koordinatenachse zeigt.


Positive Spannungen liegen vor, wenn am positiven Schnittufer die Spannungenin die positive Koordinatenrichtung zeigen.

Darum zeigen in der Darstellung nur die Spannungsvektoren z, zx und zy indie negative Koordinatenrichtung, alle anderen in die positive.

Die positiven Normalspannungen sind stets Zugspannungen, die Schubspannun-gen laufen an den Ecken aufeinander zu oder voneinander weg.

1.2.2 Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen

in orthogonalen Schnitten

Die folgende Betrachtung des Momentengleichgewichts am dierentiellen Ele-ment zeigt, dass die Spannungsmatrix symmetrisch ist, und dass gilt:

xy = yx

- x

6y

Dicke (t)r0

dx

yx

yx +yxy dy

-

dy

xy

?xy +

xyx dx6

Abbildung 1.8: Schubspannungen in orthogonalen Schnitten

Die Skizze zeigt die Schubspannungen an einem Element der Gre dx dy undder Dicke t.

An der linken und unteren Kante sind xy und yx angetragen, whrend an derrechten und der oberen auch die Zuwchse xyx dx und

yxx dy bercksichtigt

wurden.

Bildet man das Momentengleichgewicht um 0 , so erhlt man:

xy dy tdx

2 yx dx t

dy

2+(xy +

xyx

d x

)dy t

dx

2(yx +

yxx

d y

)dy t

dy

2= 0

Die (nicht dargestellten) Normalspannungen liefern keinen Anteil, da ihre Teil-resultierenden durch den Punkt 0 gehen.


Fasst man das Momentengleichgewicht zusammen und vernachlssigt die Ter-me, die von hherer Ordnung klein sind, so erhlt man:

xy dx dy dz yx dx dy dz = 0, woraus folgt: xy = yx

Dieses Ergebnis lsst sich zum Satz von der Gleichheit einander zugeordneterSchubspannungen verallgemeinern:

In je zwei zueinander senkrechten Ebenen sind die zur Schnittlinie der Ebenensenkrechten Schubspannungen einander gleich.

xy = yx xz = zx yz = zy

Kapitel 2

Materialgesetz, Hook'sches

Gesetz

Das Materialgesetz (oder Stogesetz) beschreibt den Zusammenhang zwischenden Spannungen und einer Deformationsgre, den Dehnungen.

Dehnung Der Quotient aus der Lngennderung l und der Ausgangslngel heit Dehnung . Betrachtet man einen Stab der Lnge l, auf den die ZugkraftF wirkt,

- F

-l

-l

so ist:

=ll

=neue Lnge - alte Lnge

alte Lnge(2.1)

- - x, u

14

KAPITEL 2. MATERIALGESETZ, HOOK'SCHES GESETZ 15

Betrachtet man den gleichen Stab unter gleicher Belastung und trgt die Ver-schiebung u(x) ber x auf, so erhlt man

- x

6

u

"""""""""""""

x1 x2

l

l

u(x1)u(x2)

Abbildung 2.1: Verschiebung

An der Stelle x = l liegt die die Verschiebung u = l vor, an der Stelle x1erhlt man die Verschiebung u(x1) und bei x2 = x1 + x die Verschiebungu(x1 + x). Bildet man nun den Dierenzenquotient an den Stellen x1 undx2 und macht den Grenzbergang x = x2 x1 0, so kommt man zurallgemeinen Formulierung:

(x) = limx0

u(x+ x) u(x)x

=du

dx

Bercksichtigt man, dass die Verschiebung u auch eine Funktion der Koordina-ten y und z sein kann und Verschiebungen auch in y und z-Richtung vorliegenknnen,so erhlt man:

x =u

x

y =v

y

z =w

z(2.2)

Die Dehnung x, y, z ist die nderung (partiellen Ableitung) einer Verschie-bung (u, v, w) in die zugeordnete Koordinatenrichtung x, y, z.

2.1 Der Zugversuch

Die Dehnungseigenschaften eines Materials werden durch einen genormten Zug-versuch gewonnen. Hierbei wird die Kraft so langsam aufgebracht, dass ihr Deh-nungszustand stets der Spannung entspricht ( statische Lastaufbringung )


Abbildung 2.2: Lastaufbringung beim Zugversuch

Abbildung 2.3: Verschiebung beim Zugversuch

Nach Aufbringen der vollstndigen Last stellt sich die Verlngerung lstat. ein.Brchte man die Last sofort in voller Gre auf (dynamische Lastaufbringung),so wrde die Verlngerung l zunchst bis auf 2lstat wachsen und schwingen.Infolge der Dmpfung werden die Amplituden geringer. Schlielich wird sich dasgleiche l wie bei statischer Lastaufbringung einstellen.Zur Auswertung des Zugversuchs wird die Dehnung ber der zugehrendenSpannung aufgetragen. Diese Darstellung nennt man das Spannungs-Dehnungsdiagrammoder kurz -Diagramm.


Abbildung 2.4: Spannungs-Dehnungsdiagramm

Betrachtet man das - - Diagramm bei Stahl S235, so nden sich folgendeBereiche.Zunchst zeigt sich ein Bereich, bei dem die Spannungen geradlinig von abhngen. In diesem Proportionalittsbereich, der bis zum Index P reichtgilt: = E

Die Gre E nennt man den Elastizittsmodul; sie ist fr technische Anwendun-gen in weiten Bereichen konstant.

Diese Beziehung wurde von Robert Hooke (1635-1703) 1660 in Form eines Ana-gramms verentlicht (UT TENSIO SIC VIS) und gilt fr viele technische Werk-stoe. Dem Proportionalittsbereich schliet sich ein kleiner nichtlinearer Be-reich bis zum Kennzeichen E an.

Nach einem weiteren nichtlinearen Ansteigen kommt das Kennzeichen F, dieFliegrenze, die Spannung fllt und steigt ber wachsender Dehnung. DieserBereich wird Fliebereich genannt. Von der Werkstowissenschaft wird er miteiner Umstrukturierung des Kristallgitters erklrt.

Dem Fliebereich schliet sich der Verfestigungsbereich an, in dem die Spannungwieder bis zum Bruch (Kennzeichen B) steigt. Kurz vor dem Bruch tritt eineEinschnrung des Querschnitts auf. Nach der grten Spannung fllt die Nenn-spannung (Kraft durch Ausgangsquerschnittsche) wieder ab, bis der Prfkr-per vollstndig getrennt ist. Betrachtet man an Stelle der Ausgangsche diedurch die Einschnrung stark kleiner werdende wirkliche Querschnittsche, sosteigt die wirkliche Spannung bis zur endgltigen Trennung weiter an.

Vom Ursprung bis zur Elastizittsgrenze ist der elastische Bereich. Steigert mandie Spannung nicht hher als E und fhrt sie dann zurck, so kommt die Probe


wieder in ihre Ausgangskonguration zurck.

Der Bereich von der Elastizittsgrenze bis zum Bruch wird plastischer Bereichgenannt. Steigert man die Spannung bis in den plastischen Bereich und entlas-tet die Probe wieder, so ist die Entlastungsgerade eine Parallele zur Geraden imlinear elastischen Bereich. Es bleibt eine bleibende Verformung.

2.2 Elastisches und Plastisches Werkstoverhal-ten

linear nicht linear

elastisch

-

6

-

6

...........................................

.......................................

......................................

.....................................

.....................................................................

.................................................................

.

........................................

.......................................

.....................................

....................................

...................................

..................................

.................................

................................

plastisch

-

6

-

6

...........................................

.......................................

......................................

.....................................

.....................................................................

.................................................................

.

.............................

............................

...........................

..........................

..........................

...........................

............................

.............................

Beispiel

-

6

ideal linearelastischideal plastisch

-

6

......................................

..................................

.................................

........................................................................................................................ ...........................

Aluminium

elastisch: Belastungskurve stimmt mit Entlastungskurve berein

plastisch: Belastungskurve und Entlastungskurve stimmen nicht berein(bleibende Verformung)

Reale Materialien haben elastische und plastische, lineare und nichtlineare Be-reiche. Fr die Bearbeitung mechanischer Probleme sind Idealisierungen not-wendig. Oft gengt es mit dem Hooke'schen Gesetz = E zu rechnen. ImStahlbau wird mit linear elastischem und ideal plastischem Verhalten ( bilinea-res - -Diagramm ) gerechnet.

Der E-Modul ist eine Materialkonstante.


Material E [N/mm2] T [1/C]

Stahl 2, 1 105 1, 2 105

Aluminium 0, 7 105 2, 3 105

Beton 0, 3 105 1, 0 105

Holz-Faser 0, 7...1, 6 104 2, 2...3, 1 105

Gusseisen 1, 0 105 0, 9 105

Kupfer 1, 2 105 1, 6 105

Messing 1, 0 105 1, 8 105

Tabelle 2.1: bersicht ber E-Module unterschiedlicher Werkstoe

Beispiel:

l = 4m

- N = 70kN

geg: N = 70kN

A = 10cm2

E = 2, 1 105 Nmm2

ges: l

Lsung: = NA

= 70103N

10102mm2 = 70N

mm2

= E

= E

= 70N/mm2

2,1105N/mm2 = 3, 33 104

= ll l = l = 3, 33 104 4 103

l = 1, 333mm


2.3 Querkontraktion

6

- F

- lx -l

- x

y

6

?

ly 6

?ly

2

Abbildung 2.5: Querkontraktion

Betrachtet man die Verformungen eines Stab unter Zugkraft genauer, so zeigtsich, dass neben der Verlngerung lx der Stab schmaler geworden ist.

Diese Verzerrung nennt nennt sie Querdehnung.

y =lyly

(2.3)

Es gilt der Zusammenhang

y = x

wird Querkontraktionszahl genannt. Bei Stahl gilt = 0, 3 bei Kunststo 0, 4. Es gelten die Grenzen der Querkontraktion

0 6 6 0, 5

Der Wert = 0, 5 gilt beispielsweise fr Gummi. Die Volumendehnung v be-trgt dann

v = x + y + z = 0

.


2.4 Stogesetz fr Gleitung

6y

-x

% $

yx

-yx

6xy

?

xy

H xy

.

......

.............

..

..

..

..

..

verformte Konguration

Abbildung 2.6: Gleitung

Wirken auf eine Scheibe ausschlielich Schubspannungen, so verndert sie ihreForm so, dass aus einem Rechteck ein Parallelogramm wird. Der Winkel, um densie verzerrt wird, wird als Gleitwinkel oder Ingenieursgleitung xy oder einfachGleitung bezeichnet.Wie bei den Normalspannungen x und den Dehnungen besteht auch hier einlinearer Bereich fr den gilt: xy = G xy ( mit dem Gleitmodul G ). G istebenso wie E eine Materialkonstante.

E und G sind nicht unabhngig voneinander, ist der Werksto isotrop und ho-mogenen so besteht der Zusammenhang:

G =E

2 (1 + )(2.4)

Fr Stahl ergibt sich:

G =2, 1 104

2 (1 + 0, 3)= 0, 8077 104 kN/cm2

Wie der Elastizittsmodul hat der Gleitmodul die Einheit einer Spannung. Erwird auch hug als Schubmodul bezeichnet.


2.5 Verallgemeinertes Hook'sches Gesetz

Es gilt fr homogene isotrope elastische feste Krper

Homogenitt: gleiche Zusammensetzung des festen Krpers bis in die kleinsten Teile

Dehnungen sind stetige Funktionen der Ortskoordinaten

Isotropie: gleiche elastische Eigenschaften nach allen Richtungen

2.5.1 Hooke'sches Gesetz fr den ebenen Spannungszu-

stand.

Ein ebener Spannungszustand liegt vor, wenn nur in zwei Koordinatenrichtun-gen Spannungen wirken.

Beispiel:

6y

-x z

- x

6y

6

xy

-yx

z = 0 , zx = xz = 0

Abbildung 2.7: ebener Spannungszustand

Die Dehnungen setzen sich aus einem Anteil infolge der Normalspannung xbzw. y und einem aus der Querkontraktion infolge der Normalspannung ybzw. x zusammen:

x =xE y

E=

x yE

y = xE

+yE

= x + y

E

z = xE y

E=

E (x + y)


Es tritt auch eine Dehnung z auf, obwohl (besser weil) in z-Richtung keineSpannung wirkt!

Die Spannungen ergeben sich daraus:

x =E

(1 2) (x + y)

y =E

(1 2) ( x + y)

z = 0 (2.5)

2.5.2 Hook'sches Gesetz fr den rumlichen Spannungs-

zustand

In Erweiterung des ebenen Spannungszustandes ergibt sich fr den rumlichenSpannungszustand:

x =1E [x (y + z)]

y =1E [y (x + z)]

z =1E [z (x + y)]

und die Spannungen als Funktion der Dehnungen ergeben sich:

x =E

(1 + )[x +

(1 2 ) (x + y + z)

]

y =E

(1 + )[y +

(1 2 ) (x + y + z)

]

z =E

(1 + )[z +

(1 2 ) (x + y + z)

](2.6)

2.5.3 Bercksichtigung des Temperatureinusses

Die Erwrmung eines Krpers fhrt zu dessen Ausdehnung. Diese Wrmeaus-dehnung folgt dem Gesetz T = T T wobei der Wrmeausdehnungskoezi-ent T in den uns interessierenden Temperaturbereichen eine Materialkonstanteist. Die Gleitungen werden durch die Erwrmung nicht verndert. Damit erhltdas verallgemeinerte Hooke'sche Gesetz die Form:


x =

elastisch 1E [x (y + z)] +

temp T T

y =1E [y (x + z)] + T T

z =1E [z (x + y)] + T T

xy =1G xy

yz =1G yz

zx =1G zx

(2.7)

Kapitel 3

Transformation der

Spannungsmatrix

3.1 Transformation des ebenen Spannungszustan-des

3.1.1 Spannungen an Schnitten

Der ebene Spannungszustand ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Spannungenin einer Ebene wirken.

Wie bereits gezeigt treten Dehnungen jedoch in drei Richtungen auf.

-x

6y

????????????

666666666666

------------

------

666666

??????

x x

y

y

xy xy

yx

yx

(t)

Abbildung 3.1: ebener Spannungszustand

Am dargestellten Element der Gre dx dy und der Dicke t wirken die Span-nungen x, y und xy.

Die Spannungen seien ber die Dicke t konstant verteilt und das Element sei imGleichgewicht.

25

KAPITEL 3. TRANSFORMATION DER SPANNUNGSMATRIX 26

Fhrt man einen gedachten Schnitt unter dem Winkel durch das Element undtrgt die dabei frei werdenden Spannungen und an, so muss sich diesesTeilelement auch im Gleichgewicht benden.

- x

6

y

d sind cos

x

-----------

x

????????????????????y

66666666666666666666

y

????

xy

6666

xy

--------

- x

6

y

HHHY

a

x

????????????????????y

????

xy

HHHH

HHHHH

HYHYHYHYHYHY

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.............

.............

...............

K

Abbildung 3.2: Spannungen an geschnittenem Element

Das Gleichgewicht in -Richtung liefert:

F = 0 = d t y dx t sin

xy dx t cos

x dy t cos

xy dy t sin

mit

dx = d sin

dy = d cos

und nach einer Division durch d t erhlt man:

0 = y sin2 xy sin cos

x cos2 xy cos sin

= x cos2 + y sin2 + 2 xy cos sin


Das Gleichgewicht in -Richtung liefert:

F = 0 = d t y dx t cos

+xy dx t sin

+x dy t sin

xy dy t cos

mit

dx = d sin

dy = d cos

und nach einer Division durch d t erhlt man:

0 = y sin cos+ xy sin2

+x sin cos xy cos2

= (y x) cos sin+ xy (cos2 sin2 )

- x

6

y

d sind cos

x

-----------

x

????????????????????y

66666666666666666666

y

????

xy

6666

xy

--------

- x

6

y

d

-----------

x

????????????????????y

6666

xy

*

AAAAAAK

AAK AAK AAKAAK AAK AAKAAK AAK AAKAAK

******

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

K

Abbildung 3.3: Spannungen an geschnittenem Element

Die Gleichgewichtsbetrachtung eines zweiten Schnittes liefert die Formeln:


= x cos2 + y sin2 + 2 xy cos sin

= x sin2 + y cos2 + 2 xy cos sin

= (y x) cos sin+ xy (cos2 sin2 )

(3.1)

Fhrt man die Beziehungen

cos2 =12 (1 + cos 2)

sin2 =12 (1 cos 2)

sin cos = 12

sin 2

in (3.1) ein, so erhlt man:

=12 (x + y) +

12 (x y) cos 2+ xy sin 2

=12 (x + y)

12 (x y) cos 2 xy sin 2

= 12 (x y) sin 2+ xy cos 2

(3.2)

In dieser Form ndet man die Transformationsbeziehungen hug in Formelsamm-lungen.

3.1.2 Hauptspannungen

Nach den Gleichungen (3.1) bis (3.2) sind die Normalspannungen und eineFunktion des Koordinatensystems oder des gewhlten Drehwinkels .

Sie nehmen dort ein Extremum an , wo die erste Ableitung d()d verschwindet.


d()d

=d

d

[12 (x + y) +

12 (x y) cos 2+ xy sin 2

]

=12 (x y) 2 ( sin 2) + 2 xy cos 2 =! 0

(x y) sin 2 = 2 xy cos 2

sin 2

cos 2=

2 xyx y

= tan 2

Der Winkel , bei dem die Normalspannungen extremal werden, ergibt sichzu:

tan 2 =2 xyx y

(3.3)

Setzt man (3.3) in (3.2) ein , so erhlt man nach einigen Zwischenschritten dieExtremalspannungen

1,2 =x + y

2

(x y

2

)2+ 2xy (3.4)

Fr 1 ist das positive Vorzeichen zu verwenden:

1 2

Der Winkel ist der Hauptspannungswinkel, unter dem die Normalspannun-gen extremal werden und die Schubspannungen verschwinden.

Die Schubspannungen werden mit der Bedingung dd = 0 extremal.

dd

=d

d

[1

2 (x y) +

12+xy cos 2

]

= 12 (x y) 2 cos 2 + 2 xy ( sin 2) =! 0

(x y) cos 2 = 2 xy sin 2

sin 2

cos 2= x y

2 xy= tan 2

wird der Hauptschubspannungswinkel genannt.


Da tan 2 = 1tan 2 ist, liegt zwischen 2 und 2 ein Winkel von 90,

und bilden somit einen Winkel von 45.

Die Hauptschubspannungen betragen:

min,max =

(x y

2

)2+ 2xy (3.5)

Die Normalspannungen haben unter dem Hauptschubspannungswinkel denWert

0 =x + y

2(3.6)

Wegen der Doppeldeutigkeit der Tangensfunktion ist es einfacher, den Haupt-spannungswinkel mit

tan =xy

x 2(3.7)

zu bestimmen.

Hierzu ist es allerdings die kleinere Hauptspannung 2 erforderlich.

3.1.3 Mohr'scher Spannungskreis

Fr den ebenen Spannungszustand ist ein graphisches Verfahren zur Bestim-mung der Hauptspannungen und des Hauptspannungswinkels oft ntzlich. Hier-zu wird mit Hilfe von x, y und xy ein Kreis, der Mohr'sche Spannungskreis,konstruiert, aus dem sich die Spannungen fr jeden Transformationswinkel ab-lesen lassen.Es gilt:

=x + y

2+x y

2 cos 2+ xy sin 2 (3.8)

= x y

2 sin 2+ xy cos 2 (3.9)

x + y

2=

x y2

cos 2+ xy sin 2 (3.10)

Nun wird der Winkel aus (3.9) und (3.10) eliminiert.


(3.9)2 :

2 =

(x y

2

)2 sin2 2 2 x y

2 sin 2 xy cos 2+ xy2 cos2 2

(3.10)2 :

[

x + y2

]2=

(x y

2

)2 cos2 2+ 2 x y

2 cos 2 xy sin 2+ xy2 sin2 2

(3.9)2 + (3.10)2 :

[

x + y2

]2+ 2 =

(x y

2

)2 (sin2 2+ cos2 2) x y

2 sin 2 cos 2 xy

+x y

2 sin 2 cos 2 xy + xy2 (sin2 2+ cos2 2)

mit sin2 x+ cos2 x = 1 erhlt man:

[

x + y2

]2+ 2 =

(x y

2

)2+ xy2

(X XM )2 + (Y YM )2 = r2

Dies ist eine Kreisgleichung!

Der Spannungszustand in einem Punkt einer Scheibe wird durch den Mohr'schenSpannungskreis beschrieben.

Zu jedem Schnitt ( Winkel ) gehrt ein Punkt auf dem Kreis.


Abbildung 3.4: Mohr'scher Spannungskreis

Konstruktion:

x und y werden auf der horizontalen Achse aufgetragen,die Schubspannung bei x Vorzeichen gerecht eingetragen,bei y in umgekehrter Richtung . (P und P`)Der Schnittpunkt der Geraden PP mit der - Achse ist der Mittelpunkt desKreises.

3.2 Transformation des rumlichen Spannungs-zustandes

Analog zu (3.2) lsst sich der rumliche Spannungszustand transformieren.

1 Winkel x ~e

1 Winkel y ~e

1 Winkel z ~e

~e =

cos1

cos1

cos 1

[ ~ex ~ey ~ez] ~e =

cos2

cos2

cos 2

[ ~ex ~ey ~ez] ~e =

cos3

cos3

cos 3

[ ~ex ~ey ~ez]


Abbildung 3.5: rumliche Spannungstransformation

T =[~e ~e ~e

]T t [] T = [] (3.11)

mit~e ~e = ~e

Auch im rumlichen Spannungszustand lsst sich eine Konguration nden, beider die Schubspannungen verschwinden und die Normalspannungen extremal,d.h. zu den Hauptspannungen, werden.Dazu ist die Lsung einer kubischen Gleichung in notwendig.Die drei Wurzeln (Nullstellen) sind die drei Hauptspannungen.

3 I1 2 + I2 I3 = 0 (3.12)mit

I1 = x + y + z (Spur der Matrix)

I2 = xy + yz + zx xy2 yz2 zx2

I3 =

x xy xz

yx y yz

zx zy z

(Determinante der Matrix)


I1, I2, I3 Invarianten der Spannungsmatrix,

da von der Drehung des Koordinatensystems unabhngig!

Kapitel 4

Zug, Druck und Scherung

In diesem Kapitel sollen zur Einfhrung in die Festigkeitslehre die einfachstenBeanspruchungen behandelt werden.

4.1 Zug

Ein Zylindrischer Stab mit der konstanten Querschnittsche A wird durch eineNormalkraft mit positivem Vorzeichen, einer Zugkraft Fz beansprucht. Die Kraftgreift im Schwerpunkt der Querschnittsche an.

AAAA

AA

Fz

* Fz

Abbildung 4.1: Zugstab

Bei Vernachlssigung von Querschnittssprngen und Werkstonhomogenittenkann von konstanter Spannungsverteilung ber den Querschnitt ausgegangenwerden Die Normalspannung kann damit durch

=FzA

bestimmt werden.Die fr den Ingenieur wichtige Frage ist, wie gro die Querschnittsche beibekannten Beanspruchung Fz sein muss. Die Beantwortung dieser Frage nenntman die Bemessung.Die auftretenden Spannung darf eine zulssige Spannung zul nicht berschrei-ten.

zul

35

KAPITEL 4. ZUG, DRUCK UND SCHERUNG 36

Diese zulssige Spannung wird aus einem spezischer Kennwert des Werkstos,meist der Streckgrenze s abgeleitet.

zul =s

Der Sicherheitsfaktor liegt zwischen 1, 5 und 2, 5, in Sonderfllen auch darunterund darber. Er wird in den Normen und anderen technischen Regelwerkenfestgelegt.Verfahren, bei denen die Tragsicherheitsnachweis durch den Vergleich der be-tragsmig hchsten auftretenden Spannung mit einer zulssigen Spannung er-bracht wird, nennt man ein Verfahren nach dem Konzept der zulssigen Span-nungen. Es gibt noch andere Konzepte, genannt sei das Konzept der Teilsicher-heitsbeiwerte, bei dem auch die Wahrscheinlichkeit es Auftretens einer Bean-spruchung und die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung einer Beanspruch-barkeit bercksichtigt wird.Die Nachweisgleichung, oder wie es in einigen Vorschriften bezeichnet wird, dasNachweisformat lautet beim Konzept der zulssigen Spannungen:

=FzA zul

4.1.1 Beispiel Flaschenzug

Mit einem zweifach geschorenen Flaschenzug soll eine Masse langsam gehobenwerden. Die zur Verfgung stehende Zugkraft betrgt Fs = 11.9kN Es stehenSeile mit folgenden Querschnittschen zur Verfgung:

A1 = 0.5cm2 und A2 = 1.35cm2

Die zulssige Spannung im Seil betrgt

zul = 21kN/cm2

Welches Seil kann eingesetzt werden?

.

.

.

.

.

.

.......

......

......

......

......

...................

.......

......

......

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

......

......

............. .............

......

......

......

......

.......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

......

......

......

......

...................

.......

......

......

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

......

......

............. .............

......

......

......

......

.......

.

.

.

.

.

.%

?FSy

?FG

Abbildung 4.2: Flaschenzug

Nachweis Seil 1:

=11, 9kN0.5cm2

= 23, 8kN/cm2 zul unbrauchbar


Nachweis Seil 2:

=11, 9kN1.25cm2

= 9, 52kN/cm2 zul brauchbar, Nachweis erbracht!

4.1.2 Beispiel: Zugstab mit geschraubtem Anschluss

Ein Zugstab in einem Fachwerk ist an ein Knotenblech mit zwei Schrauben hin-tereinander angeschlossen. Durch das Bolzenloch mit dem Duchmesser d` wirdder Querschnitt geschwcht, tragend wirkt nur der sogenannte Nettoquerscha-nitt:

An = A t d`Die Kerbwirkung soll hier ebensowenig bercksichtigt werden wie verschiedenetechnologische Vorschriften in den Fachnormen, sie sind spteren Lehrveranstal-tungen vorbehalten.

HHH

- Fz...................

...........

.

......

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

......

...... ......

......

......

.

.

.

.

.

.

.......

......

......

...........

.

......

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

......

...... ......

......

......

.

.

.

.

.

.

- I

- I

An

Abbildung 4.3: Nettoquerschnitt

Der Querschnitt ist im Schnitt I-I geschwcht, die Kraft Fz muss aber in vollerGre vom geschwchten Querschnitt An aufgenommen werden. Das Nachweis-format fr den geschwchten Querschnitt ergibt sich somit zu:

n =FzAn zul

4.2 Druckbeanspruchung

4.2.1 Druckbeansprungen bei stabfrmigen Krpern

Druckbeanspruchungen entstehen bei stabfrmigen Bauteilen infolge einer Nor-malkraft mit negativem Vorzeichen.Die Druckspannung ergibt sich zu

d =FdA

Das Nachweisformat ist entsprechend


AAAA

AA

*

Fd

Fd

Abbildung 4.4: Druckstab

|d| =|Fd|A zul

Bei schlanken Stben ist bei Druckbeanspruchung das Knicken zu beachten.

4.2.2 Pressungen

Wirken Druckspannungen in der Kontaktebene zwischen zwei Krpern sprichtman von Pressung p.

A

?F

Abbildung 4.5: Pressung

Das Nachweisformat fr Pressungen lautet:

p =F

A pzul

Die zulssige Pressung hngt von der Werkstopaarung und den Eigenschaftender Oberchen ab.

Die Pressung von Lagerteilen ist von der Lagerart und dem Lagerspielabhngig. In technischen Berechnungen ist ein vereinfachter Ansatz blich:

p =F

` d pzul

Die zulssige Pressung ist den Unterlagen des Lagers zu entnehmen.


.

.

.

.

.

.

.......

......

......

......

......

...................

.......

......

......

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

......

......

............. .............

......

......

......

......

.......

.

.

.

.

.

.

.

...........

.........

..............

..

..

..

.

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

?

F

`

d

Abbildung 4.6: Lagerpressung

Der Lochleibungsdruck von Passschraubenverbindungen wird ebenso ver-einfachend mit der Projektionsche (t d) angenommen:

` =F

t d ` zul

%%%%

.

.........

..........

............

.............. . ...........

........

..

..

..

..

..

.

..

..

..

.

..

..

..

..

.

..........

............

..........................

........

......

.....

......

F

- F

Abbildung 4.7: Lochleibungsdruck

Scherbeanspruchung tritt beispielsweise beim Stanzen und beim Abscherenvon Bolzen auf. Zunchst soll das Stanzen behandelt werden.Die Scherspannung ergibt sich zu:

=F

As

mit der Scherche As

As = t `

Die erforderliche Stanzkraft ergibt sich zu:

Ferf = As B

Bolzenscherung ist bei Niet- und Schraubenverbindungen zu beachten. InAbb. 4.9 ist eine zweischnittige Verbindung dargestellt.Die Scherche errechnet sich zu

As = n d2

4


@

@

?F

6F

t

`

Abbildung 4.8: Stanze

F2

F2- F

.

.............

............

........... ...........

............

.............

.

.............

............

........... ...........

............

.............

Abbildung 4.9: Abscheren

dabei ist n die Schnittigkeit der Verbindung. Da eine zweischnittige Verbindungvorliegt, ist n=2. Die Scherspannung ergibt sich zu:

a =F

As zul

Der Festigketisnachweis einer Bolzenverbindung besteht aus drei Einzelnachwei-sen:

Abscheren

Lochleibung

Nettoquerschnitt der Laschen

Kapitel 5

Spannungshypothesen

Mit den Methoden der Festigkeitslehre kann angegeben werden, durch welcheSpannungen ein Bauteil beansprucht ist. Diese Spannungen mssen mit Ergeb-nissen von Versuchen verglichen werden, um beurteilen zu knnen, wie weitdie Beanspruchung des Bauteils von der Beanspruchung entfernt ist, die zumVersagen fhrt.Diese Versuche sind meist einachsige Zugversuche, deren Ergebnisse in Formeines Diagramms dargestellt werden.

.

..........

.......

.......

.

..........

.......

.......

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.......

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.......

-F F

????????????

666666666666

------------

------

666666

??????

x x

y

y

xy xy

yx

yx

(t)

Abbildung 5.1: Proportionalittsstab und ebener Spannungszustand

Bei den zu beurteilenden Bauteilen liegt aber selten eine reine Zugspannungs-beanspruchung vor, meist wirkt eine Kombination von verschiedenen Normal-und Schubspannungen.Diese Beanspruchungskombination muss also so zusammengefasst werden, dasseine Vergleichsgre entsteht, die dem Ergebnis aus dem einachsigen Versuchgegenbergestellt werden kann.Diese Vergleichsgre wird Vergleichsspannung genannt.In der Vergangenheit gab es viele Hypothesen, wie diese Gre zu bestimmenist. Einige davon sollen hier angefhrt werden.

41

KAPITEL 5. SPANNUNGSHYPOTHESEN 42

5.1 Hypothese von der Gestaltsnderungsenergie

Diese Hypothese, die auf Huber (1872-1950), von Mises (1883-1953) und Hencky(1885-1951) zurckgeht, geht davon aus, dass die nderung der Gestalt einesKrpers, fr die Zerstrung seines Gefges magebend ist.Die Vergleichsspannung nach der Hypothese der Gestaltsnderungsenergie be-rcksichtigt nur die Anteile aus dem Spannungstensor, die zur nderung derGestalt beitragen.

5.1.1 Gestaltsnderung:

Aus Wrfel wird Quader Aus Quader wird Raute

Diese Vergleichsspannung, die meist als von Mises Spannung bezeichnet wird,ist besonders fr zhe Werkstoe geeignet und wird fr nach DIN18800 (11.90)fr Stahl eingesetzt.Hat man bereits die Hauptspannungen vorliegen wird sie berechnet nach:

v.Mv =

12 [(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2] (5.1)

In dieser Form zeigt sich deutlich, dass die nderung der Gestalt als magebendangenommen wurde. Man erkennt, dass der hydrostatische Spannungszustandmit 1 = 2 = 3 die Vergleichsspannung Null ergibt.Oft werden die Hauptspannungen nicht bekannt sein, die von Mises Vergleichs-spannung bestimmt man dann mit:

v.Mv =

12 [(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] + 3 (2xy + 2yz + 2zx)

(5.2)In vielen Fllen wirken nur x- und xy-Spannungen, dann vereinfacht sich dieseGleichung zu:


v.Mv =2x + 32xy (5.3)

5.2 Die Schubspannungshypothese

Die Schubspannungshypothese geht auf Tresca 1 zurck. Sie geht davon aus,dass durch Schubspannungen Gleitungen ausgelst werden, die zum Flieen unddamit zur Zerstrung des Materials fhren. Daher ist sie vor allem fr Materialmit einem ausgesprochenen Fliebereich geeignet. Allerdings ist sie weitgehendvon der Mises-Huber-Hencky-Hypothese verdrngt worden.Verantwortlich fr das Materialversagen ist nach der Schubspannungshypothesedie maximale Schubspannung. Die entsprechende Vergleichsspannung betrgtdas Doppelte der Hauptschubspannung:

V Sv = 2 max =

(x y)2 + 4 2xy (5.4)

5.3 Hauptspannungshypothese

Die Hauptspannungshypothese geht davon aus, dass fr das Versagen des Ma-terials die grte Normalspannung, die Hauptspannung, mageblich ist. Es gilt:

V Hv = 1 =x + y

2+

(x y

2

)2+ 2xy (5.5)

Sie wird hug in der Form

V Hv =12[x + y +

(x y)2 + 4 2xy

](5.6)

angegeben Diese Hypothese, die auf Rankine (1861) und sogar auf Galilei (1564-1642) zurckgeht, liefert besonders fr sprde Materialien zutreende Ergebnis-se.

5.4 Experimentell entwickelter Vergleichswert frSchweinhte nach DIN 18800 (11.90)

In den vergangenen Jahrzehnten wurden umfangreiche Experimente durchge-fhrt, um das Versagen von Schweinhten genauer erfassen zu knnen. AlsKoordinatensystem dient die Richtung der Schweinaht.

1Henri douard Tresca (* 12. Oktober 1814 in Dnkirchen; 21. Juni 1885)


Abbildung 5.2: Spannungen in einer Schweinaht

Es werden Normalspannungen parallel (||) und senkrecht zur Schweinaht ()und Schubspannungen || und unterschieden, wobei sich || und auf dieAusrichtung der Schweinaht bezieht.Um sich von den theoretisch abgeleiteten Vergleichsspannungen abzugrenzen,wird vom Vergleichswert w,v gesprochen.

w,v =2 +

2 +

2|| (5.7)

Erstaunlich ist bei dieser experimentell gefundenen Formel, dass ||, die inSchweinahtlngsrichtung wirkenden Normalspannungen, fr die Festigkeit derSchweiverbindung ohne Einuss sind.

Kapitel 6

Spannungen aus Biegung und

Normalkraft

Im folgenden Kapitel soll (endlich) gezeigt werden, wie Spannungen bei Stbenaus aus Schnittgren ermittelt werden.Es sollen folgende Voraussetzungen gelten:

Der Stab habe einen ber die Lnge konstanten Querschnitt.

Angreifende Schnittgren und die Querschnittsgeometrie sind im Haupt-trgheitsachsensystem gegeben (Wenn der Querschnitt eine Symmetrie-ebene hat, und diese mit einer Koordinatenachse zusammenfllt, liegt einHauptachsensystem vor).

Die Lastebene falle mit der Symmetrieebene berein.

Die Stabachse sei im unbelasteten Zustand gerade.

Die Querschnittsabmessungen (Hhe h, Breite b) seien klein gegenber derLnge L. Als Anhalt kann dienen: L > 5h und L > 5b.

Der Querschnitt sei formtreu, d. h. er behlt whrend der Verformung seineQuerschnittsgestalt bei (aus einem Rechteckquerschnitt wird kein Paralle-logramm). Diese Forderung wird gegebenenfalls durch Querschnittsschottesichergestellt.

Alle Querschnittsteile erfahren die gleiche Durchbiegung w(x, z) = w(x)

Die Querschnitte bleiben whrend der Verformung eben, knnen sich aberVerdrehen.

Die letzte Annahme ist nach Jakob Bernoulli (1654-1704) Bernoulli Hypothesegenannt. Sie gilt streng genommen fr Querschnitte, die nur durch Biegemomen-te und nicht durch Querkrfte belastet sind. Unter der Einschrnkung, dass dieQuerschnittsabmessungen klein gegenber der Lnge sind, stellt die daraus ab-geleitete Theorie auch fr querkraftbeanspruchte Stbe eine gute Nherung dar.

45

KAPITEL 6. SPANNUNGEN AUS BIEGUNG UND NORMALKRAFT 46

Es wird von folgendem Koordinatensystem ausgegangen:

x zeigt in Stabachse, die Verschiebung in x-Richtung heit u

z zeigt bevorzugt in Richtung der Schwerkraft, die Verschiebung in z-Richtung heit w

y bildet dazu ein Rechtssystem, so dass gilt: ~x ~y = ~z, die Verschiebungin y-Richtung heit v

*x

?z

- y

Abbildung 6.1: Koordinatensystem

6.1 Beanspruchung allein durch N

Die Integration der Spannung x ber den gesamten Querschnitt muss aus Grn-den des Gleichgewichts die Normalkraft ergeben.

A

x dA = N

Gleichzeitig mssen die Biegemomente My und Mz verschwinden. Das erreichtman, wenn die Normalspannungsverteilung konstant ber den Querschnitt an-genommen wird. Man erhlt damit

x =N

A(6.1)

6.2 Beanspruchung allein durch My

In diesem Abschnitt soll die Berechnung von Normalspannungen infolge einesBiegemoments My gezeigt werden.

Wenn ein ursprnglich gerader Balken mit konstanter Biegesteigkeit von einemBiegemoment My belastet wird, so nimmt er die Form eines Kreisbogens an. InAbb. 6.2 ist A der Krmmungsmittelpunkt, der Krmmungsradius. In Abb.6.3ist ein dierentielles Element mit dem Krmmungswinkel d dargestellt, dasgedanklich aus dem Balken heraus getrennt wurde. Die obere Faser des Balkenswird gestaucht, die untere gedehnt, whrend die Stabachse ihre ursprnglicheLnge beibehlt. Die z-Koordinate beginnt in der Stabachse und zeigt nachunten. Eine Parallele zum rechten Rand wird an den linken Rand verschobendargestellt. Man erkennt, dass eine Faser in der Hhe z um l = d z lngergeworden ist.


Die gekrmmte Stabachse hat die Lnge d. Das ist die alte Lnge (l0).Damit kann man die Dehnung in jeder Hhe z angeben:

x =ll0

=z d

d=z

(6.2)

BBBBBBBBBB

. ...................... ..................... .................... .................... ..................... ......................

. ............................. ............................ ........................... ........................... ............................ .............................

.................................................................. ............

-My

. ............ .......... .......................................................

My

.

.........................

........................

........................ ........................

........................

.........................

P

P

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

z 9d

A

Abbildung 6.2: Biegelinie eines Stabes unter Biegemoment My

.

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..... ........................................................ ........................................................ ........................................................ ........................................................ .

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

....

. ................................................................ ............................................................... ............................................................... ................................................................

z d2

..................................

....................................................................................... ............................................................

............................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

z 9d2

?

?z

Stabachse Lnge unverndertl0 = d

Abbildung 6.3: Dierentielles Element

Mit dem Hooke'schen Gesetz und Gleichung 6.2 kann man auf die Spannungenschlieen:

x = E x = Ez

(6.3)

Man erkennt, dass die Spannungen linear ber z verlaufen. Da die Normalkraftvereinbarungsgem verschwinden muss, gilt:

A

xdA = 0 =A

Ez

dA

Der Elastizittsmodul und auch der Krmmungsradius sind von der Koordinatez unabhngig und knnen vor das Integral gezogen werden:

E

A

zdA = 0


Da weder E noch stets Null sind, muss das Integral verschwinden. Der Aus-druck unter dem Integral ist das Statische Moment Sy, eine Querschnittsgr-e, die nur dann zu Null wird, wenn der Ursprung des Koordinatensystem imSchwerpunkt liegt. Darum wird nun vereinbart, den Ursprung des Koordinaten-systems in den Schwerpunkt zu legen.

Aus Grnden des Gleichgewichts muss gelten:A

xzdA = My (6.4)

-

?z e

6

?

- x

Rand

.

..................

................

..............

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..............

................

..................-

My

Abbildung 6.4: x ber z

x ist eine lineare Funktion von z, die am Ursprung den Funktionswert Null hat.

Die Funktion

x =Rande

z (6.5)

erfllt diese Forderung. Rand ist der Funktionswert der Normalspannung amunteren Rande bei zmax= e, dem Abstand vom Ursprung zum unteren Rand.Setzt man Gleichung 6.5 in Gleichung 6.4 ein, so erhlt man:

A

Rande

z z dA = My =Rande

A

z2dA Iy

(6.6)

Das Integral A

z2dA = Iy

wird axiales Flchentrgheitsmoment oder Flchenmoment 2. Ordnung genannt.Durch Umstellung erhlt man aus Gleichung 6.6:

Rand =MyIy

e (6.7)


Der Ausdruck Iye wird Widerstandsmoment

Wy =Iye

genannt und ist bei symmetrischen Querschnitten oft in Tabellen angegeben.Damit erhlt man fr die Normalspannung am Rand:

Rand =MyWy

Wenn man Gleichung 6.7 in Gleichung 6.5 einfhrt kann man die Normalspan-nung x an jeder Stelle x bestimmen:

x =MyIy

z (6.8)

6.3 Beanspruchung allein durch Mz

Auch ein Biegemoment Mz erzeugt Normalspannungen x.Der Drehsinn des BiegemomentsMz richtet sich nach der Denition der Schnitt-gren: am positiven Ufer wirken sie in positive Koordinatenrichtung, d.h. vonx nach y. Die positiven Spannungen

x y dA erzeugen ein Moment, dessen

Drehsinn in die negative y-Richtung zeigt (Abb. 6.5). Damit gilt fr das Biege-moment Mz:

Mz = A

x ydA (6.9)

HHHHHH

HHHH

6x

?

y

6

x

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................

..............

............

............

............

..........................

............

............

............

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

? Mz

Abbildung 6.5: x ber y

Analog zum Biegemoment My ergeben sich die Normalspannungen aus einemBiegemoment Mz zu:

x = MzIz

y

mit dem Flchentrgheitsmoment

Iz =A

y2dA (6.10)


6.4 Beanspruchung durch N , My und Mz

Bei linearem Materialgesetz gilt das Superpositionsgesetz:die Anteile der Spannungen aus den einzelnen Beanspruchungen knnen addiertwerden, somit gilt:

x =N

A+MyIy

z MzIzy (6.11)

Die extremalen Spannungen treten an den Eckpunkten der Umhllenden desQuerschnitts auf.Ist das Koordinatensystem, in dem die Belastungen gegeben sind, oder das Ko-ordinatensystem, das den Querschnitt beschreibt, kein Haupttrgheitssystem,so mssen sowohl die Schnittgren als auch die Koordinaten der Eckpunkteder Umhllenden des Querschnitts in das Haupttrgheitssystem transformiertwerden.

P1 P2

P3

P4P5

P6

?z

y

AAAAU

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

.

..

..

.

Abbildung 6.6: Querschnitt nicht im Hauptachsensystem

In Abb. 6.6 ist der Winkel von der y-Achse zur -Achse.Die Biegemomente werden wie folgt transformiert:

MM

= cos sin sin cos

MyMz

(6.12)Die Koordinaten Pix und Piy der Eckpunkte transformiert man mit der Vor-schrift:

Pi, Pi+1,Pi, Pi+1,

= cos sin sin cos

Pi,y Pi+1,yPi,z Pi+1,z

(6.13)


6.4.1 Die Groe Biegeformel

In diesem Kapitel soll die Ermittlung von Normalspannungen aus Biegemomen-ten und einer Normalkraft in einem Koordinatensystem gezeigt werden, dessenUrsprung zwar im Schwerpunkt liegt, das aber kein Hauptachsensystem ist.

Die Transformation der Biegemomente und besonders der Geometrie auf dasHauptachsensystem ist arbeitsaufwndig und fehleranfllig, daher ist es oft vonVorteil die Normalspannungen direkt ohne Transformation berechnen zu kn-nen.

y

?z

dx

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....

.......

...........

..............

............................

...........................

.........................

.....

......

.......

....................

................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.............

..............

...........

..............................

....................

........................

............................

...................

................

............

...........

S

dA

Abbildung 6.7: Groe Biegeformel

Wie in den vorhergehenden Ausfhrungen wird vorausgesetzt, dass die Span-nungen linear ber den Querschnitt verteilt sind.

Macht man einen entsprechenden Ansatz,

x(y, z) = a+ b y + c z

so mssen die Integrale

A

xdA = N

A

x zdA = My

A

x ydA = Mz

die entsprechenden Schnittgren ergeben.

Setzt man den Ansatzx(y, z) = a+ b y + c z

fr N ein, so erhlt man:A

(a+ b y + c z)dA = a A+ bA

y dA+ cA

z dA = N


die IntegraleAy dA und

Az dA werden statische Momente Sy bzw. Sz ge-

nannt.Sie verschwinden, wenn der Ursprung des Koordinatensystems mit dem Schwer-punkt zusammenfllt.

Somit gilt:

a A = N

und daraus ergibt sich:

a =N

A

Fr a ist demnach NA einzusetzen.

Nun soll der gleiche Weg mitAx z dA = My beschritten werden:

A

(a+ b y + c z) z dA = aA

z dA Sy=0

+bA

y z dA+ cA

z2dA = My

Das erste Integral ist wieder ein statisches Moment, das zu Null wird. Das zweiteIntegral ist ein Flchenmoment zweiter Ordnung; es wird Deviationsmoment Iyzgenannt.

Iyz = y z dA

Das Deviationsmoment verschwindet wenn das beschreibende Koordinatensys-tem ein Hauptachsensystem ist.Auch das dritte Integral ist ein Flchenmoment zweiter Ordnung, das schonbekannte Flchentrgheitsmoment

Iy =A

z2dA

Somit liefert die zweite Gleichung:

b Iyz + c Iy = My

Nun soll der gleiche Weg frAx y dA = Mz beschritten werden:

Fr das Biegemoment Mz schreibt man:

Mz = A

(a+ b y + c z) y dA = aA

y dA bA

y2dA cA

y z dA

Das erste Integral ist das statische Moment Sz, das zweite Integral das Flchen-trgheitsmoment

Iz =A

y2dA


Das dritte Integral ist wieder das Deviationsmoment.

Somit erhlt man aus der dritten Gleichung:

b Iz c (Iyz) = Mz

Fr die Bestimmung von b und c stehen zwei lineare Gleichungen zur Verfgung,die man zum Gleichungssystem zusammenfassen kann: Iyz Iy

Iz Iyz

bc

= MyMz

Die Lsungen bestimmt man mit der Cramerschen Regel:

b =MyIyz MzIyIyIz I2yz

c =IyzMz (Iz)My

IyIz I2yz=

MyIz MzIyzIyIz I2yz

Nun sind die Koezienten a, b und c bekannt.

Eingesetzt in x(y, z) = a+ b y + c z ergibt sich die Normalspannung:

x(y, z) =N

A+MyIyz MzIyIyIz I2yz

y + MyIz MzIyzIyIz I2yz

z (6.14)

Diese Beziehung wird auch die groe Biegeformel (GBF) oder lange Biege-formel genannt.


6.4.2 Biegung stark gekrmmter Stbe

In den bisherigen Ausfhrungen ist davon ausgegangen worden, dass die Achsedes Stabes gerade, oder wenigstens abschnittsweise gerade oder nur schwachgekrmmt ist. Nun sollen die Biegespannungen bei einem stark gekrmmtenStab (z.B. Kranhaken) mit konstantem Querschnitt untersucht werden 1.

Es wird weiterhin davon ausgegangen, dass die Hypothese vom Ebenblei-ben der Querschnitte gltig ist,

dass das Hooke'sche Gesetz gltig ist,

dass das System in den Hauptachsen beschrieben ist.

Biegemoment und Normalkraft werden nicht auf den Schwerpunkt derQuerschnittsche, sondern auf die (noch unbekannte) Dehnungsmullliniedes nur durch ein Biegemoment belasteten Stabes bezogen.

In der Skizze ist ein dierentielles Stck mit dem Winkel d des gekrmmtenStabes gezeigt.Die Bezeichnungen sind:

Rs: Abstand vom Krmmungsmittelpunkt zum Flchenschwerpunkt des ge-krmmten Stabes

R: Abstand vom Krmmungsmittelpunkt zur Spannungs-und Dehnungsnullli-nie des gekrmmten Stabes

: Koordinate beginnend an Krmungsmittelpunkt

z: Koordinate in -Richtung, jedoch beginnend an der Spannungsnulllinie (z =R)

1nach Leipholz S. 60


AAAAAAAA

.

.............

............ ............

.............Y*d

.

...........

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........

..........

..................

...........j

My.

.............

..........

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............

.

.............

..........

.....................

.............My

.

..................................

.................................

................................

.............................. ..............................

................................

.................................

..................................

.

.......................

......................

..................... .....................

......................

.......................

.

.............................

............................

................

...........

..........................

...........................

............................

.............................

.

........................

.......................

..............

........

......................

......................

.......................

........................

?z

HHH

H

Rs

R

AAAA

.

............................................................................................................................................................................................

.

...........

...........

.............d AA

AA

.

.....................

.

.....................

..........................

...........

..................

..................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

x

Abbildung 6.8: Biegung des gekrmmten Stabes

Bestimmung vom R

Infolge der Wirkung des Biegemoments stehen zwei normal auf der Stabachseangeordnete Querschnitte, die vor der Belastung im Winkel von d zueinanderstanden, unter der unter der Wirkung vonM im Winkel von d+ zueinander.Die z-Achse beginnt, wie schon erwhnt, an der noch unbekannten Dehnung-und Spannungsnulllinie.Die ursprngliche Lnge einer Faser betrgt `0 = d, die Verlngerung dergleichen Faser betrgt ` = z . Die Dehnung betrgt damit:

=z

d

nmlich Verlngerung z dividiert durch alte Lnge der Faser d.Bei Gltigkeit des Hooke'schen Gesetzes kann die Spannung angegeben werden:

= E = Ez

d(6.15)

Wegen der Bedingung, dass der Stab nicht durch Normalkraft belastet ist, kannangeschrieben werden:

N =dA =

E

z

ddA =

E

d

z

dA = 0 (6.16)

Nun wird die Koordinate z in berfhrt:

z = R

und man erhlt:

E

d

R

dA = 0 =dA A

R

dA

R

1dAA = 0 (6.17)

Damit kann die Hhe der Nulllinie bestimmt werden:

R =AdA

(6.18)


Bestimmung der Dehnsteigkeit und x0

Nachdem die Hhe der Dehnungsnulllinie und damit auch R bekannt ist, kannfr die Dehnung x angegeben werden:

x = x0R

+ z

R

(6.19)

Der Term R stellt die Vernderung der alten Lnge im Verhltnis zur altenLnge in der Hhe der Dehungsnulllinie dar.Die Normalkraft ergibt sich zu:

N =x dA =

E x dA (6.20)

bei konstantem Elastizittsmodul kann E vor das Integral gezogen werden:

N = E (

x0R

+ z

R

)dA (6.21)

Das Integral besteht aus zwei Summanden, der zweite verschwindet wegen Glei-chung 6.17. Der erste ergibt:

N = E

x0R

dA = x0 E R

1dA

EA

(6.22)

worin das Integral die verallgemeinerte Dehnsteigkeit EA ist.Damit ist

x0 =N

EA(6.23)

Bestimmung der Biegesteigkeit und

Das Biegemoment M ergibt sich zu:

My =x z dA = E

x z dA (6.24)

My = E (

x0R

z + z2

R

)dA (6.25)

Diesmal verschwindet der erste Summand wegen Gleichung 6.17, der zweiteergibt:

My = E R

z21dA (6.26)

Mit z = R erhlt man:

My = E R

2 2 R+R2

dA (6.27)

durch Umstellung gewinnt man:

My = E R (

2 R+ R2

)dA

EJ

(6.28)


Die verallgemeinerte Biegesteigkeit EJ liefert dann die Krmmung:

=MyEJ

(6.29)

Bestimmung der Normalspannungen

Damit knnen die Normalspannungen bestimmt werden:

x = E x = E(x0

R

+ (R) R

)(6.30)

Der Verlauf der Normalspannung ist hyperbolisch. Die Spannungsnulllinie liegtnicht im Flchenschwerpunkt wie es bei ungekrmmten allein biegebeanspruchteStben der Fall ist.

Beispiel

Ein rechteckiger stark gekrmmter Stab sei durch ein BiegemomentM = 90Nmbeansprucht. Die Querschnittsche betrage h = 20mm, b = 10mm Der Innen-radius Ri betrage Ri = 10mm.Der Radius der Spannungsnullinie R wird nach Gleichung 6.18 bestimmt:

R =AdA

Mit dem Inkement der FlchedA = b d

und der QuerschnittscheA = b h

ergibt sich :

R =b h Ra

Rib d

=h

ln RaRi=

20mmln 30mm10mm

= 18.2mm

Die Dehnsteigkeit, (die in dieser Aufgabe nicht erforderlich ist) ergibt sich zu

EA = 4.2 1012 N

und die Biegesteigkeit zu

EJ = 1.3726 1015 Nmm2

Die sich daraus ergebenden Spannungen sind in Abb 6.9 dargestellt und derLsung nach der Biegetheorie des geraden Stabes gegenbergestellt. Der Einuder Krmmung ist deutlich zu erkennen. Am Innenrand kommt des zu hheren,am Aussenrand zu kleineren Spannungen als beim geraden Stab.


Abbildung 6.9: Biegungspannung des gekrmmten Stabes


6.5 Normalspannungen x von Verbundquerschnit-ten mit verschiedenen E-Moduln

Wie der Name vermuten lsst, wirken bei Verbundquerschnitten verschiedeneWerkstoe miteinander. Die Verbindungsfuge kann Schubspannungen bertra-gen und sichert das Zusammenwirken. Es wird davon ausgegangen, dass ver-schiedene aber abschnittsweise konstante E-Moduln im Querschnitt vorhandensind.

y

?z

?z E1

E2

E3

AAAA

xA

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

H

x

Abbildung 6.10: Verbundquerschnitt

Wie beim Querschnitt mit konstanten E-Modul kann, Balkenverhltnisse vor-ausgesetzt, vom Ebenbleiben der Querschnitte ausgegangen werden, weiterhinwird die Gltigkeit es Hooke`schen Gesetztes vorausgesetzt. Dann liegt ein ab-schnittsweise linearer Spannungsverlauf ber die z-Koordinate vor. Im Gegen-satz zu einem Querschnitt mit konstantem E-Modul muss bei Querschnitten mitverschiedenen E-Moduln der Koordinatenursprung im gewichteten Schwerpunktliegen. Wenn der Querschnitt auch hinsichtlich der E-Moduln symmetrisch ist,liegt auch der gewichtete Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.

6.5.1 Der gewichtete Schwerpunkt

Um diesen gewichteten Schwerpunkt zu bestimmen, wird eine willkrliche Ko-ordinate z festgelegt.Der kinematische Zusammenhang zwischen Verschiebung und Dehnung wirddurch folgendes Bild dargestellt:

?z, w

- x, urP.

..................................

...................................

.....................................

......................................

........................................

..........................................

................

................

...........

.

..............................

................................

.................................

...................................

........................

Technische Mechanik II Festigkeitslehre -...

Documents

Transcript of Technische Mechanik II Festigkeitslehre -...