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Technische Mechanik 1

Statik

12., aktualisierte Auflage

4125.book Page 1 Wednesday, March 21, 2012 1:12 PM

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Russell C. Hibbeler

12., aktualisierte Auflage

Technische Mechanik 1

Übersetzung aus dem Amerikanischen:

Fachliche Betreuung und Erweiterungen:

Statik

Jörg Wauer, Wolfgang Seemann

Georgia Mais, Frank Langenau

4125.book Wednesday, March 21, 2012 1:12 PM

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Authorized translation from the Singapore adapted edition of the original United States English languageedition, entitled ENGINEERING MECHANICS: STATICS 12th Edition by HIBBELER, RUSSELL C., published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 2011. Singapore adapted edition entitled ENGINEERING MECHANICS: STATICS SI EDITION, 3rd Edition, published by Pearson Education Asia Pte Ltd., Copyright © 2004

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system,without permission from Pearson Education, Inc.

German language edition published by Pearson Deutschland GmbH, Copyright © 2012

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

14 13 12

ISBN 978-3-86894-125-8

© 2012 by Pearson Deutschland GmbH Martin-Kollar-Straße 10-12, D-81829 MünchenAlle Rechte vorbehaltenwww.pearson.deA part of Pearson plc worldwideProgrammleitung: Birger Peil, [email protected]: Alice Kachnij, [email protected]Übersetzung: Dipl.-Ing. Dipl.-Übers. Georgia Mais, Hamburg, Frank Langenau, ChemnitzFachlektorat: Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Jörg Wauer und Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Seemann, Karlsruher Institut für Technologie (KIT)Korrektorat: Barbara Decker, MünchenEinbandgestaltung: adesso 21, Thomas Arlt, MünchenHerstellung: Philipp Burkart, [email protected]: mediaService, Siegen (www.mediaservice.tv)Druck und Verarbeitung: Firmengruppe APPL, aprinta-druck, Wemding

Printed in Germany

4125.book Wednesday, March 21, 2012 1:12 PM

ÜB

ER

BL

IC

K

3

Gleichgewicht am Punkt

3.1 Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2 Freikörperbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3 Ebene Kräftesysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4 Räumliche Kräftesysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


Gleichgewicht am Punkt3

Für das Heben von Lasten müssen Seile so dimensioniert werden, dass sie für die gewählte Anordnung ihrerBefestigungspunkte nicht versagen. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie man in solchen Fällen Seilkräfte beigegebenen Lasten berechnet.


99

3.1 Gleichgewichtsbedingung

3.1 GleichgewichtsbedingungIn der Realität greifen an einem Gegenstand oder einer Baugruppe ausverschiedenen Einzelteilen mehrere Kräfte an. Diese bilden eine sogenannte Kräftegruppe oder ein Kräftesystem. Zentrale Kräftesystemeliegen vor, wenn alle beteiligten Einzelkräfte einen gemeinsamenAngriffspunkt besitzen bzw. sich bei einem starren Körper ihre Wir-kungslinien alle in einem Punkt schneiden. Kann der starre Körper idea-lisiert als Massenpunkt angesehen werden, handelt es sich bei denangreifenden Kräften in natürlicher Weise um ein zentrales Kräftesystem.

Bleibt ein Körper unter Einwirkung eines Kräftesystems in Ruhe,wenn er ursprünglich in Ruhe war, oder im Zustand gleichförmigerBewegung mit konstanter Geschwindigkeit, wenn er ursprünglich die-sen Bewegungszustand inne hatte, so bilden die an ihm angreifendenKräfte ein Gleichgewichtssystem, d.h. der Körper befindet sich imGleichgewicht. Meist wird jedoch die Bezeichnung „Gleichgewicht“oder genauer „statisches Gleichgewicht“ zur Beschreibung eines sich inRuhe befindenden Gegenstandes benutzt. Zur Erhaltung des Gleichge-wichts mehrerer an einem Massenpunkt angreifenden Kräfte, d.h. eineszentralen Kräftesystems, ist die Erfüllung des ersten Newton´schenBewegungsgesetzes erforderlich. Es fordert, dass die resultierende Kraft,die auf den Massenpunkt wirkt, gleich null ist. Diese Bedingung wirdmathematisch in der Form

∑F = 0 (3.1)

geschrieben, wobei ∑F die Vektorsumme aller Kräfte ist, die am Körperangreifen.

Gleichung (3.1) ist für zentrale Kräftesysteme am Massenpunkt nichtnur eine notwendige Bedingung für das Gleichgewicht, sie ist auch einehinreichende Bedingung. Das folgt aus dem zweiten Newton´schenBewegungsgesetz: ∑F = ma. Da das Kräftesystem Gleichung (3.1)erfüllt, gilt ma = 0, die Beschleunigung des Massenpunkts ist alsoa = 0. Folglich bewegt sich der Massenpunkt tatsächlich mit konstanterGeschwindigkeit oder befindet sich in Ruhe.

Lernziele

■ Einführung des Konzeptes des Freikörperbildes

■ Lösen von Gleichgewichtsaufgaben mit Hilfe der Gleich-gewichtsbedingungen für Kräfte, die an einem Punkt angreifen



100

3

3.2 FreikörperbildZur Anwendung der Gleichgewichtsbedingung müssen wir alle bekann-ten und unbekannten Kräfte (∑F) berücksichtigen, die am Körper, hieram Massenpunkt angreifen. Dazu zeichnet man am besten ein Freikör-perbild des Massenpunkts. Dies ist eine schematische Darstellung, dieden Massenpunkt „frei“ von seiner Umgebung mit allen angreifendenKräften zeigt.

Betrachten wir vor der Darstellung einer formalen Vorgehensweisezur Erstellung eines Freikörperbildes zunächst zwei Ankopplungen andie Umgebung, auf die man bei Aufgaben zum Gleichgewicht von Mas-senpunkten häufig trifft.

Federn Wenn eine linear elastische Feder verwendet wird, verändertsich die Länge der Feder direkt proportional zur angreifenden Kraft. EinKennwert zur Bestimmung der „Elastizität“ einer Feder ist die Feder-konstante oder Steifigkeit c. Wird eine linear elastische Feder der Stei-figkeit c um den Weg s verformt (gedehnt oder gestaucht), dann beträgtdie Kraft

(3.2)

wobei s die Verformung relativ zur unbelasteten Stellung bezeichnet.Der Weg s wird bestimmt aus der Differenz der verformten Länge derFeder l und ihrer unverformten Länge l0, also gilt s = l − l0. Wenn spositiv ist, „zieht“ F an der Feder, wohingegen bei negativem s, F darauf„drückt“. Die Feder in Abbildung 3.1 hat z.B. die unverformte Längel0 = 0,4 m und die Steifigkeit c = 500 N/m. Zur Dehnung auf die Längel = 0,6 m ist eine Kraft F = cs = (500 N/m)(0,6 m − 0,4 m) = 100 N er-forderlich. Ebenso ist für die Stauchung auf eine Länge von l = 0,2 meine Kraft von F = cs = (500 N/m)(0,2 m − 0,4 m) = −100 N erforder-lich, siehe Abbildung 3.1.

Abbildung 3.1

F = cs

l = 0,6 m

l = 0,2 m

s = – 0,2 m

s = 0,2 m

l0 = 0,4 m

c = 500 N/m

– F

F+ s

(s = 0)


101

3.2 Freikörperbild

Seile und Rollen Im gesamten Buch, mit Ausnahme von Abschnitt 7.4,gehen wir von der Annahme aus, dass alle Seile (oder Schnüre) ein ver-nachlässigbares Gewicht haben und sich nicht dehnen können. Ein Seilkann auch nur eine Zugkraft (kurz: Zug) aufnehmen und die Wirkungsliniedieser Kraft verläuft immer in Richtung des Seils. In Kapitel 5 wird gezeigt,dass die Zugkraft in einem Seil, das reibungslos über eine Rolle läuft,einen konstanten Betrag haben muss, damit das Seil im Gleichgewichtbleibt. Wie in Abbildung 3.2 dargestellt, gilt deshalb für jeden Winkel θ,dass eine konstante Zugkraft T über die gesamte Länge des Seiles wirkt.

Abbildung 3.2

T

T

θ

Seil unter Zug

Bei Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen müssen wir alle Kräfte, die aneinem Massenpunkt angreifen, berücksichtigen. Deshalb kann nicht genügendbetont werden, dass zunächst das Freikörperbild gezeichnet werden muss. Dabeisind die folgenden drei Schritte auszuführen:

Zeichnen der Umrisslinie Stellen Sie sich durch Zeichnen der Umrisslinieden Massenpunkt von seiner Umgebung isoliert oder aus seiner Umgebungfreigeschnitten vor.

Darstellung aller Kräfte Zeichnen Sie in diese Skizze alle Kräfte ein,die am Massenpunkt angreifen. Diese Kräfte können antreibende (aktive)Kräfte sein, welche den Massenpunkt in eine Bewegung versetzen wollen,oder Reaktionskräfte, die als Ergebnis der Einspannungen oder Lager auf-treten, die die Bewegung verhindern möchten. Um sicher zu sein, alle dieseKräfte berücksichtigt zu haben, kann es hilfreich sein, einmal um die Grenzendes Massenpunkts zu gehen und dabei jede Kraft, die angreift, einzuzeichnen.

Kennzeichnen jeder Kraft Alle Kräfte werden mit Buchstaben gekenn-zeichnet. Eventuell werden bekannte Kräfte dadurch hervorgehoben, dassihre Beträge mit Zahlenwerten in das Freikörperbild eingetragen werden.

Zeichnen eines Freikörperbildes

TCTB

– G

D

C

A A

B

Betrachten wir die Kabeltrommel mit demGewicht G, die am Kranausleger aufgehängt ist.Zur Bestimmung der Kräfte in den Seilen ABund AC können wir das Freikörperbild des Ringsim Punkt A betrachten, da diese Kräfte am Ringangreifen. Die Seile AD üben die resultierendeKraft −G auf den Ring aus und die Gleichge-wichtsbedingung wird zur Bestimmung von TBund TC verwendet.

G

T

Der Kübel wird vom Seil im Gleichgewicht gehaltenund wir wissen intuitiv, dass die Kraft im Seil gleichdem Gewicht des Kübels sein muss. Durch Zeichnendes Freikörperbildes verstehen wir, warum das so ist.Diese Darstellung zeigt, dass es nur zwei Kräfte gibt,die am Kübel angreifen, nämlich das Gewicht G unddie Seilkraft T. Im Gleichgewicht muss die Resultie-rende dieser Kräfte gleich null sein, also gilt T = G.Wichtig ist, dass durch Freischneiden des Kübels dieunbekannte Seilkraft T „freigelegt“ wird und in derBedingung für das Gleichgewicht berücksichtigt wer-den muss.

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102

3

Die Kugel in Abbildung 3.3 hat die Masse m und wird im Schwerkraftfeld der Erde(Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2) gehalten. Zeichnen Sie das Freikörperbild derKugel, des Seils CE und des Knotens in C.

m = 6 kg, α = 45°, β = 60°

Lösung

Kugel Man stellt fest, dass nur zwei Kräfte an der Kugel angreifen, nämlich dasGewicht und die Seilkraft FCE. Die Kugel hat ein Gewicht G = 6 kg(9,81 m/s2) =58,9 N. Das Freikörperbild ist in Abbildung 3.3b dargestellt.

Seil CE Wenn das Seil CE von seiner Umgebung freigeschnitten wird, zeigt dieSkizze nur zwei Kräfte, die am Seil angreifen, nämlich die Kraft der Kugel und die Kraftdes Knotens, siehe Abbildung 3.3c. Beachten Sie, dass die hier dargestellte Kraft FCE

gleich der in Abbildung 3.3b ist, aber dieser entgegengerichtet wirkt. Das folgt ausdem dritten Newton’schen Gesetz (actio = reactio). Auch die Kräfte −FCE und FEC

ziehen am Seil und halten es unter Zug. Für Gleichgewicht muss FCE = FEC gelten.

Knoten Am Knoten in C greifen drei Kräfte an, siehe Abbildung 3.3d. Sie wer-den von den Seilen CBA und CE sowie der Feder CD verursacht. Wie gefordert,zeigt das Freikörperbild alle diese Kräfte mit den Beträgen und Richtungen. Wichtigist hier, dass das Gewicht der Kugel nicht direkt am Knoten angreift. Stattdessen übtdas Seil CE diese Kraft am Knoten aus.

Abbildung 3.3

Beispiel 3.1

C

E

B

A

(a)

D

c

FCE (Seilkraft CE auf Kugel)

G (Gewicht oder Gravitationskraft auf Kugel)

(b)

– FCE (Kraft der Kugel auf Seil CE)

FEC (Kraft des Knotens auf Seil CE)

(c)

C

FCBA (Kraft des Seils CBA auf Knoten)

FCD (Kraft der Feder auf Knoten)

– FCE (Kraft des Seils CE auf Knoten)

β

(d)


103

3.3 Ebene Kräftesysteme

3.3 Ebene KräftesystemeWenn an einem Punkt ein System koplanarer Kräfte angreift, die in derx-y-Ebene liegen, siehe Abbildung 3.4, dann kann jede Kraft in ihre i-und j-Komponente zerlegt werden. Für das Gleichgewicht kann Glei-chung (3.1) geschrieben werden als

Damit diese Vektorgleichung erfüllt wird, müssen die x- und die y-Koor-dinaten von F gleich null sein, d.h.

Abbildung 3.4(3.3)

Diese skalaren Gleichgewichtsbedingungen fordern, dass jeweils diealgebraische Summe der x- und der y-Koordinaten aller Kräfte, die amPunkt angreifen, gleich null ist. Demzufolge kann Gleichung (3.3) fürmaximal zwei Unbekannte gelöst werden, meist Winkel oder Beträgevon Kräften im Freikörperbild des Massenpunktes.

Skalare Schreibweise Da jede der beiden Gleichgewichtsbedingungendie Zerlegung von Vektorkomponenten in Richtung einer vorgegebenenx- oder y-Achse fordert, verwenden wir zur Darstellung der Komponen-ten die skalare Schreibweise, wenn wir diese Gleichungen anwenden.Dabei wird der Richtungssinn jeder Komponente durch ein algebrai-sches Zeichen entsprechend der Pfeilspitzenrichtung der Komponenteentlang jeder Achse dargestellt. Hat eine Kraft einen unbekanntenBetrag, dann kann die Pfeilspitzenrichtung der Kraft im Freikörperbildangenommen werden. Da der Betrag einer Kraft immer positiv ist,bedeutet ein negativer Skalar im Ergebnis, dass die Kraft entgegenge-setzt ist.

Betrachten wir z.B. das Freikörperbild des Punktes in Abbildung 3.5,an dem zwei Kräfte angreifen. Hier wird angenommen, dass die unbe-kannte Kraft F zur Erhaltung des Gleichgewichts nach rechts wirkt. BeiAnwendung der Gleichgewichtsbedingung entlang der x-Achse erhal-ten wir

Abbildung 3.5 +F + 10 N = 0

Beide Ausdrücke sind „positiv“, da beide Kräfte in die positive x-Rich-tung wirken. Wenn diese Gleichung gelöst wird, ergibt sich F = −10 N.Das negative Vorzeichen bedeutet, dass F nach links gerichtet seinmuss, um den Massenpunkt im Gleichgewicht zu halten, siehe Abbil-dung 3.5.

Hinweis: Wenn die +x-Achse in Abbildung 3.5 nach links gerichtetwäre, würden beide Ausdrücke in der obigen Gleichung negativ sein.Nach Lösen der Gleichung würde sich aber wiederum F = −10 N erge-ben, was anzeigt, dass F nach links gerichtet ist.

x yF F

=

+ =

∑

∑ ∑

F 0

i j 0

y

F2

F1

F3 F4

x

0

0x

y

F

F

=

=

∑

∑

Fx

10 N i0;xF =∑



104

3

Gleichgewichtsaufgaben bei ebenen, zentralen Kräftesystemen können folgen-dermaßen gelöst werden:

Freikörperbild

Legen Sie die x- und y-Achse in der passenden Orientierung fest.

Beschriften Sie alle bekannten und unbekannten Kraftbeträge und Kraft-richtungen im Bild.

Der Richtungssinn einer Kraft mit unbekanntem Betrag kann beliebig ange-nommen werden.

Gleichgewichtsbedingungen

Wenden Sie die Gleichgewichtsbedingungen ∑Fx = 0 und ∑Fy = 0 an.

Koordinaten sind positiv, wenn sie entlang einer positiven Achse gerichtetsind, und negativ, wenn sie entlang einer negativen Achse gerichtet sind.

Wenn es mehr als zwei Unbekannte und eine Feder in der Aufgabenstel-lung gibt, verwenden Sie die Gleichung F = cs, um den Zusammenhangzwischen Federkraft und Verformung s anzugeben.

Ein negatives Ergebnis zeigt, dass der Richtungssinn der Kraft umgekehrtzu dem im Freikörperbild angenommenen ist.

TCTB

TD

y

x

B

D

A

A

C

Die Ketten üben drei Kräfte auf denRing in A aus. Der Ring bewegt sichnicht, oder bewegt sich mit konstanterGeschwindigkeit, wenn die Summe derKräfte entlang der x- und der y-Achsegemäß dem Freikörperbild gleich nullist. Ist eine der drei Kräfte bekannt,ergeben sich die Beträge der anderenbeiden Kräfte aus den beiden Gleich-gewichtsbedingungen.

Lösungsweg


105


Bestimmen Sie die Zugkraft in den Seilen AB und AD, wenn sichder Motor mit der Masse m in Abbildung 3.6a im Gleichgewichtbefindet.

m = 250 kg, α = 30°

Lösung

Freikörperbild Zur Lösung dieser Aufgabe untersuchen wir das Gleichgewichtdes Rings in A, da an diesem „Massenpunkt“ die Kräfte beider Seile AB undAD angreifen. Beachten Sie aber zunächst, dass der Motor ein Gewicht vonG = (250 kg)(9,81 m/s2) = 2,452 kN hat, das vom Seil CA getragen wird.Wie in Abbildung 3.6b gezeigt, gibt es daher drei Kräfte, die am Ring angreifen. DieKräfte TB und TD haben unbekannte Beträge, aber bekannte Richtungen, und SeilAC übt eine nach unten gerichtete Kraft von G = 2,452 kN in A aus.

Gleichgewichtsbedingungen Die beiden unbekannten Beträge TB und TD

ergeben sich aus den beiden skalaren Gleichgewichtsbedingungen ∑Fx = 0 und∑Fy = 0. Dazu werden die x- und y-Achsen in das Freikörperbild eingezeichnetund TB in die x- und y-Komponente zerlegt. Dies führt auf

(1)

(2)

Auflösen der Gleichung (2) nach TB und Einsetzen in Gleichung (1), um TD zubestimmen, ergibt

Die Genauigkeit dieser Ergebnisse hängt natürlich von der Genauigkeit der vorgege-benen Werte ab, d.h. den Messungen von Geometrie und Lasten. Für die meisteningenieurtechnischen Aufgaben mit solchen Fragestellungen reichen Werte mit biszu drei Stellen Genauigkeit aus. Beachten Sie auch, dass wir hier die Gewichte derSeile vernachlässigt haben, eine vernünftige Annahme, denn sie sind im Vergleichzum Gewicht des Motors klein.

Abbildung 3.6

Beispiel 3.2

0;

0;x

y

F

F

=

=

∑

∑

cos 0

sin 0B D

B

T T

T G

α− =

α− =

4,9 kNsin

cos cos 4,25 kNsin

B

D B

GT

GT T

= =α

= α = α =α

A

C

α

B

D

(a)

(b)

y

x

G = 2,452kN

TB

TD



106

3

Abbildung 3.7

Die in Abbildung 3.7a gezeigte Kiste der Masse m wird mit den Seilen AB und ACangehoben. Jedes Seil hält eine Maximalkraft Smax aus, bevor es reißt. Das Seil ABsoll immer waagerecht bleiben. Bestimmen Sie den kleinsten Winkel θ, bis zu demsich die Kiste anheben lässt, bevor eines der Seile reißt.

m = 200 kg , Smax = 10 kN

Lösung

Freikörperbild Wir untersuchen das Gleichgewicht von Ring A, auf den dreiKräfte wirken, wie Abbildung 3.7b zeigt. Der Betrag von FD ist gleich dem Gewicht derKiste, d.h. FD = G = mg = 200(9,81) N = 1962 N und damit kleiner als 10 kN.

Gleichgewichtsbedingungen Wendet man die Gleichgewichtsbedingungenin x- und y-Richtung an, erhält man

; (1)

(2)

Aus Gleichung (1) ergibt sich, dass FC immer größer als FB ist, da cos θ ≤ 1 ist.Demzufolge erreicht das Seil AC die maximale Zugkraft von Smax vor Seil AB.Setzt man FC = Smax in Gleichung (2) ein, ergibt sich

Wenn man die Werte für θ und FC in Gleichung (1) einsetzt, erhält man die in SeilAB wirkende Kraft

Beispiel 3.3

(a)

D

A B

C θ

FD � G

y

x

(b)

A

FC

FBθ

0;xF =∑ cos 0C BF F− θ+ =cos

BC

FF =

θ

0;yF =∑ sin 0C DF Fθ− =

max sin 0DS Fθ− =

4max

1962 Narcsin arcsin 11,31

10 NDF

Sθ = = = °

max cosBF

S =θ

max cos 9,81 kNBF S= θ =


107


Der Sack A in Abbildung 3.8a hat ein Gewicht G. Bestimmen Siedas Gewicht des Sackes B und die Kraft in jedem Seil, die erfor-

derlich ist, das System in der dargestellten Gleichgewichtsposition zu halten.

G = 20 N, α = 30°, β = 45°, tan γ =

LösungDa das Gewicht von A bekannt ist, kann die unbekannte Zugkraft in den beidenSeilen EF und EC durch Betrachtung des Gleichgewichts am Ring in E bestimmtwerden. Warum?

Freikörperbild Drei Kräfte greifen in E an, siehe Abbildung 3.8b.

Gleichgewichtsbedingungen Festlegen der x- und y-Achsen und Zerlegenjeder Kraft in ihre x- und y-Koordinaten mit Hilfe der Trigonometrie ergibt

(1)

(2)

Auflösen der Gleichung (1) nach TEF in Abhängigkeit von TEC und Einsetzen desErgebnisses in Gleichung (2) führt auf TEC . Danach erhält man TEF aus Gleichung(1). Die Ergebnisse sind

Mit dem berechneten Ergebnis für TEC kann nun das Gleichgewicht des Ringes in Cuntersucht und die Zugkraft in CD sowie das Gewicht von B bestimmt werden.

Freikörperbild Wie in Abbildung 3.8c dargestellt, „zieht“ die Kraft TCE = 38,6 Nan C. Der Grund dafür wird klar, wenn man das Freikörperbild des Seils CE zeichnetund sowohl Gleichgewicht wie auch das Reaktionsprinzip (actio = reactio), nämlichgleiche, aber entgegengerichtete Gegenkraft (drittes Newton’́sches Gesetz) anwen-det, siehe Abbildung 3.8d.

Gleichgewichtsbedingungen Nach Festlegen der x- und y-Achsen und Fest-stellung, dass die Komponenten von TCD proportional zur Seilneigung sind, erhaltenwir

(3)

(4)

Lösen der Gleichung (3) und Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (4) ergibt Abbildung 3.8

Beispiel 3.4

34

0;

0;x

y

F

F

=

=

∑

∑

sin cos 0

cos sin 0EF EC

EF EC

T T

T T G

α− β =

α− β− =

sin38,6 N

cos cos sin sin

cos54,6 N

cos cos sin sin

EC

EF

GT

GT

α= =

α β− α β

β= =

α β− α β

0; cos cos 0

0; sin sin 0x CE CD

y CD CE B

F T T

F T T G

= β− γ =

= γ+ β− =

∑

∑

cos34,1 N

cossin sin 47,8 N

CD CE

B CD CE

T T

G T T

β= =

γ

= γ+ β =

�

�

yTEF

TEC

xE

G = 20N

(b)

β A

B

GC

ED

(a)

α

F

γ

�

y

GB

xC

TCD

(c)

TCE

γ

E

38,6 N

(Kraft des Seils EC auf Ring E)

(Kraft des Rings E auf Seil EC)

(Kraft des Rings C auf Seil EC)

actio-reactio

actio-reactio

(Kraft des Seils EC auf Ring C)

38,6 N

C

(d)



108

3

Abbildung 3.9

Bestimmen Sie die erforderliche Länge lAC des Seils AC in Abbildung 3.9a,sodass die Lampe mit der Masse m in der dargestellten Position hängt. Dieunverformte Länge der Feder AB ist l 'AB und die Feder hat eine Steifigkeitvon cAB . Der Abstand der Wände beträgt b.

m = 8 kg, l 'AB = 0,4 m, b = 2 m, cAB = 300 N/m, α = 30°

LösungWenn die Kraft in der Feder AB bekannt ist, kann die Dehnung aus F = csbestimmt werden. Über die Geometrie kann dann die erforderliche Längevon AC bestimmt werden.

Freikörperbild Die Lampe hat ein Gewicht G = mg = 8 kg(9,81 m/s2)= 78,5 N. Das Freikörperbild des Rings in A ist in Abbildung 3.9b dargestellt.

Gleichgewichtsbedingungen Mit den Achsen x und y folgt

Daraus erhält man

Die Dehnung der Feder AB ergibt sich zu

Somit beträgt die gedehnte Länge

Der horizontale Abstand von C nach B, siehe Abbildung 3.9a, ist

Daraus folgt für die gesuchte Länge lAC

Beispiel 3.5

y

x

G = 78,5 N

A

(b)

α

TAC

TAB

(a)

A B

b

C

cAB

0;

0;x

y

F

F

=

=

∑

∑

cos 0

sin 0AB AC

AC

T T

T G

− α =

α− =

o

o

78,5 N157 N

sin sin 30

cos 157 N cos 30 136 N

AC

AB AC

GT

T T

= = =α

= α = =

136 N0,453 m

300N mAB

ABAB

Ts

c= = =

' 0,4 m 0,453 m 0,853 mAB AB ABl l s= + = + =

cosAC ABb l l= α+

o

2 m 0,835 m1,32 m

cos cos 30AB

AC

b ll

− −= = =

α


109

3.4 Räumliche Kräftesysteme

3.4 Räumliche KräftesystemeFür das Gleichgewicht am Punkt wird

(3.4)

gefordert. Wenn die Kräfte in ihre i-, j- und k-Komponenten zerlegt wer-den, siehe Abbildung 3.10, erhalten wir

Für das Gleichgewicht müssen wir also fordern, dass die folgenden dreiskalaren Koordinatengleichungen erfüllt werden:

(3.5)

Abbildung 3.10

Diese Gleichungen stellen die algebraischen Summen der x-, y- undz-Kraftkoordinaten dar, die am Massenpunkt angreifen. Mit ihnen kön-nen wir Gleichungen mit bis zu drei Unbekannten lösen. Normalerweisesind dies Winkel oder Beträge von Kräften aus dem Freikörperbild.

=∑F 0

x y zF F F+ + =∑ ∑ ∑i j k 0

0

0

0

x

y

z

F

F

F

=

=

=

∑

∑

∑

z

F3F2

F1

x

y



110

3

Am Ring in A greifen die Kraft des Hakens sowie die drei Kettenkräfte an. Wenn der Elektromag-net und seine Last das Gewicht G haben, dann ist die Hakenkraft −G, und die drei skalarenGleichgewichtsbedingungen können für das Freikörperbild des Rings zur Bestimmung der Ketten-kräfte FB , FC und FD ausgewertet werden.

Räumliche Gleichgewichtsaufgaben für einen Massenpunkt können folgender-maßen gelöst werden:

Freikörperbild

Legen Sie die x-, y- und z-Achsen in einer passenden Orientierung fest.

Beschriften Sie alle bekannten und unbekannten Beträge und Richtungender Kräfte im Bild.

Der Richtungssinn einer Kraft mit einem unbekannten Betrag kann beliebigangenommen werden.

Gleichgewichtsbedingungen

Verwenden Sie die skalaren Gleichgewichtsbedingungen ∑Fx = 0,∑Fy = 0, ∑Fz = 0, wenn die Zerlegung der Kräfte in die x-, y- undz-Komponenten einfach ist.

Wenn die dreidimensionale Geometrie schwierig ist, schreiben Sie zunächstjede Kraft als kartesischen Vektor, setzen diese Vektoren in die Gleichung∑ F = 0 ein und setzen dann die i-, j- und k-Koordinaten der Summegleich null.

Wenn sich ein negatives Ergebnis ergibt, bedeutet dies, dass der Richtungs-sinn der Kraft demjenigen im Freikörperbild entgegengerichtet ist.

A

D

CB

FCFDFB

– G

Lösungsweg


111


Eine Last G hängt am Haken wie in Abbildung 3.11adargestellt. Diese wird von zwei Seilen und einer Feder

mit der Steifigkeit c gehalten. Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen und dieDehnung der Feder im Gleichgewicht. Das Seil AD liegt in der x-y-Ebeneund das Seil AC in der x-z-Ebene.

G = 90 N, c = 500 N/m, tan β = , α = 30°

LösungDie Dehnung der Feder kann nach Bestimmung der Kraft in der Feder ermit-telt werden.

Freikörperbild Punkt A wird zur Gleichgewichtsanalyse gewählt, dadie Seilkräfte an diesem Punkt angreifen. Das Freikörperbild ist in Abbil-dung 3.11b dargestellt.

Gleichgewichtsbedingungen Eine Untersuchung ergibt, dass jedeKraft leicht in ihre x-, y- und z-Koordinaten zerlegt werden kann. Daherkönnen die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen direkt angewandtwerden. Wenn wir die Komponenten entlang den positiven Achsen als„positiv“ annehmen, erhalten wir

(1)

(2)

(3)

Auflösen der Gleichung (3) nach FC , dann der Gleichung (1) nach FD undschließlich der Gleichung (2) nach FB ergibt

Die Dehnung der Feder ist daher

Abbildung 3.11

Beispiel 3.6

34

0;

0;

0;

x

y

z

F

F

F

=

=

=

∑

∑

∑

sin cos 0

cos 0

sin 0

D C

D B

C

F F

F F

F G

α− β =

− α+ =

β− =

150 Nsin

cos cos240 N

sin sin sin

cos coscos 208 N

sin sin

C

D C

B D

GF

F F G

F F G

= =β

β β= = =

α α β

α β= α = =

α β

208 N0,416 m

500 N m

B AB

BAB

F cs

Fs

c

=

= = =

y

x

z

(b)

G = 90 N

A

FC

FB

FD

x

y

z

(a)

C

G = 90 N

A

c

B

D



112

3

Abbildung 3.12

Bestimmen Sie den Betrag und die Richtungswinkel der Kraft F in Abbildung 3.12a,die erforderlich ist, den Massenpunkt O im Gleichgewicht zu halten.

F1 = 400 N, F2 = 800 N, F3 = 700 N, a = 3 m, b = 2 m, c = 6 m

Lösung

Freikörperbild Vier Kräfte greifen am Massenpunkt O an, siehe Abbildung 3.12b.

Gleichgewichtsbedingungen Jede Kraft kann als kartesischer Vektor geschrie-ben werden. Die Gleichgewichtsbedingungen können zur Bestimmung der x-, y- undz-Koordinaten von F verwendet werden. Die Koordinaten von B sind B (−b, −a, c)und wir erhalten

Im Gleichgewicht muss gelten

Wir setzen die i-, j- und k-Koordinaten jeweils gleich null und erhalten

und somit

Der Betrag und die korrekte Richtung von F sind in Abbildung 3.12c dargestellt.

Beispiel 3.7

y

F2 = 800 N

(b)

z

x

F

O

F3 = 700 N

F1 = 400 N

y

(c)

z

x

O

F = 300N

α

β�

B

F2

(a)

F1

F3

z

y

x

c

b

a

F

O

{ }

1 1

2 2

3 3 3 2 2 2 2 2 2

3 3 3

{400 } N{ 800 } N

2 3 6700 N

( ) ( ) ( ) ( 2) ( 3) (6)

200 300 600 N

B

B

x y z

x y z

FF

a b cF F

r a b c

F F F

F F F

= ==− = −

⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟− + − + − + − +⎝ ⎠

= − − + =− − +

= + +

F j jF k k

r i j k i j kF

i j k i j k

F i j k

1 2 3

1 2 3 3 3

;

x y z x y zF F F F F F F F

= + + + =

− − − + + + + =

∑F 0 F F F F 0

j k i j k i j k 0

0;0;

0;

x

y

z

FF

F

=

=

=

∑∑

∑

3

1 3

2 3

00

0

x x

y y

z z

F FF F F

F F F

− + =

− + =

− + + =

3

1 3

2 3

200 N100 N

200 N

x x

y y

z z

F FF F F

F F F

= =

=− + =−

= − =

{ }2 2 2

200 100 200 N

(200 N) ( 100 N) (200 N) 300 N

200 100 200300 300 300

200arccos 48,2

300

100arccos 109

300

200arccos 48,2

300

F

F

F

= − +

= + − + =

= = − +

⎛ ⎞α = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞−β = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞γ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

F i j k

Fu i j k


113


Die in Abbildung 3.13a gezeigte Lampe der Masse m wird vondrei gleich langen Kabeln getragen. Bestimmen Sie den kleins-

ten vertikalen Abstand s von der Decke, wenn die in den einzelnen Kabeln entste-hende Kraft den Wert Smax nicht überschreiten darf.

m = 10 kg, Smax = 50 N, r = 600 mm, α = 120°

Lösung

Freikörperbild Aufgrund der Symmetrie beträgt gemäß Abbildung 3.13b derAbstand DA = DB = DC = r = 600 mm. Wegen ∑Fx = 0 und ∑Fy = 0 folgt,dass die Zugkraft T in jedem Kabel gleich groß ist. Der Winkel zwischen jedemKabel und der z-Achse ist γ.

Gleichgewichtsbedingungen Wendet man die Gleichgewichtsbedingungenin z-Richtung mit T = Smax an, erhält man

Aus dem in Abbildung 3.13b schattiert gekennzeichneten Dreieck ist zu erkennen,dass gilt:

= 519 mm

Abbildung 3.13

Beispiel 3.8

0;zF =∑ 3 cos 0maxS mgγ− =

( )10 9,81arccos arccos 49,16

3 3 50max

mgS

γ = = = °⋅

tanrs

γ =

600 mmtan tan 49,16

rs = =

γ °

xy

s

(a)

z

DA

B

C

rα

α

x

y

s

rr

r

D

z

(b)

A

B

C

G = 10(9,81) N

T

T

T

γ



114

3

Abbildung 3.14

Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen, welche die Kiste mit dem Gewicht G inAbbildung 3.14a tragen.

G = 40 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 8 m

Lösung

Freikörperbild Wie in Abbildung 3.14b dargestellt, wird das Freikörperbild vonPunkt A betrachtet, um die drei unbekannten Seilkräfte zu äußeren Kräften zu machen.

Gleichgewichtsbedingungen Zunächst schreiben wir jede Kraft als kartesi-schen Vektor. Die Koordinaten der Punkte B und C sind B (−a,−b,c) und C (−a,b,c):

Im Gleichgewicht muss gelten

Wir setzen die i-, j- und k-Koordinaten jeweils gleich null und erhalten

(1)

(2)

(3)

Aus Gleichung (2) folgt, dass FB = FC ist. Auflösen der Gleichung (3) nach FB undFC und Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (1) zur Bestimmung von FD führt auf

Beispiel 3.9

y

x

z

G = 40 kN

(b)

FB

A

FC

FD

y

x

z

(a)

c

a

b

b

C

B

D A 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

3 4 8

( 3) ( 4) 8

( 0,318 0,424 0,848 ) ( )

( )

3 4 8

( 3) 4 8

( 0

BB B B

B

B

B B Bx By Bz

CC C C

C

C

C

a b cF F

r a b c

F

F F u u u

a b cF F

r a b c

F

F

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥= =⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦

= − − + = − − +

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥= =⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

= −

r i j kF

i j k

i j k i j k

r i j kF

i j k

{ }

,318 0,424 0,848 ) ( )

40 kN

C Cx Cy Cz

D D

F u u u

F

G

+ + = − + +

=

=− = −

i j k i j k

F i

G k k

;

( ) ( )B C D

B Bx By Bz C Cx Cy Cz DF u u u F u u u F G

= + + + =

− − + + − + + + − =

∑F 0 F F F G 0

i j k i j k i k 0

0;

0;

0;

x

y

z

F

F

F

=

=

=

∑∑

∑

0

0

0

B Bx C Cx D

B By C Cy

B Bz C Cz

F u F u F

F u F u

F u F u G

− − + =

− + =

+ − =

23,6 kN

( ) 15,0 kN

B CBz Cz

D Bx CxBz Cz

GF F

u u

GF u u

u u

= = =+

= + =+


115


Die Kiste mit der Masse m in Abbildung 3.15a wird von drei Sei-len gehalten. Ein Seil ist mit einer Feder verbunden. Bestimmen

Sie die Zugkraft in den Seilen AC und AD und die Dehnung der Feder.

m = 100 kg, a = 1 m, b = 2 m, c = 1,5 kN/m, α = 120°, β = 135°, γ = 60°

Lösung

Freikörperbild Die Kraft in jedem Seil kann durch Untersuchung des Gleich-gewichts im Punkt A bestimmt werden. Das Freikörperbild ist in Abbildung 3.15b dar-gestellt. Das Gewicht der Kiste beträgt G = mg = 100 kg (9,81 m/s2) = 981 N.

Gleichgewichtsbedingungen Jeder Vektor im Freikörperbild wird zunächstals kartesischer Vektor geschrieben. Mit Gleichung (2.11) für FC und den KoordinatenD (−a, b, b) für FD erhalten wir

Im Gleichgewicht muss gelten:

Wir setzen die entsprechenden i-, j- und k-Koordinaten gleich null und erhalten

(1)

(2)

(3)

Abbildung 3.15

Beispiel 3.10

2 2 2

2 2 2

(cos cos cos )

(cos 120 cos 135 cos 60 )

( 0,5 0,707 0,5 ) ( )

( )

1 2 2

( 1) 2 2

( 0,333 0,667 0,667 )

B B

C C

C

C C Cx Cy Cz

DD D D

D

D

D

F

F

F

F F u u u

a b bF F

r a b b

F

F

=

= α + β + γ

= + +

= − − + = − − +

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥= =⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

= − + + =

F i

F i j k

i j k

i j k i j k

r i j kF

i j k

i j k

{ }

( )

981 N

D Dx Dy DzF u u u

G

− + +

=− = −

i j k

G k k

;

( ) ( )B C D

B C Cx Cy Cz D Dx Dy DzF F u u u F u u u G

= + + + =

+ − − + + − + + − =

∑F 0 F F F G 0

i i j k i j k k 0

0;

0;

0;

x

y

z

F

F

F

=

=

=

∑∑

∑

0

0

0

B C Cx D Dx

C Cy D Dy

C Cz D Dz

F F u F u

F u F u

F u F u G

− − =

− + =

+ − =

y

x

z

G = 981 N

A

FC

(b)

FD

FB

yab

z

� �b

�

x

(a)

A

cB

C

D



116

3

Auflösen der Gleichung (2) nach FD in Abhängigkeit von FC und Einsetzen in Glei-chung (3) ergibt FC . FD wird aus Gleichung (2) bestimmt. Schließlich setzen wirdie Ergebnisse in Gleichung (1) ein und erhalten FB , also

Die Dehnung der Feder ist somit

813 N

862 N

693,7 N

CCy

Cz DzDy

CyD C

Dy

B C Cx D Dx

GF u

u uu

uF F

u

F F u F u

= =+

= =

= + =

693,7 N0,462 m

1500 N m

B

B

F cs

Fs

c

=

= = =


117

Zusammenfassung

Z U S A M M E N F A S S U N G

Gleichgewicht Wenn sich ein Massenpunkt in Ruhe befindet oder mitkonstanter Geschwindigkeit bewegt, ist er im Gleichgewicht. Dazu ist erfor-derlich, dass die Resultierende aller Kräfte, die am Massenpunkt angreifen,gleich null ist:

FR = ∑F = 0

Zur Berücksichtigung aller Kräfte ist das Zeichnen eines Freikörperbildes erfor-derlich. Dieses ist ein Freischnitt des Punktes, in dem alle Kräfte mit ihrenbekannten und unbekannten Beträgen und Richtungen eingetragen sind.

Ebene Kräftesysteme Die beiden skalaren Gleichungen für das Kräfte-gleichgewicht

∑Fx = 0

∑Fy = 0

können benutzt werden, wenn ein entsprechendes Koordinatensystem mit x-und y-Achse festgelegt wurde. Liefert die Lösung für einen Kraftbetrag einnegatives Ergebnis, dann ist der Richtungssinn der Kraft entgegengesetzt zudem im Freikörperbild eingezeichneten.

Bei Einbeziehung einer linear elastischen Feder kann die Dehnung oder dieStauchung s der Feder mit der aufgebrachten Kraft über die GleichungF = cs verknüpft werden.

Die Zugkraft in einem masselosen, undehnbaren Kabel, das über eine masse-lose Rolle läuft, hat einen konstanten Betrag.

Räumliche Kräftesysteme Die Darstellung dreidimensionaler geometri-scher Anordnungen kann schwierig sein. Die Gleichgewichtsbedingung

∑F = 0

sollte dann unter Zuhilfenahme kartesischer Vektoren ausgewertet werden.Dazu muss zunächst jede Kraft aus dem Freikörperbild als kartesischer Vektorgeschrieben werden. Wenn die Kräfte summiert und gleich null gesetzt wer-den, sind auch die i-, j- und k-Koordinaten gleich null, also gilt

∑Fx = 0

∑Fy = 0

∑Fz = 0

F4 F3

F1 F2



118

3

Aufgaben zu 3.3

3.1 Bestimmen Sie die Beträge von F1 und F2, sodass sichder Massenpunkt P im Gleichgewicht befindet.Gegeben: F = 400 N, β = 60°, α = 30°, tan γ =

Abbildung A 3.1

3.2 Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung θ von F,sodass sich der Massenpunkt im Gleichgewicht befindet.Gegeben: F1 = 7 kN, F2 = 3 kN, tan α =

Abbildung A 3.2

3.3 Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung α von F1,sodass sich der Massenpunkt P im Gleichgewicht befindet.Gegeben: F2 = 450 N, F3 = 300 N, β = 20°, tan γ =

Abbildung A 3.3

*3.4 Bestimmen Sie den Betrag von F und den Winkel θ,sodass sich der Massenpunkt im Gleichgewicht befindet.Gegeben: F1 = 2,25 kN, F2 = 7,5 kN, F3 = 4,5 kN, α = 60°, β = 30°

Abbildung A 3.4

Ausgewählte Lösungswege

43

y

F

F2 F1

β γ

P

α

x

43

y

F

xθ

F1

F2

α

125

y

F

F1

xP

βα

3

F2

γ

y

F

F

xθ

α

β1

F2

F3


119

Aufgaben zu 3.3

3.5 Die Stäbe eines Fachwerks sind im Knoten O gelenkigverbunden. Bestimmen Sie die Beträge von F1 und F2 fürGleichgewicht. Gegeben: θ = 60°, F3 = 7 kN, F4 = 5 kN, β = 70°, γ = 30°

3.6 Die Teile eines Fachwerks sind im Knoten O gelenkig ver-bunden. Bestimmen Sie den Betrag von F1 und den Winkel θfür Gleichgewicht. Gegeben: F2 = 6 kN, F3 = 7 kN, F4 = 7,5 kN, β = 70°, γ = 30°, tan δ =

Abbildung A 3.5/3.6

3.7 Die dargestellte Vorrichtung dient zum Richten von Unfall-autos. Bestimmen Sie die Zugkraft in jedem Segment der Kette,d.h. in AB und BC. Die Kraft FDB, die der HydraulikzylinderDB auf Punkt B ausübt, ist gegeben.Gegeben: FDB = 3,50 kN, a = 400 mm, b = 250 mm, c = 450 mm

Abbildung A 3.7

*3.8 Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen AB und AC, diezum Halten der Ampelanlage mit der Masse m erforderlich ist.Gegeben: m = 12 kg, β = 12°, tan α =

Abbildung A 3.8

3.9 Jedes der beiden Seile AB und AC kann eine maximaleZugkraft Fmax aushalten. Der Zylinder hat das Gewicht G.Bestimmen Sie den kleinsten Winkel θ, unter dem die Seile amZylinder befestigt werden können.Gegeben: Fmax = 8 000 N, G = 9 000 N

Abbildung A 3.9

3.10 Eine Kiste mit dem Gewicht G wird mit den Seilen ABund AC angehoben. Jedes Seil kann eine maximale ZugkraftFmax aushalten, bevor es reißt. AB soll immer in der horizon-talen Lage bleiben. Bestimmen Sie den kleinsten Winkel θ, biszu dem die Kiste angehoben werden kann.Gegeben: Fmax = 2 500 N, G = 500 N

Abbildung A 3.10

34

F1

F2�

�

y

xO θ

F3

F4

�

A

c

a b

B

CD

FDB

724

βA

BC

α

BA

C

θθ

FBA

C θ



120

3

3.11 Zwei elektrisch geladene Kugeln mit jeweils der Massem sind an Fäden gleicher Länge aufgehängt. Bestimmen Sieresultierende horizontale Reaktionskraft F, die an jeder Kugelangreift. Der Abstand zwischen den Kugeln ist r.Gegeben: m = 0,2 g, a = 150 mm, b = 50 mm, r = 200 mm

Abbildung A 3.11

*3.12 Der Betonrohrkrümmer hat das Gewicht G. SeinSchwerpunkt liegt im Punkt S. Bestimmen Sie die Kraft in denSeilen BC und BD.Gegeben: G = 2 000 N, α = 45°, aC = aD = 750 mm

Abbildung A 3.12

3.13 Bestimmen Sie die Dehnung in jeder Feder für den Fall,dass der Klotz mit der Masse m im Gleichgewicht ist. DieFedern sind in der Gleichgewichtslage dargestellt.Gegeben: m = 2 kg, a = 3 m, b = 4 m, h = 3 m, cAC = 20 N/m, cAB = 30 N/m, cAD = 40 N/m

3.14 Die ungedehnte Länge der Feder AB ist l0. Der Klotzwird in der Gleichgewichtslage gehalten. Bestimmen Sie dieMasse des Klotzes in Punkt D.Gegeben: l0 = 2 m, a = 3 m, b = 4 m, h = 3 m, cAB = 30 N/m

Abbildung A 3.13/3.14

3.15 Die Federn AB und BC haben jeweils die Steifigkeit cund eine ungedehnte Länge l0. An den Federn ist eine RolleB befestigt, an der mit einem Seil gezogen wird. BestimmenSie die Kraft F im Seil für den Fall, dass die Verschiebung derRolle von der Wand d ist.Gegeben: c = 500 N/m, l0 = 6 m, d = 1,5 m

*3.16 Die Federn AB und BC haben jeweils die Steifigkeitc und eine ungedehnte Länge l0. Bestimmen Sie die Verschie-bung d, wenn die Kraft F am Seil angreift.Gegeben: c = 500 N/m, l0 = 6 m, F = 175 N


r

b

+ +

+

++

+

+

++

+

++

+

+

A B

F–F

a a

α αC

FAB

DC

B

S

a Da

. .

h

a b

cAB

C B

A

D

F

B

C

d

A

c

c

l 0


121

Aufgaben zu 3.3

3.17 Bestimmen Sie das maximale Gewicht des Blumentopfs,das von den Seilen AB und AC gehalten werden kann, ohnedass die maximale Seilkraft Fmax in einem der Seile über-schritten wird.Gegeben: Fmax = 250 N, α = 30°, tan β =

Abbildung A 3.17

3.18 Der Motor in B wickelt mit konstanter Geschwindigkeitdas Seil auf, das an der Kiste mit einem Gewicht G befestigtist. Bestimmen Sie die Kraft im Seil CD, das die Rolle hält, undden Winkel α, damit die Rolle C im Gleichgewicht ist. Ver-nachlässigen Sie die Größe der Rolle in C.Gegeben: G = 325 N, tan β =

3.19 Jedes Seil, BCA und CD, kann je eine maximale LastFmax aufnehmen. Bestimmen Sie das maximale Gewicht derKiste, die mit konstanter Geschwindigkeit gehoben werdenkann, und den Winkel α, wenn Gleichgewicht vorliegt.Gegeben: Fmax = 500 N, tan β =


*3.20 Bestimmen Sie die Kräfte in den Seilen AC und AB,die zum Halten des Balles mit einer Masse m im Gleich-gewicht erforderlich sind. Gegeben: m = 20 kg, F = 300 N, d = 1 m, a = 2 m, h = 1,5 m

3.21 Der Ball D hat die Masse m. Eine Kraft F greift horizon-tal am Ring in A an. Bestimmen Sie den größten Wert von d,für den die Seilkraft FAC gleich null ist.Gegeben: m = 20 kg, F = 100 N, a = 2 m, h = 1,5 m


3.22 Der Klotz hat das Gewicht G und wird mit gleichförmi-ger Geschwindigkeit gehoben. Bestimmen Sie den Winkel θ imGleichgewicht und die erforderliche Kraft in jedem Seil.Gegeben: G = 20 N,α = 30°

3.23 Bestimmen Sie das maximale Gewicht G des Klotzes,der in der dargestellten Position aufgehängt werden kann,wenn jedes Seil einer maximalen Zugkraft Fmax standhält.Wie groß ist der Winkel θ im Gleichgewicht?Gegeben: Fmax = 80 N,α = 30°


34

α

B

C

A

β

125

125

B

A

C

D

α

β

A

C

B

F

D

a

h

d

T

θ

α

B

A



122

3

*3.24 Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung θ derZwangskraft FAB entlang dem Verbindungsstück AB, die vonder dargestellten Zugvorrichtung ausgeübt wird. Die aufge-hängte Masse ist m. Vernachlässigen Sie die Größe der Rollein A.Gegeben: m = 10 kg, α = 75°, β = 45°

Abbildung A 3.24

3.25 Die Klötze D und F haben beide das Gewicht G, derKlotz E das Gewicht GE . Bestimmen Sie den Durchhang s imGleichgewicht. Vernachlässigen Sie die Größe der Rollen.Gegeben: G = 5 N, GE = 8 N, a = 0,4 m

3.26 Die Klötze D und F haben beide das Gewicht G.Bestimmen Sie das Gewicht GE des Klotzes E. Der Durchhangs ist gegeben. Vernachlässigen Sie die Größe der Rollen.Gegeben: G = 5 N,s = 0,3 m, a = 0,4 m


3.27 Mit der Tragschlinge wird ein Container der Masse mgehoben. Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen AB und ACals Funktion von θ. Die maximal zulässige Zugkraft in jedemSeil beträgt Fmax. Bestimmen Sie die kürzesten Längen derSeile AB und AC, die für die Tragschlinge möglich sind. DerSchwerpunkt des Containers befindet sich im Punkt S. Gegeben: m = 500 kg,Fmax = 5 kN, a = 1,5 m

Abbildung A 3.27

*3.28 Die Last mit der Masse m wird vom dargestelltenRollensystem gehoben. Bestimmen Sie die Kraft F im Seil alsFunktion des Winkels θ. Zeichnen Sie die Kraft F als Funk-tion des Winkels θ für 0 ≤ θ ≤ 90°.Gegeben: m = 15 kg,α = 45°

Abbildung A 3.28

β

A

B

α

FAB

θ

FD E

A

CB

a a

s

A

B C

a a

S

F

θ θ

F

α

θθ


123

Aufgaben zu 3.3

3.29 Das Bild mit dem Gewicht G wird am Stift B aufge-hängt. In den Punkten A und C am Rahmen wird eine Schnurbefestigt, die maximale Tragkraft der Schnur beträgt Fmax .Ermitteln Sie die kürzeste Schnur, die man noch sicher verwen-den kann.Gegeben: G = 50 N, Fmax = 75 N, a = 250 mm

Abbildung A 3.29

3.30 Der Tank mit dem Gewicht G wird an einem Seil derLänge l aufgehängt, das an den Seiten des Tanks befestigt istund über eine kleine Rolle im Punkt O läuft. Das Kabel kannin den Punkten A und B oder C und D befestigt werden.Bestimmen Sie, welche Befestigung zu geringeren Zugkräftenim Seil führt. Wie groß ist diese Zugkraft?Gegeben: G = 400 N, l = 3 m, a = 1 m, b = 0,5 m

Abbildung A 3.30

3.31 Die vertikale Kraft P greift an den Enden Seils AB derLänge l und an der Feder AC an. Die Feder hat die unge-dehnte Länge l0. Bestimmen Sie den Winkel θ wenn Gleichge-wicht vorliegt. Gegeben: P = 10 N, c = 150 N/m, l0 = 0,2 m, a = 0,2 m

*3.32 Bestimmen Sie die Länge l0 der ungedehnten FederAC für eine Kraft P, damit im Gleichgewicht das Seil AB mitder Horizontalen den Winkel θ einschließt. Das Seil AB hat dieLänge a.Gegeben: P = 80 N, θ = 60°, c = 500 N/m, a = 0,2 m


3.33 Eine „Waage“ wird mit einem Seil der Länge l undeinem Klotz D mit dem Gewicht G konstruiert. Das Seil istan einem Stift in A befestigt und läuft über zwei kleine Rol-len. Bestimmen Sie das Gewicht des aufgehängten KlotzesB, wenn das System im Gleichgewicht ist.Gegeben: G = 50 N, l = 1,2 m, a = 0,3 m, s = 0,45 m

Abbildung A 3.33

CA

a a

B

A

O

C

bB

2b

F

D

a

a

a

c

0

θ

A

B C

P

l

s

C

D

B

A

a



124

3

3.34 Ein Auto wird mit der dargestellten Seilanordnungabgeschleppt. Die erforderliche Abschleppkraft beträgt F.Bestimmen Sie die Mindestlänge l des Seils AB, sodass dieZugkraft in keinem Seil Fmax übersteigt. Hinweis: VerwendenSie zur Bestimmung des erforderlichen Befestigungswinkels θdie Gleichgewichtsbedingung im Punkt A, bestimmen Siedann trigonometrisch über das Dreieck ABC die Länge l.Gegeben: F = 3 000 N, Fmax = 3 750 N, a = 1,2 m, α = 30°

Abbildung A 3.34

3.35 Die Feder hat die Steifigkeit c und die ungedehnteLänge l0. Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen BC und BD,wenn die Feder in der dargestellten Position gehalten wird.Gegeben: c = 800 N/m, l0 = 200 mm, a = 500 mm, b = 400 m, d = 400 mm, e = 300 mm

Abbildung A 3.35

*3.36 Mit dem Tragriemen BAC wird die Last F mit kons-tanter Geschwindigkeit angehoben. Bestimmen Sie die Kraftim Tragriemen und zeichnen Sie ihren Wert T (Ordinate) alsFunktion der Richtung θ, wobei 0° ≤ θ ≤ 90° gilt.Gegeben: F = 1 000 N

Abbildung A 3.36

3.37 Die Leuchte mit dem Gewicht G ist an zwei Federnaufgehängt, die eine ungedehnte Länge l0 und eine Steifigkeitc haben. Bestimmen Sie den Winkel θ im Gleichgewicht.Gegeben: G = 45 N, c = 75 N/m, l0 = 1,2 m, a = 1,2 m

Abbildung A 3.37

αA

lB C

F

θ

a

A Bc

D

a b

d

e

C

B

A

θ

F

Cθ

θ θ

a

c c

a


125

Aufgaben zu 3.3

3.38 Der Kübel mit Inhalt hat die Masse m. Das Seil hat dieLänge l. Bestimmen Sie den Abstand y der Rolle im Gleich-gewicht. Vernachlässigen Sie die Größe der Rolle in A.Gegeben: m = 60 kg, l = 15 m, a = 10 m, h = 2 m

Abbildung A 3.38

3.39 Eine Kugel mit der Masse m ruht auf einer glatten para-bolischen Oberfläche. Bestimmen Sie die Normalkraft, die sieauf die Oberfläche ausübt, und die Masse mB des Klotzes B,die erforderlich ist, sie in der dargestellten Gleichgewichtspo-sition zu halten.Gegeben: m = 4 kg, h = 0,4 m, a = 0,4 m, α = 60°

Abbildung A 3.39

*3.40 Das Rohr mit der Masse m wird von fünf Seilen gehal-ten. Bestimmen Sie die Kraft in jedem Seil für den Fall, dassGleichgewicht vorliegt.Gegeben: m = 30 kg, α = 60°, tan β =

Abbildung A 3.40

h

y

C

B

A

a

B

A

y

xa

h

α

y = h x2

a2

34

αA

B

D

C

E

β



126

3

Aufgaben zu 3.4

3.41 Bestimmen Sie den zur Erhaltung des Gleichgewichtsim Kräftesystem erforderlichen Betrag von F1.Gegeben: P (−2 m, −6 m, 3 m), F2 = 500 N, F3 = 400 N, F4 = 300 N, F5 = 450 N, α = 30°

Abbildung A 3.41

3.42 Bestimmen Sie die Beträge von F1, F2 und F3, wennder Massenpunkt im Gleichgewicht ist.Gegeben: F4 = 800 N, α = 60°, β = 30°, γ = 30°, tan δ =

Abbildung A 3.42

3.43 Bestimmen Sie die Beträge von F1, F2 und F3 imGleichgewicht.Gegeben: F4 = 2,8 kN, F5 = 8,5 kN, α = 30°, β = 15°,tan γ =

Abbildung A 3.43

* 3.44 Bestimmen Sie den für Gleichgewicht erforderlichenBetrag der Kraft P und deren Richtung.Gegeben: P (–2 m, −6 m, 3 m), F1 = 2 kN, F2 = 0,75 kN, F3 = 0,5 kN, α = 30°, β = 60°, γ = 120°

Abbildung A 3.44

3.45 Drei Kabel halten die Lampe mit dem Gewicht G.Bestimmen Sie jede Seilkraft, wenn Gleichgewicht vorliegt.Gegeben: G = 800 N, h = 4 m, a = 2 m, b = 4 m

Abbildung A 3.45


z

yO

x

α

(P)

F4

F5

F1

F2

F3

34

γ

F3

F2F1

β

y

x

z

α

F4

δ

724

y

α

F

F1

F2

F3

z

x

4

F5

βγ

P

F3

F2

F1

α�

�

(P)

z

y

x

b

z

a

h

G

D

y

x

A

B

C


127

Aufgaben zu 3.4

3.46 Im Seil AB wirkt eine Zugkraft FAB. Bestimmen Sie dieZugkräfte in den Seilen AC und AD und den Betrag der verti-kalen Kraft F.Gegeben: FAB = 700 N, h = 6 m, a1 = 3 m, a2 = 1,5 m,a3 = 2 m, b1 = 6 m, b2 = 2 m, b3 = 3 m

Abbildung A 3.46

3.47 Bestimmen Sie die Längenänderungen der beidenFedern, die zum Halten der Kiste mit der Masse m in der dar-gestellten Gleichgewichtslage erforderlich sind. Jede Feder hatdie ungedehnte Länge l0 und die Steifigkeit c.Gegeben: m = 20 kg, l0 = 2 m, c = 300 N/m, h = 12 m, a = 6 m, b = 4 m

Abbildung A 3.47

*3.48 Der Eimer mit Inhalt hat das Gesamtgewicht G.Bestimmen Sie die Kraft in den Halteseilen DA, DB und DC.Gegeben: G = 200 N, h1 = 3 m, h2 = 3 m, a1 = 4,5 m, a3 = 1,5 m, b2 = 2,5 m, b3 = 1,5 m

Abbildung A 3.48

3.49 Die Kiste mit dem Gewicht G soll durch die darge-stellte Seilanordnung mit konstanter Geschwindigkeit aus demLaderaum eines Schiffes gehoben werden. Bestimmen Sie dieZugkraft in den drei Seilen im Gleichgewichtszustand.Gegeben: G = 2 500 N, F = 2 500 N, h = 3 m, a1 = 1 m, a2 = 0,75 m, b1 = 3 m, b2 = 1,5 m, b3 = 1 m

Abbildung A 3.49

y

h

O

C

B

D

A

F

1

x

z

a2a

3a

3b

1b

2b

yx

z

O

C

BA

12 m

ab

h

c c

A

D

B

C

y

x

z

b2

h2

a3

b3

h1

a1

F

z

BD

yx

C

A

b1

b2 a1

a2

b3

h



128

3

3.50 Die Lampe hat die Masse m und wird vom Rund-stab AO und den Seilen AB und AC gehalten. Die Wir-kungslinie der Kraft im Rundstab verläuft entlang seinerAchse. Bestimmen Sie die Kräfte in AO, AB und AC für denGleichgewichtsfall. Gegeben: m = 15 kg, h = 6 m, a1 = 2 m, a2 = 4 m, b1 = 1,5 m, b2 = 1,5 m, b3 = 1,5 m

3.51 Die Seile AB und AC können einer maximalen Zug-kraft Fmax standhalten und der Rundstab einem maximaleDruckkraft Pmax. Bestimmen Sie das maximale Gewicht derLampe, die in der dargestellten Position gehalten werdenkann. Die Wirkungslinie der Kraft im Rundstab verläuft ent-lang seiner Achse. Gegeben: Fmax = 500 N, Pmax = 300 N, h = 6 m, a1 = 2 m, a2 = 4 m, b1 = 1,5 m, b2 = 1,5 m, b3 = 1,5 m


*3.52 Bestimmen Sie die Zugkräfte in den Seilen AB, ACund AD, welche die Kiste mit dem Gewicht G im Gleichge-wicht halten. Gegeben: G = 300 N, h1 = 3 m, h2 = 4 m, a1 = 6 m, a2 = 3 m, b1 = 2 m, b2 = 4,5 m

Abbildung A 3.52

3.53 Der Kranarm trägt einen Kübel samt Inhalt mit derGesamtmasse m. Bestimmen Sie die Kräfte in den Stützen ADund AE und die Zugspannung im Seil AB, wenn Gleichge-wicht vorliegt. Die Kräfte in den Stützen verlaufen jeweils ent-lang ihrer Achse.Gegeben: m = 300 kg, h1 = 6 m, h2 = 7,25 m, a1 = 2 m, a2 = 2 m, b1 = 3 m

Abbildung A 3.53

A

z

x

B

y

h

O C

a1

b3

b1

a2

b2

G

x

B

A

DC

z

y

h1

b1b2

h2

a1

a2

A

z

y

C

x

D

E

Bb1

a1

a2

h1

h2


129

Aufgaben zu 3.4

3.54 Bestimmen Sie die zum Heben der Zugmaschine erfor-derliche Kraft in jedem Seil. Ihre Masse beträgt m. Gegeben: m = 8 Mg, h = 3 m, a1 = 2 m, a2 = 1 m, b1 = 1,25 m, b2 = 1,25 m

Abbildung A 3.54

3.55 Bestimmen Sie die Kräfte längs der Achsen der dreiStützen, die den Klotz mit der Masse m halten.Gegeben: m = 500 kg, h = 2,5 m, a1 = 0,75 m, a2 = 1,25 m, b1 = 3 m, b2 = 2 m

Abbildung A 3.55

*3.56 Der Blumentopf mit der Masse m wird von drei Seilenin A gehalten. Bestimmen Sie die Seilkräfte, wenn Gleich-gewicht vorliegt. Gegeben: m = 50 kg, d = 2,5 m, a1 = 6 m, a2 = 6 m, b1 = 2 m, b2 = 2 m, h = 3 m

3.57 Bestimmen Sie die Höhe d des Seils AB, sodass dieKräfte in den Seilen AD und AC halb so groß sind wie dieKraft in Seil AB. Wie groß ist dann die Kraft in jedem Seil? DerBlumentopf hat die Masse m. Gegeben: m = 50 kg, a1 = 6 m, a2 = 6 m, b1 = 2 m, b2 = 2 m, h = 3 m


3.58 Der Kronleuchter hat das Gewicht G und wird von dreiDrähten gehalten. Bestimmen Sie für Gleichgewicht die Kraftin jedem Draht. Gegeben: G = 400 N, R = 0,3 m, h = 0,72 m, α = 90°, β = 135°

h

A

D

C

B

yx

z

a2

a1b2

b1

h

z

A

B

C

D

x

y

b2

b1 a1

a2

A

z

y

x

B

d

hDC

b1b2

a1

a2



130

3

3.59 Jeder Draht trägt maximal Fmax , bevor er reißt. Be-stimmen Sie das größtmögliche Gewicht des Kronleuchtersin der dargestellten Position.Gegeben: Fmax = 600 N, R = 0,3 m, h = 0,72 m, α = 90°, β = 135°


*3.60 Drei Seile tragen den Ring mit dem Gewicht G. Bestim-men Sie für den Gleichgewichtsfall die Zugkraft in jedem Seil.Gegeben: G = 900 N, R1 = 2 m, R2 = 3 m, h = 4 m, α = 120°

Abbildung A 3.60

3.61 Der Zylinder mit der Masse m wird von drei Kettengetragen. Bestimmen Sie jede Kettenkraft wenn Gleichgewichtvorliegt.Gegeben: m = 80 kg, r = 1 m, d = 1 m, α = 135°, β = 90°

Abbildung A 3.61

3.62 Ein Stift ruht auf einer Feder in einem glatten Rohr.Wenn die Feder auf die Länge s zusammengedrückt wird, übtdie Feder eine nach oben gerichtete Kraft F auf den Stift aus.Bestimmen Sie den Befestigungspunkt A (x, y, 0) des SeilsPA, sodass die Zugkraft in den Seilen PB und PC gleich FPB

bzw. FPC ist.Gegeben: s = 0,15 m, F = 60 N, FPB = 30 N, FPC = 50 N, a = 0,3 m, b1 = 0,4 m, b2 = 0,2 m

Abbildung A 3.62

D

y

x

z

A

B

C

R

R

�

α

h

�

R

A

F

αα

αy

z

x

h

R2

R1

α rDB

C

A

x

z

y

d

α�

s

ay

Ay

x

x

z

B

C

P

b1

b2


131

Aufgaben zu 3.4

3.63 Bestimmen Sie in jedem Seil die zum Tragen der Platt-form mit dem Gewicht G erforderliche Kraft.Gegeben: d = 2 m, G = 17 500 N, a = 2 m, b = 1,5 m, c = 1 m, h = 5 m

Abbildung A 3.63

* 3.64 Eine Kugel mit dem Gewicht G ist mit drei Federnam horizontalen Ring aufgehängt. Jede Feder hat die unge-dehnte Länge l0 und die Steifigkeit c. Bestimmen Sie für denGleichgewichtsfall den vertikalen Abstand h vom Ring zumPunkt A.Gegeben: G = 400 N, c = 1 000 N/m, α = 120°, R = 0,5 m, l0 = 0,5 m

Abbildung A 3.64

3.65 Bestimmen Sie die zum Tragen der Kiste der Masse merforderlichen Zugkräfte in den Seilen OD und OB und dieKraft in der Stütze OC. Die Feder OA hat eine ungedehnteLänge l0 und die Steifigkeit cOA . Die Wirkungslinie der Kraftin der Stütze verläuft entlang der Achse der Stütze.Gegeben: m = 50 kg, l0 = 0,8 m, cOA = 1,2 kN/m, h1 = 4 m, h2 = 3 m, h3 = 4 m, a1 = 2 m, a2 = 2 m, b = 4 m, c = 1 m

Abbildung A 3.65

b d yx

C

D

B

A

G

a

b

h

a

c

z

α

αα

R R

A

hc

c

c

c

b

b

b

x

y

O

z

B

cOA

C

D

A

h1

a2

a1

h3

h2



132

3

Vermischte Aufgaben

3.66 Das Rohr wird vom Schraubstock gehalten. Die Schraubegreift mit einer Kraft F in der dargestellten Richtung am Rohran. Bestimmen Sie die Kräfte FA und FB , welche die glattenKontakte in den Punkten A und B auf das Rohr ausüben.Gegeben: F = 250 N, α = 30°, tan β =

Abbildung A 3.66

3.67 Wenn y gleich null ist, beträgt die Kraft in den FedernF0. Bestimmen Sie den Betrag der aufgebrachten vertikalenKräfte F und −F, sodass Punkt A von Punkt B die Strecke yentfernt ist. Die Enden der Seile CAD und CBD sind an denRingen in C und D angebracht.Gegeben: F0 = 300 N, c = 400 N/m, y = 0,2 m, a = 0,2 m

*3.68 Wenn y gleich null ist, werden die Federn um s ge-dehnt. Bestimmen Sie den Abstand y, wenn wie dargestellt dieKraft F an den Punkten A und B angreift. Die Enden der SeileCAD und CBD sind an den Ringen in C und D angebracht.Gegeben: F = 300 N, c = 400 N/m, s = 0,15 m, a = 0,2 m


3.69 Romeo möchte mit konstanter Geschwindigkeit am Seil,das in Punkt A angeknotet ist, zu Julia hinaufklettern. Jederder drei Seilabschnitte hält eine maximale Kraft Fmax . KannRomeo mit der Masse mR das Seil heraufklettern? Wenn diesder Fall ist, kann er dann mit seiner Julia mit der Masse mJ

auch wieder mit konstanter Geschwindigkeit herunterklettern?Gegeben: Fmax = 2 kN, mR = 65 kg, mJ = 60 kg, α = 60°

Abbildung A 3.69

3.70 Bestimmen Sie die Beträge der Kräfte F1, F2 und F3,die notwendig sind, um die Kraft F im Gleichgewicht zu halten.Gegeben: F = {−9i − 8j − 5k} kN, α1 = 60°,α2 = 30°, β1 = 60°, β2 = 60°, γ = 135°, P (4 m, 4 m,−2 m)

Abbildung A 3.70


34

α

F

A

BFB

FA

C

β

F

c c

a

a

a

a

–F

y

A

B

DC

αA C

B

(P)

�

1

x

y

z

F2F1

F3

F

α

2α 2�

1�


133

Vermischte Aufgaben

3.71 Der Mann versucht, den Baumstamm in C mit Hilfeder drei Stricke zu ziehen. Bestimmen Sie die Richtung θ, indie er mit der Kraft F an seinem Seil ziehen sollte, sodass dieKraft auf den Baumstamm maximal wird. Wie groß ist dieseKraft? Bestimmen Sie auch die Richtung, in die er ziehensollte, damit die Kraft im an B befestigten Seil maximal wird.Wie groß ist diese Maximalkraft?Gegeben: F = 400 N, α = 150°

Abbildung A 3.71

* 3.72 An einem Ring vernachlässigbarer Größe greift einevertikale Kraft F an. Bestimmen Sie die erforderliche Länge lder Schnur AC, sodass die Zugkraft in AC gerade FAC

beträgt. Wie groß ist außerdem die Kraft in der Schnur AB?Hinweis: Bestimmen Sie den erforderlichen Befestigungswin-kel θ mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung, bestimmen Siedann l trigonometrisch aus dem Dreieck ABC.Gegeben: F = 200 N, FAC = 160 N, α = 40°, a = 0,2 m

Abbildung A 3.72

3.73 Bestimmen Sie das maximal mögliche Gewicht G desMotors, ohne dass die Zugkraft FAB in Kette AB und FAC inKette AC überschritten wird.Gegeben: FAB = 900 N, FAC = 960 N, α = 30°

Abbildung A 3.73

3.74 Bestimmen Sie die zum Tragen der Last G erforderlicheKraft in jedem Seil.Gegeben: G = 500 N, h = 0,8 m, a1 = 0,2 m, b1 = 0,6 m, b2 = 0,6 m

Abbildung A 3.74

3.75 Am Knoten eines räumlichen Fachwerks greifen vierKräfte an. Stab OA liegt in der x-y-Ebene, Stab OB in dery-z-Ebene. Bestimmen Sie die für Gleichgewicht des Knotensnotwendigen Kräfte in den Stäben.Gegeben: F4 = 200 N, α = 45°, β = 40°

Abbildung A 3.75

A

D

BCα

θ

θ α BC

Al a

F

B

C

A

�

D

y

x

C

A

B

h

z

b1

a1

a1

b2

x

αA

B

F

z

y

�

F O

4

3

F2

F1


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