TECHNISCHE Mathematische Grundlagen (1) ILMENAU … · TECHNISCHE UNIVERSITÄT ILMENAU © H.-D....

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT ILMENAU © H.-D. Wuttke , K. Henke, 2018/19 Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau und ~funktion (10,11) Informationskodierung (12,13,14) Rechnerorganisation Hitparade

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TECHNISCHE UNIVERSITÄTILMENAU

© H.-D. Wuttke ,

K. Henke, 2018/19

Mathematische Grundlagen (1)

Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3)

Kombinatorische Schaltungen (4,5)

Automaten (6,7)

Sequentielle Schaltungen (8)

Programmierbare Strukturen (9)

Rechneraufbau und ~funktion (10,11)

Informationskodierung (12,13,14)

Rechnerorganisation Hitparade

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Wuttke, Henke:

Schaltsysteme

Literatur: Vorlesung 1 - 9

ISBN: 3-8273-7035-3, Verlag: Pearson Studium

https://www.pearson-studium.de/schaltsysteme.html

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Vorlesung 6 - 8

www.goldi-labs.net

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TI/RO moodle Kursraum

https://moodle2.tu-ilmenau.de/course/view.php?id=1576

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Hoffmann, D.W.: Grundlagen der Technischen Informatik, Hanser-Verlag, 2014

Liebig, Flick: MikroprozessortechnikSpringer Verlag, 2005

Literatur: Vorlesung 10 - 13

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Prüfung „Rechnerorganisation“

Freitag, 22. Februar 2019

11:00 – 12:30, 90 Minuten

AudiMax

Erlaubt sind: •Arbeitsblätter,•Unbeschriebene Notizblätter

Verboten sind: •Mitschriften •Taschenrechner •Handys •Nachbars Hilfe

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Praktikum Rechnerorganisation

Anmeldung über Thoska: • im Sommersemester im April und Mai möglich• wer sich aktuell im Wintersemester angemeldet hat -> bitte wieder austragen; sorry !!!

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Praktikum Rechnerorganisation

Anmeldung über Thoska: • im Sommersemester im April und Mai möglich• wer sich aktuell im Wintersemester angemeldet hat -> bitte wieder austragen; sorry !!!

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1. Math. Grundlagen:

Aussagen

zusammengesetzte Aussagen

Prädikate

Mengen

Abbildungen

Grundlagen

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Satz zur Beschreibung eines

Sachverhaltes

Wahrheitswerte: w, f

kein Wert = keine Aussage

Aussage

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... mithilfe von Aussagen

b( bB p(b) )

mithilfe von Prädikaten

B={ b| p(b) }

durch Aufzählung der Elemente bi

B= { b0, b1, b2}

Mengendefinition

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Begriffe der Mengenlehre

Mächtigkeit |B|

Die leere Menge

Teilmenge (B von C) B C

geordnete Mengen (Tupel) [ b1, b0 ]

Mengenoperationen:

Komplement , Schnitt , Vereinigung

Mengenprodukt B x C

Ergebnis: Menge von Tupeln

{[b0,c0], [b1,c0].... [bi,cj]

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Mengenoperationen

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2. Beschreibung der Funktion

Digitaler Schaltungen:

Variablen, Belegungen

Wertetabellen

Digitale Schaltungen

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Eingangsvektor x=[x2, x1, x0] klein

Eingangsbelegung X3=[ 0, 1, 1] GROß

Belegungsindex i =0*22+1*21+1*20=3

Ausgangsvektor y = [y1, y0] klein

Ausgangsbelegung Y1=[ 0, 1] GROß

Belegungsindex t =0*21+1*20=1

Variablen, Belegungen

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Wertetabelle

2

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2. Funktion digitaler Schaltungen:

… continued

BMA, Wertetabellen

Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke

Semantik, Wertfunktion

BAA, Wertberechnung

Ausdruck => Wertetabelle

Rechnerorganisation

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Wertetabelle

Beispiel Addition

Nachbereich

üi-1 ai bi üi si Adderx= [x2 x1 x0] x2 x1 x0 y1 y0 intern

X0 0 0 0 0 0 Y0

X1 0 0 1 0 1 Y1

X2 0 1 0 0 1 Y1

X3 0 1 1 1 0 Y2

X4 1 0 0 0 1 Y1

X5 1 0 1 1 0 Y2

X6 1 1 0 1 0 Y2

X7 1 1 1 1 1 Y3

Vorbereich

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Wertberechnung: BAA

Rechenregeln für Konstante:

Negation: 1=0 0=1

Konjunktion: 11=1; 01=00=0

Disjunktion: 00=0; 01=11=1

Semantik: Wertfunktion W

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Rechenregeln: BAA

Wertberechnung für Ausdrücke W(hi , Xk):

Schrittweise Berechnung des Wertes

1. Belegung der Variablen (Bits)

2. Verknüpfung der Werte

Variable xj => Bit der Belegung Xk(xj)

Semantik: Wertfunktion W

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... sind Zeichenreihen zur

strukturorientierten Beschreibung

digitaler Schaltungen

Wertetabellen: eindeutige Abbildung

Eingangsbelegung/ Ausgangsbelegung

=> funktionsorientierte Beschreibung

schaltalgebraische Ausdrücke

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2. Funktion digitaler Schaltungen:

… continued

Wertetabelle => Ausdruck

Elementarkonjunktion, KDNF

Elementardisjunktion, KKNF

Überführung Normalformen

Umformungsregeln

Rechnerorganisation

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11=1, 1 0=1

X3 = [0,0,..., 0,1,1]

W(k3, Xi) =1 falls i = 3

W(k3 , Xi) =0 falls i 3

X3 = [0,0,..., 0,1,1]

k3 = xn-1 ... x1 x0

Elementarkonjuktion

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00=0, 1 0=0

X3 = [0,0,..., 0,1,1]

W(d3, Xi) =0 falls i = 3

W(d3 , Xi) =1 falls i 3

X3 = [0,0,..., 0,1,1]

d3 = xn-1 ... x1 x0

Elementardisjuktion

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Elementarkonjuktion k2 => KDNF

11=1, 01=1

X2 = [0 ,..., 0, 1, 0]

k2 = xn-1 ... x1 x0

hi = k1 k2 k5 k6 k7 hi in KDNF

KDNF = Disjunktion von

Elementarkonjunktionen

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Elementardisjuktion d2 => KKNF

00 =0, 01=0

X2 = [0 ,..., 0, 1, 0]

d2 = xn-1 ... x1 x0

hi = d0 d3 d4 hi in KKNF

KKNF = Konjunktion von

Elementardisjunktionen

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KKNF => KDNF

Für vollständig bestimmte Funktionen

gilt: I0 = I1

Index für d: I0

hi = d0 d3 d4

Index für k: I1

= k1 k2 k5 k6 k7

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De Morgan:

hi hj = hi hj

hi hj = hi hj

KDNF => KNANF ki kj = ki kj

KKNF => KNONF di dj = di dj

Überführung Normalformen

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2. Funktion digitaler Schaltungen

... wertverlaufsgleiche Umformungen

Karnaugh-Veith-Diagramme,

3. Struktur digitaler Schaltungen:

Strukturdefinition,

Struktursynthese,

elementare Strukturen,

Strukturanalyse

Rechnerorganisation

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Kürzen

Kürzen Erweitern

x3*x0+x3*x1+x2*x1

Applet zum Vergleich (=+, =*)

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Kürzungsregel

benachbarte Belegungen

[1,1,0][1,1,1] r=0

... unterscheiden sich in genau 1Bit

benachbarte Ausdrücke

x2*x1 = x2*x1*x0+x2*x1*/x0

mit

hi=x2*x1, r=0

in genau einer Variablen (negiert)

Karnaugh-Veith-Diagramme

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benachbarte Belegungen

grafisch so anordnen, dass Nachbarn

nebeneinander liegen, Matrix,

Nachbarschaft je Spalte

und je Zeile

Funktionswerte

Karnaugh-Veith-Diagramme

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z.B.

Karnaugh-Veith-Diagramme

k13 k9

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Gleiches Beispiel - andere Kürzung

Karnaugh-Veith-Diagramme

Ergebnis:

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benachbarte Belegungen

können gekürzt werden.

Kürzung: 1 Variable => 2er Block

2 Variable => 4er Block

3 Variable => 8er Block

4 Variable =>16er Block

...

Karnaugh-Veith-Diagramme

x3

/x2 /x 1 Applet

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Kombinatorische Struktur

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Struktursynthese

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strukturgleiche Schaltung

strukturgleicher Ausdruck

Struktursynthese

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Strukturanalyse

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• strukturgleiche Schaltung strukturgleicher Ausdruck

Strukturanalyse

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0 1

Teilnehmer 0 [0,0] mit Teilnehmer 1 [0,1]

verbunden

Multiplexer Demultiplexer

[0,...,1][0,...,0]

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ROM

Vereinfachte Darstellung

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PLA

Vereinfachte Darstellung Programable Logic Array

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PAL/GAL

Vereinfachte Darstellung Programable Array Logic, Gate AL

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Zusammenfassung

ROM PLA GAL

Applet:

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4. Sequentielle Schaltungen

Automatenfunktionen

Automatentypen

Verifikation (Vollständigkeit

& Widerspruchsfreiheit)

Synthese sequ. Strukturen

(z- und y- Gleichungen)

Rechnerorganisation

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Beispiel

Ansatz: WertetabelleStart/Stopp

rechts links rechts links

x2 x1 x0 y1 y0

0 0 0 0 0 Stopp

0 0 1 0 0 Stopp

0 1 0 0 0 Stopp

0 1 1 * * don‘t care

1 0 1 1 0 links angekommen => rechts

X4 1 0 0 1 0 rechts weiter

1 1 0 0 1 rechts angekommen => links

X4 1 0 0 0 1 links weiter

1 1 1 * * don‘t care

Problem mit Kombinatorik nicht beschreibbar !!

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Automat

Zustandsüberführungsfunktion

Ausgabefunktion:

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Beispiel

BAA

Übergangsausdruck h00 von Z0 nach Z0

Übergangsausdruck h01 von Z0 nach Z1

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Automatengraph

Grafische Interpretation:Z Zustand: KreisZustandspaar: Bogen („Kante“)Übergangsausdruck h00

„Kantengewicht“

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Automatentypen

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Beispiel als Moore-Automat

Korrekter Entwurf?=> formale Verifikation

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Vollständigkeit

BAA => BMA je Zustand alle Xk

vollständig

{X0, X2, X4, X6}{X1, X3, X5, X7}

{X2, X3, X6, X7}

{X0, X1, X4, X5}

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Vollständigkeit

BMA

BAAx0x0=1

allgemein

i:Zustandsindex

{X0, X2, X4, X6} {X1, X3, X5, X7}= X

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Widerspruchsfreiheit

BAA => BMA Widerspruch

{X2, X3, X6, X7}

{X0, X1, X4, X5}

{X0, X1, X2, X3}

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Widerspruchsfreiheit

BAA => BMA Widerspruch

BMA: paarweise Schnittbildung

BAA: paarweise Konjunktion

h10 h13 = 0? x1x2 0

{X0, X1, X2, X3} = {X2, X3}=> ! Widerspruch {X2, X3, X6, X7}

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z-Gleichungen

Zustandsüberführungsfunktion:

z0:= z0 x0 z0 x1

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y-Gleichungen

Ausgabefunktion:

z.B. 1-Belegung von y1 in Z1

Knotengewichty1= z0 x2

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Struktur-Gleichungen

Ausgabefunktion:y0= z0 x2

y1= z0 x2

Zustandsüberführungsfunktion:z0:= x0 z0 x1

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Moore / Mealy

Moore-Automat A=(X,Y,Z,,)Ausgabe nur von Zuständen abh.

Spezielle Ausgabefunktion: : Z=>Y

Mealy- Automat A=(X,Y,Z,,): ZxX =>Y

Ausgabe auch von Eingaben abh.

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Beispiel als Moore-Automat

In Ausgabefunktion nur Konstante

Mealy-Automat:

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Beispiel als Moore-Automat

In Ausgabefunktion nur Konstante

Mealy-Automat:

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Beispiel als Moore-Automat

In Ausgabefunktion nur Konstante

Mealy-Automat:

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Moore-Automat

Beispiel: Spindelsteuerung

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Moore-Automat

Beispiel (asynchrone Schaltung)

&

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Moore-Automat

Beispiel (synchrone Schaltung)

&Dff

z0

Dff

z1

Clock

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Struktur-Gleichungen

Ausgabefunktion:y0= z0 x2

y1= z0 x2

Zustandsüberführungsfunktion:z0:= x0 z0 x1

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Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3)

Kombinatorische Schaltungen (4,5)

Automaten (6,7)

Sequentielle Schaltungen (8)

Programmierbare Strukturen (9)

Rechneraufbau und ~funktion (10,11)

Informationskodierung (12,13,14)

Rechnerorganisation

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Zyklischer Befehlsablauf

Befehlsphasen

Befehl holen (fetch)dekodieren (decode)

Operanden adressierenladen (load)

Befehl ausführen (execute)Resultat speichern (store)Befehlszeiger erhöhen

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Gesamtansicht

Arithmetik-Befehl

12

34

5

6

7

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Gesamtansicht

Von-Neumann-Architektur

Fehlerhafter Speicherzugriff

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Architekturmerkmale

Register, Speicher

Operationen

Adressierungsarten

Datentypen

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Adressierungsarten

Direkte Registeradressierung

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Adressierungsarten

Direkte Speicheradressierung

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Adressierungsarten

Indirekte Registeradressierung

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Adressierungsarten

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x86 – Architektur II

Flags

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Ausgewählte Befehle

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Ausgewählte Befehle II

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Informationskodierung

Informationen in Rechnern:

Befehle Daten

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Datenkodierung

Daten

alphanumerische Zeichen Zahlen

ASCII-Kode:

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Zahlenkodierung

Binary Coded Decimals

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Zahlenkodierung

B C D

Tetraden <> Pseudotetraden

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Operationen

Konegative Zahlen

zn1 > zn2 , zn1 + zn2 =sn , zn1 - zn2 = dn

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Gleitkommazahlen (GK)

IEEE - Standard

(125)dezimal = ( 1,111101 x 10 110 )dual

0 | 10000101 | 111101000...s e f ...

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Viel Erfolg bei der Prüfung

;-)

Das war‘s für dieses Semester