TECHNIKI TRANSMISJI CYFROWYCH

QPSK

OQPSK

π/4-QPSK

Opracowali:

Grzegorz Iwacz Michał Zajączkowski

© 2004

Spis treści:

1. Wstęp ..................................................................................................................... 3

2. QPSK ....................................................................................................................... 3

2.1. Zasada działania......................................................................................... 3 2.2. Przebiegi........................................................................................................... 6 2.3. Schematy urządzeń.................................................................................. 7

3. OFFSET QPSK .............................................................................................. 9

4. π/4-QPSK......................................................................................................... 11

4.1. Zasada działania....................................................................................... 11 4.2. Demodulacja (demodulatory i ich charakterystyka) ..... 14

5. Literatura ........................................................................................................ 21

2

1. Wstęp

Termin PSK (Phase shift Keying) określa dużą klasę modulacji cyfrowych szeroko stosowaną w przemyśle telekomunikacyjnym. My przyjrzymy się dokładniej jednej z jej odmian, modulacji π/4-QPSK (π/4-Quadrature Phase Shift Keying). Żeby jednak dobrze zrozumieć jej istotę wcześniej omówimy pokrótce modulacje QPSK oraz OQPSK (Offset QPSK).

2. QPSK

2.1. Zasada działania

Modulacja QPSK jest szczególną i najczęściej stosowana odmianą modulacji MPSK (M-ary Phase Shift Keying). Jej zaletą jest zwiększenie efektywności wykorzystania pasma, przy jednoczesnym braku negatywnego wpływu na bitową stopę błędów (BER). Sygnał modulacji PSK definiujemy jako:

)2cos( ici tfAs θπ +⋅= , Tt ≤≤0 , i = 1, 2, 3, 4, gdzie

4)12( πθ ⋅−

=i

i

Wyjściowe fazy sygnału to 4

7,4

5,4

3,4

ππππ . Częstotliwość nośnej jest wybierana jako

całkowita wielokrotność szybkości nadawania znaku, dlatego faza sygnału jest jedną z wymienionych powyżej faz. Powyższe wyrażenie możemy zatem zapisać następująco:

)()(2sinsin2coscos 2211 tststfAtfAs iicicii φφπθπθ ⋅+⋅=⋅⋅−⋅⋅= , (1) gdzie φ1(t) oraz φ2(t) zdefiniowane są następująco:

3

tfT

t cπφ 2cos2)(1 ⋅= , Tt ≤≤0

tfT

t cπφ 2sin2)(2 ⋅−= , Tt ≤≤0

oraz

ii Es θcos1 ⋅=

ii Es θsin2 ⋅=

1

21tani

ii s

s−=θ ,

gdzie 2

2 TAE ⋅= jest energią znaku.

Obserwujemy, że sygnał ten jest liniową kombinacją dwóch ortonormalnych funkcji

bazowych: φ1(t) oraz φ2(t). W systemie współrzędnych φ1(t) i φ2(t) możemy przedstawić te

cztery sygnały jako cztery punkty lub wektory: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

i

ii s

ss , i = 1, 2, 3, 4. Kąt wektora si w

odniesieniu do osi poziomej jest fazą wyjściową sygnału φi. Długość tego wektora wynosi E .

Konstelacja sygnału jest przedstawiona na rysunku 1.

Rys. 1. Konstelacja sygnału

W QPSK bity danych są podzielone na grupy składające się z dwóch bitów: 00, 01, 10, 11. Każdy z 4 sygnałów QPSK jest używany do reprezentacji jednej z grup. Konstelacja

4

sygnału na rysunku 1 używa kodowania Grey’a. Koordynaty punktów sygnału zawiera tabela 1.

Tabela 1

dwubit faza θi ii Es θcos1 ⋅= ii Es θsin2 ⋅=

11 π/4 +2E +

2E

01 3π/4 -2E +

2E

00 5π/4 -2E -

2E

10 7π/4 +2E -

2E

W powyższej tabeli, dla uzyskania dogodnej struktury modulatora, mapujemy logiczną 1 na

2E oraz logiczne 0 na

2E

− . Mapujemy także bity o numerach nieparzystych na si1, a o

numerach parzystych na si2. Zatem na podstawie równania 1, sygnał QPSK możemy zapisać następująco:

tftQAtftIAts cc ππ 2sin)(2

2cos)(2

)( ⋅⋅−⋅⋅= , ∞<<∞− t ,

gdzie I(t) oraz Q(t) są ciągami bitów determinowanymi przez bity o numerach nieparzystych oraz bity o numerach parzystych, odpowiednio:

∑∞

−∞=

−⋅=k

k kTtpItI )()(

∑∞

−∞=

−⋅=k

k kTtpQtQ )()( ,

gdzie Ik = ±1 i Qk = ±1, a mapowanie pomiędzy danymi a Ik i Qk wygląda następująco: 1→1 i 0→-1. p(t) jest funkcją prostokąt określoną na przedziale [0, T].

5

2.2. Przebiegi

Przedstawienie przebiegów modulacji QPSK, w oparciu o przydzielanie sygnałów z rysunku 1, przedstawia rysunek 2.

Rys. 2. Przebiegi modulacji QPSK

6

Przebieg ma stałą obwiednię i nieciągłości fazy na granicach znaków. W porównaniu z BPSK (Binary Phase Shift Keying) QPSK dla takiej samej szybkości transmisji, transmituje dane dwa razy szybciej. Co więcej, chociaż zwiększa się prawdopodobieństwo błędu znaku, prawdopodobieństwo błędu bitu pozostaje takie samo.

2.3. Schematy urządzeń Modulator QPSK przedstawia rysunek 3a:

Rys. 3. a) Modulator QPSK, b) Demodulator QPSK

7

Kanał I nazywany jest kanałem synfazowym, natomiast kanał Q nazywany jest kanałem kwadraturowym. Wejściowa sekwencja danych jest rozdzielana przez przetwornik szeregowo-równoległy (S/P) na sekwencję bitów nieparzystych dla kanału I oraz sekwencję bitów parzystych dla kanału Q. Następnie logiczna 1 jest konwertowana na impuls dodatni, a logiczne 0 na impuls ujemny, oba o tej samej amplitudzie i czasie trwania T. W kolejnym kroku ciąg nieparzystych impulsów jest mnożony przez tf cπ2cos , a ciąg parzystych impulsów przez tf cπ2sin . Ostatecznie układ sumujący dodaje te dwa przebiegi tworząc sygnał QPSK.

Demodulator QPSK przedstawia rysunek 3b. CR oznacza tu moduł odzyskiwania

nośnej (Carrier Recovery). Sygnały kanałów I oraz Q są demodulowane oddzielnie jako dwa indywidualne sygnały BPSK, a następnie konwerter równoległo-szeregowy (P/S) łączy te dwie sekwencje w jedną.

8

3. OFFSET QPSK

Offset QPSK jest zasadniczo identyczna jak QPSK za wyjątkiem tego, że ciągi bitów kanału I oraz Q są „przesunięte w czasie”. Na rysunku 4 widzimy modulator i demodulator OQPSK, które różnią się od QPSK jedynie dodatkowym opóźnieniem T/2 sekundy w kanale Q.

Rys. 4. a) Modulator OQPSK, b) Demodulator OQPSK

Bazując na schemacie modulatora, sygnał OQPSK możemy zapisać:

tfTtQAtftIAts cc ππ 2sin)2

(2

2cos)(2

)( ⋅−⋅−⋅⋅= , ∞<<∞− t .

Skoro OQPSK różni się od QPSK jedynie opóźnieniem sygnału kanału Q, a więc widmowa gęstość mocy jest tu taka sama jak w QPSK, rozważania dotyczące błędów są również takie same.

9

Przebiegi modulacji QPSK przedstawia rysunek 5.

Rys. 5. Przebiegi modulacji OQPSK

Obserwujemy, że na skutek „rozregulowania” kanału I oraz Q, OQPSK ma okres trwania znaku równy T/2. W granicach dowolnego znaku tylko jeden z dwóch bitów w parze (Ik, Qk) może zmienić znak. Wartość zmiany fazy na granicy znaku może zatem wynieść jedynie 0° i ±90°. Dla QPSK czas trwania symbolu wynosi T, zatem obydwa bity w parze (Ik, Qk) mogą zmienić znak – wartość zmiany fazy na granicy znaku może oprócz 0° i ±90° wynosić także 180°.

10

4. π/4-QPSK

4.1. Zasada działania

π/4-QPSK, nie tylko jest przesunięta w fazie o 180° tak jak OQPSK, ale także może być demodulowana różnicowo. Te właściwości czynią ją szczególnie dogodną w przypadku komunikacji ruchomej, gdzie różnicowa demodulacja może zmniejszyć niepożądane efekty kanału z zanikami. π/4-QPSK została przyjęta jako standard dla systemu telefonii cyfrowej w Stanach Zjednoczonych i Japonii.

Po raz pierwszy π/4-QPSK została zaprezentowana w 1962 roku przez Baker’a. Jest

ona odmianą różnicowo zakodowanej QPSK (DEQPSK – Differentially Encoded Quadrature Phase Shift Keying). Różni się od niej jednak regułą kodowania. Rysunek 6 przedstawia modulator π/4-QPSK.

Rys. 6. Modulator π/4-QPSK

(I(t), Q(t)) oraz (u(t), v(t)) to odpowiednio niezakodowane i zakodowane bity kanału I oraz Q. Różnicowy koder modulatora π/4-QPSK koduje sygnały I(t) oraz Q(t) na sygnały u(t) oraz v(t) zgodnie z poniższymi regułami:

)(2

111 kkkkk QvIuu ⋅−⋅= −−

(1)

)(2

111 kkkkk IvQuv ⋅+⋅= −− ,

11

gdzie przez uk rozumiemy amplitudę sygnału u(t) podczas trwania k-tego znaku itd. Zakładamy, że Ik, Qk przyjmują wartości z przedziału (-1,1). Jeśli uszczególnimy, że u0 = 1 i

v0 = 0, wtedy uk oraz vk mogą przyjmować wartości albo spośród ±1,0 albo spośród ±2

1 .

Sygnał wyjściowy modulatora to:

(2) )2cos(2sin2cos)( kcckck tfAtfvtfuts Φ+⋅=⋅+⋅= πππ , gdzie

TktkT )1( +≤≤ oraz k

kk u

v1tan −=Φ .

22kk vuA += jest niezależne od indeksu czasowego k, tzn. sygnał ma stałą obwiednię.

Można to łatwo wykazać podstawiając wyrażenia z równania 1 do powyższego wzoru na A; okazuje się, że Ak = Ak-1. Właściwie A = 1 przy założeniu, że u0 = 1 i v0 = 0. Można dowieść, że relacja fazowa między dwoma kolejnymi symbolami wynosi:

k

kk

kkk

IQ1

1

tan −

−

=∆

∆+Φ=Φ

θ

θ

(3)

gdzie kθ∆ jest różnicą fazową determinowaną przez dane wejściowe, który to wpływ przedstawia tabela 2.

12

Tabela 2

IkQk ∆θk iθ∆cos kθ∆sin

11 π/4 +2

1 +2

1

01 3π/4 -2

1 +2

1

00 5π/4 -2

1 -2

1

10 7π/4 +2

1 -2

1

Odwołując się do wartości kθ∆ z tabeli 2 widzimy wyraźnie na podstawie równania 3, że zmiany fazy ograniczają się do nieparzystych wielokrotności π/4 (45°). Dla kątów 90° i 180° zmiana fazy nie występuje. W dodatku informacja przenoszona jest przez zmianę fazy

kθ∆ , a nie przez samą fazę . Rysunek 7 przedstawia konstelację sygnału. kΦ

Rys. 7. Konstelacja sygnału

Kąt znaku w odniesieniu do dodatnich wartości osi u oznacza fazę znaku . Znaki reprezentowane przez • mogą jedynie przejść w znaki reprezentowane przez × i odwrotnie. Przejścia pomiędzy nimi samymi są niemożliwe. Zmiana fazy z jednego znaku do kolejnego to

kΦ

kθ∆ .

13

4.2. Demodulacja (demodulatory i ich charakterystyka)

Skoro informacja jest przenoszona poprzez zmiany fazy, może zostać użyta demodulacja koherentna (jest ona pożądana, jeżeli wymagana jest wysoka efektywność mocy). Istnieją cztery sposoby zdemodulowania sygnału π/4-QPSK:

1. Detekcja różnicowa pasma podstawowego 2. Detekcja różnicowa pasma średnich częstotliwości 3. Detekcja FM 4. Detekcja koherentna.

Pierwsze trzy demodulatory są równorzędne pod względem jakości demodulacji. Demodulator koherentny jest o 2 do 3 dB lepszy.

Rysunek 8 przedstawia demodulator różnicowy pasma podstawowego. Filtr

pasmowoprzepustowy (BPF) na początku układu służy do minimalizacji mocy szumów. Jednakże faza nośnej musi zostać zachowana dla poprawnej detekcji różnicowej. Zakładamy, że różnica fazy θ otrzymanego sygnału pozostaje właściwie stała pomiędzy czasem trwania poprzedniego znaku a czasem trwania następnego znaku. Ta różnica fazy zostanie usunięta w dekoderze różnicowym pasma podstawowego.

Rys. 8. Demodulator różnicowy pasma podstawowego

W przypadku braku szumów, na wyjściu filtru pasmowoprzepustowego (BPF) podczas trwania k-tego znaku mamy:

)2cos()( θπ +Φ+⋅= kck tfAtr TktkT )1( +≤≤ , (4)

gdzie θ jest losową fazą wprowadzona przez kanał.

14

Zakładamy, że θ zmienia się bardzo wolno w porównaniu z szybkością zmian znaków, dlatego też traktujemy ją jako stałą dla dwóch następujących po sobie znaków. Zmienna w czasie amplituda Ak zastępuje stałą amplitudę transmitowanego sygnału. Zmiany amplitudy mogą następować na skutek zaników w kanale czy interferencji. Podczas trwania k-tego znaku mnożnik wyjścia kanału I wynosi:

[ ])cos()4cos(21)2cos()2cos( θθπθππ +Φ++Φ+=+Φ+⋅⋅ kkckkcck tfAtftfA

Zatem na wyjściu filtru dolnoprzepustowego (LPF) kanału I (pomijając współczynnik ½ oraz straty filtru) otrzymujemy:

)cos( θ+Φ⋅= kkk Aw Podobnie na wyjściu filtru dolnoprzepustowego kanału Q mamy:

)sin( θ+Φ⋅= kkk Az Skoro θ nie uległa zmianie od czasu trwania poprzedniego znaku, otrzymujemy:

)sin()cos(

111

111

θθ

+Φ⋅=+Φ⋅=

−−−

−−−

kkk

kkk

AzAw

Reguła dekodowania wygląda następująco:

11

11

−−

−−

⋅−⋅=⋅+⋅=

kkkkk

kkkkk

zwwzyzzwwx

z czego po podstawieniu otrzymujemy:

[ ]kkkkkkk

kkkkkkk

AAAAAAx

θθθθθ

∆⋅⋅=Φ−Φ⋅⋅==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ⋅=

−−−

−−−

cos)cos()sin()sin()cos()cos(

111

111

15

[ ]kkkkkkk

kkkkkkk

AAAAAAy

θθθθθ

∆⋅⋅=Φ−Φ⋅⋅==+Φ⋅+Φ−+Φ⋅+Φ⋅=

−−−

−−−

sin)sin()sin()cos()cos()sin(

111

111

Na podstawie tabeli 2 układy decyzyjne wyznaczają:

1=kI)

, jeżeli xk>0 lub 1−=kI)

, jeżeli xk<0

1=kQ)

, jeżeli yk>0 lub 1−=kQ)

, jeżeli yk<0.

16

Demodulator różnicowy pasma średnich częstotliwości (rys. 9) eliminuje różnice fazy θ w paśmie średnich częstotliwości.

Rys. 9. Demodulator różnicowy pasma podstawowego

Mnożnik wyjścia kanału I wynosi:

[ ])cos()24cos(21

)2cos()2cos(

112

12

−−

−

Φ−Φ++Φ+Φ+⋅=

=+Φ+⋅+Φ+⋅

kkkkc

kckc

tfA

tftfA

θπ

θπθπ

Ponownie ignorując współczynnik A2/2 i stratę filtru dolnoprzepustowego na wyjściu tego filtru mamy . Podobnie na wyjściu filtru dolnoprzepustowego kanału Q otrzymujemy

kkk x=Φ−Φ − )cos( 1

kkk y=Φ−Φ − )sin( 1 . Reszta jest identyczna jak przy różnicowej detekcji pasma podstawowego. Zaletą tego demodulatora jest to, iż nie potrzebujemy lokalnego oscylatora.

17

Demodulator FM widzimy na rysunku 10.

Rys. 10. Demodulator FM

Idealny ogranicznik pasmowoprzepustowy utrzymuje obwiednię otrzymanego sygnału stałą bez zmiany jej fazy. Wyjściowy sygnał idealnego detektora częstotliwości jest proporcjonalny to dewiacji częstotliwości sygnału wejściowego, to znaczy

))(()( θ+Φ= tdtdtv

Na wyjściu układu próbkująco-pamietającego (ISD) mamy:

∫−

− ∆=+∆=Φ−Φ=kT

Tkkkkk ndttv

)1(1 )2(mod,2)( πθπθ

gdzie 2nπ jest spowodowane szumem. Operacja modulo 2π usuwa czynnik 2nπ i wartość wyjściowa wynosi ∆θk, która w końcu zostanie zmapowana na odpowiedni dwubit.

18

Koherentny demodulator π/4-QPSK może mieć formę z rysunku 11, gdzie dekodowanie różnicowe przeprowadzane jest na fazach sygnału.

Rys. 11. Demodulator koherentny (1)

Oryginalny koherentny demodulator π/4-QPSK pokazany na rysunku 12 przeprowadza dekodowanie różnicowe na poziomach sygnału pasma podstawowego.

Rys. 12. Demodulator koherentny (2)

W π/4-QPSK, zakładając, że Ak = 1 w równaniu 4, zdemodulowane sygnały przyjmują jeden z dwóch poziomów (±1/ 2 ) w każdej chwili próbkowania. Mogą przyjmować także jeden z trzech poziomów (0, ±1). Możemy to zaobserwować na rysunku 7 przedstawiającym konstelację sygnału, gdzie sygnały oznaczone • przyjmują jeden z dwóch poziomów, a oznaczone × jeden z trzech poziomów. Po sygnale • musi nastąpić sygnał × i odwrotnie. Jeżeli stosujemy detekcję trzy-poziomową, w porównaniu z detekcją dwu-poziomową mamy ograniczoną wydajność. Sygnały trzy-poziomowe są przekształcane na dwu-poziomowe w układzie z rysunku 12. Przetworzone sygnały dwu-poziomowe są wykrywane przez detektor progowy. Gdy sygnały są dwu-poziomowe przełączniki są w pozycji A, a detekcja jest taka sama jak w przypadku QPSK. Gdy natomiast sygnały są trzy-poziomowe, przełączniki są w pozycji B, a sygnały są przetwarzane na dwu-poziomowe poprzez następujące proste operacje:

19

kkk

kkk

yxyyxx

112

112

+=−=

Łatwo pokazać, że konwersje te (pomijając szum) przedstawiają się następująco:

)1,1()1,0()1,1()1,0()1,1()0,1()1,1()0,1(

),(),( 2211

−+=−+−=+−−=−++=+

= kkkk yxyx

Odpowiada to rotacji wektora (x1k, y1k) o π/4 i wzmocnienie amplitudy 2 - krotnie. Innymi słowy jest to rotacja wektora × do następnej pozycji • z zyskiem amplitudy wynoszącym 2 . Powoduje to podwojenie mocy sygnału. Jednakże moc szumów zostaje również podwojona skoro synfazowy i kwadraturowy szum kanałowy są nieskorelowane. Dlatego właściwości odnoszące się do bitowej stopy błędów koherentnej π/4-QPSK są takie same jak koherentnej QPSK.

Wykryte sygnały ku) oraz kv) są dekodowane przez dekoder DEQPSK według poniższych równań:

)()()()(

)()()()(

11

11

−−

−−

⊕⋅⊕+⊕⋅⊕=

⊕⋅⊕+⊕⋅⊕=

kkkkkkkkk

kkkkkkkkk

uuvuvvvuQ

vvvuuuvuI)))))))))

)))))))))

Następnie sygnały muszą zostać przepuszczone przez specjalny konwerter P/S (równoległy na szeregowy), przedstawiony na rysunku 13.

Rys. 13 Konwerter równoległo-szeregowy

20

Używany zegar otrzymujemy z zegara znaków dzieląc częstotliwość przez dwa. Faza tego zegara jest zsynchronizowana z przełącznikiem służącym do wybierania spróbkowanych sygnałów. Konwerter S/P dostarcza synfazową i kwadraturową składową naprzemiennie do wyjścia.

5. Literatura

Fuqin Xiong „Digital Modulation Techniques”

21