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Tema 4. Propiedades eléctricas de los materiales: conductores

y dieléctricos

Tema 4. Propiedades eléctricas de los materiales: conductores

y dieléctricos

Objetivos:

● Conocer las características de los conductores cargados en equilibrio: campo eléctrico en el interior y en la superficie, potencial y distribución de cargas.

● Conocer las características de los fenómenos de influencia total entre conductores.

● Definir la capacidad de un condensador y saber calcular la capacidad equivalente de asociaciones de condensadores en serie y en paralelo.

● Entender los fenómenos de carga de un condensador y saber hallar la energía almacenada en un condensador.

● Saber discutir los efectos de un dieléctrico sobre la capacidad, carga, energía, diferencia de potencial y campo eléctrico de un condensador.

Tema 4. Conductores y dieléctricos

4.1 Teoría de bandas de energía.

4.2 Conductores en equilibrio.

Influencia electrostática. Pantallas.

4.3 El condensador. Capacidad.

Circuito RC. Carga y descarga de un condensador.

Energía almacenada por un condensador. Densidad de energía.

Asociación de condensadores.

4.4 Dieléctricos. Polarización.

Introducción

Modelo de conductor: red cristalina regular, compuesta de iones positivos, rodeados por una “nube de electrones”, con gran capacidad de movimiento.

(metales, ...)

● Modelo de conductor

++ + +

+ + + ++ + + +

+ + + +

+

++

+ ++

+ ++

+

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

--

-

-

--

-

-

+ + + + +

+ + + +

+ + + + +

++

+

-

-

Electrones libresI ones +

+

++ + +

+ + + ++ + + +

+ + + +

+

++

+ ++

+ ++

+

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

--

-

-

--

-

-

+ + + + +

+ + + +

+ + + + +

++

+

-

-

Electrones libresI ones +

+

Introducción

● Modelo de dieléctrico (aislante)

Àtomos con electrones compartidos y configuración electrónica estable

Electrones ligados

Modelo de dieléctrico (aislante): amorfo o red cristalina regular, los electrones se mantienen ligados a los núcleos de los átomos, con posibilidades de movimiento muy limitadas.

Teoría de bandas de energía

4.1

Átomo de hidrógeno: En=−μ e4

4 πε02 2 ℏ n2=−

13,6 eVn2

μ=Mm

mM

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E (

eV

)

Energía de los 10 primeros niveles energéticos del átomo de hidrógeno, con un electrón en su estado fundamental

El electrón-voltio (eV) es una unidad para medir energía, muy utilizada en física atómica y nuclear. Se define como la energía que adquiere un electrón cuando se acelera mediante una diferencia de potencial de 1 V.1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J


4.1

Átomo de hidrógeno: En=−μ e4

4 πε02 2 ℏ n2=−

13,6 eVn2

μ=Mm

mM

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E (

eV

)

Energía de los 10 primeros niveles energéticos del átomo de hidrógeno, con un electrón en su estado fundamental

La energía que posee el electrón en el átomo se denomina energía de ligadura


4.1

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E (

eV

)

Fotón Eγ

Fotón Eγ-12,09 eV

Fotón 12,09 eV

Excitación-desexcitación de un electrón en el átomo de hidrógeno

Si la energía que se aporta al átomo es mayor que la energía de ligadura del electrón, éste podrá “liberarse” del átomo, y entonces se dice que el átomo está ionizado. Por este motivo, a la energía de ligadura se le denomina también energía de ionización.


4.1

Átomo de hidrógeno:

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

4f

5f

Configuración electrónica del átomo del H


4.1

102No

101Md

100Fm

99Es

98Cf

97Bk

96Cm

95Am

94Pu

93Np

92U

91Pa

90Th

89Ac**

70Yb

69Tm

68Er

67Ho

66Dy

65Tb

64Gd

63Eu

62Sm

61Pm

60Nd

59Pr

58Ce

57La*

118Uuo

117Uus

116Uuh

115Uup

114Uuq

113Uut

112Uub

111Uuu

110Uun

109Mt

108Hs

107Bh

106Sg

105Db

104Rf

103Lr**88

Ra87Fr7

86Rn

85At

84Po

83Bi

82Pb

81Tl

80Hg

79Au

78Pt

77Ir

76Os

75Re

74W

73Ta

72Hf

71Lu*56

Ba55Cs6

54Xe

53I

52Te

51Sb

50Sn

49In

48Cd

47Ag

46Pd

45Rh

44Ru

43Tc

42Mo

41Nb

40Zr

39Y

38Sr

37Rb5

36Kr

35Br

34Se

33As

32Ge

31Ga

30Zn

29Cu

28Ni

27Co

26Fe

25Mn

24Cr

23V

22Ti

21Sc

20Ca

19K4

18Ar

17Cl

16S

15P

14Si

13Al

12Mg

11Na3

10Ne

9F

8O

7N

6C

5B

4Be

3Li2

2He

1H1

Periodo

181716151413121110987654321Grupo


4.1

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

4f

5f

Configuración electrónica del átomo del Cu

Cu (29 e-): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1


4.1

Cu “8 átomos”

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

4f

5f

Configuración electrónica del átomo del Cu 4s

3d

4p Bandadeconducción

Bandade valencia

Niveles energéticos de la última capa del átomo de Cu aislado (izquierda), y de ocho átomos de cobre formando una hipotética estructura cristalina de “8 átomos” (derecha). La separación entre los niveles energéticos es meramente ilustrativa y no está dibujada a escala.


4.1

Niveles energéticos de la última capa del átomo de Cu aislado (izquierda), y de ocho átomos de cobre formando una hipotética estructura cristalina de “N átomos” (derecha). La separación entre los niveles energéticos es meramente ilustrativa y no está dibujada a escala.

Cu “N átomos”

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

4f

5f

Configuración electrónica del átomo del Cu 4s

3d

4p Bandadeconducción

Bandade valencia


4.1

U∝k BT

n =1

1exp{ −EF /kBT }

Energía interna

Función de distribución de Fermi-Dirac

kB=1.38 · 10−23 J /K

Constante de Boltzmann

/EF

kB T=E F /100

kB T=E F /10kB T=E F /2

kB T=E F

Aumenta T


4.1

Energía de Fermi, EF

Función de distribución de

Fermi-Dirac


4.1

BC BC BC

BV BV BV

Eg ≅ 1 eVEg ≅ 10 eV

Dieléctrico(aislante)

Semiconductor Conductor

1C

Conductores en equilibrio4.2

● Conductor en equilibrio electrostático: no se tiene un movimiento neto de las cargas.

● El campo eléctrico es cero en cualquier punto del interior del conductor.

V = c t e

ρ = 0

E i n t = 0

σ


● La carga en un conductor aislado reside sobre su superficie.

en el interiorE=0

φ=∫ E⋅d S=0

φ=∑Qi

ε 0

Qi=0

Superficiede Gauss

E

Teorema deGauss


E

● Todo punto del conductor cargado en equilibrio está al mismo potencial.

V B−V A=−∫A

BE⋅d ℓ=0

AB


● El campo eléctrico es perpendicular a la superficie del conductor.

EEn

Et

Movimientode cargas

E

Cargasen reposo


En=σ /ε 0

E d S

● Teorema de Coulomb: en los puntos cercanos a la superficie del conductor:

Ejemplo 4.14.2

Una esfera conductora, de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor, de capacidad despreciable, a otra esfera de radio R2

(R2<R1), inicialmente descargada. Suponiendo que las esferas están lo suficientemente alejadas entre sí para que los fenómenos de influencia sean despreciables, calcula:a) Cargas Q1 y Q2 de cada esfera; b) Potencial; c) Densidad superficial de carga en cada esfera; d) ¿Qué ocurre si R2>>R1?

R

Q

1

Q1

R1 Q2 R2

Ejemplo 4.14.2

Q=Q1Q2

a)

V=V 1=V2=Q1

4 πε0 R1

=Q2

4 πε0 R2

=Q

4 πε0R1R2

b)

V=Q1

4 πε0 R1

=Q2

4 πε0 R2

⇒ Q1=QR1

R1R2

, Q2=QR2

R1R2

Ejemplo 4.14.2

σ1=Q1

S1

=QR1

4πR12R1R2

=Q

4πR1R1R2 , σ2=

Q2

S2

=Q

4πR2R1R2

limR2∞Q1=limR2∞ QR1

R1R2=0

limR2∞Q2=limR2∞ QR2

R1R2=Q

limR2∞V=limR2∞ Q4 πε0R1R2 =0

c)

d)

Influencia electrostática4.2

● Cuando situamos alguna carga eléctrica en las proximidades de un conductor, dicha carga ejerce un fenómeno de influencia electrostática sobre el conductor.

E

E i=0

Problema 11 4.2

O

R

Q

d

q

11. Sea una esfera conductora, con centro en O y radio R. Dicha esfera, que se encuentra conectada a tierra (potencial nulo) está sometida a la influencia de una carga puntual q, situada a una distancia d de O (d>R). Calcula la carga que aparece en la esfera en función de q, R y d.

Problema 11 4.2

O

R

Q

d

qVQO=∫

dq4 πε0 r

=1

4 πε0 R∫dq= 1

4 πε0

QR

VO=VQOV qO=1

4 πε0QR

qd =0

Q=−qRd

Pantallas4.2

● Las cargas internas al conductor hueco no tienen influencia sobre el exterior del conductor hueco conectado a tierra.

σ+Q

V = 0

σext= 0

E = 0

E = 0

V = 0

Pantallas4.2

● Las cargas externas al conductor hueco no tienen influencia sobre el interior del conductor hueco conectado a tierra.

σ

+Q

V = 0

E = 0

E

Pantallas4.2

Conductor

Dieléctrico

V = 0

El condensador4.3

● Influencia electrostática total: la influencia electrostática entre dos conductores se denomina total cuando todas las líneas de campo de un conductor atraviesan el otro.

+Q-Q

+Q

-Q

El condensador4.3

Superficie de Gauss

+Q-Q

● Influencia electrostática total:

El condensador4.3

● Sistema de dos conductores que se ejercen una influencia total.

● Almacenan carga eléctrica (y energía).

+Q

-Q

Armadurasdel condensadorV1

V2

V1 V2

+Q -Q

El condensador. Capacidad

4.3

C=Q

V 1−V2

=Q

V 12

C

Magnitud de la carga en cualquiera de las armaduras

Diferencia de potencial entre las armaduras

1F = 1C/ V

● Capacidad de un condensador:

● En los circuitos eléctricos, el condensador se representa del siguiente modo:

● Faradio: es la unidad SI de capacidad.

El condensador4.3

C=ε0 S

d

S

d

Condensador plano

El condensador4.3

C=2π ε0 L

ln r2/r 1

Condensador cilíndrico

Circuito RC. Carga y descarga de un condensador

4.3

R

ε● El tiempo de carga de un

condensador no es instantáneo. C


4.3

● El tiempo de carga de un condensador no es instantáneo.

RC

i

ε

C=qt /V Ct

i t =d q t

dt

=V Rt V Ct

=i t RVCt =[dq t dt ]Rq t

C

[−q t C ] [dt

R ]=dq t

- -+ +

BA

D

V B−V AV D−V BV A−V D =0


4.3

● El tiempo de carga de un condensador no es instantáneo.

● Diferencia de potencial en los bornes del condensador:

R

i

t

Vε

ε

++ ++- - - -

V t =1−e−t /RC

t0 ⇒ V=0t ∞ ⇒ V=

[−q t C ] [dt

R ]=dq t

C

BA

D


4.3

● Carga de un condensador:

● Constante de tiempo:

● Tiempo transcurrido cuando el potencial alcanza el 63% del valor máximo.

Constante de tiempo

C=qt /V Ct

=RC

V =1−e−RC/RC=⋅0,63


4.3

Constante de tiempo

t

Vε

ε0,63

=RC

t0 ⇒ V=0t ∞ ⇒ V=


4.3

● El tiempo de descarga tampoco es instantáneo.

R

ε

- - - -++ ++C


4.3


R

i

++ ++- - - -

i t =−d q t

dt

C=qt /V Ct

C

D

B

V D−V BV B−V D=0

qt C

−i t R=0

dq t 0

qt C

=−dq t

dtR

dqt qt

=−dtRC


4.3


● Diferencia de potencial en los bornes del condensador:

t

εV

R

i

- -+ +

dqt qt

=−dtRC

V t =e−t /RC

t 0 ⇒ V=t∞ ⇒ V=0

C

B

D


4.3

● Descarga de un condensador:

● Constante de tiempo:

● Tiempo transcurrido cuando el potencial alcanza el 37% del valor máximo.

Constante de tiempo

V t =e−t /RC

=RC

V =e−RC /RC=⋅0,37


4.3

Constante de tiempo

t

Vε

τ

ε0,37

t 0 ⇒ V=t∞ ⇒ V=0

Energía almacenada por un condensador

4.3

v= qC

U=12

Q2

C

U=12

Q2

C=

12

QV=12

CV 2

du=dqv=dq qC

U=∫0

Udu=∫0

Qdq q

C

dq

Densidad de energía4.3

● Energía de un condensador plano:

● Densidad de energía de un campo electrostático:

U=12E2

S d

ue=12E2

=12r 0E2

Asociación de condensadores

4.3

● Condensadores en serie.

∑=+++=i

CCCCC ineq

1111121

C1

+Q

2

-Q +Q +Q -Q -Q

C2 Cn

3 n n+1

+Q -Q

Ceq

1

Asociación de condensadores

4.3

● Condensadores en paralelo.

∑=+++=i

ineq CCCCC 21

C1

+Q1

A

-Q1

C2

+Q2 -Q2

Cn

+Qn -Qn

B Ceq

+Q -Q

A B ≡

Ejemplo 4-44.3

4.4. Entre los puntos A y B de la asociación de condensadores de la figura se aplica una diferencia de potencial V. El condensador 4 tenía una capacidad C vacío, pero se rellena de dieléctrico de εr = 4 antes de aplicar la diferencia de potencial V. Halla la capacidad C’ de este condensador, la carga y la diferencia de potencial en cada condensador.

C

C’C

A B4C

(1)

(2) (4)(3)

Ejemplo 4-44.3

C´= 4C

C

C’C

A B4C

(1)

(2) (4)(3)

C1,2=2C C3,4=2C

BA

A

Ceq = C

B

QT = VC

QT = Q3,4 =Q1,2

Q3,4 = Q3 = Q4

Q1 = Q2 = Q1,2 /2 =VC/2

Ejemplo 4-44.3

C

C’C

A B4C

(1)

(2) (4)(3)

C1,2=2C C3,4=2C

BA

A

Ceq = C

B

QT = VC

V1 = V2 = Q1/C = VC /2C = V/C

V3 = Q3 / 4C = V/4 = V4

Problema 64.3

6. Un condensador de capacidad C1, cargado con carga Q, se conecta con otro de capacidad C2, inicialmente descargado, tal como se indica en la figura. Calcula el valor de la carga en cada condensador antes y después de cerrar el interruptor.

Q 0

C1 C2

Problema 64.3

Q1 Q

2

C1 C2 21 QQQ +=

2

2

1

1

CQ

CQ =

)( 21

22 CC

QCQ

+=

)( 21

11 CC

QCQ

+=

C1

C2

Q1

Q2

Problema 84.3

8. Se dispone de dos condensadores de capacidad C1 y C2, tras conectarlos en paralelo se aplica a la asociación una diferencia de potencial V. Calcula la carga que adquiere cada condensador (Q1 y Q2) así como la diferencia de potencial entre las placas de cada uno de ellos (V1 y V2).

C1

C2

V

Problema 84.3

C1

C2

V

VVV == 21

VCVCQ 1111 ==

VCVCQ 2222 ==

Problema 94.3

9. En la asociación de condensadores de la figura, indica en qué condensador se almacena:a) la mayor carga, yb) la menor carga,al aplicar entre A y B una d.d.p. V.(C1 = C; C2 = C/3; C3 = C(2/3)).

=C

=C/3

=2C/3

C2 C1 B A

C3

Problema 94.3

9. En la asociación de condensadores de la figura, indica en qué condensador se almacena:a) la mayor carga, yb) la menor carga,al aplicar entre A y B una d.d.p. V.(C1 = C; C2 = C/3; C3 = C(2/3)).

C2 C1 B A

C3

V

=C

=C/3

=2C/3

Q1

Q2

Q3

321 QQQ += C1 mayor carga

32 VV =

3/22222

22 CVVCQ

VQ

C ==⇒=

3/2 23333

33 CVVCQ

VQ

C ==⇒=

C2 menor carga

Problema 154.3

15. Sea un condensador (1) de capacidad C sometido a una diferencia de potencial V1, y otros dos de igual capacidad y descargados. Tras aislar el primer condensador se asocia a los otros dos tal como se muestra en la figura. Calcula las cargas que adquieren los tres condensadores, Q1, Q2, y Q3.

Q3Q2

CC

C

Q1

BA

C BA(1)V1

Problema 154.3

C B A (1)

V1

C C (2) (3)

1CVQ =0=Q 0=Q

1

Problema 154.3

2

1CVQ =0=Q 0=Q

C B A (1)

Q

C C (2) (3)

Problema 154.3

Q3 Q2

C C

C

Q1

B A (1)

(2) (3)

3

22111

233223

CC

CCCC=⇒=+=

Q23= Q2 =Q3 = Q23

C23=C/2

C

Q1

B A (1)

(2 y 3) 2332 QQQ ==

Problema 154.3

3

Q23= Q2 =Q3 = Q23

C23=C/2

C

Q1

B A (1)

(2 y 3)

231 QQQ +=

2/231

CQ

CQ =

CVQQQQ 12332 31

3/ ====

CVQQ 1231 32

2 ==

Problema 74.3

7. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las armaduras planas de un condensador de superficieS, tal como se indica en la figura. ¿Cuál es la capacidad del condensador antes y despise de introducir la lámina?

b

d

a

Problema 74.3

b

d

a dS

C 00

ε=

aSε

C 01 =

abdSε

C−−

= 02

bdSε

abdSε

aSεCC

C−

=

−−

+=

+=

−

−

0

1

00

1

21

1111S

Aplicación: puntero táctil4.3

J. Gerpheide*Investigación y Ciencia. Septiembre de 1998.

Dieléctricos4.4

V V

A B

VV

A B

-Q

εr

A

-Q

V0

εr

B

Q Qεr

Q

V

V 0

E0

C0

V=V 0

εr

E=E0

εr

C=ε r C0

Condensador con dieléctrico

Dieléctricos4.4

● Constante dieléctricas y resistencias a la ruptura del dieléctrico de diversos materiales.

145,6Vidrio (Pyrex)

5,77Porcelana

242,55Poliestireno

403,4Plexigás

102,1 – 2,5Parafina

163,7Papel

126,9Neopreno

10 – 1005,4Mica

244,9Baquelita

31,00059Aire

122,24Aceite de transformador

Resistencia delDieléctrico, kV/mm

Constante

Dieléctrica κMaterial

Dieléctricos4.4

● Capacidad de un condensador plano lleno de un dieléctrico de constante εr :

εr ε0 = ε : Permitividad del dieléctrico.

C=εr ε0 S

d=

ε Sd

S

d

Dieléctricos4.4

● En general, las leyes de la electrostática en presencia de un dieléctrico son las mismas que hemos estudiado en el vacío, sustituyendo la constante ε0 , por εr ε0 .

ε0 εr ε0

Dieléctricos4.4

E=1

4 πε0∫V

dq

r2ur

14 πεr ε0

∫V

dq

r2ur

V=1

4πε0∫V

dqr

V=1

4 πεr ε0∫

dqr

=Qinterior

ε0

=Qinterior

εr ε0

ε0 εr ε0

Dieléctricos. Polarización4.4

O

H

H

-

+ O

HH

- +

E

- +- +

E

Polarización electrónica o inducida


Polarización por orientación

0≠dvpd

E

indE

0=dvpd


σ0 −σ0 σ0 −σ’ σ’ −σ0

E0

Eind

−=

rεσσ 1

1' 0


d1 d2

A

σ

ε r1 ε r2

-σ

B

011 εε

σr

E =02

2 εεσ=

r

E

2

2

1

10

02

2

01

12211

rrrr

ABdd

Sdd

QdEdE

QVQ

C

εε

ε

εεσ

εεσ +

=+

=+

==

∑=

= n

i ri

idS

C

1

0

ε

ε

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