TDA やら Night!!
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2017/04/01 非公式ロマンティック数学ナイトs.t.@simizut22TDA やら night !!
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目次
• Persistent Homology # とは• Persistent Homology の表示と分解定理• 応用例
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Persistent Homology # とは
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問題設定
さて、を距離空間とし、 を有限集合とする (point cloud) がどのような空間 / モデルから生成されたデータなのか、何かしらの情報を から知りたい
例: - 次元 - 連結度
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問題設定
一つの道具としての Persistent Homology• 一般的なデータ分析手法はデータ ( が埋め込まれたユークリッド空間 )
の次元が高次元になると大変• Persistent Homology はデータ ( が埋め込まれたユークリッド空間 )
の次元によらない• データのスケールにも依存しない• データがベクトル空間に存在してなくてもよい ( 多くの機械学習の手法
はベクトル空間上のデータであることを使用する
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距離空間の例
例 1 ( ユークリッド空間 )例 2 ( 文字列の空間 )文字の集合とし、 を 上の長さ の文字列のなす集合
を次で与える:
これは 上の距離になる ( ハミング距離 )□
例 3(metric グラフ )計量グラフ , i.e. グラフの各辺に長さが定まっているとき
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データが現れた。さてどうする??
Point cloud data
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太らせて見よう。
-ballsPoint cloud data
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穴が現れた!!!
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もっと続けてみた
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続けてみた
太らせる過程で、離散点から始まりa. つながりができるb. 穴ができるc. 穴がふさがるを繰り返し最終的に全部つながった ( 上の例だと ball と同相 )
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数学的なセッティング
→ 計算機に乗せて計算したい 代数的な道具で表現 穴や連結具合をあらわす道具:基本群などの homotopy 群やhomology 群など。
Homotopy 群は一般に計算が難しい→ 計算が簡単な homology ( 以下 を使おう
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性質 1. 空間 X に対しその Homology はベクトル空間2. Functorial( 関手性 )特に、包含写像に対し準同型
が誘導され、次の自然性を持つに対し
3. Homotopy 不変 ( または位相不変 )今日は明示的には使わないので略
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Persistent Homology 実数 に対し pt cloud X を r 太らせた空間を と書くことにする 各 r に対し Homology を取ると、半直線 上のベクトル空間の図式
を与えたことになる
このベクトル空間の図式が (-indexed) Persistent Homology
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Persistent HomologyPersistent Homology において何が重要か??
矢印がどのくらい同型から外れるか。つまりその点で ある homology クラスは死に ( 穴がふさがった ) ある homology クラスは生まれる ( 新しい穴ができた )と思える
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Persistent Homology の表示
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計算できるかもしれないが...
データ解析してたら Visualization したくなるよね。
→ よしっ、可視化できる形 わかりやすい形で表現
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Interval ModuleDef(Interval Module)Persistent Module 次の図式で与える:
これを Interval Module という
これは時刻 b で発生し時刻 d まで生きる homology class に対応する
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Interval Module何でこんなのがいるの???
1. Interval Module が既約な表現2. PH はこの直和で表現できる
…つまり
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分解定理
Thm(Gabriel, Krull-Schmidt)Persistent Module (of finite type) は次のような Interval Module による ( 既約 ) 分解を持つ :
: multiplicity とし、この和は区間についてを渡る
この分解は ( 区間の index の付け替えを除いて ) 一意
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PH の表示
PH を interval Decomp. したときの interval を図示したものを、 PH に対する bar-code という。
これで図示してみる
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bar-code の例
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分解定理の remarkInterval Decomposition 定理は-indexed Module (of finite type) だけでなく、- 離散 indexed zigzag persistent( → ←矢印は と が混じっててもよい )でも成立
これは1 変数多項式環 が単項イデアル整域 (PID) ■であることによる
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応用例
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応用例
タンパク質の構造解析 neural network( ホントの neural) の解析 材料科学 遺伝子解析 系統樹多様体学習 最近 Edelsbrunner 先生が cosmic web の論文出してた(cosmology)