TD Géométrie dans l'Espace
3
Terminale S TD - Maths TD - GÉOMÉTRIE ESPACE I Exercices d’application Exercice I.1. ⋆ 10 min Soit IJKL un losange tel que IK =4 et IJ =6. Calculer : - → IL · -→ LJ, - → IL · -→ JK et - → IL · -→ IK. Exercice I.2. ⋆ 5 min Dans un repère orthonormal, on donne les points : A(1 ;3), B(2 ;5) et C(-1 ;4). Montrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en A. Exercice I.3. ⋆ 10 min 1. Calculer la distance du point A(5 ;1) à la droite d d’équation x + y - 4=0. 2. En déduire l’équation du cercle C de centre A tangent à la droite d. Exercice I.4. ⋆ 20 min Un triangle ABC est isocèle de sommet A. G est l’isobarycentre de A, B et C. 1. Soit G’, le symétrique de G par rapport à la droite (CB). Déterminer des réels b et c pour que G’ soit le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 1, b et c. 2. Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que : --→ MA - 2 --→ MB - 2 --→ MC = --→ MA + --→ MB + --→ MC . Exercice I.5. ⋆ 15 min Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, on considère les points A, B et C de coordonnées : A(-3 ;1 ;3), B(2 ;1 ;0) et C(4 ;-1 ;5). 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Trouver une équation du plan (ABC). Exercice I.6. ⋆ 10 min L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k). 1. Caractériser l’ensemble des points M de l’espace de coordonnées (x,y ,z) tels que : x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 4y +2z +2=0. 2. Donner une équation cartésienne de la sphère de centre Ω(1 ;5 ;-2) passant par A(1 ;-1 ;3). Exercice I.7. ⋆ 10 min Soit ABCD un tétraèdre. Indiquer une méthode permettant de construire le barycentre des points pondérés (A,2), (B,1), (C,2) et (D,1). Exercice I.8. ⋆ 5 min On donne : A(1 ;2 ;3) et B(3 ;-4 ;1). Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). © 2014 1 http://exos2math.free.fr/
description
Un énoncé de TD sur la Géométrie dans l'Espace en Terminale S.Niveau Requis : Première S.Chapitres requis : Aucun.
Transcript of TD Géométrie dans l'Espace
-
Terminale S TD - Maths
TD - GOMTRIE ESPACE
I Exercices dapplication
Exercice I.1. 10 min
Soit IJKL un losange tel que IK = 4 et IJ = 6. Calculer :IL
LJ,
IL
JK et
IL
IK.
Exercice I.2. 5 minDans un repre orthonormal, on donne les points : A(1 ;3), B(2 ;5) et C(-1 ;4).Montrer que le triangle ABC est isocle rectangle en A.
Exercice I.3. 10 min
1. Calculer la distance du point A(5 ;1) la droite d dquation x+ y 4 = 0.2. En dduire lquation du cercle C de centre A tangent la droite d.
Exercice I.4. 20 min
Un triangle ABC est isocle de sommet A. G est lisobarycentre de A, B et C.
1. Soit G, le symtrique de G par rapport la droite (CB). Dterminer des rels b et c pourque G soit le barycentre des points A, B et C affects des coefficients 1, b et c.
2. Dterminer lensemble E des points M du plan tels que :MA 2MB 2MC = MA +MB +MC .
Exercice I.5. 15 min
Dans lespace muni dun repre orthonormal, on considre les points A, B et C de coordonnes :A(-3 ;1 ;3), B(2 ;1 ;0) et C(4 ;-1 ;5).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas aligns.
2. Trouver une quation du plan (ABC).
Exercice I.6. 10 min
Lespace est rapport un repre orthonorm (O;~i,~j,~k).
1. Caractriser lensemble des points M de lespace de coordonnes (x,y,z) tels que :x2 + y2 + z2 2x 4y + 2z + 2 = 0.
2. Donner une quation cartsienne de la sphre de centre (1 ;5 ;-2) passant par A(1 ;-1 ;3).
Exercice I.7. 10 minSoit ABCD un ttradre. Indiquer une mthode permettant de construire le barycentre despoints pondrs (A,2), (B,1), (C,2) et (D,1).
Exercice I.8. 5 minOn donne : A(1 ;2 ;3) et B(3 ;-4 ;1). Donner une reprsentation paramtrique de la droite (AB).
2014 1 http://exos2math.free.fr/
-
Terminale S TD - Maths
Exercice I.9. 10 min
On considre la droite d dont une reprsentation paramtrique est :
x = 4 + 3ty = 2 + tz = 1 5t
, t R
et les points de coordonnes A(1 ;9 ;1) et B(0 ;2 ;-1). Montrer que d est orthogonale (AB).
Exercice I.10. 15 minSoit P1 le plan passant par A(2 ;0 ;0) et de vecteur normal ~n(-1 ;3 ;-8).Soit P2 le plan passant par B(0 ;-1 ;0), C(3 ;0 ;0) et D(4 ;3 ;1).tudier lintersection des deux plans P1 et P2.
Exercice I.11. 15 minSoit P le plan passant par A(-3 ;1 ;0) et de vecteur normal ~n(1 ;2 ;1).Soit D le plan passant par B(2 ;1 ;5) et de vecteur directeur ~u(1 ;-1 ;1).tudier lintersection des du plan P et de la droite D .
Exercice I.12. 15 min
tudier lintersection des trois plans P1, P2 et P3 dquations :P1 : 2x+ y 3z + 7 = 0 ;P2 : x+ 3y + 4z 10 = 0 ;P3 : 3x+ y 2z = 0.
II Exercices dentranement
Exercice II.1. 45 min
Parmi les quatre affirmations proposes pour chaque question, deux sont exactes et deux sontfausses. Indiquer lesquelles et justifier.Lespace est rapport un repre orthonormal (O;~i,~j,~k).
1. Soit P le plan dquation 2x+ 3y + 4z 1 = 0.a. La distance du point O au plan P est gale 1.
b. La distance du point O au plan P est gale 129
.
c. Le vecteur ~n
(1 ;
3
2; 2
)est un vecteur normal au plan P.
d. Le plan Q dquation 5x+ 2y + z = 0 est parallle au plan P.2. On dsigne par P le plan dquation 2x + y z = 0, et par D la droite passant par le
point A(1 ;1 ;1) et de vecteur directeur ~u(1 ;-4 ;-2).
a. La droite D est parallle au plan P.
b. La droite D est orthogonale au plan P.
c. La droite D est scante avec le plan P.
d. Un systme dquations paramtriques de D est
x = 1 + ty = 1 4tz = 1 2t
, t R.
2014 2 http://exos2math.free.fr/
-
Terminale S TD - Maths
3. On dsigne par E lensemble des points M(x ;y ;z) tels que : x + y + z = 3 et 2x z = 1.Soit le point A(1 ;1 ;1).
a. Lensemble E contient un seul point, le point A.
b. Lensemble E est une droite passant par A.
c. Lensemble E est un plan passant par A.
d. Lensemble E est une droite de vecteur directeur ~u(1 ;-3 ;2).
4. ABCD est un ttradre quelconque.Soit P le plan passant par A et orthogonal la droite (BC).
a. Le plan P contient toujours le point D.
b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.
c. Le plan P est toujours lensemble des points M de lespace tels que :
BM
BC =
BA
BC.
d. Le plan P est toujours le plan mdiateur du segment [BC].
Exercice II.2. 45 min
Dans lespace muni dun repre orthonormal (A;~i,~j,~k), avec : ~i =AB, ~j =
AD et ~k =
AE.
On considre le cube ABCDEFGH reprsent ci-dessous.
A B
CD
EF
GH
R est le milieu de [BF], S est tel que 3ES = 2
EH, et T est le pied de la hauteur issue de S dans
le triangle ARS.
1. a. Dterminer les coordonnes de R et en dduire un systme dquations paramtriquesde la droite (AR).
b. Dterminer les coordonnes de S et en dduire une quation cartsienne du plan Ppassant par S et perpendiculaire la droite (AR).
c. Trouver les coordonnes du point T.
d. Calculer laire A (ARS) du triangle ARS.
2. a. Calculer le volume V (ARSE) du ttradre ARSE.
b. Calculer la distance du point E au plan (ARS).
2014 3 http://exos2math.free.fr/
Exercices d'applicationExercices d'entranement
