TD Fonction Exponentielle

Terminale S TD - Maths

TD - EXPONENTIELLE

I Exercices d’application

Exercice I.1. ⋆ 15 min

Prouver que pour tout x ∈ R :

1)1− e−2x

1 + e−2x=

e2x −1

e2x +12) e−x− e−2x =

ex −1

e2x3) (ex+e−x)2 − 2 =

e4x +1

e2x


Montrer que f : x 7−→ ex −1

ex +1est impaire.

Exercice I.3. ⋆ ⋆ 20 min

Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes :

1) e3−2x = 1 2) e−x e2 = e e3x+4 3) e3x+1+4 e2x+1−5 ex+1 = 0 4) ex2

> ex−1


Dériver les fonctions suivantes, en précisant les intervalles sur lesquels elles sont dérivables :

1) x 7−→ ex −1

ex+12) x 7−→ x e1/x 3) x 7−→ (x2 − 3x+ 1) e−x 4) x 7−→ 1− ex

2 + e−x


Déterminer les limites suivantes :

1) limx→0

ex−1

2x2) lim

x→+∞

e2x −3ex + 4 3) limx→+∞

ex +7

ex +34) lim

x→0e

sin x

x

Exercice I.6. ⋆ ⋆ 10 minOn considère la fonction f : x 7−→ ex +e3−x.Montrer que la courbe représentative de f admet un axe de symétrie.


Étudier la fonction f : x 7−→ ex −x.

II Exercices d’entraînement

Exercice II.1. ⋆ ⋆ 15 min

Pour tout a et b réels, on considère la fonction f définie sur R par f(x) = (ax+ b) e−2x.

1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse

0 est −1, et cette courbe coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse−2

3.

Déterminer les réels a et b.

2. Étudier les variations de f .

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Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞] par f(x) = (x−1)(2−e−x) et Cf sa courbe représentativedans un repère orthonormal (O;~i,~j).

1. a. Étudier la limite de f en +∞.

b. Montrer que la droite ∆ d’équation y = 2x− 2 est asymptote à Cf .

c. Étudier la position relative de Cf et ∆.

2. a. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) = x e−x+2(1− e−x).

b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f ′(x) > 0.

c. Préciser la valeur de f ′(0), puis établir le tableau des variations de f .

3. a. Déterminer le point A de Cf où la tangente à Cf est parallèle à ∆.

b. Calculer la distance du point A à la droite ∆.


On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) =x

ex−1si x 6= 0, et f(0) = 1 .

1. Montrer que f est continue en 0.

2. On admet que f est dérivable en 0 et que le nombre dérivé de f en 0 est−1

2.

Calculer f ′(x) pour tout x ∈ R⋆

.

3. Étudier les limites de f en +∞ et en −∞.

4. Étudier les variations de g, définie sur R par :

g(x) = ex−x ex−1.

En déduire le signe de g, puis les variations de f .

5. Construire la courbe représentative de f et la tangente à cette courbe au point d’abscisse0 dans un repère orthonormal.

Exercice II.4. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = e−x(cosx+ sin x).

1. Montrer que pour tout x ∈ R, f(x) =√2 e−x sin

(

x+π

4

)

.

2. Résoudre dans R l’équation f(x) = 0.

3. Étudier la limite de f en +∞.

4. Calculer f ′(x) et résoudre dans R l’équation f ′(x) = 0.

5. Étudier les variations de f sur

[

− π

2; π

]

. Tracer la courbe représentative de f dans un

repère orthogonal en se limitant à cet intervalle.


Étudier la limite de la suite (un) définie pour tout n ∈ N⋆

par un = n(e1/n −1).




III Exercices d’approfondissement

Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 60 min

On considère, pour tout n ∈ N, la fonction fn définie sur R par :

fn(x) =e−nx

ex+1.

et on note Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10cm).1. Étude du cas n = 0.

a. Étudier les limites de f0 en +∞ et en −∞.b. Montrer que f0 est dérivable sur R et étudier ses variations.

c. Montrer que le point I

(

0 ;1

2

)

est un centre de symétrie de C0.

d. Déterminer une équation de la tangente T0 à C0 au point I.e. Tracer la courbe C0 et la tangente T0.

2. Étude du cas n > 1.a. Étudier les limites de fn en +∞ et en −∞.b. Montrer que fn est dérivable sur R et étudier ses variations.c. Montrer que le point I appartient à toutes les courbes Cn.

3. Cas particulier n = 1.a. Déterminer une équation de la tangente T1 à C1 au point I.b. Tracer la courbe C1 et la tangente T1.

Exercice III.2. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 90 min

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = e−x2

et sa courbe représentative dans unrepère orthogonal notée Cf (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée).

1. a. Étudier la parité de f . Qu’en déduit-on ?b. Étudier la limite de f en +∞, puis donner une équation d’asymptote à la courbe Cf .c. Étudier les variations de f .

2. a. Calculer f ′′(x) et montrer que, pour tout x ∈ R+, f ′(x) > f ′

(√2

2

)

.

b. Étudier les positions relatives de la courbe Cf et de la tangente T à Cf au point

d’abscisse

√2

2.

c. Construire T et Cf sur R+, puis en déduire Cf sur R.3. On note f (n) la nième dérivée de la fonction f , avec la convention f (0) = f .

Ainsi f (1) = f ′ et f (2) = f ′′.a. Prouver que f (1)(x) + 2xf(x) = 0.b. Montrer par récurrence que pour tout n > 2 :

f (n)(x) + 2xf (n−1)(x) + 2(n− 1)f (n−2)(x) = 0

c. En déduire que f (n)(x) = e−x2

Pn(x), où Pn(x) est un polynôme de degré n tel que :

Pn(x) + 2xPn−1(x)− P ′

n−1(x) = 0.

Préciser le monôme de plus haut degré de ce polynôme.



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