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V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 1

TD AUTOMATIQUE


TRANSFORMATION DE LAPLACE

Exercice 1

Calculer, à partir de sa définition, la transformée de Laplace des signaux causaux (nuls

pour t<0) suivants :

Echelon unitaire u(t)

Rampe de pente R

e-at u(t)

Exercice 2

Soit un signal f(t) ayant pour transformée de Laplace F(p).

1°/ Montrer qu’un signal g(t) = - t f(t) a pour transformée de Laplace G(p) = dF(p) /dp

2°/ Montrer qu’un signal h(t) = k f(kt) a pour transformée de Laplace H(p) = F(p/k)

Exercice 3

Exprimer la transformée de Laplace des signaux suivants :

x(t) = sin ωt u(t)

y(t) = sin (ωt + φ) u(t)

z(t) = e-at cos ωt u(t)

Exercice 4

Exprimer la transformée de Laplace d’une sinusoïde redressée.

Exercice 5

Un signal transitoire f(t) d’énergie finie a pour transformée de Laplace F(p).

Le signal g(t) est obtenu par la périodisation de f(t) de sorte qu’il soit constitué de N

motifs f(t).

Exprimer la transformée de Laplace G(p) de g(t).

Exprimer G(p) si N tend vers l’infinie.

Exercice 6

Soit un système de fonction de transfert F(p) = A / (p+a) où A et a sont des réels.

Exprimer la réponse impulsionnelle du système (Cf table de transformées de Laplace) et

discuter la stabilité du système en fonction de a.

Rappel : Un système est stable si écarté de sa position d’équilibre (par l’action d’une impulsion) il y retourne

spontanément.


Exercice 7

F(p) = 2 / (p+3) + 5 / (p+5) Exprimer la réponse impulsionnelle. Représenter son allure.

Le système est-il stable ?

Exercice 8

F(p) = 5 / (p+3)(p+4) Décomposer F(p) en éléments simples.

Exprimer la réponse impulsionnelle. Représenter son allure. Le système est-il stable ?

Exercice 9

F(p) = 10/(1 + 0.1p)

Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle ouverte. Le système est-il stable ?

Exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte.

Exprimer la FTBF.

Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle fermée. Le système est-il stable en boucle

fermée ?

Exprimer la réponse indicielle en boucle fermée.

Exercice 10

Soit un système ayant pour fonction de transfert F(p) = (5p+2) / (p2 + p + 1).

Exprimer la réponse impulsionnelle. Discuter de la stabilité du système.

Exercice 11

Soit un signal ayant pour transformée de Laplace

S(p) = (3p+2) / [ (p2 + 8p + 16)(p+3) ].

Exprimer s(t).


F(p) = k / p (1 + τ p)

Exercice 12

1°/ Exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte.

2°/ Exprimer la FTBF. Déterminer la pulsation propre et le coefficient d’amortissement

en boucle fermée.

3°/ Exprimer la réponse indicielle en boucle fermée sachant que k = 10 et τ = 0.1 s

Exercice 13

Soit un système décrit par sa fonction de transfert F(p) = 1 / [ 1 + 2mτp + τ2 p2 ]

En utilisant la décomposition en élément simple, exprimer la réponse impulsionnelle du

système dans différents cas fonctions du coefficient d’amortissement.

Exercice 14

Soit un système décrit par sa fonction de transfert F(p) = 1/ [ (p+1)3 (p-1) p ].

Exprimer la réponse impulsionnelle.


REPRESENTATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT

Exercice 15

Soit T(p) = 1 / [1 + 10p] [1 + 0.1p] la FTBO d’un système.

Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l’allure du diagramme de

Black.

Le système est-il stable en boucle fermée ?

Exercice 16

Soit T(p) = k / [1 + 10p] [1 + 0.1p] [1 + 0.001p] la FTBO d’un système.


Black.

Déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -180 °

Discuter la stabilité du système en boucle fermée en fonction de k ?

Déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -135°

Exercice 17

Soit T(p) = k / p [1 + 0.1p] [1 + 0.001p] la FTBO d’un système.


Black.

Déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -180 °, discuter la stabilité du système en

boucle fermée en fonction de k, déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -135°

Exercice 18

Soit C(p) = k (1 + aτp) / (1 + τp) la FT d’un correcteur. (avec a >1)

Tracer les diagrammes de Bode de ce correcteur pour a = 10 et k = 1

Même chose pour C(p) = k (1 + τp) / (1 + aτp)

Exercice 19

Soit T(p) = k / p [1 + 0.1p] [1 + 0.001p] la FTBO d’un système.

Etudier la stabilité du système en boucle fermée à l’aide du critère de Routh.


Exercice 20

Soit C(p) = k ( 1 + 1/τip + τd p )

Ecrire la fonction de transfert sous une forme permettant de tracer facilement ses

diagrammes de Bode.

Tracer les diagrammes de Bode pour τi = 4 τd.

Exercice 21

Soit une FTBO : T(p) = k / [ (1 + τp)2 (1 + nτp) ] avec n > 0

En utilisant le critère de Routh, déterminer la plage des valeurs de k assurant la

stabilité du système en boucle fermée quel que soit n.

Pour k > 8, quelle est pour n faible, la valeur maximum de n assurant la stabilité en

boucle fermée

Exercice 22

On considère le système suivant :

On donne : F(p) = 0,05 / [ p2

+ 0,15 p + 0,005 ]

1°/ Pour A = 1, exprimer la réponse impulsionnelle en boucle ouverte. Le système est-il

stable, justifier.

2°/ Pour A = 1, exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte (entrée échelon)

3°/ Exprimer la FTBF en fonction de A

4°/ Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle fermée pour A = 20. (arrondir le

discriminant à l’entier le plus proche). Comparer au 1°/

5°/ Dessiner l’allure des diagrammes de Bode (diagrammes asymptotiques) pour A = 20.

Le système, au vu de ces diagrammes, sera t-il stable en boucle fermée (justifier) ?

Rappels :

tL ( échelon) = 1/p tL(impulsion) = 1 tL(e –a t ) = 1 / (p+a) sin ϕ = [ e jϕ - e -jϕ ] / (2j)

Process F(p)

consigne E(p) ε(p)

Ampli : A S(p)


Exercice 23

On considère un système dont la fonction de transfert est :

F(p) = [ 12 p2 + 4,3 p + 0,05 ] / [ p ( p2 + 0,55 p + 0,025 ) ]

Exprimer la réponse impulsionnelle de ce système. Les détails des calculs sont exigés.

Le système est-il stable ? justifier.

Exercice 24

On donne F(p) = 1 / [ p ( 1+0,2 p ) (1 + 0,002 p ) ]

Représenter les diagrammes de Bode asymptotique (gain et phase)

Déterminer graphiquement la pulsation pour laquelle arg(F(p)) = -180 °

Déterminer la condition de stabilité sur A par le calcul .

Exercice 25

On donne F(p) = 1 / [ p ( 1+0,2 p ) ]

Exprimer la FTBF

En déduire les paramètres de la FTBF.

Process F(p)

consigne e(t) ε(t)

Ampli : A

Process F(p)

consigne e(t) ε(t)

Ampli : A


MOTEUR A COURANT CONTINU

Exercice 26 : MOTEUR A COURANT CONTINU, COMMANDE DE VITESSE PAR L’INDUCTEUR

La vitesse de rotation du moteur est réglable par action sur V, la tension d’alimentation

de l’inducteur. Exprimer la fonction de transfert Ω(p) / V(p). Exprimer la fonction de

transfert θ(p)/V(p).

Exercice 27 : MOTEUR A COURANT CONTINU, COMMANDE DE VITESSE PAR L’INDUIT

La vitesse de rotation du moteur est réglable par action sur U, la tension d’alimentation

de l’induit. Exprimer la fonction de transfert Ω(p) / U(p). Exprimer la fonction de

transfert θ(p)/U(p).

Rappel des équations du moteur :

Inducteur : V = rj + l dj/dt

Induit : U = R I + L dI/dt + E

Fem : E = k k’ j Ω

Mécanique : EI/Ω - Cp = J dΩ/dt

U cste

r

l

j Ω f

I

V

J

U

r

l

j Ω f

I

V cste

J


Exercice 28 : LE REDUCTEUR DE VITESSE A VIDE

1°/ Exprimer la fonction de transfert Ω2(p) / Ω1(p).

2°/ C1 est le couple moteur disponible sur l’axe 1. C2 est celui disponible sur l’axe 2.

Exprimer la fonction de transfert C2(p)/C1(p) à vide.

Exercice 29 : LE REDUCTEUR DE VITESSE EN CHARGE

1°/ Donner la relation entre C2, couple moteur disponible sur l’axe 2 et le couple

résistant (par rapport à l’axe 1) opposé par l’axe 2 sur l’axe 1.

2°/ Ecrire l’équation mécanique relative à l’axe 2

3°/ Ecrire l’équation mécanique relative à l’axe 1

4°/ En déduire la fonction de transfert C1(p)/Ω1(p)

Exercice 30 : MOTEUR A COURANT CONTINU AVEC REDUCTEUR

Exprimer la fonction de transfert Ω1(p)/U(p) puis Ω2(p)/U(p).

Ω1

Ω2

R1

R2

Couple moteur : C2

Couple moteur : C1 Couple Résistant : Cr1

Ω2

Ω1

f2 J2

f1

J1

r

l

j

I

V cste Couple Résistant : Cr1

Couple moteur : C2

Ω2

Ω1

f2

J2

f1

U

J1


EXAMEN PARTIEL D’AUTOMATIQUE n ° 2 (04/05) Durée 1h30 – Sorties interdites

Tous documents et calculatrices perso sont interdits Téléphones portables interdits Veuillez soigner la présentation.

CORRECTEUR D’ASSIETTE DE VEHICULE ( d’après sujet d’examen) I – 1

ère partie : Modélisation d’un ressort de suspension

I.1 – Exprimer la force F exercée par l’air emprisonné dans le cylindre sur la face inférieure du piston, en fonction de H et M. I.2 – La hauteur du piston varie autour d’une position d’équilibre H0 : H = H0 + x. De même, la masse d’air emprisonné est variable autour d’une valeur moyenne M0 car l’amortisseur possède un système d ‘échappement d’air contrôlé par une électrovanne : M = M0 + m. On rappelle que qu’une fonction F(M,X) admet comme développement limité au 1

er

ordre :

F(M,X) = F(M0,X0) + (M – M0) (⊥F/⊥M)M=M0 et H=H0 + (H – H0) (⊥F/⊥H)M=M0 et H=H0

⊥F/⊥M et ⊥F/⊥H sont les dérivées partielles de F par rapport à M et à H.

a) Montrer que l’on peut écrire F sous la forme F0 + b1m – b2x

b) Calculer les valeurs numériques de F0, b1 et b2 pour M0 = 14,3 g, H0 = 25

cm et b0 = 84 N.m.g

-1

Tout contrôle continu est soumis au règlement des examens de l’université.

Toute tentative de fraude ou fraude avérée, sous quelque forme que ce soit, met immédiatement fin à l’examen, est

immédiatement sanctionnée par la note zéro et est passible du conseil de discipline de l’université.

Un ressort de suspension automobile est constitué d’un piston de section S permettant de comprimer une masse M d’air dans un cylindre. L’air contenu dans le cylindre est assimilé à un gaz parfait. La pression P à l’intérieur du cylindre de volume V, à une température donnée obéit à l’équation :

P V = b0 M avec b0 = 84 N.m.g-1

F

M, V

H

H0 x

air

S


II – 2ème

partie : Système Modélisation de la suspension

II.1 – Ecrire, en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, l’équation différentielle régissant la position x(t) du piston en fonction de la masse d’air m(t).

II.2 – Mv = 200 kg, Pa = 105 Nm

-2 , g = 10 ms

-2 , S = 2,8 10

-2 m

2 et ρ = 7.10

3 Nsm

-

1

Calculer la valeur de x au repos c’est à dire quand d

2x/dt

2 = dx/dt = m = 0.

On constate que x << H0. Dans la suite, on considère donc que x=0 au repos. II.3 – En déduire que l’équation différentielle reliant x(t) et m(t) s’écrit :

d2x/dt

2 + 35 dx/dt + 96 x = 1,68 m

II.4 – Déduire de l’équation différentielle la fonction de transfert de la suspension X(p)/M(p) dans laquelle X(p) = tL ( x(t) ) et M(p) = tL ( m(t) ) II. 5 - Déterminer les deux constantes de temps de la suspension. Déterminer en justifiant votre réponse une fonction de transfert équivalente du 1

er

ordre. III – 3

ème partie : ASSERVISSEMENT

Un électrovanne proportionnelle permet de régler le débit massique D(t) d’air en gs

-1

entrant ou sortant dans le cylindre du ressort. (La masse d’air dans le cylindre est toujours exprimée en grammes). Un capteur de position délivre une tension s(t) de mesure de la position x(t) du piston. La tension s(t) est comparée à une consigne e(t) pour élaborer la tension de

commande ε(t) de l’électrovanne.

La FT du capteur est S(p)/X(p) = 1. La FT de l’électrovanne est D(p)/ε(p) = k La FT de la suspension est X(p)/m(p) = 0,0175 / (1 + p/3)

La suspension est constituée du ressort précédent et d’un amortisseur introduisant un frottement visqueux s’opposant au mouvement matérialisé

par une force f = -ρ.dx/dt dans laquelle dx/dt est la vitesse du piston. La masse Mv représente la fraction de la masse totale du véhicule rapportée à une roue, elle engendre une force Mvg agissant sur le piston. On remarque que la pression atmosphérique Pa engendre une force Fa agissant sur la face supérieure du piston du ressort.

F

M, V

H

H0 x

air

Mv

f


III.1 – Quelle est la relation instantanée liant d(t) et m(t) ? En déduire la FT : m(p)/D(p). III.2 – Représenter le schéma bloc de l’asservissement avec les FT de chaque bloc. III.3 – Exprimer la FTBO. III.4 – Exprimer la FTBF sous forme normalisée du second ordre (Cf annexe 1). Exprimer le coefficient d’amortissement z et la constante de temps propre en boucle fermée. Calculer k pour que z = 0,5. IV – 4

ème partie : Correction du système

IV.1 – Représenter l’allure des diagrammes de Bode de la FTBO

IV.2 – Déterminer la pulsation pour laquelle ϕ = -135° IV.3 – Déterminer k pour avoir une marge de phase de 45° IV.4 – Erreurs statiques (Cf annexe 2). On garde la valeur de k calculée. Déterminer l’erreur statique pour une entrée échelon unitaire. Déterminer l’erreur statique de traînage pour une entrée rampe de pente unitaire. Quel type de correcteur faudrait-il utiliser pour annuler l’erreur statique de traînage ? (justifier).

x(t)

air

Mv

Reserve

gaz D(t)

Consigne

e(t)

Capteur de niveau :

mesure de x

ε(t)

m(t)

Electrovanne

proportionnelle

0,0175 / [p (1 + p/3)]

k E(p) S(p) ε (p)


ANNEXE 1 : FORME NORMALISEE FT DU 2

ème ORDRE

F(p) = A / [ 1 + 2 z τ p + τ2 p

2 ] avec z : coef. d’amort. et τ cste de temps propre

ANNEXE 2 : ERREURS STATIQUES T(p) = X(p) / pα

α représente le nombre d’intégration du système appelé classe du système.

Classe 0

Classe 1

Classe 2

Classe 3

Echelon A

Erreur de position

A / [ 1+T(0) ]

0

0

0

Entrée rampe Rt

Erreur de vitesse

∞

R / X(0)

0

0

Entrée parabolique Ct2

Erreur d’accélération

∞

∞

C / X(0)

0

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