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Técnicas de Integración 8
Sección 8.5
Fracciones parciales (o simples)
© Salas / Hille / Etgen, CALCULUS, Vol. I
Una y Varias Variables 4a Ed.
Editorial Reverté (Reimpresión 2007)
2010 1 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S5
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4 2 2 2
4
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2
: ; por la sugerencia, ( 2 )( 2 ) 4
con 2 4 2 ( 2(2) 2)( 2(2) 2) ( 2 2)( 2 2)
2 2 4 2 4(2) 4 8 4 0 es factor cuadrático irreducibl
dxx a x ax a x ax a
x
a x x x x x x x x x x
x x
Problema 25
2 2 2
2 2
4 2 2
e,
2 2 4 ( 2) 4(2) 4 8 4 0 es factor cuadrático irreducible
1( )( 2 2) ( )( 2 2) 1
4 2 2 2 2
x x
Ax B Cx DAx B x x Cx D x x
x x x x x
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2 2
2 2
2 2
1 ( )(( 1) 2( 1) 2) ( )(( 1) 2( 1) 2) 5 5 1
0 ( )(2) ( )(2) 2 2 1
1 ( )(1 2(1) 2) ( )(1 2(1) 2)) 5 5 1
2 (2 )(2 2(2) 2) (2 )(2 2(2) 2) 4 2 20 10 1
de donde
x A B C D A B C D
x B D B D
x A B C D A B C D
x A B C D A B C D
resolviendo el sistema de 4 4 se obtiene:
5 5 1
2 2 1 1 1 1 1, , ,
5 5 1 8 4 8 4
4 2 20 10 1
A B C D
B DA B C D
A B C D
A B C D
1 1 1 18 4 8 4
2 2 2 2
4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2
4 8( 2 2) 8( 2 2)
x xAx B Cx D
x x x x x x x x
x x
x x x x x
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4 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
4 2
1 2 1 2
4 8 2 2 8 2 2
1 1 1 1 1 1
8 2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 2
1 2( 1) 1 1 2( 1) 1
16 2 2 8 2 2 16 2 2 8 2 2
1 ( 2 2) 1
4 16 2 2
dx x xdx dx
x x x x x
x dx x dxdx dx
x x x x x x x x
x dx x dxdx dx
x x x x x x x x
dx d x x
x x x
2
2 2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
2
4 2
1 ( 2 2) 1
8 2 2 16 2 2 8 2 2
1 1 1 1ln( 2 2) ln( 2 2)
16 8 ( 1) 1 16 8 ( 1) 1
1 1 1 1ln( 2 2) tan ( 1) ln( 2 2) tan ( 1)
16 8 16 8
1 2 2 1ln t
4 16 2 2 8
dx d x x dx
x x x x x x
dx dxx x x x
x x
x x x x x x
dx x x
x x x
1 1an ( 1) tan ( 1)x x C
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1 2
1 2
: deducir la siguiente fórmula de integración
1ln ; 0
( )( )
0 / 0 /
/ / 0
condición bajo la cual los factore
du c duC ad bc
a bu c du ad bc a bu
a bu bu a u a b c du du c u c d
u u a b c d ad bc
Problema 43
s lineales son distintos (no repetidos)
1( ) ( ) 1
( )( )
1( ) 1 ( ) 0
0
por lo que el sistema de 2 2 tiene una única solución dada por C
A BA c du B a bu
a bu c du a bu c du
cA aB c acA aB dA bB u ad bc
dA bB d b
ramer
1 11 1/ ; /
0 0
a cb b d dA A B B
b dad bc ad bc
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1 1 1
( )( )
1 1
( )( )
1 ( ) 1 ( )
1 1ln ln
1ln ;
( )( )
A B b d
a bu c du a bu c du ad bc a bu ad bc c du
du b ddu du
a bu c du ad bc a bu ad bc c du
d a bu d c du
ad bc a bu ad bc c du
a bu c duad bc ad bc
du c duC
a bu c du ad bc a bu
0ad bc
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2 2
2 2
2 2
: deducir la siguiente fórmula de integración
1ln ; 0
2
1, 1( )( ) ( ( 1) )( (1) )
1 (1) 1ln ln ; (1)
(1) ( 1) ( 1) 2
du a uC a
a u a a u
du du dub c a d
a u a u a u a u a u
du a u a uC C a
a u a a a u a a u
Problema 44
( 1) 0a
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Ejercicios sugeridos, Sección 8.5
Prácticos: 10, 12, 18, 25, 33, 34
Teóricos: 40, 42, 43, 44, 46, 48
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