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Técnicas de Integración 8

Sección 8.3

Potencias y productos de

funciones trigonométricas

© Salas / Hille / Etgen, CALCULUS, Vol. I

Una y Varias Variables 4a Ed.

Editorial Reverté (Reimpresión 2007)

2010 1 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE

Cálculo Integral :: C8/S3

11(2) cos sin cos ; 1

1

m mx xdx x C mm



1

2

3



1

2

2

3



La notación producto generalizado

1

1 0

0 1

1 11 1

1

) ( ) (1) (2) ( 1) ( ) (1) ( )

) (1) ( ) ( ) (1) ( ) ; ( ) 1 (producto "nulo")

) ( ) ( )

) ( ) ( ) ; {1, , } (conjunto indiz

n

j

n

i j

n nn n

j kk kj j

n

xx Ij x I

a f j f f f n f n f f n

b f f n f n f f n i f j

c f j f f k f

d f j f x f I n

1 2

1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 1

11

ado)

) 1 2 3 ( 1) ! ( 1)! ( 1) (factorial de )

) (ley de separación)

) ( ) ( ) ( ) (derivació

n n n

j j j

jn n

k j j j n n k k

k k k j

n n

i i j

ii j i

e j n n n n n n j n n j n

f f f f f f f f f f f

d dg g x g x g x

dx dxn del producto generalizado)



/ 2 / 2/ 21 2

00 0

/ 21 1 2

0

:

Partiendo de la fórmula de reducción 8.3.1, se tiene que

1 1sin sin cos sin

1 1sin cos sin 0cos0 sin

2 2

1(1)(0) (0)(1)

n n n

n n n

nx dx x x x dx

n n

nx dx

n n

n

n

Problema 62 a)

/ 22

0

/ 2 / 22

0 0

1sin

1sin sin

n

n n

x dxn

nx dx x dx

n



/ 2 / 2 / 22 2 2 2 4

0 0 0

:

Aplicando la fórmula de reducción simplificada del inciso a), para 2 2

2 1 (2 1)(2 3)sin sin sin

2 2 (2 2)

(2 1)(2 3)(2 5)

2

k k k

n k

k k kx dx x dx x dx

k k k

k k k

Problema 62 b) Fórmulas de Wallis

/ 2 / 22 6

0 0

/ 2 / 22 1 2 1

0 0

(2 1)(2 3) 1sin

(2 2)(2 4) 2 (2 2) 2

( 1)( 3)( 5) 1 1 3 5 ( 1)

( 2)( 4) 2 2 2 4 6 2

análogamente para 2 1 3

2 2 (2 2)sin sin

2 1 (2 1)(2

k

k k

k kx dx dx

k k k k k

n n n n

n n n n

n k

k k kx dx x dx

k k k

/ 22 3

0

/ 2 / 22 5

0 0

/ 2

0

sin1)

2 (2 2)(2 4) 2 (2 2) 2sin sin

(2 1)(2 1)(2 3) (2 1)(2 1) 3

2 (2 2) 2 ( 1)( 3) 2 2 4 6 ( 1)( cos )

(2 1)(2 1) 3 ( 2) 3 3 5 7

k

k

x dx

k k k k kx dx xdx

k k k k k

k k n n nx

k k n n n



John Wallis – Arithmetica Infinitorum (1656)

(1616-1703) ~ 87 años



/ 2

/ 2 1

( 1) / 20

1

:

1 3 5 ( 1) 2 12 y es par

2 4 6 2 2 2sin

2 4 6 ( 1) 23 y es impar

3 5 7 2 1

n

jn

n

j

n jn n

n jx dx

n jn n

n j

Problema 62 b) Fórmulas de Wallis

/ 2 / 2

0 0

/ 2 / 2 / 2 / 2

2 20 0 0 0

2 2 2

/ 2 0 / 2

20 / 2 0

: demostrar que cos sin

cos (cos ) sin sin

y 0 0

sin sin sin (p

n n

nn n n

n n n

x dx x dx

x dx x dx x dx x dx

u x du dx x u x u

x dx udu x dx

Problema 62 c)

or aditividad)



7

0

: calcular las siguientes integrales definidas. Para la 1era

integral se toma 7 3 que es el caso impar; para la 2da integral se toma

6 2 que corresponde al caso par, así

. sin

n

n

Problema 63 y 64

63(7 1) / 2 3

/ 2

1 1

6/ 2 3/ 2

6

01 1

2 2 2 4 6 16

2 1 2 1 3 5 7 35

2 1 2 1 1 3 5 5. cos

2 2 2 2 2 4 6 2 32

j j

j j

j jx dx

j j

j jx dx

j j64



4



2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 12 2 2

1 2

(1) tan tan sec tan 2

tan (tan sec tan ) tan sec tan

tan(tan ) (tan ) tan tan

2 1

1tan tan tan ; 2

1

n n n

n n n n n

nn n n

n n n

x x x x n

xdx x x x dx x xdx xdx

xx d x xdx xdx

n

xdx x xdx nn



2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 12 2 2

1 2

:

cot cot csc cot 2

cot (cot csc cot ) cot csc cot

cot(cot ) ( cot ) cot cot

2 1

1cot cot cot ; 2

1

n n n

n n n n n

nn n n

n n n

x x x x n

xdx x x x dx x xdx xdx

xx d x x dx x dx

n

x dx x x dx nn

Problema 65

2 2 2

2 2 4 2 4

2 2 4 2 4

cot cot csc cot 2 ; si 2 2

cot cot csc (cot csc cot )

cot cot csc cot csc cot

n n n

n n n n

n n n n

x x x x n n

x x x x x x

x x x x x x



2 2

2 1 3

2 2

: csc 2 ; sean, csc csc

( 2)csc (csc ) ( 2)csc ( csc cot )

( 2)csc cot ; además, csc cot

csc (fórmula de integración

n n

n n

n

n

xdx n u x dv xdx

du n xd x n x x x dx

du n xdx v xdx x

xdx udv uv vdu

Problema 67

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

por partes)

csc cot ( cot )[ ( 2) csc cot ]

csc cot ( 2) csc cot

csc cot ( 2) csc (csc 1)

csc cot ( 2) csc ( 2) csc

( 2) csc csc csc

n n

n n

n n

n n n

n n n

x x x n x x dx

x x n x x dx

x x n x x dx

x x n xdx n x dx

n xdx xdx 2

2 2

2 2

2

2

cot ( 2) csc

( 1) csc csc cot ( 2) csc , de donde

1 2csc csc cot csc ; equivalentemente

1 1

1 1 cos 2csc csc ; finalmente,

1 sin sin 1

(47) cs

n

n n n

n n n

n n

n

x x n x dx

n xdx x x n xdx

nxdx x x xdx

n n

x nxdx xdx

n x x n

1 21 2c csc cos csc ; 2

1 1

n n nnx dx x x x dx n

n n



Ejercicios sugeridos, Sección 8.3

Prácticos: 5, 8, 16, 27, 35, 43

Teóricos: 57, 62, 65, 67



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