Tcm 04
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Transferência de Calor e Massa
Prof. Dr. Lucas Freitas BertiEngenharia de Materiais - UTFPR
1
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Aula 4
Condução Unidimensional em Regime Permanente
29/05/2013
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Transferência de Calor e Massa3
Presença
Cobrança da presença
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Transferência de Calor e Massa4
Revisão A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica) Condições de Contorno e Inicial
Ementa
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Transferência de Calor e Massa5
A Equação da Difusão de Calor
(Difusão Térmica)
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Transferência de Calor e Massa
Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de temperaturas (distribuição de temperaturas) num meio resultante das condições impostas em suas fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou na sua superfície pode ser determinado através da Lei de Fourier.
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Transferência de Calor e Massa
Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para condições de contorno especificadas, forneça a distribuição de temperaturas no meio.
Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou seja, define-se um volume de controle diferencial, identificam-se os processos de transferência de energia relevantes e substituem-se as equações das taxas de transferência de calor apropriadas.
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Transferência de Calor e Massa8
acusaigent EEEE
Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas.
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Transferência de Calor e Massa
Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)Coordenadas cartesianas
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p
Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência de energia por condução no interior de um volume unitário somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste volume.
9
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Transferência de Calor e Massa
Com frequência, é possível trabalhar com versões simplificadas da Equação do Calor.
Exemplo: condução 1D com propriedades constantes e sem geração de energia.
t
T
x
T
1
2
2
10
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Transferência de Calor e Massa11
Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components
(2.22)
T T T
q k i k j k kr r z
rq q zq
• Coordenadas Cilíndricas: , ,T r z
sin
T T T
q k i k j k kr r r (2.25)
rq q q
•Coordenadas Esféricas , ,T r
• Coordenadas Cartesianas: , ,T x y z
T T T
q k i k j k kx y z
xq yq zq
(2.3)
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Transferência de Calor e Massa12
Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components (cont.)
• In angular coordinates , the temperature gradient is still based on temperature change over a length scale and hence has units of C/m and not C/deg.
or ,
• Heat rate for one-dimensional, radial conduction in a cylinder or sphere:
– Cylinder2 r r r rq A q rLq
or,2 r r r rq A q rq
– Sphere24 r r r rq A q r q
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Transferência de Calor e Massa
Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas
t
Tcq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr p
2
11
radial, r circunferencial, Φ axial, z
13
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Transferência de Calor e Massa
Equação do Calor: Coordenadas Esféricas
radial, r polar, θ azimutal, Φ
t
Tcq
Tsenk
senr
Tk
senrr
Tkr
rrp
2222
2
111
14
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Transferência de Calor e Massa15
Condições de Contorno e Inicial
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Transferência de Calor e Massa
Para determinação da distribuição de temperaturas num meio, é necessário resolver a forma apropriada da Equação do Calor.
Tal solução depende das condições físicas existentes nas fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo (processo transiente), a solução também depende das condições existentes no meio em algum instante inicial.
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Transferência de Calor e Massa
Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]
Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias possibilidades comuns que são expressas de maneira simples em forma matemática. Como a Equação do Calor é de segunda ordem em relação às coordenadas espaciais, duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada coordenada espacial necessária para descrever o problema.
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Transferência de Calor e Massa18
Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).
Condição de Dirichlet
Condição de Neumann
Condição de Robin
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Transferência de Calor e Massa19
Homework
Chapter 2 (Incropera et al, 2008): 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.35, 2.36,
2.39, 2.50
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Transferência de Calor e Massa20
Exemple 2.3
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Transferência de Calor e Massa21
Exemple 2.3
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Transferência de Calor e Massa22
Sumário da aula A Parede Plana▫Distribuição de Temperaturas▫Resistência Térmica▫A Parede Composta▫Resistência de Contato
Uma Análise Alternativa da Condução Sistemas Radiais▫O Cilindro▫A Esfera
Resumo dos Resultados da Condução 1D
Ementa
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Transferência de Calor e Massa
A Parede Plana
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Transferência de Calor e Massa
Transferência de calor através de uma placa plana (distribuição de temperaturas).
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Transferência de Calor e Massa
Distribuição de Temperaturas
Em regime permanente, sem a presença de fontes ou sumidouros de energia no interior da parede, a forma apropriada da Equação do Calor é:
0
dx
dTk
dx
d
Para condução 1D em RP numa parede plana sem geração de calor, o fluxo térmico é uma constante, independente de x.
25
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Transferência de Calor e Massa
se k = cte, a equação pode ser integrada duas vezes, obtendo-se a solução geral,
As condições de contorno para este problema são:
com isso, tem-se que
21 cxcxT
10 ,sTT 2,sTLT
L
TTc ,s,s 12
1
12 ,sTc
26
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Transferência de Calor e Massa
Substituindo na solução geral, a distribuição de temperaturas é
112 ,s,s,s TL
xTTxT
Para a condução 1D em RP numa parede plana sem geração de calor e condutividade térmica constante, a
temperatura varia linearmente com x.
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Transferência de Calor e Massa
Utilizando a distribuição de temperaturas e a Lei de Fourier, tem-se que
21 ,s,sx TTL
kA
dx
dTkAq
21 ,s,sx
x TTL
k
A
A taxa de transferência de calor por condução qx e o fluxo térmico q"x são constantes, independentes de x.
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Transferência de Calor e Massa
Procedimento Padrão para solução de problemas de condução.
1) Solução geral para a distribuição de temperaturas é obtida através da resolução da forma apropriada da Equação do Calor.
2) As condições de contorno são utilizadas para obtenção da solução particular
3) Lei de Fourier é utilizada para determinação da taxa de transferência de calor.
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Transferência de Calor e Massa
Resistência TérmicaCaso especial da transferência de calor 1D sem geração
interna de energia e com propriedades constantes. Analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica.
Da mesma forma que uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade, uma resistência térmica está associada à condução de calor.
Definição: razão entre um potencial motriz e a correspondente taxa de transferência.
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Transferência de Calor e Massa
Resistência térmica para condução
Resistência térmica para convecção
kA
L
q
TTR
x
,s,scond,t
21
hAq
TTR s
conv,t1
Representações na forma de circuitos fornecem uma ferramenta útil tanto para a conceituação quanto para a quantificação de problemas da transferência de calor.
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Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para a parede plana com condições de convecção nas superfícies.
qx pode ser determinada pela consideração em separado de cada elemento da rede (qx é constante ao longo da rede)
Ah
TT
kA
L
TT
Ah
TTq ,,s,s,s,s,
x
2
2221
1
11
11
32
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Transferência de Calor e Massa
Em termos da diferença de temperatura global e da resistência térmica total, a taxa de transferência de calor pode ser representada por
sendo que
tot
,,x R
TTq 21
AhkA
L
AhRtot
21
11
33
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Transferência de Calor e Massa
A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode, também, ser importante se h for pequeno.
Resistência térmica para radiação
Ahq
TTR
rrad
vizsrad,t
1
Nota: as resistências convectiva e radiante em uma superfície atuam em paralelo, e se T∞ = Tviz, elas podem ser combinadas para se obter uma resistência na superfície única e efetiva.
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Transferência de Calor e Massa
Parede CompostaCircuito térmicos equivalentes podem ser utilizados em
sistemas mais complexos, como, por exemplo, paredes compostas.
Tais paredes possuem uma quantidade qualquer de resistências térmicas em série e em paralelo, devido à presença de camadas diferentes de materiais.
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Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.36
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Transferência de Calor e Massa
A taxa de transferência de calor 1D para esse sistema pode ser representada por
sendo que
t
,,x
R
TTq 41
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
AhR
C
C
B
B
A
At
41
11
37
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Transferência de Calor e Massa
Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode ser relacionada à diferença de temperaturas e à resistência térmica associadas a cada elemento. Por exemplo,
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
TTq
B
B
A
A
,s,s,x
3221
1
11
1
38
![Page 39: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/39.jpg)
Transferência de Calor e Massa
Em sistemas compostos, é conveniente definir um coeficiente global de transferência de calor, U, por uma expressão análoga à Lei de Resfriamento de Newton.
ou ainda,
UAq
TRR ttot
1
TUAqx
39
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Transferência de Calor e Massa
As paredes compostas também podem ser caracterizadas por configurações série-paralelo. Embora nesse sistema o escoamento de calor seja multidimensional, é razoável a hipótese de condições 1D.
Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos diferentes podem ser usados.
40
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Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as superfícies normais à direção x sejam isotérmicas.
41
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Transferência de Calor e Massa
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas.
42
![Page 43: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/43.jpg)
Transferência de Calor e Massa
Resistência de Contato
x
BAc,t q
TTR
43
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Transferência de Calor e Massa
A existência de uma resistência de contato não-nula se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície.
A transferência de calor é devida à condução através da área de contato real e à condução e/ou radiação através dos interstícios.
Os resultados mais confiáveis para predizer R"t,c são aqueles que foram obtidos experimentalmente.
44
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Transferência de Calor e Massa45
![Page 46: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/46.jpg)
Transferência de Calor e Massa
Em muitas aplicações ocorre a transferência de calor em um meio saturado, i.e. meio poroso, que é uma combinação estacionária de fluido e um sólido.
No capítulo 7 é estudado sobre leito fluidizado, onde um sólido estacionário é percolado por um fluido
46
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Transferência de Calor e Massa47
Meio poroso
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Transferência de Calor e Massa48
Meio poroso
![Page 49: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/49.jpg)
Transferência de Calor e Massa49
Meio poroso
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Transferência de Calor e Massa50
Meio poroso
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Transferência de Calor e Massa51
Transferência de Calor e Massa
Tanto keff,min e keff,max dão boas estimativas para meios onde efeitos de micro- e nanoescala são desprezíveis. Do contrário, a equação de Maxwell para é preferível para melhores valores:
No entanto, ela é aplicável para meios com no máximo 0,25 de porosidade
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Transferência de Calor e Massa52
Problema 3.1
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Transferência de Calor e Massa53
Problema 3.1
![Page 54: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/54.jpg)
Transferência de Calor e Massa54
Problema 3.1
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Transferência de Calor e Massa55
Problema 3.1
![Page 56: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/56.jpg)
Transferência de Calor e Massa56
Problema 3.1
![Page 57: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/57.jpg)
Transferência de Calor e Massa57
Problema 3.1
![Page 58: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/58.jpg)
Transferência de Calor e Massa58
Problema 3.1
![Page 59: Tcm 04](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022103115/557ccb0ad8b42a7e5b8b4cd5/html5/thumbnails/59.jpg)
Transferência de Calor e Massa59
Problema 3.1
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Transferência de Calor e Massa60
Problema 3.1
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Transferência de Calor e Massa
Uma Análise Alternativa da
Condução61
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Transferência de Calor e Massa
Para condições de RP, sem geração de calor e sem perda de calor pelas superfícies laterais, a taxa de transferência de calor qx é necessariamente uma constante independente de x, ou seja, para qualquer elemento diferencial dx, qx = qx+dx .
Essa condição é, obviamente, uma consequência da exigência da conservação da energia e deve ser válida mesmo que A(x) e k(T).
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Transferência de Calor e Massa
Um procedimento alternativo pode ser utilizado para as condições de interesse no momento.
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Transferência de Calor e Massa
Além disso, mesmo que a distribuição de temperaturas possa ser 2D, variando em função de x e y, com frequência é razoável desprezar a variação na direção y e supor uma distribuição 1D na direção x.
Com isso, é possível trabalhar exclusivamente com a Lei de Fourier ao efetuar uma análise de condução.
dx
dTxATkqx
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Transferência de Calor e Massa
Em particular, uma vez que a taxa condutiva é uma constante, a equação da taxa pode ser integrada, mesmo sem o prévio conhecimento de qx e de T(x).
x
x
T
T
x dTTkxA
dxq
0 0
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Transferência de Calor e Massa
Sistemas Radiais
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Transferência de Calor e Massa
Com frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas 1D.
Além disso, em RP sem geração de calor, tais sistemas podem ser analisados pelo método padrão, que começa com a forma apropriada da Equação do Calor, ou pelo método alternativo, que começa com a forma apropriada da Lei de Fourier.
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Transferência de Calor e Massa
O Cilindro
Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies.
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Transferência de Calor e Massa
Distribuição de temperaturas
2
21
221 ,s,s,s T
rrln
rrlnTTrT
A distribuição de temperaturas associadas à condução radial através de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear. (Na
parede plana sob as mesmas condições ela é linear).
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Transferência de Calor e Massa
Taxa de transferência de calor
Resistência térmica (condução radial)
12
212
rrln
TTLkq ,s,s
r
Lk
rrlnR cond,t 2
12
70
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Transferência de Calor e Massa
Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta.71
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Transferência de Calor e Massa
44
342312
11
41
2
1
2222
1
LhrLk
rrln
Lk
rrln
Lk
rrln
Lhr
TTq
CBA
,,r
4141
,,tot
,,r TTUA
R
TTq
1
44332211
tRAUAUAUAU
Taxa de transferência de calor
Coeficiente global de transferência de calor
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Transferência de Calor e Massa
A Esfera
Condução numa casca esférica.
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Transferência de Calor e Massa
Distribuição de temperaturas
Taxa de transferência de calor
Resistência térmica (condução casca esférica)
1
21
112 1
1,s,s,s T
rr
rrTTrT
21
21
11
4
rr
TTkq ,s,s
r
21
11
4
1
rrkR cond,t
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Transferência de Calor e Massa
Esferas compostas podem ser tratadas da mesma forma que as paredes e os cilindros compostos, onde formas apropriadas da resistência total e do coeficiente global de transferência de calor podem ser determinadas.
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Transferência de Calor e Massa
Raio crítico de isolamento
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Transferência de Calor e Massa
Raio crítico de isolamento
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Transferência de Calor e Massa
Resumo dos Resultados da Condução 1D
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Transferência de Calor e Massa
21 ,s,s TTT
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