Taylorreihen und Fourierreihen Im Vergleich (Referent: Andreas Luft)
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Taylorreihen und Fourierreihen
Im Vergleich
(Referent: Andreas Luft)
Übersicht
• Wiederholung der Taylorreihe
• Beispiel
• Fourierreihe vorstellen
• Beispiel
• Vergleich
Taylor• Brook, Taylor 18 August 1685 Middlesex
- 29. Dezember 1731 London• Britischer Mathematiker• Entwickelte 1708 eine Lösung zum Problem der
Oszillation• 1715 „Direct and Indirect Methods of
Incrementation“ bildete eine Einführung in die Berechnung der Finiten Differenzen.
• Dadurch konnte die vibrierende Saite auf Basis der Mechanik berechnet werden
• 1772 entdeckte Lagrange, dass in der Taylorformel die Basis zur Differenzialrechnung steckt
- Taylorreihe und Taylorpolynom - In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen
in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen
- Taylor-Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch die sogenannten Taylor-Polynome anzunähern.
- Taylorreihe = unendliche Summen- Nachteil = können nicht in endlicher Zeit errechnet werden,
deshalb- T-Polynom = endliche Summen (Näherung)
Taylorreihe
Zur Wiederholung
Taylorreihe – Instrument um Potenzreihen zu finden aus bel.
Funktionen durch simples einsetzen
– näherungsweise Berechnung von Funktionswerten – Allg. Formel:
– Unsere Formel: f(x)= f(0)+ f′ (o)∙x + f″ (o) ∙x² + ... 2!
_ Wozu noch? ->Integration von Funktionen, indem Potenzreihenentw. und anschließend gliedweise Integriert
( )0
( ) 00
( )( )
!
nn
f x n
f xT x x
n
Taylorreihe
• Aufgabe:• Die Funktion soll in Umgebung
der Stelle x0=0 durch eine Parabel ersetzt werden.
1( )
1 sin( )f x
x
Taylorreihe
•Bild 1
Fourier- Jean Baptiste Joseph de Fourier frz. Mathematiker zur Zeit
Napoleons
- Geb. 21. März 1768 bei Auxerre - Gest. 16. Mai 1830 in Paris- Sohn eines Schneiders - Wurde in einer Kriegsschule erzogen und mit 18 Jahren zum
Professor ernannt- Ging Ende 18. Jhd. mit Napoleon nach Ägypten und übernahm das
Sekretariat des Institut d'Egypte- Kehrte nach Frankreich zurück wurde zum Baron ernannt und
sorgte für die Trockenlegung der Sümpfe von Lyon
- Seit 1815 in Paris Sekretär auf Lebenszeit der Akademie der
Wissenschaften
Fourier
• Beschäftigte sich auch mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern
Fourierreihe
• Um eine periodische Funktion als Summe von Sinus und Cosinusfunktionen zu schreiben
Fourierreihe
• Funktion muss nur stückweise stetig sein• Erleichterung wenn bekannt ist ob eine Funktion
achsensymetrisch (nur cos) oder Punktsymetrisch (nur sin) ist
• Hauptsächliche Anwendung in der Elektrotechnik Kippschwingung (Kippspannung), Sinusimpuls (Sinushalbwellen eines Einweggleichrichters)
• Anwendung: CD – Player (A/D), überall wo Musikinstrumente elektronisch nachgebildet werden sollen – also zur digitalen Klangerzeugung
Fourierreihe
• dabei ist
= der Gleichanteil,
die Koeffizienten
Fourierreihe
• Einige Beispiele
Vergleich
• Taylor versagt wenn die Funktion nicht stetig ist
• Fourierreihen können nur symmetrische Funktionen berechnen
• Taylor - kann die Funktion bis ins unendliche darstellen
• Taylor – Funktion muss differenzierbar sein
Quellen
• Wikipedia• Mathematik A.Fetzer H.Fränkel• Mathematik für Ingeneure und …..
Lothar Papula• Mathematik für Ingeneure Reißinger