· Title 001é ç ½è¡¨ç´ .xdw Author 管ç ç ¨ã 㠽㠳㠳 Created Date 7/28/2020 5:12:36 PM
Taro-3507 ç ¸ä¼¼ã ªå ³å½¢ã ®é ¢ç© ã »ä½ ç©nakaguntta.main.jp/3507...
Transcript of Taro-3507 ç ¸ä¼¼ã ªå ³å½¢ã ®é ¢ç© ã »ä½ ç©nakaguntta.main.jp/3507...
-
(中点連結定理の問3で学習した内容を使う)
それぞれの辺の中点,三等分点をつなげると
。
( )
相似比を 2回かけているので2乗になる
12
12
12
-
相似比 1:2 の 2 つの五角形の面積の比を,3 つの三角形に分
けて考える。個々の三角形も相似なので,個々の三角形の面積
比は 1:4。多角形の面積は,その和なので合計して 1:4。
4 4
4
( + + ) (4 + 4 + 4 )= 4( + + )
半径 と の円を考えると,相似比は :
面積はπ とπ なので,面積比は :
-
問1.次の各問いに答えなさい。
(ア)△ ABC∽△ DEFで相似比が 1:5,△ ABCの面積が 4 cm2
のとき,△ DEFの面積を求めなさい。
(イ)△ ABC∽△ DEFで相似比が 2:3,△ ABCの面積が 8 cm2
のとき,△ DEFの面積を求めなさい。
問2.相似な 2つの図形 F,Gがあり,相似比は 5:3です。こ
のとき、次の問いに答えなさい。
(ア) Gの面積が 90 cm のとき,Fの面積を求めなさい。
(イ) Fの面積が 200 cm のとき,Gの面積を求めなさい。
問3.相似な平面図形での,相似比と面積比の関係をまとめま
した。( )にあてはまる数字を書きなさい。
相似比が 1:2 なら 面積比は( ):( )
相似比が 1: なら 面積比は( ):( )
相似比が 2:3 なら 面積比は( ):( )
相似比が : なら 面積比は( ):( )
-
問4.次の図において,BC¥DEです。△ ADEの面積を 8 cm
とするとき,△ ABCの面積を求めなさい。
2
5
3
A
B
C
D E
B C
A
DE
2
A
D
B C
E
4
3
4
8
3
A
C
DE
-
答え.問1.
(ア)相似比が 1:5なので,面積比は 1:25
1:25= 4: ,△ DEFの面積は 25× 4= 100 cm2
× 4
(イ)相似比が 2:3なので,面積比は 4:9
4:9= 8: ,△ DEFの面積は 9× 2= 18 cm2
× 2
問2.相似な 2つの図形 F,Gがあり,相似比は 5:3です。
(ア) Gの面積が 90 cm のとき,Fの面積を求めなさい。
相似比が 5:3なので,面積比は 25:9
25:9 = :90 ,Fの面積は 25× 10= 250 cm2
× 10
(イ) Fの面積が 200 cm のとき,Gの面積を求めなさい。
25:9 = 200: ,Gの面積は 9× 8= 72 cm2
× 8
問3.相似な平面図形での,相似比と面積比の関係
相似比が 1:2 なら 面積比は 1:4
相似比が 1: なら 面積比は 1:
相似比が 2:3 なら 面積比は 4:9
相似比が : なら 面積比は :
-
問4.△ ADEの面積を 8 cm とするとき,△ ABCの面積
4:9= 8: 4:25= 8:
× 2 × 2
= 18 = 50
4 :7 = 8: 1 :2 = 8:
16:49= 8: 1 :4= 8:
÷ 2 × 8
= 24 5 = 32
2
3
A DE
D
2A
E
5
CB C
BC
3
B C
D E 8
A
443
DA E
-
問5.次の各図において,△ ABCの面積を 12 cm とするとき,
△ ACDの面積を求めなさい。
(ア) (イ)
(ウ) (エ)
問6. ABCDにおいて,AE:ED= 2:1で,
△ EFDの面積が 2 cm のとき,次の各面積を求めなさい。
(ア)△ CFDの面積
(イ)△ BCFの面積
(ウ) ABCDの面積
2 1
34
A
B
C
D
A
B C DA
B
C
C
D
3 5 1 3
A
B
D
A
B C
DE
F
-
問7.△ ABC の辺 BC に平行な直線が辺 AB を 2:1 の比に
分けています。△ ABC の面積が 45 cm のとき,図の2つの
部分 , の面積を求めなさい。
問8.長方形 ABCD があります。辺 DC の中点を E とし,線分
AE,BD で長方形を図のように、ア,イ,ウ,エの4つの部
分に分けました。アの面積を S とするとき,イ,ウ,エの面
積を,それぞれ Sを使って表しなさい。
イ
ア
ウ
エ
B C
A
B C
A D
EF
-
問9.∠ A= 90°,AB= 20 cm,AC= 15 cm,BC= 25 cm
の直角三角形 ABCで,Aから BCに垂線をひき,その交点を H
とするとき,△ ABCと△ ABHの面積の比を求めなさい。
問10.点 Oを中心として,半径が 10 cm,20 cm,30 cmの 3
つの円があります。このとき,B の部分の面積と C の部分の
面積は,それぞれ,Aの部分の面積の何倍になりますか。
A
B CH
AB
C
O
-
答え.問5.△ ABCの面積が 12 cm のとき,△ ACDの面積
(ア) (イ)
12÷ 2= 6 cm 12÷ 4= 3 cm
(ウ) (エ)
12× = 20 cm 12× 3= 36 cm
問6.△ EFDの面積が 2 cm
(ア)△ CFD
2× 3= 6 cm
53
A
34
B
D
2 1B DACC
A
B
C
D
C
D
A
3 5 1 3B
B C
A E D
F
3
2 1
-
問6.△ EFDの面積が 2 cm
(イ)△ BCFの面積
相似比 1:3
面積比 1:9
2× 9= 18 cm
あるいは,(ア)と底辺の比を利用して
6× 3= 18 cm でも良い
問6.△ EFDの面積が 2 cm
(ウ) ABCDの面積
(6+ 18)× 2= 48 cm 6 cm
18 cm
問7.辺 BCに平行な直線が辺 ABを 2:1の比に分ける。
△ ABCの面積が 45 cm のとき,図の 2つの部分 , の面積
と( + )は相似
相似比は 2:3 面積比は 4:9
:45= 4:9
× 5
= 4× 5= 20 cm
= 45 - 20= 25 cm
B C
A
B C
F
B C
A E D
F
3
A E D1
-
問8.アの面積を Sとするとき,イ,ウ,エの面積
底辺の比より, イ
イはアの 2倍なので 2 S ② ア
ウはイの 2倍なので 4 S ウ ①
(ア:ウ= 1:4でも OK)
長方形の半分で 6 S エ
エは 6 S- S= 5 S
問9.∠ A= 90°,AB= 20 cm,AC= 15 cm,BC= 25 cm
△ ABCと△ ABHの面積の比
△ ABC∽△ ABH
相似比 25:20= 5:4
面積比は 25:16
問10.半径が 10 cm,20 cm,30 cmの 3つの円があります。B
の部分の面積と Cの部分の面積は,Aの部分の面積の何倍
A∽(A+ B)∽(A+ B+ C)
相似比は,1:2:3
面積比は,1:4:9
B の部分の面積は,4 - 1 = 3
Aの部分の面積の 3倍
C の部分の面積は,9 - 4 = 5
Aの部分の面積の 5倍
FE
B C
AB
C
O
2
1
A D
A
B H C
20 15
25
-
空間でも、平面と同じように、図形を拡大したり縮小したり
して、相似な立体を作ることができる。四面体 ABCD を 2 倍に
した四面体 A'B'C'D'を作るには,OA:OA'= OB:OB'= OC:
OC'= OD:OD'= 1:2とすれば良い。
<説明>
平面図形と同じ様に考えると
A,B,Cは OA',OB',OC'のそれぞれ中点なので,
中点連結定理より,OA:OA'= OB:OB'= 1:2,
また,∠ AOB=∠ A'OB'より,
△ OAB∽△ OA'B' になるので,AB:A'B'= 1:2 … ①
同様にして,△ OBC ∽△ OB'C'より,BC:B'C'= 1:2 … ②
同様にして,△ OCA ∽△ OC'A'より,CA:C'A'= 1:2 … ③
①,②,③より,3組の辺の比がすべて等しいので,
△ ABC ∽△ A'B'C'となり,
同様に, ので,
立体として全体を見ると,四面体 ABCD ∽四面体 A'B'C'D'
となり,その となる。
O
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
-
となる理由は,
△ ABCの面積を とすると,△ A'B'C'の面積は 4
△ ACDの面積を とすると,△ A'C'D'の面積は 4
△ ABDの面積を とすると,△ A'B'D'の面積は 4
△ BCDの面積を とすると,△ B'C'D'の面積は 4 となり
四面体 ABCDの表面積は, + + +
四面体 A'B'C'D'の表面積は,4 + 4 + 4 + 4
= 4( + + + )
相似な2つの立体では,
① 立体の相似比は,対応する線分の長さの比の値である。
② 対応する辺の長さの比は,相似比に等しい。
③ 対応する角の大きさは,それぞれ等しい。
④ 対応する面は,それぞれ相似である。
対応する面の相似比は,もとの立体の相似比に等しい。
直方体 F ∽ 直方体 G 相似比は 1:2とするとき
F G
22
2
-
・Fの体積:Gの体積= 1:8
Gには,直方体 Fが 8個あるので 8倍
縦と横と高さは,それぞれが 2倍なので 2× 2× 2= 8
体積を文字で計算すると : 8
・Fの底面積:Gの底面積= 1:4
Gの底面には,直方体 Fの底面が 4個あるので 4倍
底面の縦と横がともに 2倍なので 2× 2= 4
底面積を文字で計算すると : 4
・Fの側面積:Gの側面積= 1:4
4 つの側面は,それぞれが 4 倍の面積で,その和なので 4 倍
側面積を文字で計算すると,
+ + + : 4 + 4 + 4 + 4
+ + + : 4( + + + )
・Fの表面積:Gの表面積= 1:4
底面積の比も,側面積の比も 1:4で,その和なので 4倍
表面積を文字で計算すると,側面積+底面積
+ + + + × 2 :
4( + + + + × 2)
-
問1.半径が ,R である 2つの球の表面積比と体積比を求め,
相似比の 2乗,相似比の 3乗になっているか確かめよう。
相似な立体図形では,次のことがいえる。
相似比が 1:2のとき, 表面積比は 1:4, 体積比は 1:8
相似比が 1: のとき, 表面積比は 1: , 体積比は 1:
相似比が 2:3のとき, 表面積比は 4:9, 体積比は 8:27
相似比が : のとき,表面積比は : ,体積比は :
◎ 図形の体積や表面積を相似比を利用して求める
問2.相似な 2 つの三角錐 F,G があり,その相似比は 3:2。
(ア) Gの表面積が 40 cm ,体積が 16 cm のとき,Fの表面積,
体積を求めなさい。
(イ) Fの表面積が 180 cm ,体積が 81 cm のとき,Gの表面積,
体積を求めなさい。
R
-
問3.相似な 2 つの立体 F,G があって,その相似比は 3:4。
(ア) Gの表面積が 80 cm のとき,Fの表面積を求めなさい。
(イ) Fの体積が 270 cm のとき,Gの体積を求めなさい。
問4.相似な 2 つの円柱 F,G があり,その高さの比は 2:3。
(ア) Fと Gの底面の周の長さの比を求めなさい。
(イ) Fと Gの表面積の比を求めなさい。
(ウ) Fの体積が 80 cm ならば,Gの体積は何 cm ですか。
問5.正方形 ABCDと正方形 EFGHは円 Oに接しているとき,
正方形 ABCDと正方形 EFGHの面積比を求めなさい。
A
B C
DE
F
G
H
O
-
答え.問1.
表面積比は,4π :4π R より, :R
相似比の 2乗に等しくなった
体積比は, π : π R より, :R
相似比の 3乗に等しくなった
問2.相似比は 3:2,表面積比は 9:4,体積比は 27:8
F:G
(ア) 9:4= F:40 27:8= F:16
× 10 × 2
Fの表面積は,9× 10= 90 cm
Fの体積は,27× 2= 54 cm
F:G
(イ) 9:4= 180:G 27:8= 81:G
× 20 × 3
Gの表面積は,4× 20= 80 cm
Gの体積は,8× 3= 24 cm
問3.相似比は 3:4,表面積比は 9:16,体積比は 27:64
F:G
(ア) 9:16= F:80 Fの表面積は,9× 5= 45 cm
× 5
(イ) 27:64= 270:G Gの体積は,64× 10= 640 cm
× 10
43
43
-
問4.相似な 2つの円柱 F,Gがあり,その高さの比は 2:3
(ア) Fと Gの底面の周の長さの比を求めなさい。
長さの比は,相似比に等しくなるので,2:3
(イ) Fと Gの表面積の比を求めなさい。
面積比は,相似比の 2乗になるので,4:9
(ウ) Fの体積が 80 cm ならば,Gの体積は何 cm ですか。
体積比は,相似比の 3乗になるので,8:27= 80:G
× 10
Gの体積は,27× 10= 270 cm
問5.正方形 ABCDと正方形 EFGHは円 Oに接しているとき,
正方形 ABCDと正方形 EFGHの面積比を求めなさい。
正方形 ABCDの面積 2× 2= 4
正方形 EFGHの面積
2× 2÷ 2= 2
面積比 2:1
A DE G
O
BF
CH
2
2
-
練習問題
問1.相似な円柱の形のアイスクリーム A,B があります。600
円で,A を 6 個買うのと B を 2 個買うのとでは,どちらがお
得ですか。
A B
1個 100円 1個 300円
問2.底面が合同な円で,高さが 12 cmの円錐と円柱の容器が
あります。この円錐の容器に深さの 6 cm まで入っている水
を円柱の容器に入れると,水の深さは、何 cmになりますか。
12cm8cm
6cm
9cm
12cm 12cm
6cm
-
問3.円錐の容器があります。いま,この容器に 2 cm の深さ
まで水が入っています。このとき,次の問いに答えなさい。
(ア)容器の を求めなさい。
(イ)水が入っている部分と,
全体の容器との
相似比を求めなさい。
(ウ)容器に入っている水の体積を求めなさい。
(エ) の半分の水を入れると,水の深さは何 cmになりますか。
(ただし、0.8 がおよそ 0.5であることを利用して解きなさい。)
6cm
2cm
8cm
-
問4.コップいっぱいに入れた水を,右のような円錐の形をし
た容器に入れたところ,容器の深さの
同じコップを使って,この容器を満水にするに
は, 水を入れることが必要ですか。
問5.イギリスの小説家のスイフトが著した「ガリバー旅行記」
には,次のような内容の話がある。「ガリバーは航海の途中
で嵐にあって,ある小人の国にたどり着く。その小人の国で
は,人や草木などすべてが,ガリバーの国のものと形は同じ
であったが,大きさは 12 分の 1 であった。そこで,その小
人の国の王様は,ガリバーのために,1728 人分の食料と飲み
物を用意することにした。」上の話の中 1728 人分という数量
は,どのように考えて計算したものと考えられますか。
25
⑤
②
A
B
-
問6.次の図より,各問いに答えなさい。
(ア)△ AOCと△ ODCの面積の比を求めなさい。
(イ)△ AOCの面積が 10cm2のとき,
△ ODCの面積を求めなさい。
(ウ)△ OABと△ OCBの面積の比を求めなさい。
(エ)△ OAB の面積が 8cm2 のとき△ OCB の面積を求めなさい。
(オ)△ AOBの面積と△ ADCの面積の比を求めなさい。
(カ)△ AOBの面積が 12cm2のとき△ ADCの面積を求めなさい。
A
B
C
DO 3-2
-
答え.問1.Aを 6個買うのと Bを 2個買うのとでは?
相似比が 2:3なので,体積比は 8:27
A を 6 個買うと,8 × 6 = 48,B を 2 個買うと,27 × 2 = 54
したがって,同じ 600円では,Bを 2個買う方がお得です。
無駄な計算ですが,体積を求めても同じ結果になります。
問2.水を円柱の容器に入れると,水の深さは何 cm になる?
円錐 2つの相似比が 1:2より,体積比は 1:8なので,
入っている水の量は,円錐全体に入る水の量の
円錐全体に入る水の量は,円柱の容器に入る水の量の
入っている水の量は,円柱の容器に入る水の量の
水の深さは,12cm× = cm
18
13
241
241 1
2
12cm 12cm
6cm
-
問3.円錐の容器に 2 cmの深さまで水が入っています。
(ア)容器の は,4× 4×π× 6× = 32π cm
(イ)水が入っている部分と,全体の容器との相似比は,1:3
(ウ)水が入っている部分と,全体の容器との体積比は,1:27
容器に入っている水の体積は,32π× = cm
(エ) の半分の水を入れたので,体積比は 1:2= 0.5:1
0.8 がおよそ 0.5なので
体積比から相似比を考えると,相似比は 0.8:1
の半分の水を入れると,水の深さは 6 × 0.8 = 4.8cm
問4.容器の深さの 満水に
するには, 水を入れることが必要ですか。
相似比が 2:5なので,
体積比 B:(A+ B)= 23:53= 8:125
したがって,体積比 B:A= 8:117
コップ一杯分は 8なので,117÷ 8= 14.625
したがって,少なくともあと 15回水を入れる
25
13
271 32
27π
-
問5.形は同じであったが,大きさは 12 分の 1。ガリバーのた
めに,1728人分の食料と飲み物を用意した。
洋服の布なら,表面積で 2乗だが,
食料は体積と考えて 3乗するので,12× 12× 12= 1728
問6.次の図より,各問いに答えなさい。
(ア)△ AOCと△ ODCの面積の比は,
高さが DCで共通なので,底辺の比 AO:ODより 2:3
(イ)2:3= 10:△ ODC
× 5 △ ODCの面積は,3× 5= 15cm2
(ウ)△ OABと△ OCBの面積の比は,
底辺が OBで共通なので,高さの比 AO:ODより 2:3
(エ)2:3= 8:△ OCB
× 4 △ OCBの面積は,3× 4= 12cm2
(オ)△ AOBと△ ADCは相似で,相似比は AO:ADより 2:5
△ AOBの面積と△ ADCの面積の比は 4:25
(カ)4:25= 12:△ ADC
× 3 △ ADCの面積 25× 3= 75cm2
B
OD3
A-2
C