Taringa Comets

7/24/2019 Taringa Comets

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Top comments

Naruto Uzumaki 5 months ago

sha-la-la...eat a taquito

Reply · 92

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"scar #eung ! $ay ago

%Naruto Uzumaki &onna 'uy a taquito e(erytime this song plays on my i)hone.

Reply ·

*inene Uryuu922 5 months ago

+inally a Normal non )itche$ Version

Reply · !,

Vie all replies

*s)ulimen / months ago

%*inene Uryuu922 0pre(iously $eaththeki$9221 5 3ecause o4 me /Reply ·

6kmal Ra(en 7 $ays ago

8 thought that too its $i44erent than aire$ on TV. The part hen the Rinnegan shoe$ up oul$

'e 4aster 4olloe$ 'y Naruto turning 'ack. The part hen asuke slashes "rochimaru a4ter he

shoe$ his haringan a4ter getting in the ater ere also missing

Reply ·

:arin 0カリン1 7 months ago

sha la la to'i is o'ito

Reply · /

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;a$e Ro'' / $ays ago

<(eryone shoul$ no 'y no not to 'e mean an$ not to 'e a hater

Tema 1. Teoría de Códigos

1

https://www.youtube.com/channel/UCeedV1_7uT2qgHkKAZy3CJQ

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13uejcyoovht1rap04cct1grxmxhjlbmc4


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4

https://www.youtube.com/user/DaichiNoKamii



https://www.youtube.com/user/deaththekid922

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12ad5cx5sqjs1e3s22myj4pbzjcfndig04


https://www.youtube.com/user/MsPulimen





https://www.youtube.com/channel/UCNz5p4PCfvY0ILE-iThX38Q



https://www.youtube.com/channel/UCoes0SUusuTl4rh5fOXF17A



https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12bj1pwwnmojf1ad04cdn2xfvi4w3niti0


https://www.youtube.com/channel/UCI2XKCKkqd2ulOF1deym5-g






























Reply ·

the'igguns22! 2 eeks ago

,5 ha &6###

Reply · 7

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the'igguns22! ! eek ago

%$octor4 ! lol rite

Reply · !

imme kaki 5 $ays ago

%$octor4 ! $r orochimaru

Reply ·

alestereric 7 months ago 6m 8 the only one ho thinks orochimaru looks like a per( hen he as atching sasuke=

Reply · !5

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imme kaki 5 $ays ago

6lays thought that since 2,,

Reply ·

Rolan$>o(e 2 $ays ago

*y 4a(orite moment asuke in his 'ath? @A

Reply · !

3ram'l/ tar 2 months ago


2

https://www.youtube.com/user/thebigguns221

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12awtnpztudw3nps04cgpz5klugfxojij4


http://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&t=0m58s






https://www.youtube.com/channel/UCqcfLnD0ELLLPF1SNfjNl-g



https://www.youtube.com/user/alestereric


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13bip4a3xmmibzjk04chb3jaoz2z53x2k00k





https://www.youtube.com/channel/UCl1VUvkYn79u2HOtudaTjKQ


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13dejijzrjpybdsf23ldnzb0u3ohpl0z

https://www.youtube.com/channel/UC8ZnWjvyWSjN5v-5nVv6jFg


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13gidw42ynvdbsr004cgl2aclmawnwihyg0k






















https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13dejijzrjpybdsf23ldnzb0u3ohpl0z


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13gidw42ynvdbsr004cgl2aclmawnwihyg0k



Bey 'oy you anna ha >a >a ith me=

Reply · /

3lack*ania&aming ! $ay ago

Nostalgia.

Reply ·

Cen >en DCensariE Ca4-4lo / $ays ago

sha la la 8 slept ith ino

Reply ·

:o'ra:lash / $ays ago

orochimaru as clinching his ass cheeks in the ater

Reply · !

6n$y 6lmen$arez 5 months ago

3ack hen Naruto as a'out actual ninFas lol

Reply · 2,

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&ri44in :ing 2 months ago

%6$am Gilliams 8 thought u ere saying that all the the su''e$ (ersions ere out

Reply ·

6$am Gilliams 2 months ago

Gell the su' $oes come out like a $ay a4ter the ;apanese ith no sun comes out %&ri44in :ing

Reply ·


3

https://www.youtube.com/user/insaneminecraftninja

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12luriwxpf2tvltu23tw5twfyf3gdxjx04


https://www.youtube.com/channel/UCmp4_4pXddmxxVdYYr57UMQ


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z131fzwgnzy3wf32m23yvddxcuzycxk2r

https://www.youtube.com/channel/UCjTaKaaP28-2OspDPQfy0xA

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z120cpg54nbhgrzqy04ce304it35wvhouu40k


https://www.youtube.com/channel/UCOK7Di-tj6PcCXREwkmJCNg


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12yeb5oslihitls522ewxcitnany5axg04


https://www.youtube.com/channel/UCXy9mJPX5_JyZXR6X5xxr7A



https://www.youtube.com/channel/UCFt6TEAmDUcre4ldt6gA5Bg




https://www.youtube.com/channel/UCBxkqqSbYZN9Xtzkcp6Hz2w










https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z131fzwgnzy3wf32m23yvddxcuzycxk2r













*isaki an$ :otaro 5 months ago

+inally 4oun$ the regular one. 8 keep listening to the high pitche$ (ersion an$ i got use$ to

listening to it. )lus i like (er. 2 'etterHIH

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;oe Ro'inson 7 months ago

%#ukio Bans Vorarl'erna omeone likes #ukio

Reply ·

The killer Areams 2 $ays ago<stoy pensan$o en (erme naruto shippu$en 0solo me he (isto naruto1 me recomen$Jis (erlo=

"sea no es muy pesa$o= e que la historia $e naruto es chachi pistachiK pero por esto $e los

rellenos noseK que $icen=

Reply · !

Be'er >ima 5 $ays ago

aki plo tio oriLi

Reply ·

8'rahim 8''y 2 $ays ago

nice

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Uchiha loyality 5 months ago

Naruto is 6mazing sometimes im so sa$ a'out naruto 'ecause FiraFa is $ie M0

Reply · !7

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canni'alistic &houl 2 eeks ago

"'(ious troll is o'(ious.

Reply ·


4


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z134h1y4csi5h3zf222ljrpyqs3edte0i


https://www.youtube.com/channel/UCHbJH1sNUJTmY7G5S0WAZyA




https://www.youtube.com/channel/UCt36oCFDLTWNfw2y9t7rSwA


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ss5sgknjkdbvan04cc1xakz2cjxqymlk0k

https://www.youtube.com/channel/UCF0aElzjAE4GOAtF16gcGLg

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13udh2olp3lylulv23yxbmzlp3defrr304


https://www.youtube.com/channel/UC52q6QqH27M_kpwOLAAcgNQ

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13iuvwxxqvqtpnql04cej5h0ln3y1nwis00k

https://www.youtube.com/channel/UCFyAB2QupdDXQXM8Dh1QtYg


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z122ghbaevmuypi0423su1sp3m24vtql1


https://www.youtube.com/user/InuzukaxClan















https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ss5sgknjkdbvan04cc1xakz2cjxqymlk0k




https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13iuvwxxqvqtpnql04cej5h0ln3y1nwis00k








t4ppl srsly 2 eeks ago

%canni'alistic &houl >ol that pic tho... remin$s me o4 :ai'a 4rom #u-&i-"h.

Reply ·

Aillon 6u'in !5 hours ago

)ause at ,77 an$ take a close look at :a'uto.

Reply ·

Nathan ".6 / $ays ago

l like this song.

Reply ·

3yaku san / months ago

Chek out my top 5 naruto shippu$en oppeningsReply ·

· 6nime +ore(er · 0 !,,O >i4e ·1ʚ ɞ ʚ ɞ ʚ ɞ ʚ ɞ 5 months ago 0e$ite$1

no llorare no llorare N" >>"R6R< N""""?? pinchi (i$eo Fusto en la in4ancia KC me trae

muchos recuer$os quiero (ol(er a esos momentos ....... TPPT cuan$o era 4eliz y esta'a con

mis hermanos TTPPPTT quiero (iaFar al pasa$o y que$arme alli para siempre TT---TT y ahora

esta 'ien ca'rQn el manga ee 0Naruto gai$en1 lamenta'lemente nunca 4ui naruhina y nunca

lo sere uu y el anime .....$os pinches capitulo y ya $e nue(o le ponen relleno #.# 3ale 3e$Fa>a 3i$a

Reply ·

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almen$ra 'arra ! eek ago

%rocio acua yo hinata osea en the last el siempre lo supo pero nesesita'a una mas una

prue'a $e amor a$emas naruto es un i$iota nose $a cuenta $e na$a pero na$a pero

narutosakura no sakura ama a sasuke a$emas a nauto le $iFo que lo ama'a y naruto le $iFo

no (ete ala mier$a te estas en gaan$o porque naruto ya lo sa'e a$emas asi es la reali$a$


5

https://www.youtube.com/channel/UCoacb-3ZR99Inqt3xSo2NjA




https://www.youtube.com/channel/UCmtlzOKMO6o5rmffi-zMLrQ

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13fjtvrtxjbw5twl04ccp2yekyvd1nbkso0k


https://www.youtube.com/channel/UC-1558FJ8SEhRtoteMFxnMg


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12whvobzyf0ztaqf04cjbnjzw2wgrvahho

https://www.youtube.com/channel/UCPX8a_ss5myxD9sTNScYIkg

https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12sxr0zhnzuy3wqa04cdtkhomqwexrgyxs0k


https://www.youtube.com/channel/UCho8GZSGH5OuIvVBtjRcV3w


https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13ehhuzkweiz3vhj04chjepcvqwinmah30


https://www.youtube.com/channel/UCCNfgRQWVn2BP3Rs79rXkmw












https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z13fjtvrtxjbw5twl04ccp2yekyvd1nbkso0k



https://www.youtube.com/watch?v=fFXbdCUlOO4&lc=z12whvobzyf0ztaqf04cjbnjzw2wgrvahho










siempre 4ue asi ya que el anime 4ue crea$o con ese 4uturo aunque no estaria mal narusaku

pero mas hinanaru LS

Reply ·

rocio acua ! eek ago 0e$ite$1

%almen$ra 'arra no que equi(ocas el narusaku era lo mas pro'a'le en la historiia $e naruto y

si u'o un 4inal naruhina es porque en pocas pala'ras el autor se (en$io K y la triste (er$a$ es

que naruto nunca miro a hinata K en cam'io en shippu$en sakura miro con oFos a naruto y eso

se (io acercamientos en el manga y anime K en cam'io hinata lo unico que hizo en to$a la

serie en ru'orizarse y escon$erse atras $e un ar'ol y $ecir naruto - kun osea que pe$o K

$on$e que$o tu naruhina = a$emas cuan$o ella le con4eso a naruto en la pelea $e pain con

un te amo naruto no respon$io K sakura apenas termino la pelea lo a'razo y le $iFo gracias K

asi que no se pensalo te $oy mi mas humil$e opinion salu$os 1

TEMA 1. TEORÍA DE CÓDIGOS.

Introducción

Definición: Consideremos un conjunto finito A={a1, a2, ... aq}, al que denominaremos

alfabeto, a sus elementos, a1, a2, . . . aq , les llamaremos letras o símbolos. Las

sucesiones finitas de elementos de A se llaman palabras.

Aa

Palabraaaa

j

p

i

iii

∈

→...21

La palara ai1ai2...ain se dice que tiene lon!itud n o ien que es una n-palabra.

"na palara de lon!itud n se puede considerar como un elemento del producto

cartesiano de A por si mismo n #eces, es decir, de$

%l producto cartesiano est& formado por todas las n'tuplas de A$

}()......{* 1 Aaaa A in

n ∈=

%sto es i!ual que una palara, s+lo camia la notaci+n.

%l conjunto de todas las palaras sore el alfaeto A se denotar& como A *con

independencia de la lon!itud de las palaras).

.......}2,1{

.....}2,1,-{

=

=

=

+

∈ +

Z

N

A A Z n

n


n

n A AA A ....=

https://www.youtube.com/user/rocio58223








Definición: "n c+di!o sore el alfaeto A es un suconjunto C de A, , AC ⊆*conjunto formado por palaras del alfaeto).

A los elementos del c+di!o C se les llama palabras de código.

%l n/mero de elementos del c+di!o C, que normalmente ser& finito, se denota por 0C0 se denomina tamao del c+di!o.

i C es un c+di!o sore A A tiene q elementos *0A0=q) entonces se dice que C es un

c+di!o q'ario. %l ejemplo m&s normal de alfaeto usado en teora de c+di!os es

A = 2 = {-,1} tendremos as c+di!os inarios.

%jemplo de c+di!o inario$

C = {-1--,--1-,-111}

Definición: i C es un c+di!o cuas palaras tienen todas la misma lon!itud n,

decimos que C es un c+di!o de longit!d fija o un c+di!o de blo"!es a n se le llama

lon!itud del c+di!o C.

%l c+di!o C anterior es un c+di!o de loques de lon!itud 4.

C = {-11, 1-11, 1-} 6o es un c+di!o de loques *no podemos 7alar de la lon!itud

del c+di!o)

i C es un c+di!o de lon!itud n tamao m se dice que C es un *n,m)'c+di!o.

C = {-1--,--1-,-111} *4,3) c+di!o

8ado un alfaeto al que denominaremos alfabeto f!ente dado un c+di!o C sore elalfaeto A, se llama funci+n de codificaci+n a una aplicaci+n iecti#a f$

)*)...*)*...

)*

$

2121 nn f f f

f #

C # f

→→∈→

es el alfaeto en el cual est& la informaci+n que queremos codificar. "na aplicaci+n

iecti#a entre 2 conjuntos es una aplicaci+n inecti#a *elementos diferentes tienen

im&!enes diferentes) soreecti#a *los elementos del conjunto C son im&!enes de

al!/n elemento de , en este caso de 1 a que la aplicaci+n es inecti#a). A #eces f noser& una aplicaci+n iecti#a9 si f no fuese inecti#a 7ara #arios smolos del

alfaeto fuente que se codificaran de la misma forma, lo que 7ara la decodificaci+n

mu difcil. Cuando f es iecti#a 7alamos de c+di!os descifrales.

%n muc7as ocasiones se le llama c+di!o a la funci+n de codificaci+n9 pero nosotros le

llamamos c+di!o al conjunto C *ima!en de f).

%jemplo$


:



---111-1----1--1

-111)*

-1--)*

--1-)*

}-111,--1-,-1--{},,{

},,{

→

=→=→=→

= → =

=

babc

c f c

b f b

a f a

C cba#

cba#

f

%jemplos de c+di!os$

• ;oli#io *ao 2-< a.C.) o c+di!o de fue!o !rie!o.

}54....25,24,23,22,21,15,14,13,12,11{$

}5,4,3,2,1{$

},...,{

==

=→

C

A

# Alfabeto ω β α

55 no se inclue a que el alfaeto A tiene 24 letras. "n alfaeto A de lon!itud q tiene

qn palaras de lon!itud n *qn = 0An0 )

54)*

.

.

12)*

11)*$

=→

=→

=→→

ω ω

β β

α α

f

f

f C # f #ea

%ste es un *2,24) c+di!o. %ste c+di!o persi!ue claridad, facilidad de transmisi+n de

mensajes a distancia. %ste c+di!o no permite detectar (o corre!ir errores. e piensa

que este c+di!o se usaa para ocultar la informaci+n. %n cripto!rafa no se 7ala de

c+di!o sino de cifras o criptosistemas. %ste c+di!o se denomina cifra de ;oli#io.

8amero de ;oli#io$

1 2 3 4 5

1 α β2

3

4

5 ω


<



f*α) = 11 f*β)=12 .......

• C+di!o orse. e usa para transmisiones tele!r&ficas. e usa para codificar un

mensaje fuente en len!uaje natural.

= {a, , c ......>}

A = {., ?, }

e usan 3 smolos$ punto, raa espacio.

.. ? ? )*

? .. ? )*

? .)* ? )*

.)*

$

=

=

==

=

→

$ f

f

ingl%sen frec!entesm&s 'etrasa f t f

e f

A# f

%ste c+di!o no es de lon!itud fija. Las letras m&s frecuentes se codifican con palaras

cortas, mientras que las letras menos usadas se codifican con palaras m&s lar!as9 esto

se usa para conse!uir m&s eficiencia, cuanto m&s frecuentes sean las letras m&s cortas

son las palaras del c+di!o.Los espacios se usan para separar palaras * espacios) o letras entre palaras *3

espacios). %ste c+di!o no permite corre!ir (o detectar errores no tiene fines

cripto!r&ficos.

• C+di!o AC@@ *American tandard Code for @nformation @nterc7an!e). %ste

c+di!o es usado por los ordenadores para representar los caracteres alfanumricos

caracteres especiales. %l AC@@ est&ndar usa palaras de : its$

C = {-------, ------1, .......1111111}2: = 12< palaras

%l c+di!o AC@@ eBtendido usa palaras de < its$

C= {--------, ......11111111}

2< = 25

%sta eBtensi+n permite codificar m&s smolos.

--1----- %spacio


D



Al c+di!o AC@@ de : its se le aade un it de paridad para que el n/mero de 1 de la

palara sea par$

1------1

--------

%ste es el c+di!o AC@@ est&ndar con control de paridad. %l c+di!o AC@@ est&ndar no

detecta ni corri!e errores, si camia un it de la palara sta se confunde con otra

palara del c+di!o. Al aadir el it de paridad si se camia un it la palara que se

otiene no es #&lida, a que el n/mero de 1 pasa a ser impar con lo que se detecta el

error. %ste c+di!o s+lo detecta errores, no puedo saer cu&l fue la palara que se en#i+.

%l AC@@ con control de paridad es un *<,12<) c+di!o, mientras que el AC@@ est&ndar

es un *:,12<) c+di!o. %l c+di!o AC@@ eBtendido es un *<,25) c+di!o.

%l c+di!o AC@@ no es mu eficiente a que es de lon!itud fija usa el mismo n/mero

de its para codificar caracteres frecuentes poco frecuentes. %n este c+di!o no 7acefalta separar las palaras a que cada palara tiene un n/mero fijo de its.

La #entaja del AC@@ con it de paridad sore el AC@@ est&ndar es que permite

detectar errores se puede pedir repetir la transmisi+n 7asta que sta sea correcta9 el

incon#eniente es que es menos eficiente a que para transmitir la misma informaci+n

usa palaras de < its en lu!ar de palaras de : its.

;ara detectar corre!ir errores a los c+di!os se les aade redundancia con lo que se

pierde eficiencia. Los len!uajes naturales tienen una !ran cantidad de redundancia, lo

que permite entender una con#ersaci+n telef+nica a pesar de que 7aa errores en la

transmisi+n. Los c+di!os detectores de errores funcionan de tal forma que cuando se

produ>ca un error, la palara resultante no sea una palara del c+di!o de tal formaque la palara real sea la m&s pr+Bima a la palara reciida.

%l len!uaje natural tiene muc7a redundancia9 por ejemplo, el castellano tiene <35--

palaras con 2:4 palaras podramos codificar todas ellas, una posile codificaci+n$

aaaa, aaa .....>>>, >>>>, asi!naramos un si!nificado a cada palara de este c+di!o,

pero si se cometiese un error a tendramos otra palara del len!uaje no podramos

saer cu&l es la palara en#iada.

%sto no ocurre en el len!uaje natural. 7annon estudi+ la redundancia del idioma

in!ls lle!+ a la conclusi+n de que la redundancia del in!ls es del :5E. i se

7uiese diseado el in!ls para minimi>ar la redundancia se reduciran los teBtos en la

4F parte. i en un teBto en in!ls, la proailidad de eliminar una letra es de G el teBto

no ser& reconocile9 por el contrario si la proailidad de eliminar una letra es de H el

teBto ser& reconocile.

Códigos Detectores de Errores: Ejem!os

e intenta uscar una transmisi+n precisa entre dos puntos. %stos c+di!os se usan

cuando se reali>a una transmisi+n por un canal ruidoso. "n canal es el medio fsico

por el cual se reali>a la transmisi+n9 un canal ruidoso es un canal que est& sujeto a

perturaciones que !enera alteraciones en el mensaje *ejemplos de canales$atm+sfera, lnea telef+nica....). Los c+di!os detectores de errores se usan para


1-



recuperar la informaci+n que se en#i+ incorrectamente. "n ejemplo de esto se usa en

los C8, para que la informaci+n se manten!a a pesar de que el C8 est raado.

%n la teora de la informaci+n, desde el punto de #ista de la eficiencia, nos centramos

en la codificaci+n pero a7ora nos centraremos en los errores que se producen en elcanal. La codificaci+n decodificaci+n deen ser f&ciles r&pidas9 la transmisi+n a

tra#s del canal dee ser r&pida9 deemos maBimi>ar la cantidad de informaci+n

transmitida por unidad de tiempo deemos detectar corre!ir errores, esta /ltima

caracterstica entra en conflicto con las anteriores caractersticas a que 7ace que

aumente el tamao de lo que se transmite. %l c+di!o dee ser lo m&s eficiente posile

dee permitir detectar corre!ir errores.

%l canal acepta smolos de un alfaeto finito A={a1, a2, ... aq} que llamaremos

alfaeto del canal *ejemplo$ A = {-, 1}). C+mo saemos si un canal es mu ruidoso o

poco ruidoso9 esto se sae si conocemos cu&l es la proailidad de que si se emite un

smolo se recia otro smolo$;*a j reciido0ai en#iado) *proailidad de que si se 7a en#iado a i se recia a j). Cuando

este conjunto de proailidades se conoce para todos los #alores de i j conocemos las

caractersticas del canal.

%l canal perfecto sera aquel en el que$

iji j aa P δ =)0*

pero esto no eBiste en la pr&ctica. A estas proailidades se les llama probabilidadesdel canal o probabilidades de transición.


11

% s q u e m a d e u n a t r a n s m i s i + n $

I r i ! e n C o d i f i c a d o r C a n a l 8 e c o d i f i c a d o r 8 e s t i n o

J u i d o



Definición: "n canal es un alfaeto *de canal) A={a1, a2, ... aq} junto con un conjunto

de proailidades de transici+n ;*a j reciido0ai en#iado) que satisfacen$

∑=

="

j 1

i j 1en#iado)a0reciido;*a

es decir, siempre se recie un car&cter del alfaeto. "na palara de c+di!o de lon!itud

n correspondiente al c+di!o del alfaeto del canal da una palara reciida de lon!itud

n que no tiene por qu coincidir con la en#iada *ni ser una palara de c+di!o, a que

puede ser una palara del alfaeto pero no del c+di!o).

6o eBiste dificultad para identificar el comien>o de la 1F palara en#iada. i usamos

un c+di!o de loques saemos donde empie>a acaa cada palara.

%l ruido se distriue aleatoriamente9 la proailidad de que un smolo sea camiado

por otro en la transmisi+n es la misma para todos los smolos. La transmisi+n de un

smolo no est& influenciada por la transmisi+n del smolo precedente ni de los

anteriores, es decir, el canal es un canal sin memoria. %l error en la transmisi+n de unsmolo no afecta a la transmisi+n de los si!uientes smolos.

alfabetodel Palabra A

códigode PalabraC ccc

en(iadocrecibido P en(iadocrecibido P sim%tricocanal

n

n

n

n

i

ii

→∈=

→∈=

=⇔ ∏=

...

...

)0*)0*

1

1

1

Cada suceso es independiente del anterior. Kodos los sucesos son independientes.

%l canal que usaremos m&s a menudo es el canal inario simtrico *inar simetric

c7annel C). %l alfaeto del canal es A={-,1}.

1- ≤≤ p1'p proailidad del canal

p proailidad del cruce

p proailidad de que un - sea reciido como un 1

1'p proailidad de que un - sea reciido como un -


12

1 ' p

1 ' p

p

p



p = - Canal perfecto

p = 1 iempre se comete error *%ste caso se con#ierte en perfecto in#irtiendo el

smolo reciido).

%n un canal simtrico eBiste la misma proailidad de que un smolo se reciaincorrectamente adem&s si un smolo se recie incorrectamente 7a la misma

proailidad de que se recia cualquier otro smolo.

i ⇒≤≤ 12(1 p e puede con#ertir el canal de tal forma que 2(1- ≤≤ p simplemente

camiando los smolos reciidos. p = M es el caso m&s desfa#orale. %n la pr&ctica

los canales tienen una alta fiailidad. upondremos que traajamos con un C que

cumple 2(1- ≤≤ p .

upon!amos que queremos detectar errores9 deemos disear un c+di!o de tal forma

que si a una palara del c+di!o le camiamos un /nico smolo la palara resultante

no sea una palara del c+di!o para as poder saer que se 7a producido un error. i

adem&s queremos corre!ir errores, la idea es parecida, para 7acer la correcci+n 7aque saer cu&l es la palara en#iada. La idea &sica es comparar la palara reciida

con todas las palaras de c+di!o asi!narle la palara que difiera en menos smolos.

%jemplo$

C = {--, -1, 1-, 11} =2

2 Z

2 = {-, 1}

%ste c+di!o no ser#ira para detectar errores.

i se producen errores las palaras que se otienen son palaras del c+di!o. ;ara

detectar errores 7a que aadir redundancia. e modifica el c+di!o para conse!uir que

las palaras del c+di!o se pare>can menos entre s. La idea m&s sencilla es repetir la

palara$

C1 = {------, -1-1-1, 1-1-1-, 111111}

Aumento la lon!itud de las palaras. i a7ora recio 111-1- #eo que no es una palara

#&lida del c+di!o as s que se 7a cometido un error. Comparo esta palara con las

palaras del c+di!o #eo en cu&ntos smolos se diferencia de las palaras del c+di!o.

Neo que la palara m&s pr+Bima es la 1-1-1- a que s+lo camia un smolo

podramos asi!narle esta palara. %ste c+di!o tiene la propiedad de que si al transmitir

una palara se comete un /nico error siempre podemos recuperar la palara

ori!inalmente transmitida a que dista uno de una palara m&s de uno del resto de

palaras. e dice que este c+di!o corri!e un error. %sto se lo!ra a costa de aumentar la


13

% n # i a d o J e c i i d o

- 1

1 1

- -

3 o n p a l a r a s d e l c + d i ! o



lon!itud del c+di!o, necesitamos el triple de tiempo espacio para transmitir la misma

informaci+n *disminue la eficiencia del c+di!o). %ste c+di!o se denomina c+di!o de

repetici+n. i nos conformamos con que s+lo se detecte un error podramos usar este

c+di!o$

C2 = {---, -11, 1-1, 11-}

Aadimos un it de paridad. i a al!una palara le camiamos un /nico smolo la

palara otenida no es una palara del c+di!o. %ste c+di!o no permite corre!ir errores9

si se recie 1-- podra 7aerse en#iado ---, 1-1 o 11- 7aiendo cometido un error,

pero no podemos saer qu es lo que realmente se 7a transmitido. e dee requerir una

nue#a transmisi+n de la palara. La eficiencia 7a disminuido con respecto a C pero no

tanto como con C1.

Clases )esid!ales *ód!lo n:

= {-, 1, '1, 2, '2, .....}

ea 2, ≥∈ n Z n . 8ados a, Z ∈ se dice que a es con!ruente con m+dulo n,

a ≡ *mod n) ⇔ n 0 a' *n di#ide a a') ⇔ ∃ O ∈ ( a' = On

{*a,) ( a ≡ *mod n)} ⊆ B

La relaci+n de con!ruencia m+dulo n es una relaci+n de equi#alencia, pues es$

' JefleBi#a, a≡ a *mod n) Z a∈∀' imtrica a ≡ *mod n) ⇒ ≡ a *mod n) Z ba ∈∀ ,

' Kransiti#a a≡ *mod n), ≡ c *mod n) ⇒ a ≡ c *mod n) Z cba ∈∀ ,,

La relaci+n de equi#alencia permite definir las clases de equi#alencia a ∈ . La clase

de equi#alencia de a se define como aquellos n/meros relacionados con a$

a ∈ , a ={ Z ∈ ( a ≡ *mod n)} ⊆

%l conjunto de todas las clases de equi#alencia forman una partici+n de * es la

uni+n disjunta de todas las clases). Al conjunto de todas las clases de equi#alencia se

le denomina conjunto cociente *sus elementos son clases).

}({ Z aa Z n

Z ∈=∈

;ropiedades$

ean a, ∈ , las si!uientes condiciones son equi#alentes$

i) a ≡ *mod n)

ii) +nab Z + +=∈∃ (

iii) a tienen el mismo resto al di#idir por n


14



8i#isi+n entera$ a,n ∈ a= nq P r nr ≤≤- , r = a *mod n), el resto o residuo es

/nico.

}({}({)}*mod({ n por di(idir al restomismoel tienenb ,a Z b Z + +nanba Z ba ∈=∈+=≡∈=

QCu&ntas clases de equi#alencia mod n 7aR Cada elemento est& en la misma clase de

equi#alencia que su resto al di#idir por n9 el n/mero de clases es el n/mero de posilesrestos al di#idir por n *n clases).

}1......1,-{ −=∈

n Z n

Z

, ,

) ))

, ,

) ))

S),*

),*

S

→ →

+→ → +

"n anillo *J,P,S) es un conjunto J junto con dos operaciones inarias P S que

cumplen estas propiedades$

' J con respecto a la suma es un !rupo aeliano$ P es asociati#a, tiene elemento

neutro *-), todo elemento de J tiene simtrico *'B) **J,P) es !rupo) es

conmutati#a **J,P) es un !rupo aeliano).

' S es asociati#a tiene elemento neutro *1).

' S es distriuti#a con respecto a P, es decir$

o *B P ) S > = B S > P S >

o B S * P >) = B S P B S >

) $ , ∈∀ ,,

%l anillo J se dice conmutati#o cuando S es conmutati#a.

)

) , , , ) )

)

) $ , $ , $ ,

∈∀==∈∀+=+

=+−=−+∈−∃∈∀

∈∀=+=+∈∀++=++

S11S

,-)*)*(,

--

,,)*)*

Los anillos usuales son *,P,S)9 *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S).

Definición: "n c!erpo es una anillo tal que todo elemento no nulo tiene in#erso.

*,P,S) no es un cuerpo pero *J,P,S)9 *C,P,S) *T,P,S) son cuerpos conmutati#os.


15



}1,....1,-{

0)*mod

−=

−⇔≡

nnZ

Z

bannba

%nnZ

Z se definen dos operaciones$

-124S3

1:43

}5,4,3,2,1,-{

S$S

$

,

==

==+

=

=

+=+

∈

Z Z

baba

baba

nZ Z ba

*nZ

Z ,P,S) es un anillo conmutati#o. %l opuesto de 2 es 4 * -42 ==+ )

Los alfaetos que usaremos son conjuntos de clases residuales.

;ara cada )2* ≥∈ n Z n sea

n$={-,1,2.....n'1}

i para cada entero a ∈ llamamos a*mod n) al resto de di#idir a por n, la aplicaci+n

definida as$

)*mod)* naa f a

Z nZ

Z n

f

=→

→

es una aplicaci+n iecti#a. Amos conjuntos tienen n elementos, as para #er que f es

iecti#a asta con #er que sea inecti#a.

ean banbanbnab f a f nZ

Z ba =⇔≡⇔=⇔=∈ )*mod)*mod)*mod)*)*,

As la aplicaci+n es inecti#a, a que si dos elementos tienen la misma ima!en

entonces son el mismo elemento.

8efinimos en n las si!uientes operaciones n Z , ∈∀ , $


1



B P $= *B P ) *mod n)

B S $= *B S ) *mod n)

*n , P , S) es un anillo conmutati#o. f es un isomorfismo de anillos, es una aplicaci+n

entre 2 anillos que conser#a las operaciones$

f*aP) = f*a) P f*)

f*aS) = f*a) S f*)

Los 2 anillos son isomorfos, tienen las mismas propiedades. %stos 2 anillos se pueden

identificar.

= {-,1,2,3,4,5,}

5P2=1 3S5=3 5P3=2

QCu&ndo es n un cuerpoR "n cuerpo es un anillo en el que todo elemento diferente de- tiene in#erso para el producto.

2 = {-,1} es un cuerpo. U1=1 *1 P 1 = -).

3 = {-,1,2} es un cuerpo.

P - 1 2

- - 1 2

1 1 2 -

2 2 - 1

'1 = 2 %l opuesto del 1 *1 P *'1) = -9 1 P 2 = -)

4 = {-,1,2,3} no es un cuerpo a que 2 no tiene in#erso para el producto. 2 S 2 = -, 2

es un di#isor de -, un anillo con di#isores de - no puede ser un cuerpo.

)-*min dedi(isorestieneno -nteroio DoC!erpo⇐/

⇒

"n di#isor de - no puede tener in#erso para la multiplicaci+n.

5 = {-,1,2,3,4} es un cuerpo. 2 S 3 = 1, 4 S 4 =1.

no es un cuerpo, : es un cuerpo...

n es un cuerpo si n es primo.

Z ba ∈, d0a, d0

d0a, d0 ⇒ d0d si d es el m&Bimo com/n di#isor de a se denota d = mcd *a,) o

d = *a,).

∏

∏∏

=

≤≤≤≤

=

==

+

i

l ei

+ i

l

i

+ i

e

i

ii

ii

pbamcd

pb pa

1

),min*

11

),*


1:



%sto tiene un incon#eniente a que se necesita descomponer los n/meros como

producto de n/meros primos, lo cual es infactile computacionalmente.

Neremos a7ora un al!oritmo que nos permite 7allar el mcd de 2 n/meros, el al!oritmo

de %uclides, usa una sucesi+n de di#isiones enteras.

Proposición: ean a, ∈ , entonces Vd 0 a , d 0 W ⇔ Vd 0 , d 0 a *mod n)W

Proposición: : ean a, ∈ , entonces mcd *a,) = mcd *,a*mod ). %sto es una

consecuencia directa de la anterior propiedad.

a X e reduce el c&lculo al 7allar el mcd a que a*mod ) es menor que .

ean a, ∈ P

r '1 = a

r - = a = q1 P r 1r '1 = q1r - P r 1r - = q2r 1 P r 2r 1 = q3r 2 P r 3

.

.

.

r O'3 = qO'1r O'2 P r O'1

r O'2 = qO r O'1 P r O

r O'1 = qOP1r O

r 3 Y r 2 Y r 1 Y r -

mcd *a,) = mcd *,r 1) = mcd *r 1,r 2) Z = mcd *r i,r iP1) Z.

%ste proceso no continua de forma indefinida, se alcan>ar& un resto cero9 supon!amos

que r OP1 = -. %ste resto - se otiene en un n/mero pequeo de pasos.

mcd *a,) = mcd *r O ,-) = r O

r OP1 = - ⇒mcd *a,) = r O

%jemplo

1 2 2

<4 - 24 12

24 1" -

mcd *<4,-) = 12

n = {-, 1, 2 Z.n'1}

Proposición: ean a, ∈ , entonces eBisten enteros u,# ∈ ( mcd *a,) = ua P #


1<



mcd *a,) = r O = r O'2 U qO r O'1 = r O'2 U qO *r O'3 UqO'1r O'2) = Z.. = ua P #

Proposición: n es cuerpo ⇔ n es primo

8emostraci+n$

[[⇒ upon!amos que n no es primo, entonces n = rs, r,s X 1. r,s ∈n, rs

= - ∈ n ⇒ r s son di#isores de - ⇒ r s no tienen in#erso para el producto.

[[⇐ upon!amos que n es primo sea a ∈ n, a ≠ -. mcd *a,n) = 1 ⇒∃ u, # ∈ ( 1 = ua P #n ⇒ 1 *mod n) = ua *mod n) P #n *mod n) ⇒1 = ua *mod n)⇒ ua = 1∈ n

%jemplo$

D ∈ 23

2 1 1 4

23 D 5 4 1

5 4 1 -

1 = 5 U 4 = 5 U *D U5) = 2S5 U D = 2S *23 U 2SD) U D = 2S23 U 5SD

1 = '5SD *mod 23)

%n 23 D S *'5) = 1 ∈ 23

'5 = 1<

'5 = 23S1 P1<

11<

235

−

−

D S 1< = 1 ∈ 23

%n Keora de C+di!os traajaremos con p cuerpo, es decir p primo. p no son los

/nicos cuerpos finitos que 7a. i q = pr con p primo entonces eBiste un */nico) cuerpo

finito que tiene q elementos *\q o ]\*q)). \4 es cuerpo pero 4 no lo es.%n la pr&ctica usaremos 2 = {-, 1}

P - 1

- - 1

1 1 -

S - 1

- - -

1 - 1


1D



A!ic#ción:

Neremos el c+di!o que se utili>a para !enerar la letra del 6@\. e toma el 86@ que

tiene < d!itos *n = n/mero de 86@) se calcula el resto de di#idir n por 23$

r = n *mod 23)

%sto da la letra,,,,,,,,,,,,,,,,[

21-# Z 2 N 3 4 D P 5 6 * 7 A8 )T

n P letra que acupa el lu!ar r.

Definición: ea C un *n,m)'c+di!o q'ario *0A0 = q, siendo A el alfaeto). e define la

tasa de informaci+n *o de transmisi+n) de C como$

mn

) "lo!1=

%n el caso inario tenemos$

mn

) 2lo!1

=

%sta definici+n trata de dar la relaci+n que 7a entre los smolos del c+di!o dedicados

a la informaci+n los smolos dedicados a la redundancia *detectar (o corre!ir

errores).

%jemplo$

C = {--, -1, 1-, 11}

mm=2lo!

2

14lo!2

12 == )

*n,m) ' c+di!o

..00 dadon!n paramdem&imo0alor nlongit!d de palabrasden9mero" A

AC nn

n

→=⊆

%ste c+di!o no corri!e ni detecta errores. Kodos los smolos est&n dedicados a la

transmisi+n de informaci+n as este c+di!o tiene la m&Bima tasa de transmisi+n.

lo!q m ≤ n

;ara corre!ir un error podemos aadir un it de paridad.

C = {---, -11, 1-1, 11-}


2-



3

24lo!

3

12 == )

La tasa de informaci+n disminue, aadimos un it para detectar errores pero no

transmite informaci+n. e puede #er esto como el cociente entre el n/mero de

smolos dedicados a la informaci+n el n/mero total de smolos.8ado J no podemos determinar si el c+di!o permite detectar (o corre!ir errores.

C = {------, -1-1-1, 1-1-1-, 111111}

3

14lo!

12 == )

Conociendo J saemos la eficiencia del c+di!o. Los c+di!os m&s eficientes tienen

J = 1.

Dist#nci# $#mming % Descodi&ic#ción or Dist#nci# M'nim#

C ⊆ An

u ^

8onde u es la palara transmitida ^ es la palara reciida. ;ara descodificar se usa

una re!la de decisi+n que es una aplicaci+n de An en C$

ación Descodific!: f :

C A f n

⇒=→ → )*

Lo que se recie puede no ser una palara del c+di!o *se conser#a la lon!itud de la

palara). %sta re!la de decisi+n me da palaras del c+di!o. i f*^) = u descodifico ^

como u. i ^ a es una palara del c+di!o entonces f*^) = ^.

upon!amos que tenemos una re!la de decisi+n C A f n →$ que #erifica$

; *^ reciido 0 f*^) en#iado) =C (∈

maB ; *^ reciido 0 # en#iado)

%sto quiere decir que f*^) tiene la propiedad de que no 7a nin!una otra palara dec+di!o que sea m&s proale que 7aa sido en#iada. i esto se cumple se dice que f es

una re!la de decisi+n de proailidad m&Bima. %n la pr&ctica no se si!ue este camino.

C


21



i usamos un C no conocemos el #alor de 1'p. 6o se calculan proailidades, se #e

cu&l es la palara de c+di!o m&s pr+Bima a la palara reciida9 esto coincide, para un

C, con la descodificaci+n de proailidad m&Bima.

Proposición: 8ado un C con 2(1- ≤≤ p la re!la de decisi+n de proailidad

m&Bima consiste en ele!ir la palara de c+di!o que difiera de la palara reciida en el

n/mero mnimo de smolos posiles.

La proailidad de que una palara ten!a O errores en O posiciones dadas es p O *1'p)O .

i en#iamos # la palara reciida ^ difiere de # en O lu!ares entonces la

proailidad ; * ^ reciido 0 # en#iado) = pO *1'p)O . %sta proailidad aumenta al

aumentar O9 deemos 7acer O lo maor posile *distancia mnima), A partir de a7ora

no trataremos con proailidades si no con la distancia mnima.

;uede ocurrir que 7aa #arias palaras a distancia mnima *L8). e dice que la

descodificaci+n es completa si s+lo 7a una palara posile con distancia mnima se

dice que la descodificaci+n es incompleta cuando 7a m&s de una posile palara con

distancia mnima se produce un error.

Definición: ea A un alfaeto u,^ ∈ An. e define la distancia _ammin! d*u,^)

como el n/mero de posiciones en las que difieren # ^.

),*),* :!d :!

) Z A A d nn

→⊆ →

%sta aplicaci+n es una mtrica$

' %s definida positi#a$ d*u,^) ≥ - d*u,^) = - ⇔ u = ^n

A:! ∈∀ ,

' %s simtrica$ d*u,̂ ) = d* ,̂u) n A:! ∈∀ ,

' 8esi!ualdad trian!ular$ d *u,#) ≤ d *u,^) P d *^,#) n A:(! ∈∀ ,,

La ola con centro en un elemento u radio 1 es u, todos los puntos son aiertos *⇒ topolo!a aierta).

Definición: e llama distancia mnima *o distancia) de un c+di!o C a$

},,(),*min{)* (!C (!(!d C d ≠∈=


22

1 ' p

1 ' p

p

p



Definición: "n c+di!o C es t'detector *de errores), t +∈ Z , si cuando el n/mero de

errores cometidos al transmitir una palara es maor o i!ual que 1 menor o i!ual que

t, entonces la palara resultante no es una palara del c+di!o. C se dice que es

eBactamente t'detector cuando es t'detector pero no es *tP1)'detector.

Proposición: "n c+di!o C es eBactamente t'detector si s+lo si d*C) = tP1.

Definición: "n c+di!o C es t'corrector de errores si la descodificaci+n permite corre!ir

todos los errores de tamao t o menor en una palara de c+di!o, suponiendo que

cuando 7a #arias palaras de c+di!o equidistantes de la palara reciida el proceso de

descodificaci+n declara un error el proceso no se completa. "n c+di!o C se dice que

es eBactamente t'corrector cuando es t'corrector pero no es *tP1)'corrector.

%rror de tamao t$ %rror en el cual el n/mero de errores es t.

Proposición: "n c+di!o C es eBactamente t'corrector si s+lo si d*C) = 2t P 1 o 2t P2.

8emostraci+n$

[[⇐ upon!amos que d*C) = 2t P 1 o 2t P 2 que la palara reciida ^

difiere de la palara en#iada # en a lo sumo t posiciones, es decir, d*#, )̂ ≤ t.

upon!amos que u ∈ C tal que d*u,^) ≤ t u ≠ #. %ntonces d*u,#) ≤ d*u,^) P

d**^,#) ≤ t P t ≤ 2t, contradicci+n a que d*C) = 2t P 1 o 2t P 2, as no puede

7aer 2 palaras de c+di!o distintas cua distancia es menor que la distancia

mnima del c+di!o. As lle!o a que cualquier palara de c+di!o diferente de # dista

de ^ m&s que t.

Neamos a7ora que C es t'corrector no *tP1)'corrector suponiendo que

d*C) = 2t P 1 o 2t P 2

d*C) = 2t P1

∃ u,# ∈ C ( d*u,#) = 2t P1. upon!amos que se transmite ^ que se camian

tP1 smolos correspondientes a tP1 posiciones de entre las 2tP1 en que difieren u

# por los correspondientes smolos de la palara u. Nemos un ejemplo$

111111--

11--111-

==(!

t = 1

2t P1 = 3

-1--111111--111- 2 = → = :!

d*u,^) = 2 pero d*^,#) = 1

%ntonces la palara reciida ^ dista tP1 de u dista t de #, lue!o el c+di!o no

corri!e tP1 errores.

d*C) = 2t P 2 Icurre lo mismo


23



d*C) = 2t P 2 = 2*tP1) C es eBactamente t'corrector.

d*C) = 2t C es eBactamente *t'1)'corrector.

[[⇒ upon!amos que d*C) ≤ 2t por lo tanto no es t 'corrector.

%ntonces si el c+di!o es t Ucorrector esto no puede ocurrir por tanto si C es t'

corrector ⇒ d*C) ≥ 2t P 1. i d*C) ≥ 2t P 3 = 2*tP1) P 1 ⇒C sera eBactamente*tP1)'corrector *Contradicci+n). As d*C) = 2t P 1 o 2t P 2.

Definición: "n c+di!o de lon!itud n, tamao m distancia d se dice que es un

*n,m,d) U c+di!o.

%jemplos$

• C+di!o de repetici+n inario de lon!itud n$

{ -....-- , n

1....111} *n, 2, n)'c+di!o

%ste c+di!o corri!e

−

2

1n errores.

• %l ariner D *1D:D) tom+ fotos en lanco ne!ro de arte. Las im&!enes eran de

--B-- con 4 ni#eles de !ris. e us+ un c+di!o inario de tamao 4. e us+

un *32, 4, 1)'c+di!o *c+di!o de Jeed'uller). %ste era un c+di!o :'corrector.

1

3

32

4lo!2 == )

• %l Noa!er *1D:D'1D<1) tom+ fotos en color de `/piter aturno de 4-D colores.

e us+ un *24, 4-D, <)'c+di!o *C+di!o de ]ola). %ste era un c+di!o 3'corrector.

2

1

24

12

24

4-Dlo!2 === )

Códigos (er&ectos

Definición: ea A un alfaeto, 0A0 = q, # ∈ An r ∈ J, r ≥ -. La esfera de radio r

centro # es$


24



}),*({),* r :(d A:r (# n

" ≤∈=

*ola cerrada de centro # radio r).

%l #olumen de q*#,r) es 0q*#,r)0 est& dado por$

∑=

−

=

r

+

+

" "+

nr n0

-

)1*),*

%l #olumen de la esfera de radio r es independiente del centro.

Nq*n,r) = 1 P n*q'1) P

2

n*q'1)2 P ....

r

n*q'1)r

1 palaras a distancia -n*q'1) palaras que distan 1

2

n ;arejas de elementos

*q'1)2 ;osiles posiciones para el resto de smolos

%jemplo$

A = {-, 1}

n = 3

1 - -1 1 -

- 1 1

1 1 11 - 1

- - 1

- - - - 1 -

%sfera de radio 1 centrada en 111 = {1-1, 111, 11-, -11}

Definición: ea C ⊆ An. %l radio de empaquetamiento de C es el maor entero r tal

que todas las esferas de radio r *q *#,r), # ∈ C) son disjuntas.


25



%sto siempre eBiste a que todas las esferas de radio - son disjuntas.

Definición: %l radio de recurimiento es el menor entero s tal que la uni+n de todas las

esferas de radio s es An.

C (

n

" A s(# ∈ =),*

r = pr*C)

s = cr*C)

Proposición: "n c+di!o C es t'corrector si s+lo si las esferas de radio t q *#,t), #∈ C, son disjuntos. C es eBactamente t'corrector si s+lo si pr*C) = t. %l radio de

empaquetamiento de un *n,m,d)'c+di!o es$

−=2

1)* d

C pr

%jemplo$

d*C) = 4

4

1

Las palaras intermedias no son palaras del c+di!o. La distancia mnima entre dos

palaras es 4.Las esferas de radio 1 son disjuntas %ste c+di!o corri!e 1 error

Las esferas de radio 2 no son disjuntas, tienen un punto com/n

d*C) = 3


2



%ste c+di!o corri!e 1 error.

Definición: "n c+di!o C⊆ An se dice perfecto cuando cr*C) = pr*C), es decir, cuando

eBiste un entero r tal que q*#,r), #∈ C, son disjuntas recuren An. %n este caso las

esferas de radio r forman una partici+n de An.

%jemplo$

_2 *3) *_ammin!) %s un *:,1,3)'c+di!o inario

%ste es un c+di!o 1'corrector

d = 3 9 t = 1 = pr*_2*3))

m = 0 _2 *3)0 = 1

Neamos si este c+di!o es perfecto.

0An0 = 00 :

2 Z = 2: = 12<

_a que #er que las esferas de radio 1 recuren :2 Z . _a que #er que la uni+n de

todas las esferas tiene 12< elementos.

N2*:,1) = 02*#,1)0 = 1 P: = <

_a 1 esferas Kienen <S1 palaras =12<

%l c+di!o es perfecto.

Proposición ;Condición de empa"!etamiento de esferas<: ea C un *n,m,d)'c+di!o q'

ario. C es perfecto si s+lo si d = 2t P 1 es impar adem&s nSN q*n,t) = q

n

, es decir$

∑=

−

=

t

+

+

n

"+

n

"m

-

)1*

8emostraci+n$


2:



[[⇒ i la distancia mnima fuese par, d= 2t P 2 7ara palaras que no

estaran en una esfera de radio t=1, para d = 4 *Ner 1F ima!en de la p&!ina anterior)

. %l radio t no sera el radio de recurimiento9 t P 1 puede que sea el radio de

recurimiento pero a no es el radio de empaquetamiento.

C perfecto, d = 2t P 1, pr*C) = cr*C) = t. { q*#,t) ( # ∈ C} es una partici+n de An.

qn

= 0An

0 = mSNq*n,t) *m n/mero de esferas)

[[⇐ C es un *n,m,2tP1)'c+di!o que cumple mSNq*n,t) = qn. %l n/mero de

esferas por el #olumen de las esferas es qn ⇒La uni+n de todas las esferas de

radio t contiene a An. Las esferas de radio t son disjuntas ⇒%l c+di!o es perfecto.

*n,m,d) = *D-,2:<,5) 6o corresponde a nin!/n c+di!o perfecto. _a al!unos

par&metros que corresponden a m&s de un c+di!o distinto.

*n,m,d)'c+di!o q'ario$

n

mC )

"lo!)* =

La eficiencia la capacidad de corre!ir errores son incompatiles, para corre!ir

errores las palaras deen ser lar!as, con lo que se reduce la eficiencia. e uscan

c+di!os +ptimos que cominen estas dos propiedades.

Definición: La tasa de correcci+n de errores de un *n,m,d)'c+di!o C es$

n

d

C

−

= 2

1

$)*δ

%s el n/mero de errores que se corri!en en relaci+n a la lon!itud de las palaras.

%jemplo$

C ={ -....-- , n

1....111}

J*C) =nn

12lo!2 =

-)* =∞→

C ) 'imn

n = 2t P1


2<



2

1)*

12)*

=

+=

∞→C

t

t C

'imn

δ

δ

Cuanto maor sea la lon!itud del c+di!o m&s aumenta la tasa de correcci+n de errores

*7asta el lmite de -.5). %ste c+di!o es /til d.p.# de la correcci+n de errores pero no

d.p.# de la eficiencia.

m = 1$

J*C) = - %ste c+di!o tiene la mnima tasa de transmisi+n a que un c+di!o de una

sola palara no transmite informaci+n.

%n este caso no podemos 7alar de una distancia mnima, se suele tomar )*C δ = 1 a

que no puede 7aer errores deido a que s+lo 7a una palara.

*n,qn,1)'c+di!o, C = An *0A0 = q)

1lo!

)* ==n

"C )

n

"

J es m&Bimo *todos los smolos transmiten informaci+n).

-)* =C δ

6o se corri!en errores a que todas las palaras de An son palaras del c+di!o.

%l prolema de cu&les son los mejores c+di!o a/n no est& resuelto.

La tasa de correcci+n de errores est& dada por d n9 fijamos d n tratamos de

optimi>ar m para que el c+di!o ten!a J lo maor posile. e definen unos n/meros$

Aq*n,d) $= maB {m ( eBiste *n,m,d)'c+di!o q'ario}

"n *n,Aq*n,d),d)'c+di!o se dice que es un c+di!o optimale.

;rolema principal de la teora de c+di!os$ 8eterminar el #alor de Aq*n,d)

Aq*n,d) ≤ qn'dP1 *Cota de in!leton)

Cota de ;lotOin$

a) i n es par entonces$

;ara n Y 2d, A2*n,d) ≤

− nd

d 2


2D



;ara n = 2d, A2*n,d) = 4d

) i n es impar entonces$

;ara n Y 2d P 1, A2*n,d)

−+

+≤nd

d 121

;ara n = 2d P 1, A2*2dP1,d) ≤ 4d P 4

7annon$ A at7ematica K7eor of Communication

Keorema del Canal Juidoso$ %ste teorema demuestra que eBisten uenos c+di!os pero

no dice c+mo otenerlos.

;ara un C con proailidad de paso p la capacidad es$

)1*lo!)1*lo!1)* 22 p p p p pC −−++=

Consideremos un C con capacidad C*p). i J*C) Y C*p) entonces para cada ε X -

eBiste un *n,m)'c+di!o C cua tasa de transmisi+n es maor o i!ual que J para el

cual ;*error de descodificaci+n) Y ε.

%jemplo$

C con p = -.-1

C*p) = -.D1D *casi D2E);odemos encontrar un c+di!o con J = -.D1D con proailidad de error

aritrariamente aja.

Códigos )ine#!es

Los c+di!os lineales son espacios #ectoriales sore un cuerpo finito. Los alfaetos que

usaremos son cuerpos finitos *).

p = {-,1....p'1}q = pr p primo, \q cuerpo finito con q elementos.

%n particular si q = p *primo), entonces \q = \ p = p.

\2 = 2 = {-,1}

\3 = {-,1,2}

\5 = {-,1,2,3,4}

Definición: "n c+di!o lineal de lon!itud n sore es un 'suespacio #ectorial C de

n

n = {*B1 ..Bn) ( B1,ZBn ∈ }


3-



8ados 2 elementos de C su suma su producto pertenece a C * P S son cerradas).

C ⊆ n, #,^∈ C, α,β ∈ Κ ⇒ α# P β^ ∈ C

= 2

C = {---,-1-} C+di!o Lineal

=+=+=+

----1--1-

-1--1----

---------

%n el caso inario la suma de dos palaras dee ser una palara del c+di!o.

C (!C (! ∈+⇒∈,

C = {-1-}

6o es un c+di!o lineal, a que no contiene a ---.

C = {---,-1-,11-} 6o es un c+di!o lineal a que 11- P -1- = 1-- ∉ C

"n c+di!o lineal inario tiene un n/mero de palaras que es potencia de 2.

"n c+di!o lineal C sore de lon!itud n dimensi+n O se dice que es un Vn,OW'c+di!o

*lineal)9 si la distancia es d, se dice que es un Vn,O,dW'c+di!o.

QCu&l es el tamao de un Vn,O,dW'c+di!o q'arioR

i C es un Vn,OW'c+di!o q'ario ⇒ C es isomorfo a O *C≅ O )

0C0 = 0 O 0 = 00O = qO

m = qO

"n Vn,O,dW'c+di!o q'ario es un *n,qO ,d)'c+di!o q'ario.

#∈C, C c+di!o inario ⇒# P # = 2# = -

)epaso de =lgebra 'ineal:

N 'espacio #ectorial *N un %N sore un cuerpo ). 8ado un suconjunto ⊆N, el

suespacio de N !enerado por es el menor suespacio de N que contiene a se

denota YX. e #erifica que$

},({1

# ( . (# ii

n

i

ii ∈∈>=< ∑=

α α

i YX = N entonces se dice que es un conjunto !enerador de N.

},({ 1 # ( . (0 ii

n

iii ∈∈= ∑= α α


31



⊆N, se dice que es linealmente independiente cuando$

ni# ( . ( i

n

i

iiii ....1,-,,-1

=∀=⇒∈∈=∑=

α α α

⊆N, = {#1, Z.#n}. e dice que es una ase de N cuando es conjunto !enerador

de N es L@.

es ase ⇔ ∑=

=∈∃∈∀n

i

iin (( . 0 (1

1

- (,...., α α α

∑ ∑= =

=∀=⇒==n

i

ii

n

i

ioii ni(((1 1

....1C,C α α α α

Proposición: e N un 'espacio #ectorial ⊆N* un suconjunto de N). Las

si!uientes afirmaciones son equi#alentes$

i) es una ase.

ii) es un conjunto L@ maBimal de N.iii) es un conjunto !enerador minimal de N.

Conjunto L@ maBimal Conjunto L@ tal que cualquier suconjunto de N que lo

conten!a propiamente no es L@.

Conjunto !enerador minimal Conjunto !enerador tal que nin!/n suconjunto

propio de es conjunto !enerador.

Corolario: ea N un 'espacio #ectorial. Kodo conjunto !enerador de N contiene una

ase todo conjunto L@ de N est& contenido en una ase.

Corolario: Kodo 'espacio #ectorial N tiene una ase. Adem&s todas las ases de N

tienen la misma cardinalidad *n/mero de elementos) que en nuestro caso es siempre

finita que se llama dimensi+n de N, dim N.

Proposición: dim N = O ⇔ N≅ O . Kodos los %N de la misma dimensi+n son

isomorfos. "n isomorfismo es una aplicaci+n iecti#a lineal *conser#a las

operaciones).

8emostraci+n$


32



[[⇒ dim N = O ⇒ N tiene una ase = {#1, .....#O }

∑=

∈=→=∈

→ +

i

+

+ ii

+ f

. ( f ((0 (

. 0

1

1 ),.....*)*, α α α

C⊆ n

dim C ≤ dim n = n

Vn,O,dW'c+di!o lineal

O ≤ n

O = - ⇒C = {--Z.-}

O = n ⇒C = n

Definición: ea L una sucesi+n *puede 7aer trminos i!uales) finita de #ectores de n, *#1....#O ). e llaman operaciones elementales sore *#1,....#O ) a las si!uientes$

i) e*p,q) $ @ntercamiar # p #q *# p ↔ #q)

ii) eλ*p) $ Jeempla>ar el #ector # p por el #ector λ# p, donde λ∈ Κ, λ≠ -

*# p ↔ λ# p).

iii) e*p)Pλ(q) $ Jeempla>ar un #ector # p de la sucesi+n por # p P λ#q, con λ∈ Κ, λ≠ - *# p ↔ # pPλ#q).

i e denota una operaci+n elemental de las anteriores, llamaremos e*L) a la sucesi+n

finita de #ectores otenida a partir de L mediante la aplicaci+n de e.

Proposición: ea L una sucesi+n finita de #ectores de n e una operaci+n elemental

sore L. %ntonces se #erifica$

i) YLX = Ye*L)X

ii) L es L@ ⇔ e*L) es L@

8emostraci+n$

i) Kodo elemento de e*L) es una CL de los elementos de L #ice#ersa, as el

espacio que !eneran es el mismo.

ii) Consecuencia de i).

i aplicamos una opraci+n elemental lue!o su in#ersa otenemos la sucesi+n L.


33



111

)*)*

1

)*)*

)*

1

)*

),*

1

),*

1

==

=

=

=

−−

−−

+

−

−

−

eeee

ee

ee

ee

" p" p

p p

" p" p

λ λ

λ λ

"na sucesion finita de #ectores de n es una matri> de O filas n columnas.

L = *#1,......#O ) sucesi+n finita de #ectores de n ⇔atrices OBn*)

#1 = *#11,....#1n)

#2 = *#21,Z#2n)

.

.

.

#O = *#O1,Z#On)

%sto se puede #er as$

)*

...

..

...

..

...

1

111

. *

((

((

+n

+n+

n

∈

Las operaciones elementales se aplicar&n a las filas de la matri>. Namos a transformar

una matri> dada en otra que nos sea m&s /til para traajar.

Definición: "na sucesi+n finita #1,....#O ∈ n se dice que es escalonada cuando, si se

considera la 1F componente no nula de cada #ector todas las componentes no

posteriores de los #ectores si!uientes son cero adem&s todos los #ectores - de la

sucesi+n est&n al final, es decir, # p = - ⇒ # pP1 = ...= #O = -.

%jemplo$

*3, 5, -, 1, 4, 2, 2)

*-, -, 3, 1, -, 2, 4)

*-, -, -, -, 5, 2, 1)*-, -, -, -, -, 2, 3)

*-, -, -, -, -, -, 1)

*-, -, -, -, -, -, -)

*-, -, -, -, -, -, -)

Proposición: i L = *#1, ....#O ) es una sucesi+n escalonada de #ectores de n, entonces

los #ectores no nulos de L forman una ase de YLX.

"na sucesi+n escalonada es L@.


34



Proposición: ea L un conjunto finito de #ectores de n, entonces L se puede

transformar en una sucesi+n escalonada por medio de un n/mero finito de operaciones

elementales. La sucesi+n as otenida *descartando los #ectores nulos si los 7uiera) es

una ase de YLX.

i aado n'O #ectores de forma que la sucesi+n resultante sea escalonada oten!o una ase de n.

%jemplo$

)*

1-21-12

121-221

211-122

12-2121

211-2--

335 Z * =

3 = {-, 1, 2}

Namos a transformar esta matri> en escalonada mediante operaciones elementales.

→

→

→

→

−

−

−

−

−

1------

2121---

211-2--

--1221-

12-2121

222-1--

--111--

211-2--

--1221-

12-2121

222-1--

--111--

--1221-

211-2--

12-2121

1-21-12

121-221

211-122

211-2--

12-2121

1-21-12

121-221

211-122

12-2121

211-2--

)3*2)5*

)3*2)4*

)3,2*)1*2)5*

)1*)4*

)1*2)3*

)2,1*

e

e

ee

e

e

e

%l c+di!o !enerado por los 5 primeros #ectores est& formado por estos 5 #ectores. Los

primeros #ectores a forman una ase pero en !eneral no suceder& esto. %sta matri>

tiene ran!o 5.

C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X

2 Z ⊆

%n primer lu!ar deemos encontrar una ase de C.


35



→

→

+

+

------

-1-1--

---11-

1-11-1

-1-1--

---11-

---11-

1-11-1

-1-1--

1-1-11

---11-

1-11-1

)4,3*

)2*)3*

)1*)3* e

e

e

"na ase de C, ={1-11-1, -11---, --1-1-}

C = Y1-11-1,-11---, --1-1-X

Namos a #er a7ora c+mo es el c+di!o eBplcitamente.

C = Yu1, u2, u3X

C = {u1, u2, u3, -, u1Pu2, u1Pu3, u2Pu3, u1Pu2Pu3}

C = {------, 1-11-1, -11---, --1-1-,11-1-1, 1--111, -1--1-,111111}

qO = 23

dim C = 3

C = Y-121, 21-1X4

3 Z ⊆

→

121-

1-12 on L@

3 = {-, 1, 2}

Kamao del c+di!o = qO = 32 = D

C = {----, -121, 21-1, 12-2, -212, 2222, 1-2-, 2-1-, 1111}

C = Y1----11, -1--1-1, --1-11-, ---1111X :

2 Z ⊆

V:,4W' c+di!o *_ammin!)

24 = 1 palaras

QC+mo 7allar la distancia mnimaR

%n !eneral, para un c+di!o aritrario se toma todo el c+di!o se #an comparando las

palaras para #er cu&l es la distancia mnima9 si el c+di!o tiene tamao m deeramos

calcular

2

m distancias, n/mero que puede ser !rande *m=1----

2

m=

4DDD5---)

La distancia mnima es la distancia mnima entre dos palaras del c+di!o que sean

distintas.


3



Definición: ea C un c+di!o *no necesariamente lineal) # ∈ C una palara del

c+di!o. e define el peso de # como el n/mero ^*#) de smolos no nulos de #.

# = 1--1- ⇒^*#) = 2

Proposición: ea C un c+di!o lineal u,# ∈ C. %ntonces se #erifica$

• d*u,#) = ^*u'#)

• ^*u) = d*u,-)

%l c+di!o dee ser lineal a que u'# dee pertenecer al c+di!o.

Definición: ea C un c+di!o. e llama peso de C *o peso mnimo de C) a$

}-,()*min{$)* ≠∈= (C ((:C :

Proposición: i C es un c+di!o lineal entonces d*C) = ^*C).

8emostraci+n$

ean u,# ∈ C tales que d*u,#) = d*C)

^*C) ≤ ^ *u'#) ≠ -

^*u'#) = d*u,#) = d*C)

As $ ^*C) ≤ d*C)

ea u una palara distinta de cero de peso mnimo, es decir, ^*u) = ^*C)

d*C) ≤ d*u,-) = ^*u) = ^*C)

As$ d*C) ≤ ^*C)

`untando las dos desi!ualdades otenemos$ d*C) = ^*C).

;ara otener la distancia mnima s+lo ten!o que recorrer m'1 palara del c+di!o

calcular sus pesos, con lo que el n/mero de operaciones se reduce.

%l peso mnimo no tiene por qu coincidir con el peso mnimo de los elementos de la

ase.

M#trices Gener#trices % M#trices de Contro!

Definición: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore un cuerpo *C ⊆ n). "na matri>

!eneratri> de C es una matri> de OBn*) cuas filas forman una ase de C.

La matri> !eneratri> no es /nica a que 7a muc7as ases.

C = Y1-11-1, -11---, 11-1-1, --1-1-X es un V,3W'c+di!o


3:



=∈

=

-1-1--

1-11-1

---11-

C)*

-1-1--

---11-

1-11-1

23 7 Z * 7

iempre se cumple que O ≤ n.

;ara que una matri> sea !eneratri> sus filas deen ser una ase del c+di!o, deen ser

un conjunto L@. La matri> dee tener ran!o O *= n/mero de filas).

Proposición: i ] ∈ OBn*) con O ≤ n, ] es matri> !eneratri> de un c+di!o lineal

sore *Vn,OW'c+di!o) si s+lo si r!*]) = ρ*]) = O.

Proposición: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal sore ] una matri> !eneratri> de C.

%ntonces C = { B] ( B ∈ O } la aplicaci+n$

7 C .

f +

→

→

es un isomorfismo de O'espacios #ectoriales.

B ∈ O , B ∈ 1BO *)

] ∈ OBn*)

B] ∈ 1Bn*) = n

e multiplica la primera componente de B por la primera fila de ] as sucesi#amente,

al final se 7ace una suma componente a componente.

)111*3)--1*2)1--*1

111

--1

1--

)321* ++=

] ∈ OBn*)9 ρ*]) = O = ρ*f) = dim*@m f)9 @m f = C

8 0 f →

dim N = dim Oer f P dim @m f

O = dim Oer f P O ⇒ dim Oer f = - ⇒ f es inecti#a

N f @m≅

@nteresa encontrar matrices !eneratrices lo m&s sencillas posiles para que la

descodificaci+n sea sencilla. Neamos c+mo conse!uir matrices !eneradoras lo m&s

sencillas posiles.

Definición: ea C un *n,m,d)'c+di!o q'ario sore un alfaeto A. Consideramos los dos

tipos de operaciones si!uientes$


3<



1' ea σ una permutaci+n del conjunto de ndices {1, 2, .... n}. %s una aplicaci+n

iecti#a de un conjunto en si mismo. %jemplo$

=

=

45123

54321

)5*)4*)3*)2*)1*

54321

σ σ σ σ σ σ

;ara cada palara de c+di!o u = u1u2 ...un, ui ∈ A, se sustitue u por la palara uσ*1)uσ*2)

.... uσ*n) *permutaci+n posicional).

2' ea para cada ndide i ∈ {1, 2, ....n}, Πi$ A A una permutaci+n. e sustitue

cada palara del c+di!o u = u1u2 ...un por u1u2 ... Πi*ui)... un *permutaci+n de

smolos).%jemplo$

i = 3

22

3

Z Z →

∏

Π3 = *1 -) Cada elemento #a al si!uiente el /ltimo #a al primero.

1-11- 1--1-

Definición: %l c+di!o C es equi#alente al c+di!o C cuando C se otiene a partir de C

mediante una sucesi+n finita de operaciones de los 2 tipos anteriores.

%jemplo$

C = {1-121, 2112-, --221, 1-12-, -1212} 5

3 Z ⊆

σ ∈ 5

σ = *1 3) *2 5)

1 3 2 5

3 1 5 2

C= {11121, 1b221, 21-2-, 1-12-, 22-11}

A7ora aplico$

*Π1) *- 2 1) en la posici+n 1

*Π4) *- 1) en la posici+n 4

Aplico Π1$

C = { -112-, --221, 11-2-, --12-, 12-11}

Aplico Π4$

C = {-112-, --221, 11-2-, --12-, 12--1}


3D



%sta relaci+n es una relaci+n de equi#alencia, es decir, cumple las propiedades

refleBi#a, simtrica transiti#a.

%stas operaciones conser#an todos loas par&metros del c+di!o *lon!itud, tamao

distancia entre palaras). 8os c+di!os equi#alentes tienen los mismos par&metros la

misma distancia mnima, con lo que tienen la misma capacidad de corre!ir errores.

Proposición: ea C un c+di!o de lon!itud n sore el alfaeto A u ∈ An. %ntonces

eBiste un c+di!o C equi#alente a C tal que u ∈ C.

8emostraci+n$

ea # ∈ C. ediante a lo sumo n permutaciones de smolos se pasa de # a u.

%ntonces el c+di!o C otenido a partir de esas permutaciones es equi#alente a C

tenemos la propiedad de que u ∈ C.

Definición: "na matri> !eneratri> ] de un Vn,OW'c+di!o se dice normali>ada o est&ndar *o est&ndar por la i>quierda) cuando es de la forma si!uiente$

)0* A > 7 + =

donde @O es la matri> identidad de O *) *matrices cuadradas O B O). Adem&s si un

c+di!o C tiene una matri> !eneratri> est&ndar se dice que C es un c+di!o sistem&tico.

%jemplo$

V5,3W'c+di!o

] =

3534

2524

1514

1--

-1-

--1

aa

aa

aa

A O filas n'O columnas

A∈ OB*n'O)*)

n = O, n = C

Vn,nW'c+di!o

] =

1...-

...

.-.

-1-

-..-1

"n c+di!o de este tipo es el c+di!o AC@@ est&ndar.


4-



%l c+di!o AC@@ con it de paridad es un *<,12<,2)'c+di!o9 es un c+di!o lineal a que

si sumamos 2 palaras con un n/mero par de unos otenemos una palara con un

n/mero par de unos. %s un V<,:W'c+di!o.

A >

1

1

1

11

1-

..

..

-.-1--..-1

:

Neamos a7ora un ejemplo en 3$

-12

121

6o es un c+di!o sistem&tico. a que la matri> de 2B2 tiene ran!o 1

*1S1 ' 2S2 = -)

Las primeras O columnas de la matri> deen formar una matri> OBO de ran!o O para

que el c+di!o sea sistem&tico a que as podemos transformar esta matri> OBO en la

matri> identidad aplicando operaciones elementales.

Proposición: e #erifican las si!uiente propiedades$

i) Kodo c+di!o lineal es equi#alente a un c+di!o sistem&tico.

ii) "n c+di!o sistem&tico posee una /nica matri> !eneratri> est&ndar.iii) i C es un Vn,OW'c+di!o sistem&tico entonces para cada u = u1u2 ...un

∈ O

eBiste una /nica palara de c+di!o cu∈C de la forma cu = u1u2 ...uO BOP1...Bn.

Komamos todo O le aadimos n'O smolos de tal forma que el c+di!o

si!a siendo un %N. Las O primeras componentes se llaman smolos de

informaci+n las n'O si!uientes se llaman smolos de control o smolos

de redundancia.

C+di!o AC@@ con it de paridad Las : primeras posiciones no corri!en errores,

forman todo:

2 Z , lue!o se aade un smolo de control para permitir la detecci+n

de errores.

8emostraci+n$

i) upon!amos que el primer coeficiente no nulo de la fila i est& en la

columna ji *i ≤ ji). ean i1....ir las filas de la matri> escalonada tales que

+ i+ ji ≠ *O = 1....r). Consideremos la permutaci+n posicional de la palaras

de C$ *ir jr ) *ir'1 jr'1) .... *i1 j1), todas estas trasposiciones son disjuntas

forman una permutaci+n *la trasposici+n situada m&s a la derec7a es la que

se aplica primero). %jemplo$


41



21-------

121------

2112-11--

11212-121

j2 = 3, j3 = :, j4 = <

Aplicamos la permutaci+n *4 <) *3 :) *2 3)

Ces equi#alente a C.

→

1

..-

..

1

1

atri> !eneratri> de C, el primer loque es de

tamao OBO el se!undo loque es de tamao OB*n'O). Aplicando

operaciones elementales por columnas esta matri> se reduce a una matri>

!eneratri> est&ndar.

ii) ean ] ] matrices !eneratrices est&ndar de C sean a i ai las filas

i'sima de ] ]. Como amas matrices !eneran el mismo c+di!o las filas

de ] se pueden poner como CL de las filas de ]. a i tiene un 1 en la

posici+n i, ai deer ser i!ual a a i, a que si ai lo pusisemos como CL de

las filas de ] en esta CL s+lo inter#endra la fila a i a que si no la matri>

fila ai tendra unos en una posici+n distinta de la i.

iii) 3, V5,3W'c+di!o. C = { ....}-1-,--2,--1,--- , aparecen todas las

posiles palaras de

3

3 Z 7a una /nica palara que comien>a por esossmolos. u = u1....uO ∈ O , sea ] una matri> !eneratri> est&ndar con filas

a1,...aO ∈ n. *u1....uO )] = u1a1 P u2a2 P ....uO aO = u1u2 ...uO BOP1....Bn.

)...-.....--1*1 a+

= . La palara empie>a por los smolos u i deido

a que la matri> es est&ndar lue!o aparecen otros elementos. Kodas las

palaras del c+di!o se otienen as. %l c+di!o AC@@ con un it de paridad

es un c+di!o sistem&tico a que se co!e todo:

2 Z se le aade un it de

redundancia.

ea C el c+di!o ternario de matri> !eneratri>$

=

1211-

111-1

--221

7

%ncontrar un c+di!o sistem&tico que sea equi#alente a C una matri> !eneratri> de

dic7o c+di!o.


42



→

→

−−

-12--

1121-

--221

1211-

1121-

--221

1211-

111-1

--221)2*)3*)1*)2* ee

%sta matri> es una matri> !eneratri> del mismo c+di!o a que s+lo 7emos reali>ado

operaciones elementales. %l c+di!o C a es sistem&tico, #amos a 7allar la matri>

est&ndar. La matri> 3B3 tiene ran!o 3. ;ara que la matri> OBO escalonada ten!a ran!o O

los elementos de la dia!onal deen ser distintos de cero.

→

→

→

−

−

−

-21--

1--1-

12--1

-21--

1--1-

--221

-21--

1121-

--221

-12--

1121-

--221)2*2)1*

)3*2)1*

)3*2)2*)3*2 e

e

ee

_acer lo mismo con un c+di!o C cua matri> !eneratri> es$

)*

-1211

112-1

--221

353 Z * 7 ∈

=

→

→

−−

−

12---

11-1-

--221

-1-2-

11-1-

--221

-1211

112-1

--221)2*)3*)1*)3*

)1*)2*

ee

e

%l ran!o de la matri> 3B3 no es 3. %sta matri> no se puede reducir mediante

operaciones elementales a la matri> identidad a que sta tiene ran!o 3.

→

→

→

−−↔

-21--

-2-1-

22--1

-21--

-2-1-

2--21

-21--

-111-

2--21

12---

11-1-

--221)2*2)1*)3*)2*53

eecc

C es equi#alente a C. %l c+di!o C se otiene a partir de C permutando las posiciones

3 5. Itra matri> !eneratri> de C sera$

21-11

211-1

2--21

8iferencia entre la descodificaci+n de fuente la descodificaci+n de canal$

La descodificaci+n de canal consiste en, al usar un c+di!o detector de errores, reciir

las palaras transmitidas si stas no son palaras del c+di!o por al!/n mtodo

sustituir la palara reciida por una palara del c+di!o. La descodificaci+n de la fuente

consiste en tomar la informaci+n pasarla a su formato ori!inal.

%n el caso de los c+di!os lineales la codificaci+n descodificaci+n de fuente es

astante eficiente.

ea ] la matri> !eneratri> de un Vn,OW'c+di!o C sore .


43



7

C . 7+

→

→

%sta aplicaci+n es un isomorfismo de %N. ;ara codificar se codifica por loques9 se

construe la fuente como elementos de O aplicando el isomorfismo pasamos al

c+di!o C.La descodificaci+n de fuente consiste en una #e> que se 7a reciido B] recuperar B9

esto se 7ace resol#iendo un sistema de ecuaciones lineales.

=

+n+

n

aa

aa

7

..

.

.

..

1

111

B = *B1, .....,BO )

).....,.....,.....,.....*),.....,* 11211211111 + +nn+ + + + n a a a a a a!! 7 ++++==

a11B1 P ZZP aO1BO = u1

.

.

a1nB1 P .......P aOnBO = un

%ste sistema tiene ran!o O, entonces tiene soluci+n /nica. _a O ecuaciones L@, con lo

que podemos eliminar n'O ecuaciones. %l n/mero de inc+!nitas es i!ual al ran!o del

sistema, la soluci+n es /nica.

_a un caso en el que esto es mu sencillo. i C es un c+di!o sistem&tico$

u = u1....uO∈ O

u →u] = u1....uO BOP1....Bn

)0* A > 7 + =

As las descodificaci+n es tri#ial, asta con truncar las palaras tomando los O primeros smolos.

Definición: ea C un Vn,OW. %l c+di!o dual *c+di!o orto!onal) de C es el espacio

#ectorial orto!onal de C con respecto al producto escalar ordinario de n, es decir$

nn . C , , . C ⊆∈∀=∈=⊥ },-S({$

Proposición: i C es un Vn,OW'c+di!o entonces C ⊥ es un Vn,n'OW'codi!o.

ea u1...uO ∈ n una ase de C, entonces }....1,-S({ + i! . C i

n ==∈=⊥.


44



i ui = *ui1,....uin) ∀ i = 1...O, entonces C ⊥ es la soluci+n del sistema 7omo!neo.

u11B1 P ZZP u1nBn = -

.

.

uO1B1 P .......P uOnBn = -

Ken!o n inc+!nitas el sistema tiene ran!o O. La soluci+n es un eN de ran!o n'O.

Propiedades:

i) i C 8 son c+di!os lineales tales que C ⊆ 8, entonces 8 ⊥ ⊆ C ⊥ .

ii) i ] es una matri> !eneratri> de C entonces C ⊥ = {B ∈ n ( B]t = -}.

iii) C ⊥ ⊥ = C.

8emostraci+n$

i#) dim C ⊥ = n U dim C9 dim C ⊥ ⊥ = n U dim C ⊥ = n U *n U dim C) = dim C C⊆ C ⊥ ⊥ , pero dim C ⊥ ⊥ = dim C ⇒C ⊥ ⊥ = C

%jemplo$

C = Y-11-, 12-1X4

3 Z ⊂

=

1-21

-11-7

B2 P B3 = -

B1 P 2B2 PB4 = -

dim C ⊥ = 4 U2 = 2

B3 = αB4 = β

B2 = ' α

B1 = 2α ' βα = - β = 1 *'1,-,-,1)

α = 1 β = - *2,'1,1,-)

−

−=

-112

1--1C7 es una matri> !eneratri> del c+di!o C ⊥

Definición: e llama matri> de control *parit'c7ecO matriB) de C a cualquier matri>

!eneratri> de C ⊥ . i _ es una matri> de control de C entonces$

}-({ =∈= t n / . C


45



i C es un Vn,OW'c+di!o _ es una matri> de control de C, _ ∈ *n'O)Bn*)

C∩C ⊥ = - cuando traajamos con el cuerpo de los n/meros reales, pero para otros

cuerpos esto no tiene por qu ser cierto *cuerpos finitos, cuerpo de los n/meros

complejos).

Definición: "n c+di!o lineal C se dice autodual cuando coincide con su dual.

%jemplo$

C = Y11--,--11X

Comproar que C = C ⊥ .

B1 P B2 = -

B3 P B4 = -

B2 = αB3 = β

B1 = 'αB3 = 'β

α = 1 β = - *11--)

α = - β = 1 *--11)

C = C ⊥

Al!unos liros dan esta definici+n de matri> de control$

; es una matri> de control de C cuando u ∈ C ⇔ u;t = -

Aqu no se eBi!e que la matri> !enere C ⊥ .

%l c&lculo de la matri> de control en la pr&ctica se 7ace de forma diferente a la que

7emos 7ec7o.


4



Proposición: ea C un c+di!o lineal sistem&tico que tiene una matri> !eneratri>

est&ndar ] = *@O 0 A). %ntonces ; = *At 0 '@n'O ) es una matri> de control de C.

8emostraci+n$

i demostramos que las filas de ; son #ectores de C ⊥ adem&s que son L@, entoncestendremos n'O #ectores L@ de C ⊥ que tiene dimensi+n n'O, as forman una

ase de C ⊥ . Las filas !eneran un suespacio de dimensi+n n'O de C ⊥

como dim C ⊥ = n'O se tiene que las filas son una ase de C ⊥ , es decir, ; es

una matri> de control de C.

e tiene que ];t = - por tanto las filas de ; pertenecen a C ⊥ . %l ran!o de ; es n'O,

lue!o sus n'O filas son L@.

Definición: e dice que la matri> de control ; del c+di!o C es una matri> de control

est&ndar cuando es de la forma ; = * 0 @n'O )

i C es un c+di!o inario sistem&tico con matri> !eneratri> ] = *@ O 0 A) entonces lamatri> ; = *At 0 @n'O ) es una matri> de control est&ndar de C *'1 = 1).

] = *@O 0 A)

%l sistema que 7ara que resol#er para otener C ⊥ sera$

B1 P a1OP1BOP1 P .....P a1nBn = -

B2 P a2OP1BOP1 P Z..P a2nBn = -

.

.

BO P aOOP1BOP1 P Z..P aOnBn = -

Komamos n'O par&metros *BOP1 ...Bn). Itenemos una ase.

ea C el c+di!o inario de matri> !eneratri>$

=

1111---

-11-1--

1-1--1-

11----1

7

C = _2 *3) *C+di!o de _ammin!)

_allar una matri> de control de C.

; = *At 0 '@n'O )

]= *@4 0 A)

=

111

-11

1-1

11-

A


4:



=

1--1-11

-1-11-1

--1111-

P

Caractersticas de las matrices !eneratrices las matrices de control$

La #entaja de la matri> !eneratri> es que a partir de ella es m&s f&cil otener las

palaras del c+di!o *CL de sus filas).

;ara el c&lculo de la distancia mnima es mejor tener la matri> de control. A partir de la

matri> !eneratri> no se conoce nin!/n mtodo directo para otener ^*C), en camio a

partir de la matri> de control s.

Proposición: ea ; una matri> de control de un Vn,O,dW'c+di!o lineal. %ntonces la

distancia mnima d es el menor entero positi#o r para el cual eBisten r columnas

linealmente dependientes en la matri> ;.

8emostraci+n$

ean p1....pn las columnas de ;. ea B = B1....Bn ∈ n. B ∈ C ⇔ B;t = -

B;t = B1S*1F fila de ;t) P B2S*2F fila de ;t) P ..... BnS*nF fila de ;t) = B1 p1 P ... Bn pn

B ∈ C ⇔ B1 p1 P ... Bn pn = -

i B es una palara de peso mnimo el n/mero de coeficientes no nulos es el menor de

entre todas las palaras del c+di!o. %l peso mnimo es el n/mero mnimo de columnasL8 *cada palara me da un CL de las columnas de la matri>).

%jemplo$

_2*3)

=

1--1-11

-1-11-1

--1111-

P

QCu&l es el mnimo n/mero de columnas linealmente dependientesR

r! ; = 3 ⇒ %l n/mero m&Bimo de columnas L@ es 3, as 4 columnas son L8, la

distancia mnima es menor o i!ual que 4.

Q;uede 7aer 3 columnas L8R

La 3F columna es la suma de las dos primeras9 as d ≤ 3, 7e encontrado 3 columnas

L8.

d≠ 1 a que s+lo el #ector - puede formar por s solo un conjunto L8.

6o 7a 2 columnas L8 a que una deera ser m/ltiplo de la otra, pero en este caso

esto implicara que fuesen i!uales. Lle!amos a que d = 3.


4<



ea C el V1-,<W'c+di!o sore 11 con matri> de control$

=

1-D<:54321

1111111111 /

_allar la distancia mnima de C.

Cualquier columna es L@ a que no 7a nin!una columna que sea -. 6o 7a 2

columnas que sean L8 a que una deera ser m/ltiplo de la otra como la 1F

componente es 1, la 2F componente deera ser i!ual9 as d*C) ≥ 3. 3 columnas

cualesquiera deen ser L8 a que r!*_) = 29 as d*C) = 3.

Los c+di!os lineales tienen un mtodo de descodificaci+n *de canal) mu ueno.

ea C un Vn,OW'c+di!o lineal _ una matri> de control de C, _ ∈ *n'O)Bn*). La

matri> _ define una aplicaci+n lineal$

))** t t

t

+ n?n

/

/

. .

→

→

→ −

La aplicaci+n se puede dar de cualquiera de estas dos formas.

_ = *7)ee Las columnas de _ son las im&!enes de los #ectores de la ase de n

mediante 7.

Definición: upon!amos que se transmite la palara B ∈ C ⊆ n que la palara

reciida es ∈ n. %ntonces a la diferencia ε = U B ∈ n se le llama palara deerror.

QC+mo se puede determinar ε a partir de 7R

B ∈ n9 B ∈ C ⇔ B_t = -

%sto es lo mismo que decir que$

C = Oer 7 = {B ∈ n ( 7*B) = -}

%ntonces se #erifica que 7*) = 7*B P ε) = 7*B) P 7*ε) = 7*ε)

t

+ n?n

/

. .

→

→ −

Oer 7 = C

n(C = {B P C ( B ∈ n} %N de n m+dulo suespacio C

B P C = {B P u ( u ∈ C} ⊆ n


4D



7 define una relaci+n de equi#alencia en n$

B, ∈ n9 B 7 ⇔ 7*B) = 7*) ⇔ 7*B U ) = - ⇔ B U C ∈ er 7 = C

La clase de equi#alencia de B ∈ n es BPC. %l conjunto cociente asociado a la

relaci+n de equi#alencia es$

n(C = {B P C ( B ∈ n}

Las clases {B P C ( B ∈ n} *el conjunto cociente) constituen una partici+n de n.

n es la uni+n disjunta de las clases de BPC con B ∈ n .

n(C es un 'espacio #ectorial con operaciones$

1) *BPC) P *PC) $= BPPC n . , ∈∀ ,

2) a*BPC) $= aBPC nn . . a ∈∀∈∀ ,

i BPC ∈ n(C entonces

! !

C C

+→+→

es una iecci+n entre C BPC, lue!o 0BPC0 = 0C0 ∀ B∈ n.

%l c+di!o es la clase del -.

00 = q, 0 n0 = qn, 0BPC0 = 0C0 = qO

%l n/mero de clases es$

qn(qO = qn'O , 0 n(C0 = qn'O

8 0 f →

N(er f ≅ @m f

n(C ≅ n'O

7*) = 7*ε)

Definición: ea C un Vn,OW'c+di!o con matri> de control _. 8ado B ∈ n

se llamasndrome de B a la palara 7*B) = B_ t ∈ n'O . B ∈ C si s+lo si el sndrome de B es -.

Proposición: ea C un Vn,OW'c+di!o lineal con matri> de control _. %ntonces si

B, ∈ n, B e tienen el mismo sndrome si s+lo si pertenecen a la misma clase del

espacio cociente n(C.

La descodificaci+n por distancia mnima consiste en uscar la palara ε de peso

mnimo entre todas las que tienen el mismo sndrome que la palara reciida a

continuaci+n calcular B = ' ε.

s"!ema:


5-



' e calcula el sndrome de la palara reciida , 7*) = _t.

' e determina la clase lateral asociada a este sndrome, PC.

' e usca en esta clase la palara de peso mnimo ε.

' e calcula B = 'ε.

i C es un c+di!o t'corrector en la transmisi+n se 7an cometido t o menos errores

entonces en la clase PC 7a una /nica palara de peso menor o i!ual que que es la

palara de error ε.

8escodificaci+n por sndrome$

Construimos la tala est&ndar$

ea C un Vn,OW'c+di!o de tamao m*=qO ), C ⊆ n

)*..

.....

.....

)*

)*

-)-*-..-

2

133133

222122

1

+ n+ n+ n+ n+ n ""m"""

m

m

+ n

m

!?C !c!c!!

!?C !c!c!!

!?C !c!c!!

. ?C cc

−−−−− +++

++++++

∈=+ −

ea u2 una palara de n'C de peso minimal. La 2F fila est& formada por las palaras

de u2PC. ea u3 una palara de n'C que no pertenece a u2PC de peso minimal.

0 n(C0 = qn'O

Jepetimos esto qn'O #eces. n es la uni+n disjunta de las clase uPC.

Las palaras de la 1F columna de la tala est&ndar se llaman lderes de clase tienen

peso minimal dentro de la clase.

i C es t'corrector, cualquier palara de n de peso menor o i!ual que t es lder de

clase.

%n el caso inario el c&lculo del sndrome se reali>a tomando la matri> de control9 nos

fijamos en las componentes no nulas de la palara reciida sumamos las columnas

de la matri> de control que ocupan las posiciones no nulas de la palara reciida.

%jemplo$

ea C el c+di!o con matri> de control$

=

1--11

-1--1

--11-

/

Construir la tala est&ndar descodificar las palaras reciidas$ 111-1, --11- -11-1.


51



%n primer lu!ar #amos a determinar una matri> !eneratri> para 7allar las palaras del

c+di!o. C es un V5,2W'c+di!o. i calculo la matri> de control del c+di!o dual oten!o

una matri> !eneratri> del dual del dual, que es el c+di!o C. _ es una matri> de control

est&ndar as el c+di!o es sistem&tico.

_ = *0@3) ] = *@20t)

=

1-11-

11--17

La distancia mnima es el n/mero mnimo de columnas L8 de la matri> de control.

r!*_) = 3 4 columnas ser&n L8

6o 7a nin!una columna que sea -, as d X 1. 2 columnas L8, en el caso inario,seran i!uales, como no 7a 2 columnas i!uales d X 2. _a 3 columnas L8 *1F = 4F P

5F), as d = 3.

%l c+di!o es 1'corrector.

Namos a construir la tala est&ndar.

111-1-1-11--1--1111-1--

11---11-1-1-1-1-1111---

--111111-11--1--1-----1

-1-111---11111---1---1-1--11-1--1--11-111--1--

1-11-11---1-111-11-1---

-11-111-111-1---111----

---1111--11-11--11-----

#indromes 'íderes

%n un c+di!o t'corrector todas las palaras de peso menor o i!ual que t #an a ser

lderes de clase.

A7ora deo tomar la palara de peso 2 que no 7aamos puesto *7asta la F fila).

;onemos una palara de peso 2 otenemos su sndrome, si ste a 7a salido es que la

palara a 7a salido deemos co!er otra palara.

= -11-1

7*) = -11-1 _t = ---

-11-1∈ C *er 7 = C)

6o puede 7aer ocurrido un error a que se 7a reciido una palara del c+di!o9

tampoco se pueden 7aer cometido 2 errores, pero si se pudieron cometer 3 errores.

= -11-1 B = -11-1

= 111-1


52



7*) = --1 * ∉ C)

uscamos el lder de clase de este sndrome.

B = P 1---- = -11-1

%sta es la /nica palara que podemos otener si se 7a producido un /nico error. i

7uiesen ocurrido 2 errores la palara real podra ser otra pero este c+di!o s+lo corri!e

un error. %sta palara es la palara de c+di!o que aparece en la columna de la palara

en la tala.

= --11- 7*) =11-

%l lder de clase es 11---, que tiene peso 2, as se 7an cometido al menos 2 errores,

como el c+di!o es 1'corrector no #amos a tener la se!uridad de 7acer la

descodificaci+n correcta.

8escodificaramos como$

B = ' ε = 1111-

e 7an cometido 2 errores la palara reciida podra 7aer sido -----. i se 7an

cometido 2 errores cualquiera de estas dos palaras podra 7aer sido transmitida.

%ste mtodo tiene un incon#eniente a que la tala est&ndar puede ser !rande, por

ejemplo, en un c+di!o inario de lon!itud 1-- en la tala 7ara que poner 21--

palaras *sin contar sndromes). %sto 7ace que para c+di!os de estos tamaos la tala

sea inaordale9 por eso en estos casos se utili>ara una tala reducida con 2 columnas,la columna de los lderes de clase la de los sndromes. Kendramos esto$

..

..

.1

-----

peso

#índrome 'íderes

%n primer lu!ar #amos poniendo las palaras de peso uno su sndrome. Al acaar

con las palaras de peso uno pasamos a las de peso 2. %sta tala es muc7o m&s

reducida. %jemplo$

V1--,-W'c+di!o, n'O = 4-, tenemos 24- lderes de clase sus correspondientes

sndromes. Contando las 2 columnas$ 2S24- = 241. %ste mtodo de descodificaci+n #ale

para cualquier c+di!o. %Bisten c+di!os que tienen mtodos de descodificaci+n

especficos.

%l prolema principal en el caso de los c+di!os lineales es dada la lon!itud n la

distancia mnima d encontrar la dimensi+n m&Bima O para la cual eBiste un

Vn,O,dW'c+di!o lineal.


53



%ste prolema es demasiado difcil, entonces se plantea otro m&s f&cil9 fijadas la

lon!itud la dimensi+n cu&l es la m&Bima distancia d posile. La cota de in!leton

nos da esto.

Proposición: i C es un Vn,O,dW'c+di!o lineal entonces d ≤ n'OP1

8emostraci+n$

Kodo c+di!o lineal saemos que es equi#alente a un c+di!o lineal sistem&tico la

equi#alencia de c+di!os conser#a los par&metros de los c+di!os. Itenemos un c+di!o

sistem&tico equi#alente a C, con lo que tendr& sus mismos par&metros. ;odemos

suponer que C es sistem&tico$

] = *@O 0A) A∈ OB*n'O)*)

d ≤ peso m&Bimo de cualquier fila de la matri> !eneratri> *= peso m&Bimo de las filasde ])

A lo sumo en cada fila de ] tenemos n'OP1 d!itos distintos de cero. %ntonces a lo

sumo el peso de las filas de ] es n'OP1. %ntonces d ≤ n'OP1. %sta cota se puede

alcan>ar.

Definición: "n Vn,O,dW'c+di!o lineal C se dice que es un c+di!o 8 *maBimun

distance separale code) cuando d = n'OP1.

8emostrar que eBisten c+di!os q'arios 8 de tipo Vn,n,1W, Vn,1,nW Vn,n'1,2W. %stos

c+di!os se llaman c+di!os 8 tri#iales.

q = 2, C =n

Z 2 → Vn,n,1W'c+di!o

C1 = Y11...1X

C1 = {--....-,11....1} → Vn,1,nW'c+di!o

→⊥

1C Vn,n'1,2W'c+di!o

*11....1) es una matri> !eneratri> de C1,⊥1C tiene como matri> de control

−

1

1...101

n

.

] = *@O 0A) → _ = *At0@n'O )

⊥1C tiene como matri> !eneratri> *matri> de control de C1 de 1B*n'1)) a$


54



1-..-1

-...

....

.1-1

-..-11

_a que #er que la distancia mnima es 2$

⊥1C → _ = *1011....1)

2 columnas son L8 ⇒ d = 2 ⇒ %s un c+di!o 8

Códigos Eseci#!es: Códigos de $#mming* de Go!#% % de Reed+Mu!!er

Códigos de $#mming:

%stos fueron los primeros c+di!os interesantes que aparecieron. \ueron descuiertos

independientemente por J. _ammin! *1D5-) . ]ola *1D4D). %stos c+di!os tienen

un procedimiento de descodificaci+n especial.

Kenemos un Vn,OW'c+di!o lineal9 su distancia mnima es el mnimo n/mero de

columnas L8 de una matri> de control. ea d la distancia mnima entonces si tomamos

d'1 columnas cualesquiera de cualquier matri> de control #a a ser L@, pero 7a un

!rupo de d columnas L8.

Namos a construir un Vn,O,3W'c+di!o lineal. Construimos este c+di!o de tal forma que

su matri> de control ten!a 2 columnas cualesquiera L@ con 3 columnas L8,

co!iendo el m&Bimo n/mero de columnas posile.

%l c+di!o de _ammin! q'ario de orden r *r ∈ , r ≥ 2) #a a ser un c+di!o q'ario


55



Hq*r) que tiene una matri> de control _q*r) con r = n U O filas con el m&Bimo

n/mero posile de columnas *siendo d = 3). Las columnas de _q*r) son #ectores der

" 5 .

2 #ectores deer se L@ ⇒ Los suespacios que !eneran son distintos*las 2 rectas que

!eneran deen ser diferentes).

Considero todas las rectas de r " 5 que son de la forma Y#X, # r

" 5 ∈ .

Komemos un #ector no nulo en cada recta Y#Xr

" 5 ⊆ 9 2 de estos #ectores son L@

siempre puedo co!er 3 que son L8.

r " 5 (

r

" ( 5 ∈

−><=− })-{*}-{

%sta uni+n es disjunta.

}({

10}-{0

10}-{0

"

r r

"

5 ((

"(

" 5

∈>=<

−−><

−=−

α α

%l n/mero de rectas es1

1

−−

"

"r

.

La matri> de control de Hq*r) es una matri> que tiene r filas n =1

1

−−

"

"r

columnas,

el c+di!o Hq*r) es un Vn,O,3W'c+di!o donde O = n U r. %sta matri> se llama matri> de

_ammin! no es /nica.

Consideremos los elementos de _q*r) como n/meros en el sistema de numeraci+n de ase q. %le!imos los que son distintos de cero que tienen d!itos m&s si!nificati#o

i!ual a 1. %ntonces las columnas de _q*r) son estos n/meros escritos en orden

creciente.

H2*3)

=

1-1-1-1

11--11-

1111---

)3*2 /

r = 3. Las columnas son n/meros de 3 d!itos inarios.

n = :12

12

1

1 3

=−−

=−−

"

" r

d = 3

%l tomar el d!ito m&s si!nificati#o i!ual a 1 implica que co!emos un /nico punto en

cada recta.


5



=

21-21-21-21-1

222111---111-

111111111----

)3*3 /

Las columnas est&n ordenadas en orden creciente.

n = 1313

133

=−−

i pusisemos la columna2

-

-

sera m/ltiplo de1

-

-

as d = 2 *co!eramos 2 #ectores

en la misma recta).

=321-4321-4321-4321-4321-133332222211111-----11111-

1111111111111111111------

)3*5 /

314

124

15

153

==−−

=n

r = 3 = n U O ⇒ O = 2<

m = qO = qn'r

%stos fueron los primeros c+di!os correctores de errores. %n el caso inario la matri>

de control est& formada por todos los n/meros inarios menos el cero.

Proposición: Los c+di!os de _ammin! son c+di!os perfectos.

∑

−

=

=−

2

1

-

)1*S

d

i

ni""

i

nm

8emostraci+n$

12

3

2

1=

=

−

= d

t

m = qn'r

qn'r S *1 P n S *q U 1)) = qn

Namos a #er la descodificaci+n de los c+di!os de _ammin!.

Proposición: i una palara B ∈ H2*r) sufre un /nico error resultando la palara

entonces el sndrome de ,r t

r Z r ,/ ,? 2)*)* ∈= , es la representaci+n inaria de la

posici+n del error de la palara reciida.


5:



8emostraci+n$

upon!amos que el error se 7a cometido en la posici+n i, es decir, = B P e i, con

-...-1-...--

i

ie = la palara de error. %ntonces$

7*) = 7*BPei) = 7*B) P 7*ei) = 7*ei) = ei)*2 r / t = columna i'sima de _2*r)

La columna i'sima es la representaci+n inaria del n/mero i, i es la posici+n del error.

Conocido u se corri!e el error calculando B = ' e i, camiando el i'simo it de .

V:,4,3W'c+di!o

upon!amos que se recie la palara = 11-111-

( ) ( )--1

111

-11

1-1

--1

11-

-1-

1--

-111-11)11-111-* =

=?

1-- = 4 ⇒ %l error se 7a cometido en la posici+n 4.

La palara de error es e4 = * ---1---). La palara emitida es B = U e4 = 11--11-

A este mtodo de descodificaci+n se le llama descodificaci+n de _ammin!.

Proposición: upon!amos que una palara B ∈ Hq*r) sufre un /nico error, resultando

la palara reciida . ea 7*) ∈ r el sndrome de la palara reciida α ∈ el

smolo m&s si!nificati#o de 7*). i la columna de _ q*r) que contiene a α'17*) es la

columna i'sima entonces la palara de error es )-....--....--*i

ie α α = se #erifica

que B = ' αei.

8emostraci+n$

upon!amos que el error se 7a cometido en la posici+n i'sima de modo que

= B P αei, con -, ≠∈ α α . . %ntonces$

7*) = 7*αei) = )*r / e t "iα = αSi'sima columna de _q*r).

%jemplo$

H3*3) supon!amos que se recie la palara = 11-11122112-1. 8escodificar esta

palara.


5<



( ) ( ) 331-2

221

121

-21

211

111

-11

2-1

1-1

--1

21-

11-

-1-

1--

1-21122111-11)* Z ,? ∈=

=

7*) no es una columna de _3*3).

*2-1) = 2 S *1-2)

*1-2) es la :F columna de _3*3), lue!o la palara de error es

αSe: = 2S*------1------). La palara emitida es B = U 2e: = 11-111-2112-1

Códigos de Go!#%:

%l c+di!o de ]ola inario !24$

%l c+di!o !24 es el c+di!o lineal inario de matri> !eneratri> ] = *@ 120A) ∈ 12B24*2),

donde$

=

1---111-11-1

---111-11-11

--111-11-1-1

-111-11-1--1

111-11-1---1

11-11-1---11

1-11-1---111

-11-1---1111

11-1---111-1

1-1---111-11

-1---111-111

11111111111-

A

A partir de la 3F fila las filas se otienen despla>ando la fila anterior una posici+n a la

i>quierda.


5D



Namos a calcular la distancia mnima de este c+di!o.

Proposición: !24 es un c+di!o autodual$

⊥= 2424 g g

8emostraci+n$

%s f&cil #er que las filas de ] son orto!onales entre s *incluendo una fila consi!o

misma). La 1F fila de ] tiene peso 12 las restantes tienen peso <. Kodas las filas

tienen peso par, as todas las filas son autoorto!onales. e tiene que si r s son filas de

] entonces r S s = -. %sto quiere decir que todas las filas de ] pertenecen tamin al

c+di!o dual ⊥24

g . i todas las filas de ] pertenecen a ⊥24

g entonces el propio 24 g est&

contenido en ⊥24

g * ⊥⊆ 2424 g g ). ;ara #er que son i!uales 7a que calcular sus

dimensiones.

dim 24 g = 12

dim⊥24

g = n U O = 24 U 12 = 12

As⊥= 2424 g g

Proposición: La matri> *A0@12) es una matri> !eneratri> de !24.

8emostraci+n$

La matri> *A0@12) es una matri> de control de !24, es decir una matri> !eneratri> de

2424 g g =

⊥

Cuando un c+di!o es autodual la matri> !eneratri> la matri> de control son la misma

cosa.

Proposición: i C es un c+di!o inario u,# ∈C, entonces$

)*2)*)*)* (!:(:!:(!: ∩−+=+

donde ),.....,*$ 2211 nn(!(!(!(! =∩ siendo u = *u1,...un) # = *#1,...#n)

8emostraci+n$

# = 1-111--1-1-11

u = 11-1-1111---1

# P u = -11-111-11-1-

^*u∩#) = n/mero de posiciones en las que amas palaras tienen un 1

Proposición: %l peso de cada palara de !24 es di#isile por 4.

8emostraci+n$


-



asta demostrar que la suma de dos filas cualesquiera de la matri> ] es di#isile por 4.

ean u # dos filas de ]. %ntonces por la f+rmula anterior$

)*2)*)*)* (!:(:!:(!: ∩−+=+

^*u) ^*#) son m/ltiplos de 4 a que #alen < o 12. _a que #er que el peso de la

intersecci+n es m/ltiplo de 2.

)*S2)2*mod-)*)2*mod-S

)2*modS)*(!:(!:

(!

(!(!:∩⇒≡∩⇒

≡≡∩

es m/ltiplo de 4

%l peso mnimo de !24 es m/ltiplo de 4 como ] tiene filas de peso < el peso mnimo

ser& 4 u <.

Proposición: !24 no tiene palaras de peso 4.

8emostraci+n$

ea u ∈ !24 una palara de peso 4. Consideremos u como la uBtaposici+n de sus

mitades i>quierda derec7a, amas de lon!itud 12.

)0* d i! =

ean ]1 = *@120A) ]2*A0@12), amas son matrices !eneratrices de !24. la palara i es una

CL de las filas de @12 como u ≠ - se tiene que ^*i) ≥ 1.

"sando el mismo ra>onamiento para d con la matri> ]2 #emos que ^*d) ≥ 1.

i ^*i) = 1 entonces u es una fila de ]1 nin!una de ellas tiene peso 4, lue!o ^*i) ≥2

%l mismo ra>onamiento muestra que ^*d) ≥ 2.

%ntonces tiene que ser ^*i) = ^*d) = 2.

^*i) = 2 ⇒ u es la suma de 2 filas de ] 1 pero nin!una de estas sumas puede tener

peso 4.

!24 es un V24,12,<W'c+di!o. %ste c+di!o se us+ para transmitir im&!enes de `/piter

aturno *Noa!er 1D:D'1D<1).

m = 212 = 4-D

*1D< Nera ;ress) Cualquier V24,12,<W'c+di!o lineal inario es equi#alente por

m/ltiplos escalares *en la matri> !eneratri> se pueden multiplicar las columnas por un

escalar) al c+di!o !24.

*1D:5 8elsorte']oet7ols) Los c+di!os de ]ola son los /nicos c+di!os lineales con

estos par&metros. Cualquier *24,212,<)'c+di!o inario es equi#alente por m/ltiplos

escalares a !24.


1



%l C+di!o de ]ola inario !23$

e otiene a partir de !24 pinc7ando una componente a !24 *usualmente se elimina el

/ltimo smolo de todas las palaras).

n = 23, m = 212

La distancia mnima o es la misma o disminue una unidad. %n este caso al pinc7ar la

/ltima columna de la matri> de control de !24 la /ltima fila tienen peso :, as d = :. ! 23

es un V23,12,:W'c+di!o. !23 es perfecto. !24 se otiene a partir de !23 aadindole un it

de paridad.

Los C+di!os de ]ola Kernarios$

!12 tiene por matri> !eneratri> ] = *@0) donde

=

-12211

1-1221

21-121

221-11

1221-1

11111-

3

A partir de la 3F fila una fila se otiene a partir de la anterior despla>&ndola una

posici+n 7acia la derec7a.

Propiedades:

i) !12 es autodual.

ii) es simtrica.

iii) ]12 es un V12,,W'c+di!o.

i#) %l c+di!o ternario !11 otenido pinc7ando !12 es un V11,,5W'c+di!o

perfecto.

Códigos de ,ordstrom+Ro-inson:

on c+di!os no lineales tienen la propiedad de que tienen una distancia mnimamaor que cualquier c+di!o lineal que ten!a el mismo tamao la misma lon!itud.


2



Códigos de Reed+Mu!!er:

%stos c+di!os son f&ciles de descodificar.

Definición: "na funci+n de oole de m #ariales es una aplicaci+n 22$ Z Z f m→ .

Las funciones de oole se suelen representar dando su tala de #erdad.

m = 3

%ntero

inario

- 1 2 3 4 5 :

B1 - - - - 1 1 1 1

B2 - - 1 1 - - 1 1

B3 - 1 - 1 - 1 - 1

\*B1,B2,B3) - 1 1 1 - 1 1 -

;ara dar la funci+n ooleana me asta quedarme con la /ltima fila a que me descrie

completamente la funci+n *si asumo que siempre ten!o el mismo orden).

%Biste una correspondencia iun#oca entre funciones de oole de m #ariales

palaras inarias de lon!itud 2m

.

2

4

2$ Z Z f →

1-111-1--1---11-

f*111-) = 1

f*-1-1) = -

Bm = {funciones de oole de m #ariales}

0Bm0 =m22 → n/mero de palaras inarias de lon!itud m

%n Bm se define una suma$

f, ! ∈ Bm, *f P !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) P !*B1,Z.Bm)

*Bm,P) es un !rupo aeliano.

o eBclusi#o *Bor)

*f P !)*B1,Z.Bm) = 1 ⇔ f*B1,Z.Bm) = 1 o !*B1,Z.Bm) = 1 pero no amos son 1.

8efinimos una multiplicaci+n escalar$


3



α ∈ 2, f ∈ Bm, *αf) *B1,Z.Bm) $ = α*f*B1,Z.Bm))

Bm es un 2'espacio #ectorial.

8ados f, ! ∈ Bm, *f S !)*B1,Z.Bm) $ = f*B1,Z.Bm) S !*B1,Z.Bm)

ea m $ = {\*B1,....Bm) =}.....)*

21

1

)...*

1∑∈= m

m

m

Z !!!

!

m

! !a, con a*u) ∈ 2.

A los elementos de este conjunto se les llaman polinomios de oole.

0m0 =m

22

QCu&ntos monomios 7a de !rado O$ + !! m!m! m=++ ....(... 11

1 R

_a

+

m monomios de !rado O en m #ariales.

mm

m

mmmm2)11*.....

21-=+=

+

+

+

, estos son todos los posiles monomio de m

#ariales.

Proposición: La aplicaci+n$

m → Bm

\ → f

que a cada polinomio de oole \*B1,....Bm) le 7ace corresponder la funci+n de oole

f*B1,...Bm) dada por f*B1,...Bm) = \*B1,....Bm) es un isomorfismo de 2'espacios

#ectoriales.

8emostraci+n$

asta demostrar que toda funci+n de oole de m #ariales est& inducida por un

polinomio de oole de m #ariales a que los 2 conjuntos tienen el mismo n/mero de

elementos, as si la aplicaci+n es soreecti#a es iecti#a.

_a que demostrar que toda funci+n de oole f*B1,....Bm) ∈ Bm est& inducida por un

polinomio de oole. "samos inducci+n en m.

m = 1

Las funciones de oole de 1 #ariale son --, 11, -1, 1-.

-- → -

11→

1-1 → B1


4



1- → 1 P B1

Kodas las funciones de 1 #ariale est&n inducidas por polinomios.

upon!amos que se #erifica para m'1 #ariales sea f*B1,....Bm) ∈ Bm

f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P Π1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W

donde Π1*B1,ZBm) = B1, es decir

f*B1,....Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1*B1,ZBm)Vf*1,B2,...Bm) U f*-,B2,...Bm)W

8efinimos funciones de oole de m'1 #ariales$

f -*B2,...Bm) $ = f*-,B2,ZBm)

f 1*B2,...Bm) $ = f*1,B2,ZBm)

;or la 7ip+tesis de inducci+n eBisten polinomios de oole \ -*B2,...Bm) \1*B2,...Bm)

tales que$

\-*B2,...Bm) = f -*B2,...Bm) = f*-,B2,ZBm)

\1*B2,...Bm) = f 1*B2,...Bm) = f*1,B2,ZBm)

La funci+n Π1*B1,ZBm) est& inducida por el polinomio ]*B1,...Bm) = B1. %ntonces el

polinomio

\*B1,...Bm) = \-*B2,ZBm) P B1V\1*B2,...Bm) U \-*B2,...Bm)W

induce la funci+n f*B1,...Bm).

'ea f la funci+n de oole dada por$

-11---11

_allar el polinomio de oole que la induce.

11---11-)*,,*

1-1-1-1-

11--11--

1111----

321

3

2

1

f

-11-),,-*

1-1-

11--

32

3

2

f


5



11--),,1*

1-1-

11--

32

3

2

f

f*B1,...Bm) = f*-,B2,ZBm) P B1Vf*1,B2,ZBm) U f*-,B2,...Bm)W

-11---11 = -11- P B1V--11 ' -11-W = -11- P B1*-1-1) = -1 P B2V1- ' -1W P B1V-1 P

B2V-1 ' -1WW = -1 P B2*11) P B1*-1) = V- P B3*1 U -)W P B2V1 P B3*1 U 1)W P B1V- P

B3*1 U -)W = B3 P B2 P B1B3

'_allar los polinomios de oole que inducen las funciones$

a) --1-1--1

) -1--1-111-1---1-

a) --1-1--1 = --1- P B1*1-11) = B2*1-) P B1V1- P B2*-1)W = B2V1 P B3W P B1V1 P B3

P B2B3W = B2 P B2B3 P B1 P B1B3 P B1B2B3

) -1--1-111-1---1- = -1--1-11 P B1*111-1-11) = -1-- P B2*1111) P B1V111- P

B2*-1-1)W = -1 P B3*-1) P B2*11) P B1V11 P B3*-1) P B2V-1 PB3*-1)WW = B4 P B3B4

P B2 P B1V1 P B4B3 P B2B4 P B2B3B4W = B4 P B3B4 P B2 P B1 P B1B4B3 P B1B2B4

PB1B2B3B4

→←d2

2

m

Z Bm m 3 →←d

Definición: ea m un entero positi#o mr ≤≤- . e define el c+di!o de Jeed'uller

J*r,m), de lon!itud 2m orden r como el conjunto de las palaras inarias dem

Z 22asociadas a polinomios de oole de m que tienen !rado menor o i!ual que r.

J*r,m) es un c+di!o lineal

m*r) → J*r,m)

m*r) polinomios de oole de m #ariales de !rado menor o i!ual que r

%jemplos$

J*-,m)

1... --

1 =m

- S -... --

1 =m

1 S 1... --

1 =m




J*-,m) = { m2

-...-,

m2

1...1} = Jep* m2 ) ⊆

m

Z 22

J*m,m) =m

Z 22

J*1,3)

Los polinomios de oole de 3 #ariales !rado menor o i!ual que 1 son de la forma$

332211- 1S α α α α +++

con αi ∈ 2 i = -...3

Los 4 monomios forman una ase del espacio de los polinomios. La palara de J*1,3)correspondiente a este polinomio ser&$

)-1-1-1-1*)--11--11*)----1111*)11111111* 321- α α α α +++

Las palaras entre parntesis son los polinomios que corresponden a los polinomios de

oole de 4 #ariales.

1111----1-1-1-1-

11--11--

1111----

1

3

2

1

;olinomios de 3 #ariales de !rado menor

o i!ual que 1

;olinomio

- --------

B1 ----1111

B2 --11--11

B3 -1-1-1-1

B1PB2 --1111--

B1PB3 -1-11-1-B2PB3 -11--11-

B1PB2PB3 -11-1--1

1 11111111

1PB1 1111----

1PB2 11--11--

1PB3 1-1-1-1-

1PB1PB2 11----11

1PB1PB3 1-1--1-1

1PB2PB3 1--11--1

1PB1PB2PB3 1--1-11-


:



%Bcepto la palara 1 la - todas las palaras tienen 4 unos 4 ceros. %l peso mnimo

es 4, as este c+di!o tiene distancia mnima 4.

Proposición: ea \*B1...Bm) = Bm P p*B1...Bm'1) donde p*B1...Bm'1) es un polinomio de

oole. %ntonces la funci+n de oole inducida por \ toma los #alores - 1 el mismo

n/mero de #eces, es decir, 2m'1

#eces.22$ Z Z 5

m→

8emostraci+n$

*B1,...Bm'1,Bm)m

Z 2∈*B1,...Bm'1,-)

*B1,...Bm'1,1)

Kodos los elementos dem

Z 2 los puedo otener a partir de los de1

2

−m

Z aadiendo alfinal un 1 o un -.

i p*B1...Bm'1) = -$

\*B1...Bm'1,1) = 1 P - = 1

\*B1...Bm'1,-) = - P - = -

i p*B1...Bm'1) = 1$

\*B1...Bm'1,1) = 1 P 1 = -

\*B1...Bm'1,-) = 1 P - = 1

La mitad toma el #alor 1 la otra mitad el #alor -.

Proposición: Kodas las palaras de J*1,m) tienen peso mnimo 2m'1, eBcepto la palara

--...- la palara 11...1. %n consecuencia la distancia mnima de J*1,m) es 2m'1.

8emostraci+n$

J*1,m) est& formado por palaras que a eBcepci+n de -...- 1...1 est&n inducidas por

polinomios de oole de la forma Bt P p*B1...Bt'1BtP1...Bm). %stas palaras tienen 2m'1

ceros 2m'1 unos.

%n los c+di!os de Jeed'uller m no es el tamao del c+di!o si no el n/mero de

#ariales del polinomio de oole que le corresponde.

Proposición: %l c+di!o de Jeed'uller J*r,m) tiene lon!itud 2m dimensi+n$

+

+

+=

r

mmm+ ...

211

Ls tasa del c+di!o es$


<



m

+ )

2=

8emostraci+n$

%l c+di!o es isomorfo a los polinomios de oole de !rado menor o i!ual que r, que

tiene como ase los monomios de !rado menor o i!ual que r. %l n/mero de polinomios

de !rado menor o i!ual que r es$

+

+

+=r

mmm+ ...

211

Kamao = 2O

n = lon!itud del c+di!o

m

+ +

n )

2

2lo!2 ==

'8eterminar cu&les de las si!uientes palaras pertenecen al c+di!o J*2,4)

a) 11-1 111- ---1 1--1

) --11 -1-1 --11 1-1-

%ste c+di!o tiene lon!itud 1.8eemos #er que los polinomios de oole que inducen

estas palaras tienen !rado menor o i!ual que 2.

a) 11-1111- P B1 *11---111) = 11-1 P B2 *--11) P B1 *11-- P B2 *1-11)) = 11 P B3

*1-) P B2 *B3 *11)) P B1 *11 P B3 *11) P B2 *1- P B3 *-1))) = 1 P B3 *1 P B4) P B2B3 P B1 *1

P B3 P B2 *1 P B4 P B3B4)) = 1 PB3 P B3B4 P B2B3 P B1B3 PB1B2 P B1B2B4 P B1B2 P B1B2B3B4

%ste polinomio de oole tiene !rado 4. La palara no pertenece a J*2,4)

) --11-1-1 P B1 *--111-1-) = --11 P B2 *-11-) P B1 *B2 *1111)) = B3 *11) P B2 *-1 P B3*11)) P B1B2*11) = B3 P B2B4 P B3B2 P B1B2

%sta palara pertenece a J*2,4)

Definición: ea C1 un *n,m1,d1)'c+di!o lineal C2 un *n,m2,d2)'c+di!o lineal sore un

cuerpo . e define un c+di!o lineal sore $

},()*{$ 2121 C (C !(!!C C ∈∈+=⊕

donde u*uP#) es la uBtaposici+n de las palaras u uP#.


D



n

n

. C

. C

⊆

⊆

2

1

n . C C

2

21 ⊆⊕ , lue!o 21 C C ⊕ es un c+di!o de lon!itud 2n.

u*uP#) P u*uP#) = *uPu)*uPuP#P#) 21 C C ⊕∈α*u*uP#)) = αu*αuPα#) 21 C C ⊕∈

Proposición: 21 C C ⊕ es un *2n,m1m2,d)'c+di!o con d= min{2d1,d2}

8emostraci+n$

ea B1 = u1*u1P#1) B2 = u2*u2P#2)9 u1,u2 ∈ C1, #1,#2 ∈ C2.

i #1 = #2 entonces d*B1,B2) = ^**u1'u2)*u1'u2)) = 2^*u1'u2) = 2d*u1,u2)

≥ 2d1

i #1 ≠ #2 entonces d*B1,B2) = ^*u1'u2)P ^**u1'u2) P *#1'#2)) ≥ ^*#1'#2) = d*#1,#2) ≥ d2

d*B1,B2) ≥ min{2d1,d2}

_a que #er que se cumple la i!ualdad eli!iendo las palaras con#enientemente.

i min{2d1,d2} = 2d1. Komamos u1,u2 ∈ C1 ( d*u1,u2) = d1 tomamos B1 = u1*u1P#),

B2 = u2*u2P#) con # ∈ C2, entonces d*B1,B2) = 2d1.

i min{2d1,d2} = 2d2. Komamos #1,#2 ∈ C2 ( d*u1,u2) = d2 tomamos B1 = u*uP#1),

B2 = u*uP#2) con u ∈ C1, entonces d*B1,B2) = ^*#1'#2) = d*#1,#2) = d2

Proposición: ea - Y r Y m. e #erifica que J*r,m) = J*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)

8emostraci+n$

Namos a demostrar que J*r,m) ⊆ J*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)

ea B ∈ J*r,m) dada por el polinomio de oole \*B1...Bm) de !rado menor o i!ual que

r.

\*B1...Bm) = B1]*B2ZBm) P _*B2ZBm), donde ]*B2ZBm) tiene !rado menor o i!ual que

r'1 _*B2ZBm) tiene !rado menor o i!ual que r.

ea B] la palara inaria correspondiente a ], B] ∈ J*r'1,m'1). ea B_ la palara

inaria correspondiente a _, B_ ∈ J*r,m'1)

B1] ↔ -B]

_ ↔ B_B_

B = B\ = -B] P B_B_ = B_*B_ P B])


:-



;ara #er que se cumple la i!ualdad 7a que #er que los dos espacios tienen la misma

dimensi+n.

+

+

+==r

mmm+ mr ) ...

211),*dim

e #erifica que

−−+

−=

1

11

r

m

r

m

r

m, - Y r Y m

dim *J,m) = O =

−−

+

−+

−+

−+

−+

1

11...

1

1

-

1

1

11

r

m

r

mmmm=

−−

+

−++

−+

−+=

1

1...

1

11

1...

1

11

r

mm

r

mm=dim J*r,m'1) P dim J*r'1,m'1) =

= dim VJ*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)W

Corolario: %l c+di!o de Jeed'uller J*m'1,m) est& formado por todas las palaras inarias de lon!itud 2m peso par. ;or tanto si r Y m J*r,m) s+lo contiene palaras de

peso par.

8emostraci+n$

J*-,1) = {--, 11} s+lo tiene palaras de peso par.

upon!amos que J*m'2,m'1) s+lo tiene palaras de peso par

)1,2*)2,2*)1,1*),1*12

2 −−⊕=−−⊕−−=− −

mm ) Z mm )mm )mm )m

espacioel Todo

B ∈ J*m'1,m)

B = *P>) = P ->

12

2

−

∈ m

Z > ∈ J*m'2,m'1)

siempre tiene peso par

^*->) = ^*>), > ∈ J*m'2,m'1) tiene peso par por 7ip+tesis de inducci+n.

^*B) = ^*) P ^*->) U 2^*∩->) es par

ea ; ={palaras de lon!itud 2m

peso par} ⊆

m

Z 2

2

; es un suespacio #ectorial dem

Z 22dim ; R

{*1-...-1), *-1-...-1), *--1-...-), ...*--...-11)}

%ste conjunto es una ase de ;. %ste conjunto es L@ a que es un conjunto escalonado.

; tiene 2m U 1 #ectores

dim ; = 2m U 1

J*m'1,m) ⊆ ;


:1



dim J*m'1,m) =

−

+

+

+

1...

211

m

mmm = *1P1)m U 1 = 2m U 1

%n la eBpresi+n faltara el trmino 1=

m

m para poder aplicar la f+rmula del inomio.

dim ; = dim *J*m'1,m) ⇒ ; = J*m'1,m)

r Y m ⇒ J*r,m) ⊆ J*m'1,m)

%jemplo$

J*2,3) est& formado por las palaras inarias de lon!itud < peso par. "na matri>

!eneratri> es$

=

11------

1-1-----

1--1----

1---1---

1----1--

1-----1-

1------1

7

%sta es la matri> !eneratri> del c+di!o AC@@ con paridad.

Proposición: J*r,m) tiene distancia mnima 2m'r por tanto tiene par&metros$

+

+ −r mm

r

mm2,....

11,2

8emostraci+n$

J*m,m) =m

Z 22 , 1 = 2- = 2m'm

d*J*1,2)) = d*J*1,1) ⊕ J*-,1)) = min{2S1,2} = 2 = 22'1

upon!amos que - Y r Y m

upon!amos que se #erifica para m'1

J*r,m) = J*r,m'1) ⊕ J*r'1,m'1)

d*J,m) = min{2Sd*J*r,m'1)),d*J*r'1,m'1))} = min{ 2S2m'1'r ,2m'r } = 2m'r

J*r,m) es un

+

+ −r mm

r

mm2,....

11,2 'c+di!o


:2



ariner 4 *1D5)

22 fotos de arte de 2-- B 2-- de 4 ni#eles

2 ni#eles →

2 Z ={------,...,111111}

< S 1(3 its(s, 1 foto ≈ < 7oras

ariner D *1DD'1D:1)

:-- B <32 = 5<24<- piBels, 4 ni#eles

p = -.-5 , 1'p = -.D5, *-.D5)

≈ -.:4

AproBimadamente el 2E de la ima!en sera err+nea.

e meten aproBimadamente 3- its de redundancia.

i tomamos un c+di!o de repetici+n tenemos d = 5 el c+di!o corre!ira 2 errores.

;roailidad de error = 1E

in correcci+n de errores 7ara unos 15---- piBels err+neos por foto. Con el c+di!o

de repetici+n tendra 5<-- piBels err+neos por foto. e us+ J*1,5), que es un V32,,1W'

c+di!o, en este caso p = -.-19 con este c+di!o 7ara unos 5< piBels err+neos por foto.

12-- its(s

:-- B <32 B 32its(piBel = 1<3<-- its

1 ima!en ≈ 115--- s ≈ 32 7oras

:3

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