Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas

Matemáticas IMartes y jueves de 4:00 - 6:00

Aula E203

Análisis de funciones

Elizabeth Esmeralda Herrera Rodríguez

Fecha entrega: 21 de enero del 2016

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Índice:Análisis de funciones

Las funciones

Relaciones y funciones………………………………………………………………..3

Dominio y rango de una relación……………………………………………………..4

Representación gráfica de las relaciones…………………………………………...4

El plano cartesiano……………………………………………………………………..4

La prueba de la línea vertical………………………………………………………….5

Conjuntos………………………………………………………………………………...5

Notación………………………………………………………………………………….5

Igualdad…………………………………………………………………………………..5

Subconjuntos…………………………………………………………………………….5

Pares ordenados…………………………………………………………………………6

Pares ordenados…………………………………………………………………………6

Variables…………………………………………………………………………………..6

Álgebra de funciones……………………………………………………………………..6

Tipos de funciones…………………………………………………………………………………7

Clasificación según la variable x…………………………………………………………7

Clasificación según la definición…………………………………………………………8

Las matemáticas en mi carrera (administración)……………………………………………….8

Bibliografía…………………………………………………………………………………………..8

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Análisis de funcionesLAS FUNCIONESUna función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Relaciones y funcionesRelación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Ejemplo 1.Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

SoluciónEl producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 = {(2, 1), (3, 1)}

R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

R3 = {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}

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Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relaciónEl dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Representación gráfica de las relacionesLos pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano.

El plano cartesianoEl plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

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Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

La prueba de la línea verticalEn un gráfico, la idea de univaluada significa que ninguna línea vertical cruza más de una vez. Si alguna cruzara más de una vez no sería una función.

Conjuntos

Primero eliges una propiedad común a unas "cosas" y después reúnes las "cosas" que tienen esa propiedad.

NotaciónHay una notación para conjuntos bastante simple.

Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...} Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}

También hay conjuntos de números que no cumplen una propiedad común, simplemente se definen así. Por ejemplo:

{2, 3, 6, 828, 3839, 8827}

Cuando hablamos de conjuntos, es normal usar letras mayúsculas para llamar al conjunto, y letras minúsculas para los elementos de ese conjunto.

Así que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento de A. Lo mismo con B y b, y con C y c.

IgualdadDos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos miembros.

Ejemplos: Son A y B iguales si: A es el conjunto de los cuatro primeros enteros positivos B = {4, 2, 1, 3}

SubconjuntosCuando definimos un conjunto, si tomamos partes de él tenemos algo que se llama un subconjunto.

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Así que por ejemplo tenemos el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Un subconjunto suyo es {1, 2, 3}. Otro subconjunto es {3, 4} y otro es {1}. Sin embargo, {1, 6} no es un subconjunto, porque contiene un elemento (el 6) que no está en el conjunto grande. En general:

A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A está en B.

Pares ordenadosPuedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16). Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después.Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"

Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:

Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3". El dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3}Pero la función debe ser univaluada, esto se puede decir

"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"

Variables dependientes.Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se le subministre a x.

Variable independiente.Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

Variable constante.Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

Álgebra de funciones

El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:

Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:

Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) Diferencia: (f - g)(x) = f(x) - g(x) Producto: (fg)(x) = f(x)g(x) Cociente: (f/g)(x) = f(x)/g(x)Los resultados de las operaciones entre funciones f,g nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con

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el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0.

Tipos de funcionesClasificación según la variable x:

En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente x en dos tipos: algebraicas y trascendentes.

Funciones algebraicas: Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas, donde se pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.

Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:Funciones constantes: donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y=f(x)=k

Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y=mx+n.

Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y= mx

Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómicas de segundo grado, como era de esperar, y su representación es una parábola.

Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios.

Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómicas.

Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo (o trozo) que se considere.

Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, como puede ser en la trigonometría, entonces hablamos de funciones trascendentes.

Dentro de las funciones trascendentes están:Función exponencial: Como su nombre indica es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.

Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente.

Funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y=senx, y=cosx, y=sec x, etc.En la siguiente imagen, tenemos una clasificación de lo que acabamos de estudiar.

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Clasificación según la definición

Según nos venga dada la definición de la función también podemos establecer una clasificación:

Función explícita: Cuando podemos obtener los valores de y directamente dando valores a nuestra variable independiente, es decir, cuando la variable y está despejada.

Función implícita: Cuando, al contrario que en el caso anterior, tenemos que realizar operaciones para halla el valor de la y una vez que le hemos dado un valor a la x: 3x+2y=1

las matemáticas en mi carrera (administración)

1. Matemática Financiera: Cuando se trabaja en una empresa y se brindan préstamos o créditos a los clientes se deben utilizar las fórmulas de interés compuesto, cálculo de amortizaciones. También se calculan los futuros pagos que deben realizar los deudores. También para calcular los intereses de los fondos de las empresas depositados en las entidades financieras.

2. Estadística Para entender los gráficos y resultados de estudios estadísticos que permitan tomar decisiones para desarrollar proyectos y otros.

3. ECONOMIA: La matemática es una herramienta potente aplicada a esta ciencia para la interpretación de situaciones típicas de las empresas donde los administradores deben tomar decisiones.

4. Programación lineal: Para entender esta teoría tan aplicada en la industria y las empresas se necesita conocer inecuaciones, teoría de funciones, gráficos, computación, etc

Bibliografía

http://matematica.laguia2000.com/general/tipos-de-funcioneshttp://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html

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