Solución a la lista de ejercicios sobre

v.a. continua:

Ejercicio 1

El tiempo que tarda un autobús en cubrir su ruta se modela como una variable normal con media de 56

y desviación estándar de 8 minutos.

(a) (1 punto) Si Ud. toma dicho autobus una hora antes de la hora límite de entrada a su trabajo calcule

el porcentaje de las veces que llegará tarde.

Plot@Evaluate@PDF@NormalDistribution@56, 8D, xD, 8x, 56 - 32, 60<, Filling ® AxisDD

30 35 40 45 50 55 60

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

CDF@NormalDistribution@56, 8D, 60D

1

2

erfc -1

2 2

NB1

2

ErfcB-1

2 2

F, 4F

0.6915

(b) (1 punto) ¿Cuántos minutos antes tendría que tomar el autobús para que llegara el 99% de las

veces a tiempo a su trabajo?

InverseCDF@NormalDistribution@56, 8D, 0.99D

74.6108

(c) (1 punto) Encuentre el rango (centrado en la media) en el que cae el 70% de las observaciones.

El límite inferior debe ser tal que la FDA hasta ese punto represente una 15% del área:

InverseCDF@NormalDistribution@56, 8D, 0.15D

47.7085

El límite superior debe ser tal que la FDA hasta ese punto represente una 85% del área:

InverseCDF@NormalDistribution@56, 8D, 0.85D

64.2915

Ejercicio 2

José Saturnino Cardozo ganó su título de goleo en la temporada 2002 al anotar 29 goles en 1695

minutos de juego.2 Esto equivale a anotar 1.54 goles en un partido completo (90min). Suponiendo que

dicho evento se puede modelar como un proceso de Poisson homogé neo encuentre:

(a) (1 puntos) La probabilidad de que anotara al menos dos goles en un solo partido

La distribución que modela el problema es una distribución de Poisson donde el número de goles

promedio en un partido es de 1.54.

PDF@PoissonDistribution@1.54D, kD

0.214381 ´ 1.54k

k!k ³ 0

0 True

2 solucionTarea6.nb

DiscretePlot@Evaluate�Table@PDF@PoissonDistribution@1.54D, kDD,

8k, 0, 10<, PlotRange ® All, PlotMarkers ® AutomaticD

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ æ æ æ æ

2 4 6 8 10

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

La respuesta es:

1 - CDF@PoissonDistribution@1.54D, 1D

0.455472

(b) (1 puntos) La probabilidad de que el tiempo entre goles sucesivos excediera los

90 minutos.

El tiempo entre goles sucesivos se modela con una v.a. exponencial donde el parámetro Β=E[X] es

1.5/1.54=1.0267 goles por hora,

PDF@ExponentialDistribution@1.54 � 1.5D, xD

1.02667 ã-1.02667 xx ³ 0

0 True

Plot@Evaluate�Table@PDF@ExponentialDistribution@1.54 � 1.5D, xDD,

8x, 0, 3<, Filling ® Axis, PlotRange ® AllD

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

solucionTarea6.nb 3

donde el eje x esta en hora, así la respuesta es:

1 - PDF@ExponentialDistribution@1.54 � 1.5D, 1.5D

(c) (2 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 goles se registraran antes de que transcurran 90

minutos?

La distribución que modela el problema es una distribución gamma (de Erlang como caso particular):

PDF@GammaDistribution@3, 1.02667D, xD

0.462038 ã-0.974023 xx

2x > 0

0 True

PlotAPiecewiseA990.462038 ã-0.974023 x

x2, x > 0==, 0E, 8x, 0, 8<E

2 4 6 8

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

CDF@GammaDistribution@3, 1.02667D, 1.5D

0.181437

Ejercicio 3

Considere un gran recipiente con 12, 500 chispas de chocolate oscuro y 11, 170 chispas de chocolate

blanco mezcladas. Se toman a la vez 150 chispas de chocolate al azar para una muestra.

(a) (1 punto) De una expresión para la probabilidad de que exactamente se seleccionen 100 chispas de

chocolate blanco.

La distribución que modela el problema es una hipergeomé trica por tratarse de un muestreo sin

reemplazo

4 solucionTarea6.nb

PDF@HypergeometricDistribution@150, 11 170, 23 670D, kD

11 170

k

12 500

150 - k�

1 470 193 847 707 048 347 009 216 603 359 597 584 559 278 299 719 911 935 810 354 904 707 235 �

620 035 901 548 533 271 092 829 933 284 594 368 036 489 602 941 008 178 162 768 572 594 003 �

611 740 578 243 636 356 318 021 503 842 720 907 744 056 863 219 713 704 373 184 205 231 945 �

768 856 931 188 028 577 109 297 967 763 957 171 908 544 451 604 719 724 589 954 415 878 180 �

785 761 042 331 529 258 094 349 380 622 718 810 562 690 636 118 663 729 904 451 954 988 081 �

123 636 855 823 272 376 755 382 929 881 750 769 973 312 656 424

0 £ k £ 150

0 True

pero dado que 150 del total de 23,670 es mucho menos del 5%, se puede aproximar por un muestreo

con reemplazo, es decir, con una v.a. binomial. Se toma p=11170/23670.

PDF@BinomialDistribution@150, 11 170 � 23 670D, kD

1117k

1250150-k

150

k�

134 815 146 927 759 940 591 383 322 442 687 060 066 471 739 077 893 851 944 446 110 742 003 957 �

541 140 345 511 452 133 893 809 331 253 839 288 226 176 402 926 722 346 122 584 001 862 312 �

162 728 052 919 128 287 485 405 831 609 723 603 448 944 257 478 045 826 625 206 743 343 250 �

431 462 945 061 086 135 138 895 867 352 534 904 757 131 479 456 902 197 717 230 554 090 808 �

385 114 625 998 289 680 725 513 216 797 155 611 953 457 284 029 742 109 417 202 045 917 962 �

872 207 311 453 359 011 470 004 607 281 666 988 106 749 240 418 796 713 337 085 348 225 460 �

181 613 934 087 993 402 162 308 201 143 571 955 472 992 183 661 841 932 899 381 641 355 959 �

684 167 012 420 191 749 249

0 £ k £ 150

0 True

DiscretePlot@%203, 8k, 40, 100<D

50 60 70 80 90 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

solucionTarea6.nb 5

11 170 � 23 670

1117

2367

NB1117

2367

, 4F

0.4719

y su varianza de obtiene de V[X]=npq

Sqrt@ Variance@BinomialDistribution@150, 11 170 � 23 670DDD

2501117

3

789

NB

2501117

3

789

, 5F

6.1140

(b) (1 punto) Utilizando todas las aproximaciones aplicables calcule la probabilidad de que se seleccio-

nen más de 100 chispas de chocolate blanco.

De la gráfica del inciso anterior se ve que el diagrama de líneas no es demasiado sesgado, por lo que

la aproximación con una v.a. normal es válida. SE puede que comprobar que la regla empírica se

cumple pues su valor esperado es

PDF@NormalDistribution@150 * 0.4719 , 6.1140D, x + 0.5D

0.0652506 ã-0.0133758 Hx-70.285L2

6 solucionTarea6.nb

Plot@Evaluate@PDF@NormalDistribution@150 * 0.4719 , 6.1140D, x + 0.5D,

8x, 40, 100<, Filling ® AxisDD

50 60 70 80 90 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 - CDF@NormalDistribution@150 * 0.4719 , 6.1140D, 100 + 0.5D

5.86463´10-7

(c) (1 punto) ¿Cual es el valor esperado de chispas de chocolate oscuro en la muestra?

150 * 0.4719

70.785

Ejercicio 4

Considere que el tiempo de descarga de un motor es una v.a. ji-cuadrada con 5 grados

de libertad

(a) (1 punto) ¿Cuál es su media y su varianza?

PDF@GammaDistribution@5 � 2 , 2D, xD

ã-x�2x

3�2

3 2 Π

x > 0

0 True

solucionTarea6.nb 7

PlotBPiecewiseB::ã-x�2

x3�2

3 2 Π

, x > 0>>, 0F, 8x, 0.2, 13<F

2 4 6 8 10 12

0.05

0.10

0.15

Directamente de la fórmula E[X]=ΑΒ V[X]=ΑΒ^2 tenemos

Mean@GammaDistribution@5 � 2 , 2DD

5

Variance@GammaDistribution@5 � 2 , 2DD

10

(b) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho tiempo sea menor a 6?

CDF@GammaDistribution@5 � 2 , 2D, 6D

Q

5

2

, 0, 3

NBGammaRegularizedB5

2

, 0, 3F, 4F

0.6938

(c) (1.5 puntos) Si se considera aceptable que un motor demore a lo ma s 6 unidades de tiempo en

descargarse, ¿cu al es la probabilidad de que si se someten a 4 de estos motores a prueba pasen al

menos 2 de ellos?

Ahora se trata de un experimento binomial de 4 etapas donde la probabilidad de é xito se toma del

inciso anterior:

8 solucionTarea6.nb

PDF@BinomialDistribution@4, 0.6938D, xD

0.30624-x

0.6938x

4

x0 £ x £ 4

0 True

DiscretePlotA

PiecewiseA990.30624-x

0.6938x

Binomial@4, xD, 0 £ x £ 4==, 0E, 8x, 0, 4<E

1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

0.4

1 - CDF@BinomialDistribution@4, 0.6938D, 1D

0.911537

solucionTarea6.nb 9