REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE RECTORADO ACADEMICOESCUELA DE INGENIERIA

CABUDARE-LARA

CÁLCULO NUMÉRICO Y Manejo de errores

DIEGO LEAL P.CI 25927184

SAIA APROF DOMINGO MÉNDEZ

MAYO 2016

ANÁLISIS NUMÉRICO.

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

MANEJO DE ERRORES.

Por razones prácticas, sólo puede manejarse una cantidad finita de bits para cada número en una computadora, y esta cantidad o longitud varía de una máquina a otra. Por ejemplo, cuando se realizan cálculos de ingeniería y ciencia, es mejor trabajar con una longitud grande; por otro lado, una longitud pequeña es más económica y útil para cálculos y procedimientos administrativos.

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. El error numérico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores numéricos es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.

El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.

TIPOS DE ERRORES.

1) ERROR ABSOLUTO:

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.

El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se toma como valor absoluto. Sin embargo, podríamos tomar como fórmula general la siguiente expresión:

Ea=Σ⃒ (x i−x ) ⃒n

error absoluto= valor real - valor medición

Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error

cometido nunca excederá a ese valor. Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá:

error absoluto ‹c

2) ERROR RELATIVO:

El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%).

Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer el valor exacto (A), en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor aproximado o considerado como exacto.

También puede hablarse de cota del error relativo, que si la representamos como β, se cumplirá:

A – A´) / A ≤ β

3) ERROR PORCENTUAL:

El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error relativo por 100.

ERP = ER X 100

4) ERROR DE REDONDEO:

A continuación se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar el sistema binario y una longitud de palabra finita.

Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de mas dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se esta empleando, se almacena sólo un numero finito de estos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable.

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si. Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que en este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

5) ERROR DE TRUNCAMIENTO:

Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento.

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor.

Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final:

Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par aun polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.