Tạp chí con đường đại học số 2 [ trường học số ]

CON ĐƯỜNG ĐẠI HỌC

Nhà xuất bản Trường Học Số

Tháng 1 Năm 2013

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Nguyễn Thanh Trà

Trong các kì thi nói chung và thi ĐH nói

riêng. Ta hay gặp những bài toán với một đại

lượng khó xử lý (căn thức, biểu thức với số

mũ). Khi đó, một ý tưởng tự nhiên là đặt biểu

thức đó bằng một ẩn mới. Điều đó làm đơn

giản phương trình để dễ nhìn nhận. Sau đó, ta

tìm các mối liên hệ giữa ẩn mới và ẩn ban đầu

để được phương trình đơn giản hơn.

Chúng ta đến với ví dụ đầu tiên

Ví dụ 1. Giải phương trình:

(x + 1)√

x2 − 2x + 3 = x2 + 1

Lời giải. Đặt√

x2 − 2x + 3 = y. Khi đó

phương trình trở thành:

(x + 1)y = x2 + 1

⇔ x2 − 3x + 2− (x + 1)y + (2x− 2) = 0

⇔ y2 − (x + 1)y + 2(x− 1)

= 0 ⇔ y2 − 2y − (x− 1)y + 2(x− 1) = 0

⇔ y(y − 2)− (x− 1)(y − 2) = 0

⇔ (y − 2)(y − x + 1) = 0 ⇔[

y = 2y = x− 1

⇔[

x2 − 2x + 3 = 4x2 − 2x + 3 = x2 − 2x + 1

⇔ x = 1±√

2

Vậy nghiệm của phương trình là x ∈ 1±√

2F

Từ việc đặt y =√

x2 − 2x + 3 và thay x2 −2x+3 = y2 vào phương trình ban đầu, ta được

phương trình bậc 2. Sau đó coi đây là phương

trình bậc 2 theo ẩn y, giải phương trình này

ta tính được x theo y (hai phương trình có bậc

nhỏ hơn).

Ta nhìn nhận lại phương trình theo một góc

độ khác. Ta xét cách giải phương trình:

y2 − (x + 1)y + 2(x− 1)

Xét ∆ = (x + 1)2 − 8(x − 1) = x2 − 6x + 9 =

(x− 3)2.

Như thế, phương trình có nghiệm:[y = (x + 1 +

√∆)/2

y = (x + 1−√

∆)/x⇒

[y = 2y = x− 1

Nhận xét rằng, nếu ∆ là một bình phương của

một biểu thức thì ta có thể biểu diễn biến x

theo y. Và khi xét phương trình ta sẽ có phương

trình mới với bậc nhỏ hơn phương trình ban

đầu.

Chúng ta có một số bài toán tương tự.


x2 + 7x = (2x + 1)√

x2 + x + 6


(x + 1)2 = x√

x2 + x + 1


2x3 − x2 + 9x− 2 = (x2 − 3x + 3)3√

2x3 + 6x


x3 + 6x2 − 2x + 3 = (5x− 1)√

x3 + 3

Tuy nhiên, chúng ra sẽ gặp khó khăn khi đến

với bài toán sau đây?


10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)√

x2 + 3

1

Vẫn như tư tưởng bài toán trước, đặt√x2 + 3 = y. Phương trình đã cho trở thành:

10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)y

Đến đây, ta phân vân không biết nên thay y2 =

x2 +3 hay 2y2 = 2x2 +6. Vậy ta sẽ tìm a thích

hợp để cộng vào hai vế:

10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)y

⇔ a(x2 + 3) + 10x2 + 3x + 1

= (1 + 6x)y + ay2

⇔ (10 + a)x2 + 3x + 1 + 3a = (1 + 6x)y + ay2

Coi phương trình trên như một phương trình

bậc 2 với ẩn y. Ta xét

∆ = (1 + 6x)2 + 4a[(10 + a)x2 + 3x + 1 + 3a]

= [36 + 4a(10 + a)]x2+

(12 + 12a)x + 1 + 4a + 12a2

Nhận xét: Để biểu thức ∆ = (36 + 4a(10 +

a))x2 + (12 + 12a)x + 1 + 4a + 12a2 có dạng

k(f(x))2 thì biệt thức ∆ theo x bằng 0. Ta có:

∆′x = 0

⇔ (6 + 6a)2 = [36 + 4a(10 + a)](1 + 4a + 12a2)

⇒ a = −1

(lưu ý ở đây ta tìm được a = −1 nhờ máy

tính).

Khi đã tìm được a = −1. Ta có lời giải đẹp đẽ

và ngắn gọn như sau:


x2 + 3 = y, y ≥ 0. Ta có:

10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)y

⇔ (x2 + 3) + (9x2 + 3x− 2) = (1 + 6x)y

⇔ y2 − (1 + 6x)y + (9x2 + 3x− 2)

Xét ∆ = (1 + 6x)2 − 4(9x2 + 3x− 2) = 9. Vậy

nghiệm của phương trình là:[y = 1+6x+3

2

y = 1+6x−32

⇔[

y = 2 + 3xy = 3x− 1

Mỗi phương trình vừa tìm được, việc giải quyết

là đơn giản vì đó chỉ là phương trình bậc 2. F

Ta hãy thử với một bài toán nữa:


x2 + 12x + 2 = (x− 2)√

x2 + 8x + 1

Đặt√

x2 + 8x + 1 = y. Ta tìm số a thích

hợp:

x2 + 12x + 2 = (x− 2)√

x2 + 8x + 1

⇔ x2 + 12x + 2 = (x− 2)y

⇔ x2 + 12x + 2 + a(x2 + 8x + 1)

= (x− 2)y + ay2

⇔ (a + 1)x2 + (12 + 8a)x + 2 + a

= (x− 2)y + ay2

Coi là phương trình bậc 2 theo y. Ta xét:

∆y = (x− 2)2

+ 4a[(a + 1)x2 + (12 + 8a)x + 2 + a]

= x2 − 4x + 4

+ 4a[(a + 1)x2 + (12 + 8a)x + 2 + a]

= (4a2 + 4a + 1)x2

+ (48a + 32a2 − 4)x + (4a2 + 8a + 4)

= (2a + 1)2x2

+ (48a + 32a2 − 4)x + 4(a + 1)2

Bây giờ ta sẽ xét ∆′x = 0. Ta có:

∆′x = 0

⇔ (24a + 16a2 − 2)2 = 4(2a + 1)2(a + 1)

⇒ a = −3

2

Ta có lời giải như sau:


x2 + 8x + 1 = y. Phương trình

đã cho tương đương với:

x2 + 12x + 2 = (x− 2)y

⇔ 2x2 + 24x + 4 = 2(x− 2)y

⇔ 3(x2 + 8x + 1)− (x2 − 1) = 2(x− 2)y

⇔ 3y2 − 2(x− 2)y − (x2 − 1) = 0

Xét ∆′ = (x−2)2 +3(x2−1) = 4x2−4x+1 =

(2x− 1)2. Phương trình đã cho có nghiệm:[y = x−2+2x−1

3

y = x−2−2x+13

⇔[

y = x− 1y = −x+1

3

2

Đến đây, phương trình có thể giải một cách dễ

dàng. F

Tương tự, hãy thử sức với các bài toán sau:


2(x− 2)√

2x− 5 = x2 − 2x + 4


(x− 2)√

4x− 3 = x2 − 3x + 1


x2 + 3x + 7 = (x + 2)√

x2 + 2x + 7

Đôi khi biểu thức không nhất thiết chỉ đơn

thuần với biến x. Ta đến với một số ví dụ sau:


2√

x + 4−4√

x + 1 = x−2+√

(x + 1)(x + 4)

Lời giải. Để giải phương trình, ta đặt y =√x + 4. Phương trình đã cho tương đương với:

2y − 4√

x + 1 = x− 2 + y√

x + 1

⇔ y(2−√

x + 1)− 4√

x + 1 = x− 2

Tương tự như bài trước, ta tìm các cộng một

lượng ay2 vào hai vế của phương trình:

⇔ y(2−√

x + 1)− 4√

x + 1 = x− 2

⇔ y(1−√

x + 1) + ay2

= 4√

x + 1 + x− 2 + a(x + 4)

⇔ y(2−√

x + 1) + ay2

= 4√

x + 1 + x(1 + a) + 4a− 2

Xét:

∆ = (2−√

x + 1)2 + 4a(4√

x + 1+

+ x(1 + a) + 4a− 2)

= x + 1 + 4− 4√

x + 1 + 16a√

x + 1+

+ 4a(1 + a)x + 4a(4a− 2)

= (2a + 1)2(x + 1) + (16a− 4)√

x + 1

+ 12a2 − 12a + 4

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn√

x + 1.

Ta tìm a sao cho ∆′√x+1

= 0. Ta có:

∆′x = 0

⇔ (8a− 2)2 = (2a + 1)2(12a2 − 12a + 4)

⇒ a = 1

Vậy ta trình bày như sau: Đặt y =√

x + 4.

Phương trình đã cho tương đương với:

2y − 4√

x + 1 = x− 2 + y√

x + 1

⇔ y(2−√

x + 1)− 4√

x + 1 = x− 2

⇔ y2 + y(2−√

x + 1) = 4√

x + 1 + x− 2 + x + 4

Xét

∆y =

= (2−√

x + 1)2 + 4(4√

x + 1 + x− 2 + x + 4)

= x + 5− 4√

x + 1 + 16√

x + 1 + 8x + 8

= 9x + 13− 12√

x + 1

= 9(x + 1)− 12√

x + 1 + 4

= (3√

x + 1− 2)2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:[y =

√x+1−2+3

√x+1−2

2

y =√

x+1−2−3√

x+1+22

⇔[

y = 2√

x + 1− 2y = −

√x + 1

⇔√

x + 4 = 2√

x + 1− 2

Phương trình còn lại được giải một cách đơn

giản. F

Một số bài toán để các bạn luyện tập:


x2 − 3x− 3 +

(2 +

2

x

)√x + 1 = 0


(x− 1)√

x + 2 = x− 3 + (x + 1)√

x− 1

Hướng dẫn: Phương trình tương đương với:

x+2+(x−1)√

x + 2 = 2x−1+(x+1)√

x− 1

3

Ví dụ 14.

Đối với một số phương trình xuất hiện hai

biểu thức căn:

Ví dụ 15. Giải phương trình:√

x2 + 2− 2(x + 1) =√

x2 + 6

Bài toán này đặt 2 ẩn phụ thì có vẻ không

tìm được lời giải. Ta đến với cách giải sau:

Lời giải. Bình phương một vế để phương trình

chỉ còn có một biểu thức dưới căn. Ta thử như

sau:√

x2 + 2− 2(x + 1) =√

x2 + 6

⇔ (√

x2 + 2− 2(x + 1))2 = x2 + 6

⇔ x2 + 2− 4(x + 1)√

x2 + 2 + 4(x + 1)2

= x2 + 6

⇔ 4x2 + 8x = 4(x + 1)√

x2 + 2

Bây giờ, đặt y =√

x2 + 2. Phương trình tương

đương với:

x2 + 2x = (x + 1)y

⇔ x2 + 2 + 2x− 2 = (x + 1)y

⇔ y2 − (x + 1)y + 2x− 2 = 0

⇔ (y − 2)(y − x + 1) = 0

Đến đây phương trình trở nên đơn giản. F

Ta có thể trình bày lời giải một cách đẹp đẽ

như sau:

Lời giải. Biến đổi phương trình:√

x2 + 2− 2(x + 1) =√

x2 + 6

⇔ (√

x2 + 2− 2(x + 1))2 = x2 + 6

⇔ (x2 + 2)− 4(x + 1)√

x2 + 2 + 4(x + 1)2

= x2 + 6

⇔ 4(x2 + 2)− 4(x + 1)√

x2 + 2 + (x + 1)2

= x2 + 6 + 3(x2 + 2)− 3(x + 1)2

⇔ [2√

x2 + 2− (x + 1)]2 = x2 − 6x + 9

⇔ [2√

x2 + 2− (x + 1)]2 = (x− 3)2

⇔ (2√

x2 + 2− 4)(2√

x2 + 2− 2x + 2) = 0

Đến đây ta giải phương trình một cách đơn

giản. F

Như vậy từ phương trình với hai căn thức, ta

đã bình phương để phương trình chỉ còn một

căn. Đến đây ta giải bằng cách đặt ẩn phụ

không hoàn toàn. Tương tự, ta có:


√2x2 + 4 = 2(x− 2) +

√x2 − 8x + 4


√x2 + x− 1 + 3(x + 1) = 2

√x2 + x + 2


√x2 + 23 =

√5x2 + 9− 4(x− 1)

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương

pháp khó (khi ta cần tìm số a thích hợp). Tuy

nhiên lời giải của bài toán lại rất sáng sủa và

đầy tính bất ngờ. Hy vọng bài viết sẽ mang

đến cho bạn đọc một cách nhìn tổng quát hơn

về một phương pháp đồng thời trang bị một

công cụ để giải phương trình trong kì thi Đại

học sắp tới.

4

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Hà Thành Trung

Đã nhiều lần trong nhiều bài bất đẳng thức, bạn đọc một lời giải và tự hỏi: Tại sao lại tách được hệ số như vậy?. Đó là bí ẩn chỉ có thể làm rõ khi hiểu cặn kẽ một bài toán bất đẳng thức: Đó là dựa trên dự đoán về dấu bằng của bất đẳng thức. Bài viết này sẽ cũng cấp cho bạn đọc một cái nhìn tới bản chất của những lời giải: Kĩ thuật chọn điểm rơi

Kĩ thuật chọn điểm rơi trong BĐT gồm 2 bước:

1. Dự đoán dấu bằng xảy ra,đó chính là điểm rơi cần tìm.

(Thông thường cực trị BĐT đạt được khi các biến nhận giá trị bằng nhau,một số biến bằng nhau,cực trị tại biên…).

2. Từ điểm rơi đó ta lựa chọn các BĐT phù hợp để đi đến lời giải. Sau đây chúng ta sẽ đến với một sô ví dụ từ dễ đến khó trong các toán ,các bài thi ĐH,các cuộc thi toán để thấy được ứng dụng vô cùng rộng của kĩ thuật này.

Để bắt đầu chúng ta xét một bất đẳng thức hết sức đơn giản sau:

Ví dụ 1. Cho các số thực dương , , thỏa mãn:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1, 5, 14,30

a a b a b ca b c d

≤ + ≤ + + ≤

+ + + ≤

Chứng minh rằng:

10a b c d+ + + ≤

Trong bài toán, nếu ta tap dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta sẽ có:

2

2 2 2 2 ( )4

30 a b c da b c d + + +≥ + + + ≥

Suy ra:2( ) 120 120 10a b c d a b c d+ + + ≤ ⇒ + + + ≤ >

Ta thấy có gì đó không ổn trong cách làm. ??

Phân tích để đi đến lời giải: Sẽ rất khó nếu ta không xét dấu bằng xảy ra.Ta dự đoán = 1 khi đó = 2, = 3. = 4.

Khi đã dự đoán được điều kiện xảy ra dấu bằng, bước tiếp theo ta sẽ tìm một cách phân tích thích hợp. Biểu thức cần tìm có bậc nhất và các biến , , , ở đầu bài có bậc 2. Ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy.

Hãy để ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Cauchy. Đến đây ta có lời giải như sau:

Lời giải: Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

24( )12( 1) 6( 4) 4( 9) 3( 6)120 6 2( ) ( )3( ) 240

a b c da b c d

a a b a b ca b c d

+ + + ≤

≤ + + + + + + +

= + + + + + + +

+ + + + ≤

Ví dụ 2. Cho các số thực dương , , thỏa

mãn điều kiện 1 1 1 4x y z

+ + = . Tìm giá trị lớn

5

nhất của 1 1 1

2 2 2P

x y z x y z x y z= + +

+ + + + + +.

Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán MaxP

đạt được tại 43

x y z= = = nên tách các số

2x x x= + ra cho dấu bằng xẩy ra.

Ta có 1 1 1 1 1 1 1

2 16x y z x x y z x x y z

= ≤ + + + + + + + + tương tự và ta có:

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 116

Px y z x y z x y z

≤ + + + + + + + + =

vậy 1MaxP = khi 43

x y z= = = .

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với các số thực dương , , thỏa mãn 5xy yz zx+ + = thì :

2 2 23 3 10x y z+ + ≥

Phân tích để đi đến lời giải: Nhận thấy hệ số của 23x và 23y bằng nhau nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x = y.

Giải hệ phương trình :

2 2

2

6 102 5

x zx zx

+ =

+ =

Ta được x = 1,z = 2.Vậy = = 1, = 2 chính là điểm rơi. Nên ta tách để xảy ra dấu bằng:

2 2

2 2

2 2

4 44 42 2 4

x z xzy z yzx y xy

+ ≥

+ ≥

+ ≥

Cộng lại ta có 6 + 6 + 2 ≥4( + + ) = 20. Suy ra 3 + 3 + ≥ 10.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =1, = 2

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với , , ≥0 và 3a b c+ + = thì

a b c ab bc ca+ + ≥ + + .

Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi = = = 1.Đến đây gặp khó khăn vì bậc vế trái nhỏ hơn vế phải không áp dụng Cauchy được. Ta phải biến đổi vế phải :

2 2 2 22( ) ( )ab bc ca a b c a b c+ + = + + − − −

Khi đó BĐT trở thành: 2 2 2 2( ) 9a b c a b c+ + + + + ≥

Điểm rơi là = = = 1 nên ta tách 2 3a a a a+ + ≥

Tương tự với , ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 5. Cho , , 0x y z > thỏa mãn

2 1xy xz+ = .Tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 4 5yz xz xyAx y z

= + + .

Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán dấu bằng khi = = . Ta nghĩ đến tách như sau

2

4( 2 ) 4

xy zx zx zx xy xy zx yzz y y y z z y x

zx xy

+ + + + + + + ≥

≥ + =Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

= = = 13

Ví dụ 6. Cho , , > 0 và 2 2 2 1a b c+ + = chứng minh rằng:

1 4 3a b cabc

+ + + ≥ .

Phân tích để đi đến lời giải: Nếu sử dụng

ngay 41 14 4a b c abc

abc abc+ + + ≥ = < 4 3

Sai!!.

6

Ta dự đoán dấu bằng khi = = = 33

nên phải là :

41 1 44

9 9 3a b c abc

abc abc+ + + ≥ = .

Còn lại sử dụng 13 3

abc ≤ suy ra .Từ đó

được điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC chứng minh rằng

3 3sin sin sin2

A B C+ + ≤

Lời giải: (Dự đoán dấu bằng khi = = và cos 1 / 2,cos 1 / 2A B= = )

Ta có:

sin sin sinsin sin sin cos sin cos

A B CA B A B B A

+ + =+ + +

Áp dụng Cauchy ta có :

2 22 2

sin sincos cos3 33 sin sincos cos

2 3 3

A BB A

A BB A

+

≤ + + +

Và

2 21 3 3sin sin sin sin4 43

A B A B + ≤ + + +

Cộng lại ta có điều phải chứng minh.

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1. Cho , là các số thực, tìm giá trị

lớn nhất của : 4 4(4 )(4 )a bP

a b+

=+ +

Bài tập 2. Cho , , là số thực dương thỏa mãn 3a b c+ + = .Chứng minh rằng :

15 4 5 4 5 4

a b ca b b c c a

+ + ≤+ + +

Bài tập 3. Cho , , dương.Tìm giá trị lớn nhất của:

P= 13 3 3bc ca ab

a bc b ca c ab+ + ≤

+ + +

Bài tập 4. Cho , , là số thực dương. Chứng minh rằng

2 2 21

8 8 8a b c

a bc b ca c ab+ + ≥

+ + +

7

ý tưởng nghiệm duy nhất của phương trình

Trần Thị Thùy Linh

Trong khi giải phương trình, tôi gặp dạng toán

sau:

Ví dụ 1. Giải phương trình:√x + 7

x + 1+ 8 = 2x2 +

√2x− 1

Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1

2.

Đặt f(x) =√

x+7x+1

và g(x) = 2x2 +√

2x− 1.

Ta có:

f ′(x) = − 3

(1 + x)2√

x+7x+1

< 0

g′(x) = 4x +√

1√

2x− 1

Do đó phương trình có không quá 1 nghiệm. Dễ

thấy phương trình có nghiệm x = 2. Do đó x =

2 là nghiệm duy nhất của phương trình. F

Ta nhận thấy phương trình trên không thể

giải theo cách thông thường (đặt ẩn phụ, phân

tích nhân tử). Hai vế của phương trình, một

vế là hàm số đồng biến, một bên là hàm số

nghịch biến. Do đó phương trình có không quá

1 nghiệm. Sau đó, ta thấy x = 2 là một nghiệm

của phương trình và kết luận phương trình có

nghiệm duy nhất.

Trước khi đến với các ví dụ tiếp theo, chúng ta

đến với một chú ý:

• Nếu f(x) là hàm số đơn điệu (tăng hoặc

giảm), hay nói cách khác f ′(x) luôn dương

(luôn âm) với mọi x ∈ A thì phương trình

f(x) = a không có quá 1 nghiệm trên A.

• Nếu f(x) đồng biến và g(x) đồng biến thì

phương trình f(x) = g(x) không có quá 1

nghiệm.

• Nếu f (n)(x) vô nghiệm trên A thì phương

trình f(x) = a không có quá n nghiệm

trên A.

Như vậy, tùy thuộc vào bài toán mà ta có

những đánh giá khác nhau và chọn hàm số cho

phù hợp

Chúng ta đến với một bài toán khác:


3√

x3 + 7 +√

2x− 1 + x3 = 4

Lời giải. Nhận thấy rằng các biểu thức chứa

x với dấu + tập trung hết về một vế. Ta liên

tưởng ngay đến việc vế trái là hàm đồng biến.

Xét f(x) = 3√

x3 + 7 +√

2x− 1 + x3. Ta có:

f ′(x) =x2

(x3 + 7)2/3+

1√2x− 1

+ 3x2 > 0

Rõ ràng f(x) là hàm đồng biến. Như vậy

phương trình f(x) = 4 có không quá 1 nghiệm.

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

1. F

Dấu hiêu đặc trưng để nhận biết những phương

trình có thể giải theo cách trên là rất rõ ràng.

Bạn đọc hãy luyện tập với một số ví dụ:


2x + x2 +√

x− 1 = 9


x3 − x + 2√

x− 1 = 8

Ta đến với một ví dụ với dạng khó hơn.

8


x3 − 2√

x + 2− 4 = 0

Phương trình trên có dạng khá lạ. Dĩ nhiên là

chúng ta có thể làm mất căn thức và xuất hiện

phương trình bậc 6. Nhưng đây không phải

cách thông minh. Chúng ta làm như sau:

Lời giải. Xét hàm số

f(x) = x3 − 2√

x + 2− 4

Ta có f ′(x) = 3x2 − 1√x+2

.

Đến đây, ta thấy không chắc f(x) là hàm đồng

biến, nghịch biến. Tuy nhiên, ta hãy chú ý như

sau:

Nếu x < 1, ta có x3 < 1 ⇒ x3 < 2√

x + 2 + 4.

Do đó phương trình vô nghiệm với x < 1.

Xét x ≥ 1. Ta có f ′(x) = 3x2 − 1√x+2

=3x2

√x+2−1√x+2

≥ 0. Do đó f(x) đồng biến với x ≥ 1.

Vậy phương trình f(x) = 0 không có quá 1

nghiệm. Dễ thấy x = 2 là nghiệm của phương

trình.

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. F

Lưu ý rằng chúng ta có thể giải phương trình

trên bằng cách phân tích:

x3 − 2√

x + 2− 4 =

(√

x + 2− 2)((x2 + 2x + 3)(√

x + 2 + 2)+

+√

x + 2)

Tương tự, ta có phương trình:

Ví dụ 6. Giải phương trình:√x + 4

x + 1+ 1 = 4x2 +

√8x− 1


√3x + 16 + 2

√x + 2 = x + 2 + 2

√x2 − 4

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương

đương với:√3x + 16

x + 2+ 2 =

√x + 2 + 2

√x− 2


x3 =√

x + 2 + 3√

x + 6 + 4

Đối với một số phương trình, việc xét đạo hàm

các biểu thức khá phức tạp. Ta sẽ nói đến thủ

thuật tiếp theo trong ví dụ sau đây:


√4x2 − 1 +

√2x2 − x =

√x +

√2x + 1

.

Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1

2.

Dự đoán x = 1 là nghiệm của phương

trình. Giá trị của các biểu thức√4x2 − 1;

√2x2 − x;

√x;√

2x + 1 lần lượt

là 3, 1, 1, 3. Do đó, ta biến đổi phương trình:

√4x2 − 1−

√2x + 1 =

√x−

√2x2 − x

Với1

2≤ x < 1 thì

√4x2 − 1 <

√2x + 1 ⇒

√4x2 − 1−

√2x + 1 < 0 và

√x >

√2x2 − x ⇒√

x−√

2x2 − x > 0 (vô lý)

Với x > 1. Ta có√

4x2 − 1 >√

2x + 1 ⇒√4x2 − 1−

√2x + 1 > 0 và

√x <

√2x2 − x ⇒√

x−√

2x2 − x < 0 (vô lý)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

1. F

Ta có một số bài tập tương tự:


√−2x2 + 2x + 16−

√x2 − 9 =

3√

2x2 − 10−√

x− 3


đương với:√4− 2(x− 3)(x + 2) +

√x− 3 =

3√

2(x− 3)(x + 3) + 8 +√

(x− 3)(x + 3)

Đôi khi vấn đề nghiệm duy nhất được hiểu rộng

hơn


√x2 + 2x + 3+x2

√2x2 + 3x + 2 = (x2+1)

√x + 4

9

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương

với:

√x2 + 2x + 3 + x2

√(x2 + 2x + 3) + (x2 + x− 1)

= (x2 + 1)√

(x2 + 2x + 3)− (x2 + x− 1)

Đặt x2 + x− 1 = A Nếu A > 0. Ta có:

√x2 + 2x + 3 + x2

√(x2 + 2x + 3) + A

>√

x2 + 2x + 3 + x2√

(x2 + 2x + 3)

= (x2 + 1)√

x2 + 2x + 3

> (x2 + 1)√

(x2 + 2x + 3)− A

Nếu A < 0. Ta có:

√x2 + 2x + 3 + x2

√(x2 + 2x + 3) + A

<√

x2 + 2x + 3 + x2√

(x2 + 2x + 3)

= (x2 + 1)√

x2 + 2x + 3

< (x2 + 1)√

(x2 + 2x + 3)− A

Suy ra A = 0 ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =−1±

√5

2.

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x =−1 +

√5

2và x =

−1−√

5

2F

Một bài toán tương tự:


3√

2x2 − 4x + 2 +√

x2 − x−√

x + 3

=√−3x2 + 6x + 13


đương với:

3√

2(x2 − 2x− 3) + 8 +√

x2 − 2x− 3 + (x + 3)

=√

x + 3 +√

4− 3(x2 − 2x− 3)

Những bài toán trong dạng này có lời giải khá

tự nhiên và gọn gàng. Tuy nhiên nó chỉ là một

phần của phương pháp "dùng liên hợp để giải

phương trình". Ta sẽ đến với một số bài toán

mà sử dụng lượng liên hợp phải "bó tay".


22x−1 + 33x + 55x+1 = 2x + 3x+2 + 5x+5

Lời giải. Ta nhẩm x = 1 là một nghiệm của

phương trình.

Nếu x < 1 thế thì 22x−1 < 2x, 33x <

3x+2, 55x+1 < 5x+5. Suy ra:

22x−1 + 33x + 55x+1 < 2x + 3x+2 + 5x+5

Nếu x > 1 thế thì 22x−1 > 2x, 33x >

3x+2, 55x+1 > 5x+5. Suy ra:

22x−1 + 33x + 55x+1 > 2x + 3x+2 + 5x+5

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. F

Phương trình sau đây giải hoàn toàn tương tự:


22x−1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2


x = 2log5(x+3)

Ta đến với một dạng khác.

Ví dụ 16. Giải phương trình:x3 + 11

4+ x2 +

x + 2x+2 + 4(√

2)x = 0

Lời giải. Với dự đoán x = −4 là một nghiệm

của phương trình. Biến đổi:

x3 + 11

4+ x2 + x + 2x+2 + 4(

√2)x = 0

⇔ x4 + 4x2 + 4x + 11 = −2x+4 − 16(√

2)x

⇔ (x2 + 4)(x + 4) = 5− 2x+4 − 4 · 2x+42

⇔ (x2 + 4)(x + 4) = −(2

x+42 + 5

) (2

x+42 − 1

)Nếu x < −4 thì (x2 + 4)(x + 4) < 0 và

−(2

x+42 + 5

) (2

x+42 − 1

)> 0 (vô lí)

Nếu x > −4 thì (x2 + 4)(x + 4) > 0 và

−(2

x+42 + 5

) (2

x+42 − 1

)< 0 (vô lí)

Vậy x = −4 là nghiệm duy nhất của phương

trình. F

10


log2(4x + 1) log5(4x + 4)+

+ log3(4x + 2) log4(4x + 3) =

2 log3(4x + 2) log5(4x + 4)

Lời giải. Đặt y = 4x + 1. Dự đoán y = 2 là

nghiệm của phương trình. Phương trình đã cho

tương đương với:

log5(y + 3) (log2 y − log3(y + 1))

= log3(y + 1) (log5(y + 3)− log4(y + 2))

Đặt f(y) = log2 y− log3(y+1), g(y) = log5(y+

3)− log4(y + 2). Ta thấy:

Với 0 < y < 2 thì f(y) < 0 và g(y) > 0.

Với y > 2 thì f(y) > 0 và g(y) < 0.

Vậy y = 2 là nghiệm duy nhất của phương

trình. Khi đó 4x + 1 = 2 ⇔ x =1

4F

Tương tự, hãy giải các phương trình:


π cos(10πx− π) = 5− 100x


x3 + 2x2 + 2x− 1 + 2x+2 + 2x+62 = 0


x4 − x2(2− log3(x + 1) + log2 x)− 8 = 0

Nhận xét nghiệm duy nhất của phương trình

mang đến lời giải hêt sức ngắn gọn cho những

bài toán mang hình thức phức tạp. Tuy nhiên,

phương pháp chỉ là một công cụ. Điều chính

yếu là các bạn phai làm nhiều phương trình để

có được suy nghĩ nhạy bén, không bị bối rối

trước mỗi phương trình.

11

DAO ĐỘNG SÓNG CƠ

NGUYỄN THỊ HẢI – BÙI VĂN ĐẠT

Sóng cơ học là một phần tiêu biểu trong các đề thi đại học cao đẳng. Các dạng bài tập sóng ngày càng đa dạng về tư duy, độ khó và cách giải bài tập. Và thời gian để hoàn thành các bài tập khá lâu nếu ta không chọn được cách giải tối ưu cho chính mình. Chúng tôi mong gửi tới mọi người sự tối ưu hoá trong phương pháp và giúp cho mọi người hiểu và giải quyêt các bài toán về sóng cơ được tốt nhất.

Phương pháp 1: Sử dụng độ lệch pha để giải quyết các bài toán về giao thoa sóng.

Xét phương trình sóng tại hai nguồn A,B:

1 1 2 2( ); ( )u acos t u bcos tω ϕ ω ϕ= + = +

Xét phương trình sóng tới tại điểm M với

1 2,MA d MB d= = là: 1 2M M Mu u u= +

1 21 2

2 2( ) ( )Md du acos t bcos tπ π

ω ϕ ω ϕλ λ

⇔ = + − + + −

Độ lệch pha của hai sóng truyền tới M là:

1 22 1

2 ( )d dπϕ ϕ ϕ

λ−

∆ = + −

Đến đây ta có thể sử dụng độ lệch pha để giải quyết các bài toán về tìm số cực đại, cực tiểu và

các bài tập về biên độ dao động của vật một cách dễ dàng với các trường hợp dao thoa hai sóng khác biên độ và độ lệch pha hai sóng là bất kì góc nào.

Sử dụng độ lệch pha là phương pháp tiêu biểu trong tổng hợp dao động cơ học. Với bài toán sóng cơ thì giúp ta giải quyết kha nhanh để tìm mối liên hệ giữa khoảng cách thoả mãn điều kiện của bài toán.

Biên độ dao động tại M:

2 2 2 2MA a b abcos ϕ= + + ∆

Đến đây ta có

•M dao động với biên độ cực đại khi:

1 22 1

2 ( ) 2d d kπϕ ϕ ϕ π

λ−

∆ = + − =

2 11 2

( )2

d d kϕ ϕλ

λ−

⇒ − = − +

•M dao động với biên độ cực tiểu khi:

1 22 1

2 ( ) 2d d kπϕ ϕ ϕ π π

λ−

∆ = + − = +

12

2 11 2

( )2 2

d d kϕ ϕ λ λλ

−⇒ − = − + +

•M dao động với biên độ bằng c thì khi đó từ giá trị của c mà ta tìm được giá trị của cos ϕ∆ rồi sau đó sẽ đưa về tìm góc ϕ∆ rồi tìm được hiệu quãng đường của hai sóng mà M nhận được.

Phương pháp 2: Sử dụng đường tròn lượng giác để giải các bài toán giao thoa.

(các bài toán giao thoa với hai nguồn cùng biên độ)

Xét phương trình sóng tại hai nguồn A,B:

1 1 2 2( ); ( )u acos t u acos tω ϕ ω ϕ= + = +

Xét phương trình sóng tới tại điểm M với

1 2,MA d MB d= = là: 1 2M M Mu u u= +

1 21 2

2 2( ) ( )M

d du acos t acos t

π πω ϕ ω ϕ

λ λ⇔ = + − + + −

1 2 2 1 1 2 2 12 ( ). ( )2 2

d d d dacos cos t

ϕ ϕ ϕ ϕπ ω π

λ λ− − + +

= + + +

Ta có biên độ sóng tại M:

1 2 2 12 . ( )2

d dA a cos ϕ ϕπ

λ− −

= +

Từ biểu thức trên ta thấy biên độ dao động của một điểm là một đại lượng biên thiên theo khoảng cách theo hàm ( )x acos tω= Như vậy ta có thể biểu diễn giá trị thay đổi của biên độ trên đường tròn lượng giác giống như đường tròn ở trong dao động cơ học.

• Xét hai điểm M và N nằm giữa AB với:

MN=x 1 2 3 4, ; ,AM d BM d AN d BN d= = = =

1 2 1 4Md AM BM d d d x d∆ = − = − = + +

3 4 1 4Nd AN BN d d d x d∆ = − = − = + −

1 2 2 12 . ( )2M

d dA a cos ϕ ϕπ

λ− −

= +

1 2 4 32 . ( )2N

d dA a cos ϕ ϕπ

λ− −

= +

Độ lệch pha của hai biên độ tại M và N là:

2M N

xπϕ ϕ ϕ

λ∆ = − = = 2 dπ

λ

Điều này chứng tỏ khi xét trên đường tròn biên độ thfi độ lệch pha của các biên độ cũng chính

là 2 dπλ

với d là khoảng cách của hai điểm

trong giao thoa sóng nói chung và sóng dừng nói riêng với các điểm thuộc đoạn AB. Đến đây ta xét biên độ của sóng tại I là trung điểm của AB:

1 22 . ( )2I

IB IAA a cos ϕ ϕπ

λ− −

= +

1 22 ( )2

acos ϕ ϕ−= .

Các điểm bên cạnh I sẽ tiếp tục biến thiên nếu ta chọn điểm I làm gốc.

•Giả sử 1 2 1 2 0ϕ ϕ ϕ ϕ> ⇒ − >

Xét trường hợp biên độ dao động của một vật là cực đại.

1 2 2 12 . ( ) 22M

d dA a cos aϕ ϕπ

λ− −

= + =

1 2 2 12 10 0

2d d d dϕ ϕ

πλ

− −⇒ + = ⇒ − <

(Ta xét tới điểm gần I nhất)

13

Như vậy ta có điểm dao động với biên độ cực đại gần trung điểm nhất sẽ gần nguồn 2 hơn hay là gần nguồn chậm pha hơn.

Đặc biệt khi hai nguồn cùng pha thì ta có

1 2d d= hay đó chính là trung điểm của AB.

⇒ Nếu thay đổi độ lệch pha thì hệ vân giao thoa sẽ dịch chuyển về nguồn chậm pha hơn

Như vậy nếu ta tính được trung điểm I của hainguồn dao động với biên độ bao nhiêu

( 0 maxa a< < ). Khi xét về các điểm lệch vềnguồn chậm pha hơn thì biên độ tăng, về nguồn sớm pha hơn thì biên độ giảm. Về phía nguồn nhanh pha hơn ta chọn biên độ của I ở vị trí I còn về phía nguồn chậm pha hơn thì biên độ của I ở VT II. Ta có thể áp dụng đường tròn vào bài toán tìm cực đại, cực tiểu với bước sóng được tính là một vòng

Các bước giải:

B1: Tìm biên độ của trung điểm I của hai nguồn.

B2: Xác định biên độ của I trên đường tròn

B3: Tính số vòng mà biên độ của I quay được khi tính ở cả hai vị trí 1, 2.

Cộng vào ta được đáp án.

Ví dụ. Ví dụ 1. Cho hai nguồn A, B dao động cùng pha với nhau và cùng biên độ a=2 cm. Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên AB biết AB=27 cm và bước sóng là 2 cm.

Bài giải. Ta có biên độ 2 . 0 4IA a cos a= = . Như vậy I dao động với biên độ cực đại Vậy I ở một trong hai vị trí biên.Vậy nếu tính từ vị trí biên dương thì vật qua 13 lần. còn tính từ biên âm thì cũng là 13 lần. Nếu tính cả I nữa sẽ là 13x2+1=27 lần.

Như vậy có 27 điểm dao động với biên độ cực đại.

Ví dụ 2: Cho hai nguồn sóng đặt tại hai điểm A,B là:

22 (100 )( ), 2 (100 )( )3A Bu cos t cm u cos t cmπ

π π= − =

Với bước sóng là 20( )cmλ = . Xét hai điểm M, N nằm đối xứng nhau qua trung điểm I của hai nguồn.Tính số điểm dao động với biên độ là 2 3( )cm trên đoạn MN ?

Bài giải. Ta có biên độ sóng tại trung điểm của hai nguồn là:

2 .2IA a cos aϕ∆

= =

14

K , K’là biên độ 2 3 3( )A cm=

Số vòng quay là 0,675MInλ

= = (vòng)

Như vậy với số vòng quay là 0,675 vòng thì ở vị trí 1 sẽ qua vị trí K’ hai lần

Ở vị trí 2 sẽ qua K hai lần là K’ một lần

Như vậy trên MN có 5 điểm dao động với biên độ là 2 3( )cm

Bài tập áp dụng: Bài 1. Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình uA = 6cos40πt và uB = 8cos(40πt ) (uA và uB tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Trên đoạn thẳng S1S2, điểm dao động với biên độ 1cm và cách trung điểm của đoạn S1S2 một đoạn gần nhất là A. 0,25 cm B. 0,5 cm C. 0,75 cm D. 1

Bài 2. Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 cách nhau 8 cm, người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình uA = 6cos40πt và uB = 8cos(40πt ) (uA và uB tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng

không đổi khi truyền đi. Số điểm dao động với biên độ 1cm trên đoạn thẳng S1S2 là A. 16 B. 8 C. 7 D. 14

Bài 3: Tại 2 điểm A,B trên mặt chất lỏng cách nhau 16cm có 2 nguồn phát sóng kết hợp dao động theo phương trình: u1= acos(30πt) , u2 = bcos(30πt +π/2 ). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 30cm/s. Gọi C, D là 2 điểm trên đoạn AB sao cho AC = DB = 2cm . Số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn CD là A.12 B. 11 C. 10 D. 13 Bài 4: Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình uA = uB = 6cos40πt (uA và uB tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Trên đoạn thẳng S1S2, điểm dao động với biên độ 6mm và cách trung điểm của đoạn S1S2 một đoạn gần nhất là A. 1/3cm B. 0,5 cm C. 0,25 cm D. 1/6cm

15

Bài 1.Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A,B cách nhau 10cm, dao động theo phương thẳng với phương trình lần lượt =3 cos 40 + 6 à = 4 cos 40 +2 3 .Cho biết tốc độ truyền sóng là 40cm/s. Một

đường tròn tâm là trung điểm AB nằm trên mặt nứoc có bán kính R=4cm.Số điểm dao động với biên độ 5cm có trên đường tròn là?

A:30 B:32 C:34 D:36

Chúng ta để ý thấy rằng với bài toán như thế này liệu dung phương pháp như trên được không khi mà biên độ của chúng khác nhau. Hoàn toàn dung được vì lúc đó ta có biên độ tại 1 điểm như sau : 12 + 22 + 2 1 2cos 2 ( 1 − 2)λ + 2 − 1 Nó cũng là 1 đại lượng biến thiên tuần hoàn theo 1 − 2 vậy ta làm hệt như trên

• Bài làm : biên độ tại trung điểm của AB là : = 12 + 22 + 2 1 2 2 − 1 = 5cm

Có n = = 2 vòng ⇒ quay được 2 vòng sẽ đi qua

vị trí x = 5 là 8 lần ⇒ trên đường kính là

8 + 1 + 8 = 17 ⇒ trên đường tròn có 17.2 – 2 = 32 điểm

Câu hỏi suy ngẫm

Với 1 bài mà tìm trên 1 đoạn thẳng nằm ngoài đường thẳng nối hai nguồn thì các bạn hãy suy nghĩ xem nó còn going như vậy không nhé? Câu trả lời của tôi là có, các bạn hãy suy nghĩ vì sao lại có nhé.

VD:Cho = 6 ( + 5 /6) và = 8 ( + /6) .Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là: v=100cm/s; Khoảng cách giữa hai nguồn là O1O2=4cm,O1O2PQ là hình thang cân với diện tích là 12cm2 và PQ = 2cm là một đáy của hình thang. Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Số điểm dao động với biên độ 2√13 cm trên O1P là????

Bài 2.Tại hai điểm A và B trên mặt nước cách nhau 16 cm có hai nguồn phát sóng kết hợp dao động theo pt: = cos(30 ) à = 30 + .Tốc độ truyến sóng trên mặt nước là 30cm/s. Gọi E F là hai điểm trên đoạn AB sao cho AE=FB=2cm. Tìm số điểm cực tiểu trên EF?

Như đã chứng minh ở trên thì :

2 11 2

( )2 2

d d kϕ ϕ λ λλ

−⇒ − = − + +

Mà –EF < d2 – d1 < EF −∆ 2 − − 12 < < −∆ 2 + − 12

ta sẽ tìm được đáp án của bài toán với EF = 12cm

Vậy công thức khi tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu khi hai nguồn lệch pha 1 góc bất kì trong đoạn AB trên đoạn thẳng nối 2 nguồn trong vùng giao thoa là: Cực tiểu:

−∆ − − ≤ ≤ −∆ + −

Cực đại : −∆ − ≤ ≤ −∆ +

Chu ý : nếu A,B là nguồn thì không lấy dấu “=”

16

Câu hỏi suy ngẫm: nếu AB không nằm trên đường thẳng nối hai nguồn thì sẽ ra sao, hãy cùng suy nghĩ

Bài 3. Trên mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp S1, S2 dao động với phương trình tương ứng u1=acosωt và u2= asinωt. Khoảng cách giữa hai nguồn là S1S2=3,25λ. Trên đoạn S1S2, số điểm dao động với biên độ cực đại và cùng pha với u2 là:

Hướng suy nghĩ : Khi mà bài toán còn liên quan đến pha dao động thì chúng ta vẫn sẽ tìm số điểm dao động cực đại hay cực tiểu như bình thường sau đó sẽ giải quyết đến vấn đề cùng pha hay ngược pha, ở trên tôi đã trình bày cho các bạn về độ lệch pha của các điểm trên đoạn thẳng nối hai nguồn nên Hướng làm : tìm pha tại trung điểm , sau đó nếu cùng pha như yêu cầu đề bài thì ta sẽ lấy những cực đại ứng với k chẵn, còn nếu ngược pha thì ta sẽ lấy cực đại ứng với k lẻ Cách giải bài toán trên :

Số điểm dao động cực đại: −∆ 2 − 1 2 ≤ ≤ −∆ 2 + 1 2

-3,5 < k < 3

Có = − ( ) = -3,5

Vậy I ngược pha với nguồn 2 vậy ta sẽ lấy những k lẻ

Vậy k = -3, -1,1 có 3 điểm

Cách giải quyết chung:

1. Tìm số điểm dao động cực đại, hay cực tiểu, hay biên độ bất kì 2. Tìm pha tại trung điểm = 1 + 22 − ( 1 + 2) 3. So sánh độ lệch pha của nó với điểm nó cần cần cùng pha

+ nếu cùng pha lấy các cực đại k chẵn + nếu ngược pha lấy các cực đại k lẻ

Note: không dung được với 2 nguồn ngược pha, còn với lệch pha trên 1800 thì bước 3 ngược lại

Câu hỏi suy ngẫm : liệu rằng nếu hai nguồn khác biên độ ta còn làm vậy được không???

17

1. Lời giải cho kỳ trước

Câu 1: Ở VTCB lúc đầu, lò xo giãn ∆ =

=> biên độ = ∆ =

Khi vật ở vị trí thấp nhất, lò xo giãn 2 = . Khi vật giảm khối lượng, VTCB thay

đổi. Ở VTCB mới, lò xo giãn ∆ = => vật đang đứng yên tại vị trí cách VTCB mới này − = và bắt đầu dao động mới.

Biên độ dao động là =

Câu 2: Quãng đường mà vật chuyển động là 7cm. Cần tính khoảng thời gian vật di chuyển.

Do có lực ma sát, VTCB của vật bị dịch về phía lò xo giãn 1 đoạn ∆ = =0,0175 = 1,75 . = = 10√2 / . Lúc đầu vật đứng yên ở vị trí lò xo giãn 7cm, cách VTCB 7-1,75=5,25cm nên phương trình dao động là = 5,25 10√2 lúc đi qua vj trí là xo không giãn là −1,75 =5,25 10√2 → = 0,135 → = , =51,85 /

Câu 3: Lúc 2 vật chưa bị tách ra = =10 / , phương trình dao động = 4 cos(10 + ) = 0,04 cos(10 + ) → = −4cos (10 + ) /

Lực quán tính tác dụng lên là =− = −2cos (10 + ) , 2 vật tách nhau khi = 1 → cos(10 + ) = . Khi này, vị trí 2 vật là 2cm, vận tốc =−40 sin(10 + ) = 20√3 / . Sau khi tác ra, tiếp tục chuyển động thẳng đều với vận tốc 20√3 / , dao động mới với tần

số = = 10√2, = + =√10 . Tìm được phương trình dao động là = √10 cos 10√2 − 0,886 => lò xo dãn cực đại lần đầu, vật ở vị trí biên, t=0,0626s. Lúc này đã đi được20√3. 0,0626 = 2,168 . Khoảng cách 2 vật 2,168 − (√10 − 2) = 1,006 Câu 4: Điều kiện cực tiểu ( ) − = + , M gần I nhất → = 0; = + ; = − → − = → =

Đáp án: A

Câu 5: Biên độ 1 điểm trên AB là =10 cos ( ) + − = ±5√3

=>Hoặc: ( ) + = + → − = − = 12 − 1 → −29 ≤ 12 − 1 ≤29 → = −2;−1; 0; 1; 2) → có 5 điểm

Hoặc: ( ) + = − + → − = − = 12 − 5 → −29 ≤ 12 − 5 ≤29 → = −2;−1; 0; 1; 2) → có 5 điểm

Tổng cộng có 10 điểm

Đáp án: D

18

Câu 6: Từ đề bài suy ra AN chứa cuộn dây có điện trở tan = = 0,727 → =0,727

Ta có: = + + 2 cos = + − 1,1762 =( + ) − 3,1762 , để + max thì max, ta có:

= ( ) = → = → =

+ = 1,236 → = ( ) = 0,89=> đáp án C

Câu 7: = − = −30 → = + + = 50 + 60 − 30 = 80 => đáp án: B

2. Đề ra kì này

Câu 1: Đặt một điện áp xoay chiều u = U0cosωt (V) vào hai đầu một cuộn cảm thuần L. Gọi U là điện áp hiệu dụng ở hai đầu mạch; i, I0, I lần lượt là là giá trị tức thời, cực đại và hiệu dụng của cường độ dòng điện trong mạch. Hệ thức liên hệ nào sau đây là đúng?

A. 2 2

2 20 0

u i 1.U I

− = B. 0 0

U I 1.U I

+ =

C. 2 2

2 2u i 1.U I

+ =

D. 2 2

2 20 0

u i 1.U I

+ =

Câu 2: Đặt điện áp u = U0cos100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần 100 3Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đoạn mạch

MB chỉ có tụ điện có điện dung 410

2F

π

−

. Biết

điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM lệch pha

3π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch

AB. Giá trị của L bằng

A. 3 Hπ

B. 2 Hπ

C. 1 Hπ

D. 2 Hπ

Câu 3: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ tự A, B, C và D. Giữa hai điểm A và B chỉ có tụ điện, giữa hai điểm B và C chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm C và D chỉ có cuộn dây thuần cảm. Điện áp hiệu dụng hai điểm A và D là 100 3 V và cường độ hiệu dụng chạy qua mạch là 1A. Điện áp tức thời trên đoạn

AC và trên đoạn BD lệch pha nhau 3π nhưng

giá trị hiệu dụng thì bằng nhau. Dung kháng của tụ điện là

A. 40 Ω. B. 100 Ω.

C. 50 Ω. D. 200 Ω.

Câu 4: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, R là biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định

tcos2Uu ω= (V). Khi thay đổi giá trị của biến trở ta thấy có hai giá trị R = R1 = 45 Ω hoặc R = R2 = 80 Ω thì tiêu thụ cùng công suất P. Hệ số công suất của đoạn mạch điện ứng với hai trị của biến trở R1, R2 là

A. 5,0cos 1 =ϕ ; 0,1cos 2 =ϕ .

B. 5,0cos 1 =ϕ ; 8,0cos 2 =ϕ .

C. 8,0cos 1 =ϕ ; 6,0cos 2 =ϕ .

D. 6,0cos 1 =ϕ ; 8,0cos 2 =ϕ .

Câu 5: Một cuộn dây mắc nối tiếp với 1 tụ điện, rồi mắc vào hiệu điện thế xoay chiều giá trị hiệu dụng bằng U và tần số bằng 50Hz.

19

Dùng vôn kế đo được hiệu điện thế hiệu dụng trên cuộn dây bằng U 3 và trên tụ điện bằng 2U. Hệ số công suất của đoạn mạch đó bằng:

A 3 /2 B. 3 /4 C. 0,5 D. 2 /2

Câu 6: Cho mạch điện gồm một điện trở thuần R, một cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở r, tụ điện có điện dung có thể biến đổi được. Điều chỉnh điện dung C sao cho UC đạt giá trị cực đại. Giá trị của ZC lúc đó là:

A. ( )L

LC Z

ZrRZ22 ++

=

B. ( )( )2

22

rRZrRZ L

C+

++=

C. ( )2

22

L

LC Z

ZrRZ ++=

D. ZC = ZL

Câu 7: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. Trong đó R = 100Ω, L = 1/π(H), C = 2.10-4/π(F) Đoạn mạch được mắc vào hiệu điện thế xoay chiều có tần số f = 50(Hz). Mắc thêm C’ với C thì thấy hiệu điện thế trên bộ tụ điện đạt giá trị cực đại. Giá trị và cách mắc C’ là:

A. C’ = 10-4/15π (F) mắc nối tiếp với C. B. C’ = 10-4/15π (F) mắc song song với C.

C. C’ = 10-3/15π (F) mắc nối tiếp với C. D. C’ = 10-3/15π (F) mắc song song với C.

Câu 8: Cho một hộp đen X trong đó có chứa 2 trong 3 phần tử R, L, hoặc C mắc nối tếp. Mắc hộp đen nối tiếp với một cuộn dây thuần cảm có L0 = 318mH. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện một điện áp xoay chiều có biểu thức u = 200 2 cos(100 π t- π /3)(V) thì dòng điện chạy trong mạch có biểu thức i = 4 2cos(100π t- π /3)(A). Xác định phần tử trong hộp X và tính giá trị của các phần tử ?

A. R = 50 Ω ; C = 31,8µ F.

B. R = 100Ω ; L = 31,8Mh.

C. R = 50Ω ; L = 3,18µ H.

D. R = 50Ω ; C = 318µ F.

Câu 9: Một máy phát điện xoay chiều một pha sinh ra suất điện động có biểu thức:

754 os(120 )( )e c t Vπ= . Biết rôto quay với tốc độ 900 vòng/phút và mỗi cuộn dây của phần ứng có 50 vòng. Từ thông cực đại qua mỗi vòng dây là

A. 2,5 mWb. B. 7,5 mWb

C. 10 mWb. D. 5 mWb.

Câu 10: Một trạm phát điện xoay chiều có công suất không đổi, truyền điện đi xa với điện áp hai đầu dây tại nơi truyền đi là 200kV thì tổn hao điện năng là 30%. Nếu tăng điện áp truyền tải lên 500kV thì tổn hao điện năng là:

A. 7,5%. B. 2,4%.

C. 12%. D. 4,8%.

20

RÈN LUYỆN TƯ

DUY VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÓA

HỌC VÔ CƠ TRẦN VĂN HIỀN

Các em học sinh thân mến, mong muốn giải

thật nhanh và chính xác các bài toán hóa là

nguyện vọng chính đáng của các em trong các

kì thi, đặc biệt là đại học, cao đẳng. Tuy nhiên,

việc nhận dạng và tìm ra được một hướng giải

tối ưu là một việc tương đối khó nếu như các

em không được trang bị một tư duy sắc bén,

các phương pháp giải nhanh, và một kĩ năng

bấm máy tính điêu luyện Mặc dù các em có

trong tay đầy đủ các công cụ tác chiến nhưng

lúng túng trong việc nhận dạng đề thi, không

biết thuộc dạng nào, nên dung cách nào để kết

thúc đối phương,.v..v..Với bài viết ngắn này,

hy vọng phần nào giúp các em “ bỏ túi” cho

mình vài bí quyết nhỏ khi giải các bài tập hóa

học.

Hiện nay phải nói rằng, công cụ giải nhanh

hóa học có rất nhiều và các em cũng đã được

trang bị đầy đủ qua sách tham khảo hoặc các

khóa luyện thi..Và bài viết này không phải kê

thêm các phương pháp giải nhanh mà là giúp

các em nhận diện được bài toán, dùng cách

giải tối ưu thích hợp cho mỗi bài toán.

LỜI KHUYÊN KHI GIẢI TOÁN HÓA VÔ

CƠ:

1. Các bài toán vô cơ thì rất đa dạng, tùy

mỗi dạng bài mà ta cân nhắc dung cách nào

nhanh nhất, giải quyết dứt điểm. Để giải

nhanh các bài toán vô cơ, thường ta phải áp

dụng linh hoạt hầu hết các phương pháp giải

nhanh, trong đó cần chú ý bảo toàn electron,

bào toàn nguyên tố và bảo toàn khối lượng.

2. Khi giải toán vô cơ, hạn chế tối đa việc

viết các phương trình phản ứng, phương trình

phản ứng đã được đơn giản hóa bởi phương

pháp bảo toàn electron rồi.

3. Khi giải các bài toán đơn giản hay phức

tạp ta nên tóm tắt lại quá trình phản ứng, dựa

vào đó ta rất dễ dàng tìm được hướng đi đúng

đắn, chọn được cách giải phù hợp.

21

4. Cần vận dụng linh hoạt các phương pháp

giải nhanh, có như vậy bài toán mới trở nên

vô cùng đơn giản đến bất ngờ.

5. Các dạng toán về dung dịch kiềm thường

dùng bảo toàn điện tích và bảo toàn nguyên tố

bên cạnh phương pháp bảo toàn khối lượng.

6. Các bài tập về sắt thì chủ yếu quy đổi sẽ

rất nhanh.

7. Phương pháp bảo toàn electron có thể nói

là phương pháp xuyên suốt mọi bài toán vô

cơ.

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài toán 1(Khối B 2012): Cho 29 gam hỗn

hợp gồm Al, Cu và Ag tác dụng vừa đủ với

950 ml dung dịch HNO3 1,5M thu được

dung dịch chứa m gam muối và 5,6 lít hỗn

hợp khí X (đktc) gồm NO và N2O. Tỉ khối

của X so với H2 là 16,4. Giá trị của m là ?

A. 98,20 B. 97,20

C. 98,75 D. 91,00

Giải:

• Nhận diện đề:

Các dạng toán kim loại tác dụng với HNO3 ta

chú ý 2 thủ thuật cơ bản là bảo toàn electron

và bảo toàn nguyên tố.

Trong đề có xuất hiện các kim loại mạnh như

Zn, Al, kim loại kiềm, kiềm thổ thì chú ý rất

có khả năng tạo muối amoni.

• Tóm tắt đề:

29g

AgCuAl

+1,425 mol HNO3

→ Muối

343

2)3(3)3(

NONHAgNO

NOCuNOAl

+

05,0:202,0:

NNO

(mol)

Rất có khả năng tạo NH4+ do có mặt Al, đặt

số mol NH4NO3 là x

Bảo toàn N:

nNbđ = nNmuối + nNspk

⇔ 1,425= 0,2.3 + 0,05.8 + 8x+0,2 + 0,05.2 +

2x

Giải được : x = 0,0125 mol

Khối lượng muối : m = mcation + manion + mmuối

amoni = 29 +(0,2.3 + 0,0125.8 + 0,05.8).62 +

80.0,0125 = 98,2g

Đáp án: A

Bài toán 2(Khối A 2011): Nung m gam hỗn

hợp X gồm FeS và FeS2, trong một bình kín

chứa không khí ( gồm 20 % thể tích O2 và

80% thể tích N2) đến khi các phản ứng này

xảy ra hoàn toàn, thu được một chất rắn duy

nhất và hỗn hợp khí Y có thành phần thể tích:

84,8% N2, 14% SO2, còn lại là O2. Phần trăm

khối lượng của FeS trong hỗn hợp X là ?

A. 59,46% B. 19,64%

C. 42,31% D. 26,83%

Giải :


Ta thấy trước và sau phản ứng thì lượng N2

22

không thay đổi, và đề cho % về thể tích cũng

là % về số mol các chất. Vì thu được chất rắn

duy nhất nên đó là Fe2O3.

Các em lưu ý khi đề cho phần trăm hay tỉ lệ

về thể tích thì ta có quyền chọn giá trị V hay

số mol để đơn giản hóa bài toán.

Nếu không biết cách chọn giá trị thích hợp mà

đặt ẩn để giải thì bài toán trở nên vô cùng

phức tạp và tốn rất nhiều thời gian.


yFeSxFeS:2

: mol+n1 mol

%80:2%20:2

NO

→Fe2O3 : (x+y)/2 mol+ n2 mol

%2,1:2%14:2%8,84:2

OSON

Ở đây ta chỉ sử dụng một thủ thuật là bảo

toàn nguyên tố.

Để đơn giản ta chọn n2 = 1 mol , thì hỗn hợp

sau phản ứng có:

012,0:214,0:2

848,0:2

OSON

(mol)

Vì lượng N2 không đổi nên ta có: 0,8n1 =

0,848 ⇒ n1 = 1,06 mol.

Vậy số mol O2 tham gia phản ứng là: a =

0,2.1,06 – 0,012 = 0,2 mol.

Bảo toàn O phản ứng và S ta có hệ :

=+

=++

14,02

2.2,02.14,02

)(3

yx

yx

==

⇔06,002,0

yx

Vậy % FeS = 19,64%. Đáp án :B

Bài toán 3: Đốt cháy 12,9 gam hỗn hợp Al;

Mg trong không khí được hỗn hợp X nặng

16,9 gam gồm các oxit và kim loại dư. Cho X

phản ứng với dung dịch chứa HCl 1M và

H2SO4 0,5M (vừa đủ ) thu được 8,96 lít H2

(đktc) và dung dịch A. Khối lượng muối khan

thu được khi cô cạn dung dịch A là ?

A. 39,200g B. 42,600g

C. 67,175g D. 46,300g

Giải:


Bài tập thuộc dạng kim loại, oxít kim loại

tác dụng với acid không có tính oxi hóa, loại

bài tập này thường dừng bảo toàn khối lượng,

bảo toàn nguyên tố, điện tích để giải.

Khi đốt cháy kim loại ngoài không khí rồi

cho tác dụng với acíd hoặc khử bởi CO hay

H2 thì các em chú ý số mol O nguyên tử

trong oxit bằng với số mol H2O hoặc CO.


12,9g

MgAl

(mol) + O2 → 16,9g

hỗn hợp X

MgAlMgO

OAl 32

Sau đó: X + V lít

MSOHMHCl

5,0:421:

→ Dung dịch A

24

33)4(2

MgClMgSOAlCl

SOAl

+

4,0:2:2

HxOH

(mol)

Đề yêu cầu tính khối lượng muối thì ta cần

23

tìm khối lượng của Cl- và SO42-.

Rõ rang số mol H+ ban đầu chuyển hết về

trong H2O và H2

Số mol H2O bằng số mol O, nO = 16

9,129,16 −

= 0,25 mol, vậy nH2O = 0,25

Bảo toàn số mol H+:

nH+/acid = 2.nH2O + 2.nH2

⇔ 2V = 1,3, suy ra V = 0,65

Vậy khối lượng muối thu được:

m = mkim loại + manion = 12,9 + 0,65.35,5 +

0,65.0,5.96 = 67,175g

Đáp án: C

Các em đón đọc kì sau: RÈN LUYỆN TƯ

DUY VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÓA

HỌC HỮU CƠ !

24

I. Một số định nghĩa chung

1. Khái niệm

- Sự điện phân quá trình oxi hóa - khử xảy

ra ở bề mặt các điện cực khi có dòng điện một

chiều đi qua chất điện li nóng chảy hoặc dung

dịch các chất điện li ; bao gồm điện phân

nóng chảy và điện phân dung dịch chất điện li

trong nước ( điện phân dung dịch )

• Chú ý: trong điện phân có 2 loại điện

phân là điện phân dung dịch và điện phân

nóng chảy. Các em lưu ý không nên nhầm

giữa 2 loại điện phân này, vì điện phân nóng

chảy sử dụng chủ yếu để điện phân muối

clorua của kim loại kiềm, kiềm thổ và

Hidroxit, oxit của một số kim loại hoạt động

mạnh. Còn điện phân dung dịch thường điện

phân trong môi trường có dung môi và dung

môi thường là H2O.

2. Các nguyên tắc trong điện phân

• Quy tắc chung:

- Trong bình điện phân : Anot là cực dương

và Catot là cực âm

- Tại catot xẩy ra quá trình khử: Cation nào

có tính oxi hóa lớn nhất sẽ nhận electron của

nguồn điện trước.

- Tại anot xẩy ra quá trình oxi hóa: Anion

nào có tính khử lớn nhất sẽ nhường electron

cho nguồn điện trước.

- Tổng số electron chất khử nhường ở anot

bằng tổng số mol electron chất oxi hóa nhận ở

catot.

• Quy tắc khi điện phân dung dịch:

- Nếu ở Catot gồm các cation kim loại

kiềm, kiềm thổ hoặc Al3+.Thì dung môi nước

đóng vai trò chất oxi hóa, nhận e của nguồn

điện, còn các cation trên không bị điện phân

trong dung dịch với điện cực trơ.

- Nếu ở catot gồm các cation kim loại từ

Zn → Pb thì có hai quá trình xẩy ra:

Mn+ + ne → M (1)

2H2O + 2e à H2 + 2OH-(2)

Ở đây thì 2 quá trình này xảy ra đồng thời

CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN PHÂN

LÊ QUANG PHÁT

25

nhưng để dễ dàng trong việc tính toán thì ta

thường chấp nhận quá trình (1).

- Nếu ở catot gồm các cation kim loại sau

hidro: Cu2+, Ag+, Hg2+, Pt2+, Au3+ Thì chỉ duy

nhất quá trình (2) xẩy ra.

- Nếu ở anot gồm các anion âm phía trước

nhóm OH thì các anion đó sẽ nhường electron

cho nguồn điện trước theo thứ tự ưu tiên từ

S2- đến Cl-

- Nếu đến anot gồm các anion gốc axit

chứa oxi kể cả gốc florua thì các anion đó

không nhường e cho nguồn điện mà dung môi

nước đóng vai trò là chất khử theo quá trình.

2H2O - 4e à O2 + 4H+(3)

- Điện phân các dung dịch muối axit vô cơ

có chứa oxi kể cả muối florua của các cation

kim loại đứng trước Zn trong dãy điện hóa

với điện cực trơ thực chất là điện phân nước.

- Điện phân các dung dịch muối của các

axit vô cơ có chứa oxi kể cả muối florua với

các cation kim loại đứng sau Al trong dãy

điện hóa với điện cực trơ thì sẽ thu được kim

loại ở canot và khí O2 thoát ra ở anot đồng

thời trong dung dịch thu được có chứa axit

tương ứng.

- Điện phân dung dịch các axit vô cơ có

chứa oxi kể axit flohidric với điện cực trơ

thực chất là điện phân nước.

- Điện phân dung dịch các bazơ của kim

loại kiềm và kiềm thổ thực chất là điện phân

nước.

3. Định luật Faraday

Với: m: khối lượng chất thoát ra ở điện

cực( gam)

A: khối lượng mol chất tương ứng

I: cường độ dòng điện

n : số electron trao đổi, ne: tổng số mol e

nhường hoặc nhận

T: thời gian điện phân

F=96500: hằng số Faraday

• Chú ý: Định luật Faraday được áp dụng

để giải quyết hầu hết các bài tập về điện

phân.vì vậy mà các em phải nắm vững và

hiểu rõ bản chất của định luật.

II. Một số bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Điện phân 100 ml dung dịch CuSO4

dùng hai điện cực trơ và dòng điện 1 chiều

cường độ I = 1A đến khi ở catot bắt đầu có

bọt khí thoát ra thì dừng lại. Dung dịch sau

điện phân có pH =1. Biết hiệu suất phản ứng

điện phân là 100%. Tính thời gian điện phân

và nồng độ mol của dung dịch CuSO4.

- Phân tích bài toán: đây là bài toán điện

phân dung dịch 1 chất. ở đây bài toán chỉ cho

biết dung dịch sau điện phân có pH=1 ⇒

dung dịch sau điện phân chứa H+. H+ ở đây do

đâu mà ra, thì ở đây chính là do điện phân

dung dịch CuSO4 tạo thành. Bài này chỉ cần

áp dụng công thức Faraday là sẽ ra.

- Hướng dẫn giải: pH=1 ⇒ [H+] = 0,1 M

m = . ..

A I tn F

hay ne = .I t

F

26

⇒ n H+ = 0,01 mol

Các quá trình điện phân:

Catot : Cu2+ + 2e → Cu

0,005…….0,01

Anot: 2H2O → 4H+ + O2 + 4e

0,01 → 0,01

Theo CT Faraday thì: t= . ..

m n FA I

= . .en n FI

. Ta

có: n.ne = tổng số mol e trao đổi

⇒ t= .n FI

= 0,01.965001

= 965s

⇒ [CuSO4 ] = 0,0050,1

= 0,05 M

- Kết luận: với những bài đơn giản như thế

này chúng ta chỉ cần áp dụng công thức

Faraday và phương pháp bảo toàn mol e. ở

đây, trong công thức Faraday các em chỉ lưu ý

1 điều là: en∑ = n.ne với n: số mol chất

tạo ra ở điện cực và ne là số e trao đổi.

Ví dụ 2: Điện phân dung dịch chứa 0,02 mol

FeSO4 và 0,06 mol HCl với I = 1,34A trong

2h (điện cực trơ, màng ngăn). Bỏ qua sự hòa

tan của khí clo trong nước, coi hiệu suất điện

phân là 100%. Tính khối lượng kim loại

thoát ra ở catot và thể tích khí (đktc) thoát ra

ở anot?

- Phân tích bài toán: trước tiên nhìn vào

bài toán thấy đây là bài toán điện phân dung

dịch hỗn hợp. ở đây là điện phân hỗn hợp

FeSO4 và HCl. Chú ý rằng đây là điện phân

hỗn hợp nên không thể viết phương trình điện

phân từng chất mà phải là điện phân 2 chất

cùng lúc.

- Hướng dẫn giải:

Tổng số mol e trao đổi = .I tF

= 0,1 mol.

Quá trình điện phân:

Catot

Anot

Fe2+ 2e → Fe

2Cl- -2e → Cl2

0,02 0,04 0,02

0,06 0,06 0,03

Vì ở đây tổng số mol e trao đổi phải là 0,1 mà

ở 2 cực mới chỉ có tối đa là 0,06 mol e trao

đổi ở anot nên H2O phải điện phân ở cả 2 cực.

⇒ 2H2O à 4H+ + O2 + 4e

0,01 0,04

⇒ mFe = 0,02*56 = 1,12(g) và V khí =

0,04*22,4 = 0,896 mol

- Kết luận: các em lưu ý trong bài toán

điện phân dung dịch hh các chất thì phải chú

ý là tổng số mol e trao đổi ở 2 cực phải bằng

nhau và chú ý xem là tổng số mol e trao đổi

mà bài cho có bằng với theo pt không, nếu

không bằng thì H2O sẽ bị điện phân ở các cực

như bài trên.

VD3: Mắc nối tiếp 2 bình điện phân : bình (1)

chứa dung dịch MCl2 và bình (2) chứa dung

dịch AgNO3. Sau 3 phút 13 giây thì ở catôt

bình (1) thu được 1,6 gam kim loại còn ở

catôt bình (2) thu được 5,4 gam kim loại. Cả

hai bình đều không thấy khí ở catôt thoát ra.

27

Xác định kim loại M?

- Phân tích bài toán: đây là bài toán điện

phân dung dịch ở 2 bình điện phân khác nhau.

Khi mắc nối tiếp nhau thì cường độ dòng điện

ở 2 bình điện phân là như nhau. Ở đây bài cho

không có khí thoát ra ở catot nên chứng tỏ 1

điều rằng H2O chưa bị điện phân ở catot.


Ở bình 2: n Ag = 0,05 mol ⇒ I = .. .en n Ft

=

25A

⇒ Bình 1 : I = 25A.ta có: tổng số mol e = .I tF

= 0,05 mol ⇒ n MCl2 = 0,025mol

⇒ M M = 1,60,025

= 64 (Cu)

- Kết luận: khi gặp bài toán bình điện phân

mắc nối tiếp thì lưu ý rằng cường độ dòng

điện trong các bình là như nhau.

Ví dụ 4: Sau một thời gian điện phân 200 ml

dung dịch CuSO4 ( d = 1,25 g/ml) với điện

cực graphit (than chì) thấy khối lượng dung

dịch giảm 8 gam. Để làm kết tủa hết ion

Cu2+ còn lại trong dung dịch sau điện phân

cần dùng 100 ml dung dịch H2S 0,5 M. Nồng

độ phần trăm của dung dịch CuSO4 ban đầu?

- Phân tích bài toán: ở đây khối lượng

dung dịch giảm chính là khối lượng O2 và

Cu.


nH2S= 0,05 mol

Phương trình điện phân:

2CuSO4 + 2H2O → 2Cu + O2

+ 2H2SO4

x x

x/2

Cu2+ + S2- → CuS

0,05 0,05

⇒ 64x + 16x = 8 ⇒ x = 0,05 mol

⇒ Tổng số mol CuSO4 ban đầu = 0,1 mol ⇒

[CuSO4] = 0,10, 2

= 0,5 M

III. Kết luận chung

Trong các bài toán về điện phân thì các

em chú ý chủ yếu sử dụng phương pháp bảo

toàn mol e và áp dụng công thức Faraday đầy

đủ và công thức Faraday thu gọn để giải 1 bài

toán điện phân bất kỳ. các em nên lưu ý khí

nào thì H2O bị điện phân ở các điện cực,khi

nào không. Chú ý tới chất nào điện phân

trước, chất nào điện phân sau.Khi điện phân

hỗn hợp dung dịch 2 chất trở nên thì cần lưu ý

là xem có đồng điện phân 2 chất đó hay

không.

IV. Bài tập áp dụng

Câu 1: Điện phân dung dịch NaCl, dùng điện

cực trơ, có vách ngăn, thu được 200 ml dung

dịch có pH = 13. Nếu tiếp tục điện phân 200

ml dung dịch này cho đến hết khí Clo thoát ra

ở anot thì cần thời gian 386 giây, cường độ

dòng điện 2 A. Hiệu suất điện phân 100%.

Lượng muối ăn có trong dung dịch lúc đầu là

bao nhiêu gam?

28

A. 2,808 gam B. 1,638 gam

C. 1,17 gam D. 1,404 gam.

Câu 2: Đem điện phân 100 ml dung dịch

AgNO3 có nồng độ C (mol/l), dùng điện cực

trơ. Sau một thời gian điện phân, thấy có kim

loại bám vào catot, ở catot không thấy xuất

hiện bọt khí, ở anot thấy xuất hiện bọt khí và

thu được 100 ml dung dịch có pH = 1. Đem

cô cạn dung dịch này, sau đó đem nung nóng

chất rắn thu được cho đến khối lượng không

đổi thì thu được 2,16 gam một kim loại. Coi

sự điện phân và các quá trình khác xảy ra với

hiệu suất 100%. Trị số của C là:

A. 0,3M B. 0,2M

C. 0,1M D. 0,4M

Câu 3: Điện phân dung dịch muối nitrat của

kim loại M, dùng điện cực trơ, cường độ dòng

điện 2 A. Sau thời gian điện phân 4 giờ 1 phút

15 giây, không thấy khí tạo ở catot. Khối

lượng catot tăng 9,75 gam. Sự điện phân có

hiệu suất 100%, ion kim loại bị khử tạo thành

kim loại bám hết vào catot. M là kim loại nào?

A. Zn B. Fe

C. Al D. Cu

29

LIÊN KẾT HYDRO VÀ ỨNG

DỤNG TRẦN VĂN HIỀN

Đại cương:

Liên kết hidro là một loại liên kết rất yếu

được hình thành bởi lực hút tĩnh điện giữa

hidro (đã liên kết trong một phân tử) với một

nguyên tử có độ âm điện lớn , có kích thước

bé ( N, O, F…) ở một phân tử khác hoặc cùng

một phân tử.

Liên kết hidro được biểu diễn bằng dấu ba

chấm (…). Liên kết hidro có thể hình thành

giữa các phân tử hoặc cùng nội bộ một phân

tử. Năng lượng của liên kết hidro bé (20-25

kJ/mol) nhưng ảnh hưởng rất lớn tới độ tan

cũng như nhiệt độ sôi, tính acid của các hợp

chất hữu cơ.

Mô hình chung của liên kết hidro:

X δ- ← Hδ+ ∙ ∙ ∙ Yδ-

(1) (2)

(1): Liên kết cộng hóa trị phân cực

(2): Liên kết hidro

Điều kiện: X là những nguyên tố có độ âm

điện lớn ( N, F, O…), Y còn cặp electron chưa

chia.

Liên kết X-H càng phân cực thì liên kết

hidro càng bền vững.

Có 2 loại liên kết hidro:

1.Liên kết hidro nội phân tử: Là liên

kết hidro được hình thành giữa hai nhóm

nguyên tử trong cùng một phân tử, dẫn tới

vòng khép kín(phức càng cua, phức chelat).

Ví dụ:

2. Liên kết hidro liên phân tử( ngoại

phân tử): Là liên kết hidro được hình thành

giữa các phân tử riêng rẽ (giống nhau hoặc

khác nhau).

Ví dụ:

30

(1) : Liên kết hidro nội phân tử.

(2) , (3) và (4): Liên kết hidro liên phân tử.

Hệ quả của liên kết hidro:

+ Liên kết hidro làm tăng mạnh nhiệt độ

sôi và nhiệt độ nóng chảy so với chất có phân

tử khối tương đương mà không có liên kết

hidro hoặc có liên kết hidro nội phân tử.

Ví dụ: CH3-CH2-OH có nhiệt độ sôi cao

hơn CH3-O-CH3 do etanol tạo được liên kết

hidro ngoại phân tử.

+ Sự hình thành liên kết hidro giữa chất

tan và dung môi làm tăng mạnh độ tan trong

dung môi đó. Nhóm chức có khả năng tạo

liên kết hidro với dung môi thì độ tan càng

lớn và ngược lại gốc hidrocacbon càng lớn

độ tan càng nhỏ.

Ví dụ: Độ tan của C2H5OH ở 250C là vô

hạn thì của C4H7OH chỉ là 7,4g/100 ml nước.

Độ tan của C4H7OH thấp hơn do ảnh hưởng

bởi gốc hidrocacbon.

Ứng dụng liên kết hidro trong so sánh

nhiệt độ sôi:

Nhiệt độ sôi của một chất là nhiệt độ mà

tại đó áp suất hơi của chất lỏng bằng áp suất

khí quyển trên bề mặt chất lỏng. Nhiệt độ sôi

phụ thuộc vào các yếu tố (xét ở phổ thông) :

1) Khối lượng phân tử chất khí: Khối lượng

phân tử càng lớn càng khó bay hơi, nhiệt độ

sôi càng cao.

2) Liên kết hidro giữa các phân tử: Liên kết

hidro càng bền thì nhiệt độ sôi càng cao.

3) Diện tích bề mặt: Phân tử có cấu tạo càng

phân nhánh thì diện tích bề mặt càng giảm

dẫn đến nhiệt độ sôi càng giảm.

Một số điểm cần lưu ý khi so sánh nhiệt độ

sôi:

• Những hợp chất không có liên kết hidro

như: Hidrocacbon, dẫn xuất halogen,

xeton,…thì nhiệt độ sôi tăng theo khối lượng

phân tử.

• Hợp chất hữu cơ có liên kết ion như muối

amoni, muối của amin với acid,…tan tốt hơn

nhiều so với hợp chất không có liên kết ion.

• Trong cùng một dãy chất thì chất nào có

cấu tạo càng phân nhánh thì có nhiệt độ sôi

càng thấp.

• Tât cả đều có liên kết hidro như: ancol,

acid, phenol,…thì nhiệt độ sôi tăng theo độ

bền liên kết hidro (tỉ lệ với khối lượng phân

tử): Độ bền liên kết hidro tăng theo dãy:

R-OH < C6H5-OH < R-COOH.

• Những hợp chất có liên kết hidro nội

phân tử có nhiệt độ sôi thấp hơn chất có liên

kết hidro ngoại phân tử.

• Đồng phân cis có nhiệt độ sôi cao hơn

đồng phan trans.

31

BÀI TẬP CỦNG CỐ, ÁP DỤNG:

Bài 1: So sánh nhiệt độ sôi của :

a) Pentan, hecxan, heptan,octan.

b) CH3CH2CH2-COOH (1) và

CH3CH(CH2)-COOH (2).

c) 3 đồng phân benzendiol C6H4(OH)2

d) C2H6, CH3NH2 và CH3OH.

e) butan-1-ol, pentan-1-ol, hexan-1-ol.

Hướng dẫn:

a) Vì các chất này không có liên kết hidro

nên nhiệt độ sôi tăng theo khối lượng phân tử.

Vậy nhiệt độ sôi tăng dần từ pentan tới octan.

b) Cả hai chất có cùng công thức phân tử và

đều có liên kết hidro nên ta xét tới độ phân

nhánh. Chất (2) có sự phân nhánh, diện tích

bề mặt giảm nên nhiệt độ sôi giảm theo. Vậy

chất (2) có nhiệt độ sôi thấp hơn chất (1).

c) Các đồng phân có cùng công thức phân

tử và đều có liên kết hidro nên ta xét nhiệt độ

sôi dựa vào độ bền liên kết hidro. Ta có thứ tự

nhiệt độ sôi: Đồng phân ortho- < meta- < para

Đồng phân ortho- có liên kết hidro nội phân

tử nên có nhiệt độ sôi nhỏ nhất.

Đồng phân meta- và para- chỉ có liên kết

hidro liên phân tử , nhưng liên kết của đồng

phân para- đòng đều hơn meta- nên có nhiệt

độ sôi cao hơn.

d). Nhiệt độ sôi tăng theo thứ tự: C2H6 <

CH3NH2 < CH3OH.

C2H6 không có liên kết hidro nên nhiệt độ sôi

thấp nhất. Metylamin và methanol đều có liên

kết hidro, tuy nhiên độ âm điện của O lớn hơn

N nên liên kết hidro ở methanol bền hơn

nhiều nên có nhiệt độ sôi cao nhất.

e) Nhiệt độ sôi tăng dần từ butan-1-ol tới

hexan-1-ol do khối lượng phân tử tăng (Đều

có liên kết hidro).

Bài 2: So sánh độ tan trong nước các chất

trong mỗi dãy sau:

a) C3H8 (1); CH3NH2 (2); CH3COOH (3)

b) CH3NH3NO3 (1), C2H4Cl (2), CH3OH (3)

Hướng dẫn:

a) (3) > (2) > (1) . Do (3) và (2) đề có liên

kết hidro với nước, nhưng liên kết hidro của

chất (3) với nước mạnh hơn nên tan tốt hơn.

Chất (1) không có liên kết hidro với nước nê

hầu như không tan trong nước.

b) (1) > (3) > (2). Chất 1 là hợp chất ion nên

tan tốt nhất, chất 3 có liên kết hidro với nước,

chất 2 không có nên hầu như không tan trong

nước.

32

Phần I: Trắc nghiệm - Trần Trung Thành

Câu 1: Chất hữu cơ X mạch hở có công thức

C4H11O2N. X có tính lưỡng tính. Cho X tác

dụng với dung dịch NaOH đun nóng thu được

chất hữu cơ Y. Y làm quỳ tím ẩm chuyển xanh.

X có bao nhiêu CTCT?

A. 5 B. 6 C.7 D. 8

Câu 2: Hòa tan hết 1 lượng bột Cr vào dung

dịch HCl đun nóng (không có oxi) thu được

dung dịch X và 4,48l H2 (đktc). Cho AgNO3

vào dung dịch X thu được kết tủa có khối

lượng là:

A. 68,0 gam B. 57,4 gam C. 42,6 gam

D. 79 gam

Câu 3: Hỗn hợp X gồm 2 hidrocacbon mạch

hở. Cho 3,36 lít hỗn hợp X (đktc) vào bình

đựng dung dịch Br2 dư không thấy khí thoát

ra khỏi bình khối lượng Brom phản ứng là 40

gam. Đốt cháy hoàn toàn 3,36 lít hỗn hợp X

(đktc) thu được 15,4 gam CO2. Vậy hỗn hợp

X gồm:

A. C2H2 và C4H8 B. C2H4 và C3H4

C. C2H4 và C4H6 D. C2H2 và C3H6

Câu 4: Nhỏ từ từ dung dịch chứa 0,1 mol

Na2CO3 và 0,2 mol KHCO3 vào 100 ml dung

dịch H2SO4 1M thấy thoát khí CO2 và thu

được dung dịch X. Cho dung dịch Ba(OH)2

du vào dung dịch X thu được kết tủa có khối

lượng là:

A. 29,55 gam B. 43,00 gam C. 26,72

gam D. 52,85 gam

Câu 5: Cho 5,4 gam Al vào dung dịch X chưa

0,15mol HCl và 0,3 mol CuSO4. Sau 1 thời

gian thu được 1,68l H2 (đktc), dung dịch Y và

chất rắt Z. Cho toàn bộ dung dịch Y tác dụng

với HNO3 dư thì sinh ra 7,8 gam kết tủa. Tính

khối lượng Z

A. 15 gam B. 7,05 gam C. 9,6 gam

D. 7,5 gam

Phần II: Tự luận – Trần Văn Tánh

Câu 1: Một hỗn hợp A gồm M2CO3, MHCO3,

MCl (M là kim loại kiềm). Cho 43,71 gam A

tác dụng hết với V ml dung dịch HCl 10,52%

(d=1,05) thu được dung dịch B và 17,6 gam

khí C. Chia B làm 2 phần bằng nhau

Phần 1: Phản ứng vừa đủ với 125 ml dung

dịch KOH 0,8M, cô cạn dung dịch thu được

m (gam muối khan).

Phần 2: Tác dụng hoàn toàn với dung dịch

AgNO3 dư, thu được 68,88 gam kết tủa trắng.

Tìm khối lượng nguyên tử M, xác đính các

giá trị m và V.

33

Câu 2: Nung 72,6 gam muối khan A trong

không khí ở nhiệt độ cao đến khối lượng

không đổi thu được chất rắn B và 48,6 gam

hỗn hợp khí Z. Dẫn toàn bộ Z vào dung dịch

KOH 0,5 (l) 2,4M (d=1,2g/ml) thu được dung

dịch C trong đó chỉ có 1 muối và một bazơ có

cùng nồng độ mol; trong đó C% muối là

9,3432%. Cho từ từ tới dư Zn vào dung dịch

C thu được V (lít) khí T. Tìm công thức muối

và tính thể tích khí T.

Câu 3: A là chất bột màu lục không tan trong

axit và kiềm loãng. Khi nấu chảy A có mặt

không khí thu được chất B có màu vàng, dễ

tan trong nước. Chất B tác dụng với axit

sunfuric chuyển thành chất C có màu da cam,

đồng thời chất B tác dụng với BaCl2 thu được

kết tủa D màu vàng. Chất C bị lưu huỳnh khử

thành chất A và có thể oxi hóa axit clohiđric

thành khí clo. Viết các phương trình phản ứng

xãy ra.

Câu 4: Hòa tan 4,8 gam kim loại M bằng

dung dịch HNO3 đặc nóng dư, hay hòa tan 2,4

gam muối sunfua kim loại này cũng trong

dung dịch HNO3 đặc nóng, thì đều cùng sinh

ra khí NO2 duy nhất có thể tích bằng nhau

trong cùng điều kiện. Xác định kim loại M,

công thức phân tử muối sunfua. Hấp thụ khí

sinh ra ở cả hai phản ứng trên vào 300ml

dung dịch NaOH 1M, rồi thêm vào đó một ít

phenolphtalein. Hỏi dung dịch thu được có

màu gì? Tại sao?

Câu 5: Hỗn hợp gồm 2 chất hữu cơ A và B là

đồng phân của nhau. X tác dụng hết với 115

gam dung dịch NaOH 20% thu được một

muối của axit hữu cơ đơn chức và 11,04 gam

một ancol. Cô cạn dung dịch sau phản ứng

thu được hỗn hợp rắn khan Y. Trộn Y với CaO

rồi nung ở nhiệt độ cao thu được 9,66 gam khí

Z. Dẫn hơi ancol thu được qua CuO nung

nóng thu được 7,2 gam hỗn hợp gồm ancol dư,

H2O và andehyt. Biết A có nhiệt độ nóng chảy

cao hơn B. Tìm CTCT của A và B.

34

Câu hỏi: Than hoạt tính và nó làm việc

như thế nào? – Bùi Văn Dương

Trả lời: Than hoạt tính được sử dụng trong

các bộ lọc nước, thuốc, có khả năng loại bỏ

độc tố và một số chất hóa học. Than hoạt tính

là carbon đã được oxi hóa bằng oxi ở 200oC.

Việc oxi hóa ở 200oC làm than không cháy,

cấu trúc than không bị phá vỡ làm than có độ

xốp cao. Những lỗ nhỏ trên bên trong than củi

chiếm một diện tích lên tới 300-2,000 m 2 / g,

cho phép cho phép chất lỏng và chất khí đi

qua và tiếp xúc với các bon. Cacbon hấp thụ

các tạp chất, chất gây ô nhiễm như Cl2, SO2,

mùi và sắc tố. Các chất khác như natri, florua,

và nitrat, ko bị hấp thụ bởi cácbon. Bởi vì hấp

thụ các tạp chất nên các khoảng không trong

than hoạt tính bị lấp đầy làm than dần mất khả

năng hấp thụ. Vì vậy than hoạt tính trở lên ít

hiệu quả hơn khi sử dụng lại.

Một số yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả than

hoạt tính: Kích thước bề mặt hấp thụ tùy

thuộc vào nguồn gốc của cacbon và quá trình

sản xuất.Các phân tử hữu cơ dễ dàng được

hấp thụ hơn lý do này cũng dễ hiểu. Sự hấp

thụ có xu hướng tăng khi tăng nhiệt độ và pH.

Các chất độc chất gây ô nhiễm được hấp thụ

hiệu quả hơn khi cho tiếp xúc với than hoạt

tính trong thời gian dài, nguyên nhân là khi

tiếp xúc càng nhiều độ hấp thụ của từng lớp

than hoạt tính sẽ giảm. Đồng thời tốc độ dòng

chảy các chất khi đi qua than hoạt tính cũng

ảnh hưởng đến khả năng hấp thụ.

Vitamin có thể làm tổn thương sức khỏe

của bạn? - Bùi Văn Dương

MSN gần đây đã đưa ra một công thức về

ConsumerLab.com 's để điều tra độ tinh khiết

của vitamin tổng hợp. Sau khi khảo sát 21

thương hiệu của vitamin tổng hợp được bán

tại Mỹ và Canada và nhận thấy chỉ có 10

trong số những thương hiệu này đã không đáp

ứng đủ tiêu chuẩn về chất lượng. Điều đó có

nghĩa là bạn có thể gặp nguy cơ thiếu an toàn

khi sử dụng vitamin. Các nhãn hiệu trên có

thể gần đạt tiêu chuẩn hoặc có một số lỗi nhỏ.

Tuy nhiên, vấn đề chất lượng có thực sự ảnh

hưởng đến sức khỏe của bạn.

Multivitamins Vitamin Shoppe loại vitamin

đặc biệt dành cho phụ nữ đã phát hiện bị

nhiễm chì. Bây giờ, chúng ta cùng xem xét

vấn đề này. Việc bổ sung canxi vào một số

loại vitamin có thể gây nguy cơ nhiễm chì, vì

chì và canxi tham gia vào nhiều phản ứng hóa

học và rất khó có thể tách ra. Vì vậy sẽ có thể

35

có 1 lượng nhỏ chì nhiễm vào Vitamin. Tuy

nhiên, ConsumerLab.com báo cáo một liều

hàng ngày mulitvitamin này chứa một 15,3

microgram whopping dẫn (hơn mười lần liều

lượng được phép theo một báo cáo ở

California). Mặc dù bạn có thể mua những

liều vitamin có hàm lượng Canxi cao nhưng

cơ thể bạn chỉ có thể hấp thụ giới hạn lượng

Canxi trong 1 liều vitamin.

Mỗi loại vitamin đều có những rủi ro khác

nhau. Nutritionals Hero Yummi Bears

(NHYB), một đa vitamin dành cho trẻ em,

chứa 216% liều lượng được dán trên nhãn

vitamin A trong các hình thức retinol [5400

Quốc tế Các đơn vị (IU)], cao đáng kể so với

các giới hạn trên thiết lập bởi các Viện Y khoa

của 2.000 IU cho trẻ em trong độ tuổi từ 1

đến 3 và 3.000 IU cho trẻ em độ tuổi từ 4 đến

8. Vitamin A là một trong những vitamin có

lợi nhưng không hoàn toàn tốt. Thay vào đó,

quá nhiều vitamin A có thể làm suy yếu

xương và gây tổn thương gan.

Liệc có thể kiểm soát được chất lượng

Vitamin không? Câu trả lời là có, nhưng tôi sẽ

rất ngạc nhiên nếu các phòng thí nghiệm đã

tìm thấy các vitamin đáp ứng yêu cầu của

mình đã nêu. Tại sao? Có hai lý do. Trước

tiên, các vitamin không được quy định bởi các

tiêu chuẩn tương tự như y học. Họ được coi là

'bổ sung' và không 'thuốc'. Cách tốt nhất để

đảm bảo cho bạn là mua một sản phẩm từ

nguồn có uy tín được chính phú công nhận và

có thương hiệu lớn. Một lý do khác tôi không

mong chờ đó là vitamin có chứa chính xác

những gì được ghi trên nhãn sản phẩm hay

không. Vitamin, bản chất là các hợp chất hóa

học. Hàm lượng được liệt kê trong một sản

phẩm sẽ thay đổi trong suốt thời hạn sử dụng

của nó. Do đó tốt hơn hết là bạn không nên sử

dụng vitamin đã quá hạn.

Bạn nên dùng vitamin tổng hợp? Hãy tự hỏi

liệu những lợi ích vượt quá nguy cơ. Nếu bạn

đang dùng thuốc bổ đa sinh tố có thương hiệu,

bạn có thể nhận được một phần những gì

được liệt kê trên nhãn. Thậm chí sau đó, có

thể có một số thay đổi trong sản phẩm và mức

độ ô nhiễm kim loại nặng với các sản phẩm

chứa khoáng chất. Các vitamin nói chung là

an toàn, nhưng bản thân bạn không thể kiểm

định được hàm lượng cúng như chất lượng

vitamin bạn đang dùng.

36

CON ĐƯỜNG ĐẠI HỌC Số 2(08/01/2013)

Trường học số Số nhà 60 Ngõ 105

Láng Hạ, Đống Đa, Hà Nội

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1 Nguyễn Thanh Trà Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 5 Hà Thành Trung Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức PHÂN TÍCH BÀI TOÁN 8 Trần Thị Thùy Linh Ý tưởng nghiệm duy nhât của phương trình ______________________________________

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HAY 12 Nguyễn Thị Hải - Bùi Văn Đạt Dao động sóng cơ CÙNG SUY NGẪM 16 THỬ SỨC 18 _______________________________________

KỸ NĂNG GIẢI HÓA 21 Trần Văn Hiền Rèn luyện tư duy và kỹ năng giải toán hóa học vô cơ CHIA SẺ PHƯƠNG PHÁP 25 Lê Quang Phát Chuyên đề điện phân KỸ NĂNG GIẢI HÓA 30 Trần Văn Hiền Liên kết hydro và ứng dụng TRANH TÀI 33 HÓA HỌC KÌ THÚ 35

Nhà xuất bản trường học số Ngày phát hành 08/01/2013 Email: [email protected] Điện thoại: 0466558890

TẠP CHÍ

CON ĐƯỜNG ĐẠI HỌC

_______________

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN

NGUYỄN THANH TRÀ, LÊ QUANG PHÁT, NGUYỄN THỊ

HẢI

CỘNG TÁC VIÊN

NGUYỄN THANH TRÀ, TRẦN THỊ THÙY LINH,

HOÀNG MINH THI, GIANG MẠNH DOANH, BÙI VĂN

DƯƠNG, LÊ QUANG PHÁT, TRẦN VĂN HIỀN, TRẦN QUANG MINH, TRẦN

TRUNG THÀNH, NGUYỄN THỊ HẢI, PHAN THỊ HÒA, VŨ VĂN HIỆU, TRẦN VĂN

TÁNH

37

mailto:[email protected]

Tạp chí con đường đại học số 2 [ trường học số ]

Education

Transcript of Tạp chí con đường đại học số 2 [ trường học số ]