TANGGAPAN FREKUENSI - Gunadarma

Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali

_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65

TANGGAPAN FREKUENSI

Ì Analisis Tanggapan Frekuensi

Ì Penggambaran Bode Plot

Ì Polar Plot / Nyquist Plot

Ì Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols

Plot

Ì Kriteria Kestabilan Nyquist

Ì Beberapa Contoh Analisis Kestabilan

Ì Pembahasan Lanjut (Optional)

Ì Analisis Kestabilan Relatif/Transient



♦ ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI

− Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatusistem terhadap input sinusoida.

− Metoda konvensional dilakukan dengan mengubahfrekuensi input dalam cakupan yang diinginkan danmengamati tanggapannya.

Ada Beberapa Teknik Analisis :

1. Polar Plot / Nyquist :• Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem

loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensiloop terbukanya.

• Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapanfrekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

2. Digram Bode:• Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui

diagram Bode.• Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat

dilakukan lebih mudah.

3. Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols:• Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(jz) hanya

menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubahbentuknya.

• Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat denganmudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudahdilakukan



Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu

• Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulumencari akar-akar persamaan karakteristik.

• Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dandapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinusdan peralatan pengukuran yang diteliti.

• Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapatditentukan secara eksperimen melalui pengujiantanggapan frekuensi.

• Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan padasistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsirasional, seperti fungsi dengan transport lags.

• Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepatdapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi.

• Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatantanggapan frekuensi sehingga derau yang takdiinginkan dapat dihilangkan.

• Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkanpada sistem kendali non linear tertentu.

• Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui,tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensidengan tanggapan waktu alih.



Tanggapan terhadap Input Sinus

• Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapatdiperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya :

( ) ( )( )G s G j→ ω

• Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut :

Output :

( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 ω

ω+

==s

x

sq

spsxsGsY L

Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka

( )n

n

ss

b

ss

b

ss

b

js

a

js

asY

+++

++

++

−+

+= L

2

2

1

1*

ωωatau

( )y t a e j t a e j t b e s t b e s t bne snt t= − + + − + − + + − ≥ω ω*1 1 2 2 0L

Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh

( ) tjtjss eaeaty ωω *+= −

(hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yangsama) dengan :

( ) ( ) ( )

( )j

jxGa

jjxG

jsjs

sx

sGa

2

2

*

22

ω

ωω

ωω

ω

=

−−=

−=+

+=

( )( )( )

( )( )( ) ( )G s

p s

q s

p s

s s s s s sn= =

+ + +1 2 L



Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :

( ) ( ) ( )G j G j e j G jω ω φ ω φ= = ∠

( )G jω = magnitude G(jω)( )φ ω= ∠ =G j pergeseran fasa antara input sinus dengan

output sinus = ( )[ ]( )[ ]tan−

1 Im G j

Re G j

ω

ω

ω = frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi kerjanya.

Untuk ( ) ( ) ( )G j G j e j G je j− = − − = −ω ω φ ω φ

Sehingga :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

yss t x G je j t e j t

j

x G j t

y t

=+ − − +

= +

= +

ωω φ ω φ

ω ω φ

ω φ

2

sin

sin



Kesimpulan :

1. Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus,maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi samadengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkinberbeda.

2. Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui

( ) ( )( )G j

y j

x jω

ωω

=

sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti jωmenjadi s pada G(jω).

( ) ( )( )G j

y j

x jω

ωω

= : magnitude fungsi alih

merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap inputsinus.

( ) ( )( )∠ = ∠G j

y j

x jω

ωω

; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran

phasa output sinus terhadap inputnya.



Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero

Anggap :

( )( )

G sk s z

s s p=

++( )

dengan tanggapan frekuensi

( ) ( )( )G j

k j z

j j pω

ωω ω

=+

+

Magnitude :

( )

( )

21

11 tan90tan

θθφ

ωωωωωω

ωωω

ω

−−=

−−=

+∠−∠−+∠=∠

⋅=

+

+=

−−

pz

pjjzjjG

BPOP

APk

pjj

zjkjG

o



Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p1 dan p2 :

))(()(

21 pspsK

sG++

=

Magnitude : ( )G jk

j p j p

k

AP BPω

ω ω=

+ +=

1 2

Sudut fasa : ( )21

θθω −=∠ jGUntuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbumaya :

( )G jω = besar sekali

Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudobesar sekali.

Sebaliknya bila tanggapan frekuensi tak memiliki simpanganyang besar, berarti sistem tak memiliki pole kompleks sekawanyang dekat dengan sumbu maya.



♦ PENGGAMBARAN BODE PLOT

• Diagram Bode terdiri dari1. Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log ( )G jω

terhadap frekuensi dengan skala logaritmis2. Kurva sudut fasa fungsi alih sinus ( )∠G jω terhadap

frekuensi dengan skala logaritmis.

• Keuntungan menggunakan kurva logaritma :∗ Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan∗ Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat

dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan asimtot-asimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya.

∗ Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapatdilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensitersedia seperti pada Diagram Bode.

∗ Karakteristik frekuensi rendah dan tinggi dari fungsialih terekam dalam satu diagram. Memperluas cakupanfrekuensi rendah memungkinkan analisis pada



frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalamsistem-sistem sebenarnya.

• Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi ( ) ( )G j H jω ω

1. Penguatan k

2. Faktor-faktor Integral dan turunan ( )jω +1

3. Faktor-faktor orde-1 ( )1 1+ +j Tω

4. Faktor-faktor kuadratis 1 22 1

+

+

+ζ ω

ωω

ωj

nj

n



� Penguatan k

( ) ( )G j H j kω ω =Magnitude ( ) ( )G j H j k dbω ω = 20log

Sudut fasa ( )∠ =G jω 0

0,1 1 10 100

ω

20 log

db

0,1 1 10 100

ω

0

φ



��Faktor-faktor Integral dan Turunan1

jatau j

ωω

Untuk : ( ) ( )G j H jj

ω ωω

=1

Magnitude ( ) ( ) dbj

jHjG ωω

ωω log201

log20 −==

Sudut fasa ( ) ( )∠ = −G j H j oω ω 90

Untuk : ( ) ( )G j H j jω ω ω= , diperolehMagnitude : 20 log ω dbSudut fasa : 90o

Catatan:

Bila nj

jHjG)(

1)()(

ωωω = , maka

Magnitude : -20 n Log z db; Sudut fasa : -900x n



� Faktor-faktor orde-1 : 1

11

++

j T

atau j Tω

ω

Untuk ( ) ( )G j H jj T

ω ωω

=+

1

1

Magnitude : 201

120 1 2 2log log

+= − +

j TT db

ωω

Sudut fasa : φ ω= − −tan 1 T

• Pada frekuensi rendah : ω ⟨⟨1

T , maka

Magnitude ~ log− =20 1 0 db (asimtot pertama)Sudut fasa ~0o

• Pada frekuensi tinggi : ω ⟩⟩1

T, maka

Magnitude ~ log log− = −20 2 2 20ω ωT T (asimtot kedua)Sudut fasa ~90o

• Pada frekuensi sudut ω =1

T

Sudut fasa φ = − − = −tan 1 45TT

o



Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot

Pada ω =1

T

galat = − + + = −20 1 1 20 1 3 03log log , db

Pada ω =1

2T(1 octave dibawah frekuensi sudut)

galat = − + + = −201

41 20 1 0 97log log , db

Pada ω =2

T(1 octave diatas frekuensi sudut)

galat = − + + = −20 22 1 20 2 0 97log log , db

dst.



Untuk ( ) ( )G j H j j Tω ω ω= +1

dengan mengingat faktor reciprocal :

20 201

1log log+ = −

+j T

j Tω

ωdan

∠ + = − = −∠+

1 1 1

1j T T

j Tω ω

ωtan

Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan

kurva 1

1+ j Tω terhadap sumbu frekuensi pada titik 0.



•• Faktor-Faktor Kuadratik

Untuk ( ) ( )G j H j

jn

jn

ω ω

ζω

ωω

ω

=

+

+

1

1 22

Bila ζ ⟩ 1 , maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecahmenjadi 2 faktor orde-1.

Untuk 0 1⟨ ⟨ζ :

Magnitude :

201

1 22 20 1

2

2

2

22

log log

+

+

= − −

+

ζωω

ωω

ω

ωζ

ωω

jn

jn

n n

Sudut fasa :

φζ

ωω

ωω

= − −

−

tan 12

12

n

n

Pada frekuensi rendah : ω ω⟨⟨ n:

Magnitude : − =20 1 0log db

Sudut fasa : φ ~ tan− − =10 0o (asimtot 1)

Pada frekuensi tinggi : ω ω⟩⟩ n

Magnitude : − = −202

2 40log logω

ω

ωωn n

db (asimtot 2)

Sudut fasa : φ ~ − 180o

Pada frekuensi sudut ω ω= n:

Mangitude : − 20 2log ζ



Sudut fasa : θζ

= − −

= −tan 1 2

090o



Untuk ( ) ( )G j H j jn

jn

ω ω ζω

ωω

ω= +

+

1 2

2,

diagram Bodenya dapat diperoleh dengan membalik tanda padamagnitude dan sudut fasa dari faktor sebelumnya.



Frekuensi Resonansi ωr dan Simpangan PuncakResonansi Mr

Perhatikan lagi :

( )G j

n n

ω

ω

ωζ

ωω

=

−

+

1

12

2

2

22

Nilai maksimum terjadi bila :

( )gn n

ωω

ωζ

ωω

= −

+

1

2

2

2

22

minimum

atau

( )( ) ( )g

n

nω

ω ω ζ

ωζ ζ=

− −

+ −2 2 1 2 2

2

2

4 2 1 2

( )g ω =minimum bila ω ω ζ= −n 1 2 2

Sehingga : frekuensi resonansi

( )ω ω ζ ζr n= − ≤ ≤1 2 2 0 0 707,



Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada responstransient :

ω ω ζd n= −1 2



Simpangan Puncak Resonansi :

( ) (( )Mr G j G j rω ωζ ζmax

= =−

1

2 1 2

Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi :

φζ

ωω

ωω

r

rn

rn

= − −

−

tan 12

12

dengan ω ω ζr n= −1 2 2 , diperoleh

φζ

ζζ

ζr

o= − − −= − + −

−tan sin1 1 2 2

90 1

1 2



Tahapan Membuat Diagram Bode

1. Ubah fungsi alih sinus ( ) ( )G j H jω ω menjadi perkalian faktor-

faktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.

2. Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar

yang bersangkutan.

3. Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar

dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,±20 db, ±40 db,

dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut.

4. Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap

sedang frekuensi sudut.

5. Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot

pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan koreksi-

koreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut).

6. Kurva sudut fasa ( ) ( )G j H jω ω dapat digambarkan dengan

menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor

dasar pada butir 1.



Contoh:

Suatu sistem orde 4 dengan umpanbalik satuan memiliki fungsialih loop terbuka sbb:



∗ Sistem Phasa Minimum :Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupunzero pada daerah tak stabil bidang-s.

∗ Sistem Phasa Non Minimum :Sistem dengan fungsi alih yang memiliki pole dan / atau zeropada daerah tak stabil bidang-s.



◊ Hubungan antara Tipe Sistem dan KurvaMagnitude

Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude padafrekuensi rendah.

Tipe-0 → kemiringan 0 db/decTipe-1 → kemiringan -20 db/decTipe-2 → kemiringan -40 db/dec

◊ Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurvaMagnitude

1) ( ) ( )k p s G s H s= →0lim

Dalam domain frekuensi :( ) ( )k p G j H j= →ω ω ω0

lim

Terlihat bahwa untuk ω → 0 :

( ) ( )20 20log logG j H j kpω ω =



2) ( ) ( )kv s sG s H s= →0lim

Dalam domain frekuensi :

( ) ( )G j H jkvj

ω ωω

= untuk ω ⟨⟨1

Sehingga

201

20log logkvj

kvω ω == atau : ( ) ( )20 1 20log logG j H j kvω ω ω = =

Alternatif lain :

Perpotongan kurva -20 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi

pada 0 db, sehingga kvjω1

1=



3) ( ) ( )ka

sG s H s=

→lim

0

Dalam domain frekuensi :

( ) ( )( )

G j H jkv

jω ω

ω= 2 untuk ω ⟨⟨1

sehingga :

( )20 2

1

20log logkv

jkv

ω ω=

= atau ( ) ( )20

1

20log logG j H j kvω ωω =

=

Alternatif lain :



Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada0 db, sehingga :

( )20 2 0log ,

ka

j aω=

diperoleh : ka a= ω 2



n POLAR PLOT / NYQUIST PLOT

Kurva magnitude G(jω) terhadap sudut fasa G(jω) padakoordinat polar dengan ω dinaikkan dari 0 sampai ~

Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut :

Maka kurva Nyquist ( ) ( ) ( )G j G j G jω ω ω= 1 2 diperoleh denganmelakukan perkalian vektor.

Bandingkan dengan Diagram Bode

• Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapanfrekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

• Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusisetiap faktor fungsi alih loop terbuka.

( )G s1 ( )G s2



� PENGGAMBARAN POLAR PLOT

1. Faktor-faktor Integral dan turunan

Untuk ( )G jj

ωω

=1

( )G jωω

=1

( )∠ = −G j oω 90

Untuk ( )G j jω ω=

( )G jω ω=

( )∠ =G j oω 90

Im bid G(jω)

Reω →~

ω → 0

( )G jj

ωω

=1

Im

Re

ω = 0

ω →~

bid G(jω)



2. Faktor-Faktor Orde-1

Untuk G jj T

( )ωω

=+

1

1

( )G jT

ωω

=+

1

1 2 2

( )∠ = − −G j Tω ωtan 1

Pada ω=0( )G j oω = ∠1 0

Pada ω = 1T

( )G j oω = ∠ −1

245

pada ω →~

( )G j oω = ∠ −0 90

Kurva Nyquist berupa setengah lingkaran dikuadran IV dengantitik pusat -0,5+j0 dan jari-jari 0,5.



Bukti :( )G j x jyω = +

dengan

2222 1dan

1

1

T

Ty

Tx

ωω

ω +−

=+

=

Pers lingkaran :

x y r

T

T

T

T

−

+ =

−

+

+

−

+

=

1

2

22 2

1

2

1 2 2

1 2 2

2

1 2 2

21

2

2ω

ω

ω

ω

Untuk ( )G j j Tω ω= +1

( )G j T Tω ω ω= + ∠ −1 2 2 1tan

pada ( )ω ω= = ∠0 1 0G j o

pada ( )ω ω= = ∠1

2 45T

G j o

pada ( )ω ω→ = ∠~ ~G j o90



Untuk TjjG ωω += 1)(



3. Faktor-Faktor Kuadratik

Untuk ( )G j

jn

jn

ω

ζωω

ωω

ζ=

+

+

⟩1

1 22 0;

( )G j

n n

n

n

ωωω

ζωω

ζωωωω

=

−

+

∠ − −

−

1

12

22

12

1tan

pada ω = 0

( )G j oω = ∠1 0

pada ω ω= n

( )G j oωζ

= ∠ −1

290

pada ω →~

( )G j oω = ∠ −0 180

ωn dicari dari perpotongan G(jω) dengan sumbu maya.



ωr dicari dengan menentukan ( )G jω maximum.



Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut :

( )( )Mr

G jr

G j= =

=

ω ω ωω ω 0

Untuk ( )G j jn

jn

ω ζω

ωω

ωζ= +

+

⟩1 2

20;

( )G jn n

n

n

ωω

ω

ζωω

ζωω

ω

ω

= −

+

∠ −

−

12

2

22 2

12

12

2

tan

pada ω → 0 :( )G j oω = ∠1 0

pada ω ω= n :( )G j oω ζ= ∠2 90

pada ω →~

( )G j oω = ∠~ 180



Untuk ( ) 0;212

⟩

+

+= ζ

ωω

ωωζω

nn

jjjG



Contoh:



Transport Lag



Bentuk Umum Polar Plot

� Untuk sistem tipe-0 (λλ=0) :Kurva berawal (ω=0), dan sumbu nyata positif denganmagnitude berhingga dan sudut fasa = -90o pada titik tersebutkurva berakhir (ω=~).Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m)

� Untuk sistem tipe-1 (λλ=1) :Pada ω=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif,akibat kontribusi suku jω pada penyebut. Kurva berakhir padatitik asal dan bersudut pada salah satu sumbu.

� Untuk sistem tipe-2 (λλ=2) :Kurva asimtotis terhadap sumbu nyata negatif untuk frekuensirendah dan berakhir pada salah satu sumbu.



Bagian pembilang G(jω) menentukan kerumitan bentuk kurvaNyquist (kontanta waktu pembilang).



◊ Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot

Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phasemargin untuk cakupan frekuensi kerja.

• Kenaikan konstanta penguatan G(jω) hanya menggeserkurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya.

• Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudahditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.

• Kurva G(jω) simetris terhadap titik asal dengan 1

G j( )ω

mengingat ( )201

20log(

logG j

G jω

ω

= −

( ) ( )∠ = −∠1

G jG j

ωω



◊ KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

( )( )

( )( ) ( )

C sR s

G sG s H s

=+1

• Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik( ) ( )1 0+ =G s H s terletak disebelah kiri bidang-s.

• Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipunpole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletakdisebelah kanan bid-s.

• Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loopterbuka ( ) ( )G j H jω ω terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup

( ) ( )1+ G s H s yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s.

• Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensiloop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpaperlu menentukan letak pole-pole loop tertutup.

• Perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidangF s G s H s( ) ( ) ( ).= + +1



Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan

1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s,maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arahjarum jam pada di bidang F(s).

2. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurvatertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s)tak mengelilingi titik asal.

3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup di-bidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akanmengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlahzero tersebut.

4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atauzero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) takmengelilingi titik asal pula.

5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakanpemetaan 1-1, sebaliknya tidak.



Teori Pemetaan :

Anggap F sp s

q s( )

( )

( )=

Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa

lintasan tertutup dibidang-s.

Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa

lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak

melalui pole-pole / zero-zero tersebut).

Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).

Maka : Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang

mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P.



Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan

• Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelahkanan (lintasan Nyquist).

• Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagiannyata positip tercakup pada lintasan Nyquist.

• Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s) = 0 didalamlintasan Nyquist.



Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka

• Pengelilingan titik asal oleh kurva 1 + G(jω) H(jω) berubahmenjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(jω) H(jω).



Kriteria Kestabilan Nyquist

[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu mayajω].

• Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole disebelah kanan bidang-s dan s→~

lim G(s)H(s) = konstan, makasistem stabil bila kurva G(jω)H(jω) mengelilingi titik -1 + j0sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam.

• Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s).

• Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) dititik asal (pada bid-s),maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya).



• Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah takstabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah takstabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingititik asal searah jarum jam Z = N + P.

Z = N + P

Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-sN = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam.P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kananbidang-s.

∗ Sistem stabil bila Z = 0 :

1) P = 0 dan N = 02) Bila P ≠ 0, maka N = -P

∗ Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hati-hati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh.

∗ Bila ada fungsi transendental (misal e-Ts) pada G(s)H(s),dekati fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .

Ts

TsTs

Ts

eTsTsTs

TsTsTs

e TsTs

+−

=+

−≈⇒

•••++++

•••+−+−= −−

2

2

21

21

48

)(

8

)(

21

48

)(

8

)(

21

32

32

selanjutnya gunakan kriteria Routh.

∗ Bila kurva G(jω)H(jω) melalui titik -1+j0, berarti ada pole-pole loop tertutup pada sumbu jω : sistem berosilasi.



◊ Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s)pada Sumbu jωω

Ambil ( ) ( )( )G s H s

k

s s=

+ 1

• Pemetaan s e j= →ε θ ε; 0

dengan θ ;−90o sampai + 90o , maka

( ) ( )G e j H e j k

e jk

e jε θ ε θε θ ε

θ= = −

(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari+900 hingga -900)

00;0 =→== ZPN (stabil)



Ambil ( ) ( )( )

G s H sk

s Ts=

+2 1

Pemetaan oj tes 90:;0; −→= θε φsampai + 90o ,

diperoleh :

( ) ( )s te j G s H s

ke j

→= −

θ εθlim

22

(lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180o hingga -180o).

Terlihat: N=2; P=2, sehingga Z=2 (tak stabil)



BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN

Contoh 1:



Contoh 2:



Contoh 3:



Contoh 4:



Contoh 5:



Pembahasan Lanjut (Optional):

1. Invers Polar untuk Memudahkan Analisis KestabilanNyquist pada Sistem Multiple Loop.

2. Analisis kestabilan Relatif / Transient melalui modifikasiLintasan Nyquist.



◊ Analisis Kestabilan Relatif/Transient

• Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai.

• Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya danbagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan.

• Asumsi pada analisis.

1. Sistem Balikan Satuan

2. Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbukadidaerah tak stabil bidang-s)

• Analisis melalui

1) Pemetaan Konformal (optional)

2) Pemetaan Phase Margin dan Gain Margin



∗ Phase Margin dan Gain Margin

• Untuk k besar, sistem tak stabil.• Untuk k lebih kecil, kurva G(jω) melewati titik -1+j0,

sistem berosilasi (batas kestabilan).• Untuk k kecil, sistem menjadi stabil.• Makin dekat kurva G(jω) mengelilingi titik -1+j0,

tanggapan sistem makin berosilasi.• Kedekatan kurva G(jω) ketitik -1+j0 merupakan ukuran

batas kestabilan : phase margin dan gain margin.

◊ Phase margin : jumlah phase lag tambahan pada frekuensigain crossover ( )ωgco yang diperlukan untuk membuat sistem

tak stabil.

ωgco : frekuensi pada saat ( )G jω = 1

φγ += o180 ; φ : sudut fasa ( )G j gcoω



• Gain margin : kestabilan magnitude ( )G jω pada frekuensiphase crossover ωpco

ωpco : frekuensi pada saat ( )∠ = −G j oω 180

( )kgG j pco

1

ω

Bila kg ⟩ 1 : gain margin positip

Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip)menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan(diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil)

• Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phasemargin positip.

• Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensiphase crossover.

• Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebihfrekuensi gain crossover : phase margin dihitung padafrekuensi gain crossover tertinggi.

• Tanggapan transient “optimum” bila :phase margin 300 sampai 600

gain margin > 6 db

• Untuk sitem phase minimum, phase margin 300-600 berartikemiringan kurva Bode ( )G jω pada ωgco harus lebih landai dari

-40db/dec. (yaitu -20db/dec) agar stabil.Bila kemiringan tersebut mencapai -60 db/dec, sistem hampirpasti tak stabil.

TANGGAPAN FREKUENSI - Gunadarma

Documents

Transcript of TANGGAPAN FREKUENSI - Gunadarma