TANGENTES, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS. 3º ESO

3º ESO

TANGENCIAS TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS

56

T1 P

Q

T3

T4

T2

T5

T6

T7

T8

O O O

rr

B

A

t

T

EXTERIORES TANGENTES

POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

SECANTES

TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS

O1

O1

O1 O1

O2

O2

O2 O1O2 O

O1

O2

TT

EXTERIORES INTERIORES

CONCENTRICAS TANGENTES EXTERIORES

TANGENTES INTERIORES

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

SECANTES


PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

o

r (recta TANGENTE)

o1

o2

T

T

Si dos circunferencias son tangentes, el punto T de tangencia es un punto que comparten ambas y está en la

recta que une sus centros

Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el punto de tangencia T

es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente


PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

El radio perpendicular a una cuerda (r)la divide en dos partes iguales, así como

el arco que ésta subtiende.De ahí deducimos que

LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASAPOR EL CENTRO

O

r

B

A


o

Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a

la tangente

T (Punto de tangencia)

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA


o


1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente


1. Trazamos el radio OT de la circunferencia, es decir, del centro al punto de tangencia


o


1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente

2. Trazamos la perpendicular al radio OTdesde el punto T. Dicha recta es la tangente la circunferencia dada



1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente

o

r (recta TANGENTE)

Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente




RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA

d

O


1. Trazamos una perpendiculardel centro O a la recta d,

prolongándola hasta cortara la circunferencia en dos

puntos, T1 y T2.


d

O

T1

T1


2. T1 y T2 son los puntos de tangencia de las dos soluciones que buscamos,

las rectas t1 y t2, paralelas a d en los puntos T1 y T2


d

O

T1

T1


TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA

OP



MOP

M

r1

1. Trazamos el segmento OP y su mediatriz



MOP

M

T1

T2

2. Trazamos la circunferencia de radio MO (=MP), que cortará a lacircunferencia dada en los puntos

T1 y T2, puntos de tangenciade las rectas que buscamos



MOP

M

T1

T2

r1

t1

t2

r2

3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemoslas rectas tangentes buscadas.

Para comprobar que están trazadascorrectamente, trazamos los

radios r1 y r2, que deben cortara t1 y t2 perpendicularmente.


TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

O1

O2



T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones

O1

O2

r2

r1-r2

r2

r1

1.Se traza desde O1 una circunferencia de radio igual a la diferencia entre O1 - O2



MO1

O2

2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y se le calcula la mediatriz.

A continuación se traza una circunferencia con centro en M y radio M-O1,

que corta a la trazada anteriormente en A y B.

B

O1r1-r2

r2

r1

r2

A



M

A

B

O1

O2

r2

r1-r2

r2

r1

De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente

entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia

la de radio O1 menos O2)



M

A

B

O1

O2



la de radio O1 menos O2)



M

A

B

T1

T2

O1

O2

r2

r1-r2

r2

r1

3. Una vez realizadas estas dos tangentes provisionales, se prolongan los radios O1A y O1B, hasta que corten a la circunferencia dada de centro O1. Estos dos puntos serán T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta

circunferencia.



M

A

B

T1

T2

T3

t1

t2

O1

O2

r2

r1-r2

r2

r1

4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la

primera solución, la recta tangente t1



M

A

B

T1

T2

T3

t1

t2T4

O1

O2

r2

r1-r2

r2

r1

5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la

segunda solución, la recta tangente t2


TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

O1

O2



O1

O2

1. Este caso es similar al anterior. también se resuelve simplificando el problema al de

tangencia entre un punto y una circunferencia, pero en este caso en lugar de restar los radios de las circunferencias, los sumamos. De esta manera, trazamos

con centro O1 una circunferencia auxiliar O3 de radio O1-O2

r1+r2

r1 r2

=O3



M

O1

O2

2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2,y trazamos la circunferencia MO2, que corta

a la circunferencia O3 en los puntos A y B

A

B

r1+r2

r1 r2

=O3



T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones

M

O1

O2

A

B

r1+r2

r1 r2

=O3



la de radio O1 más O2)



M

O1

A

B

O2

r1+r2

r1 r2

T1

T2

3. Unimos el centro O1 con A y con B, y dichas rectas cortan a la circunferencia O1

en los puntos de tangencia T1 y T2.

=O3



M

O1

A

B

O2

r1+r2

r1 r2

T1

T2

T3

t1

4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde O2, pero en este caso por el lado contrario

del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T3

=O3



M

O1 =O3

A

B

O2

r1+r2

r1 r2

T1

T2

T3

T4t1

t2

5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde O2, También por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y

uniendo T2 y T4 obtendremos la rectatangente t2


TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES

r

T

R



r

T

O1

O2

R

R



r

T

O1

O2

R

R

R

R


TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO

rT

P


TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO

rT

P

o


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO

r

P

R



r

P

R

R



r

R

R

P

O1 O2

R



r

R

R

P

O1

T1 T2

O2

R



r

P

O1

T1 T2

O2

R

R

R


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES

s

rR



s

rR

R

R



s

O1

O2

O3

O4

rR

R

R

R

R

R

R



s

O1

T1

T8

T7

T6

T5T4

T3

T2

O2

O3

O4

rR

R

R

R

R

R

R


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES

R

O

r



R

R

O

r



R

R

r

O

r

O1 O2

R+

r



R

R

rr

R-r

O

O4O3

R+

r

O1 O2



R

R

rr

R-r

O

O4O3

T2T1

R+

r

O1 O2

T3T4



R

R

rr

R+

r

R-r

O

O4O3

T3T4

T2T1O1 O2


ENLACESSe llama enlace o empalme, en los trazados

geométricos, a la unión de rectas con curvaso de curvas entre sí, efectuadas por medio de

su punto de tangencia. Este punto común es el que permite la transición

suave de unas a otras sin brusquedades de ningún tipo.

r T

T1O

s

O

O1

T1

T2

s

R

R+R1 R1

T

O1

P

O


ENLACES

ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,

CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r

r T

s


ENLACES



r T

s

Sabemos que el arco que buscamosserá tangente a r en T, por tanto su

centro estará en la perpendicular a r trazada desde T


ENLACES



r T

O

s

También sabemos que el centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan seencuentra en la bisectriz del ángulo

que dichas rectas forman


ENLACES



r T

T1O

s

Para hallar el punto de tangencia en s,trazamos la perpendicular a s desde O


ENLACES



r T

T1O

s

Teniendo O, T y T1, podemostrazar el arco que enlaza r y s


ENLACES

R

r

s

ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA

POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA


ENLACES

R

r

s

El centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan seencuentra en la bisectriz del ángulo

que dichas rectas forman




ENLACES

R

O

r

r

r

s

El arco de radio R será tangente a las rectasr y s en aquellos puntos donde dos de sus

radios sean perpendiculares a r y srespectivamente, por tanto el centro Oestará a distancia R de las dos rectas, es decir, en la unión de las paralelas

a r y s a la distancia R




ENLACES

R

T1

T2

O

r

s

Para calcular los puntos de tangencia, trazamos perpendiculares desde O a r y s



r

r


ENLACES

R

T1

T2

O

r

s

Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s



r

r


ENLACES

T1T1

T2T2

OO

r r

s s

En el problema anterior, si no conocemos el vérticedel ángulo entre r y s, trazando las paralelas

obtenemos el punto O

Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectrizdel ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia

R y obtendremos el centro O



r r

r


ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,

CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r

r

s

T




rd

d

s

T

V

Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se

encuentra en la bisectriz del ánguloque dichas rectas forman.

En el caso que no veamos el vérticede dicho ángulo, trazamos dos

paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria.

Así conseguiremos un ángulo de vértice Vcuya bisectriz coincide con la de r y s




rd

d

s

T

OV

Para calcular el centro del arco que buscamos trazamos por T

una perpendicular a la bisectriz hallada anteriormente.

Donde dicha perpendicular corta a la bisectriz está el centro O

del arco que buscamos




rd

d

s

T

T1

OV

Trazando una perpendicular a s desde Oconseguimos el otro punto de tangencia T1




rd

d

s

T

T1

OV

Trazamos el arco OT




rd

d

s

T

T1

OV

El enlace es la unión de r-arco-s


Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.1. Trazamos el CUADRADO correspondiente

A

D

B

C


2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado

A

D

B

C

Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.


3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado desde la mitad de cada uno de los lados

A

D

B

C



4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz

de AB

A

D

B

C

O1



5. Dibujamos la circunferencia de centro O1

A

O1

T1 T2

T3

D

B

C



6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centrosde circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado

trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC enO2, O3 y O4

A

O1

O2

O3

O4

T1 T2

T3

D

B

C



7. Trazamos el resto de circunferencias

A

O1

O2

O3

O4

T1 T2

T3

D

B

C



Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo

O1

O2


1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadasaumentando sus radios 15 mm.

O1

O2 r2 + 15

r1 + 15

r2

r1



2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son loscentros de las circunferencias tangentes buscadas

O1

O4

O3

O2



3. Unimos los centros de las circunferencias dadas conlos de las circunferencias tangentes, así obtenemos los

puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para trazar las circunferencias resultado

O1

O4

O3

T1 T2

T4

T3

O2



4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a lascircunferencias dadas.

O1

O4

O3

O2

T1 T2

T4

T3



Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.

12

28

56

46

12



1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección deambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm.

de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente)

1423

12

28

56

46

12



2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos, a 56 mm de distancia en el eje mayor

1423

56

12

28

56

46

12



2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos decircunferencia de los extremos (12 mm. de radio).

12

6

56

12

28

56

46

12



3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias

56

T1

T2

12

28

56

46

12




56

T1

T3

T4

T2

12

28

56

46

12




56

T1 P

Q

T3

T4

T2

T5

T6

T7

T8

12

28

56

46

12



ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)

AB



AB

1



AB

1

paso2



AB

1 32



AB

1 324



AB

1 3 524



AB

1 3 5246



AB

1 3 5 7246


VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)

A

C

B



A

C

B

1



A

C

B

1

2



A

C

B

1

2

3

paso



A

C

B

1

2

3

4



A

C

B

1

2

5

3

4



A

C

B

1

2

5

36

4

VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)

D C

A B




D C

A B



D C

A

1

B



D C

A

1

2

B



D C

A

1

3

2

B



D C

A

1

4

3

2

Bpaso



D C

A

1

5

4

3

2

B



D C

A

1

5

4

3

2 6

B



D C

A

1

5

4

3

7

2 6

B



D C

A

1

5

48

3

7

2 6

B



D C

A

1

5

9

48

3

7

2 6

B



D C

A

1

5

9

48

3

7

2 6 10

B


CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)

A B



A O1 O2B

1

2

3



A O1

O4

O3

O2B

1

2

3



A O1

T1

T4T3

T2

O4

O3

O2B

1

2

3



A O1

O4

O3

O2B

1

2

3

T1

T4T3

T2


CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR

C

D

TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS


C

D

O1

O3

O2



C

D

O1

O4

O2

O3



C

D

O1

O4

O2

T2

T1

T1

T2

O3

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