Tangente Cuerda Diámetro Radio Secante. Elementos de la Circunferencia C mama mcmc mbmb a c b A B M...
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Tangente
Cuerda
DiámetroR
adio
Secante
.
Elementos de la Circunferencia
C
ma
mc
m b
a
c b
A
B
M
L
G
K .
N
.P
A
El Baricentro
0
P A
B
Arco mayor
Arco menor
Sector circular
.
Ángulos y Arcos de la Circunferencia
Ángulo Central
B
C
O
AA
CB .O
A
CB .O
Ángulo inscrito en una circunferencia
.
= ½ Tema 6.LUGARES GEOMÉTRICOS Y la CIRCUNFERENCIA
como Lugar Geométrico
DefiniciónLugar Geométrico :Llámese LUGAR GEOMÉTRICO al conjunto de puntos y sólo de aquellos que cumplen ciertas propiedades dadas. Para demostrar que una curva es un lugar geométrico hay que probar dos cosas:1.- Que cualquier punto de la curva cumple con la(s) condición(es) dada(s).2.- Que todo punto del plano que cumple la(s) condición(es) dada(s) está sobre la curva.
O
O
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A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
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I
Ca
b
B
C
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I
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Teorema: La mediatriz de un segmento es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.
Para demostrar este teorema es necesario probar que todos los puntos cumplen las dos condiciones:
1.- Que cualquier punto de la curva cumpla con la condición dada.
A B
P
M
l
4.- △PAM PBM △ Por L.A.L.
Tesis
Hipótesisl es mediatriz de ABP l
Proposiciones Justificaciones
PA = PB
1.- AM MB M es pto. medio2.- PM Lado común
3.- AMP PMB = 90 lAB
5.- PA = PB Lados correspondientes △s en congruentesLa tesis es verdadera
Luego, se cumple la primera condición, cualquier punto de la curva cumple con la condición dada, es verdadera.
O
O
O
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A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
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Ca
b
B
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Ca
b
B
C
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I
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
B
Esto contradice el teorema: en todo triángulo un lado siempre es menor que la suma de los otros dos lados. En consecuencia la hipótesis temporal es falsa.Luego, la tesis es verdadera y P l
Segunda condición: Que cualquier punto que cumpla la condición este sobre la curva
l es mediatriz de ABTesisP l
PA PB
Hipótesis
Por Reducción al absurdo, Supongamos que P lA
P
l
1.- AP corta a l en x A y P están en semiplanos distintos de l, ADP 2.- xA = xB x está en la mediatriz. Teor. Direc.
Proposiciones Justificaciones
3.- PA = xA + xP Suma de segmentos
4.- PA = xB + xP Sustitución de 1 en 25.- PA = PB Por hipótesis6.- xB + xP = PB Sustitución de 4 en 5
En conclusión el Teorema: La mediatriz de un segmento es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados, es verdadero.
x
..
.
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A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
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Ca
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C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
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Teorema. La bisectriz de un ángulo es el L.G. de los puntos del ángulo o de su interior que equidistan de sus lados. Para demostrar este teorema es necesario probar que todos los puntos cumplen las dos condiciones:1.- Que cualquier punto de la curva cumpla con la condición dada.
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A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
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b
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Ca
b
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
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) HipótesisW es bisectriz del ∠SATP W TesisPS = PT
4.- APS △ APT△ A.L.A
Conclusión
Lado Común
A
S
T
P W
Proposiciones Justificaciones
1.- ∠ SAW ∠ TAW Hipótesis (W es Bisectriz del ∠SAT)
2.- PS y PT distancia a los lados Por construcción
3.- AP es lado común Propiedad reflexiva
.
5.- PS = PT
Luego, se cumple la primera condición, cualquier punto de la curva cumple con la condición dada, es verdadera.
1.- PS = xS + xP Como S y P están a ambos lados de W PS corta a W en x2.- xS = xB Por estar x en la bisectriz (teorema directo) 3.- PS = xB + xP Sustitución de 2 en 14.- PS = PT Hipótesis5.- PT = xB + xP Igualación entre 3 y 46.- PB < xB + xP Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros7.- PB < PT Sustitución 5 en 6. Lo que no es cierto ya PB es la hipotenusa
del BPT y por tanto PT > que cualquiera los catetos. △Luego, PS=PT en consecuencia P W
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A B
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
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Ca
b
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Por Reducción al Absurdo P W
En conclusión el Teorema: . La bisectriz de un ángulo es el L.G. de los puntos del ángulo o de su interior que equidistan de sus lados. es verdadero.
A
S
T
P
W
B
x
TesisP W
Segunda condición: Que cualquier punto que cumpla la condición este sobre la curva) Hipótesis W es bisectriz del SAT∠PS = PT
A
S
T
PW
.
..
PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Ma
Mb
Mc
A B
C
b a
cC
1.- AC BC ya que Mc es mediatriz del lado c2.- CC B C ya que Ma es mediatriz del lado a3.- AC CC Igualación 1 y 24.- C está es la Mediatriz de bLuego, Ma, Mb, Mc se interceptan en C
Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO.Hipótesis:
ABC conMa, Mb, Mc mediatrices
TesisMa, Mb, Mc se interceptan en C
La tesis es verdadera
En conclusión el Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO, es verdadero
Proposiciones Justificaciones
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Corolario: El CIRCUNCENTRO es un punto que equidista de los vértices del triángulo.
Ma
Mc
Mb
A
B
C
C
Corolario: En un triángulo rectángulo el CIRCUNCENTRO es el punto medio de la Hipotenusa.
Ca Cb Cc
Ca Cb
O
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A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
A
B C
C
A
B
I
Teorema: Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO.HipótesisD ABC con W, W, W bisectricesTesis
W, W, W se cortan en I
Luego, I está en la intersección de W, W y W
c
a
b
2.- Ia = Ib Ya que I pertenece a la Bisectriz W del ACB∠
3.- Ic = Ib Igualación entre 1 y 24.- I W Ya que I equidista de los lados del BAC∠
La tesis es verdadera
En conclusión el Teorema: Las bisectriz de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO,, es verdadero
Proposiciones Justificaciones
1.- Ia = Ic Ya que I pertenece a la Bisectriz W del ABC∠
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Corolario: El INCENTRO es un punto interior del triángulo que equidista de sus lados.
A
B C
C
A
B
I
c
a
b
Ia Ib Ic
O
O
O
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A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
D EA
F
Ca
c
b hb
hc O
Teorema: Las alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO.
1.- DE ∥ a2.- DF ∥ b3.- EF ∥ c
4.- AD = a ACBD es un paralelogramo por 1, 2 y 35.- DB = b
6.- EC = c ABCE es un paralelogramo por 1, 2 y 37.- AE = a
8.- BF = b ACFB es un paralelogramo por 1, 2 y 39.- CF = c
Por Construcción
Tesisha, hb y hc se cortan en O
Hipótesis ABC con ha, hb y hc alturas
B
ha
.Proposiciones Justificaciones
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
D EA
F
Ca
c
b hb
hc
B
ha
10.- AD = AE = a Igualación 4 y 711.- DB = BF = b Igualación 5 y 812.- EC = CF = c Igualación 6 y 9
13.- A es Pto medio de DE14.- B es Pto medio de DF por 10, 11 y 1215.- C es Pto medio de EF
16.- ha DE17.- hb DF Por 1, 2 y 318.- hc EF19.- ha, hb y hc son mediatrices del △DEF Por ser s en el punto medio de cada lado
20.- ha, hb y hc se intersectan en O Por ser mediatrices del △DEF
ConclusiónEn conclusión el TeoremaLas alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO, es verdadero
. O
Teorema: Las alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO.
Tesisha, hb y hc se cortan en O
Hipótesis ABC con ha, hb y hc alturas
Proposiciones Justificaciones
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Corolario: En un triángulo rectángulo, el ORTOCENTRO coincide con el vértice del ángulo recto.
O
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A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
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C
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I
Ca
b
B
C
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I
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma.
Hipótesis△ABC con ma, mb y mc medianas
TesisMa, mb y mc se cortan en G BG = 2/3 mb,CG = 2/3 mb y AG=2/3 ma
1.- K es Pto medio de BG2.- P es Pto medio de GC Por construcción
3.- MN∥ BC, MN = ½ BC Por ser MN Ptos medios de 2 lados del △ABC4.- KP ∥ BC, KP = ½ BC Por ser MN Ptos medios de 2 lados del △GBC5.- MN ∥ KP 2 rectas ∥s a una misma recta son ∥s entre sí6.- MN = KP Igualación entre 2 y 3
C
ma
mc
m b
a
c
b
A
B
M N
L
G
K . . P
Proposiciones Justificaciones
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
C
ma
mc
m b
a
c
b
A
B
M
L
G
7.- MNPK es un paralelogramo Tiene dos lados paralelos y congruentes.8.- G es pto medio de NK y de MP Las diagonales de un paralelogramo se bisecan9.- BK = KG = GN y CP = PG = GM K y P son ptos medios de BG y GC 10.- BG = 2/3 mb y CG = 2/3 mb y ma, mb y mc se cortan en G
K .
N
.P
En conclusión el Teorema: : Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma, es verdadero
A
(El corte de ma con mb y mc se realiza de manera similar)
La tesis es verdadera
Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma.
Hipótesis△ABC con ma, mb y mc medianas
TesisMa, mb y mc se cortan en G BG = 2/3 mb,CG = 2/3 mb y AG=2/3 ma
Proposiciones Justificaciones
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Notación: C(o,r)
. P1
.P
Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado Centro. La distancia constante se denomina Radio.
r
LA CIRCUNFERENCIA
.
P: Punto de la circunferencia, P∈ C
O
C: circunferenciaO : centror: radio
C
P1: Punto que pertenece al interior o círculo P2: Punto que pertenece al exterior de la circunferencia
. P2
O
O
O
O
A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
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I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Círculo: Es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro de la circunferencia es menor queel radio. Los puntos del círculo también se conocen como puntos interiores o interior de la circunferencia.
O
r
P
P1
..
.
P interior C(O, r)⇔ d(O, P) < r∈
C
P1 C(O, r)⇔ d(O, P) = r∈
O
O
O
O
A B
C
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Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Circunferencias congruentes: son las que tienen radios iguales
O1 .r1
O2 .r2
r1 = r2 O1 O2
O .r2
r1
Circunferencias Concéntricas: Son las que tienen el mismo centro.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Tangente
Cuerda
Diámetro
Rad
io
Secante
Radio: Segmento que va desde el centro a la circunferencia.Cuerda: Segmento que une 2 puntos de la circunferenciaDiámetro: Cuerda que pasa por el centro.DEFINICIONES:Secante: Una recta es secante si y sólo si corta a la circunferencia en dos puntosTangente: Una recta es tangente si y sólo si corta a la circunferencia en un solo punto. radio.Exterior Una recta es exterior si y sólo si no la corta a la circunferencia en ningún punto.
.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Exterior
.
..
Ángulo Central: (<AOB) :el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia.
Notación: APB arco mayor
0
P A
B
Arco mayor
Arco menor
Sector circular
.Notación : AB arco menor.
Sea un ángulo central y AB el arco que subtiende. La medida de los arcos se define como sigue:
c) m (APB) = 360- , si APB es un arco mayor
a) m ( AB) = , si AB es arco menor
b) m (AB ) = 180, si AB es una semicircunferencia
Arco menor: puntos de la circunferencia que son interiores al ángulo central .
Arco mayor: es el resto de la circunferencia
Sector circular: es el área del círculo comprendida entre los lados del ángulo central y el arco menor
ÁNGULOS Y ARCOS DE LA CIRCUNFERENCIA
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Semicircunferencia: Es aquel arco cuyo ángulo central es llano..
0
A
B
Semicircunferencia 1 Semicircunferencia 2
Todo ángulo central llano determina dos semicircunferencias. Por tanto todo diámetro también. Las semicircunferencias se denotan igual que se hace para los arcos mayores
SEMICIRCUNFERENCIA
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
.
En este caso el diámetro AB determina las semicircunferencias ACB y ADB
C. . D
tOT
tOT
tTeorema: toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por su punto de tangencia
Hipótesis: C1 es una circunferencia r es el radiot es tangente a C1
Tesis:
1. Sea P un punto de t exterior a la circunferencia
2. OP> OT Por ser P u punto exterior
OT 3. es la distancia de 0 a t Por ser la distancia más corta
C1
r
Proposiciones Justificaciones
La tesis es Verdadera
En conclusión, el Teorema: Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por su punto de tangencia, es Verdadero
. 0
P .
T .
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Punto extremo de un radio. Es aquel punto de dicho radio que está contenido en la circunferencia.
P . 0r
Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia por su extremo, entonces es tangente a la circunferencia.Hipótesis: C es una circunferencia de radio rt es una rectat radio en P
Demostración:
Por Reducción al absurdo t no es tangente a C
Tesis:t es tangente a C
t
. 0Esto es absurdo ya que el Δ OPK tiene 2ángulos rectos, en consecuencia la hipótesistemporal es falsa.Por tanto, la tesis es verdadera
P . r
t1. T corta a C en doso mas puntos: P y R Hipótesis Temporal
r
2. ΔOPK es isósceles Def. de Δ Isósceles 3. OPR = ORP 90 Por hipótesis
En conclusión, el Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia por su extremo, entonces es tangente a la circunferencia, es Verdadero
. 0
R .
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aMb
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
0
Q A
B
.
Axioma de la medición de arcos.
Si A, P, B y Q son puntos que pertenecen a una circunferencia y están dispuestos
de forma tal que APB sea un arco menor (o una semicircunferencia) y AQB el
arco mayor correspondiente (o la otra semicircunferencia), y sea α = mAOB ,
entonces se cumple que:
P
.
.
.
.
Comentarios: observe que mAPB + mAQB = 360 . Si en particular APB y AQB
son semicircunferencias, entonces mAPB = mAQB =180
mAPB =α mAQB = 360 −α
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
0
Q A
B
.
Axioma de la suma de arcos. Un punto interior divide a un arco en otros dos cuya suma es igual a la medida del primero.
.
mAPB =α
mAQB = 360 −α
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
mAB = mAP + mPB , como también que mAQB = mAQ + mQB .
Esto es:
P.
..
En este caso:
Longitud de la circunferencia. La longitud de una circunferencia se calcula mediante la siguiente ecuación:
S= π . d Donde:
S : es la longitud de la circunferenciaπ : es una constante igual a 3.141592653589793d : Es el diámetro de la circunferencia
Ejemplo: Calcule la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 10
S = π.10s = 31.42
Esta ecuación también puede expresarse en función del radio r:
S = 2r . π
En el caso de ejemplo el radio es 5, entonces:S = 2. 5 . π
d
o
s
S = 2. 5 . π = 31.42
d = 10o
s
Por tanto la longitud de la circunferencia la misma:
R = 5
o
s
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aMb
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Longitud de un arco. La longitud de un arco AB, es el producto de la medida del arco mAB expresada en grados por el radio del arco.
r..mAB
sAB180
Luego,
A
o
B.
r
Ejemplo: Calcule la longitud s del arco AB, cuyo radio y medida son 2 y 45º,
respectivamente.
5712180
45..
.sAB
A
o
B.
45o
r = 2
s
S = 1.57
Nota: Cuando la medida del arco es constante el tamaño del radio es ditectamente proporcional a la longitud del arco.
Notación: sAB, “se lee longitud del arco AB”
Radián. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Notación: rad.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
1 radian
radio
El ángulo completo θcircunfer que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes es:
rad 22circunfer
cincunfer r
r
r
s
r:radio
θ
=360
La mitad del ángulo θsemicircunfer que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes es: θsemicircunfer = π rad = 180
r:radioθ
=180
s
.
s
A
B
s
.La longitud de un arco se obtiene de multiplicar su medida (angular) expresada en radianes por el radio.
sAB = mABrad r ⋅
Área del círculo (A): El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Está dada por las expresiones:
4
2d.A
.A
diámetro2r.A .A
radio
Área de un sector circular.El área está dada por
A= ½ mPQRrad r⋅ 2R
P
Q
r
r
O ..
.
. A
a) En una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos cuerdas son iguales si y sólo si subtienden arcos iguales
PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA
r1.O1
A
B
C
D
.02
r2
r2r1
C1
= C2
AB CD AB = CD
b) Todo diámetro perpendicular a una cuerda es mediatriz de la misma, bisectriz del ángulo central correspondiente y divide al arco en 2 arcos iguales.
D
. 0 r1
A B
r1
s
Q
LC
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
B
A
P
P’
. 0
D
C
C) En toda circunferencia o en circunferencias congruentes dos cuerdas son iguales si y sólo si, equidistan de centro
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
r2
0201
r1
POSICIONES RELATIVAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS
2100 = r1 + r21. C1 y C2 Son tangentes exteriormente sii
Sea d la distancia entre los centros 01 y 02 de las circunferencias C1 y C2 de radios r1 y r2 ( r1 < r2) respectivamente. Entonces:
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
r1 r2
d
r201 02
r1
2100=
r2 – r12. C1 y C2 son tangentes interiormente sii
t
t
r1
r2
d
r2 02r101
2100 > r1 + r23. Dos circunferencias son exteriores sii:
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
r1 r2
d
r2 0201r1
21005. C1 y C2 son secantes sii r2 - r1 < < r1+ r2
r1r2
d
r2
01
02
r1
4. C1 es interior a C2 sii
< r2 – r12100
r1
r2
d
ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Ángulo Suministrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia siendo un lado secante y el otro tangente.
.
.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia.
Ángulo exterior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados son secantes, tangentes o uno secante y el otro tangente.
.
..
.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Teorema. Si dos rectas tangentes a una circunferencia de centro O se cortan en un punto P , dicho punto equidista de los puntos de tangencia y los ángulos que determina el segmento OP con ambas tangentes son congruentes.
Hipótesis: C es una circunferencia de radio r y centro Ot y s son tangentes en A y B y se cortan en P
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Or
A
PTesis: PA PBα = α’
αα´
Proposiciones Justificaciones B
.
1.- OA OB Por ser radios de la Circunferencia2.- r t en A t y s son tangentes a C en el punto extremo de r
t
s
r
r
3.- r s en B Por ser radios de la Circunferencia
.
.
4.- PO es lado común Propiedad reflexiva
LC
5.- △ POA △ POB 4to Criterio de congruencia, (2 lados y elángulo que se opone al mayor de ellosLados y ángulos correspondientes entriángulos congruentes
6.- PA PB7.- α = α’
En conclusión, el Teorema: Si dos rectas tangentes a una circunferencia de centro O se cortan en un punto P , dicho punto equidista de los puntos de tangencia y los ángulos que determina el segmento OP con ambas tangentes son congruentes, es Verdadero
Las 2 tesis son Verdaderas
A
CB
TEOREMA: Todo ANGULO INSCRITO en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
Caso A.- Un lado pasa por el centro
= ½
Caso B.- El centro es interior al ángulo A
C
B
= ½
B
C
O .
Caso C.- El centro es exterior al ángulo
= ½
A
.O
.O
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
TEOREMA: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
Caso A.- Un lado pasa por el centro A
DB
Hipótesis- C1 con ángulo inscrito - es ángulo central correspondienteTesis = ½
OABO 1.- por ser radios
>3.- por ser ángulo exterior 2.- < BAO = por ser BAO isósceles
24.- por ser exterior
5.- = ½ despeje La tesis 1 es Verdadera
En conclusión el Teorema: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente, es verdadero.
O
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
A
Ma
Mb
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Colorario: Todo ángulo inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del arco que subtiende.
)AC(m2
1
A
CB
Cororario: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco de circunferencia son congruentes.
3
21 )AC(m2
1321
Cororario: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
A
C
BB’
B’’
A C
B
)AC(m2
190 .O
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
A
B D
C
TEOREMA: Todo ángulo semi inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
Hipótesis es un ángulo semiinscrito en C es ángulo central correspondienteTesis = ½
Proposiciones Justificaciones
1.- DB es diámetro Por construcción
2.- <ABD = 90 AB al radio BD en su punto de tangencia
3.- = 90 - <CBD suma de <s y despeje 4.- <CBD= ½ <COD El < inscrito es la mitad del < central correspondiente
7. = ½ sustitución
5.- = 90 -1/2 <COD Sust. de 4 en 3.
6.- = 1/2(180- <COD) Factor Común 1/2
La tesis es Verdadera
En conclusión el Teorema: Todo ángulo semi inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente, es verdadero.
.
O
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Teorema. Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que interceptan dicho ángulo y su opuesto por el vértice.
)(2
1DCAB
Hipótesis:
a es interior a C1
Tesis:
C1
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Proposiciones Justificaciones1.- AC es una cuerda Construcción
Aa
B
D C
θ
β.
Todo ángulo inscrito a una C es igual a la mitad del Arco limitado por sus lados
2.- α = β + θ α es exterior al ∆ OAD
O
3.- β = 1/2 AB
4.- θ = 1/2 DC
5.- α = 1/2 AB + 1/2 DC Sustitución de de 2 y 3 en 1
6.- α = 1/2 (AB + DC) Factor común
La tesis es Verdadera
En conclusión el Teorema: Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que interceptan dicho ángulo y su opuesto por el vértice, es verdadero.
Teorema. Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Hipótesisα es exterior a C1
Tesisα = ½ (AB – CD)
C1
B
A
P1
C
Dαβ
θ
1.- AD es una cuerda Construcción
Todo ángulo inscrito a una C es igual a la mitad del Arco limitado por sus lados
2.- β = α + θ α es exterior al ∆ PAD
4.- β = 1/2 AB
5.- θ = 1/2 DC
6.- α = 1/2 AB - 1/2 DC Sustitución de de 2 y 3 en 1
7.- α = 1/2 (AB - DC) Factor común
La tesis es Verdadera
Proposiciones Justificaciones
3.- α= β - θ despeje de α
En conclusión el Teorema: Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados., es verdadero.
Circunferencia Circunscrita: es la circunferencia que pasa por los vértices del polígono y su radio se denota por R. del mismo modo, un polígono inscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus vértices en la circunferencia. Si el polígono es un triángulo, el centro de la circunferencia es el CIRCUNCENTRO.
A
B
C
C
. .
.
.
C está circunscrita en el ∆ABC
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
A
B C
C
A
B
I
Circunferencia Inscrita: es la circunferencia que es tangente a los lados de un polígono y su radio se designa con r. Si la circunferencia está inscrita a un triángulo, el centro de la circunferencia es el INCENTRO.
C
C está inscrita en el ∆ABC
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
Definición. En todo polígono regular definimos:
Centro: Es el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita.Radio: Es el radio de la circunferencia circunscrita o distancia del centro a cualquier vértice.Apotema: Es el radio de la circunferencia inscrita o distancia del centro a cualquier lado.
Teorema. A todo polígono regular se le puede inscribir una circunferencia y circunscribir otra. En un mismo polígono regular las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas.
apotemaO
Radi
o
.
O
O
O
O
A B
C
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
B C
C
AM
aM
b
Mc
Ca
b
B
C
A
I
Ca
b
B
C
A
I
O
Radio
Tangente
Cuerda
Diámetro
O
O
O
C1
C2
C1: Está inscrita al polígono
C2: Está cincunscrita al polígono