TALLERES 10 GEOMETRIA ANALITICA.docx
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8/19/2019 TALLERES 10 GEOMETRIA ANALITICA.docx
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TALLERES DE GEOMETRIA TALLERES DE GEOMETRIA
ANALITICAANALITICA
TALLER N°1 TEMA DISTANCIA Y PUNTO MEDIO
1. Hallar la distancia entre los si!ientes "!ntos#a$ P%&' ($' )%*' +1$,$ P%-' *$' )%' /$c$ A%+0' *$' %+' +12$
d$
14
2 4 7C , ,E ,2
3 5 5
− ÷ ÷
e$
2 3 5 2 2 2 3R , ,S 3 1,
2 4 4
− ++ ÷ ÷
-. Hallar el 3alor de la inc4nita sa,iendo 5!e#a$ P%&' +*$' )%6' 1$' D7,$ H%6' -$' 8%+' +/$' D712c$ 9%/' :$' L%+(' ;$' D71
d$ R%&' ;$' S%12' *$' D758
(. Calc!lar el "ern!lo c!;os 3?rtices son#a$ A%(' *$' %+' 1$' C%-' +($,$ E%' /$' @%+(' *$' %2' +&$
*. Hallar las coordenadas del "!nto =edio del se=ento c!;os e6tre=os son#a$ P%*' /$' )%0' -$,$ R%+(' +$' S%+&' +1$c$ A%-' 0$' %(' +1$
d$
( )341 3
N , ,T 1,22 4
− ÷
e$
( ) ( )V 2 1, 2 3 ,W 2 2, 3 4+ + − +
. Hallar !n e6tre=o del se=ento conocido el otro ; s! "!nto =edio M.a$ P%(' /$' M%+1' -$,$ P%/' +$' M%+1' ($
c$
1 3 2A ,4 ,M ,
2 4 5
÷ ÷
-
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TALLER N°- TEMA# RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
1. Hallar la "endiente de la recta 5!e "asa "or los "!ntos#a$ P%(' +$B )%*' /$,$ A%+&'1$B %+0' +12$
c$
( )341 4
F , ;G 13,23 5
− ÷
d$ ( ) ( )H 5,2 3 ;K 4 3 1, 5 3− +
-. Hallar la ec!aci4n de la recta 5!e "asa "or el "!nto ; la "endiente indicada#a$ P%+-' ($B = 7 +*,$ )%1' +/$B = 7 -
c$
2 1 3R , ;m
7 3 8
− = − ÷
(. Encontrar la ec!aci4n de la recta deinida "or los "ares de "!ntos#a$ %&' :$B L%+(' /$
,$ H%1' +-$B 8%+/' +($
c$
1 6 3A , ;B 1,
2 5 4
÷ ÷
*. Calc!lar la "endiente de !na recta "er"endic!lar a otra recta c!;a"endiente es#
a$ (
,$
2
5
c$
3
4−
d$
!
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. Encontrar la ec!aci4n de la recta 5!e "asa "or el "!nto P ; es "aralela a larecta indicada.
a$ P%1' +-$B ; 7 (6+*
,$ P%*' +/$B ; 7
2" 1
3−
c$
1 "# ,3 ;$ 4
5 5
= + ÷
d$
( ) $"
# 1,8 ;$ 5 "2 3
− = − +
e$
37
$2 "# ,4 ; 1 6 "
7 5 4
− − = − ÷
/. Realiar el "ro,le=a anterior s!"oniendo 5!e las rectas son"er"endic!lares.&. Hallar la ec!aci4n de la recta 5!e "asa "or el "!nto P%1' +:$ ; es "aralela a larecta 5!e "asa "or los "!ntos A%*' +$B %0' -$.0. Encontrar la ec!aci4n de la recta R 1 5!e es "er"endic!lar a la recta R- en el"!nto P%(' +12$ ; R- "asa "or el "!nto )%+-' /$.:. Encontrar la "endiente ; los interce"tos con los ees de la recta#
a$ ; 7 6 F /,$ (; G 1 7 6
c$ -6 F ; 7 6 F (d$ 6 F /; 7 ; G 6
e$
$ $" 7
3 2− = −
12. Hallar la ec!aci4n de la recta c!;a "endiente es G* ; 5!e "asa "or el "!ntode intersecci4n de las restas (6 G -; F : 7 2 ; -6 F ; G 0 7 2.11. Encontrar las ec!aciones de los lados del tri>n!lo c!;os 3?rtices son los"!ntos# A%1' -$B %(' +*$B C%+' /$.
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TALLER N°( DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
1. Hallar la distancia del "!nto a la recta de ac!erdo a la inor=aci4n dada#a$ P%*' /$B 6 G (; F 0 7 2,$ )%+&' ($B /6 F :; G 1 7 2c$ T%2' :$B 6 F ; G * 7 2
d$ %+0' 12$B
$ 15" 4 "
3 2− + = −
e$
$1A , 3 ; " 7 $ 85 5 − − + = − ÷
-. Calc!lar el >rea del tri>n!lo c!;os 3?rtices son#a$ @%*' -$B %+1' +&$B H%+(' *$,$ 8%1' 0$B 9%2' +$B L%+&' $c$ M%1'($B N%2' &$B %+' 2$
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TALLER N°* CIRCUN@ERENCIA
1. Encontrar la ec!aci4n de la circ!nerencia con centro en el orien ; radio (.di,!ar esta circ!nerencia.
-. Encontrar la ec!aci4n de la circ!nerencia con centro en C%2' -$ ; radio2
.
(. Encontrar la ec!aci4n de la circ!nerencia de radio a ; centro en C% 1 1
, x y
$.*. Hallar el radio de la circ!nerencia 5!e "asa "or el "!nto P%-' ($ ; c!;a
ec!aci4n es( )
22 2( 4) 3− + − = x y r .
. Encontrar los "!ntos donde la circ!nerencia2 2( 2) ( 3) 16 x y− + − =
corta alee 6 ; al ee ;./. Hallar el centro ; el radio de las circ!nerencias#
a$2 24 4 16 32 0 x y x y+ − − =
,$
2 2 2 1 03 18
x y y+ − + =
c$
2
21 182
x y − + =
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&. Deter=inar las ec!aciones de las circ!nerencias 5!e se =!estran acontin!aci4n.
0. Los e6tre=os del di>=etro de !na circ!nerencia son los "!ntos P%+*' -$ ;)%(' +1$. Hallar s! ec!aci4n.
:. Dada la ec!aci4n de !na circ!nerencia2 2( 2) ( 1) 16 x y− + + =
; los "!ntos R%+1' 1$ ; S%+(' *$.
a$ Decir si estos "!ntos "ertenecen o no a la circ!nerencia.,$ Encontrar la distancia de cada !no de los "!ntos del centro de lacirc!nerencia ; co=">rala con el centro.c$ los "!ntos "ertenecen al e6terior o al interior de la circ!nerenciaJ.
12. Encontrar la ec!aci4n de la circ!nerencia 5!e tiene s! centro en en el"!nto C%(' *$ ; "asa "or el "!nto P%+1' *$.11. E6iste !n teore=a en eo=etr
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1-. Hallar la ec!aci4n de la circ!nerencia 5!e tiene s! centro en el "!nto C%'+*$ ; es tanente al ee 6.
1(. Hallar la ec!aci4n de la circ!nerencia c!;o centro es el "!nto O%+-' +($ ;es tanente a la recta
5 y x= +.
1*. Hallar la ec!aci4n de la circ!nerencia c!;o radio es & ; s! centro es el
"!nto de intersecci4n de las rectas3 2 5 x y+ =
;4 3 x y+ =
.1. Encontrar la ec!aci4n de la circ!nerencia c!;o centro est> so,re el ee ; ;"asa "or lo s "!ntos A%/' +*$ ; %2' -$.1/. Encontrar la ec!aci4n de la circ!nerencia c!;o centro est> so,re el ee 6 ;"asa "or lo s "!ntos D%*' /$ ; %+-' 2$.
1&. Encontrar la or=a eneral de la ec!aci4n de la circ!nerencia 5!e tiene s!
centro en %+(' $ ; radio
3
5r =
.10. En cada !no de los si!ientes eercicios red!ce la ec!aci4n a la or=aeneral' deter=ina si re"resenta o no a !na circ!nerencia' ; en tal caso allas! radio ; las coordenada del centro.
a$2 2 6 4 13 0 x y x y+ + − + =
.
,$
2 24 4 40 24 137 0 x y x y+ − + + =
.
c$2 29 9 90 18 233 0 x y x y+ + − + =
.1:. Hallar la ec!aci4n de la circ!nerencia 5!e "asa "or el "!nto %1' *$ ; estanente a las rectas de ec!aci4n ; 7 +( ; 6 7 +1(.
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-2. Los "!ntos A%1' 2$' %*' *$ ; C%&' 2$ corres"onde a los 3?rtices del tri>n!loAC.
a$ Localiar los "!ntos del "lano cartesiano ; traa el tri>n!lo.,$ Hallar la ec!aci4n de la circ!nerencia c!;o centro es el 3?rtice A ; es
tanente al lado BC .c$ Hallar la ec!aci4n de la circ!nerencia circ!nscrita al tri>n!lo AC.
SUERENCIA# El centro de la circ!nerencia corres"onde al circ!ncentro oseael "!nto de intersecci4n de las =ediatrices de s!s lados.
TALLER N° PAROLA
1. Encontrar el oco' la directri ; di,!ar la "ar>,ola c!;a ec!aci4n es#
a$
23 0 x y− = c$
2 13 0
2 x y− =
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,$
24 0 x y+ = d$
21 02
x y+ =
-. Encontrar la ec!aci4n de la "ar>,ola 5!e tiene s! 3?rtice en el orien' s!directri es "aralela al ee ; ; "asa "or R%+-' 2$. C!>l es el ocoJ.
(. Encontrar la ec!aci4n de la "ar>,ola c!;o 3?rtice est> en el orien' s!directri es "aralela al ee 6 ; "asa "or el "!nto S%*' -$. C!>l es s! ocoJ.*. Encontrar la ec!aci4n de la "ar>,ola c!;o ee de si=etr
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d$23 12 8 4 0 x x y− − − =
e$22 12 8 18 0 x x y− + − − =
$( )
23 1 9 y x− =
.0. El 3?rtice de !na "ar>,ola es el "!nto K%*' +$ ; el oco es el "!nto @%-' +$Bacer !n ,os5!eo de la raica ; encontrar la ec!aci4n en la or=a eneral dedica "ar>,ola.:. La directri de !na "ar>,ola es la recta ; G - 7 2 ; s! oco es el "!nto @%'+-$B allar la ec!aci4n de la "ar>,ola "or dos =?todos distintos.12. Encontrar la ec!aci4n de la "ar>,ola 5!e "asa "or los "!ntos %-' -$' %*' /$'%*' +-$ ; c!;o ee es "aralelo al ee de si=etr,ola c!;o ee de si=etr
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d$2 5 6 y x x= − +
.Deter=ina en cada caso el oco' la directri' los "!ntos de corte con el ee 6'%si los a;$ ; el "!nto de corte con el ee ;.
1. Deter=ina la ec!aci4n de la "ar>,ola 5!e tiene 3?rtice en el "!nto K%2' ,$' , 2' ; "asa "or los "!ntos A%+:' 2$ ; %a' 2$.1/. Se disea !n aro iratorio rande de =anera 5!e la secci4n 5!e atra3iesas! ee sea !na "ar>,ola ; la !ente de l! est? en el oco. Enc!entre la "osici4nde la !ente de l! si el aro es de c!atro "ies de a,ert!ra ; dos "ies de"ro!ndidad.1&. Un telesco"io relector tiene !n es"eo "ara,4lico 5!e =ide -2 "ies de !nlado a otro' en la "arte de arri,a' ; * "ies de "ro!ndidad' en el centro.D4ndede,er so,re la carretera en !n "!ntoa -2 "ies del 3?rtice' enc!entre la alt!ra de las torres de la carretera.1:. S!"ona 5!e el corro del a!a del e6tre=o de !n t!,o oriontal si!e !narco "ara,olico con 3?rtice en el e6tre=o de !n t!,o. El t!,o esta a !na alt!rade -2 =etros de la tierra. En !n "!nto a dos =etros "or de,ao del inal delt!,o' la distancia oriontal del a!a asta la linea 3ertical del inal el t!,o esde * =etros %3?ase la si!iente i!ra$.D4nde ol"ea el a!a a la tierraJ.
-2.La "osici4n 3ertical de !n "ro;ectil se da "or la ec!aci4n
216 y t = −
; al
"osici4n oriontal "or 6 7 *2 t "ara t0≥
. Al eli=inar t entre las dosec!aciones' de=!estre 5!e la tra;ectoria del "ro;ectil es !n arco "ara,4lico.Haa la raica de la tra;ectoria del "ro;ectil.-1. De=!estre 5!e en !na "ar>,ola el "!nto =>s cercano al oco es el 3?rtice.
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--.Enc!entre el oco' la directri' el 3?rtice ; el ee de si=etr
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TALLER N°/ ELIPSE
1 Dada la ec!aci4n de !na eli"se#
2 2
1
16 4
x y+ =
' deter=ina c!ales de lossi!ientes "!ntos "ertenecen a la c!r3a#
a$ P
151,
3
,$ )( )2, 3
c$ R
33,
5
d$ S
73,
4
-. Identiicar las coordenadas de los 3?rtices ; los ocos de la eli"se.
a$
2 2
112 18
x y+ =
,$
2 225 9 225 x y
+ =
c$
2 2
120 2
x y+ =
d$
2 230 30 y x+ =
-
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14/25
e$
2 2
130 25
y x+ =
$
2 26 18 x y+ =
$
2 2
124 9
x y+ =
$
2 22 16 x y+ =.
(. Escri,ir la ec!aci4n de la eli"se !tiliando la inor=aci4n dada.a$ La eli"se tiene los ocos en @1%-' 2$ ; @-%+-' 2$ ; 3?rtices en K1%*' 2$ ;K-%+*' 2$.,$ La eli"se tiene centro en el orien' s! ee =a;or es oriontal' con
lonit!d de 0' la lonit!d del ee =enor es *.*. Encontrar el centro' los ocos ; los 3?rtices de la eli"se dada. Hacer laraica de la eli"se.
a$
2 2( 1) ( 3)1
49 36
x y− −+ =
,$
2
2 14 4
2 x y
+ + =
c$
2 2( 1) ( 2)125 36
x y+ −+ =
d$
2 236( 2) ( 4) 72 x y+ + − =
e$
22 ( 2)( 5) 1
16
y x
++ + =
$
2 225 9 100 18 116 0 x y x y+ − + − =
$
2 2
( 3) ( 4) 164 81
x y− ++ =
$
2 23 18 18 0 x y y+ + + =
. Encontrar la ec!aci4n de la eli"se 5!e satisaa las si!ientes condiciones.
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a$ K?rtices( 4,1)±
. Pasando "or( 5 , 4)
.,$ E6tre=os del ee =a;or en %-' *$ ; %1(' *$' !n oco %*' *$.c$ @ocos en @1%+1' -$ ; @-%+1' 12$ ; 3?rtices en K1%+1' 1-$ ; K-%+1' 2$.
d$ Los ees de la eli"se tienen lonit!des - ; 0' el ee =a;or es 3ertical ; elcentro de la eli"se est> en %+(' $.
/. Dada la ec!aci4n de la eli"se#2 216 25 128 100 0 x y x y+ − + =
#a$ Red!cir la ec!aci4n a la or=a eneral.,$ Deter=inar las coordenadas del centro' 3?rtices ; ocos.c$ Deter=inar las lonit!des de los ees =a;or ; =enor.d$ Hacer la raica del l!ar eo=?trico.
&. Encontrar los "!ntos de intersecci4n de la eli"se2 24 1 x y+ =
con el ee ; ;
con el ee 6.0. El ee =a;or de !na eli"se tiene !na lonit!d de 1 c= ; el ee =enor de :c=. C!>l es la distancia entre s!s ocosJ.:. Los dos ocos de !na eli"se tiene coordenadas @1%' 2$ ; @-%+' 2$. La s!=ade las distancias de !n "!nto de la eli"se a cada !no de los ocos es 1-!nidades. Encontrar las coordenadas de los e6tre=os de los ees.
12. Deina=os !na recta co=o tanente a la eli"se
2 2
2 2 1
x y
a b+ =
en el "!nto
0 0( , ) x y
est> dada "or
0 0
2 2 1 xx yy
a b+ =
. %K?ase la i!ra si!iente$. Utilice esta
4r=!la "ara deter=inar la ec!aci4n de la recta tanente a la eli"se
2 2
116 4
x y+ =
en el "!nto( 2, 3)−
.
-
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16/25
11. El se=ento de !na recta con e6tre=os en !na eli"se' 5!e "asa "or !n oco ; es "er"endic!lar al ee =a;or' se lla=a lado recto de la eli"se.%K?ase la
i!ra si!iente$. M!estre 5!e
22b
a es la lonit!d de cada lado recto de la
eli"se
2 2
2 2 1
x y
a b+ =
.
PREUNTAS PARA RE@LEQIONAR#
1-. Las ec!aciones2 22 3 0 x y+ + =
tiene la or=!la eneral ;2 23 0 y x+ =
tienenla or=a eneral de !na ec!aci4n eneral de se!ndo rado. Si las raicasB)!? ti"o de i!ras es"erar
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1(. El arco de !n "!ente es se=ieli"tico con ee =a;or oriontal. Si la ,ase delarco a,arca los 02 "ies de anco de la carretera ; la "arte =>s alta del "!enteest> a -2 "ies so,re la carretera' deter=inar la alt!ra del arco a 12 "ies dellado de la carretera.
1*. Se lana !n sat?lite desde la tierra ; este =antiene !na or,ita el
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TALLER N°& HIPEROLA
1. Encontrar las coordenadas del centro' los 3?rtices' los ocos ; las asintotasde la i"?r,ola dada. Hacer la raica de la i"?r,ola.
a$
2 2
164 9
x y− =
,$2 25 5 25 x y− =
c$
2 2
14 4
x y− =
d$2 29 16 144 0 x y− + =
e$
224 1
6
y x− =
$2 22 10 40 y x− =
$
2 2
1
16 25
x y− =
$2 24 16 64 x y− =
-. Identiicar el centro' los 3?rtices' los ocos ; la ec!aci4n de las asintotasde la i"?r,ola.
a$
2 2( 1) ( 3)1
4 4
x y− −− =
,$
2 24 6 8 11 x y x y− − + =
c$
2 2( 3) ( 2)1
9 16
y x− +− =
d$2 225 9 100 54 206 0 y x y x− − − − =
-
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19/25
e$
2 2( 3) ( 1)1
9 16
y x+ +− =
$2 22 3 4 6 49 y x y x− + + =
$
2 2( 5)1
4 24
x y+ − =
$2 22 2 12 35 x y x y− − − =
.(. Escri,ir la ec!aci4n de la i"?r,ola !tiliando la inor=aci4n dada
a$ @ocos( 5,0)±
' a 7 (.
,$ @ocos(0, 4)±
' !n 3?rtice %2' +-$.
c$ @ocos( 4,0)±
' la lonit!d del ee trans3erso /
d$ Centro %2' 2$' !n 3?rtice
50,
2
' !n oco %2, -($.
e$ K?rtices(0, 8)±
' as
-
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20/25
d$
2 2
112 4
x y− =
. Los 3?rtices de !na i"?r,ola son los "!ntos K1%(' 2$ ; K-%+(' 2$ ; los ocosson los "!ntos @1%' 2$ ; @-%+' 2$' allar la ec!aci4n de la i"?r,ola' lonit!dde s! ee trans3erso ; con!ado./. En cada caso' encontrar las coordenadas de los 3?rtices ; los ocosB laslonit!des de los ees trans3erso ; con!ado.
a$2 216 9 144 x y− =
,$2 29 4 36 y x− =
c$2 29 4 54 32 19 0 x y x y− − + − =
d$2 24 25 32 150 61 0 x y x y− + − + + =
.&. Considere=os la i"?r,ola 5!e tiene s!s ees trans3erso ; con!ado de la=is=a lonit!dB es decir' !na i"?r,ola donde a 7 ,' en este caso' s! ec!aci4n
2 2
2 2 1
x y
a b− =
' es decir2 2 2
x y a− =B Por5!?J. Dica i"?r,ola se lla=a
HIPROLA E)UILTERA. Enc!entra las ec!aciones de la rectas astera 5!e "asa "or el "!nto )%' *$ ;tiene "or as
-
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21/25
estaciones est?n en el ee 6' de =odo 5!e las estaciones est?n en ladoso"!estos ; e5!idistantes del ee ;.1(. Al!nos co=etas si!en !na or,ita i"er,4lica con el sol en !nos de s!socos %; n!nca 3ol3e=os a 3erlos de n!e3o$.Se "!ede =ostrar 5!e el 3?rtice de
!na ra=a de !na ra=a de !na i"?r,ola es el "!nto so,re ella =>s cercano aloco asociado con la ra=a. Dado este eco ; el 5!e la tra;ectoria del co=eta
5!eda descrita "or la i"?r,ola2 24 3 12 0 x y− − =
' con el sol en !no de los ocos'deter=ine c!>l es la distancia =>s corta del co=eta al sol. %Los n=eros est>n
dados en t?r=inos de UA' Unidades Astron4=icas' donde 1UA≈
:(222222=illas$.
TALLER N°0 TEMA#CNICAS %COMPLEMENTARIO$
1. Hallar el centro ; el resid!o de la circ!nerencia dada#
a$2 2( 1) ( 3) 49 x y− + − =
.
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22/25
,$2 2( 3) ( 5) 25 x y+ + − =
.
c$
2 21 3
52 2
x y − + − =
.
d$
2 2 1( 5) ( 8)4
x y+ + + =
.
e$2 2 18 6 10 0 x y x y+ − − − =
.
$2 2 16 3 63 0 x y y x+ − + + =
.
$2 28 8 16 64 40 0 x y x y+ + + − =
.
$2 2
5 5 25 100 50 0 x y x y+ + + + = .-. Hallar !na ec!aci4n de la circ!nerencia 5!e satisaa las condicionesdadas.
a$ Centro %1' +($ radio .,$ %+:' +*$' radio (-.c$ E6tre=os de !n di>=etro en %+1' *$ ; %(' 0$.d$ Centro %2' 2$' "asando "or %+1' +-$.e$ Centro %*' +$' "asando "or %&' +($.$ Centro %' /$' tanente al ee 6.$ Centro %+*' ($' tanente al ee ;.
(. De=ostrar 5!e la ec!aci4n dada no es !na circ!nerencia.2 22 2 2 6 7 0 x y x y+ − + + =
.*. Hallar el 3?rtice' el oco ; la directri de la "ar>,ola ; es,oar s! raica.
a$2 6 y x= −
.
,$2( 3) ( 2) 0 x y+ + − =
c$2 8 0 x y+ =
.
d$2( 1) 8( 2) 0 x y− + + =
.
e$2 4 4 0 y y x− − =
.
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$2 4 4 4 0 x x y+ + − =
$2 6 8 25 0 y y x+ + + =
.
$
2 4 8 12 0 y y x+ + − =.
. Hallar el 3?rtice' el oco ; la directri de la "ar>,ola.
a$2 0 y x y+ + =
,$( )2
14 2
6 y x x= − + −
;
c$2 4 4 0 y x− − =
d$2
2 8 9 0 x x y− + + = ./. Encontrar !na ec!aci4n de la "ar>,ola' dado#
a$ K?rtice %(' -$B @oco %1' -$.,$ K?rtice%2' *$B Directri ; 7 +-.c$ K?rtice%+1' -$B @oco%+1' 2$.d$ @oco%-'. -$B Directri 6 7 +-.e$ K?rtice %2' *$B Interce"tos con el ee 6 %+-' 2$ ; %-' 2$.$ El ee de si=etrica#
a$2 24 4 x y+ =
.
,$
22 ( 4)( 2) 1
1
4
y x
++ + =
c$2 25 7 70 x y+ =
.2 29 4 36 24 36 0 x y x y+ + − + =
d$
2 2( 1) ( 5)1
9 25
x y− −+ =
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e$2 216 25 32 50 31 0 x y x y+ − + + =
.:. Hallar la ec!aci4n de la eli"se "edida.
a$ Centro %2' 2$B @oco%-' 2$B K?rtice%(' 2$.
,$ K?rtices%(' 1$' %(' :$B Lonit!d del ee =enor#/.c$ @ocos
(0, 5)±B Lonit!d del ee =a;or 1*.
d$ Centro %2' 2$B Ee =a;or oriontalB P!ntos de la eli"se %(' 1$' %*' 2$.12. Un "asadio ,ao de !n arco es se=ieli"tico con !n ee =a;or 3ertical. La,ase del arco es de 12 "ies a tra3?s ; la "arte =>s alta del arco es de 1 "ies.Enc!entre la alt!ra del arco "or enci=a del "!nto so,re la ,ase del arco a ("ies del centro.11. Hallar el centro' los ocos ; los 3?rtices de la i"?r,ola' ; es,oar s!raica !sando las as
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e$ @oco %2' 2$. Asn colocados a !na distanciad !no del otro.S!"ona 5!e !n sonido %co=o !n estorn!do a ,orde de !n s!,=arino$ se o;e enlos dos detectores con !n tie="o de retraso entre ellos. S!"ona 5!e elsonido 3iaa en l,ola' eli"se oi"?r,ola.
a$021y16x6y4x 22 =++++
,$03x4yx4 22 =−−−
c$5xy4y2 +=−
d$ -6%6 + ;$ 7 ;%( G ; G -6$
e$0119y200x10x25 2 =−+−
1. Los conce"tos de esta !nidad te an sido clarosJ.1/. )!? a"rendisteJ.