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Topolog´ ıa de Espacios M´ etricos Taller n o 2 1 Sea F un subconjunto cerrado en un espacio m´ etrico (X, d)y a/ ∈ F un punto. Demuestre que existen dos abiertos disjuntos A y B tales que F ⊂ B y a ∈ A. Muestre con un ejemplo que si F no es cerrado la afirmaci´ on anterior puede no ser cierta. 2 Considere en R 2 con la distancia usual, los conjuntos A n = {(x, y): x 2 + y 2 =1/n 2 } para cada n ∈ N. Sea A = ∪ ∞ n=1 A n . a ) Encuentre, con las justificaciones adecuadas A, ◦ A y Fr A. b ) Considere el conjunto F = {(x, y) ∈ R 2 : y = x,x > 0}. Demuestre que A ∩ F es una sucesi´ on que converge a (0, 0). 3 Demuestre que, si M es un subconjunto de un espacio m´ etrico (X, d), entonces Fr M =(M ∩ X - M ) ∪ ( M - M ). OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´ e Herrero Pi˜ neyro
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Topologa de Espacios Metricos
Taller no 2
1 Sea F un subconjunto cerrado en un espacio metrico (X, d) y a / F un punto. Demuestre queexisten dos abiertos disjuntos A y B tales que F B y a A. Muestre con un ejemplo que siF no es cerrado la afirmacion anterior puede no ser cierta.
2 Considere en R2 con la distancia usual, los conjuntos
An = {(x, y) : x2 + y2 = 1/n2} para cada n N.
Sea A = n=1An.
a) Encuentre, con las justificaciones adecuadas A,A y FrA.
b) Considere el conjunto F = {(x, y) R2 : y = x, x > 0}. Demuestre que A F es unasucesion que converge a (0, 0).
3 Demuestre que, si M es un subconjunto de un espacio metrico (X, d), entonces
FrM = (M X M) (M M).
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jose Herrero Pineyro
