ALGEBRA LINEALTaller unidad IMATRICES-SISTEMASUniversidadNacionaldeColombiaDepartamentodeMatematicasAgostode20111. Considerelassiguientesmatrices:A =__3 01 21 1__B=_4 10 2_C=_1 4 10 2 1_D =__1 1 03 2 11 2 5__E=__2 2 10 1 32 1 1__Encasodeserposibleefectuarlassiguientesoperaciones:a) 2ABC Etb) tr(D 3E)c) 2At+ Cd) (2Et3Dt)te) AB + Cf ) tr(CtAt+ 2Et)g) D 2I3**tr(M)representalatrazadelamatrizcuadradaM= (mij),tr(M) =i=ni=1 mii2. Multiplicaciondematrices1a) Si A es una matriz 35 y ABes una matriz 37. Cual es el tama nodeB?b) CuantaslastieneBsiBAesdetama no2 6?c) SiA =_2 61 3_encontrarB22 = yB22 = ItalqueAyBconmuten.d) SiA =_2 61 3_encontrarB22 = talqueAB= .e) Seanp(x) = 2x3x2+ 5x 3yA =_1 10 2_,determinarp(A).f ) Considerelasmatrices:A =_1 23 6_, B=_3 82 3_yC=_5 21 2_CalculeAByACcompareyanalice.g) Encontrar k de tal manera que las matrices:_3 45 1_y_7 45 k_conmuten.3. ClasesdematricesClasique las proposiciones como verdaderas o falsas. JUSTIFIQUE (si esverdaderodemuestresiesfalsaencuentreuncontraejemplo)a) Si Ay B son matrices simetricas del mismo tama no, entonces (AB)t=BAb) SiAesunamatrizn n,entoncesA Atesantisimetrica.c) SiAyBsonmatricesortogonales,entoncesABesortogonal.d) Si A y B son idempotentes y conmutan, entonces AB es idempotente.e) Seawn1talquewtw=1,sedene:H=In 2wwt,entoncesHessimetricayortogonal.f ) Lamatriz:__0 1 10 0 10 0 0__esnilpotente.4. ConceptodematrizInversa-Propiedades2a) Demostrarquesiad bc = 0,entonceslainversadelamatriz:A =_a bc d_es A1=1adbc_d bc a_b) UsarlainformaciondadaparaencontrarX1) (2X)1=_2 13 5_2) (I + 2X)1=_ 1 24 5_3) (5Xt)1=_ 3 15 2_c) DemostrarquesiunamatrizcuadradaAsatisfaceA23A+I= 0,entonces:A1= 3I A5. SistemasdeEcuacionesa) Encontrartodoslosvaloresdea,b,cparaloscualeslamatrizAessimetrica.A =__2 a 2b + c 2a + b + c3 5 a + c0 2 7__b) Encontrartodoslosvaloresdex, y, zparaloscualeslasmatricesseaniguales:_x 3y + 9 y z0 2x + y + z + 2_=_x 5z z x y + 70 3x + 3y 2z_c) Expresar la matriz_2 53 8_como combinacion lineal de la matri-ces:_1 01 0_,_1 20 0_,_4 13 0_,_ 2 56 1_d) Determinetodaslassolucionesdelsistemalinealdadoencadacaso.i.___2x y + z= 3x 3y + z= 45x 2z= 5ii.___x + y + z + w = 62x + y z = 33x + y + 2w = 63iii.___2x y + z= 33x + y 2z= 2x y + z= 7x + 5y + 7z= 13x 7y 5z= 12iv.___x + 2y z= 02x + y + z= 05x + 7y + z= 0e) Determinar los valores de las constantes dadas(a y/o b seg un el caso)paraloscualeslossistemasdeecuaciones:i.___x + y z= 4x + 2y + z= 73x + 6y + (a25a + 9)z= a + 18ii.___ax + bz= 2ax + ay + 4z= 4ay + 2z= biii.___x + y + 3z= 2x + 2y + 4z= 3x + 3y + az= biv.___(b 1)x 2y + 2z= 0x + by 2z= 0x y + (b 1)z= 0A. Tienensolucion unica.B. Tieneninnitassoluciones.C. Soninconsistentes.f ) Plantearyresolverlossiguientesproblemas:i. Unmueblerofabricasillas,mesasparacafeymesasparacome-dor.Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y12 para barnizarla. Se necesitan 12 minutos para lijar una mesaparacafe,ochoparapintarlay12parabarnizarla.Senecesitan15minutosparalijarunamesaparacomedor,12parapintarlay18parabarnizarla. Lamesadelijadoestadisponible16ho-rasalasemana, lamesadepintura11horasalasemanaylamesa de barnizado 18 horas. Cuantas unidades de cada muebledebenfabricarseporsemanademodoquelasmesasdetrabajoseocupentodoeltiempodisponible?ii. Uneditorpublicaunposibleexitodelibreraentrespresenta-cionesdistintas: librodebolsillo, clubdelectoresyediciondelujo.Cadalibrodebolsillonecesitaunminutoparaelcosidoy2paraelpegado.Cadalibroparaelclubdelectoresnecesita2minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro en ediciondelujonecesita3minutosparaelcosidoy5paraelpegado.Si4la planta de cosido esta disponible 6 horas diarias y la planta depegado 11 horas, cuantos libros de cada presentacion se puedenproducir por da de modo que las plantas se aprovechen toda sucapacidad?iii. Tresrecipientescontienenagua.Sisevierte13delcontenidodelprimer recipiente en el segundo, y a continuaci`on14del contenidodel segundoenel tercero, ypor ` ultimo110del contenidodeltercero en el primero, entonces cada recipiente queda con 9 litrosdeagua. Qu`ecantidaddeaguahab`aoriginalmenteencadarecipiente?6. Miscelaneaa) Completar:i. SiA =_1 23 4_entonces(A2)1=ii. SiAyBsonmatricescuadradasdelmismotama noentonces(A + B)2=iii. Si A y B son cuadradas del mismo tama no y conmutan, entonces(AB)2=iv. Lasoluciondelsistema___ax + by + cz= 5(a + 2)x (b 1)y bz= 2(a 2)x cy + (b + 2)z= 6esx = 1, y= 1, z= 2;sia = b = c =v.__1 3 02 5 13 9 1__1=__4 3 31 11__vi. Usandov:__1 2 33 5 90 1 1__1=Paralassiguientespreguntas:MarqueAsiIyIIsonverdaderasMarqueBsiIesverdaderayIIesfalsaMarqueCsiIesfalsayIIesverdaderaMarqueDsiIyIIsonfalsas5b) I)SeaB Mnn,siB2= 0nnentoncesB= 0nnII)SiA, B Mnnconmutan,entonces(A B)(A + B) = A2B2A) B) C) D)c) I)SiA MmnyB, C MnpyAB= AC,entoncesB= CII)SeanA, B Mnn,siAB= 0nnyAesnosingularentoncesB= 0nnA) B) C) D)d) EnlosenunciadosA, B MnnI)SiA, BsonnosingularesentoncesA + Besnosingular.II)(AB)2= A2B2A) B) C) D)e) En las siguientes preguntas indique si el enuciado es verdadero o falsoi. SiA, B Mnnconentradasrealesocomplejasysiestaenlos reales o complejos, entonces Tr(A+B) = Tr(A)+Tr(B).EnlassiguientespreguntasA, B Mnn.ii. SiA2= Aentonces(At)2= At.iii. Si Ak= 0nn para alg un k entero positivo entonces Aes singular.iv. Aesnosingularsiysolosiai,i = 0v. SiAesnilpotenteentoncesdet(A) = 0vi. Todo sistema de ecuaciones con igual n umero de incognitas y deecuacionestienesiempresoluc`on.vii. SiAyBsonmatricesinvertibles,entoncesA+Besinvertible.viii. siA Mnm(R),B Mmn(R)ym < n,entoncesABnoesinvertible.ix. Lamatriz_ 3 2 81 9 3_escombinacionlinealdelasmatrices:_ 1 0 41 1 5_y_0 1 22 3 6_f ) Bajoquecondicionessobrea RexsteunamatrizXdetama noadecuadotalque_X +_1 a1 a2_ _2= X2+__1 1a a2_Xt+ I2_t6