Universidad Del Magdalena

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1. Considere los puntos al punto es el doble de la distancia de al punto . Pruebe que el conjunto de esos puntos es una esfera y determine su centro y su radio.

Sol:

Completamos cuadrados:

Es una esfera con centro en y con radio de .

1. Determine la ecuacin del pplano que sea paralelo a las rectas:

Y que contenga el punto

3. Halle y grafique el dominio de:

1. 1.

Sol:

1.

AQU VA LA GRAFICA 1

1.

AQU VA LA GRAFICA 2

4. Pruebe que el limite de no existe, probando con una familia de rectas.

Sol:

Teniendo el valor de , decimos que:

El limite de una constante es la misma constante, por tanto el limite no existe.

5. Si , pruebe que

Sol:

Decimos que:

Por consiguiente:

6. Halle las ecuaciones Paramtricas y simtricas de la recta tangente a la curva de corte entre el plano y=6 y la superficie en el punto Las ecuaciones paramtricas de t son

Hallamos el : por lo que proyectamos T sobre xzSea L la proyeccin de T sobre xz

La ecuacin de L es Pero ; por lo tanto ; consideremos el punto , por lo tanto: = =Luego la ecuacin de L es:

Para hallar el punto B, hacemos

Para hallar el punto A, hacemos

De esta manera

Simplificando

Por lo tanto las ecuaciones paramtricas son:

Y las ecuaciones simtricas

7. Halle los puntos de en los cuales el plano tangente sea horizontal.

Completando Cuadrados obtenemos:

Esta ecuacin me representa una esfera con radia 4 y centro en (-2,0,1)

Para que el plano sea horizontal, su vector normal debe ser de la forma (0,0,K) Siendo k la componente en direccin z

Ahora reemplazamos y obtenemos los puntos de z

Los puntos donde el plano tangente es horizontal es (-2,0,-3) y (-2,0,5)

8. Dada la superficie determine los valores que debe tomar y para que la recta normal a dicha superficie en el punto (1,1,zo) sea paralela La ecuacin paramtrica de una recta normal de una superficie que pasa por un punto es:

Y el vector direccional:

Siendo el punto por donde pasa la recta tangente en la superficie Entonces1. 1. 1. Entonces tenemos que la ecuacin paramtrica de la recta normal queda:

Sea el vector v1 el vector direccional de la recta normal

Sea v2 el vector direccional de la recta entonces:

Entonces como la recta normal es paralela a la recta , debe cumplirse que:

Por lo tanto

Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones:1. (1)1. (2)1. (3)Despejando b de (1) (4)Remplazando (3) y (4) en (2)

Remplazando el valor de en (4)

Entonces tenemos que

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