Taller

1. Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de:

a) ,1

)(x

xf n = 4 , c = 1 = xi

Rta: siguiendo la serie de Taylor se hallan las cuatro derivadas para

formar el polinomio de la siguiente manera:

241

24)(

;61

6)(;21

2)(;11

)(;11

)(

1

!4

))((

!3

))((

!2

))(())(()()()(

5

432

4

1

3

1

2

1

11

i

i

v

i

i

i

i

i

i

i

i

i

iii

v

iiiiii

iiiii

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

x

xxxfxxxfxxxfxxxfxfxfxf

Ahora formando el polinomio tenemos:

4

1

3

1

2

11

1

1

4

1

3

1

2

1

1

1

1

)1()1()1()1(11

)(

!4

)1(24

!3

)1(6

!2

)1(2)1(1

1)(

iiii

i

i

iii

i

i

i

xxxxx

xfndoSimplifica

xxxx

xxf

b) )()( xInxf , n = 4 , c = 1 = xi

Rta: Al igual que el punto anterior se determinan las cuatro derivaras de la

función:

66

)(

;22

)(;11

)(;11

)(;0)()(

1

4

32

i

i

v

i

i

i

i

i

iii

i

xxf

xxf

xxf

xxfxInxf

x

Ahora formando el polinomio tenemos:

4

)1(

3

)1(

2

)1()1(0)()(

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1()1(0)()(

4

1

3

1

2

1

111

4

1

3

12

1

111

iii

iii

iii

iii

xxxxxInxfndoSimplifica

xxxxxInxf

2. Para f(x) = arcsen (x)

a) Escribir el polinomio de Mclaurin P3(x) para f(x).

Rta: El polinomio de Mclaurin consiste en la serie de Taylor centrada en cero

(xi=0), además P3(x) significa que se trunca en la tercera derivada.

6

)()()()(

!3

)(1

!2

)(0)(10)(

1)1(2

12)2)(2()1(

4

3)(

;0)2()1(2

1)(;1

1

1)(;0)()(

0

)0(!3

))(0(

!2

))(0())(0()0()()(

!3

))((

!2

))(())(()()()(

3

1

113

3

1

2

1

113

2322

52

232

2

3

1

2

1

113

3

1

2

1

113

i

ii

ii

ii

iiiii

iii

i

iii

i

i

ii

ii

iiiiii

iiiii

xxxPxfndoSimplifica

xxxxP

MclaurindepolinomioelosreemplazamAhora

xxxxxf

xxxfx

xfxarcsenxf

xEntonces

xMclaurindedeSeriexfxf

xffxPxf

TaylordeSeriexxxfxxxf

xxxfxfxPxf

b) Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes).

Rta: ahora reemplazando los valores en la función f(x) y en la función

aproximada hallada anteriormente P3(x) se llena la tabla.

Como tenemos la función podemos calcular el error verdadero:

100*verdadero

aproximadoverdadero

Valor

ValorValor

x -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75

f(x) -0,8481 -0,5236 -0,2527 0 0,2527 0,5236 0,8481

P3(x) -0,8203 -0,5208 -0,2526 0 0,2526 0,5208 0,8203

%E 3,278 0,5348 0,03957 0 0,03957 0,5348 3,278

c) Dibujar sus graficas en los mismos ejes coordenados.

Graficando la función y la función aproximada tenemos:

3. Confirme la siguiente desigualdad con la ayuda de la calculadora y

complete la tabla para confirmar numéricamente.

32 )1( SxInS

Siendo Sn la serie que aproxima la f(x) dada.

Grafique y analice los resultados obtenidos

Rta: como se trata de una función logarítmica la mejor forma de aproximarla es

usando la serie de Mclaurin es decir la serie de Taylor centrada en cero.

Entonces obteniendo las derivas de la función se tiene:

)0(!3

))(0(

!2

))(0())(0()0()()(

3

1

2

1

11 i

ii

ii xMclaurindedeSeriexfxf

xffxfxf

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.75 -0.25 0.25 0.75

Mclaurin

f(x) = arcsen(x)

Derivando tenemos:

2)1(

2)(

;1)1(

1)(;1

1

1)(;0)1()(

0

3

2

i

i

i

i

i

iii

i

xxf

xxf

xxfxInxf

x

S2 significa que la serie se trunca en n=2 (segunda derivada) y S3 significa que la serie

se trunca en n=3 (tercera derivada).

3

)(

2

)()(0

2

)()(0

:

!3

))(0(

!2

))(0())(0()0()(

!2

))(0())(0()0()(

3

1

2

1

13

2

1

12

3

1

2

1

13

2

1

12

ii

i

i

i

ii

i

i

i

xxxS

xxS

derivadaslasdoreemplazan

xfxfxffSxf

xfxffSxf

Ahora reemplazamos para cada uno de los valores de la tabla.

x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

S2 0,0 0,18 0,32 0,42 0,48 0,5

In (x+1) 0,0 0,182 0,336 0,470 0,578 0,693

S3 0,0 0,183 0,341 0,492 0,651 0,833

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.5 1

S2

In (x+1)

S3

Como se observa la

desigualdad se cumple,

además se puede acercar que

S3 se acerca más al

comportamiento de la

función real, esto es debido a

que utiliza mas términos de la

serie.

4. A partir de la serie de Taylor demostrar las expresiones de diferencia

finita regresiva y diferencia finita centrada.

Rta: Para la diferencia finita regresiva:

)()()(

)()()()(

)(

)()()(

)()())(()()(

!

))((..

!3

))((

!2

))(())(()()()(

12

1

1

1

2

11

1

3

1

2

1

11

Ohh

xfxfxf

h

Oh

h

xfxf

xx

xfxfxf

xfdespejandoahoraOhxxxfxfxf

derivadaprimeraenserielatruncandoahora

n

xxxfxxxfxxxfxxxfxfxfxf

ii

i

entoncesii

ii

ii

i

iiiiii

n

iii

v

iiiiii

iiiii

Para la diferencia finita centrada:

La diferencia finita centrada resulta de la resta de la diferencia finita progresiva f(xi+1) y

la diferencia finita regresiva f(xi-1), entonces:

)(2

)()()(

2

)(

2

)()()(

)(

)()(2)()(

....!3

)(2)(2)()(

!

)(..

!3

)(

!2

)()()()(

!

)(..

!3

)(

!2

)()()()(

211

311

3

11

11

32

1

32

1

Ohh

xfxfxf

entoncesh

Oh

h

xfxfxf

xfdespejandoahora

Ohhxfxfxf

derivadaprimeraenserielatruncandoahora

hxfhxfxfxf

n

hxfhxfhxfhxfxfxf

n

hxfhxfhxfhxfxfxf

ii

i

ii

i

i

iii

i

iii

n

i

v

ii

iii

n

i

v

ii

iii

5. Usando los términos de la serie de Taylor, aproxime la función

f(X)=cos(x) en x0=π/3 con base en el valor de la función f y sus

derivadas en el punto x1=π/4. Empiece con solo el termino n=0

agregando sucesivamente un término hasta que el error porcentual sea

menor que la tolerancia, tomando 4 cifras significativas.

Rta: Conociendo la función se puede determinar el valor real f(π/3)=0,5

aproximando la función con la serie de Taylor se tiene:

Tolerancia:

2

2)(cos)(

2

2)()(

2

2)(cos)(

2

2)()(

;2

2)(cos)(;

2

2)()(;

2

2)(cos)(

4;

3

)6(

1

ii

ii

v

ii

v

ii

iiiiii

ii

xxf

xsenxfxxfxsenxf

xxfxsenxfxxf

xx

El paso h=xi+1-xi= (π/3- π/4)= π/12,

Aproximación de orden cero n=0:

707106781,02

2

4cos

3f

Hallando el error relativo porcentual y el error verdadero se tiene:

Para el primer orden de aproximación, adicionando la primera derivada:

521986659,01244

cos3

senf

Para el segundo orden de aproximación:

0,497754492

124cos

1244cos

3

2

senf

Adicionando términos sucesivamente hasta que se cumpla que Ea ≤ Es

%4,41%100*5,0

707106781,05,0%100*

exp

verdadero

erimentalverdadero

tValor

ValorValor

%4,4%100*521986659,0

521986659,05,0t

%5,35%100*521986659,0

707106781,0521986659,0%100*

nuevo

anteriornuevo

aValor

ValorValor

%005,0)%105,0()%105,0( 422 xx n

s

Oder n fn(x) Aprox. f(π/3) єt(%) Єa(%)

0 Cos x 0,70710678 41,4 ---

1 -sen x 0,52198666 4,4 35,4645

2 -Cos x 0,49775449 0,45 4,8683

3 sen x 0,49986915 0,03 0,4230

4 Cos x 0,50000755 0,002 0,0277

5 -sen x 0,5000003 6,08E-05 0,0014