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Taller de Matemáticas II

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Temario

1. Funciones Trigonométricas para ángulos agudos 1.1. Unidades de medición de ángulos 1.2. Funciones Trigonométricas Directas 1.3. Funciones Trigonométricas Recíprocas 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas 30º, 45º y 60º

2. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud

2.1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 2.1.1. Distancia al origen

2.1.2. Signos y valores de las funciones trigonométricas 2.2. Funciones Trigonométricas en el círculo unitario 2.3. Gráfica de funciones trigonométricas 2.4. Identidades Pitagóricas

3. Leyes de senos y cosenos


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Sesión 9

Los temas a revisar el día de hoy son:

1. Funciones Trigonométricas para ángulos agudos 1.1. Unidades de medición de ángulos

1. Funciones Trigonométricas para ángulos agudos Función: es la relación o correspondencia existente entre dos variables (por ejemplo x, y), de tal manera que a cada valor de “x” le corresponde exactamente un sólo elemento de “y”. Esto se expresa: y = f(x), y se lee: “y” es una función de “x”. De tal suerte que se obtienen pares ordenados (x, y). Trigonometría: es una rama de las Matemáticas cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos. Función Trigonométrica: la Trigonometría como rama de las Matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una práctica inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos. 1.1. Unidades de medición de ángulos

Unidades angulares:

• Las unidades para medir ángulos en el sistema sexagesimal son los grados. 1° = 60’ 1’ = 60’’

Ejemplo: Para convertir de minutos y segundos a grados:

87º 24’ 42” Convertirlo a grados Solución: El valor en grados de los minutos, divídelos entre 60, es decir, 24 / 60 = 0.4 El valor en grados de los segundos, divídelos entre 3,600, 42 / 3,600 = 0.01166 Sumas los resultados anteriores y obtienes: 87º 24’ 12” = 87. 41166º.


4

Ejemplo: Para convertir de grados a minutos y segundos:

45.763º Convertirlo a grados, minutos y segundos Solución: El valor de los minutos, multiplica el decimal 0.763 por 60, 0.763 x 60 = 45.78 El valor de los segundos, el decimal anterior se multiplica por 60, 0.78 x60 = 46.8 Entonces, 45.763º = 45º 45’ 46.8” Unidades circulares:

• Otra unidad más práctica es el radián, el cual se basa en la longitud del arco (medida del ángulo central) obtenida en una circunferencia de radio 1 de una circunferencia.

Si la circunferencia tiene una longitud de 2πr, entonces el ángulo que forma

mide 2πr = 360°. Si r = 1, entonces π = 180°.

π = 3.1416 entonces, 1 radián = 57º 17’ 45’’ = 57.29583º

Ejemplo:

Para convertir de radianes a grados:

rad convertirlo a grados ° ° 135°

Para convertir de grados a radianes:

128º Convertirlos a radianes, como � = 180º, entonces:

°, resuelves la proporción:

Se deja indicado el valor de � y no se multiplica porque es un número irracional no finito.


5

Práctica 25 I.‐ Convierte de grados a radianes y viceversa.

1) 25º a radianes.

2) 5/3 π rad a grados. 3) 125º a radianes.

4) 7/6 π rad a grados. 5) 2,054º a radianes.

6) 19/2 π rad a grados. 7) 23º25’12’’ a radianes.

8) 12.85 π rad a grados. 9) 1,256º12’’ a radianes.

10) 7/4 π rad a grados.


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Sesión 10

El tema a revisar el día de hoy es:

1.2. Funciones Trigonométricas Directas 1.2. Funciones Trigonométricas Directas La Trigonometría estudia la relación que hay entre las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Para definir las funciones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará es:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor

longitud del triángulo rectángulo. • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo a determinar. • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente (contiguo) al ángulo a

determinar. Las proporciones que se obtienen al comparar la medida de los lados del triángulo rectángulo se les conoce como razones trigonométricas y son las siguientes:

Cada razón trigonométrica recibe un nombre distinto: 1. La razón entre el cateto opuesto y la

hipotenusa recibe el nombre de seno (sen).

2. La razón entre el cateto adyacente y la

hipotenusa recibe el nombre de coseno (cos).

3. La razón entre el cateto opuesto y el

cateto adyacente recibe el nombre de tangente (tan).

cos

tan

Convtrigotrigo Ejem Obté

1

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2

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7

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Matemát

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ticas II

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es todos este te resulta

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un

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8

Ya obtuviste el ángulo interior faltante en el triangulo, ahora falta calcular el lado adyacente “a” y la hipotenusa “c”. Encuentra la necesidad de las funciones trigonométricas para la resolución de este ejercicio, el detalle consiste en reconocer la razón trigonométrica que te facilitará determinar el valor de los datos faltantes.

cos tan Tanto la razón coseno como la tangente se pueden utilizar para determinar los dos valores faltantes.

Entonces, si utilizas la función cos :

Despejas el lado “c”:

Sustituyes los valores b = 5 y α = 34º:

Determinas el valor de cos 34º:

Simplificas: ¡Y listo!

Ya que obtuviste el valor de la hipotenusa “c”, a partir de otra razón trigonométrica puedes obtener el otro valor faltante o también, tienes la opción de utilizar la fórmula del teorema de Pitágoras, ya que se trata de un triángulo rectángulo.

Has logrado observar que en ambos casos obtienes los mismos resultados. Entonces puedes utilizar cualquiera de los dos. Nota: Para la obtención del valor correspondiente a las funciones trigonométricas puedes hacerlo a través de la calculadora o de la tabla de funciones trigonométricas, ambas se encuentran en el anexo al final del material.

°

°

c = 5/ 0.86 c = 5.81

Razón Trigonométrica

De la razón: tan α = a/b Despejas “a”: a = b tan α Sustituyes: a = 5 tan 34º Obtienes tan: a = 5 (0.5914) Simplificas: a = 2.96

Teorema de Pitágoras De la fórmula: c2 = a2 + b2 Despejas “a”: a2 = c2 – b2

Sustituyes: a2 = (5.81)2 – (5)2 Simplificas: a2 = 33.76 – 25 Obtienes raíz: a2 = 8.76 Listo: a = 2.96


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Práctica 26

1) Completa la siguiente tabla con las razones trigonométricas directas usando el triángulo rectángulo siguiente.

2) En los siguientes ejercicios resuelve lo siguiente: a) Determina los datos faltantes a cada triángulo, ya sea el ángulo o

lado del mismo. b) Escribe las tres razones trigonométricas de cada ángulo.

Funciones Trigonométricas Directas sen D cos D tan D

Funciones Trigonométricas Directas sen E cos E tan E


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Sesión 11 El tema a revisar el día de hoy es:

1.3. Funciones Trigonométricas Recíprocas

1.3. Funciones Trigonométricas Recíprocas Habrás notado que en el tema anterior sólo trabajaste tres tipos de las seis razones que obtuviste entre los lados del triángulo rectángulo, ¿en dónde queda el resto? Para averiguarlo, compara las seis razones tal como se presentan a continuación, una frente a otra: ¿Qué característica encuentras? ¡Exacto! La razón (4) es recíproca de la razón (1), la (5) de la (2) y la (6) de la (3). Por esta razón, estas razones trigonométricas reciben el nombre de funciones trigonométricas recíprocas. A su vez, cada una de estas razones recibe un nombre específico como se muestra a continuación:

(1)

(2) cos

(3) tan

(4)

(5)

(6)

1. La razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto recibe el nombre de cosecante (csc).

2. La razón entre la hipotenusa y el

cateto adyacente recibe el nombre de secante (sec).

3. La razón entre el cateto adyacente y

el cateto opuesto recibe el nombre de cotangente (cot).

sec

cot

1

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El vaPitág

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11

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ticas II

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12

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G= cos - 1(0.3G = 71º

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ticas II

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2) Carlos sumide la altura de

3) Calcula trigonomángulos rectánguamplitud

4) Encuent ve la pa

5) Encuent trigonom y β del t que es r

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Matemát

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25

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ticas II

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na distancia 30°.

β

1.3m

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. Estando a0°. Calcula el suelo.

de 18 m se

hí, la

e


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1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo implican un ángulo recto, es decir, un ángulo con una medida de 90º. Considera un triángulo equilátero cuya longitud de sus lados es igual a dos unidades. Ahora, por ser éste equilátero, la amplitud de sus ángulos son congruentes cuya medida es de 60º. Al cortar dicho triángulo equilátero exactamente por la mitad, corta la longitud del lado exactamente a la mitad y la amplitud del ángulo exactamente a la mitad, por lo que se obtienen los siguientes dos triángulos rectángulos cuyas medidas son las siguientes:

La longitud del lado faltante lo obtienes a través del teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2 a2 = (2)2 – (1)2 a2 = 4 – 1 = 3

√3


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Sus respectivas razones trigonométricas correspondientes son:

Ángulo 60º Ángulo 30º

sen 60º = √ csc 60º = √ sen 30º = csc 30º = 2

cos 60º = sec 60º = 2 cos 30º = √ sec 30º =√

tan 60º = √ cot 60º = √ tan 30º =

√ cot 30º = √

Ahora, considera un triángulo isósceles, la propiedad de los ángulos isósceles señala que al poseer dos lados iguales, los ángulos opuestos a dichos lados también son iguales. Si dicho triángulo es un triángulo rectángulo y al mismo tiempo isósceles, la medida de los ángulos y lados queda determinada bajo las siguientes características: Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º entonces, como ya tienes uno de 90º y dos iguales, tienes algo de la forma: 180º ‐ 90º = 2x, despejando y realizando las operaciones necesarias obtienes que x = 45º, dicho valor corresponde a la amplitud de cada uno de los ángulos congruentes en el triángulo rectángulo isósceles. Como observas en la imagen, falta determinar un lado del triángulo el cual corresponde al valor de la hipotenusa, pero, con la ayuda del teorema de Pitágoras es fácil que obtengas su valor.

c2 = a2 + b2 c2 = (1)2 + (1)2 c2 = 1 + 1 = 2

√2 Sus respectivas razones trigonométricas son: Obtén el valor de las razones trigonométricas recíprocas para el ángulo de 45º.

Ángulo 45º

sen 45º = √

cos 45º = √

tan 45º =


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Ejemplo: Con la tabla de valores obtenidos anteriormente resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

1) Calcula la medida de los catetos del siguiente triángulo rectángulo.

Toma cualquiera de las razones trigonométricas y obtén el valor número de la función trigonométrica como sigue: Por ejemplo: Si tomas la función sen 45º = a/ c, obtienes: Despejas a = c sen 45º Obtienes el valor de sen a = c (0.7071) Sustituyes “c” a = (8) (0.7071) Simplificas: a = 5.6568

Y por ser un triángulo rectángulo, la amplitud de su ángulo faltante mide también 45º, por lo que se trata de un triángulo rectángulo isósceles y por lo tanto la medida de sus catetos son congruentes. Práctica 28

1) Un excursionista desea subir a la parte más alta de un cerro que tiene 800 m de altura. Si el camino por donde va a subir tiene un ángulo de elevación de 60º, ¿qué distancia deberá recorrer para llegar a su meta?

2) Un edificio proyecta una sombra de 20 metros en el momento en que el sol

forma un ángulo de 60º con el horizonte. ¿Qué altura tiene el edificio?

Calcula además de las 6 funciones trigonométricas, los lados y ángulos faltantes en los siguientes ejercicios:

3) La base de un triángulo rectángulo mide 30 m, y su lado adjunto 60º

4) Uno de los lados de un triángulo rectángulo mide 8 cm y su hipotenusa 10 cm.

5) El ángulo adyacente a la base mide 39º y la hipotenusa del triángulo

rectángulo mide 18 cm.


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Anexo

Tabla con valores trigonométricos para los ángulos múltiplos de 15º


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Sesión 13 Los temas a revisar el día de hoy son: 2. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud

2.1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 2.1.1. Distancia al origen

2.1.2. Signos y valores de las funciones trigonométricas 2. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud

Ya aprendiste a obtener los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agudos, ¿qué ocurre con los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud? A continuación aprenderás a obtener dichos valores y a trabajar las propiedades y características de las funciones trigonométricas en particular. 2.1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Anteriormente comenzaste a trabajar con las funciones trigonométricas, las obtuviste a partir de la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo, pero, ¿te has preguntado cómo es el comportamiento de dichas funciones en el plano cartesiano? Ya que se tratan de funciones, se pueden representar en el plano cartesiano mediante una gráfica, y todos los valores correspondientes que obtuviste en la relación de los lados de un triángulo rectángulo conforman su gráfica. Antes de obtener los valores de una función trigonométrica en el plano, es importante que aprendas a calcular la distancia que existe del origen a cualquier punto en el plano. Un ángulo normal se considera así por su posición, ya que en un sistema de coordenadas rectangulares, su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de las “x”. Ángulo de referencia: es el ángulo más pequeño que se forma con el eje de las “x”, éste puede ser medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, si el lado inicial está sobre el lado positivo del eje de las “x”, o en el sentido de las manecillas del reloj, si el lado inicial está sobre el lado negativo del eje de las “x”. 2.1.1. Distancia al origen

Considera a θ como el origen del plano cartesiano y un punto cualquiera en el mismo P (a, b), para calcular la distancia que existe del origen a ese punto, recurres a la formación de un triángulo rectángulo, trazas una línea vertical del punto P al eje de las “x” (a la abscisa “a”) y la unes con el origen, ya que se formó el triángulo rectángulo, determinas lo siguiente:


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º45)1(tan

177tan

tan

1

==

==

=

−

θθ

θ

θadyacentecatetoopuestocateto

a : abscisa, cateto adyacente. b: ordenada, cateto opuesto. r : distancia del origen al punto, hipotenusa.

θ: ángulo formado por la horizontal y el punto P.

Mediante las funciones trigonométricas puedes obtener la medida del ángulo θ.

Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano el punto Q (7, 7); calcula la distancia de este punto al origen y el ángulo que forma con la horizontal. Solución: Aplica el teorema de Pitágoras para obtener la distancia del punto Q al origen O:

c2 = a2 + b2 r2 = 72 + 72 r2 = 49 + 49 r2 = 98 r = 7√2

Una vez que obtuviste el valor de la hipotenusa (r), para determinar la amplitud del ángulo, puedes realizarlo a través de cualquiera de las funciones trigonométricas y mediante la calculadora o de las tablas trigonométricas.

Entonces, si usas la función tangente:

Sustituye los valores correspondientes:

Despeja el ángulo θ:

Aplica la función:

cos

tan

sec

cot

7

7


20

ysen

opuestocatetosen

opuestocatetosen

hipotenusaopuestocatetosen

=

=

=

=

θ

θ

θ

θ

1

2.1.2. Signos y valores de las funciones trigonométricas

Si utilizas puntos en el plano cuya distancia al origen siempre sea igual a 1, es decir, que al formar el triángulo rectángulo su hipotenusa siempre sea 1, ¿qué ocurre con las funciones trigonométricas? Si la hipotenusa vale 1, lo sustituyes en la siguiente fórmula:

Obtienes que la función seno es equivalente a la medida del segmento que corresponde al cateto opuesto (vertical):

Es decir, el valor de la “ordenada”.

¿Qué valores toma el cateto opuesto (la ordenada “y”) cuando la hipotenusa se va moviendo de lugar?

En la figura puedes apreciar el comportamiento del cateto opuesto cuando la hipotenusa se mueve de lugar sobre el plano cartesiano, pero siempre guardando su valor unitario. Mientras el ángulo aumenta el valor del cateto opuesto, se acerca al de la hipotenusa, pero cuando rebasa los 90º éste disminuye nuevamente. Además, encuentras que las medidas de los catetos opuestos son equivalentes para ciertos ángulos, de lo que concluyes por ejemplo que:

sen 30º = sen 150º sen 60º = sen 120º sen 0º = sen 180º


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Si la hipotenusa continúa moviéndose sobre el plano cartesiano, los valores del cateto opuesto cateto opuesto en el tercer y cuarto cuadrante toma valores negativos, en cuanto a la magnitud son equivalentes a los valores del primer y segundo cuadrante, pero con signo contrario. En estos cuadrantes también se cumple que:

sen 210º = sen 330º sen 240º = sen 300º sen 270º = – sen 90º

sen 330º = – sen 30º sen 210º = – sen 150º sen 300º = – sen 60º Algo similar ocurre con la función coseno, observa la gráfica: Algunas equivalencias que logras deducir en la gráfica anterior son:

cos 30º = cos 330º cos 60º = cos 300º cos 90º = cos 270º

cos 30º = – cos 150º cos 240º = – cos 300º cos 180º = – cos 0º

Para la función tangente, como ésta depende de los dos catetos, su valor numérico varía mucho, en el primer cuadrante sus valores aumentan hasta llegar a infinito y al pasar los 90º van disminuyendo hasta llegar a cero. ¿Qué ocurre con los signos de las tres funciones en cada cuadrante del plano cartesiano?


22

+==

+==

+==

xy

x

ysen

θ

θ

θ

tan

cos

+==

+==

+==

yc

x

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1sec

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θ

−==

−==

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θ

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−==

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θ

θ

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−==

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xy

x

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θ

θ

θ

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−==

+==

yc

x

yxc

1sec

1sec

tan

θ

θ

θ

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Cuadrante Seno Coseno Tangente Cotangente Secante CosecanteI + + + + + + II + – – – – + III – – + + – – IV – + – – + –


23

−==

+==

−==

xy

x

ysen

θ

θ

θ

tan

cos

−==

+==

−==

yc

x

yxc

1sec

1sec

tan

θ

θ

θ

95 −

==hipotenusa

opuestocatetosenθ

Ejemplo:

Si el sen θ = –5/9, determina el valor del resto de las funciones trigonométricas

del ángulo θ.

Solución: Según has visto, para la función seno existen dos valores equivalentes para ángulos diferentes, observa la gráfica.

En este caso, la distancia del punto al origen es igual a 9 unidades, valor que corresponde a la hipotenusa, según está determinada la función seno. c.o. = –5, h = 9 Para determinar el valor de las otras funciones trigonométricas es necesario que obtengas primero el cateto adyacente. A través del teorema de Pitágoras obtienes el dato faltante: c2 = a2 + b2

Despeja el cateto adyacente:

Sustituye los valores correspondientes: Aplica los cuadrados:

r2 = (c.a.)2 + (c.o.)2 (c.a.)2 = r2 – (c.o.)2 (c.a.)2 = 92 – (–5)2 (c.a.)2 = 81 – 25 (c.a.)2 = 56 c.a. = ± 2√14


24

Simplifica: Obtén la raíz cuadrada:

Para el cateto adyacente corresponden dos valores, que según sea el cuadrante es su signo.

Para el ángulo en el III cuadrante Para el ángulo en el IV cuadrante El ángulo formado lo puedes obtener a partir de cualquiera de las funciones anteriores.

59

59csc

28149

1429sec

5142

5142cot

28145

1425tan

9142cos

95

95

−=−

=

−=

−=

=−

−=

=−

−=

−=

−=−

=

θ

θ

θ

θ

θ

θsen

59

59csc

1429sec

5142

5142cot

28145

1425tan

9142cos

95

95

−=−

=

=

−=−

=

−=−

=

=

−=−

=

θ

θ

θ

θ

θ

θsen


25

Práctica 29 I.‐ Determina el valor de todas las funciones trigonométricas dadas las siguientes funciones:

1) sen θ= ¾

2) tan θ= 2/5

3) sec θ= 8/3

4) csc θ= 7

5) sec θ= 3

6) sen θ = 2/7

7) tan θ = 2/3

8) cos θ = ‐ 2/3 y � está en el segundo cuadrante

9) sec θ = 6/7

10) csc θ = 2


26 Universidad CNCI de México


2.2. Funciones Trigonométricas en el círculo unitario

2.2. Funciones Trigonométricas en el círculo unitario Si recuerdas bien, las funciones trigonométricas que obtuviste anteriormente con un valor fijo para la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por un punto en el plano y su origen, la distancia (segmento) entre ambos se consideró como la unidad. Trabajaste los valores de las funciones seno, coseno y tangente para dichos valores, y advertiste que cuando el punto se movía por el plano, guardando siempre la misma distancia de éste al origen, forma un CÍRCULO UNITARIO. Reconociste los valores y signos que corresponden a las funciones trigonométricas cuando el segmento que forma un punto del círculo unitario al origen, siempre es la unidad. I Cuadrante

xy

x

ysen

=

=

=

θ

θ

θ

tan

cos

yc

x

yxc

1sec

1sec

tan

=

=

=

θ

θ

θ

II Cuadrante


27

xy

x

ysen

−=

−=

=

θ

θ

θ

tan

cos

yc

x

yxc

1sec

1sec

tan

=

−=

−=

θ

θ

θ

III Cuadrante

xy

x

ysen

=

−=

−=

θ

θ

θ

tan

cos

yc

x

yxc

1sec

1sec

tan

−=

−=

=

θ

θ

θ

IV Cuadrante

xy

x

ysen

−=

=

−=

θ

θ

θ

tan

cos

yc

x

yxc

1sec

1sec

tan

−=

=

−=

θ

θ

θ

De lo anterior concluyes en forma general que los signos de las funciones trigonométricas en el círculo unitario corresponden a los siguientes:


28

¿Qué valores toma cada punto P (x, y) = P (seno, coseno) en el círculo unitario cuando se forman los ángulos: 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º y 360º?

sen θ = y sen 30º = y ½ = y

cos θ = x cos 30º = x √ = x

Por lo tanto el punto es P(√ , ½)

De la misma manera obtienes el resto de las coordenadas de los puntos sobre el círculo unitario para cada ángulo formado, obteniendo lo siguiente:


29

A este tipo de funciones obtenidas a través de un segmento unitario en el plano cartesiano se denominan también funciones circulares. Práctica 30 I.‐ Encuentra los valores de las siguientes funciones recíprocas.

1) sec 45º = 2) csc 30º = 3) cot 60º = 4) sec 0º = 5) csc 90º = 6) cot 45º = 7) cot 120º = 8) sec 135º = 9) csc 225º = 10) sec 120º =

II.‐ Indica en el plano cartesiano los signos correspondientes a las funciones recíprocas.


30


2.3. Gráfica de funciones trigonométricas 2.3. Gráfica de funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas tienen una relación de correspondencia con el ángulo, por tal razón es posible trazar sus respectivas gráficas. Al agrupar todos esos datos obtienes lo siguiente: Función Seno

Primer cuadrante Segundo cuadrante Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º


31

Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

sen θ = y 0 0.5 0.7071 0.8660 1 0.8660 0.7071 0.5 0

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Grados 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

Radianes 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π

sen θ = y -0.5 -0.7071 -0.8660 -1 -0.8660 -0.7071 -0.5 0 Y sus respectivas gráficas corresponden a las siguientes:

Puedes observar en la gráfica que la función seno tiene las siguientes propiedades:

1) La curva oscila entre ‐1 y 1 en el eje de las “y”. 2) Crece de 0º a 90º (I cuadrante) y de 270º a 360º (IV cuadrante). 3) Decrece de 90º a 270º (II y III cuadrante). 4) Es positiva de 0º a 180º (I y II cuadrante). 5) Es negativa de 180º a 360º (III y IV cuadrante).

Periodo de la función de 360º -1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-720 -630 -540 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

y = sen θIntersecciones con

el eje de las “x”


32

6) Tiene un periodo de 2π, es decir, la figura se repite cada 360º. 7) A la gráfica de la función seno se le conoce como senoidal o sinusoidal, es

ondulada y continua. Función Coseno

Primer cuadrante Segundo cuadrante

Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º


cos θ = x 1 0.8660 0.7071 0.5 0 -0.5 -0.7071 -0.8660 -1


Grados 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

Radianes 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π

cos θ = x -0.8660 -0.7071 -0.5 0 0.5 0.7071 0.8660 1


1) La curva oscila entre ‐1 y 1 en el eje de las “y”. 2) Decrece de 0º a 180º (I y II cuadrante) y crece de 180º a 360º (III y IV

cuadrante).

Periodo de la función de 360º

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-720 -630 -540 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

y = cos θIntersecciones con



33

3) Es positiva de 0º a 90º (I cuadrante) y de 270º a 360º (IV cuadrante). 4) Es negativa de 90º a 270º (II y III cuadrante). 5) Tiene un periodo de 2π, es decir, la figura se repite cada 360º. 6) A la gráfica de la función coseno se le conoce como cosenoide o curva

cosenoidal, es ondulada y continua.

Función Tangente

Primer cuadrante Segundo cuadrante

Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º


tan θ = y/x 0 0.5773 1 1.7320 -1.7320 -1 -0.5773 0


Grados 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

Radianes 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π tan

θ = y/x 0.5773 1 1.7320 -1.7320 -1 -0.5773 0


1) No está definida en 90º y 270º (asíntotas). 2) Toma valores de -∞ hasta ∞. 3) Es periódica.

Gráfica de función seno y coseno en el mismo plano

Asíntotas Intersecciones con



34

Ejemplo: Completa la tabla y traza la gráfica de la siguiente función: y = sen 3θ

θ sen 3θ θ sen 3θ 0º 0 210º -1

30º 1 225º -0.7071

45º 0.7071 240º 0

60º 0 270º 1

90º -1 300º 0

120º 0 315º -0.7071

135º 0.7071 330º -1

150º 1 360º 0

180º 0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-720 -630 -540 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

sen θ cos θ


35

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-720 -630 -540 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

y = sen 3θ


36

Práctica 31 I.- Completa la siguiente tabla y traza la gráfica correspondiente a cada una de las siguientes funciones: y = csc θ; y = sec θ; y = cot θ.

II.‐ Responde correctamente cada una de las siguientes preguntas.

1) ¿En qué rango están los valores de cada una de las funciones en el eje “y”? 2) ¿Para qué valores no está definida la función? 3) ¿Son parecidas las funciones y = sen θ y y = csc θ? ¿Por qué?

θ csc θ= 1/sen θ sec θ= 1/cos θ cot θ = 1/tan θ

0º

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º


37

opuestocatetosenhipotenusa

opuestocatetosen

=

=

θ

θ

dyacente cos

dyacente cos

acatetohipotenusaacateto

=

=

θ

θ


2.4. Identidades Pitagóricas 2.4. Identidades Pitagóricas

Recuerda que una identidad algebraica es una expresión que resulta verdadera para cualquier valor asignado a las variables empleadas, por ejemplo: 2a = a + a. Una identidad pitagórica es una igualdad entre expresiones trigonométricas que resulta de aplicar el teorema de Pitágoras y se cumple para todo ángulo. En el caso del tema actual, considera el círculo unitario cuyos valores a tratar son:

Según el teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo de la figura se cumple lo siguiente:

r2 = (c.a.)2 + (c.o.)2 (c.a.)2 + (c.o.)2 = 1

Además, sabes que según la fórmula de la función seno y el triángulo rectángulo de la imagen, la siguiente igualdad es correcta:

De ambas conclusiones y de la igualdad obtenida por el teorema de Pitágoras, obtienes la siguiente igualdad:

(c.a.)2 + (c.o.)2 = 1

cos2 θ + sen2 θ = 1 (1)


38

¿Qué ocurre si divides la identidad pitagórica (1) entre cos2θ?

θθθ

θθ

θθ

22

2

2

2

22

cos1

coscoscos

1cos

=+

=+

sensen

θθθ 2

2

2

tancos

=sen

θθ

22 sec

cos1

=

θθ 22 sectan1 =+ (2)

¿Qué ocurre si divides la identidad pitagórica (1) entre sen2 θ?

θθθ

θθ

θθ

22

2

2

2

22

1cos1cos

sensensen

sen

sen

=+

=+

θθθ 2

2

2

cotcos=

sen

θθ

22 csc1

=sen

θθ 22 csc1cot =+ (3)

Estas tres identidades son conocidas como identidades pitagóricas. cos2 θ + sen2 θ = 1 (1)

θθ 22 sectan1 =+ (2)

θθ 22 csc1cot =+ (3)


39

Identidades recíprocas: Identidades de cocientes: Ejemplo:

Verifica que la siguiente igualdad es válida: θθθ

θ 2cossectan

=sen

Solución:

Si usas θθθ

costan sen

= y θθ

cos1sec = y lo sustituyes en la igualdad

inicial obtienes:

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

sen

sen

1csc

cos1sec

tan1cot

cot1tan

sec1cos

csc1

=

=

=

=

=

=

θθθ

costan sen

=

θθθ

sencoscot =


40

θθ

θθ

θθ

θ

θθθ

θ

θθθ

θ

22

22

2

2

coscos

coscos

cos

cos1

cos

cossectan

=

=

=

=

sensen

sensen

sen

Práctica 32 I.- Verifica que las siguientes igualdades sean válidas.

1) tan θ + cot θ = csc θ sec θ

2) θθθθ

θθ cotcos

sectan

tansec

⋅=−

3) cot2 θ sec2 θ = csc2 θ 4) 1 – (cos θ sen θ tan θ) = cos2 θ

5) cos2 θ (tan2 θ + 1) = 1

6) 1 – sen θ cos θ cot θ = sen2 θ

7) (sec2 θ – 1) cos2 θ = sen2 θ

8) θθ

θθ coscos

)1)(1(=

−+ sensen

9) θθθ 2

2

4

cos1cos1 sen=

+−

10) tan θ (sen θ + cot θ cos θ ) = sec θ


41


3. Leyes de senos y cosenos 3. Leyes de senos y cosenos

Hasta ahora sólo has trabajado la trigonometría con ángulos agudos, es decir, con ángulos menores a 90º, pero, ¿te has preguntado qué ocurre con los triángulos oblicuos, es decir, con triángulos que poseen ángulos mayores a 90º?

Cuando se trata de resolver un triángulo, se trata de encontrar todos los datos desconocidos de éste, ya sea la longitud de sus lados o la amplitud de sus ángulos.

En esta sección utilizarás dos leyes para la resolución de ángulos oblicuángulos:

• Ley de los senos • Ley de los cosenos

Ley de los Senos Para aplicarla es necesario que consideres algunas propiedades.

Para que calcules el área del triángulo de la figura, es necesario que conozcas su altura y base, ya que la fórmula está dada por A = ½ b h.

En el caso de que no conozcas la altura del triángulo, dicho valor lo puedes obtener mediante las funciones trigonométricas, en donde sen A = h/c. Despejas la altura y obtienes h = c sen A.

Y cuando lo sustituyes en la fórmula del área te resulta lo siguiente: A = ½ b c sen A

Cuando divides todo esto entre ½ a b c obtienes:

csenC

bsenB

asenA

==

Esta expresión que acabas de obtener es nada más y nada menos que la ley de senos.


42

Dicha ley expresa textualmente lo siguiente:

“La relación que existe entre el lado de un ángulo cualquiera y el valor del seno del ángulo opuesto, siempre será la misma”.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo usando la ley de senos.

Solución: Datos proporcionados: c = 12, A = 39º y B = 63º Datos faltantes: x, y, C

Con la propiedad de los ángulos internos de un triángulo es posible que obtengas el ángulo C.

A + B + C = 180º 39º + 63º + C = 180º C = 180º ‐ 102º C = 78º

Mediante el uso de la ley de senos obtienes los datos faltantes:

Ley de senos:

Sustituye valores correspondientes:

Aplica las funciones:

Simplifica:

¡Listo!

66.10

0784.08358.0129408.08358.012

º78º63

=

=

=

=

=

xx

x

senx

senc

senCxsenB


43

Procede de forma similar para obtener el valor de “y”.

33.7

0784.05750.012

º78º39

=

=

=

=

yy

seny

senc

senCysenA

Los valores faltantes son x = 10.66, y = 7.33 y C = 78º.

Ley de los Cosenos

¿Qué igualdad emplearías para utilizar la función coseno?

Considera de nuevo el triángulo oblicuángulo anterior con los datos marcados como se muestra en la imagen. La recta de la altura corta al triángulo oblicuángulo en dos triángulos rectángulos, a los cuales se les puede aplicar la fórmula del teorema de Pitágoras como sigue: Por un lado: c2 = x2 + h2 Para el otro triángulo rectángulo: a2 = h2 + (b – x)2 Desarrollas el cuadrado: a2 = h2 + b2 – 2bx + x2 Ordenas los términos: a2 = b2 – 2bx + h2 + x2 Como c2 = x2 + h2, entonces lo sustituyes: a2 = b2 – 2bx + c2 Ordenas los términos: a2 = b2 + c2 – 2bx Además, x = c cos A, lo sustituyes: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Esta expresión que acabas de obtener es la ley de cosenos.

b – x x


44

º78)978.0(

)12(0815.0

0815.012

39.7602.0

12

39.7º37

12

1

==

=

=

=

=

=

−

BsenB

senB

senB

senB

sensenBc

senCbsenB

Otras expresiones que forman parte de la ley de los cosenos y que se derivan de forma similar del triángulo oblicúangulo anterior son:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Ejemplo: Encuentra la longitud del lado faltante en el siguiente triángulo y determina la amplitud de sus ángulos.

Solución:

Datos proporcionados: a = 8, b = 12, C = 37º Datos faltantes: c = x, A, B La fórmula de la ley de cosenos que más conviene usar para obtener “x” es:

Ley de cosenos: Sustituye los valores:

Aplica la función coseno y los cuadrados: Simplifica:

Aplica la raíz cuadrada:

Los datos faltantes los puedes obtener mediante la ley de senos:

Ya que obtuviste el ángulo B = 78º y que conoces el ángulo C = 37º, mediante la propiedad de los ángulos internos de un triángulo obtendrás el ángulo faltante A, en la siguiente operación.

A + B + C = 180º A = 180º – B – C A = 180º – 78º – 37º A = 65º

37º

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C c2 = 82 + 122 – 2(8)(12)cos 37º c2 = 64 + 144 – 192 (0.7986) c2 = 208 – 153.338 c = √54.66 c = 7.39


45

Práctica 33

Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos obteniendo los datos faltantes, según sea el caso.

1) α = 20º, β = 50º y a = 8 cm

2) a = 10.8 cm, b = 16.2 cm y γ = 36º

3) α = 110º, β = 40º y a = 13 cm

4) a = 8.8 cm, b = 12.6 cm y α = 46.1º

5) α = 25.5º, β = 40º y a = 15 cm

6) a = 5.1 cm, b = 10.5 cm y c = 11.6 cm

7) A = 20.25º, Β= 48º y a = 25 cm

8) a = 5.9 cm, b = 6.5 cm y c = 7.8 cm

9) C = 45º, a = 4.6 y b = 5

10) b = 5.5 cm, c = 9 cm y A = 145º


46

Anexo

Para obtener el valor de una función trigonométrica en la calculadora, por ejemplo tan 67º, realiza los siguientes pasos: 1) Verifica que el modo de tu calculadora se encuentre en DEG D.

2) Si no es así, presiona el botón “DRG” o “MODE” según sea el modelo de tu

calculadora.

Caso 1

3) En el caso de las calculadoras con botón “DRG” conforme presionas dicho botón, en la pantalla te aparecen tres opciones: “DEG”, “RAD”, “GRAD”.

4) Selecciona la opción “DEG”.

Caso 2

3) En el caso de las calculadoras que tengan el botón “MODE”, conforme

presionas el botón te aparece la opción en pantalla “Deg” (1), “Rad (2), “Gra” (3).

4) Selecciona la opción (1) ingresando el número 1 en tu calculadora.

5) Identifica los botones de las funciones: sin(seno), cos(coseno) y tan(tangente).

6) Presiona el botón de la función que estás trabajando, según el ejemplo: presionas tan.

Caso 1

7) Si en la pantalla de tu calculadora aparece la función “tan” continúa con el siguiente paso.

8) En seguida introduces el ángulo, según el ejemplo: 67, por lo que en la

pantalla de la calculadora tendrás: tan 67.


47

Caso 2

7) Si en la pantalla de tu calculadora NO aparece la función “tan”, entonces,

primero introduce el valor numérico (ángulo) de la función, en este ejemplo: 67.

8) Luego, aplica la función trigonométrica correspondiente al valor que

introdujiste, en este ejemplo: 67 tan. 9) Pides el resultado presionando la tecla “=”, o “exe”. El cual en este ejemplo

resulta: tan 67º = 2.3558 DEG

MODE DRG Para obtener el valor de una función trigonométrica a partir de la Tabla de razones trigonométricas, realiza los siguientes pasos según sea el caso:

Caso 1 tan 67.5º

1) Convierte los grados decimales a minutos y segundos. 67.5º = 67º 30’

2) En la lista de ángulos del lado izquierdo ubica los grados, es decir, 67º.

3) Ahora, trasládate hasta los 30’ y sobre el mismo renglón localiza la función

trigonométrica que estás trabajando. En este ejemplo: tan. Determinas entonces que la tangente de 67.5º = 67º 30’ = 2.4142


48

Caso 2

tan 67. 38º 4) Convierte los grados decimales a minutos y segundos. 67.38º = 67º 22’ 48’’ 5) En la lista de ángulos del lado izquierdo ubica los grados, es decir, 67.

6) Ahora, si observas bien, los minutos están proporcionados en cifras

cerradas, por lo que no encontrarás 22’, en este caso, procedes como sigue:

7) Ubica los minutos anteriores y posteriores a 22 con sus respectivos valores:

En el esquema anterior, las llaves y corchetes con flecha señalan la diferencia entre los valores conocidos, así, entre 67º 20’ y 67º30’ hay 10’. Entre 2.3945 y 2.4142 hay 197.

La diferencia entre 67º20’ y 67º22’ es 2’ y de 2.3945 a se desconoce, por lo que se le asigna la variable “x”, así pues, para encontrar su valor realizas la siguiente operación: Despejas “x”: Simplificas: Y listo: x = 39.4 Redondeas este valor: 39 Lo añades a 2.3945 como sigue: 2.3945 + 0.0039, Por lo que te resulta: 2.3984 y listo!

β

67º 20’ 67º 22’ 67º 30’

sen β

2.3945

2.4142

En el esquema anterior, las llaves y corchetes con flecha señalan la diferencia entre los valores conocidos, así, entre 67º 20’ y 67º30’ hay 10’. Entre 2.3945 y 2.4142

10 197x 2


49

Nota 1: Cabe aclarar que los valores de las tablas son aproximaciones con cuatro decimales. Nota 2: En la tabla trigonométrica, los ángulos menores a 45º los ubicas en el sentido arriba-abajo, en donde los minutos 0-50 van correspondiendo al grado ubicado en la parte superior izquierda. Nota 3: En la tabla trigonométrica, los ángulos superiores a 45º los ubicas en el sentido abajo-arriba, en donde los minutos 0-50 van correspondiendo al grado ubicado en la parte inferior derecha. Para obtener el valor de una función trigonométrica inversa a partir de la Tabla de razones trigonométricas, realiza lo siguiente. 1) Localiza la función trigonométrica que se debe aplicar. 2) Ubica el valor numérico sobre la misma función. 3) Verifica los minutos y grados que corresponden a dicho valor.

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