7/26/2019 Taller 6 B5-6 Solucion

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Taller 6 Bloque 5-6

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

29 de abril de 2016

1. En un triangulo de lados  a, b  y  c  se traza la mediana desde el vertice  C  al lado opuesto  c, denotada mc.Demuestre que:

mc =

 1

2

 2b2 + 2a2 − c2

Solucion

En la figura se pueden ver las tres medianas que se pueden trazar sobre cada lado del triangulo.

Considerando el triangulo de lados  b,  mc  y  c/2, tenemos por teorema del coseno, respecto al angulo α,el cual es el correspondiente al vertice A  que

(mc)2 = b2 + (c/2)2 − 2b(c/2) cos(α)

Ademas, con el mismo angulo pero en el triangulo ABC   tenemos que

cos(α) =  b2 + c2 − a2

2bc

Y reemplazando tenemos

(mc)2 = b2 + (c/2)2

−bc(

b2 + c2 − a2

2bc

  ) = 1

2

b2

−

1

4

c2 + 1

2

a2

Luego

mc =

 1

2b2 −

1

4c2 +

 1

2a2 =

 1

2

 2b2 − c2 + 2a2

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2. Calcule, en caso de exisitir, el siguiente lımite

lımx→1

3√ 

7 + x2 − 2

x− 1

Solucion

lımx→1

3√ 

7 + x2 − 2

x− 1  = lım

x→1

(   3√ 

7 + x2 − 2)

(x− 1)  ·

(   3√ 

7 + x2)2 + 2   3√ 

7 + x2 + 4

(   3√ 

7 + x2)2 + 2   3√ 

7 + x2 + 4 =

= lımx→1

7 + x2 − 8

(x− 1)((   3√ 

7 + x2)2 + 2   3√ 

7 + x2 + 4)= lım

x→1

(x− 1)(x + 1)

(x− 1)((   3√ 

7 + x2)2 + 2   3√ 

7 + x2 + 4)

= lımx→1

(x + 1)

((   3√ 

7 + x2)2 + 2   3√ 

7 + x2 + 4)=

  2

12 =

 1

6

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3. Calcule, en caso de existir, el siguiente lımite

lımx→0

1 − 

cos(5x)

x

Solucion

lımx→0

1 − 

cos(5x)

x  = lım

x→0

(1 − 

cos(5x))

x

(1 + 

cos(5x))

(1 +  cos(5x))= lım

x→0

1 − cos(5x)

x((1 + cos(5x))= 0

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Control Taller Bloque 5-6

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Nombre :

Nombre :

Nombre :

Nombre :

1. Dos ciclistas se encuentran en dos puntos distintos, con 5 kms de separacion. Comienzan a avanzar,simultaneamente, por caminos rectilıneos hacia el punto en que se cruzan. Calcule la distancia querecorrio un ciclista si el otro recorrio 12 kms y los caminos se cruzan formando un angulo de 60◦

Solucion

A partir del problema tenemos el siguiente triangulo (10pts)

Por temorema del coseno, tenemos la relacion

52 = x2 + 122 − 24x cos(60◦) (10 pts)

Lo que nos lleva a la ecuacion de segundo grado:(10pts)

x

2

− 12x + 144 = 0Como el discriminante de la ecuacion es ∆ =  −332  <  0, la ecuacion cuadratica no tiene solucionesreales.(10pts)Por lo tanto, el problema no tiene solucion (10pts)

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2. Calcular, en caso que exista, el siguiente lımite

lımx→2

tan(πx)

x− 2

Solucion

lımx→2

tan(πx)

x− 2

Sea u  =  x − 2 (20pts)

El lımite en la variable  u  es

lımu→0

tan(π(u + 2))

u  = lım

u→0

tan(πu + 2π)

u  = lım

u→0

tan(πu)

u  = (10 pts)

= lımu→0

sin(πu)

u  ·

1

cos(πu) = lım

u→0

sin(πu)

πu  ·

π

cos(πu) = π

(10pts)Luego

lımx→2

tan(πx)

x− 2  = π

(10pts)