7/26/2019 Taller 6 B 3-4 Solucion

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Taller 6 Bloque 3-4

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

29 de abril de 2016

1. Demuestre la formula de Heron para calcular el area de un triangulo de lados a, b y c.

Area=

a+b+c

2

a+b+c

2 a

a+b+c

2 b

a+b+c

2 c

Solucion

Sabemos que el area de un triangulo esta dada por area=base altura

2Debemos encontrar una expresion para el calculo del area en funcion de los lados a, b y c.Consideremos como base del triangulo, el lado c y respecto a esta base, tenemos la altura h (desde

vertice Chacia el lado opuesto c como en la figura.El area esta dada por area=

c h2

A partir del triangulo AHCel cual es rectangulo, tenemos h= b sin(), donde es angulo del verticeA.Por otra parte, desde el teorema del coseno, tenemos que

cos() = c2 +b2 a2

2bc

y por lo tanto

sin() = 1

2bc

4b2c2 (c2 +b2 a2)2

Luego

area=1

44b2c2 (c2 +b2 a2)2 =

1

4(2bc (c2 +b2 a2))(2bc+ (c2 +b2 a2))

area=

1

4

(a (c b))(a+ (c b))((c+b) a)(c+b+a)

area=

a+b+c

2

a+b+c

2 a

a+b+c

2 b

a+b+c

2 c

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2. Calcule, en caso que exista, el siguiente lmite

lmx2

5x 2

6x2 + 1

x2 5x+ 6

Solucion

lmx2

5x 2

6x2 + 1

x2 5x+ 6 = lm

x2

5x 2

6x2 + 1

(x2 5x+ 6)

5x+ 2

6x2 + 1

5x+ 2

6x2 + 1 = lm

x2

25x2 4(6x2 + 1)(x 3)(x 2)(5x+ 2

6x2 + 1)

=

= lmx2

x2 4(x 3)(x 2)(5x+ 2

6x2 + 1)

= lmx2

x+ 2

(x 3)(5x+ 2

6x2 + 1)=

4

20=

1

5

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3. Calcule, en caso de existir, el siguiente lmite

lmx0

2

1 + cos(x)

sin2(x)

Solucion

lmx0

2

1 + cos(x)

sin2(x)

2 +

1 + cos(x)

2 +1 + cos(x)=

= lmx0

(1 cos(x))sin2(x)(

2 +

1 + cos(x))

(1 + cos(x))

(1 + cos(x))= lm

x0

1 cos2(x)sin2(x)(

2 +

1 + cos(x))(1 + cos(x))

= lmx0

1

(

2 +

1 + cos(x))(1 + cos(x))=

2

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Control Taller Bloque 3-4

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Departamento de Matematica

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Nombre :

Nombre :

Nombre :

Nombre :

a) Una persona se encuentra frente a un arbol que esta inclinado hacia la persona formando un angulode 45 con el suelo. La persona observa, desde cierto punto, la copa del arbol con una angulo deelevacion de 15. Luego la persona avanza 5 metros acercandose al arbol y desde este punto, elangulo de elevacion con el que se observa la copa del arbol de 30. Calcule la distancia inicial entrela persona y la base del arbol.

Solucion

Del problema se obtiene el siguiente triangulo, donde x representa la distancia final de la per-sona con la base del arbol. (10pts)

Con los datos tenemos que el triangulo ABD es isosceles.Por lo tanto, usando teorema del seno en triangulo BCD, tenemos:

sin(105)

x =

sin(45)

5 (20pts)

Entonces

x=

5 sin(105)

sin(45) =

3 + 1

2 (10pts

)

Respuesta: La distancia inicial entre la persona y la base del arbol es de

3 + 11

2

metros (10pts)

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b) Calcular, en caso de existir, el l mite trigonometrico

lmx2

2sen(x 2)x2 4

Solucion

Sea u = x 2, tenemos el siguiente lmite en la variableu (20pts)

lmu0

2 sen(u)

(u+ 2)2 4= lm

u0

2sen(u)

u(u+ 4)= lm

u0

sen(u)

u 2

u+ 4 =1

2 (20pts)

Por lo tanto

lmx2

2sen(x 2)x2 4

=1

2

(10pts)