Univerzitet u Beogradu

Fizicki Fakultet

Natasa Nedeljkovic

TALASI I OPTIKA

Beograd, 2009.

1

Contents

Sadrzaj i

I. ELEKTROMAGNETNI TALASI 1

§1 Elektromagnetni talasi u neprovodnim sredinama 1

1.1. Maxwell-ove jednacine 1

1.2. Diferencijalne jednacine elektromagnetnih talasa 2

1.3. Jednacine ravanskog elektromagnetnog talasa 4

1.4. Monohromatski ravanski talas 8

1.5. Superpozicija ravanskih monohromatskih talasa 13

a) Kvazi-monohromatski talas 14

b) Talasni paket 16

1.6. ”Sferni” monohromatski elektromagnetni talasi 18

§2 Elektromagnetni talasi u provodnoj sredini 20

2.1. Jednacine elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini 20

2.2. Kompleksna dielektricna propustljivost 22

2.3. Ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini 23

§3 Transport energije elektromagnetnih talasa 27

3.1. Vremenska promena gustine energije elektromagnetnog polja 27

3.2. Pointingov vektor P 29

3.3. Energija ravanskog monohromatskog talasa 32

3.4. Svetlosni talas 33

3.5. Jacina svetlosti 35

a) Definicija jacine svetlosti 35

b) Opsti izraz za jacinu monohromatske svetlosti 37

§4 Izvori elektromagnetnih talasa 39

4.1. Maxwell-ove jednacine u polju naelektrisanja i struja 39

4.2. Retardovani potencijali 41

4.3. Zracenje Hercovog dipola 45

4.4. Polje dipola u talasnoj zoni 48

i

§5 Spektralna analiza zracenja 52

5.1. Elementarna teorija zracenja 52

5.2.Klasican model zracenja atoma 53

5.3. Spektar zracenja 55

5.4. Spektar zracenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti 59

II. GEOMETRIJSKA OPTIKA 64

§6 Aproksimacija geometrijske optike 64

6.1. Talasna jednacina u ajkonalnoj aproksimaciji 64

6.2. Svetlosni zraci 68

6.3. Fermaov princip 70

6.4. Zakoni refleksije i refrakcije svetlosti u geometrijskoj optici 72

6.5. Hajgensov princip 75

§7 Formiranje likova u geometrijskoj optici 79

7.1. Opticki lik: definicija i klasifikacija likova 79

7.2. Kardinalni elementi centriranog optickog sistema 83

7.3. Osnovna formula centriranog optickog sistema 88

§8 Prostiranje zraka kroz opticki sistem u paraksijalnoj aproksimaciji 90

8.1. Paraksijalna aproksimacija za sociva 90

8.2. Matrica optickog sistema za socivo 95

8.3. Odredjivanje kardinalnih elemenata sociva 98

8.4. Tanko socivo 105

8.5. Sistemi tankih sociva 110

III. TALASNA OPTIKA 113

§9 Elektromagnetni talasi na granici dve opticke sredine 113

9.1. Refleksija i prelamanje ravanskog talasa na granici dve opticke sredine 113

9.2. Amplitude i faze ravanskog talasa na granici dve opticke sredine 118

§10 Polarizacija svetlosti 122

10.1. Osnovni tipovi polarizacije svetlosti 122

10.2. Delimicna polarizacija. Matrica polarizacije i stepen polarizovanosti 127

10.3. Merenje stepena polarizovanosti svetlosti 132

§11 Interferencija svetlosti 138

ii

11.1. Fenomen interferencije 138

11.2. Interferencija dva monohromatska talasa istih ucestanosti 140

11.3. ”Interferencija” dva monohromatska talasa razlicitih ucestanosti 145

11.4. Interferencija talasa nastalih deobom amplituda talasa (plan-paralelna

plocica) 148

11.5. Amplitudna deoba-Majkelsonov interferometar 156

11.6. Interferencija talasa nastalih deobom talasnog fronta 162

§12 Koherencia svetlosti 165

12.1. Vremenska koherencija (talasni segmenti) 165

12.2. Vremenska koherencija (talasni paket) 169

12.3. Prostorna koherencija 172

§13 Difrakcija 176

13.1. Fenomen difrakcije 176

13.2. Kirkhofova formula i Hajgens-Frenelov princip 179

13.3. Frenelove zone i zakon slaganja amplituda 184

13.4. Frenelova difrakcija na kruznom otvoru i disku 188

13.5. Fraunhoferova difrakcija na pukotini 193

13.6. Difrakciona resetka 197

LITERATURA 203

iii

I. ELEKTROMAGNETNI TALASI

§1 Elektromagnetni talasi u neprovodnim sredinama

1.1. Maxwell-ove jednacine

Maxwell-ove jednacine, kao opste jednacine elektromagnetnog polja pokazuju da su elek-

tricno i magnetno polje medjusobno povezani: promenjivo elektricno polje E(t) izaziva

(nestacionarno) magnetno polje B(t) i obratno. Do ovakve pojave dolazi ako, na primer,

u nekom delu prostora osciluju naelektrisanja. Medjusobno pretvaranje jedne komponente

elektromagnetnog polja u drugu prostire se kroz prostor kontinualno. Ovaj proces se naziva

elektromagnetni talas. U najjednostavnijem slucaju, posmatrani proces je periodican u pros-

toru i vremenu: tada su vektori E i B periodicne funkcije prostornih koordinata i vremena.

Razmotrimo prvo kako je sa stanovista samih Maxwell-ovih jednacina moguce postojanje

elektromagnetnih talasa. Maxwell-ove jednacine se prirodno grupisu u dva para. Prvi par

Maxwell-ovih jednacina:

rotE = −∂B

∂t(1.1a)

divB = 0 (1.1b)

opisuje neka svojstva funkcija polja E i B nezavisno od izvora polja, dok u drugom paru

jednacina figurisu gustina naelektrisanja ½ i gustina struje j:

rotH = j +∂D

∂t(1.2a)

divD = ½, (1.2b)

gde su D i H pomocne funkcije polja (elektricna i magnetna indukcija).

U slucaju da su sredine linearne i izotropne, izmedju E i D a takodje i izmedju B i H

postojace linearna veza:

D = "E, B = ¹H, (1.3)

gde su " = "0"r i ¹ = ¹0¹r dielektricna i magnetna propustljivost sredine. Radi jednos-

tavnosti, ogranicimo se na homogene i stacionarne sredine kod kojih je " = const i ¹ = const.

Pod navedenim uslovima, drugi par Maxwell-ovih jednacina (1.2a,b) moze takodje da se

izrazi preko E i B:

rotB = ¹j + "¹∂E

∂t(1.4a)

1

FIG. 1: Schematski prikaz transformacija u elektromagnetnom polju

divE =1

"½. (1.4b)

U ovom odeljku se ogranicavamo na deo prostora ℜ u kome nema ni stranih naelektrisanja

ni struja (tzv. neprovodna sredina). Drugim recima, pretpostavljamo da su izvori polja

izvan uocenog dela prostora. U tom slucaju, u svakoj tacki prostora ℜ i u svakom trenutku

vremena imamo:

½ = 0, j = 0. (1.5)

Drugi par Maxwell-ovih jednacina (1.4a,b) u ℜ dobija oblik:

rotB = "¹∂E

∂t(1.6a)

divE = 0. (1.6b)

Analizom Maxwell-ovih jednacina (1.1a,b) i (1.6a,b) vidimo da se u svakoj tacki prostora

u kojoj je ∂E/∂t ∕= 0 pojavljuje (vrtlozno) magnetno polje B(t); kako je za ovo polje

∂B/∂t ∕= 0, to ono postaje izvor vrtloznog elektricnog polja E(t) a ovo polje postaje ponovo

izvor magnetnog polja, tako da proces neprekidno traje, Fig.1.

1.2. Diferencijalne jednacine elektromagnetnih talasa

Maxwell-ove jednacine (1.1a,b) i (1.6a,b) predstavljaju sistem spregnutih parcijalnih difer-

encijalnih jednacina prvog reda po E i B. Ovakav sistem se moze ”raspregnuti” formiranjem

parcijalnih diferencijalnih jednacina drugog reda posebno za E i posebno za B.

U tom cilju nadjimo rotor leve i desne strane jednacine (1.1a):

rot(rotE) = −rot∂B

∂t= − ∂

∂trotB. (1.7a)

2

Pri pisanju gornje jednacine zamenili smo mesta operacijama rot i ∂/∂t, sto je ekvivalentno

zameni redosleda diferenciranja po prostornim i vremenskim koordinatam. Zamenom izraza

(1.6a) za rotB u jednacinu (1.7a), nalazimo:

rot(rotE) = − ∂

∂t

Ã"¹

∂E

∂t

)= −"¹

∂2E

∂t2. (1.7b)

Leva strana jednacine (1.7b) se moze transformisati uz pomoc sledece jednacine iz vektorske

analize:

rot rotE = ∇× (∇× E) = grad divE −ΔE,

gde je ΔE tzv. laplasijan vektora E. U Dekartovim koordinatama x, y, z velicina ΔE

definisana je sledecim izrazom:

ΔE =∂2E

∂x2+

∂2E

∂y2+

∂2E

∂z2.

Na osnovu jednacine (1.6b) imamo da je divE = 0, tako da izraz (1.7b) mozemo napisati u

obliku:

ΔE = "¹∂2E

∂t2, (1.8a)

odnosno, eksplicitno (u Dekartovim koordinatama):

∂2E

∂x2+

∂2E

∂y2+

∂2E

∂z2= "¹

∂2E

∂t2. (1.8b)

Analognim postupkom, uzimajuci rotor jednacine (1.6a) i uzimajuci u obzir da je, na

osnovu jednacine (1.1a), rotE = −∂B/∂t, nalazimo:

ΔB = "¹∂2B

∂t2, (1.9a)

odnosno, eksplicitno (u Dekartovim koordinatama):

∂2B

∂x2+

∂2B

∂y2+

∂2B

∂z2= "¹

∂2B

∂t2. (1.9b)

Jednacine (1.8a) i (1.9a) predstavljaju trazene jednacine za vektore E i B. U daljem

razmatranju videcemo da ovakve jednacine imaju resenja koja su periodicna u prostoru i

vremenu i koja predstavljaju elektromagnetne talase. Zato se ove jednacine nazivaju talasne

jednacine. Ocigledno je da vektori E i B zadovoljavaju istovetne jednacine, tako da se u

zavisnosti od pocetnih i granicnih uslova mogu ocekivati simetricna resenja.

3

Faktor "¹ koji figurise na desnoj strani talasnih jednacina (1.8a) i (1.9a) karakterise

sredinu u kojoj razmatramo mogucnost uspostavljanja talasa. Velicina "¹ ima dimenzije

reciprocne vrednosti kvadrata brzine. Zbog toga je pogodno uvesti tzv. faznu brzinu vf

definisanu kao:

vf =1√"¹

. (1.10a)

Na osnovu jednacine (1.10a) vidimo da je u vakuumu vf = 1/√"0¹0 = c, gde je c brzina

svetlosti (u vakuumu). Prema tome,

vf =c√"r¹r

. (1.10b)

U daljim razmatranjima cemo videti da je vf u vezi sa brzinom prostiranja elektromagnetnih

talasa.

Napomenimo na kraju, da vektori E i B mada odredjeni nezavisnim jednacinama (1.8a)

i (1.9a) nisu medjusobno nezavisne velicine. Naime, ove funkcije polja su spregnute samim

Maxwell-ovim jednacinama.

1.3. Jednacine ravanskog elektromagnetnog talasa

Talasna jednacine (1.8a), odnosno (1.9a), moze da ima vrlo razlicite tipove resenja od ko-

jih svako odgovara nekom tipu elektromagnetnih talasa. Tip elektromagnetnog talasa moze

se odrediti prema geometrijskom mestu tacaka konstantne vrednosti inteziteta vektora E. Za

elektromagnetne talase je karakteristicno da pomenuti skupovi tacaka obrazuju povrsi, tzv.

talasne povrsi. Kod ravanskih talasa ove povrsi su sistemi medjusobno paralelnih ravni; kod

cilindricnih i sfernih talasa to ce biti sistemi cilindricnih povrsi, odnosno koncentricnih sfera.

Specificnost elektromagnetnih talasa je da i intezitet vektora B ima konstantnu vrednost na

talasnoj povrsi.

U ovom odeljku razmatramo mogucnost da se u delu prostora ℜ uspostave ravanski elek-

tromagnetni talasi. Uvedimo Dekartov koordinatni sistem sa x-osom normalnom na talasne

povrsi koje su u tom slucaju paralelne sa y0z-ravni, kao na Fig. 2. Ravanski elektromagnetni

talasi mogu se dobiti direktnim resavanjem talasnih jednacina (1.8a) i (1.9a). Medjutim,

zbog ociglednosti, a takodje i zbog nalazenja veze izmedju elektricne i magnetne kompo-

nente talasa, pogodno je vratiti analizu na polazni sistem Maxwell-ovih jednacina (1.1a,b) i

(1.6a,b).

4

FIG. 2: Talasne povrsi ravanskog elektromagnetnog talasa

Nadjimo sada resenja Maxwell-ovih jednacina koja zadovoljavaju uslov da su intenziteti

vektora E i B konstantni na talasnim ravnima. To znaci da vektori E i B mogu (u datom

trenutku vremena t) da zavise samo od polozaja talasnih ravni, tj. od x:

E = Ex(x, t)ex + Ey(x, t)ey + Ez(x, t)ez (1.11a)

B = Bx(x, t)ex +By(x, t)ey +Bz(x, t)ez. (1.11b)

Da bismo nasli resenje tipa (1.11a,b), podjimo od Maxwell-ovih jednacina u Dekartovim

koordinatama uz pretpostavku da je E = E(x, t) i B = B(x, t). Jednacina (1.1a) za rotE

se svodi na

rotE =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ex ey ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ex Ey Ez

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −∂B

∂t, (1.12a)

tj. (∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z

)ex +

(∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x

)ey +

(∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

)ez = −∂B

∂t, (1.12b)

pri cemu su clanovi ∂Ez/∂y, ∂Ey/∂z, ∂Ex/∂z i ∂Ex/∂y jednaki nuli. Vektorska jednacina

(1.12b) se svodi na sistem od tri skalarne jednacine

0 =∂Bx

∂t(1.13a)

5

FIG. 3: Moguce nezavisne kombinacije vektora E i B kod ravanskog elektromagnetnog talasa

∂Ez

∂x=

∂By

∂t(1.13b)

∂Ey

∂x= −∂Bz

∂t. (1.13c)

Kako Bx, By i Bz zavise samo od x i t, Maxwell-ova jednacina (1.1b), koja u Dekartovim

koordinatama ima oblik divB = ∂Bx/∂x+ ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0, svodi se na

∂Bx

∂x= 0. (1.14)

Na analogan nacin transformise se i drugi par Maxwell-ovih jednacina (1.6a,b). Jednacina

(1.6a) za rotB se svodi na

0 =∂Bx

∂t(1.15a)

∂Bz

∂x= −"¹

∂Ey

∂t(1.15b)

∂By

∂x= "¹

∂Ez

∂t, (1.15c)

dok jednacina (1.16b) za divE prelazi u

∂Ex

∂x= 0. (1.16)

Na osnovu jednacina (1.15a) i (1.16) vidimo da x-komponenta jacine polja E ne zavisi ni

od x, niti od t. To znaci da Ex opisuje vremenski nezavisno homogeno polje (tzv. pozadinsko

6

polje ili fon), koje ne utice na prostiranje elektromagnetnih talasa, tako da se bez narusavanja

opstosti moze uzeti da je jednako nuli:

Ex = 0. (1.17)

Analogno, na osnovu jednacina (1.13a) i (1.14), vidimo da komponenta Bx predstavlja sta-

cionarno pozadinsko polje za koje cemo ponovo uzeti da je jednako nuli:

Bx = 0. (1.18)

Analizom jednacina (1.17) i (1.18) zakljucujemo da ravanski elektromagnetni talas nema

komponentu duz x-ose (tj. u pravcu svog prostiranja), odnosno vektori jacine elektricnog i

magnetnog polja su normalni na pravac prostiranja talasa. U tom smislu, elektromagnetni

talas spada u klasu transferzalnih talasa.

Preostale cetiri Maxwell-ove jednacine (1.13b), (1.13c), (1.15b) i (1.15c) grupisu se u dva

nezavisna sistema∂Ey

∂x= −∂Bz

∂t,

∂Bz

∂x= −"¹

∂Ey

∂t(1.19a)

i∂Ez

∂x=

∂By

∂t,

∂By

∂x= "¹

∂Ez

∂t. (1.19b)

Prvi par jednacina (1.19a) povezuje Ey i Bz, a drugi par jednacina (1.19b) velicine Ez i By.

Koje ce se resenje realizovati zavisi od pocetnih i granicnih uslova. Ako je u nekoj tacki

prostora ℜ formirano (u nekom trenutku) promenjivo polje u pravcu y-ose: E = Ey(x, t)ey,

kao na Fig. 3(a), onda ce ovo polje izazvati magnetno polje Bz usmereno duz z-ose, a

ono izaziva promenjivo elektricno polje Ey duz y-ose, itd. Analogno, ako bi prvobitno bilo

uspostavljeno elektricno polje Ez, kao na Fig. 3(b), onda bi se pojavilo magnetno poje By

duz y-ose, koje se dalje transformise u elektricno polje Ez, itd. Dakle, mogu se nezavisno

pojaviti ravanski elektromagnetni talasi kod kojih je jedna komponenta (Ey ili Ez) polja

jednaka nuli. Mi cemo posmatrati slucaj kada je komponenta elektricnog polja duz z-ose

jednaka nuli:

Ez = 0, By = 0. (1.20)

U razmatranom slucaju, za opis elektromagnetnog talasa preostaju jednacine (1.19a).

Ako prvu od tih jednacina diferenciramo po x i zamenimo mesto diferenciranja po x i po t,

7

nalazimo: ∂2Ey/∂x2 = −(∂/∂x)(∂Bz/∂t) = −(∂/∂t)(∂Bz/∂x). Uocivsi da je ∂Bz/∂x dato

drugom od jednacina posmatranog para (1.19a), nalazimo

∂2Ey

∂x2= "¹

∂2Ey

∂t2. (1.21a)

Analogno, ako diferenciramo drugu od jednacina (1.19a) po x i iskoristimo prvu jednacinu

ovog para, nalazimo∂2Bz

∂x2= "¹

∂2Bz

∂t2. (1.21b)

Jednacine (1.21a) i (1.21b) predstavljaju talasne jednacine ravanskog elektromagnetnog

talasa; one slede direktno iz talasnih jednacina (1.8b) i (1.9b) ako se pretpostavi da je

E = Ey(x, t)ey i B = Bz(x, t)ez.

1.4. Monohromatski ravanski talas

Talasne jednacine (1.21a,b) imaju periodicna partikularna resenja koja se nazivaju ra-

vanski monohromatski talasi.

Naime, lako je proveriti da jednacine (1.21a,b) imaju partikularna resenja oblika

Ey = Emcos(!t− kx+ ®1) (1.22a)

Bz = Bmcos(!t− kx+ ®2). (1.22b)

Velicine Em i Bm u jednacinama (1.22a,b) su amplitude talasa, dok su

fi = !t− kx+ ®i (1.23a)

(i = 1, 2) faze talasa. Velicine ®1 i ®2 su pocetne faze. Parametri ! i k koji se pojavljuju kao

konstante u jednacinama (1.22a,b) predstavljaju (kruznu) ucestanost i talasni broj posma-

tranog elektromagnetnog talasa. Ucestanost ! karakterise dato partikularno resenje, dok je

talasni broj k data funkcija od !. Bice pokazano da je kod elektromagnetnih talasa ®1 = ®2,

tako da se ekvifazna povrs definise jednacinom

f = f1 = f2 = const. (1.23b)

Vidimo da se ona poklapa sa talasnom ravni (x = const).

8

FIG. 4: Period T i talasna duzina ¸ ravanskog monohromatskog talasa

Posmatrani kao funkcije od t, talasi (1.22a,b) se ponasaju kao cos(!t+ const), tj. pred-

stavljaju periodicne funkcije vremena sa periodom T = 2¼/!, Fig. 4(a), tako da je

! =2¼

T. (1.24a)

Primetimo da se pored kruzne ucestanosti ! cesto koristi i frekvencija º pri cemu je ! = 2¼º,

tj. º = 1/T . Frekvencija º predstavlja broj oscilacija (velicina Ey ili Bz) u jedinici vremena.

U SI sistemu, jedinica frekvencije º je Herz:

º =1

T(=)Hz. (1.24b)

Naziv monohromatski talas upravo i potice od cinjenice da se posmatrani talas karakterise

datim º (tj. datim !). Naime, ”monohromaatski” znaci ”jednobojan”, a elektromagnetni

talasi date frekvencije predstavljaju jednobojnu svetlost.

Vezu talasnog broja k i ucestanosti ! nalazimo direktno iz talasne jednacine (1.21a).

Zamenom (1.22a) u (1.21a) dobijamo: Emk2cos(!t− kx+ ®1) = "¹Em!

2cos(!t− kx+ ®1),

odakle je

k =√"¹!. (1.25a)

Kako je na osnovu jednacine (1.10a) fazna brzina vf = 1/√"¹, talasni broj se moze izraziti

u obliku

k =!

vf. (1.25b)

Talasni broj k (koji ima dimenziju 1/m) je u vezi sa talasnom duzinom ¸ talasa, Fig.

4(b). Naime, posmatrani kao funkcija od x, talasi (1.22a,b) se ponasaju kao cos(kx+const),

9

FIG. 5: Brzina prostiranja ravanskog elektromagnetnog talasa

tj. predstavljaju periodicne funkcije sa periodom ¸ = 2¼/k, tako da je

k =2¼

¸. (1.25c)

Monohromatski ravanski talas ucestanosti ! predstavlja periodican proces koji se u pros-

toru prostire nekom brzinom v. Brzina v se definise kao brzina kojom se pomera data

vrednost Ey. Ona se moze naci kao brzina reprezentativne tacke na grafiku zavisnosti

Ey od x prikazanom na Fig. 5(a). U trenutku t reprezentativna tacka ima koordinatu

x, a u trenutku t + dt, koordinatu x + dx, pri cemu je vrednost Ey ista u oba slucaja.

Kako je Ey(x, t) = Emcosf(x, t), vidimo da Ey ima istu vrednost ako su faze jednake:

f(x, t) = f(x+ dx, t+ dt). Drugim recima totalni diferencijal faze f jednak je nuli:

df(x, t) = 0. (1.26)

Kako je faza f data jednacinom (1.23a), uslov (1.26) moze se napisati kao: !dt− kdx = 0,

odakle sledi da je v = dx/dt = !/k. Kako je na osnovu jednacine (1.25b) k = !/vf ,

zakljucujemo da se posmatrani monohromatski talas prostire faznom brzinom vf :

v = vf . (1.27a)

Podsetimo se da je velicina vf definisana jednacinom (1.10a). Cinjenica da jednacina (1.27a)

sledi iz konstantnosti faze predstavlja razlog sto vf nosi naziv fazna brzina.

Jednacina (1.26) predstavlja opsti izraz za odredjivanje brzine. U posmatranom slucaju

kada je brzina v = const. (tj. kada se talas prostire kroz homogenu sredinu), mozemo uzeti

10

da reprezentativna tacka predje put ¸ za vreme T kao na Fig. 5(b), tako da je

v =¸

T. (1.27b)

Kako je ¸ = 2¼/k i T = 2¼/!, bice v = !/k = vf .

Da bi u potpunosti odredili elektromagnetni talas treba jos naci vezu amplituda Em i

Bm kao i vezu izmedju pocetnih faza ®1 i ®2 elektricne i magnetne komponente talasa. Ove

dve komponente povezane su samim Maxwell-ovim jednacinama, koje se u posmatranom

slucaju svode na par jednacina (1.19a). Zamenom (1.22a) i (1.22b) u prvu od ovih jednacina,

nalazimo: Emk sin(!t − kx + ®1) = Bm! sin(!t − kx + ®2). Dobijena jednakost mora da

vazi za svako x i za svako t, sto je moguce jedino ako je

®1 = ®2 ≡ ® (1.28a)

kEm = !Bm. (1.28b)

Primetimo da bismo iste relacije dobili i zamenom (1.22a) i (1.22b) u drugu jednacinu para

(1.19a).

Jednacina (1.28a) ukazuje na cinjenicu da vektori E i B osciluju sinhrono (tj. u fazi), dok

jednacina (1.28b) pokazuje da su maksimalne vrednosti elektricne i magnetne komponente

(a samim tim i trenutne vrednosti) medjusobno proporcionalne. Uz pomoc jednacine (1.3),

relacija (1.28b) se moze izraziti i preko magnetne indukcije Hm, gde je Bm = ¹Hm; naime,

kEm = !¹Hm. Kako je, prema jednacinama (1.25b) i (1.10a), k/! = 1/vf =√"¹, nalazimo

√"Em =

√¹Hm. (1.28c)

Relacija (1.28c) omogucava poredjenje Em i Hm po brojnoj vrednosti (u vakuumu)

Em

Hm

=

√¹0

"0= 377. (1.28d)

Vidimo da je Em ≫ Hm. Jasniju fizicku osnovu za poredjenje elektricne i magnetne kompo-

nente u posmatranom elektromagnetnom talasu dobijamo ako uporedimo sile Fe i Fm kojim

elektricno i magnetno polje talasa deluju na naelektrisanje q koje se brzinom vq krece u ovom

polju:Fe

Fm

=qEm

qvqBm

=vfvq. (1.28e)

11

FIG. 6: Ravanski monohromatski talas

Kako je vf reda velicine brzine svetlosti, to se u svim nerelativistickim slucajevima kretanja

naelektrisanja (vq ≪ vf ) moze smatrati da je Fe ≫ Fm. Zbog toga je u najvecem broju

optickih pojava aktivna samo elektricna komponenta polja.

Konacno, ravanski monohromatski talas mozemo opisati jednacinama (1.22a,b) u kojima

se uzimaju u obzir veze (1.28a,b):

E = Em cos(!t− kx+ ®)ey (1.29a)

B = Bm cos(!t− kx+ ®)ez. (1.29b)

Ponasanje ravanskog elektromagnetnog talasa prikazano je na Fig. 6(a). Jednacinama

(1.29a,b) prikazan je ravanski elektromagnetni talas koji se prostire duz x-ose u datom

koordinatnom sistemu. Da bismo dosli do reprezentacije ravanskog monohromatskog talasa

u ”vektorskom obliku”, tj. u obliku nezavisnom od koordinatnog sistema, uvedimo tzv.

talasni vektor k ciji se pravac i smer poklapa sa pravcem i smerom prostiranja talasa, dok

mu je intezitet jednak talasnom broju k. U posmatranom slucaju k = kex, tako da je

k ⋅ r = kx, gde je r vektor polozaja proizvoljne tacke u polju, vidi Fig. 6(b).

Koristeci se talasnim vektorom k, za opsti oblik ravanskog monohromatskog talasa (koji

se prostire u pravcu vektora k) imamo

E(r, t) = Em cos(!t− k ⋅ r + ®), (1.30)

gde je Em = Emey.

12

Vektor E(r, t) koji ima oblik prikazan jednacinom (1.30), moze da se prikaze kao realni

deo kompleksnog vektoraˇE(r, t):

E(r, t) = ReˇE(r, t), (1.31)

pri cemu je kompleksni vektorˇE definisan kao

ˇE(r, t) =

ˇEmexp[−i(!t− k ⋅ r)], (1.32a)

gde jeˇEm = Eme

−i® = Eme−i®ey. (1.32b)

Znak (-) u jednacinama (1.32b,c) uveden je radi pogodnosti. U usvojenoj reprezentaciji,

talas koji se prostire u k pravcu ponasa se kao exp(ik ⋅ r).Primetimo, na kraju, da formule analogne sa (1.31a) i (1.32) mogu da se napisu i za

magnetnu komponentu elektromagnetnog talasa:

B(r, t) = ReˇB(r, t), (1.32c)

gde su

ˇB(r, t) =

ˇBmexp[−i(!t− k ⋅ r)] (1.32d)

ˇBm = Bme

−i® = Bme−i®ez. (1.32e)

1.5. Superpozicija ravanskih monohromatskih talasa

Monohromatski talasi su u odeljku 1.4. dobijeni kao partikularno resenje talasne jednacine

za dato ! . Ovakvi talasi bi mogli postojati u oblasti ℜ ako bi u komplementarnoj oblasti

postojao odgovarajuci izvor svetlosti.

U realnim uslovima, ne postoje izvori strogo monohromatske svetlosti. Naime, prirodni

izvori uvek zrace elektromagnetne talase u nekom intervalu ucestanosti Δ!. Ovakvi talasi se

u oblasti ℜ ponasaju kao superpozicija monohromatskih talasa. Ova fizicka okolnost pred-

stavlja posledicu cinjenice da talasna jednacina, kao linearna diferencijalna jednacina, pored

monohromatskog talasa ima za resenje i proizvoljnu ”linearnu kombinaciju - superpoziciju”

ovakvih talasa. U ovom odeljku cemo razmotriti dva karakteristicna slucaja superpozicije

ravanskih monohromatskih talasa kojom se formiraju kvazimonohromatski talas i talasni

paket.

13

FIG. 7: Kvazi-monohromatski talas nastao slaganjem dva talasa bliskih ucestanosti

a) Kvazi-monohromatski talas

Razmotrimo prvo superpoziciju dva ravanska monohromatska talasa koji se prostiru duz

iste (x-ose) sa medjusobno bliskim ucestanostima !1 i !2, pri cemu je elektricno polje oba

talasa duz y-ose.

Pri razmatranju superpozicije posmatrana dva talasa pretpostavicemo takodje da dielek-

tricna propustljivost " i magnetna propustljivost ¹ sredine kroz koju se prostire talas ne

zavise od ucestanosti talasa. Ovakve sredine nazivaju se nedisperzivne sredine. U tom

slucaju za oba talasa imamo istu faznu brzinu vf . Talasni brojevi posmatranih talasa su

prema tome: k1 = !1/vf i k2 = !2/vf . Jacine elektricnog polja prvog i drugog talasa date

su jednacinom (1.29a):

E1 = Em1cos(!1t− k1x+ ®1)ey, (1.33a)

E2 = Em2cos(!2t− k2x+ ®2)ey. (1.33b)

Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da talasi imaju iste pocetne faze (®1 = ®2 = 0) i iste

amplitude (Em1 = Em2 = Em). Na Fig. 7(a) prikazana su navedena dva talasa. Vidimo da

mala razlika u ucestanostima talasa moze da dovede talase u protiv-fazu.

Rezultujuca jacina polja (rezultujuci talas) u svakoj tacki prostora je

E = E1 + E2, (1.34a)

tj.

E = Em[cos(!1t− k1x) + cos(!2t− k2x)]ey. (1.34b)

14

Koristeci formulu cos® + cos¯ = 2cos®−¯2cos®+¯

2, nalazimo

E = 2Emcos

(!1 − !2

2t− k1 − k2

2x

)cos

(!1 + !2

2t− k1 + k2

2x

)ey. (1.35)

Kako su ucestanosti !1 i !2 bliske, imamo !2=!1+Δ!, tj.

!2 − !1 = Δ! ≪ !1, !2 (1.36a)

k2 − k1 = Δk =!2 − !1

vf=

Δ!

vf≪ k1, k2, (1.36b)

tako da je

E = 2Emcos

(Δ!

2t− Δk

2x

)cos

(!1t− k1x+

Δ!

2t− Δk

2x

)ey. (1.37a)

Ako uvedemo velicinu

fg =Δ!

2t− Δk

2x, (1.37b)

rezultujuci talas mozemo da predstavimo u obliku

E(x, t) = A(x, t)cos(!1t− k1x+ fg)ey, (1.38a)

gde je

A(x, t) = 2Emcosfg(x, t). (1.38b)

Dakle, superpozicijom dva monohromatska talasa bliskih ucestanosti dobija se kvazi-

monohromatski talas, Fig. 7(b), koji osciluje sa osnovnom ucestanoscu !1 i ima modulisucu

amplitudu A(x, t) (isprekidana linija na Fig. 7(b)).

Kvazi-monohromatski talas se prostire tzv. grupnom brzinom vg koja predstavlja brzinu

kojom se pomera reprezentativna tacka sa Fig. 7(b) (to je brzina kojom se pomera cela

grupa talasa). Po svojoj definiciji vg je fazna brzina modulisuce amplitude date jednacinom

(1.38b). Dakle, vg se nalazi iz jednacine

dfg(x, t) = 0, (1.39a)

koja se svodi na Δ!2dt− Δk

2dx = 0, tako da je

vg =dx

dt=

Δ!

Δk. (1.39b)

Kako je Δk = Δ!/vf , nalazimo da je vg = vf . Dakle, grupna brzina kvazimonohromatskog

talasa jednaka je faznoj brzini.

15

b) Talasni paket

Razmotrimo sada superpoziciju kontinuuma ravanskih monohromatskih talasa koji se

prostiru duz x-ose, ciji talasni brojevi pripadaju intervalu [k0 − Δk/2, k0 + Δk/2] i ciji

vektori elektricnog polja svi osciluju duz y-ose. Ovakvom superpozicijom dobija se talas

lokalizovan u prostoru koji se naziva talasni paket.

Rezultujuca jacina polja je sada jednaka

E(x, t) =

∫ k0+Δk/2

k0−Δk/2

Ak(k)cos(!t− kx)dkey, (1.40a)

gde je Ak(k)dk amplituda komponentnog talasa, dok je Ak(k) gustina amplitude. Pret-

postavimo da je sredina nedisperzivna tako da vf ne zavisi od !. U tom slucaju imamo

!t−kx = (vf t−x)k. Pri izracunavanju integrala (1.40a) mozemo primeniti teoremu o sred-

njoj vrednosti:∫g(x)f(x)dx =< g(x) >

∫f(x)dx. Ako sa < Ak(k) >≡ A0/Δk oznacimo

srednju vrednost amplitude, za jacinu polja E imamo

E(x, t) =A0

Δk

∫ k0+Δk/2

k0−Δk/2

cos[(vf t− x)k]dkey, (1.40b)

odakle, direktnom integracijom, nalazimo

E(x, t) =A0

(vf t− x)Δk

{sin

[(vf t− x)

(k0 +

Δk

2

)]− sin

[(vf t− x)

(k0 − Δk

2

)]}ey.

(1.41a)

Ako uvedemo oznake (vf t− x)k0 = ® i (vf t− x)Δk2

= ¯, izraz (1.41a) mozemo da napisemo

u obliku

E(x, t) =A0

(vf t− x)Δk[sin(®+ ¯)− sin(®− ¯)]ey. (1.41b)

Koristeci adicionu teoremu sin(®± ¯) = sin® cos¯ ± cos® sin¯, nalazimo da je sin(®+ ¯)−sin(®− ¯) = 2sin¯cos®, tako da je

E(x, t) =2A0

(vf t− x)Δksin

[(vf t− x)

Δk

2

]cos[(vf t− x)k0]ey. (1.41c)

Izraz (1.41c) prikazuje modulisan ravanski monohromatski talas:

E(x, t) = A(x, t)cos(!0t− k0x)ey, (1.42a)

gde je !0 = vfk0 i gde je modulisuca amplituda A(x, t) data sa

A(x, t) = A0

sin[(vf t− x)Δk2]

(vf t− x)Δk2

. (1.42b)

16

FIG. 8: Talasni paket u prostoru i vremenu

Amplituda A(x, t) je bitno razlicita od nule samo u ogranicenom delu prostora. Zato

se talas (1.42a) naziva talasni paket. Ponasanje amlitude A(x, t) odredjeno je ponasanjem

funkcije sin»/» gde je » = (vf t − x)Δk2. Funkcija sin»/» → 1 kada » → 0; prva nula ove

funkcije je za » = ±¼, a sledeca za » = ±2¼. Prema tome, u trenutku t, posmatrani talasni

paket je lokalizovan oko polozaja x = xc odredjenog uslovom » = 0, tj.

vf t− xc = 0. (1.43)

Analogno, na mestu x, talasni paket je lokalizovan u nekom vremenskom intervalu oko

trenutka t = tc, gde je vf tc − x = 0.

Zavisnost Ey od x je prikazana na Fig. 8(a), a zavisnost Ey od t na Fig. 8(b). Vidimo

da je talasni paket lokalizovan u u prostoru u okviru intervala x ∈ [xc −Δx/2, xc +Δx/2],

pri cemu se moze uzeti da je ∣»∣/x=xc+Δx/2 = ¼/2; na osnovu ovog uslova nalazimo

ΔxΔk = 2¼. (1.44)

Poslednja relacija se moze interpretirati kao ”relacija neodredjenosti” za koordinatu x i

talasni broj k. Prostrorna delokalizovanost talasa je utoliko veca (vece Δx) ukoliko je manji

interval Δk. U granicnom slucaju Δk → 0, talasni paket postaje potpuno delokalizovan i

prelazi u ravanski monohromatski talas amplitude A0 i ucestanosti !0.

Kao sto smo videli, prema jednacini (1.43), u trenutku t, talasni paket je lokalizovan oko

tacke xc = vf t, koja predstavlja centar talasnog paketa. Centar paketa xc se pomera duz

17

x-ose brzinom koja predstavlja tzv. grupnu brzinu talasa. Ova brzina je data sa

vg =dxc

dt= vf , (1.45)

sto znaci da se u posmatranoj nedisperzivnoj sredini grupna brzina poklapa sa faznom

brzinom.

Kretanjem u nedisperzivnim sredinama talas ne menja svoj oblik. U disperzivnim sredi-

nama doslo bi do ”rasplinjavanja” paketa, tj. Δx raste u toku vremena.

1.6. ”Sferni” monohromatski elektromagnetni talasi

Maxwell-ove jednacine u skalarnoj aproksimaciji dozvoljavaju da se u delu prostora ℜbez naelektrisanja i struja pojave sferni talasi. Ovakvi talasi se karakterisu sfernim talasnim

povrsima rasporedjenim koncentricno sa zajednickim centrom koji se u opstem slucaju nalazi

izvan ℜ.Pretpostavicemo da deo prostora ℜ predstavlja linearnu, izotropnu sredinu koja je ho-

mogena i cije se osobine ne menjaju tokom vremena. U ovakvim sredinama vektori E i

B zadovoljavaju talasne jednacine (1.8a) i (1.9a). Analiza samih Maxwell-ovih jednacina u

sfernim koordinatama, bice data u odeljku §4 gde ce biti pokazano da u oblasti ℜ postoje

resenja oblika

E = Eµeµ, B = B'e', (1.46)

gde su eµ i e' ortovi (uzajamno ortogonalni) duz promene uglova µ i ' sfernih koordinata

r, µ i ', definisanih na Fig. 9. U odeljku §4 bice takodje pokazano da je Eµ = Eµ(r, µ, t)

i B' = B'(r, µ, t). Ovde cemo prikazati tzv. skalarnu aproksimaciju, u okviru koje se

zanemaruje vektorski karakter elektromagnetnog polja. Naime, u ovoj aproksimaciji, uzima

se da Eµ (odnosno B') zadovoljavaju talasne jednacine

ΔEµ = "¹∂2Eµ

∂t2(1.47a)

ΔB' = "¹∂2B'

∂t2. (1.47b)

Jednacine (1.47a,b) imaju resenja koja su sferno simetricna

Eµ = Eµ(r, t), B' = B'(r, t). (1.48)

18

FIG. 9: Elektricna i magnetna komponenta sfernog elektromagnetnog talasa

Da bismo nasli ova resenja (npr. resenje Eµ) uocimo da delovanje laplasijana Δ na Eµ(r, t)

daje: ΔEµ(r, t) =1r

∂2

∂r2(rEµ(r, t)). Zamenom ovog izraza u jednacinu (1.47a), nalazimo

1

r

∂2

∂r2(rEµ) = "¹

∂2Eµ

∂t2. (1.49a)

Mnozenjem poslednje jednacine sa r, dobijamo

∂2

∂r2(rEµ) = "¹

∂2

∂t2(rEµ). (1.49b)

Poredjenjem jednacine (1.49b) sa jednacinom (1.21a) za komponentu Ey ravanskog

monohromatskog talasa, nalazimo da su ove jednacine formalno istog oblika, tako da imaju

i formalno ista resenja:

rEµ(r, t) = Emcos(!t− kr + ®). (1.50a)

Prema tome, koristeci skalarnu aproksimaciju, vidimo da su moguci sferni talasi, cija je

elektricna komponenta

E(r, t) =Em

rcos(!t− kr + ®)eµ. (1.50b)

Na analogan nacin, resavanjem jednacine (1.47b) nalazimo da je magnetna komponenta

posmatranog talasa

B(r, t) =Bm

rcos(!t− kr + ®)e'. (1.51)

19

Pri pisanju jednacine (1.51) uzeli smo u obzir da elektricna i magnetna komponenta sfernog

talasa osciluje u fazi (isto ®). Takodje, moze se uzeti da su Em i Bm povezani istom

jednacinom (1.28b) kao za ravanske talase.

Sferni monohromatski talas opisan jednacinom (1.50b) i (1.51) prostire se duz r-pravca i

to u pravcu porasta r. Uvedimo sada vektor k u pravcu i smeru prostiranja sfernih talasa:

k = ker, kao na Fig. 9. Tada je kr = k ⋅ r, tako da sferni talas moze da se predstavi u

vektorskom obliku

E(r, t) =Em

rcos(!t− k ⋅ r + ®)eµ (1.52a)

B(r, t) =Bm

rcos(!t− k ⋅ r + ®)e'. (1.52b)

Primetimo da se i u slucaju sfernih talasa, po analogiji sa jednacinom (1.32b), mogu

uvesti kompleksni vektoriˇE i

ˇB. Po definiciji uzimamo da je

ˇE =

Em

rexp[−i(!t− k ⋅ r + ®)] (1.53a)

ˇB =

Bm

rexp[−i(!t− k ⋅ r + ®)], (1.53b)

gde smo uveli vektore Em = Emeµ i Bm = Bme'. Jacina elektricnog polja E i jacina

magnetnog polja B predstavljaju realne delove kompleksnih vektora (1.53a,b).

§2 Elektromagnetni talasi u provodnoj sredini

2.1. Jednacine elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini

Vecina materijalnih sredina u kojima se izucavaju opticki fenomeni je neprovodna. Zbog

toga ce rezultati dobijeni u predhodnom odeljku predstavljati osnovu za dalje izucavanje op-

tike. U ovom odeljku razmotricemo, radi kompletnosti, prostiranje elektromagnetnih talasa

kroz provodne sredine. Do ovakvih pojava dolazi, na primer, pri detekciji elektromagnetnih

talasa pomocu antena, pri usmeravanju ovih talasa pomocu tzv. talasovoda itd.

Pri razmatranju prostiranja elektromagnetnih talasa kroz provodne sredine, ponovo se

ogranicavamo na deo prostora ℜ izvan samog izvora talasa. Za materijalnu sredinu u ℜpredpostavljamo da je linearna i izotropna sredina koja se karakterise dielektricnom pro-

pustljivoscu " = const. i magnetnom propustljivoscu ¹ = const. Primetimo da ovakva

sredina ima osobine i dielektrika i provodnika.

20

Pretpostavicemo da je srednja gustina slobodnih naelektrisanja u njoj jednaka nuli:

½ = 0, (2.1a)

kao sto je to slucaj kada su stacionarne i kvazistacionarne struje uspostavljene u metalnim

provodnicima. U svakoj tacki ove sredine definisan je vektor gustine struje j za koji pret-

postavljamo da je sa jacinom elektricnog polja u istoj tacki povezan Ohm-ovim zakonom u

diferencijalnom obliku

j = ¾RE, (2.1b)

gde je ¾R specificna provodnost posmatrane sredine. Maxwell-ove jed. (1.1a,b) i (1.4a,b) u

posmatranoj sredini imaju oblik

rotE = −∂B

∂t(2.2a)

divB = 0, (2.2b)

rotB = ¹¾RE + "¹∂E

∂t, (2.3a)

divE = 0. (2.3b)

Vidimo da je u odnosu na neprovodnu sredinu razmatranu u odeljku §1., razlicita samo

Maxwell-ova jednacina (2.3a).

Radi jednostavnosti sistem jednacina (2.2)-(2.3) resavacemo u kompleksnom obliku. U

granicnom slucaju j = 0, ovaj sistem ima partikularno resenje koje predstavlja kompleksni

ravanski monohromatski talas koji se prostire u x-pravcu dat jednacinom (1.32a):ˇE(r, t) =

ˇEmexp[−i(!t− kx)]. U provodnoj sredini oblik ovog partikularnog resenja se mora uopstiti

tako sto talasni broj postaje kompleksan:

ˇE(r, t) =

ˇEmexp[−i(!t− kx)]. (2.4a)

Analogno, za magnetnu komponentu, uopstavanjem jednacine (1.32d), imamo

ˇB(r, t) =

ˇBmexp[−i(!t− kx)]. (2.4b)

Koristeci uopsteno resenje (2.4a), sistem Maxwell-ovih jednacina za provodnu sredinu

moze se fomalno svesti na sistem jednacina karakteristican za neprovodnu sredinu. Naime,

na osnovu jednacine (2.4a) nalazimo ∂ˇE∂t

= −i!ˇE, odakle je

ˇE = i

!∂ˇE∂t, tako da jednacinu

(2.3a) u kompleksnom domenu mozemo napisati u sledecem obliku:

rotˇB = ¹¾R

i

!

∂ˇE

∂t+ "¹

∂ˇE

∂t=

(¾R

i

!+ "

)¹∂ˇE

∂t. (2.5)

21

Koristeci jednacinu (2.5), za Maxwell-ove jednacine u provodnoj sredini (za razmatrani

monohromatski talas) u kompleksnom domenu imamo

rotˇE = −∂

ˇB

∂t, (2.6a)

divˇB = 0, (2.6b)

rotˇB =

("+ i

¾R

!

)¹∂ˇE

∂t, (2.6c)

divˇE = 0. (2.6d)

2.2. Kompleksna dielektricna propustljivost

Poredjenjem Maxwell-ovih jednacina (2.6) sa sistemom (1.1) i (1.6) Maxwell-ovih

jednacina u neprovodnim sredinama prevedenim u kompleksan oblik, vidimo da se ovi sistemi

fomalno poklapaju ako se uvede kompleksna dielektricna propustljivost " relacijom

" = "+ i¾R

!. (2.7)

Uvedena kompleksna velicina je ocigledno zavisna od !, tako da je sredina ”disperzivna”.

Dakle, u uslovima u kojima se promenjivo elektromagnetno polje javlja u provodnim sredi-

nama, ovakva sredina se karakterise kompleksnom dielektricnom propustljivoscu.

Na osnovu relacije (2.7) vidimo da " → " kada ¾R → 0 sto je ocekivano jer se tada

provodna sredina svodi na neprovodnu. Interesantno je da se isti rezultat dobija i kada

! → ∞.

Uvodjenjem kompleksne dielektricne propustljivosti, moguce je direktno koristiti vec us-

tanovljene osobine ravanskih monohromatskih talasa u neprovodnim sredinama. Pri prelazu

na provodne sredine potrebno je samo izvrsiti smenu " → " = " + i¾R

!. Tako, npr., relacija

(1.25a) koja izrazava vezu k i !, sada dobija oblik

k2 = "¹!2, (2.8a)

tj.

k2 =("+ i

¾R

!

)¹!2 = "¹!2 + i¹¾R!. (2.8b)

Izrazimo sada kompleksni talasni broj k preko realnog dela (k) i imaginarnog dela (s):

k = k + is. (2.9)

22

Zamenom izraza (2.9) u jednacinu (2.8b), nalazimo

(k + is)2 = "¹!2 + i¹¾R!, (2.10a)

tj.

k2 + 2isk − s2 = "¹!2 + i¹¾R!. (2.10b)

Kompleksna jednacina (2.10b) se svodi na dve realne jednacine:

k2 − s2 = "¹!2, (2.11a)

2sk = ¹¾R!. (2.11b)

Iz izraza (2.11b) nalazimo da je s = ¹¾R/(2k), tako da jednacina (2.11a) prelazi u: k2 −(¹¾R!/(2k))

2 = "¹!2, sto je kvadratna jednacina po » = k2: »2 − (¹¾R!/2)2 = "¹!2».

Resenja poslednje jednacine su:

»1/2 =1

2"¹!2 ± 1

2

[("¹!2)2 + (¹¾R!)

2]1/2

=1

2"¹!2

{1± [1 + (¾R/"!)

2]1/2}.

Fizicko resenje odgovara znaku ”+” sto lako uocavamo ako primetimo da u tom slucaju

»1/2 → "¹!2, tj. k2 → !2/v2f , odnosno k → !/vf pri ¾R → 0, sto odgovara vrednosti

talasnog broja u neprovodnoj sredini. Dakle, u provodnoj sredini talasni broj k je povezan

sa ! relacijom

k2 =1

2"¹!2

{1 + [1 + (¾R/"!)

2]1/2}. (2.12)

Zamenom resenja (2.12) u izraz (2.11a) nalazimo

s2 = k2 − "¹!2 =1

2"¹!2{1+ [1+ (¾R/"!)

2]1/2}− "¹!2 =1

2"¹!2{1+ [1+ (¾R/"!)

2]1/2 − 2}.

Konacno,

s2 =1

2"¹!2{[1 + (¾R/"!)

2]1/2 − 1}. (2.13)

Jednacine (2.12) i (2.13) odredjuju realni i imaginarni deo kompleksnog talasnog broja k.

2.3. Ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini

Ravanski monohromatski talas u kompleksnoj formi u provodnoj sredini opisan je

jednacinama (2.4a,b), u kojima je kompleksni talasni broj dat izrazom (2.9): k = k + is.

Naime,

ˇE(r, t) =

ˇEmexp[−i(!t− (k + is)x)] =

ˇEmexp(−sx)exp[−i(!t− kx)], (2.14a)

23

ˇB(r, t) =

ˇBmexp[−i(!t− (k + is)x)] =

ˇBmexp(−sx)exp[−i(!t− kx)]. (2.14b)

Kompleksni vektoriˇEm i

ˇBm, analogno jednacinama (1.32b) i (1.32e), imaju sledeci oblik:

ˇEm = Emexp(−i®1),

ˇBm = Bmexp(−i®2). (2.15)

Primetimo da za razliku od izraza (1.32b,c) koji su vazili za neprovodne sredine, faze ®1 i

®2 u jednacini (2.15) nisu medjusobno jednake. Takodje, veza izmedju Em i Bm u provod-

noj sredini ima drugi oblik u odnosu na relaciju (1.28c): kEm = !Bm, karakteristicnu za

neprovodnu sredinu.

Vezu pomenutih velicina u provodnoj sredini nalazimo zamenog opsteg oblika zaˇE(r, t)

iˇB(r, t), prikazanog jednacinama (2.4a,b), u Maxwell-ovu jednacinu (2.6a):

rot{ˇEmexp[−i(!t− kx)]

}= − ∂

∂t

{ˇBmexp[−i(!t− kx)]

}. (2.16a)

Kako je

rot{ ˇEmexp[−i(!t− kx)]} = (rotˇEm)exp[−i(!t− kx)]− ˇ

Em × grad{exp[−i(!t− kx)]}

= − ˇEm × grad{exp[−i(!t− kx)]} = − ˇ

Em × ik exp[−i(!t− kx)]ex,

to jednacina (2.16a) dobija oblik

− ˇEm × ik exp[−i(!t− kx)]ex =

ˇBm(i!)exp[−i(!t− kx)],

tj.

kex × ˇEm = !

ˇBm. (2.16b)

Konacno, koristeci relacije (2.15), dobijamo

kex × Emexp(−i®1) = !Bmexp(−i®2). (2.16c)

Kako je k = k+ is = ∣k∣ exp[iArctg(s/k)] gde je ∣k∣ = (k2 + s2)1/2, kompleksnu jednacinu

(2.16c) mozemo da napisemo u obliku

∣k∣ ex × Emexp[−i®1 + iArctg(s/k)] = !Bmexp(−i®2), (2.17a)

koja je ekvivalentna sistemu od dve realne (algebarske) jednacine:

∣k∣ ex × Em = !Bm, (2.17b)

24

i

®1 − Arctg(s/k) = ®2. (2.17c)

Prevodeci jednacine (2.14a,b) u realan domen, za elektricnu i magnetnu komponentu

elektromagnetnog talasa nalazimo

E(r, t) = Emexp(−sx) cos(!t− kx+ ®1), (2.18a)

B(r, t) = Bmexp(−sx) cos(!t− kx+ ®2). (2.18b)

Vektori Em i Bm su medjusobno povezani relacijom (2.17b), dok su faze ®1 i ®2 povezane

izrazom (2.17c).

Pretpostavimo sada da je jacina elektricnog polja usmerena duz y-ose, sto znaci da je

gustina struje takodje duz y-ose. U tom slucaju je Em = Emey, tako da jednacina (2.17b)

dobija oblik: ∣k∣ ex × Emey = !Bm, tj.

∣k∣Emez = !Bm, (2.19a)

odakle sledi da je jacina magnetnog polja u pravcu z-ose, Bm = Bmez. Inteziteti jacine

elektricnog i magnetnog polja su povezani relacijom

∣k∣Em = !Bm, (2.19b)

koja u eksplicitnom obliku glasi

(k2 + s2)1/2Em = !Bm. (2.19c)

Talasni broj k i velicina s su funkcije od !, date jednacinama (2.12) i (2.13). Zamenom ovih

vrednosti u jednacinu (2.19c), nalazimo

(1

2"¹!2

{1 + [1 + (¾R/"!)

2]1/2}+

1

2"¹!2

{[1 + (¾R/"!)

2]1/2 − 1})1/2

Em = !Bm,

odakle je,

(1

2"¹!2

)1/2 {1 + [1 + (¾R/"!)

2]1/2 + [1 + (¾R/"!)2]1/2 − 1

}1/2Em = !Bm,

odnosno

("¹)1/2[1 + (¾R/"!)2]1/4Em = Bm. (2.20a)

25

FIG. 10: Prostiranje ravanskog monohromatskog talasa kroz provodnu sredinu

Konacno, koristeci vezu Bm = ¹Hm, nalazimo

√"[1 + (¾R/"!)

2]1/4Em =√¹Hm, (2.20b)

tako da jeEm

Hm

=(¹"

)1/2

[1 + (¾R/"!)2]−1/4. (2.20c)

Poslednji kolicnik se od odgovarajuce relacije (1.28d) za neprovodnu sredinu razlikuje za

faktor [1 + (¾R/"!)2]−1/4. Kada ¾R → 0 ovaj faktor tezi 1; medjutim, u sredinama sa

izrazenim provodnim osobinama (veliko ¾R/"!) posmatrani faktor moze biti vrlo mali tako

da magnetna komponenta vise nije zanemarljiva prema elektricnoj.

Posmatrani monohromatski ravanski elektromagnetni talas u provodnoj sredini opisujemo

jednacinama (2.16a,b), u kojima je Em = Emey i Bm = Bmez:

E(r, t) = Emexp(−sx) cos(!t− kx+ ®1)ey, (2.21a)

B(r, t) = Bmexp(−sx) cos(!t− kx+ ®2)ez. (2.21b)

Vidimo da su u provodnoj sredini amplitude elektricne i magnetne komponente talasa date

eksponencijalno opadajucim funkcijama:

AE = Emexp(−sx), AB = Bmexp(−sx).

Dakle, pri prolasku talasa kroz provodnu sredinu dolazi do gasenja talasa, odnosno do njegove

absorpcije. Zavisnost Ey od x prikazana je na Fig. 10(a). Ravanski monohromatski talasi

26

cija amplituda opada duz pravca prostiranja, mogu da se okarakterisu brzinom v = dx/dt

pri cemu je d(!t − kx + ®1) = 0. Dakle, u provodnoj sredini posmatrani talasi prostiru se

brzinom v = !/k, gde je k funkcija od ! data sa jednacinom (2.12):

v =!

k= !

{1

2"¹!2

{1 + [1 + (¾R/"!)

2]1/2}}−1/2

= 21/2("¹)−1/2{1+ [1+ (¾R/"!)2]1/2}−1/2.

Kako je vf = ("¹)−1/2, nalazimo

v = vf21/2{1 + [1 + (¾R/"!)

2]1/2}−1/2. (2.22)

Na osnovu poslednje formule vidimo da brzina ravanskog monohromatskog elektromagnetnog

talasa u provodnoj sredini zavisi od !, sto je karakteristicno za disperzivne sredine! Druga

karakteristika elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini je sto se prostiru asihrono, sa

faznom razlikom odredjenom jednacinom (2.17c): ®1 − ®2 = Arctg(s/k). Na Fig. 10(b)

prikazan je jedan ovakav talas.

Kada ¾R → 0, velicina s → 0 tako da faktor prigusenja exp(−sx) tezi jedinici; u posma-

tranom slucaju k → !/vf , tako da se elektromagnetni talasi svode na ravanske monohro-

matske elektromagnetne talase (kruzne) ucestanosti !, koji se brzinom v = vf prostiru u

neprovodnoj sredini.

§3 Transport energije elektromagnetnih talasa

3.1. Vremenska promena gustine energije elektromagnetnog polja

Jedna od glavnih karakteristika elektromagnetnog polja je njegova energija koja je sa

gustinom wem rasporedjena u prostoru. U slucaju vremenski zavisnih polja gustina energije

takodje zavisi od vremena. U nekim tackama prostora dolazice do smanjivanja ove gustine

na racun povecanja ove gustine u drugim delovima prostora. Zbog toga u prostoru postoji

transport (strujanje) energije. U slucaju da su u sredini uspostavljeni elektromagnetni talasi

dolazi do usmerenog transporta elektromagnetne energije.

Gustina energije elektromagnetnog polja wem jednaka je zbiru gustine energije we elek-

tricnog i gustine energije wm magnetnog polja:

wem(r, t) = we(r, t) + wm(r, t). (3.1a)

27

Gustina energije wem se moze izraziti u obliku

wem(r, t) =1

2(E ⋅ D + B ⋅ H). (3.1b)

U posmatranoj tacki prostora, za promenu gustine energije u jedinici vremena imamo

∂

∂twem =

∂

∂t

(1

2E ⋅ D

)+

∂

∂t

(1

2B ⋅ H

). (3.2)

Parcijalni izvodi po vremenu koji figurisu na desnoj strani jednacine (3.2) slede direktno

iz Maxwell-ovih jednacina (1.1a) i (1.4a) koje opisuju transformacije E u B i B u E u toku

vremenski zavisnog procesa:

rotE = −∂B

∂t, rotH = j +

∂D

∂t. (3.3a)

Mnozenjem prve od jednacina (3.3a) skalarno sa H, a druge sa E, dobijamo

H ⋅ rotE = −H ⋅ ∂B∂t

, E ⋅ rotH = E ⋅ j + E ⋅ ∂D∂t

. (3.3b)

Dalja analiza se znatno pojednostavljuje ako se ogranicimo na linearnu, izotropnu sredinu

stacionarnih osobina. U tom slucaju D = "E i B = ¹H, pri cemu je " = const i ¹ = const.

U tom slucaju imamo H ⋅ ∂B∂t

= ∂∂t(12B ⋅ H), E ⋅ ∂D

∂t= ∂

∂t(12E ⋅ D), tako da jednacinu (3.3b)

mozemo napisati u obliku

H ⋅ rotE = − ∂

∂t

(1

2B ⋅ H

), E ⋅ rotH = E ⋅ j + ∂

∂t

(1

2E ⋅ D

). (3.3c)

Druga od jednacina (3.3c) zavisi od gustine struje j koja je sa jacinom polja E povezana

Ohm-ovim zakonom u diferencijalnom obliku: j = ¾RE, gde je ¾R specificna provodljivost

sredine. Pod tim uslovom, jednacina (3.3c) dobija oblik

H ⋅ rotE = − ∂

∂t

(1

2B ⋅ H

), E ⋅ rotH = ¾RE

2 +∂

∂t

(1

2E ⋅ D

). (3.3d)

Koristeci jednacinu (3.3d), za parcijalni izvod gustine energije po vremenu dat jednacinom

(3.2), nalazimo∂

∂twem = E ⋅ rotH − H ⋅ rotE − ¾RE

2. (3.4a)

Kako je ∇⋅ (E× H) = H ⋅ (∇× E)− E ⋅ (∇× H), imamo div(E× H) = H ⋅ rotE− E ⋅ rotH,

tako da jednacinu (3.4a) mozemo napisati u obliku

∂

∂twem = −div(E × H)− ¾RE

2. (3.4b)

Poslednja jednacina pri ¾RE2 = 0 ima oblik jednacine kontinuiteta u diferencijalnom obliku

koja odrazava zakon odrzanja energije, analogno jednacini ∂½/∂t = −divj, koja je izrazavala

zakon odrzanja naelektrisanja.

28

FIG. 11: Energijski bilans u nestacionarnom elektromagnetnom polju

3.2. Pointingov vektor P

Jednacina (3.4b) moze da se prevede u integralni oblik koji tada direktrno opisuje trans-

port energije u nestacionarnom elektromagnetnom polju.

Uocimo zato u prostoru proizvoljnu zapreminu V ogranicenu zatvorenom povrsinom S

kao na Fig. 11 i razmotrimo sta se desava sa energijom u ovoj zapremini za vreme dt. U

trenutku t, energija Wem elektromagnetnog polja u zapremini V data je sa

Wem =

∫

V

wemdV. (3.5)

Smanjenje energije −dWem u zapremini V za vreme dt jednaka je:

− d

dtWem = − d

dt

∫

V

wemdV = −∫

V

∂

∂twemdV. (3.6a)

Koristeci jednacinu (3.4b), nalazimo

− d

dtWem =

∫

V

div(E × H)dV +

∫

V

¾RE2dV. (3.6b)

Prvi clan na desnoj strani jednacine (3.6b) se na osnovu Gauss-ove teoreme transformise u

povrsinski integral∮S(E × H) ⋅ dS. Drugi clan predstavlja velicinu dQ/dt, pri cemu je dQ

toplota koja se iz zapremne V izraci za vreme dt. Dakle,

− d

dtWem =

∮

S

(E × H

)⋅ dS +

dQ

dt. (3.6c)

Jednacina (3.6c) daje bilans energije za vreme dt. Prvi clan na desnoj strani ove jednacine

predstavlja fluks vektora (E × H). Ovaj vektor igra veoma vaznu ulogu u optici i naziva se

Pointingov vektor P :

P = E × H. (3.7a)

29

Fluks Pointingovog vektora kroz povrsinu S, naziva se u optici svetlosni fluks ΦW :

ΦW =

∮

S

P ⋅ dS. (3.7b)

Koristeci velicinu ΦW , energijski bilans dat jednacinom (3.6c) dobija oblik

− d

dtWem = ΦW +

dQ

dt. (3.8)

Na osnovu poslednje jednacine vidimo da je svetlosni fluks ΦW jednak energiji koja se u je-

dinici vremena izraci iz zapremine V strujeci u obliku elektromagnetnih talasa kroz povrsinu

S. Energijski bilans dat jenacinom (3.8) simbolicki je prikazan na Fig. 11.

Fizicki smisao Pointingovog vektora P je dvostruk. Pre svega, pravac i smer Pointingovog

vektora oznacava pravac i smer prostiranja energije. Takodje, na osnovu izraza (3.7b), imamo

da je elementarni fluks dΦW = P ⋅ dS = PdS⊥, gde je dS⊥ element povrsine normalan na

pravac Pointingovog vektora, tako da je intezitet Pointingovog vektora jednak:

P =dΦW

dS⊥. (3.9a)

Ako sa dWem = −dWem oznacimo deo energije koja se pri dQ = 0 izraci iz sistema, onda je

dΦW = d2Wem/dt, tako da formula (3.9a) dobija sledeci oblik:

P =d2Wem

dS⊥dt. (3.9b)

Vidimo da intezitet Pointingovog vektora predstavlja energiju koja se u vidu elektromag-

netnog talasa u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrsine normalno na pravac prosti-

ranja energije. Dimenziono, Pointingov vektor predstavlja gustinu snage, tj. ima dimenzije

snage (energije u jedinici vremena) po jedinici povrsine:

P (=)W

m2. (3.10)

Primer

Razmotrimo sada pravac strujanja energije u strujnom kolu u kome je uspostavljena sta-

cionarna struja jacine I. Za odrzavanje stacionarne struje neophodno je delovanje generatora

elektromotorne sile koji daje energiju pasivnom delu kola; ova energija se ”usisava” u pasivan

deo provodnika strujeci ka njegovoj osi, sto je shematski prikazano na Fig. 12(a).

Da bismo pokazali da se transport energije odvija na prikazan nacin, posmatrajmo deo

provodnika i nadjimo fluks ΦW kroz povrsinu S koja ogranicava cilindar poluprecnika r i

30

FIG. 12: Strujanje energije u kolu stacionarne struje

visine l, cija se osa poklapa sa osom provodnika, Fig. 12(b). Pretpostavimo da je struja

rasporedjena ravnomerno po poprecnom preseku provodnika sa gustinom struje j = const.

U svakoj tacki u unutrasnjosti provodnika vazi Ohm-ov zakon u diferencijalnomobliku j =

¾RE. Prema tome, jacina elektricnog polja na S data je sa E = ½j gde je ½ = 1/¾R specificna

otpornost provodnika. U tacki na rastojanju r od ose provodnika magnetna indukcija je

jednaka H = (1/2)jre' gde je e' jedinicni ort polarnog ugla ', Fig. 12(b). Pointingov vektor

P , dat jednacinom (3.7a), na rastojanju r od ose provodnika jednak je P = E × H = ½j ×(1/2)jre' = −(1/2)½j2rer, gde je er jedinicni vektor r-ose. Vidimo da je Pointingov vektor

usmeren ka osi provodnika, sto znaci da se energija ”usisava” u pasivan deo provodnika.

Fluks ΦW Pointingovog vektora P kroz povrsinu S, definisan jednacinom (3.7b), svodi se

na fluks kroz povrsinu omotaca cilindra Som = 2r¼l: ΦW =∮SP ⋅ dS =

∫Som

(−1/2)½j2rer ⋅dSer = −(1/2)½j2rSom. Dakle, ΦW = −½j2V gde je V = r2¼l zapremina uocenog cilin-

dra. Kako je ½j2V toplota koja se u jedinici vremena izraci iz zapremine V provodnika,

nalazimo −ΦW = dQ/dt. Dakle, u posmatranom sistemu, jednacina (3.8) koja opisuje

opsti energijski bilans u elektrodinamici, svodi se na −dWem/dt = ΦW + dQ/dt = 0. Pod

uslovom stacionarnosti struje, elektromagnetna energija Wem u uocenoj zapremini V se ne

menja: ”usisana” energija u jedinici vremena (−ΦW ) jednaka je izracenoj energiji u jedinici

vremena (dQ/dt), koja u vidu toplote napusta sistem, sto je shematski prikazano na Fig.

12(a).

31

FIG. 13: Ravanski monohromatski talas i transport energije

3.3. Energija ravanskog monohromatskog talasa

U odeljku 1.4. videli smo da se u homogenoj neprovodnoj sredini bez naelektrisanja mogu

uspostaviti ravanski monohromatski elektromagnetni talasi. Razmotrimo sada ove talase

sa stanovista prostiranja energije. Osnovna velicina koja karakterise transport energije je

Pointingov vektor P = E × H, definisan jednacinom (3.7a). Kako su vektori E i B kod

ravanskih monohromatskih talasa dati izrazom (1.29a,b), pri cemu je B = ¹H, nalazimo

P = EmHm cos2(!t− kx+ ®)ex, (3.11a)

gde je ex jedinicni vektor x-ose. Vidimo da je Pointingov vektor usmeren duz pravca prosti-

ranja talasa, sto znaci da se i energija prostire u ovom pravcu, Fig. 13(a). Intezitet Pointin-

govog vektora dobijamo iz jednacine (3.11a). Koristeci jednacinu (1.28c):√"Em =

√¹Hm,

nalazimo da je P =√

"/¹E2mcos

2(!t− kx+ ®), odnosno, kako je vf = 1/√"¹,

P =1

¹vfE2. (3.11b)

Poslednji izraz moze direktno da se poveze sa gustinom energije u posmatranom polju.

Naime, gustina energije elektricnog polja je we = (1/2)"E2, dok je gustina magnetne energije

wm = (1/2)¹H2 = (1/2)¹(Hm/Em)2E2 = (1/2)"E2 = we. Dakle, u posmatranom slucaju

wem = we + wm = 2we = "E2. (3.12)

32

Poredjenjem (3.11b) i (3.12), nalazimo

P =1

"¹vfwem, (3.13a)

odnosno

P = vfwem. (3.13b)

Formula (3.13b) ima direktnu fizicku interpretaciju. Dovoljno je pretpostaviti da se en-

ergija prenosi brzinom vf . Tada je energija koja za vreme dt prodje kroz povrsinu dS⊥,

Fig. 13(b), normalnu na pravac prostiranja (x-osu), jednaka energiji sadrzanoj u zapremini

dV = dS⊥vfdt: dWem = wemdV = wemdS⊥vfdt. Prema tome, energija koja se u jedinici

vremena prenese kroz jedinicu povrsine jednaka je

d2Wem

dS⊥dt= vfwem. (3.13c)

Poredjenjem jednacina (3.13c) i (3.13b) vidimo da je P = d2Wem/(dS⊥dt) sto odgovara

opstoj definiciji (3.9b) inteziteta Pointingovog vektora.

3.4. Svetlosni talas

U okviru klasicne talasne optike svetlost se moze posmatrati kao elektromagnetni talas.

On se u optici cesto naziva i svetlosni talas. Kako je u optickim sredinama uglavnom

dominantna elektricna komponenta elektromagnetnog talasa, to se najcesce razmatra samo

jacina elektricnog polja. Vektor E se naziva svetlosni vektor.

Svetlosni talasi koji se najcesce srecu u prirodi su slozeni elektromagnetni talasi koji

se mogu predstaviti kao odgovarajuce ”superpozicije” monohromatskih talasa, na primer

u obliku talasnog paketa prikazanog jednacinom (1.40a). U nedisperzivnim sredinama svi

komponentni (parcijalni) monohromatski talasi (kruzne) ucestanosti !, tj. frekvencije º =

!/(2¼),

E = A cos(!t− k ⋅ r + ®), (3.14)

prostiru se istom faznom brzinom vf = c/√"r¹r. Njihova talasna duzina je ¸ = 2¼/k, period

T = 2¼/!, a talasni broj k = !/vf .

U optici se sredina karakterise apsolutnim indeksom prelamanja n koji se definise kao

kolicnik brzine svetlosti u vakuumu (c) i fazne brzine (vf ) u posmatranoj sredini:

n =c

vf. (3.15a)

33

FIG. 14: Spektar talasnih duzina elektromagnetnih talasa

Apsolutni indeks prelamanja n je direktno povezan sa elektricnim i magnetnim svojstvima

sredine:

n =√"r¹r. (3.15b)

Kako su opticke sredine slabi magnetici za koje je ¹r ≈ 1, apsolutn indeks prelamanja se

moze izraziti u obliku

n =√"r. (3.15c)

Sredine sa vecim n nazivaju se opticki guscim, a one sa manjim n opticki redjim sredinama.

Za disperzivne sredine indeks prelamanja se moze definisati jednacinom (3.15a) za svaki

parcijalni talas posebno. U ovakvim sredinama n = n(!).

Svetlost je elektromagnetni talas koji se moze registrovati okom. Kako je sposobnost

oka ogranicena na detekciju elektromagnetnih talasa iz uskog intervala talasnih duzina, to

se svetlost moze definisati upravo ovim intervalom. Na Fig. 14 prikazane su sve moguce

talasne duzine ¸0 u vakuumu (tzv. spektar talasnih duzina), i naznaceni su specificni elek-

tromagnetni talasi koji odgovaraju odredjenim intervalima ¸0. Vidimo da vidljiva svetlost

odgovara talasnim duzinama ¸0 u vakuumu iz intervala od 0.38¹m do 0.76¹m (1¹m =

10−6m).

Pri prelasku sa vakuuma na odgovarajucu opticku sredinu treba prvo uzeti u obzir da

se u svim optickim sredinama elektromagnetni talasi prostiru istom ucestanoscu !. Ovo

svojstvo talasa bice dokazano pri razmatranju njihovog ponasanja na granici dve opticke

sredine (odeljak §8). Talasne duzine elektromagnetnih talasa zavise od opticke sredine. U

datoj optickoj sredini indeksa prelamanja n, elektromagnetni talasi ce imati talasnu duzinu

34

¸ = 2¼/k = vf/º. Kako je ¸0 = c/º, nalazimo da je ¸/¸0 = vf/c = 1/n, tj.

¸ =¸0

n. (3.16)

Frekvencija vidljive svetlosti je vrlo velika:

º = º0 =c

¸0

, (3.17)

gde je ¸0 ∈ [0.38¹m, 0.76¹m]. Na primer, na osnovu jednacine (3.17) nalazimo da je

frekvencija koja odgovara talasnoj duzini ¸0 = 0.76¹m jednaka º = 4.8 ⋅ 1014 Hz. Zbog toga

su u optici merljive samo srednje vrednosti po vremenu (i prostoru) odgovarajucih fizickih

velicina.

3.5. Jacina svetlosti

a) Definicija jacine svetlosti

Osnovna fizicka velicina u optici je jacina svetlosti I. Ona se definise kao srednja vrednost

energije elektromagnetnog polja koja se u vidu svetlosnog talasa u jedinici vremena prenese

kroz jedinicu povrsine normalne na pravac prostiranja:

I =

⟨d2Wem

dS⊥dt

⟩. (3.18a)

Na osnovu jednacine (3.9b) vidimo da po svojoj definiciji jacina svetlosti predstavlja intezitet

srednje vrednosti Pointingovog vektora:

I = ∣ < P > ∣. (3.18b)

Dimenziono, na osnovu jednacine (3.10), I(=)P (=)W/m2, tj. jacina svetlosti ima dimenziju

gustine snage (W/m2). U optici se za jacinu svetlosti koristi posebna jedinica: Lumen/m2.

Napomenimo da je formulama (3.18a,b) data tzv. energijska definicija jacine svetlosti.

Pored ove definicije u optici se koristi i fotometrijska definicija koja uzima u obzir sposobnost

ljudskog oka da registruje pojedine talasne duzine. U tom smislu uvodi se jedna bezdimen-

ziona velicina, tzv. vidljivost V koja izvan intervala ¸0 ∈ [0.38¹m, 0.76¹m] pada na nulu, a

ima maksimum negde na sredini ovog intervala koji odgovara zelenoj svetlosti. Na Fig. 14,

funkcija V = V (¸0), je prikazana iznad intervala vidljive svetlosti. Pomocu vidljivosti V , en-

ergijski definisana jacina svetlosti se moze prevesti u fotometrijski definisanu velicinu. Tako,

35

FIG. 15: Usrednjavanje u slucaju periodicnog Pointingovog vektora

na primer, za monohromatski talas date talasne duzine ¸0, fotometrijska jacina svetlosti If

predstavlja proizvod vidljivosti V (¸0) i energijski definisane jacine svetlosti If :

If = V (¸0)I.

Usrednjavanje koje figurise u formuli (3.18b), je u opstem slucaju po prostoru i vremenu:

< P >=< P >ΔV,Δ¿=1

ΔVΔ¿

∫

ΔV,Δ¿

P (r′, t′)dV ′dt′, (3.19a)

gde su ΔV i Δ¿ zapremina i vremenski interval po kojima se vrsi usrednjavanje. U jednacini

(3.19a) se podrazumeva da su ΔV i Δ¿ intervali oko uocene tacke prostora vektora polozaja

r i oko uocenog trenutka vremena t. Velicine ΔV i Δ¿ su direktno povezane sa konkretnim

uslovima pod kojim se vrsi detekcija (merenje) jacine svetlosti. Zbog toga se interval Δ¿

naziva vreme merenja. Analogno, za ΔV se moze reci da predstavlja zapreminu prostora u

kome se vrsi merenje. Ako se u vremenskom intervalu u kome vrsimo merenje Pointingov

vektor malo menja u okviru uocene zapremine ΔV , bice P (r′, t′) ≈ P (r, t′), pa se usrednja-

vanje u jednacini (3.19a) svodi na usrednjavanje po vremenu:

< P >=< P >ΔV,Δ¿=1

Δ¿

∫

Δ¿

[1

ΔV

∫

ΔV

P (r′, t′)dV ′]dt′ ≈ 1

Δ¿

∫

Δ¿

P (r, t′)dt′ =< P >Δ¿ .

(3.19b)

Ukoliko se Pointingov vektor periodicno menja u vremenu sa periodom T , usrednjavanje

po vremenu merenja Δ¿ koje sadrzi veliki broj oscilacija (Δ¿ ≈ NT,N ≫ 1) svodi se na

usrednjavanje po periodu. Pretpostavicemo takodje da je u toku vremena merenja vektor

P konstantnog pravca i smera (npr. u pravcu x-ose). Tada je P (r, t′) = P (r, t′)ex, pri

cemu je P (r, t′) pozitivna oscilatorna funkcija, prikazana na Fig. 15. Ovakav slucaj imamo,

36

npr., kod ravanskog talasa gde je vektor P dat jednacinom (3.11a). Mozemo zakljuciti da

je u posmatranom slucaju: < P >= 1Δ¿

∫Δ¿

P (r, t′)dt′ ≈ 1/(NT )∫ t+(Δ¿/2)

t−(Δ¿/2)P (r, t′)dt′ex ≈

(1/NT )N∫ T

0P (r, t′)dt′ex = (1/T )

∫ T

0P (r, t′)dt′. Dakle,

< P >=< P >T=1

T

∫ T

0

P (r, t′)dt′. (3.19c)

b) Opsti izraz za jacinu monohromatske svetlosti

Na osnovu jednacine (3.19c), moze da se nadje opsti izraz za jacinu svetlosti za sve

slucajeve u kojima se Pointingov vektor periodicno menja sa vremenom. Ovakva situacija

se javlja pod uslovom da je svetlosni vektor u kompleksnom obliku dat sa

ˇE(r, t) =

ˇE0(r) e

−i!t, (3.20a)

a da je magnetna indukcija (u kompleksnom obliku)

ˇH(r, t) =

ˇH0(r) e

−i!t. (3.20b)

Na primer, ravanski monohromatski talas u neprovodnoj sredini, prikazan jednacinom

(1.32b), spada u ovakve talase. Kod njega jeˇE0(r) = Emexp(ik ⋅r−i®)ey. U istu klasu spada

i ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini. U tom slucaju, na osnovu jednacina

(2.14a) i (2.15), nalazimo da jeˇE0(r) = Emexp(−sx)exp(ikx − i®1)ey. Takodje, sferni

monohromatski talas, dat izrazom (1.50b), ima oblik prikazan jednacinom (3.20a). Kod

njega jeˇE0 = (Em/r)exp(ik ⋅ r − i®)eµ.

Pointingov vektor, definisan jednacinom (3.7a), moze se izraziti preko kompleksnih vek-

tora (3.20a,b) u sledecem obliku:

P = E × H = ReˇE × Re

ˇH, (3.21a)

tako da na osnovu jednacine (3.18) za jacinu svetlosti I = ∣ < P > ∣, imamo

I = ∣ < ReˇE × Re

ˇH > ∣ =

∣∣∣⟨Re

(ˇE0(r)e

−i!t)× Re

(ˇH0(r)e

−i!t)⟩∣∣∣ . (3.21b)

Ako uvedemo oznakeˇE0(r) = a + ib i

ˇH0(r) = c + id, nalazimo da je

ˇE0(r)exp(−i!t) =

(a+ ib)exp(−i!t) = (a+ ib)(cos!t− isin!t) i analogno zaˇH0(r)exp(−i!t), tako da je

I = ∣ < (a cos!t+ b sin!t)× (c cos!t+ d sin!t) > ∣, (3.22a)

37

odnosno

I = ∣ < (a× c) cos2!t+ (b× d) sin2!t+ (a× d+ b× c) sin!t cos !t > ∣. (3.22b)

Usrednjavanje u jednacini (3.22b) je po periodu T = ¼/! funkcije P , tako da je

I = ∣(a× c) < cos2!t >T +(b× d) < sin2!t >T +(a× d+ b× c) < sin!t cos!t >T ∣. (3.22c)

Srednja vrednost < sin!t cos !t >T jednaka je nuli:

< sin!t cos!t >T=1

T

∫ T

0

sin!t′ cos!t′dt′ =1

!T

∫sin!t′d(sin!t′)

=1

2!Tsin2!t′∣T0 = 0. (3.23a)

Srednje vrednosti < cos2!t >T i < sin2!t >T jednake su 1/2. Naime, koristeci trigonometri-

jske relacije cos2x = (1/2)(1 + cos2x) i sin2x = (1/2)(1− cos2x) nalazimo

< cos2!t >T=1

T

∫ T

0

cos2!t′dt′ =1

2T

[∫ T

0

dt′ +∫ T

0

cos2!t′dt′]=

1

2+

1

2T

1

2!sin2!t′∣T0

=1

2+

1

4!Tsin2!T =

1

2+

1

4!Tsin2¼ =

1

2, (3.23b)

i analogno

< cos2!t >T=1

2. (3.23c)

Zamenom izraza (3.23a,b,c) u jednacinu (3.22c) nalazimo

I =1

2∣a× c+ b× d∣. (3.24a)

S druge strane, moze se uociti da je Re(ˇE0 × ˇ

H∗0

)= Re[(a+ ib)× (c− id)] = a× c+ b× d,

tako da je

I =1

2

∣∣∣Re(ˇE0 × ˇ

H∗0

)∣∣∣ = 1

2

∣∣∣Re(ˇE × ˇ

H∗)∣∣∣ . (3.24b)

Poslednji izraz se moze smatrati najopstijim oblikom izraza za jacinu monohromatske svet-

losti.

Primer

Na osnovu formule (3.24b) lako se nalazi jacina svetlosti monohromatskog talasa kod

koga su vektoriˇE0 i

ˇH0 ortogonalni, i za koji vazi

√"E0 =

√¹H0 (npr. ravanski talas:

ˇE = Emeye

ikxe−i!t =ˇE0e

−i!t). Tada je I = (1/2)∣Re( ˇE0 × ˇH∗

0 )∣ = (1/2)Re(E0H∗0 ). U

38

posmatranom slucaju E0H∗0 =

√"/¹E0E

∗0 = (1/¹)

√"¹∣E0∣2. Kako je n =

√"r¹r i ¹ ≈ ¹0,

imamo E0H∗0 =

√"0/¹0n∣E0∣2, tako da je

I =

√"0¹0

1

2n∣E0∣2. (3.25a)

Vidimo da je jacina svetlosti posmatranog monohromatskog talasa proporcionalna sa

(1/2)n∣E0∣2, pri cemu je konstanta proporcionalnosti: const =√

"0/¹0. Dakle

I = const ⋅ 12n∣E0∣2. (3.25b)

Primetimo da se velicina ∣E0∣2/2 cesto i sama naziva jacina svetlosti.

Formulu (3.25b) mozemo da napisemo i u obliku

I = const ⋅ 12n∣ ˇE∣2, (3.26a)

gde sada vertikalne crte oznacavaju moduo kompleksnog broja i intezitet vektora:

∣ ˇE∣2 = ˇE ⋅ ˇE∗. (3.26b)

Naime, ∣ ˇE∣2 = ˇE ⋅ ˇE∗ = ˇ

E0 e−i!t ˇE∗

0 ei!t =

ˇE0

ˇE∗

0 = E0E∗0 = ∣E0∣2.

§4 Izvori elektromagnetnih talasa

4.1. Maxwell-ove jednacine u polju naelektrisanja i struja

U odeljku §1 elektromagnetni talasi su razmatrani kao jedno od mogucih resenja Maxwell-

ovih jednacina, u delu prostora ℜ bez naelektrisanja i struja. Pritom je bilo nebitno kako oni

nastaju. Mogucnost da se elektromagnetni talasi posmatraju nezavisno od njihovog izvora

direktna je posledica same prirode nestacionarnih polja. Naime, za razliku od stacionarnih

polja koja su u svakom trenutku vremena vezana za naelektrisanja i struje, nestacionarna

polja mogu da egzistiraju (u obliku elektromagnetnih talasa) cak i vrlo dugo posle njihovog

emitovanja, ili se mogu posmatrati u prostroru vrlo daleko od njihovog izvora. U odeljku §2razmatrali smo prostiranje monohromatskih talasa kroz provodnu, nenaelektrisanu sredinu,

takodje bez razmatranja konkretnih izvora ovih talasa.

U ovom odeljku bice data kompletna slika elektromagnetnih talasa, ukljucujuci i njihove

izvore (i detekciju). U najopstijem clucaju, izvori elektromagnetnih talasa uvek su u vezi

39

sa oscilovanjem naelektrisanja i struja. U tom cilju podjimo od Maxwell-ovih jednacina

za elektromagnetno polje u prisustvu naelektrisanja i struja, rasporedjenih sa gustinama

½ = ½(r, t) i j = j(r, t) u prostoru i vremenu. Posmatrani slucaj odgovara najopstijem

obliku Maxwell-ovih jednacina (1.2a), (1.2b), (1.3a) i (1.3b):

rotE = −∂B

∂t(4.1a)

divB = 0 (4.1b)

rotH = j +∂D

∂t(4.1c)

divD = ½. (4.1d)

Pogodan metod resavanja sistema jednacina (4.1a-d) u slucaju kada su naelektrisanja

i struje lokalizovani u konacnom delu prostora je preko skalarnog i vektorskog potencijala

' = '(r, t) i A = A(r, t). Vektorski potencijal A se definise isto kao i u magnetostatici,

relacijom

B = rotA, (4.2)

kada je jednacina (4.1b) automatski zadovoljena (divB = div(rotA) ≡ 0). Kalibracija

vektora A, tj. biranje divergencije ovog vektora, je proizvoljna. Zamenom jednacine (4.2) u

(4.1a), nalazimo

rot

ÃE +

∂A

∂t

)= 0, (4.3a)

tako da se uvek moze uvesti velicina grad' kao

E +∂A

∂t= −grad' (4.3b)

(jer je rotgrad' ≡ 0). Na osnovu poslednje relacije, nalazimo da je

E = −grad'− ∂A

∂t. (4.3c)

Pretpostavimo sada da je sredina linearna i izotropna (kada je D = "E i B = ¹H) kao

i da je u pogledu dielektricnih i magnetnih svojstava homogena i stacionarna (" = const. i

¹ = const.). Zamena jednacina (4.2) i (4.3c) u (4.1c), u ovom slucaju dovodi do jednacine

rot rotA = ¹j + "¹∂

∂t

Ã−grad'− ∂A

∂t

). (4.4a)

40

Kako je

rot rotA = grad divA−ΔA, (4.4b)

jednacinu (4.4a) mozemo da napisemo u obliku

ΔA = "¹∂2A

∂t2− ¹j + grad

(divA+ "¹

∂'

∂t

). (4.4c)

Izaberimo sada tzv. Lorencovu kalibraciju za vektor A:

divA = −"¹∂'

∂t. (4.5)

Primetimo da Lorencova kalibracija (4.5) ima oblik jednacine kontinuiteta za vektor A, sto

znaci da A ”izvire” u tackama prostora u kojima je ∂'/∂t < 0. Uz kalibracioni uslov (4.5),

jednacina (4.4c) prelazi u

ΔA = "¹∂2A

∂t2− ¹j, (4.6)

sto predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednacinu za vektor A.

Preostaje jos analiza Maxwell-ove jednacine (4.1d), koja moze da se napise u obliku

div

Ã−grad'− ∂A

∂t

)=

½

". (4.7a)

Kako je

div grad' = Δ', (4.7b)

imamo

Δ'+ div∂A

∂t= −½

". (4.7c)

Koristeci kalibracioni uslov (4.5), jednacina (4.7c) postaje

Δ' = "¹∂2'

∂t2− ½

". (4.8)

Poslednja jednacina predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednacinu za skalarni potencijal '.

4.2. Retardovani potencijali

Jednacine (4.8) i (4.6) predstavljaju nezavisne jednacine za ' i A pri cemu je ' odredjeno

rasporedom naelektrisanja a A raspodelom struja. Nadjimo sada resenja ovih jednacina pod

41

FIG. 16: Retardovani skalarni potencijal

uslovom da su ½(r ′, t) i j(r ′, t) nenulte velicine samo u ogranicenom delu prostora zapremine

V .

Nadjimo prvo resenje jednacine (4.8) za ' u tacki M koja se nalazi izvan oblasti V , kao na

Fig. 16. Da bismo dosli do ovog resenja podelimo zapreminu V na elementarne zapremine

dV ′ naelektrisanja dq = ½(r ′, t)dV ′. Po principu superpozicije ukupni potencijal u tacki M

predstavlja integral elementarnih potencijala od naelektrisanja dq. Zbog toga je pogodno

prvo naci ove potencijale.

Oznacimo sa ' potencijal od naelektrisanja dq u tacki M na rastojanju R od dq. Kako

je ½ = 0 u tacki M , jednacina (4.8) za ' u okolini ove tacke ima oblik

Δ' = "¹∂2'

∂t2=

1

v2f

∂2'

∂t2, (4.9a)

gde smo uveli faznu brzinu vf = 1/√"¹ = c/

√"r¹r. Potencijal ' potice od tackastog

naelektrisanja dq tako da mora biti sferno simetrican: ' = '(R, t). Prema tome, izrazivsi

Laplasijan u sfernim koordinatama (jednacina (1.41a)), imamo

Δ' =1

R

∂2

∂R2(R'), (4.9b)

tako da jednacina (4.9a) prelazi u tzv. Dalamberovu talasnu jednacinu

∂2

∂R2(R') =

1

v2f

∂2

∂t2(R'). (4.9c)

Jednacina (4.9c) ima oblik jednacine (1.41b) koju smo imali pri analizi sfernih elektro-

magnetnih talasa u skalarnoj aproksimaciji. Primetimo da smo u odeljku 1.6 trazili samo

42

partikularno resenje ove jednacine (monohromatski talas). Sada je potrebno naci opste

resenje jednacine (4.9c). Zbog toga se prvo uvedi smena (R, t) → (», ´), gde su

» = R− vf t, ´ = R + vf t. (4.10)

Kako su parcijalni izvodi ∂2/∂R2 i ∂2/∂t2 dati sa

∂2

∂R2=

(∂»

∂R

∂

∂»+

∂´

∂R

∂

∂´

)2

=

(∂

∂»+

∂

∂´

)2

=∂2

∂»2+ 2

∂2

∂»∂´+

∂2

∂´2(4.11a)

∂2

∂t2=

(∂»

∂t

∂

∂»+

∂´

∂t

∂

∂´

)2

=

(−vf

∂

∂»+ vf

∂

∂´

)2

= v2f

(∂2

∂»2− 2

∂2

∂»∂´+

∂2

∂´2

), (4.11b)

jednacina (4.9c) prelazi u(

∂2

∂»2+ 2

∂2

∂»∂´+

∂2

∂´2

)(R') =

(∂2

∂»2− 2

∂2

∂»∂´+

∂2

∂´2

)(R'), (4.12a)

odnosno∂2

∂»∂´(R') = 0. (4.12b)

Opste resenje jednacine (4.12b) je funkcija oblika

R' = Ψ1(») + Ψ2(´), (4.13a)

gde su Ψ1(») i Ψ2(´) proizvoljne funkcije svojih argumenata. Resenje koje se prostire u

pozitivnom smeru R-ose, tj. resenje koje predstavlja talas koji izvire iz dq, odgovara prvom

clanu Ψ1(»). Dakle, smatrajuci da su resenja koja bi uvirala u dq nefizicka, imamo

R' = Ψ1(») = Ψ1(R− vf t) = Ψ

(t− R

vf

), (4.13b)

gde je sada sa Ψ(t−R/vf ) oznacena proizvoljna funkcija argumenta t−R/vf . Dakle, skalarni

potencijal '(r, t) od naelektrisanja dq ima isti oblik

' =1

RΨ

(t− R

vf

). (4.14)

Konkretan oblik funkcije Ψ se odredjuje iz uslova da pri vrlo malom R funkcija ' prelazi

u kvazistacionarni oblik 'st:

' → 'st, R → 0. (4.15a)

Kvazistacionarni oblik potencijala u svakom fiksnom trenutku ima istu vrednost kao elek-

trostaticki potencijal:

'st =1

4¼"

½(r′, t)R

dV ′. (4.15b)

43

Naime, na malim rastojanjima polje uvek trenutno prati promenu naelektrisanja. Koristeci

uslov (4.15a) imamo1

RΨ(t) =

1

4¼"

½(r ′, t)R

dV ′, R → 0, (4.16a)

odnosno

Ψ(t) =1

4¼"½(r ′, t)dV ′. (4.16b)

Konacno, na osnovu jednacine (4.14), za potencijal od elementarnog naelektrisanja dq =

½(r ′, t)dV ′ u tacki M imamo

'(r, t) =1

4¼"

½(r ′, t− R

vf

)

RdV ′, (4.16c)

gde je R = ∣r − r ′∣, vidi Fig. 16.Dakle, u tacki M koja se nalazi na rastojanju R od tackastog naelektrisanja dq =

½(r ′, t)dV ′, potencijal u nekom trenutku t odgovara vrednosti naelektrisanja u ranijem

trenutku t′ = t − (R/vf ). Vremenski interval ¿ = R/vf predstavlja vreme potrebno da

se promena naelektrisanja uoci u tacki M . Ovakva pojava se moze interpretirati kao da pos-

toji prostiranje poremecaja u prostoru sa brzinom vf , a potencijal ' se naziva retardovani

potencijal.

Ukupni potencijal ' od kontinualno rasporedjenog naelektrisanja sa gustinom ½(r ′, t)

jednak je

'(r, t) =∑

'(r, t), (4.17a)

odnosno

'(r, t) =1

4¼"

∫

V

½(r′, t− R

vf

)

RdV . (4.17b)

Problem nalazenja vektorskog potencijala u tacki M moze da se resi na potpuno isti

nacin. Naime, ako su struje lokalizovane u zapremini V , Fig. 17, onda razlaganjem vektorske

jednacine (4.6) na tri skalarne jednacine (za i = x, y, z) dobijamo ΔAi = "¹∂2Ai/∂t2 − ¹ji.

Kako je j = 0, dobijamo jednacine analogne jednacini (4.9a) za '. Prema tome, ponavljajuci

isti postupak kao pri izracunavanju ', nalazimo da vektorski potencijal A(r, t) (u tacki M i

trenutku t) ima sledeci retardovan oblik:

A(r, t) =¹

4¼

∫

V

j(r ′, t− R

vf

)

RdV ′. (4.18a)

44

FIG. 17: Retardovani vektorski potencijal

Primetimo da zapreminske struje prelaze u kvazilinijske pri zameni jdV → Idl. U tom

slucaju za vektorski potencijal imamo

A(r, t) =¹

4¼

∮

C

I(t− R

vf

)

Rdl, (4.18b)

gde se sada integracija vrsi po strujnoj konturi.

4.3. Zracenje Hercovog dipola

Svako oscilovanje naelektrisanja i struja predstavlja izvor elektromagnetnih talasa. Naj-

jednostavniji sistem pomocu koga moze da se ostvari ovakvo oscilovanje je tzv. Hercov dipol.

Zracenje Hercovog dipola nije u optickom domenu, ali zakljuci o zracenju ovog sistema imaju

opsti, principijelni karakter.

Ovaj sistem se sastoji od kratkog kvazilinijskog provodnika duzine l koji se na krajevima

zavrsava malim provodnim sferama kao na Fig. 18(a). Sfere igraju ulogu tzv. otvorenog

kondenzatora koji se naizmenicno puni i prazni i na taj nacin se u provodniku koji ih spaja

odrzava promenjiva struja jacine I(t):

I(t) =dq(t)

dt, (4.19)

gde je q(t) naelektrisanje na sferi 1 u trenutku t. U centru dipola nalazi se generator

naizmenicne elektromotorne sile koji odrzava prinudne oscilacije u RLC-kolu; shema ekvi-

valentnog kola prikazana je na Fig. 18(b).

45

FIG. 18: Hercov dipol i njemu ekvivalentno RLC-kolo

FIG. 19: Originalna postavka Hercovog uredjaja i njemu ekvivalentno RLC-kolo

Originalna postavka Hercovog uredjaja data je na Fig. 19(a) a njemu ekvivalentno RLC-

kolo na Fig. 19(b). Uredjaj se sastoji od induktora (izvor visokofrekventne elektromotorne

sile) i provodnika duzine l koji se zavrsava metalnim sferama. U sredini provodnika nalazi

se mali procep, tzv. varnicar. Kada se u procepu varnicara pojavi varnica RLC-kolo se

zatvori i nastaju prigusene oscilacije. Proces se ponavlja ponovnim skokom varnice. Ovakav

uredjaj se cesto naziva i vibrator. Primetimo da nema principijelne razlike izmedju kola na

Fig. 18(b) i Fig. 19(b).

Hercov dipol zraci elektromagnetne talase, koji se u blizini dipola ponasaju dosta kom-

plikovano. Medjutim u oblasti dovoljno daleko od dipola, tj. za r ≫ l, gde je r rastojanje

tacke M od centra dipola, elektromagnetni talasi postaju donekle slicni monohromatskim

46

sfernim talasima. Ova oblast prostora naziva se talasna zona.

U talasnoj zoni, vektorski potencijal A(r, t), dat jednacinom (4.18b), moze da se

aproksimira izrazom u kome je za tekuce rastojanje R od provodnika do tacke M iskoriscena

priblizna jednakost: R ≈ r. Dakle

A(r, t) =¹

4¼

I(t− r

vf

)

rl ez. (4.20)

Skalarni potencijal ' u tacki M talasne zone nalazimo na osnovu jednacine (4.17b), ako

uocimo da je ½ razlicito od nule samo na kuglama 1 i 2:

'(r, t) =1

4¼"

∫

(1)

½1

(r′, t− R

vf

)

RdV ′ +

1

4¼"

∫

(2)

½2

(r′, t− R

vf

)

RdV ′. (4.21a)

Asimptotski oblik za potencijal ' dobijamo stavljajuci R → r u imeniocima. Tada u bro-

jiocima preostaju izrazi∫(1)

½1(r′, t − R/vf )dV

′ ≈ q(t − r1/vf ) i∫(2)

½2(r′, t − R/vf )dV

′ ≈−q(t− r2/vf ), gde su r1 i r2 rastojanja izmedju tacke M i centara kugli ”1” i ”2”. Dakle,

'(r, t) =1

4¼"

1

r

[q

(t− r1

vf

)− q

(t− r2

vf

)]. (4.21b)

Izraz za skalarni potencijal ' se dalje uproscava ako uocimo da za r ≫ l vazi

r1 ≈ r −Δr, r2 ≈ r +Δr, (4.22a)

gde je Δr ≈ (l/2)cosµ. U tom smislu imamo

r2 − r1 ≈ 2Δr ≈ l cosµ. (4.22b)

Zamenom izraza (4.22a) u (4.21b) nalazimo

'(r, t) =1

4¼"

1

r

[q

(t− r

vf+

Δr

vf

)− q

(t− r

vf− Δr

vf

)]. (4.23a)

Ako uzmemo u obzir da je Δr mala velicina u poredjenju sa vf t− r, vidimo da je

'(r, t) =1

4¼"

1

r

∂q(t− r

vf

)

∂(t− r

vf

) 2Δr

vf, (4.23b)

odnosno

'(r, t) =1

4¼"

1

vfr

∂q(t− r

vf

)

∂(t− r

vf

) l cosµ. (4.23c)

47

Znajuci skalarni i vektorski potencijal dat jednacinama (4.23c) i (4.20), jacinu elektricnog

i magnetnog polja mozemo naci primenom jednacina (4.3c) i (4.2). Primetimo da ' zavisi

samo od sfernih koordinata r i µ, tj. ' = '(r, µ), dok je vektorski potencijal oblika: A =

Az(r)ez = Ar(r, µ)er + Aµ(r, µ)eµ. Primenom jednacine (4.3c), dolazimo do zakljucka da

jacina elektricnog polja E ima dve komponente:

E = Erer + Eµeµ. (4.24a)

S druge strane, na osnovu jednacine (4.2), jacina magnetnog polja B, kao rotor vektorskog

potencijala A = Arer + Aµeµ, usmerena je duz '-pravca:

B = B'e'. (4.24b)

Vidimo da su u svakoj tacki talasne zone vektori E i B otrogonalni.

4.4. Polje dipola u talasnoj zoni

Konkretan oblik elektromagnetnih talasa zavisi od nacina oscilovanja naelektrisanja i

struja.

U slucaju Hercovog dipola, moze se smatrati da naelektrisanje q osciluje po harmonijskom

zakonu:

q(t) = q0 cos!t. (4.25a)

Zbog oscilovanja naelektrisanja po zakonu (4.25a), dipolni moment p menja se u toku vre-

mena kao

p(t) = lq(t) = p0 cos!t, p0 = q0l. (4.25b)

Primetimo da bi isti zakon promene p imali ako bi se duzina dipola konstantnog naelek-

trisanja q0 menjala po zakonu l(t) = lcos!t. Zakon promene jacine struje sa vremenom dat

je jednacinom (4.19):

I = −q0! sin !t. (4.25c)

Skalarni potencijal (u talasnoj zoni) Hercovog dipola sada ima oblik

'(r, t) =1

4¼"

q0vfr

∂cos(!(t− r

vf

))

∂(t− r

vf

) l cosµ. (4.26a)

48

FIG. 20: Vektorski potencijal A u talasnoj zoni

Uocivsi da je !/vf = k, nalazimo

'(r, t) = − 1

4¼"

1

vf

q0!

rsin(!t− kr) l cosµ. (4.26b)

Vektorski potencijal u tackiM dat je jednacinom (4.20), gde je jacina struje data jednacinom

(4.25c):

A(r, t) = − ¹

4¼

q0!

rsin(!t− kr) l ez = Az ez. (4.27a)

Kao sto smo vec napomenuli vektorski potencijal A ima samo Ar i Aµ komponente:

A = Arer + Aµeµ, (4.27b)

gde su Ar = Az ez ⋅ er i Aµ = Az ez ⋅ eµ, tj. vidi Fig. 20,

Ar = Azcosµ, Aµ = −Azsinµ. (4.27c)

Primenom jednacine (4.3c), za jacinu elektricnog polja E dobijamo sledeci izraz:

E = −∂'

∂rer − 1

r

∂'

∂µeµ − ∂Ar

∂ter − ∂Aµ

∂teµ, (4.28a)

odnosno

E = lcosµ[− 1

4¼"1vf

q0!rkcos(!t− kr) + 1

4¼"1vf

q0!r2

sin(!t− kr) + ¹4¼

q0!r!cos(!t− kr)

]er

+lsinµ

[− 1

4¼"

1

vf

q0!

r2sin(!t− kr)− ¹

4¼

q0!

r!cos(!t− kr)

]eµ. (4.28b)

49

Zanemarivsi sve velicine koje su reda velicine 1/r2 prema preostalim velicinama reda velicine

1/r i uocivsi da je k/("vf ) = ¹!, tako da se preostala dva sabirka Er-komponente skrate,

nalazimo

E = − ¹

4¼

q0!

r!cos(!t− kr)lsinµeµ. (4.29a)

Kako je p0 = q0l, poslednji izraz mozemo napisati kao

E = − ¹

4¼p0!

2 sinµ

rcos(!t− kr)eµ. (4.29b)

Jacina magnetnog polja B = rotA usmerena je u '-pravcu, i data je sledecim izrazom:

B =(rotA

)'e' =

1

r

[∂

∂r(rAµ)− ∂Ar

∂µ

]e'. (4.30a)

Dakle

B =[− ¹

4¼

q0!

rkcos(!t− kr)lsinµ − ¹

4¼

q0!

r2sin(!t− kr)lsinµ

]e'. (4.30b)

Zanemarujuci drugi sabirak, imamo

B = − ¹

4¼

q0!

rkcos(!t− kr)lsinµe'. (4.31a)

Kako je vf = !/k, poslednji izraz mozemo da napisemo u obliku

B = −¹/vf4¼

p0!2 sinµ

rcos(!t− kr)e'. (4.31b)

Dakle, u talasnoj zoni jacina polja E ima samo µ-komponentu, dok jacina magnetnog

polja B ima samo '-komponentu, kao sto je prikazano na Fig. 21. Izmedju inteziteta E i

B u svakoj tacki talasne zone i u svakom trenutku vremena vazi relacija E = vfB, tj. kako

je k = !/vf , vazi

kE = !B, (4.32)

sto je veza izmedju E i B data jednacinom (1.28b) koju smo imali kod ravanskih (i sfernih)

monohromatskih talasa. Elektromagnetni talasi koji se formiraju u talasnoj zoni predstavl-

jaju tzv. anizotroprne sferne talase. Oni se (do na faktor anizotropije sinµ) ponasaju kao

sferni talasi (1.43a,b). Brzina prostiranja ovih talasa jednaka je v = vf = 1/√"¹. Kruzna

ucestanost ! formiranih talasa jednaka je ucestanosti ! oscilovanja naelektrisanja q.

Prostiranje energije koju zraci Hercov dipol karakterise se sa Pointingovim vektorom. U

proizvoljnoj tacki talasne zone, trenutna vrednost ovog vektora je

P (t) = E × H =1

¹E × B, (4.33a)

50

FIG. 21: Zracenje Hercovog dipola u talasnoj zoni

odnosno

P (t) =1

¹

( ¹

4¼

)2 1

vf

(p0!

2)2 sin2µ

r2cos2(!t− kr)er. (4.33b)

Dakle, elektromagnetna energija prenosi se u pravcu i smeru vektora er, tj. energija u toku

celog perioda oscilovanja struji radijalno od dipola u prostor oko njega.

Jacina svetlosti, koja odgovara Pointingovom vektoru koji osciluje u toku vremena po

zakonu datim jednacinom (4.33b), definisana je opstim izrazom (3.18) kao intezitet srednje

vrednosti Pointingovog vektora

I = ∣ < P > ∣ = ¹

(4¼)21

vf

(p0!

2)2 sin2µ

r2< cos2(!t− kr) >T . (4.34a)

Kako je, po analogiji sa jednacinom (3.23b), < cos2(!t− kr) >T= 1/2, nalazimo

I =1

2

¹

(4¼)21

vf

(p0!

2)2 sin2µ

r2∼ !4. (4.34b)

Dobijeni izraz se moze povezati i sa dipolnim momentom p(t) datim jednacinom (4.25b).

Naime,

< (p)2 >= (p0!2)2 < cos2!t >=

1

2

(p0!

2)2

, (4.35a)

tako da je

I =¹

(4¼)21

vf< (p)2 >

sin2µ

r2. (4.35b)

Poslednji izraz ima opsti karakter, i moze da se primeni na bilko koji sistem koji zraci.

51

§5 Spektralna analiza zracenja

5.1. Elementarna teorija zracenja

Jacina svetlosti po svojoj energijskoj definiciji predstavlja intezitet srednje vrednosti

Pointingovog vektora, tj., na osnovu formule (3.9a),

I = ∣ < P > ∣ =< P >=

⟨dΦW

dS⊥

⟩, (5.1a)

gde je ΦW svetlosni fluks definisan jednacinom (3.7b). Na osnovu energijskog bilansa u polju

zracenja datog jednacinom (3.8), vidimo da je pri dQ/dt = 0, svetlosni fluks

ΦW = −dWem

dt=

dWem

dt. (5.1b)

Dakle, u slucaju kada razmatramo zracenje izvora svetlosti, svetlosni fluks predstavlja en-

ergiju izracenu u jedinici vremena, tako da se on poklapa sa snagom P zracenja izvora:

ΦW = P(t). (5.1c)

Zamenom jednacine (5.1c) u (5.1a), vidimo da je jacina izracene svetlosti u posmatranoj

tacki polja:

I =

⟨dP(t)

dS⊥

⟩=

dPsr

dS⊥, (5.1d)

gde je Psr =< P(t) > srednja snaga zracenja.

Pri razmatranju zracenja, pogodno je pored jacine svetlosti I, vezane za datu tacku polja

zracenja, Fig. 22(a), uvesti i tzv. jacinu svetlosti u datom pravcu I. Ova velicina se definise

kao srednja snaga zracenja po jedinici prostornog ugla, Fig. 22(b). Dakle,

I =dPsr

dΩ(5.2a)

gde je dΩ = sinµdµd' elementarni prostorni ugao. Kako je dS⊥ = r2dΩ, to poredjenjem

izraza (5.1d) i (5.2a) nalazimo

I = r2I. (5.2b)

Jedinica za jacinu svetlosti I u datom pravcu (tzv. svetlosni intezitet) spada u osnovne

jedinice SI. Ova jedinica naziva se kandela (cd). Kandela je jacina svetlosti u datom pravcu,

iz izvora koji emituje monohromatsko zracenje ucestanosti 540⋅ 1012 Hz, a ima u tom pravcu

52

FIG. 22: Jacina svetlosti I i jacina svetlosti u pravcu I

(srednju) snagu po jedinici prostornog ugla (tzv. energetsku jacinu) od 1/683 W/sr. Za

ovakav izvor svetlosti postoji odgovarajuci standard.

Ukupna srednja snaga zracenja dobija se integracijom jednacine (5.2a) po svim prostornim

uglovima:

Psr =

∫IdΩ = r2

∫IdΩ. (5.3a)

Ako u poslednji izraz uvrstimo jacinu svetlosti I datu jednacinom (4.35b), imamo

Psr =¹

(4¼)21

vf< (p)2 >T

∫ ¼

0

∫ 2¼

0

sin3 µdµd'. (5.3b)

Kako je∫ ¼

0

∫ 2¼

0sin3 µdµd' = 2¼

∫ ¼

0sin3 µdµ = 8¼/3, za ukupnu srednju snagu zracenja,

nalazimo

Psr =¹

6¼

1

vf< (p)2 >T . (5.3c)

Primetimo da jednacina (5.3c) ima opsti karakter i moze da se primeni na nalazenje snage

zracenja proizvoljne ubrzane naelektrisane cestice kod koje je tada ¨p = q ¨rq, gde je q naelek-

trisanje a rq vektor polozaja posmatrane cestice.

5.2.Klasican model zracenja atoma

Osnovni model pomocu koga se u okviru klasicne elektrodinamike opisuje zracenje atoma

je model u kome elektron osciluje (duz datog pravca) u polju fiksiranog jezgra.

53

FIG. 23: Klasican model atoma i ”kolaps”

Pretpostavimo da elektron naelektrisanja (-e) i mase m osciluje duz z-ose kruznom

ucestanoscu !0:

rq = r− = z0cos!0tez. (5.4a)

Elektricni dipolni moment atoma (elektron −e, jezgro +e) u sistemu vezanom za +e je po

definiciji

p = −er− + er+ = −er− = −ez0cos!0tez. (5.4b)

Kada bi oscilovanje elektrona bilo trajno periodicno, na osnovu jednacine (4.29b) za-

kljucujemo bi atom emitovao monohromatski talas

E0(r, t) = Emsinµ

rcos(!0t− k0r)eµ. (5.5)

Medjutim, tokom oscilovanja, posmatrani sistem zraci energiju, tako da oscilacije postaju

prigusene. Srednja snaga zracenja data je izrazom (5.3c) u kome je

(p)2 = (ez0!20)

2cos2!0t. (5.6)

Dakle, klasican atom zraci energiju sa srednjom snagom

Psr =¹

6¼

1

vf(ez0!

20)

2 < cos2!0t >T=¹

12¼

1

vf(ez0!

20)

2. (5.7a)

Usled zracenja, energija W elektrona u atomu se smanjuje po zakonu

−dW

dt= Psr =

¹

12¼vf(ez0!

20)

2. (5.7b)

54

Energiju W elektrona mozemo izracunati priblizno, kao energiju linearnog harmonijskog

oscilatora:

W ≈ 1

2m!2

0z20 , (5.7c)

tako da, zamenom izraza (5.7c) u desnu stranu jednacine (5.7b), nalazimo

−dW

dt= °0W, (5.8a)

gde je konstanta °0, tzv. faktor prigusenja, data sa

°0 =¹

6¼vf

e2

m!20. (5.8b)

Smanjenje energije elektrona po zakonu (5.8a) dovodi do prigusenja oscilacija talasnog vek-

tora E, tako da klasican atom zraci prigusene elektromagnetne talase, Fig. 23(b):

E(r, t) = Am(r)e− °0t

2 cos(!0t− k0r)e0E, (5.9a)

gde je sa e0E oznacen jedinicni vektor u pravcu oscilovanja vektora E. Vektor E se moze

prikazati i u obliku E = ReˇE, gde je

ˇE = A(r)e−

°0t2 e−i!0te0E. (5.9b)

Primetimo na kraju da je klasican model atoma, sa stanovista zakona klasicne elektro-

dinamike, sam po sebi kontradiktoran: ovakav sistem brzo kolapsira. Stabilnost atoma kao

mikro-sistema moguca je tek u okviru kvantne mehanike. Sa stanovista kvantne elektrodi-

namike, pobudjeni atom spontano zraci tacno odredjenu energiju posle cega ostaje u (novom)

stabilnom stanju.

5.3. Spektar zracenja

U prethodnom odeljku videli smo da ”klasicni” atomi zrace prigusene elektromagnetne

talase. Isti zakljucak se dobija i u okviru kvantne elektrodinamike; medjutim, ”kvantni”

atom ne kolapsira nego prelazi iz jednog u drugo stabilno stanje. Na makroskopskom nivou,

cinjenica da atomi zrace prigusene talase dovodi do toga da ni jedan realan izvor ne zraci

strogo monohromatske talase. Razlaganje nemonohromatskih talasa na monohromatske

komponente naziva se spektralna analiza talasa.

55

Polazna osnova spektralne analize je cinjenica da se talasni vektor proizvoljnog talasa

uvek moze predstaviti u obliku diskretne sume ili integrala monohromatskih talasa:

E(r, t) =∑

Ei!(r, t) (5.10a)

E(r, t) =

∫ ∞

−∞E!(r, t)d!. (5.10b)

Dalju spektralnu analizu razmotricemo posmatrajuci kontinualnu dekompoziciju talasa datu

jednacinom (5.10b). Ova jednacina u kompleksnom obliku glasi

ˇE(r, t) =

∫ ∞

−∞

ˇA!E(r, !)e

−i!td!, (5.11a)

gde jeˇA!E(r, !)e

−i!td! monohromatski ”talas” ucestanosti !. Pri spektralnoj analizi uzima

se da su pomenuti monohromatski svetlosni vektori istog pravca e0E:

˘A!E(r, !) = A!E(r, !)e0E, (5.11b)

kada jeˇE(r, t) = Ee0E. U tom smislu na dalje ne pisemo vektorske oznake:

E(r, t) =

∫ ∞

−∞A!E(r, !)e

−!td!. (5.11c)

Integral (5.11c) se naziva Furijeov integral, a funkcija A!E Furijeov transform funkcije E.

Funkciju A!E(r, !) nalazimo mnozenjem jednacine (5.11c) sa ei!′t i integraljenjem po

vremenu: ∫ ∞

−∞E(r, t)ei!

′tdt =

∫ ∞

−∞A!E(r, !)

(∫ ∞

−∞ei(!

′−!)tdt

)d!. (5.12)

Integral po vremenu na desnoj strani jednacine (5.12) moze da se izrazi preko Dirakove

±-funkcije. Naime, treba uociti da je integralni oblik ove ”funkcije” dat sa

±(x− x0) =1

2¼

∫ ∞

−∞ei(x−x0)tdt. (5.13a)

Za dalja izracunavanja vazno je sledece integralno svojstvo:

∫ ∞

−∞f(x)±(x− x0)dx = f(x0). (5.13b)

Primetimo da kao specijalni slucaj jednacine (5.13b) imamo

∫ ∞

−∞±(x− x0)dx = 1. (5.13c)

56

Koristeci definiciju (5.13a) Dirakove ±-funkcije, jednacinu (5.12) mozemo napisati u obliku

∫ ∞

−∞E(r, t)ei!

′tdt = 2¼

∫ ∞

−∞A!E(r, !)±(! − !′)d!. (5.14a)

Koristeci osobinu ±-funkcije datu jednacinom (5.13b) nalazimo

A!E(r, !) =1

2¼

∫ ∞

−∞E(r, t)ei!tdt. (5.14b)

Analogno, spektralna analiza bi se mogla izvrsiti i za magnetnu komponentu elektromag-

netnog talasa. Ako sa A!H oznacimo furijeov transform kompleksnog vektoraˇH, imamo

ˇH =

∫ ∞

−∞

ˇA!H(r, !)e

−i!td!. (5.15a)

gde jeˇA!H = A!H e0H . Po analogiji sa jednacinom (5.14b), dobijamo da je velicina A!H

povezana sa velicinom H sledecom relacijom:

A!H(r, !) =1

2¼

∫ ∞

−∞H(r, t)ei!tdt. (5.15b)

Formule (5.14b) i (5.15b) kompletiraju spektralnu analizu proizvoljnog nemonohro-

matskog talasa. Matematicka cinjenica da se u spektralnoj formi (5.11a) i (5.15a), po-

javljuju i negativne ucestanosti (! ∈ [−∞,∞]) dobija svoj fizicki smisao ako se inte-

grali po ! razloze na dva clana. Na primer, ako se jednacina (5.11a) napise u obliku

sume dva clana:ˇE(r, t) =

∫∞0

ˇA!E(r, !)e

−i!td! +∫∞0

ˇA!E(r,−!)ei!td!. Svetlosni vek-

tori Re[ˇA!E(r,±!) exp[∓i!t]d!] = E± predstavljaju monohromatske talase iste ucestanosti.

Ako prvi talas u talasnoj ravni ima svojstvo da vrh vektora E+ opisuje kruznicu rotirajuci

u jednom smeru, onda E− opisuje kruznicu rotirajuci u suprotnom smeru. U odeljku 9.1

videcemo da se ovakvi talasi nazivaju levo i desno polarizovani talasi.

Koristeci spektralna razlaganja (5.11a) i (5.15a), mozemo naci jacinu proizvoljne,

nemonohromatske svetlosti, koristeci definiciju (3.18b):

I =∣∣∣⟨Re

ˇE × Re

ˇH⟩∣∣∣

=

∣∣∣∣⟨Re

(∫ ∞

−∞

ˇA!E(r, !)e

−i!td!

)× Re

(∫ ∞

−∞

ˇA!H(r, t

′)e−i!′td!′)⟩∣∣∣∣ , (5.16a)

tj.

I =

∣∣∣∣∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

⟨Re

(ˇA!Ee

−i!t)× Re

(ˇA!He

−i!′t)⟩

d!d!′∣∣∣∣ . (5.16b)

57

≡∣∣∣∣∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞F (!, !′)d!d!′

∣∣∣∣ . (5.16c)

Pri usrednjavanju u izrazu (5.16c) moze se smatrati da nenulti doprinos daju samo clanovi

sa ! = !′, tj.

F (!, !′) ≈ K!F (!, !)±(! − !′). (5.17)

Naime, kada je ! ∕= !′, jacina svetlosti zavisi od proizvoda Re(ˇA!Ee

−i!t)×Re

(ˇA!He

−i!′t)

koji brzo osciluje oko nulte vrednosti u toku vremena, tako da je njena srednja vrednost po

vremenu jednaka nuli. Koristeci izraz (5.17), nalazimo

I =

∣∣∣∣∫ ∞

−∞K!

⟨Re

(ˇA!Ee

−i!t)× Re

(ˇA!He

−i!t)⟩

d!

∣∣∣∣ . (5.18a)

Srednja vrednost u (5.18a) je istog oblika kao u jednacini (3.21b). Prema tome (vidi

jednacinu (3.24b)),

I =1

2

∣∣∣∣∫ ∞

−∞K!Re

(ˇA!E × ˇ

A∗!H

)d!

∣∣∣∣ . (5.18b)

Kako izmedjuˇA!E = A!E e0E i

ˇA!H = A!H e0H vazi ista veza kao izmedju

ˇE i

ˇH, za-

kljucujemo da jeˇA!E × ˇ

A∗!H = A!EA

∗!H e0 =

√"/¹∣A!E∣2e0 gde je e0 = e0E × e0H . Dakle,

kako je ∣e0∣ = 1,

I =1

2

∫ ∞

−∞K!

√"

¹∣A!E∣2d! =

∫ ∞

−∞const ⋅ n1

2∣A!E∣2d!, (5.18c)

gde je const = K!

√"0/¹0 (pri ¹r ≈ 1).

Relacija (5.18c) moze da se protumaci kao superpozicija jacina svetlosti pojedinih

monohromatskih komponenti:

I =

∫ ∞

−∞I!(!)d!, (5.19a)

gde je

I!(!) = const ⋅ n12∣A!E∣2 (5.19b)

tzv. spektralna gustina.

Skup svih ucestanosti ! koje se javljaju u spektralnoj formi (5.19a), tj. u (5.11c), naziva

se spektar u uzem smislu. Ocigledno, spektar koji smo mi razmatrali je kontinualan spektar:

! ∈ (0,∞), ako se ne razmatra polarizacija. Ukoliko se pojavljuju samo neke (diskretne)

vrednosti !, onda se spektar naziva diskretan: ! = (!1, !2...). Pod spektrom u sirem smislu

podrazumeva se zavisnost I! od ! (vidi Fig. 24(a,b)).

58

FIG. 24: Kontinualni i diskretni spektar zracenja

5.4. Spektar zracenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti

a) Spektar zracenja atoma

Nadjimo prvo spektar zracenja atoma. Spektar zracenja proizvoljnog izvora dobija se

odgovarajucim ”usrednjavanjem”.

Klasican atom (posmatran kao prigusen linearni harmonijski oscilator) zraci prigusene

elektromagnetne talase date jednacinom (5.9b). Vec smo ukazali na cinjenicu da se ovakvo

zracenje dobija i u okviru kvantne elektrodinamike. Priroda prigusenja je bitno razlicita u

ova dva modela. Klasican atom usled zracenja gubi energiju i kolapsira, dok kvanti atom

prelazi u novo stabilno stanje, a prigusenje se pripisuje intrekciji sa ”vakuumom”.

Dakle, atom zraci prigusen elektromagnetni talas koji sa faktrorom prigusenja °0 osciluje

frekvencijom !0. Radi matematickih pogodnosti pretpostavimo da se talas uspostavlja u

trenutku t = 0, tako da je

ˇE(r, t) =

⎧⎨⎩

0, t < 0

A(r)e−°0t2 e−i!0te0E, t ≥ 0

(5.20)

Spektar zracenja atoma odredjen je Furijeovim transformom velicine E, koji je dat

jednacinom (5.14b):

A!E(r, !) =1

2¼

∫ ∞

−∞E(r, t)ei!tdt =

1

2¼A(r)

∫ ∞

0

e−°0t2 ei(!−!0)tdt. (5.21a)

Uvodeci oznaku °0/2 − i(! − !0) = », nalazimo A!E = (1/2¼)A(r)∫∞0

e−»tdt =

(1/2¼)A(r)(1/»)e−»t/∞0 = A(r)/(2¼»), tako da je

A!E(r, !) =1

2¼

A(r)°02− i(! − !0)

. (5.21b)

59

FIG. 25: Spektar zracenja atoma

Za spektralnu gustinu I!(!), koja je data jednacinom (5.19b), sada imamo

I!(!) = const ⋅ n12

1

(2¼)2∣A(r)∣2 1

°20

4+ (! − !)2

. (5.22a)

Poslednji izraz mozemo da napisemo u obliku

I!(!) = k°02

°20

4+ (! − !0)2

. (5.22b)

Konstantu k (za dato r) mozemo da povezemo sa ukupnom jacinom svetlosti I. Naime,

zamenom I!(!) u jednacinu (5.19a) nalazimo

I = k

∫ ∞

−∞

°02

°20

4+ (! − !0)2

d! = k

∫ ∞

−∞

d(2!°0)

1 + (2(!−!0)°0

)2= kArctg

(2(! − !0)

°

)/∞−∞ = k¼,

(5.23a)

odakle je

k =I

¼. (5.23b)

Konacno,

I!(!) =I

¼

°02

°20

4+ (! − !)2

. (5.24)

Spektar zracenja, tj. zavisnost I! od !, dat je na Fig. 25. Vidimo da I!(!) ima oblik

zvonaste krive koja ima maksimum I! = I!,max za ! = !0, tj. pri sopstvenoj ucestanosti

oscilovanja elektrona:

I!,max =2I

¼°0. (5.25)

60

FIG. 26: Zracenje prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti

Sirina spektralne linije, Δ!, se definise kao sirina spektra na polovini visine, Fig. 25. Dakle:

(1/2)I!,max = I!(!0±Δ!/2), tj. (1/2)2I/(¼°0) = (I/¼)(°0/2)/[(°20/4+(!0±(Δ!/2)−!0)

2],

odakle za sirinu Δ! nalazimo

Δ! = °0. (5.26)

Spektar zracenja atoma u kome se prigusenje javlja spontano, usled samog zracenja,

dovodi do tzv. prirodnog sirenja spektralne linije. Odgovarajuci spektar se cesto naziva

prirodni oblik emisione linije. Prirodna sirina linije je veoma mala. Za opticke ucestanosti

imamo Δ!/!0 = °0/!0 ∼ 10−7.

Do prigusenja elektronskog oscilovanja moze doci i pod delovanjem spoljasnjeg elektricnog

polja. Ovakvo delovanje se moze posmatrati kao perturbacija prirodnog oscilovanja. Ovakav

efekat dovodi do dodatnog sirenja spektralne linije. Spektar zracenja se ponovo moze opisati

formulom (5.24) ali u njoj umesto °0 figurise neki drugi parametar prigusenja °.

b) Spektar zracenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetloasti

Zracenje ”prirodnog” izvora nastaje superpozicijom zracenja velikog broja mikro-izvora

(atoma). Pritom mikro-izvori mogu biti vise ili manje nezavisni i podvrgavaju se razlicitim

statistikama. Uzevsi u obzir prirodu zracenja mikro-izvora kao i proces usrednjavanja, jasno

je da se mogu dobiti vrlo razlicita rezultujuca zracenja. Ovde cemo detaljnije razmotriti

samo dva ekstremno razlicita tipa ovako dobijene svetlosti: lasersku svetlost i tzv. termalnu

svetlost.

U principu u oba pomenuta slucaja, rezultujuca jacina polja E jednaka je sumi jacina

61

FIG. 27: Slucajevi (a) nekorelisane i (b) korelisane promene vektora R(r, t) u toku vremena,

karakteristicni za termalnu svetlost i lasersku svetlost, respektivno

polja Ej pojedinih mikro-izvora (atoma). Pretpostavimo da je osnovna ucestanost !0 svih

atoma ista. Tada je, u kompleksnom domenu

ˇE =

∑j

ˇEj,

ˇEj =

ˇAj(r, t)e

−i!0t, (5.27a)

tj., ako uvedemo oznakuˇAj(r, t) = Aj(r, t)e

iΦj(r,t),

ˇE =

∑j

Aj(r, t)eiΦj(r,t)e−i!0t. (5.27b)

Dakle, u tacki M u trenutku t, jacina polja od prirodnog izvora ”monohromatske” svet-

losti je data saˇE(r, t) =

ˇR(r, t)e−i!0t (5.28a)

gde jeˇR(r, t) =

∑j

Aj(r, t)eiΦj(r,t) ≡ R(r, t)eiΦ(r,t). (5.28b)

Da bi se opisala priroda dobijenog polja, opisanog saˇR(r, t), uvodi se pojam koherentne

svetlosti. Za svetlost dobijenu zracenjem posmatranog prirodnog izvora se kaze da je vre-

menski koherentna ako su velicineˇR(r, t) u razlicitim trenucima (a za dato r), medjusobno

korelisane, tj. ako postoji funkcionalna veza izmedjuˇR(r, t1) i

ˇR(r, t2):

ˇR(r, t1) = ℑ( ˇR(r, t2)). (5.29a)

62

Za svetlost se kaze da je prostorno koherentna ako su korelisane vrednostiˇR(r, t) u datom

trenutku a u razlicitim tackama polja, tj. ako postoji funkcionalna zavisnost oblika

ˇR(r1, t) = ℑ( ˇR(r2, t)) (5.29b)

U vezi sa vremenskom i prostornom koherencijom uvode se pojmovi vremena koherencije

i duzine koherencije. Naime, velicineˇR(r, t1) i

ˇR(r, t2) su medjusobno korelisane samo u

toku nekog vremenskog intervala Δtk koji se naziva vreme koherencije, dok se izvan ovog

intervala velicinaˇR(r, t) znacajno i nekontrolisano menja. Takodje velicina

ˇR(r1, t) i

ˇR(r2, t)

se medjusobno korelisane samo u oblasti ΔVk cije se linearne dimenzije nazivaju duzina

koherencije.

Dva pomenuta granicna slucaja rezultujuceg zracenja definisana su vremenskom koheren-

cijom. Kod termalne svetlosti vreme koherencije je vrlo malo, tako da su velicineˇR(r, t)

prakticno nekorelisane. To znaci da se velicine R(r, t) i faze Φ(r, t) u posmatranoj tacki

prostora u toku vremena ponasaju kao slucajne velicine (nepredvidljivo), Fig. 27(a).

Kod laserske svetlosti vreme koherencije je vrlo veliko, tako da su velicineˇR(r, t) u toku

dugog intervala (Δtk) medjusobno korelisane velicine, Fig. 27(b). Do narusenja korelacije

(po isteku vremena koherencije) dolazi zbog razlicitih perturbacija kojima su izlozeni atomi

laserskog izvora.

Razlicito ponasanje velicineˇR(r, t) u toku vremena bitno utice na proces usrednjavanja

kojim se dolazi do jacine svetlosti prirodnog izvora zracenja.

63

II. GEOMETRIJSKA OPTIKA

§6 Aproksimacija geometrijske optike

6.1. Talasna jednacina u ajkonalnoj aproksimaciji

Osnovna ideja geometrijske optike lezi u cinjenici da se u optickom domenu prostiranje

elektromagnetnih talasa moze predstaviti sa velikim stepenom tacnosti kao transfer energije

talasa duz zraka koji se definisu geometrijskim relacijama. Da bi presli od talasne jednacine

na jednacinu zraka potrebno je izvrsiti tzv. ajkonalnu aproksimaciju.

Videli smo da u linearnim i izotropnim sredinama koje su neprovodne (dakle nedis-

perzivne) vektori E i B zadovoljavaju talasne jednacine (1.8a) i (1.9a):

ΔE = "¹∂2E

∂t2, ΔB = "¹

∂2B

∂t2. (6.1a)

Elektromagnetna karakteristika sredine "¹ se u optici izrazava preko indeksa prelamanja

n = c/vf . Koristeci relaciju (1.10a), nalazimo "¹ = 1/v2f = (1/c2)(c/vf )2 = n2/c2, tako da

jednacine (6.1) dobijaju oblik

ΔE =n2

c2∂2E

∂t2, ΔB =

n2

c2∂2B

∂t2. (6.1b)

Primetimo da jednacine (6.1a), pa prema tome i (6.1b), vaze u homogenim sredinama " =

const i ¹ = const, tj. u opticki homogenim sredinama (n = const). Ove jednacine se mogu

primeniti i na nehomogene sredine pod uslovom da je indeks prelamanja n = n(r) sporo

promenjiva funkcija.

U daljem razmatranju ogranicavamo se na monohromatske talase ucestanosti !. Vektori

E i B ovih talasa se mogu izraziti kao realni delovi kompleksnih vektoraˇE i

ˇB relacijama

(1.31) i (1.32):

E = ReˇE,

ˇE =

ˇE0e

−i!t (6.2a)

B = ReˇB,

ˇB =

ˇB0e

−i!t. (6.2b)

Kompleksni vektoriˇE i

ˇB zadovoljavaju iste jednacine (6.1b) kao i njihovi realni delovi E i

B.

Razmotrimo prvo jednacinu zaˇE. Jednacina za

ˇB je potpuno analogna. Zamenom (6.2a)

u (6.1b), nalazimo

e−i!t(ΔˇE0) =

n2

c2(−!2)

ˇE0e

−i!t, (6.3a)

64

odakle vidimo da se clanovi exp(−i!t) skracuju, tako da se dobija vremenski nezavisna

jednacina

ΔˇE0 = −n2!2

c2ˇE0. (6.3b)

Kako je talasni broj u vakuumu (u kome se svetlost prostire istom ucestanoscu ! kao i u

posmatranoj sredini) k0 = !/c, jednacinu (6.3b) mozemo napisati u obliku

ΔˇE0 = −n2k2

0ˇE0. (6.3c)

Jednacina (5.3c) se svodi na tri skalarne jednacine za E0x(r), E0y(r) i E0z(r) koje sve imaju

isti oblik. Oznacivsi sa Ψ(r) proizvoljnu komponentu kompleksnog vektoraˇE0, imamo

1

ΨΔΨ = −n2k2

0. (6.4)

U cilju nalazenja ajkonalne aproksimacije jednacine (5.4), uocimo da je (∂2/∂x2)(ln Ψ) =

(∂/∂x)[(1/Ψ)(∂Ψ/∂x)] = −(1/Ψ2)(∂Ψ/∂x)2 + (1/Ψ)(∂2Ψ/∂x2), odakle je

1

Ψ

∂2Ψ

∂x2=

∂2

∂x2

(ln Ψ

)+

(1

Ψ

∂Ψ

∂x

)2

. (6.5a)

Kako analogne relacije vaze i za izvode po y i z, nalazimo

1

ΨΔΨ =

∂2

∂x2

(ln Ψ

)+

∂2

∂y2(ln Ψ)+

∂2

∂z2(ln Ψ)+

(∂

∂x(ln Ψ)

)2

+

(∂

∂y(ln Ψ)

)2

+

(∂

∂z(ln Ψ)

)2

,

(6.5b)

odnosno1

ΨΔΨ = Δ(ln Ψ) + (grad(ln Ψ))2. (6.5c)

Zamenom jednacine (6.5c) u talasnu jednacinu (6.4), nalazimo

Δ(ln Ψ) + (grad(ln Ψ))2 = −n2k20. (6.6)

Kako je Ψ = Ψ(r) kompleksna funkcija od r, to je njen opsti oblik

Ψ = A(r)eiS(r), (6.7)

gde su amplituda A(r) i faza S(r) realne funkcije. Koristeci opsti izraz za logaritam kom-

pleksne funkcije: ln z = ln ∣z∣+ iArgz, za logaritam Ψ nalazimo: ln Ψ = lnA(r)+ iS(r), tako

da jednacina (6.6) dobija oblik

Δ(lnA) + iΔS + (grad(lnA) + igradS)2 = −n2k20. (6.8a)

65

Jednacina (6.8a), kao kompleksna jednacina, predstavlja skup od dve realne jednacine:

Δ(lnA) + (grad(lnA))2 − (gradS)2 = −n2k20 (6.9a)

ΔS + 2grad(lnA) ⋅ (gradS) = 0. (6.9b)

Kako je, na osnovu (6.5c) (1/A)ΔA = Δ(lnA) + (grad(lnA))2, sistem jednacina (6.9a,b)

mozemo napisati u obliku1

AΔA− (gradS)2 = −n2k2

0 (6.10a)

ΔS + 2grad(lnA) ⋅ (gradS) = 0. (6.10b)

Jednacine (6.10a,b) se znacajno pojednostavljuju u optickom domenu talasnih duzina.

U slucaju linearnih i izotropnih neprovodnih sredina koje su homogene ("r = const i ¹r =

const), sto znaci i da je n = const, elektromagnetni talas se prostire kao ravanski talas. U

tom slucaju amplituda A(r) = const, dok je faza S = k ⋅ r. Kada se svetlost prostire kroz

sistem optickih uredjaja bice n ∕= const, tako da je A(r) ∕= const. Medjutim, amplituda A(r)

se znatno menja samo u oblastima izrazitih nehomogenosti, dok u okviru optickog sistema

(O.S.) mozemo uzeti da je A(r) sporo promenjiva funkcija od r, tj.

A(r) ≈ const, r ∈ O.S. (6.11a)

Ova cinjenica je shematski prikazano na Fig. 28. Drugim recima, aproksimacija (6.11a) vazi

na rastojanjima r < l, gde je l red velicine optickog sistema, pri cemu je ¸ ≪ l. Za fazu S

pri prostiranju svetlosti u datom fizickom sistemu mozemo smatrati da se ponasa skoro isto

kao i u slucaju homogene sredine, tj. S predstavlja sporo promenjivu funkciju koordinata:

S(r) ≈ k ⋅ r ≈ kx, r ∈ O.S. (6.11b)

Kao primer funkcije A(r) koja se znatno menja tek na rastojanju reda velicine l navedimo

funkciju A = A0 exp(−x/l). Laplasijan ove funkcije je: ΔA = A0(−1/l)2 exp(−x/l) = A/l2,

tj. ΔA/A = 1/l2. U opstem slucaju mozemo uzeti da je

1

AΔA ∼ 1

l2≪ 1

¸2, (6.12a)

dok za gradijent faze S vazi proporcionalnost

(gradS)2 ∼(∂S

∂x

)2

∼ k2 ∼ 1

¸2. (6.12b)

66

FIG. 28: Ponasanje amplitude A u okviru optickog sistema n ≈ const

Koristeci procene velicina ΔA/A i (gradS)2 date jednacinama (6.12a,b), vidimo da prvi

clan jednacine (6.10a) moze da se zanemari prema drugom, tako da imamo

(gradS)2 = n2k20. (6.13a)

Jednacina (6.13a) predstavlja talasnu jednacinu u ajkonalnoj aproksimaciji i cesto se naziva

ajkonalna jednacina u skalarnom obliku. Vektorski oblik ove jednacine direktno sledi iz

izraza (6.13a) ako se uzme u obzir da je vektor gradS kolinearan sa talasnim vektorom k

(vidi odeljak 6.2.). U tom slucaju, imamo

gradS = nk0ek, (6.13b)

gde je ek jedinicni vektor (ort) vektora k. Primetimo da je n = c/vf = k/k0, tako da je

nk0ek = k.

Jednacina (6.10b) u ajkonalnoj aproksimaciji ima oblik

ΔS + 2nk0grad(lnA) ⋅ ek = 0 (6.13c)

i moze se posmatrati kao jednacina za amplitudu A, pod uslovom da je poznata faza S (vidi

odeljak 6.5.).

U optici se umesto faze S uvodi nova fizicka velicina, ajkonal Φ:

Φ =S

k0. (6.14a)

Ajkonalna jednacina (6.13b) tada dobija oblik

gradΦ = nek. (6.14b)

67

Podsetimo se da ova jednacina vazi pod uslovom

ΔA

A≪ 1

¸2. (6.15a)

Ako se promena ajkonala odvija duz s-pravca, gornja nejednakost se moze napisati u obliku

∂2A

∂( s¸)2

≪ A, (6.15b)

sto znaci da promena amplitude na rastojanjima reda velicine talasne duzine (s/¸ ∼ 1) mora

da bude mala u poredjenju sa samom amplitudom.

Primetimo na kraju da ajkonalna jednacina (6.13b) predstavlja (vektorsku) diferencijalnu

jednacinu cijim resavanjem nalazimo funkciju S = S(r). Ajkonalna jednacina se moze

posmatrati i kao (vektorska) algebarska jednacina cijim resavanjem nalazimo vektor gradS

u svakoj tacki prostora.

6.2. Svetlosni zraci

U proizvoljnoj tacki prostora jacina elektricnog polja je data jednacinom (6.2a):

E = ReˇE = Re

(ˇE0e

−i!t), (6.16a)

pri cemu se kompleksni vektorˇE0 moze izraziti u obliku

ˇE0 = E0xex + E0yey + E0z ez. Svaka

od komponeneti E0x, E0y, E0z (oznacena sa Ψ u odeljku 6.1) ima oblik E0j = Ajexp(iSj); j =

x, y, z. U ajkonalnoj aproksimaciji amplitude Aj ≈ const, dok sve faze Sj zadovoljavaju istu

ajkonalnu jednacinu (6.13b). Zbog toga su faze Sj medjusobno jednake: Sx = Sy = Sz = S.

U tom slucaju jacina polja E je data sa

E = ReˇE = Re

(A(r)eiS(r)e−i!t

). (6.16b)

Kako je A(r) ≈ const, vidimo da se talasne povrsi (povrsi na kojima je ∣E∣ = const)

poklapaju sa ekvifaznim povrsima (povrsi na kojima je S = const), tako da je u ajkonalnoj

aproksimaciji jednacina talasne povrsi data sa

S(r) = const. (6.17)

Talasna povrs (kao ekvifazna povrs) cesto se naziva i talasni front. Vektor gradS koji se

dobija kao algebarsko resenje ajkonalne jednacine je normalan na talasnu povrs S(r) = const,

sto je prikazano na Fig. 29(a).

68

FIG. 29: Talasne povrsi i zraci u ajkonalnoj aproksimaciji

Definisimo sada svetlosne zrake kao linije duz kojih se prenosi svetlosna energija. Kako se

pravac i smer prenosenja energije poklapa sa vektorom k, vidimo da su svetlosni zraci odred-

jeni polozajem orta ek. Kako je vektor ek uvek normalan na talasnu povrs, zakljucujemo da

vektori ek i gradS moraju biti kolinearni. To je uslov koji smo koristili u odeljku 6.1. pri

pisanju ajkonalne jednacine u vektorskom obliku. Dakle, sada mozemo reci da je svetlosni

zrak linija cija se tangenta u svakoj tacki poklapa sa pravcem vektora gradS. Uzajaman

odnos talasnih povrsi i zraka dat je na Fig. 29(b).

Osnovni metod geometrijske optike je da se prostiranje svetlosti posmatra kao transport

svetlosne energije duz zraka, pri cemu se zraci opisuju ajkonalnom jednacinom. Podsetimo

se da ova jednacina vazi pod uslovom da je A ≈ const, odnosno ΔA/A ≪ 1/¸2, sto nije

zadovoljeno u oblastima jake nehomogenosti opticke sredine. Ovakve nehomogenosti se javl-

jaju na granicnim povrsinama cvrstih prepreka. Kako se upravo na ovakvim mestima javlja

skretanje svetlosti u oblast geometrijske senke, pojava koja se naziva difrakcija svetlosti,

moze se reci da se difrakcioni efekti ne uzimaju u obzir u geometrijskoj optici.

U okviru geometrijske optike celokupno ponasanje svetlosti se svodi na analizu svetlosnih

zraka. Prati se samo ponasanje faze talasa, dok se u potpunosti zanemaruje ponasanje

amplituda vektora E(r, t) (i H(r, t)). Dakle, analizom ajkonalne jednacine, kao osnovne

69

jednacine geometrijske optike ne moze se nista zakljuciti o promeni amplitude, tako da u

aproksimaciji geometrijske optike polje bilo kog zraka ne zavisi od polja ostalih zraka. Ovo

svojstvo se moze formulisati kao zakon nezavisnosti svetlosnih zraka u geometrijskoj optici.

Primer

Svetlosni zraci i talasne povrsi u homogenoj sredini (n = const) mogu direktno da se

dobiju iz ajkonalne jednacine (6.13b) u vektorskom obliku: gradS = nk0ek = k. Na osnovu

ove jednacine nalazimo da je gradS konstantan vektor. Ovo dalje znaci da su zraci prave linije

(na primer duz x-ose). Resavanjem ajkonalne jednacine nalazimo da je faza S = k ⋅ r = kx;

talasne povrsi (S = const) su ravni yOz normalne na zrake.

6.3. Fermaov princip

U poslednjem primeru videli smo da se u homogenoj sredini (n = const) svetlost prostire

pravolinijski. Svetlosni zraci su prave linije, a talasni frontovi su ravni normalne na te

linije. Faza talasa u homogenoj sredini je S = k ⋅ r, gde je k konstantan talasni vektor. U

nehomogenoj sredini n = n(r) svetlost se ne prostire pravolinijski. Ona ce se prostirati duz

takvih linija duz kojih je vreme prostiranja minimalno. Ovo je sadrzaj Fermaovog (Fermat;

1601-1665) principa koji predstavlja jedan od osnovnih principa geometrijske optike. On

direktno sledi iz ajkonalne jednacine u vektorskom obliku.

Polazeci od jednacine (6.13b) i trazeci rotor te jednacine, imamo

rot(gradS) = rot(nk0ek). (6.18a)

Kako je rot(gradS) = 0 za svako S, dolazimo do jednacine

rot(nek) = 0, (6.18b)

tako da je integral po bilo kojoj otvorenoj povrsini S:

∫

S

rot(nek) ⋅ dS = 0. (6.18c)

Transformisuci povrsinski integral u jednacini (6.18c) na osnovu Stoksove teoreme u linijski

integral po zatvorenoj konturi C na koju naleze povrsina S, nalazimo

∮

C

nek ⋅ dl = 0. (6.18d)

70

FIG. 30: Izbor konture C pri dokazu Fermaovog principa

Izaberimo sada konturu C tako da se delimicno prostire duz zraka (put 1(a)2) a delimicno

izvan njega (put 2(b)1), kao na Fig. 30(a). Tada je

∫ 2

1(a)

nek ⋅ dl +∫ 1

2(b)

nek ⋅ dl = 0, (6.19a)

tj. ∫ 2

1(a)

nek ⋅ dl =∫ 2(b)

1

nek ⋅ dl. (6.19b)

Duz puta 1(a)2 vektori ek i dl su kolinearni, tako da je

∫ 2

1(a)

nek ⋅ dl =∫ 2

1(a)

ndl. (6.20a)

Duz puta 1(b)2 bice ek ⋅ dl = dl cos®, tako da

∫ 2

1(b)

nek ⋅ dl =∫ 2

1(b)

n cos®dl. (6.20b)

Zamenom izraza (6.20a,b) u jednacinu (6.19b), nalazimo

∫ 2

1(a)

ndl =

∫ 2

1(b)

n cos®dl <

∫ 2

1(b)

ndl. (6.21)

Dakle, integral velicine ndl duz zraka je minimalan. Velicina

∫ 2

1

ndl = L12 (6.22)

naziva se opticka duzina puta. Na osnovu formule (6.21) dolazimo do zakljucka da opticka

duzina puta ima minimalnu vrednost ako se racuna duz zraka.

71

FIG. 31: Snop tautohtonih zraka

Ako uocimo da je n = c/vf , vidimo da je

L12 = c

∫ 2

1

dl

vf= c¿12, (6.23)

gde je ¿12 vreme potrebno da svetlost predje put 12. Ocigledno, minimalnost opticke duzine

puta duz zraka poklapa se sa minimalnoscu vremena, sto je i sadrzaj Fermaovog principa.

Sam Fermaov princip se moze upotrebiti za novu definiciju zraka: zrak koji spaja dve tacke

je put koji ce svetlost preci za najmanje vreme.

Treba napomenuti da je moguce da izmedju uocenih tacaka postoji veci broj puteva istih

optickih duzina (duz kojih se svetlost prostire za isto vreme). Ovakvi putevi se nazivaju

tautohtoni i oni obrazuju snop svetlosnih zraka. Na Fig. 31 prikazana je tipicna situacija u

optici. Svetlost iz neke tacke predmeta (tacka 1) prelazi razlicite puteve i sabira se u nekoj

tacki lika (tacka 2), ali su pri tom opticke duzine ovih puteva jednake.

6.4. Zakoni refleksije i refrakcije svetlosti u geometrijskoj optici

Na osnovu Fermaovog principa lako se dobijaju dva osnovna zakona geometrijske optike:

zakon refleksije (odbijanja) i zakon refrakcije (prelamanja) svetlosti.

Zakon refleksije dobijamo pracenjem prostiranja zraka koji se reflektuje na granicnoj

povrsini dve opticke sredine indeksa prelamanja n1 i n2. Posmatrajmo zato kojim putem

zrak koji polazi iz tacke 1 posle refleksije stize u tacku 2. Na osnovu Fermaovog principa

zrak ce se prostirati duz puta 10′2 minimalne opticke duzine. Kako se u slucaju refleksije

svetlost prostire u sredini konstantnog indeksa prelamanja n1, najkraci put 10′2 imace i

najmanju opticku duzinu. Na osnovu cisto geometrijskih rasudjivanja zakljucujemo da je

72

FIG. 32: Zakon refleksije: µ = µ′

to put 102 sa Fig. 32. Naime, ako uocimo ”lik” 1′ tacke 1, zakljucujemo da je duzina 10′2

jednaka duzini 1′0′2, a ona je ocigledno veca od 102 = 1′02, jer tacke 1′, 0 i 2 leze na pravoj

liniji.

U optici se zrak 10 naziva upadni zrak a zrak 02 reflektovani zrak. Uglovi µ i µ′ koje

ovi zraci zaklapaju sa normalom nazivaju se upadni ugao i ugao refleksije. Zakon refleksije

dobijen na osnovu Fermaovog principa tvrdi da je upadni ugao jednak uglu refleksije:

µ = µ′. (6.24)

Zakon refrakcije takodje sledi iz Fermaovog principa. Sada je potrebno pratiti zrak koji se

prelama na granicnoj povrsini dve opticke sredine (Fig. 33), indeksa prelamanja n1 = const

i n2 = const. Ponovo trazimo put kojim zrak iz tacke 1 posle prelamanja stize u tacku 2.

U svakoj od homogenih optickih sredina zrak je prava linija. U prvoj sredini to je upadni

zrak 10 a u drugoj sredini to je prelomljeni zrak 02. Oznacimo sa » koordinatu tacke 0 u

kojoj zrak ulazi iz prve sredine u drugu sredinu. Ukupna opticka duzina puta L12 izmedju

tacaka 1 i 2 jednaka je: L12 = L10 + L02, pri cemu je L10 = n1l10 i L02 = n2l02, gde su l10 i

l02 duzine puteva 10 i 02. Dakle

L12 = n1

√l21 + »2 + n2

√l22 + (a− »)2. (6.25a)

Uslov stacionarnosti (minimalnosti) velicine L12 se svodi na

dL12

d»= 0. (6.25b)

73

FIG. 33: Zakon prelamanja

Zamenom (6.25a) u (6.25b) nalazimo

n1»√

l21 + »2− n2

(a− »)√l22 + (a− »)2

= 0. (6.26a)

Uocivsi da je»√

l21 + »2= sin µ,

a− »√l22 + (a− »)2

= sin µ′′, (6.26b)

gde je po definiciji µ′′ ugao prelamanja, jednacinu (5.26a) mozemo da prepisemo u obliku

n1 sin µ − n2 sin µ′′ = 0, (6.27a)

odnosnosin µ

sin µ′′=

n2

n1

. (6.27b)

Zakon (6.27b) naziva se zakon prelamanja ili Snelijev zakon.

Osnovni zakoni geometrijske optike koji su proizasli kao posledica ajkonalne aproksimacije

mogu se formulisati u obliku cetiri osnovna zakona:

1. Zakon pravolinijskog prostiranja svetlosti u homogenim sredinama (primer u odeljku

6.2)

2. Zakon nezavisnosti svetlosnih zraka (formulisan u odeljku 6.2)

3. Zakon refleksije (jednacina (6.24))

4. Zakon prelamanja (jednacina (6.27b))

74

Istorijski gledano, osnovni zakoni geometrijske optike bili su poznati mnogo pre nego

sto se doslo do elektromagnetne prirode svetlosti. Tako, na primer, zakon pravolinijskog

prostiranja svetlosti bio je poznat jos starim grcima (Empedokle, 490-430 p.n.e; Euklid, 399

p.n.e), dok su zakoni refleksije i prelamanja otkriveni eksperimentalno jos u srednjem veku.

Poznato je da je zakon prelamanja dao Snell (1591-1626).

6.5. Hajgensov princip

Do sada smo razmatrali jednacinu (6.13b) koja je dobijena na osnovu talasne jednacine

u ajkonalnoj aproksimaciji, i na osnovu nje generisali 4 osnovna zakona geometrijske optike.

Analizom jednacine (6.13c) koja takodje sledi iz talasne jednacine u ajkonalnoj aproksimaciji,

moguce je dopuniti ove zakone tako sto ce se uzeti u razmatranje i ponasanje amlitude talasa

i jacine svetlosti duz zraka.

U odeljku 6.1 smo videli da za amplitudu A vazi jednacina (6.13c):

ΔS + 2nk0grad(lnA) ⋅ ek = 0. (6.28a)

Ort ek je upravljen duz zraka a normalan je na talasnu povrs (talasni front). Uvodeci ajkonal

Φ = S/k0 definisan jednacinom (6.14a), jednacinu (6.28a) mozemo napisati u obliku

ΔΦ + 2ngrad(lnA) ⋅ ek = 0. (6.28b)

Kako je gradf ⋅ ek izvod funkcije f u pravcu normale na talasni front (Fig. 34), nalazimo

grad(lnA) ⋅ ek = ∂

∂s(lnA), (6.29a)

gde je s varijabla u pravcu normale, tj. u pravcu zraka. Zamenom (6.29a) u jednacinu

(6.28b) nalazimo

ΔΦ + 2n∂

∂s(lnA) = 0. (6.29b)

Resavanjem jednacine (6.29b) moze se naci amplituda A, pod uslovom da je poznat

ajkonal Φ. Naime, jednacina (6.29b) moze da se napise u obliku

∂

∂s(lnA) = − 1

2nΔΦ, (6.29c)

odakle, direktnom integracijom, nalazimo

ln

(A

A0

)= −

∫ s

0

1

2nΔΦds, (6.30a)

75

FIG. 34: Ponasanje amplitude A duz zraka

gde je A0 = A(s = 0) amplituda na uocenom talasnom frontu. Dakle, za amplitudu A(s) na

rastojanju s od talasnog fronta duz uocenog zraka, imamo

A(s) = A0 exp

[−∫ s

0

1

2nΔΦds

]. (6.30b)

Laplasijan ajkonala se nalazi na osnovu ajkonalne jednacine (6.14b): gradΦ = nek.

Naime,

ΔΦ = div(gradΦ) = div(nek) =∂n

∂s. (6.31a)

Zamenom izraza (6.31a) u jednacinu (6.30b), nalazimo

A(s) = A0 exp

[−∫ s

0

1

2n

∂n

∂sds

]= A0 exp

[−1

2

∫d(lnn)

]= A0 exp

[−1

2ln

n(s)

n0

], (6.31b)

gde su n0 = n(0) i n(s) indeksi prelamanja sredine na uocenom talasnom frontu i na rasto-

janju s duz zraka. Dakle, za amplitudu A(s) imamo

A(s) = A0

(n(s)

n0

)−1/2

, (6.31c)

tj. √n(s)A(s) =

√n0A0. (6.32)

Vidimo da se pri n ≈ const amplituda sporo menja duz zraka, sto je osnovna pretpostavka

ajkonalne aproksimacije. Analizom relacije (6.32) mozemo naci i kako se ponasa jacina

svetlosti duz zraka. Ako za jacinu svetlosti iskoristimo formulu (3.25b): I ∼ n∣E0∣2 i uocimo

76

FIG. 35: Jacina svetlosti duz zraka u optickoj sredini n = n(r) ≈ const

da je, prema jednacini (5.16b), E0 = A(r)eiS(r), za intezitet svetlosti duz zraka nalazimo

I(s) ∼ n(s)∣A(s)eiS(r)∣2 = n(s)A2(s). (6.33a)

Kako je na talasnom frontu I(0) ∼ n0A20, vidimo da je, koristeci formulu (6.32),

I(s)

I0=

n(s)

n0

(A(s)

A0

)2

=

Ã√n(s)A(s)√n0A0

)2

= 1. (6.33b)

Dakle, u ajkonalnoj aproksimaciji (koja lezi u osnovi geometrijske optike) jacina svetlosti

se ne menja duz zraka. Do promene jacine svetlosti dolazi samo u oblastima izrazite neho-

mogenosti opticke sredine gde su naruseni uslovi vazenja ajkonalne aproksimacije.

Relacija (6.33b) omogucava da se uvede pojam jacine svetlosti u pravcu zraka, tj. duz

zraka, Fig. 35(a). Naime, ako je u nekoj tacki izvora jacina svetlosti jednaka I0, onda ce

ona imati istu vrednost duz celog zraka koji polazi iz te tacke:

I(s) = I0 ∀s ∈ zrak. (6.33c)

U okviru geometrijske optike vazi princip nezavisnosti zraka. Zbog toga, ako se u nekoj tacki

sustice vise zraka, rezultujuca jacina svetlosti bice

I =∑i

Ii, (5.33d)

77

FIG. 36: Hajgensov princip

gde je Ii jacina svetlosti duz i-tog zraka (vidi Fig. 35(b)).

Proucimo sada kako se ponasa talasni front u ajkonalnoj aproksimaciji. Primetimo da

smo talasni vektor E izrazili preko jednacina (5.2) i (5.7) u obliku E(r, t) = Re(ˇE0e

−i!t) =

Re[A(r)eiS(r)e−i!t]. Ukupna faza elektromagnetnog talasa je: f(r, t) = S(r)−!t = k0Φ−!t.

Dakle, brzina kojom se pomera talasni front (ekvifazna povrs) duz normale na talasni front

je data sa d(k0Φ − !t)/ds = 0. Dakle, k0dΦ/ds − !dt/ds = 0, odakle vidimo da je brzina

pomeranja talasnog fronta v = ds/dt = (!/k0)(dΦ/ds)−1. S druge strane, iz ajkonalne

jednacine (6.14b) imamo gradΦ ⋅ ek = n, odakle je dΦ/ds = n. Dakle, v = !/(k0n) = c/n =

vf . Prema tome, talasni front se pomera u pravcu normale faznom brzinom: v = vf . Istom

brzinom se prostire i (ravanski) monohromatski talas, vid jednacinu (1.27a).

Znajuci brzinu, pravac i smer pomeranja talasnog fronta, uvek je moguce konstruisati

talasni front u trenutku t+ dt na osnovu talasnog fronta u prethodnom trenutku vremena.

Naime, iz svake tacke talasnog fronta formiranog u trenutku t treba duz zraka naneti duz

vdt = (c/n)dt; krajevi ovih duzi formiraju talasni front u trenutku t+ dt, kao na Fig. 36(a).

Ista ovakva situacija bi se dobila i kada bi zamislili da je svaka tacka talasnog fronta u

trenutku t izvor sekundarnog sfernog talasa koji se brzinom v = c/n prenosi kroz prostor i

nasli obvojnicu svih ovih talasa u trenutku t+dt, Fig. 36(b). Ovo je sadrzaj tzv. Hajgensovog

principa koji je u geometrijsku optiku uveden sa ciljem da se objasni ponasanje svetlosti na

78

FIG. 37: Sociva i ogledala

granicama cvrstih prepreka. Za rezultujucu jacinu svetlosti I od ovako uvedenih sekundarnih

talasa vazi princip superpozicije izrazen jednacinom (6.33d).

§7 Formiranje likova u geometrijskoj optici

7.1. Opticki lik: definicija i klasifikacija likova

U geometrijskoj optici svetlost se svodi na zrak. Izmedju dve tacke 1 i 2 svetlosni zrak

se prostire po Fermaovom principu duz puta cija je opticka duzina L12 minimalna. Ukazali

smo vec na cinjenicu da je u optickim pojavama cest slucaj formiranja snopa tautohtonih

zraka.

U opticki homogenim sredinama zraci se prostiru pravolinijski. Ukoliko se sistem sastoji

od vise razlicitih opticki homogenih sredina onda na njihovim dodirnim povrsinama dolazi

do refleksije i prelamanja. Pri definisanju optickog lika ogranicicemo se na ovakve opticke

sisteme.

Radi jednostavnosti razmatracemo samo centrirane opticke sisteme. To su sistemi sociva

i ogledala ciji centri krivina svi leze na istoj pravoj liniji koja se naziva osa optickog sistema.

Socivo je opticki sistem sa dve ili vise prelamajucih povrsina koje mogu biti sferne ili ravne,

dok ogledalo ima samo jednu ovakvu povrsinu (Fig. 37). Centrirani opticki sistem je rota-

ciono simetrican u odnosu na svoju osu. Primetimo da se i razmaci izmedju sociva mogu

posmatrati kao specificna sociva.

Celokupan centriran opticki sistem oznacicemo simbolom koji se sastoji od dve zagrade

(Fig. 38). Sa leve strane optickog sistema postavicemo predmet. Iz svake tacke predmeta

siri se snop svetlosnih zraka. Posmatrajmo na primer tacku 1 predmeta. Snop svetlosnih

79

FIG. 38: Formiranje realnog lika

FIG. 39: Formiranje imaginarnog lika

zraka koji izlaze iz tacke 1 moze konvergirati (seci se) u nekoj udaljenoj tacki 2. Tada

kazemo da tacka 2 predstavlja realan lik tacke 1. Opticke duzine svih zraka u snopu izmedju

tacke 1 i 2 su jednake. Pored situacije opisane na Fig. 38 moguce je da se u homogenom

delu opticke sredine javlja snop koji izgleda kao da dolazi iz neke unutrasnje tacke optickog

sistema. Tacka 2 u kojoj se seku zamisljeni produzeci zraka predstavlja imaginarni lik tacke

1 (Fig. 39).

Definicija lika kao tacke stvarnog (ili prividnog) presecanja zraka data je nezavisno od

posmatraca. U osnovi ove definicije lezi cinjenica da je jacina svetlosti u tacki preseka zraka

maksimalna. Da bi objasnili subjektivan osecaj vidjenja treba uzeti u obzir i posmatraca.

Poznato je da se lik formira u covekovoj svesti tako sto svetlost iz ”objektivnog” lika pada

na oko koje je takodje opticki sistem. U oku (odnosno sistemu dva oka) formira se lik koji se

takodje moze posmatrati kao lik u obrazovan u okviru centriranog optickog sistema. Pomocu

odgovarajucih nervnih vlakana informacija o ovom liku se prenosi do odgovarajucih centra

80

FIG. 40: Formiranje lika pomocu optickog sistema i oka; presek oka

u mozgu gde se formira svest o predmetu (vidi Fig. 40).

Ljudsko oko, shematski prikazano na Fig. 40 (dole) sastoji se od providne roznjace (A),

kristalnog ocnog sociva (L), staklastog tela (B) itd. Geometrijske karakteristike ocnog sociva

su promenjive. Snop svetlosti se fokusira prema mreznjaci (retini) (M) gde se svetlosna

energija apsorbuje pomocu senzorskih elemenata nervnog sistema. Informacija o raspodeli

jacine svetlosti se vodi do mozga gde se formira svest o predmetu. Fokusiranje oka na

predmet naziva se akomodacija. Najudaljenija tacka (predmet) i najbliza tacka (predmet)

na koje se oko moze da akomodira nazivaju se daleka i bliska tacka akomodacije. Pored

navedenih delova oko sadrzi duzicu (iris) (i) koja limitira sirinu svetlosnog snopa. Iris ima

otvor (zenicu) pomocu koje se regulise svetlosni fluks koji dospeva u oko.

Vratimo se sada na analizu proizvoljnog centriranog optickog sistema. Uporedo sa snopom

svetlosnih zraka moze se posmatrati i talasni front. Kao sto smo videli talasni front se

prostire brzinom v = vf = c/n, tako da su opticke duzine puteva duz zraka izmedju dva

talasna fronta jednake. Zaista, za opticku duzinu puta dL izmedju dva talasna fronta u

trenucima t i t+ dt imamo

dL = nds = nvdt = cdt. (7.1)

Kako je opticka duzina puta L izmedju talasnog fronta∑

0 u trenutku t0 i talasnog fronta∑

u trenutku t, L =∫ t

t0dL = c(t − t0) = const, zakljucujemo da je opticka duzina puta

izmedju∑

0 i∑

duz svih zrakova ista.

Analogno tvrdjenje vazi i za opticke duzine puteva izmedju dve proizvoljne talasne povrsi

81

FIG. 41: Princip invarijantnosti svetlosnog zraka

FIG. 42: Aproksimativno formiranje lika

∑1 i

∑2 u datom trenutku vremena. Neka su talasne povrsi

∑1 i

∑2 definisane jednacinom

S = S1 i S = S2 gde je S faza talasa. Promena faze S duz zraka sledi iz ajkonalne

jednacine (6.14b): dS/ds = nk0. Opticka duzina puta L12 izmedju∑

1 i∑

2 duz zraka je

L12 =∫ 2

1nds =

∫ S2

S1ndS/(nk0) =

∫ S2

S1dS/k0 = (S2 − S1)/k0, tj. L12 = const. Dakle, opticke

duzine puteva duz svih zraka jednog snopa racunate izmedju dva talasna fronta (u datom

trenutku) su iste.

Primetimo da su pojmovi predmet i lik relativni. Obicno se uzima da je predmet izvor

svetlosti a lik njegov odraz posle prolaska svetlosti kroz sistem. Ako lik i predmet promene

mesta, svetlosni zraci ce samo promeniti smer, ali ce njihova konfiguracija na osnovu Fer-

maovog principa ostati ista. Ovo svojstvo se moze formulisati kao princip invarijantnosti

svetlosnog zraka (Fig. 41).

Idealno formiranje likova nastaje onda kada se svi zraci iz jedne tacke predmeta seku u

jednoj tacki lika. Ovakvi sistemi se nazivaju idealni opticki sistemi i oni ce biti predmet

naseg daljeg razmatranja. U praksi dolazi do veceg ili manjeg odstupanja od ovog idealnog

slucaja. Zraci koji polaze iz date tacke predmeta i koji obrazuju konus dimenzije ± nece

se seci u jednoj tacki vec u nekoj konacnoj oblasti prostora dimenzije l (vidi Fig. 42). Do

aproksimativnog formiranja lika dolazi ako je l ∼ ±n gde je n ≥ 2, tj. u slucaju kada je

82

FIG. 43: Prednja i zadnja ziza, F i F ′

velicina l dovoljno mala (za malo ±).

Drugi uslov idealnosti optickog sistema je da svaka prava linija objekta ima pravolinijski

lik. Odstupanje od ove osobine naziva se astigmatizam.

7.2. Kardinalni elementi centriranog optickog sistema

Postoji sistem osnovnih (kardinalnih) tacaka i ravni datog centriranog optickog sistema

koji u potpunosti odredjuju ovaj sistem. To su

1. zize (fokusi) i zizne (fokusne) ravni

2. glavne tacke i ravni

Radi jednoznacnosti definicija kardinalnih elemenata orijentisimo opticku osu s leva na

desno i postavimo predmet levo od optickog sistema.

Zize su dve specificne tacke na osi optickog sistema, ispred i iza sistema. Prva, prednja

ziza centriranog optickog sistema je tacka F ciji se lik formira u beskonacnosti, kao na Fig.

43(a). Tackasti izvor svetlosti smesten u F emituje divergentne svetlosne zrake koji po

izlasku iz optickog sistema obrazuju snop paralelan optickoj osi (i seku se formirajuci lik u

beskonacnosti). Ravan koja je ortogonalna na opticku osu i sece je u prednjoj zizi F zove se

prednja zizna ravan. Zadnja ziza F ′ je tacka u kojoj se sabiraju zraci koji padaju paralelno

optickoj osi (tj. poticu od predmeta u beskonacnosti), Fig. 43(b). Ravan normalna na

opticku osu kroz ovu tacku naziva se zadnja zizna ravan.

Da bismo definisali glavne ravni posmatrajmo dve medjusobno konjugovane ravni nor-

83

FIG. 44: Lik u pravcu predmeta i izvrnut lik

malne na opticku osu. Dve ravni su medjusobno konjugovane ako svi predmeti koji leze u

jednoj ravni imaju svoje likove u drugoj ravni. Duz y koja lezi u jednoj ravni imace lik u

obliku duzi y′ u drugoj ravni. Iz (aksijalne) osne simetrije sistema sledi da duzi y i y′ moraju

da leze u istoj ravni koja prolazi kroz opticku osu sistema (ravan crteza, Fig. 44). Pritom

lik y′ moze biti u pravcu predmeta kao na Fig. 44(a) ili moze biti izvrnut (Fig. 44(b)).

U prvom slucaju duzinu lika predstavljamo kao y′ (y′ > 0), a u drugom slucaju kao −y′

(y′ < 0). Odnos algebarskih vrednosti linearnih dimenzija lika i predmeta naziva se linearno

uvecanje ¯

¯ =y′

y. (7.2)

Kako velicine y i y′ mogu biti oba znaka to i ¯ moze biti kako pozitivna tako i negativna

velicina.

Moze se pokazati da postoje dve takve medjusobno konjugovane ravni koje se preslikavaju

jedna u drugu sa linearnim uvecanjem ¯ = 1. Ove dve ravni se nazivaju glavne ravni. Ravan

koja pripada prostoru predmeta naziva se prednja glavna ravan (oznacicemo je saH), a ravan

koja pripada prostoru likova naziva se zadnja glavna ravan (H ′). Tacke preseka glavnih ravni

sa optickom osom nazivaju se prednja glavna tacka i zadnja glavna tacka sistema (Fig. 45).

Iz definicije glavnih ravni sledi da zrak 1 (koji sece prednju glavnu ravan H u tacki Q)

ima konjugovan zrak 1′ koji sece zadnju glavnu ravan H ′ u tacki Q′ koja je na istoj strani

i na istom rastojanju od opticke ose kao tacka Q, tj. HQ = H ′Q′, kao na Fig. 45(a). Isto

tvrdjenje vazi i kada su glavne ravni rasporedjene unutar sistema (Fig. 45(b)), kada pratimo

produzetke zraka 1 i 1′.

84

FIG. 45: Prednja i zadnja glavna ravan (H i H ′)

FIG. 46: Zizna rastojanja f i f ′ (slucaj f < 0, f ′ > 0)

Relativan odnos tacaka F i H kao i F ′ i H ′ odredjen je tzv. ziznim rastojanjima. Ras-

tojanje od prednje glavne tacke H do prednje zize F naziva se prednje zizno rastojanje f

sistema. Rastojanje od H ′ do F ′ naziva se zadnje zizno rastojanje f ′. Zizna rastojanja f i f ′

su algebarske velicine (f, f ′ ≷ 0). One su pozitivne ako data ziza lezi desno od odgovarajuce

glavne tacke (slucaj F ′ i H ′ na Fig. 46, gde je f ′ > 0), a negativne u suprotnom slucaju

(slucaj F i H na Fig. 46, gde je f < 0).

Moze se pokazati (vidi odeljak 8.3) da izmedju ziznih rastojanja f i f ′ centriranog optickog

sistema, koji se sastoji od sfernih prelamajucih povrsi, vazi relacija

f

f ′ = − n

n′ , (7.3a)

gde je n indeks prelamanja opticke sredine ispred optickog sistema a n′ iza optickog sistema

(Fig. 46). Primetimo da u slucaju n = n′ vazi

f = −f ′. (7.3b)

85

FIG. 47: (a) Pozitivna i (b) negativna ”dioptrija”

Velicina

Φ =n′

f ′ = −n

f(7.4a)

naziva se opticka jacina sistema. Opticka jacina sistema se meri u dioptrijama (dp):

Φ(=)1

m(=)dp. (7.4b)

Da bismo dobili Φ u dioptrijama treba izraziti f u metrima. Pri pozitivnim vrednostima

velicine Φ zadnja zizna daljina f ′ je takodje pozitivna (Fig. 47(a)), dok je pri negativnoj

”dioptriji” f ′ < 0, Fig. 47(b). To znaci da u prvom slucaju (Φ > 0) sistem daje realan lik

beskonacno udaljenog predmeta, tj. paralelan snop zraka pretvara u sabirni (konvergentan)

snop. Pri negativnoj dioptriji (Φ < 0) lik beskonacno udaljenog predmeta bice imaginaran

(paralelni snop zraka pretvara se u rasipni (divergentni) snop.

Vec smo pomenuli da se normalno ljudsko oko moze da posmatra kao centrirani opticki

sistem, tj. moze da se okarakterise prednjom i zadnjom zizom kao i prednjom i zadnjom

glavnom tackom i odgovarajucim ravnima, Fig. 48. Oznacimo sa indeksom ”o” sve velicine

koje se odnose na oko, Fig. 49(a). Daleka i bliska tacka akomodacije za normalno oko nalaze

se u beskonacnosti i na rastojanju ≈ 20 cm od oka. Velicine fo i f ′o su date sa: fo = −17, 1

mm; f ′o = 22, 8 mm. Opticka jacina normalnog ljudskog oka je Φ = 58, 48 dp.

Najcesci nedostaci optickog sistema oka su kratkovidost i dalekovidost. Kratkovido oko

ima opticku jacinu vecu od normalne. Kod njega se, pri relaksiranom oku, lik udaljenog

predmeta formira ispred mreznjace. Dalekovido oko ima opticku jacinu manju od normalne

86

FIG. 48: Normalno ljudsko oko kao centrirani opticki sistem (akomodirano na predmet u ∞)

FIG. 49: Dalekovido oko: (a) snop paralelnih zraka i (b) snop konvergentnih zraka

i kod njega se lik udaljenog predmeta formira iza mreznjace. Primetimo da je za normalno

oko lik na mreznjaci, kao na Fig. 48.

Primer

Razmotrimo malo detaljnije dalekovido oko, kao i mogucnost korigovanja dalekovidosti

pomocu naocara postavljenih na rastojanju d od oka.

Kako je velicina Φo ovakvog oka manja od normalne, to je velicina f ′o veca od normalne,

tako da se paralelni zraci ne seku u tacki M nego u tacki F ′o, kao na Fig. 49(a). Dalekovido

oko, medjutim, moze da se akomodira tako da u tacku M sakuplja konvergentan snop zraka

(Fig. 49(b)). Oznacimo se V najdalju tacku u kojoj se seku produzeci konvergentnog snopa

(a koje oko uspeva da sakupi). Polozaj tacke V dat je velicinom aV (Fig. 49(b)).

87

FIG. 50: Dalekovido oko (o) i naocare (L) za korekciju vida

Ispred dalekovidog oka treba postaviti naocare (socivo) L pozitivne opticke jacine. Da

bismo okarakterisali velicine vezane za naocare, oznacimo ih indeksom L. Opticka jacina

naocara data je sa

ΦL =n′

f ′L

> 0. (7.4c)

Naocare se biraju tako da lik predmeta u beskonacnosti padne na mreznjacu (u tacku M),

kao na Fig. 50. To znaci da same naocare moraju da sakupljaju paralelan snop zraka u tacki

V , odnosno zadnje zizno rastojanje f ′L naocara treba da se poklapa sa aV + d. Zamenom

ove vrednosti u formulu (7.4c), nalazimo

ΦL =n′

aV + d. (6.4d)

Primetimo da aV → ∞ za normalno oko (koje moze da fokusira paralelan snop zraka), tako

da ΦL → 0 (nisu potrebne naocare).

7.3. Osnovna formula centriranog optickog sistema

Ako su poznate osnovne (kardinalne) tacke i ravni centriranog optickog sistema, u pot-

punosti su odredjena sva opticka svojstva sistema. To znaci da se moze resiti osnovni zadatak

geometrijske optike: kako na osnovu datog predmeta odrediti lik.

Posmatrajmo duz OP normalnu na opticku osu kao predmet. Polozaj predmeta mozemo

da zadamo bilo rastojanjem x merenim od polozaja F do O, bilo rastojanjem s od H do O.

Velicine x i s kao i zizne daljine f i f ′ su algebarske velicine. Na Fig. 51 predmet se nalazi

88

FIG. 51: Odredjivanje polozaja lika

levo od F pa je x < 0; predmet je i levo od H pa je s < 0, tj. OF = −x, OH = −s, itd. Na

Fig. 51 ziza F se nalazi levo od H pa je f < 0, dok se F ′ nalazi desno od H ′ pa je f ′ > 0.

Da bismo odredili polozaj lika dovoljno je uzeti dva pogodna zraka koji polaze iz tacke

P i naci presek njima konjugovanih zraka. To su zraci 1 i 2 sa Fig. 51. Zrak 1 ide paralelno

optickoj osi. On sece glavnu ravan H u tacki A. U skladu sa svojstvom glavne ravni, zrak 1′

konjugovan zraku 1 mora da predje kroz tacku A′ (konjugovanu tacki A) u zadnjoj glavnoj

ravni H ′, tako da je AH = A′H ′. Kako je zrak 1 paralelan optickoj osi, njemu konjugovan

zrak 1′ mora proci kroz zadnju zizu F ′. Drugi karakteristican zrak prolazi kroz prednju zizu

F . On sece ravan H u tacki B. Njemu konjugovan zrak 2′ prolazi kroz tacku B′ konjugovanu

tacki B tako da je HB = H ′B′ i po izlasku iz optickog sistema paralelan je optickoj osi.

Tacka P ′ koja se dobija u preseku zraka 1′ i 2′ predstavlja lik tacke P . Lik O′P ′ kao i

predmet OP normalni su na opticku osu.

Polozaj lika (tacka O′) moze se okarakterisati bilo rastojanjem x′ od zize F ′, bilo rasto-

janjem s′ od H ′ (vidi Fig. 51). Velicine x′ i s′ su algebarske velicine. U slucaju posmatranom

na Fig. 51 one su pozitivne velicine (O′F ′ = x′, O′H ′ = s′).

Velicina x′ za date vrednosti f i f ′ zavisi samo od velicine x. Ova veza direktno sledi iz jed-

nostavnih geometrijskih razmatranja. Za pravougle trouglove FPO i FBH sa zajednickim

temenom F vaziOP

HB=

y

−y′=

−x

−f. (7.5a)

Analogno, za trougle F ′A′H ′ i F ′P ′O′ sa zajednickim temenom u tacki F ′ bice

H ′A′

O′P ′ =y

−y′=

f ′

x′ . (7.5b)

89

Izjednacavajuci desne strane jednacina (7.5a,b), nalazimo (−x)/(−f) = f ′/x′, tj.

xx′ = ff ′. (7.6a)

Dobijena formula se naziva Njutnova formula. Ako su opticke sredine ispred i iza optickog

sistema iste (n = n′), vazice jednakost (7.3b): f ′ = −f , tako da je u tom slucaju

xx′ = −f 2. (7.6b)

Od formule (7.6a) koja povezuje x i x′ (pri datim ziznim rastojanjima f i f ′) lako se prelazi

na formulu koja povezuje rastojanja s i s′. Sa Fig. 51 vidimo da je −x = −s − (−f), tj.

x = s−f i x′ = s′−f ′. Zamenom ovih izraza u jednacinu (7.6a), nalazimo (s−f)(s′−f ′) =

ff ′, odakle je ss′ − sf ′ − s′f + ff ′ = ff ′, tj.

f

s+

f ′

s′= 1. (7.7a)

Za n = n′, bice f ′ = −f , tako da je

1

s− 1

s′=

1

f. (7.7b)

Formula (7.7a) predstavlja osnovnu formulu centriranog optickog sistema u tzv. Gausovoj

formi. Ona omogucava da se nadje polozaj predmeta na osnovu poznavanja polozaja lika

pri cemu je sam opticki sistem definisan ziznim rastojanjima f i f ′.

§8 Prostiranje zraka kroz opticki sistem u paraksijalnoj aproksimaciji

8.1. Paraksijalna aproksimacija za sociva

Pod izvesnim uslovima (tzv. paraksijalna aproksimacija) moguce je da se prolazak zraka

kroz socivo opise sistemom od dve linearne jednacine. Ovakav sistem se lako izrazava u

matricnom obliku.

Pri razmatranju prolaska zraka kroz socivo, uvedimo koordinatni sistem sa x-osom duz

opticke ose sistema, i razmotrimo prostiranje zraka u xOy-ravni u smeru x-ose. Socivo,

sacinjeno od optickog materijala indeksa prelamanja n2, ograniceno je sa dve sferne povrsi

poluprecnika r1 i r2. Ove velicine se uvode kao algebarske velicine. Za sfernu povrs ciji se

centar krivine nalazi desno od povrsi uzimamo da je poluprecnik krivine r > 0; ako se on

90

FIG. 52: Poprecni presek sociva; prelamanje zraka u tacki P1

nalazi levo od povrsi, uzima se da je r < 0. U slucaju sociva prikazanog na Fig. 52(a) imamo

r1 > 0 i r2 < 0. Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da je opticka sredina levo i desno od

sociva ista, indeksa prelamanja n1.

Ponasanje zraka pri prolasku kroz socivo jednoznacno je odredjeno pomocu tri ugla, tzv.

uglova skretanja. To su: ugao koji upadni zrak zaklapa sa x-osom (®1), ugao koji zrak

prelomljen u tacki P1 zaklapa sa x-osom (®′′1) i ugao koji zrak prelomljen u tacki P2 zaklapa

sa x-osom (®2). Ugao skretanja se definise algebarski (® ≷ 0), u skladu sa konvencijom

prikazanom na Fig. 52(b).

U paraksijalnoj aproksimaciji smatramo da su svi zraci skoro paralelni x-osi. U tom

slucaju svi uglovi prelamanja kao i uglovi skretanja bice mali i vazice

sin® ≈ ®, cos® ≈ 1, tg® ≈ ®. (8.1)

U ovoj aproksimaciji, zakon prelamanja u tacki P1, izrazen jednacinom (6.27b):

sin µ1sin µ′′1

=n2

n1

, (8.2)

91

dobija jednostavan oblik:µ1µ′′1

=n2

n1

. (8.3)

Upadni ugao µ1 i ugao prelamanja µ′′1 mogu da se izraze preko uglova skretanja ®1 i ®′′1 kao

µ1 = ®1 + '1, µ′′1 = ®′′1 + '1, (8.4)

gde je ugao ' definisan na Fig. 52. Koristeci relaciju (8.3) zakon prelamanja (8.2b) dobija

oblik®1 + '1

®′′1 + '1

=n2

n1

. (8.5)

Ugao '1 zavisi od poluprecnika krivine i rastojanja tacke P1 od x-ose. Oznacimo se y1,

y-koordinatu tacke P1. Tada je

sin'1 =y1r1. (8.6)

Kako malo skretanje zraka, koje je osnovni uslov paraksijalne aproksimacije, u stvari vazi za

zrake koji se prostiru dovoljno blizu opticke ose, kada je i ugao '1 mali, imamo sin'1 ≈ '1,

tako da jednacina (8.6) daje

'1 =y1r1. (8.7)

Zamenom relacije (8.7) u (8.5) imamo

®1 +y1r1

®′′1 +

y1r1

=n2

n1

, (8.8a)

odakle je

®′′1 +

y1r1

=n1

n2

(®1 +

y1r1

), (8.8b)

odnosno

®′′1 = −

(n2 − n1

r1

)1

n2

y1 +n1

n2

®1. (8.8c)

Ako uvedemo konstantu

k1 =n2 − n1

r1, (8.9)

jednacinu (8.8c) mozemo napisati u obliku

®′′1 = −k1

n2

y1 +n1

n2

®1. (8.10)

Poslednja relacija daje ugao skretanja ®′′1 prelomljenog zraka, ako je poznat ugao skretanja

®1 upadnog zraka kao i y-koordinata y1 tacke P1 u kojoj zrak pada na socivo. U tacki P1

zrak se prelama, ali ostaje neprekidan. Ovu cinjenicu mozemo izraziti relacijom

y′′1 = y1 (8.11)

92

FIG. 53: Poprecni presek sociva; prolazak zraka kroz socivo

gde je sa y′′1 oznacena y-koordinata tacke u kojoj prelomljeni zrak ulazi u socivo (tj. koordi-

nata tacke P1).

Posle prelamanja na granicnoj povrsi 1, zrak se prostire kroz socivo i u tacki P2 pada na

sfernu povrs 2, Fig. 53. Tacka P2 karakterise se y-koordinatom y = y′′2 . Ova koordinata

povezana je sa y-koordinatom tacke P1 relacijom

y′′2 = y′′1 +Δtg®′′1. (8.12a)

U paraksijalnoj aproksimaciji bice tg®′′1 ≈ ®′′

1, tako da je

y′′2 = y′′1 +Δ®′′1. (8.12b)

Velicina Δ koja figurise u izrazima (8.12a,b) je po definiciji razlika x-koordinata tacaka P2 i

P1, vidi Fig. 53. U paraksijalnoj aproksimaciji (kada se zrak prostire dovoljno blizu opticke

ose, ili je socivo dovoljno tanko), velicina Δ priblizno je jednaka debljini sociva:

Δ ≈ A1A2. (8.13)

Na sfernu povrs 2 zrak pada pod uglom ®′′1 (Fig. 54). Prema tome, zakon prelamanja u

paraksijalnoj aproksimaciji u tacki P2 ima oblik

sin('2 − ®′′1)

sin('2 − ®2)≈ '2 − ®′′

1

'2 − ®2

=n1

n2

, (8.14a)

93

FIG. 54: Poprecni presek sociva; prelamanje zraka u tacki P2

pri cemu je, za ugao '2 definisan kao na Fig. 54,

sin'2 ≈ '2 =y′′2

(−r2). (8.14b)

Zamenom (8.14b) u (8.14a), nalazimo

y′′2(−r2)

− ®′′1

y′′2(−r2)

− ®2

=n1

n2

, (8.15a)

odakle nalazimo

®2 +y′′2r2

=n2

n1

(®′′1 +

y2r2

), (8.15b)

odnosno

®2 = −(n1 − n2

r2

)1

n1

y′′2 +n2

n1

®′′1. (8.15c)

Uvodeci sada konstantu

k2 =n1 − n2

r2, (8.16)

nalazimo

®2 = −k2n1

y′′2 +n2

n1

®′′1. (8.17)

Uslov neprekidnosti zraka u tacki P2 se moze izraziti relacijom

y2 = y′′2 , (8.18)

94

gde je y-koordinata tacke P2 neposredno po izlasku zraka iz sociva oznacena sa y2.

8.2. Matrica optickog sistema za socivo

Jednacine prelamanja zraka u tackama 1 i 2 dopunjene jednacinama koje izrazavaju

neprekidnost svetlosnog zraka i jednacinama prostiranja zraka kroz socivo, mogu da se

prikazu na jedinstven nacin u matricnom obliku.

Jednacine (8.10) i (8.11) se mogu napisati u obliku

⎛⎝ y′′1

®′′1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 0

− k1n2

n1

n2

⎞⎠

⎛⎝ y1

®1

⎞⎠ ; (8.19a)

jednacina (8.12b) u obliku

⎛⎝ y′′2

®′′1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 Δ

0 1

⎞⎠

⎛⎝ y′′1

®′′1

⎞⎠ , (8.19b)

dok se jednacine (8.17) i (8.18) mogu prikazati kao

⎛⎝ y2

®2

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 0

− k2n1

n2

n1

⎞⎠

⎛⎝ y′′2

®′′1

⎞⎠ . (8.19c)

Relacije (8.19a,b,c) mogu da se protumace kao promene ”stanja” zraka pri prelamanju

na povrsi 1, jednacina (8.19a), pri prolasku kroz socivo, jednacina (8.19b) i prelamanju na

povrsi 2, jednacina (8.19c). U ovakvoj interpretaciji za stanje zraka uzima se matrica kolona:

⎛⎝ y

®

⎞⎠ = ”stanje”zraka, (8.19d)

koja povezuje dva karakteristicna parametra zraka, y-koordinatu tacke u kojoj zrak pada na

sfernu povrs i ugao ® koji zrak zaklapa sa optickom osom sociva (ugao skretanja). Uocavamo

cetiri stanja sistema skicirana na Fig. 55.

Razlicita stanja zraka medjusobno su povezana matricama 2×2 . U jednacinama (8.19a) i

(8.19c), koje opisuju prelamanje zraka u tackama P1 i P2, javljaju se tzv. matrice prelamanja:

R1 =

⎛⎝ 1 0

− k1n2

n1

n2

⎞⎠ , R2 =

⎛⎝ 1 0

− k2n1

n2

n1

⎞⎠ . (8.20a)

95

FIG. 55: ”Stanja” zraka pri prelamanju na povrsima 1 i 2 i prolasku kroz socivo

Dakle, na proizvoljnoj sfernoj povrsi radijusa krivine r ≷ 0, (Fig. 56), pri prelasku iz sredine

indeksa prelamanja n1 u sredinu indeksa prelamanja n2, matrica prelamanja ima opsti oblik

R =

⎛⎝ 1 0

− kn2

n1

n2

⎞⎠ (8.20b)

u kome je velicina k odredjena generalizacijom izraza (8.9) i (8.16): k1 = (n2 − n1)/r1 i

k2 = (n1 − n2)/r2, koja daje

k =n2 − n1

r. (8.21)

Primetimo da je determinanta matrice prelamanja

detR =n1

n2

. (8.22)

Matricna jednacina (8.19b) koja povezuje medju-stanja zraka pri njegovom prolasku kroz

socivo (izmedju tacaka P1 i P2) ukazuje na to da su pomenuta stanja takodje povezana

matricom 2 × 2. Ova matrica se naziva matrica prelaza i oznacava se sa T21. Za socivo

debljine Δ ona je data sa

T21 =

⎛⎝ 1 Δ

0 1

⎞⎠ . (8.23a)

Uocimo da je

detT21 = 1. (8.23b)

Uvodeci matrice refleksije R1 i R2, pomocu jednacina (8.20a) i matricu prelaska T21

pomocu jednacine (8.23a), relacije (8.19a,b,c) mogu da se napisu u sledecem obliku⎛⎝ y′′1

®′′1

⎞⎠ = R1

⎛⎝ y1

®1

⎞⎠ ,

⎛⎝ y′′2

®′′1

⎞⎠ = T21

⎛⎝ y′′1

®′′1

⎞⎠ ,

⎛⎝ y2

®2

⎞⎠ = R2

⎛⎝ y′′2

®′′1

⎞⎠ (8.24)

96

FIG. 56: Usvojena konvencija pri pisanju matrice refleksije

Kombinovanjem poslednjih relacija moze se naci ukupna matrica optickog sistema S21 koja

povezuje inicijalno stanje

⎛⎝ y1

®1

⎞⎠ i finalno stanje

⎛⎝ y2

®2

⎞⎠:

⎛⎝ y2

®2

⎞⎠ = S21

⎛⎝ y1

®1

⎞⎠ . (8.25a)

Ocigledno, na osnovu (8.24),

⎛⎝ y2

®2

⎞⎠ = R2

⎛⎝ y′′2

®′′1

⎞⎠ = R2T21

⎛⎝ y′′1

®′′1

⎞⎠ = R2T21R1

⎛⎝ y1

®1

⎞⎠ . (8.25b)

Poredjenjem izraza (8.25a) i (8.25b), za matricu optickog sistema u slucaju sociva u parak-

sijalnoj aproksimaciji, imamo

S21 = R2T21R1. (8.26a)

Eksplicitni oblik matrice S21 nalazimo zamenom eksplicitnih izraza za matrice R1, R2 i

T21, u jednacinu (8.26a). Nalazimo

S21 =

⎛⎝ 1 0

− k2n1

n2

n1

⎞⎠

⎛⎝ 1 Δ

0 1

⎞⎠

⎛⎝ 1 0

− k1n2

n1

n2

⎞⎠ , (8.27a)

odnosno

S21 =

⎛⎝ 1 0

− k2n1

n2

n1

⎞⎠

⎛⎝ (1− k1

n2Δ) n1

n2Δ

− k1n2

n1

n2

⎞⎠ , (8.27b)

97

tj.

S21 =

⎛⎝ 1− k1

n2Δ n1

n2Δ

(− k2n1(1− k1

n2Δ)− k1

n1) − k2

n2Δ+ 1

⎞⎠ ≡

⎛⎝ a b

c d

⎞⎠ , (8.27c)

Dobijena matrica sistema zavisi od indeksa prelamanja sociva (n2), indeksa prelamanja sre-

dine u kojoj je smesteno socivo (n1), kao i od geometrijskih karakteristika sociva (algebarskih

vrednosti poluprecnika krivina r1 i r2 i debljine sociva Δ). Primetimo da konkretan oblik

dat jednacinom (8.27c) odgovara proizvoljnom tipu sociva, pod uslovom da se parametri k1

i k2 odrede na osnovu opste formule (8.21).

Elementi matrice S21 mogu se radi pogodnosti oznaciti sa a, b, c i d, kao u izrazu (8.27c).

Za determinantu matrice S21 nalazimo: detS21 = ad− bc = det(R2T21R1) = detR2 ⋅ detT21 ⋅detR1. Kako su determinante matrica prelaza date jednacinama (8.22) i (8.23): detT21 = 1,

detR1 = n1/n2, detR2 = n2/n1, nalazimo

detS21 = 1. (8.28)

Matrica S21 odredjuje ponasanje zraka od tacke P1 do tacke P2. Ona se moze dopuniti i

odgovarajucim matricama prelaza od tacke predmeta P do tacke P1 i od tacke P2 do tacke

P ′ u kojoj se formira lik. Matrica prelaska iz tacke Pi do tacke Pj nalazimo po analogiji sa

jednacinom (8.23) za T21:

Tji =

⎛⎝ 1 d

0 1

⎞⎠ , (8.29)

gde je d rastojanje duz ose sistema izmedju posmatranih tacaka Pi i Pj. Ocigledno,

detTji = 1. (8.30)

U svim dosadasnjim razmatranjima nismo pratili refleksiju na sfernim povrsinama 1 i 2.

U principu, reflektovani zraci se mogu posmatrati posebno. Metoda izucavanja ovih zraka

u paraksijalnoj aproksimaciji svodi se na definisanje matrice refleksije, na nacin analogan

konstrukciji matrice prelamanja. Na dalje, mi se ovim problemom ne bavimo.

8.3. Odredjivanje kardinalnih elemenata sociva

U odeljku 7.2 definisali smo kardinalne elemente centriranog optickog sistema. Oni su

predstavljali onaj osnovni skup geometrijskih karakteristika optickog sistema koji je dovol-

jan za resavanje osnovnog problema geometrijske optike kako da se na osnovu poznavanja

98

FIG. 57: Formiranje lika kod sociva

polozaja predmeta odredi polozaj lika. Poznavanje matrice sistema, pod uslovom da su is-

punjeni uslovi za vazenje paraksijalne aproksimacije, omogucava da se odrede ovi elementi

u zavisnosti od poluprecnika krivina r1 i r2, debljine sociva Δ i indeksa prelamanja n1 i n2.

Radi konkretnosi mi cemo se ograniciti na socivo i nacicemo velicine lH , l′H , f i f ′, vidi Fig.

57. Na osnovu ovih velicina bice potvrdjena formula (7.3a).

Formiranje lika kod sociva sledi osnovne zakonitosti formiranja lika kod opsteg centriranog

optickog sistema, formulisane u odeljku 7.3. Odgovarajuci geometrijski metod odredjivanja

lika pomocu dva karakteristicna zraka 1 i 2 prikazan je na Fig. 57. Uporedo sa ova dva

zraka, koji polaze iz tacke P i presecaju se u tacki P ′, na Fig. 57 prikazan je i proizvoljan

zrak (isprekidana linija) izmedju ovih dveju tacaka. Inicijalno i finalno stanje ovog zraka

dati su sa

⎛⎝ y

®1

⎞⎠ i

⎛⎝ y′

®2

⎞⎠, respektivno. Ova stanja su povezana relacijom

⎛⎝ y′

®2

⎞⎠ = TP ′P2S21TP1P

⎛⎝ y

®1

⎞⎠ , (8.31)

pri cemu je TP1P matrica prelaza izmedju tacke P i tacke P1 u kojoj posmatrani zrak upada

na granicnu povrs 1; S21 je matrica sistema izmedju tacaka P1 i P2 gde je P2 tacka u kojoj

zrak napusta drugu povrs. Konacno, TP ′P2 je matrica prelaza izmedju tacaka P2 i P ′.

99

Ukupna matrica prelaza

Q = TP ′P2S21TP1P , (8.32a)

predstavlja kompoziciju matrica prelaza TP1P i TP ′P2 i matrice sistema S21. Njen eksciplicitni

oblik je

Q =

⎛⎝ 1 d2

0 1

⎞⎠S21

⎛⎝ 1 d1

0 1

⎞⎠ , (8.32b)

gde su d2 ≈ A2O′ i d1 ≈ A1O. Ako uvedemo algebarske velicine l i l′ (l < 0, l′ > 0 na Fig.

57), bice d2 = l′ i d1 = −l, tako da matrica Q ima oblik

Q =

⎛⎝ 1 l′

0 1

⎞⎠S21

⎛⎝ 1 −l

0 1

⎞⎠ =

⎛⎝ Q11 Q12

Q21 Q22

⎞⎠ , (8.33)

pri cemu je matrica S21 u eksciplicitnom obliku data jednacinom (8.27b). Veza inicijalnog i

finalnog stanja, prikazana jednacinom (8.31), sada moze da se napise u obliku

⎛⎝ y′

®2

⎞⎠ =

⎛⎝ Q11 Q12

Q21 Q22

⎞⎠

⎛⎝ y

®1

⎞⎠ , (8.34a)

odakle slede elementi y′ i ®2:

y′ = Q11y +Q12®1 (8.34b)

®2 = Q21y +Q22®1. (8.34c)

Matricni elementi Qij definisani su jednacinom (7.33):

⎛⎝ Q11 Q12

Q21 Q22

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 l′

0 1

⎞⎠

⎛⎝ a b

c d

⎞⎠

⎛⎝ 1 −l

0 1

⎞⎠ , (8.35a)

odakle je ⎛⎝ Q11 Q12

Q21 Q22

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 l′

0 1

⎞⎠

⎛⎝ a −al + b

c −cl + d

⎞⎠ , (8.35b)

odnosno ⎛⎝ Q11 Q12

Q21 Q22

⎞⎠ =

⎛⎝ a+ cl′ −al + b− cll′ + dl′

c −cl + d

⎞⎠ . (8.35c)

Dakle,

Q11 = a+ cl′ (8.36a)

Q12 = −al + b− cll′ + dl′ (8.36b)

100

Q21 = c (8.36c)

Q22 = −cl + d. (8.36d)

Kako je na osnovu jednacina (8.28) i (8.30), detS21 = 1, , detTP ′P2 = 1 i detTP1P = 1 i kako

je detQ = detTP ′P2 ⋅ detS21 ⋅ detTP1P , bice

detQ = 1. (8.37)

Jednacina (8.37) daje prvi uslov koji moraju da zadovoljavaju matricni elementi Qij.

Drugi uslov potice iz zahteva da linearno uvecanje, definisano jednacina (7.2): ¯ = y′/y,

mora biti nezavisno od ugla skretanja ®1. Linearno uvecanje izracunato na osnovu jednacine

(8.34b) ima oblik

¯ = Q11 +®1

yQ12. (8.38a)

Dakle, uslov formiranja lika kod sociva, koji se svodi na zahtev da ¯ bude nezavisno od ®1,

glasi

Q12 = 0. (8.38b)

Zamena ovog uslova u (8.38a) omogucava da se matricni element Q11 izrazi direktno preko

linearnog uvecanja:

Q11 = ¯. (8.38c)

Matricni element Q22 sledi iz uslova (8.37): detQ = det

⎛⎝ Q11 Q12

Q21 Q22

⎞⎠ = Q11Q22−Q12Q21 =

1. Kako je Q12 = 0, a Q11 = ¯, poslednji uslov daje

Q22 =1

¯. (8.38d)

Cetvrti matricni element Q21 vec je odredjen jednacinom (8.36c):

Q21 = c. (8.38e)

Konacno, za ukupnu matricu prelaza Q imamo

Q =

⎛⎝ ¯ 0

c 1¯

⎞⎠ . (8.39)

S druge strane, uslovi (8.38b), (8.38c) i (8.38d), kombinovani sa jednacinama (8.36a-d), daju

sledece veze elemenata a, b, c i d:

−al + b− cll′ + dl′ = 0 (8.40a)

101

FIG. 58: Odredjivanje glavnih ravni sociva

a+ cl′ = ¯ (8.40b)

−cl + d =1

¯. (8.40c)

Predjimo sada na odredjivanje kardinalnih elemenata sociva. Na osnovu definicije glavnih

ravni imamo da su to ravni koje se preslikavaju jedna u drugu sa linearnim uvecanjem ¯ = 1.

Drugim recima, predmet postavljen u prednju glavnu ravan (l = −lH) ima lik u zadnjoj

glavnoj ravni (−l′ = l′H) pri cemu je y′ = y, odnosno linearno uvecanje ¯ = 1, vidi Fig.

58(a). Zamenom ovih uslova u jednacine (8.40b,c) nalazimo

a− cl′H = 1, (8.41a)

clH + d = 1, (8.41b)

odakle slede polozaji glavnih ravni H i H ′:

lH =1− d

c, l′H =

a− 1

c. (8.42)

Primetimo da velicine a, c i d, definisane jednacinom (8.27c), zavise od geometrije sociva

(poluprecnika krivina r1, r2 i debljine Δ), kao i opticke sredine (n1, n2). Tipicni rasporedi

glavnih ravni dati su na Fig. 58(b).

102

FIG. 59: Odredjivanje polozaja prednje zize

Prednja i zadnja ziza nalaze se na analogan nacin. Naime, predmet postavljen u prednjoj

zizi (Fig. 59), kada −l → −lF ima izvrnuti lik cija duzina −y′ → ∞, tako da je linearno

uvecanje ¯ → −∞. Zamenom uslova l = lF i ¯ = −∞ u jednacinu (8.40c), nalazimo

−clF + d = 0, (8.43a)

odakle je

lF =d

c. (8.43b)

Kako je −f = −lF − lH , Fig. 59, za prednje zizno rastojanje f nalazimo f = lF + lH

gde je velicina lF odredjena jednacinom (8.43b), avelicina lH jednacinom (8.42). Dakle,

f = dc+ 1−d

c, tj.

f =1

c. (8.44)

Zadnja ziza se nalazi postavljanjem predmeta u beskonacnost (−l → ∞) kada se lik nulte

duzine (−y′ → 0) formira u zadnjoj zizi (l′ = l′F ), vidi Fig. 60. Linearno uvecanje ¯ → 0,

tako da jednacina (8.40b) daje

a+ cl′F = 0, (8.45a)

odakle je

l′F = −a

c. (8.45b)

103

FIG. 60: Odredjivanje polozaja zadnje zize

Kako je f ′ = l′F + l′H , za zadnje zizno rastojanje f ′ nalazimo f ′ = −ac+ a−1

c, tj.

f ′ = −1

c. (8.46a)

Poredjenjem jednacina (8.44) i (8.46a) dolazimo do zakljucka da za zizna rastojanja f i f ′

za socivo (kod koga je ista opticka sredina ispred i iza sociva) u paraksijalnoj aproksimaciji

vazi relacija

f ′ = −f. (8.46b)

Ovim je izvedena relacija (7.3b).

Konkretni izrazi za zizne daljine f i f ′ dobijamo zamenom izraza za c u jednacinu (8.44),

tj. (8.46a). Kako je velicina c odredjena jednacinom (8.27c), nalazimo

1

f ′ = − 1

f= −c =

k2n1

(1− k1

n2

Δ

)+

k1n1

, (8.47a)

gde su (na osnovu opste formule (8.21))

k1 =n2 − n1

r1, k2 =

n1 − n2

r2. (8.47b)

Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da se socivo indeksa prelamanja n nalazi u vazduhu

(n1 = 1, n2 = n). Tada izraz (8.47a) dobija oblik 1f ′ = − 1

f= k2(1 − k1

nΔ) + k1, tj.

1f ′ =

− 1f= 1−n

r2(1− Δ

n(n−1)r1

) + n−1r1

odnosno,

1

f ′ = − 1

f= (n− 1)

(1

r1− 1

r2

)+

(n− 1)2Δ

nr1r2. (8.48)

104

FIG. 61: Tanko socivo

Primetimo da se efikasnost metoda odredjivanja kardinalnih elemenata matricnom

metodom uocava tek ako sa prostog sistema (kao sto je socivo) predjemo na slozene opticke

sisteme (npr. sisteme sociva) i uocimo da se uopstavanjem zakona kompozicije (8.32a) moze

naci ukupna matrica prelaza ovakvih sistema, a iz nje i odgovarajuci kardinalni elementi. U

ovom slucaju dobijaju se algebarske jednacine koje se resavaju numericki, primenom kom-

pjutera.

8.4. Tanko socivo

Po definiciji, tanko socivo je ono za koje se drugi clan na desnoj strani izraza (8.48) moze

smatrati znatno manjim od prvog clana. Kako je indeks prelamanja n reda velicine jedinice,

zakljucujemo da debljina Δ tankog sociva mora biti mnogo manja od oba radijusa krivine

∣r1∣ i ∣r2∣ granicnih povrsi sociva:

Δ << ∣r1∣, Δ << ∣r2∣. (8.49)

Ako je ispunjen uslov (8.49), za zizne daljine f i f ′ imamo

1

f ′ = − 1

f= (n− 1)

(1

r1− 1

r2

). (8.50)

105

Primetimo da na osnovu jednacine (87.4a) izraz na desnoj strani jednacine (8.50) pred-

stavlja opticku jacinu za tanko socivo smesteno u vakuumu (n = n′ = 1). Polozaj glavnih

ravni za tanko socivo dfefinisan je pomocu veli vcina lH i l′H ; ove velicine odredjene su

jednacinom (8.42) u kojoj su velicine Δ/∣r1∣ i Δ/∣r2∣ zanemarene prema jedinici. Dakle,

koristeci jednacinu (8.27c) za odredjivanje elemenata a i d matrice S21, pod uslovom da je

n2 = n, nalazimo:

lH =1− d

c=

1

c

k2nΔ, l′H =

a− 1

c= −1

c

k1nΔ. (8.51a)

Matricni element c je na osnovu jednacine (8.44), odnosno jednacine (8.46a), dat sa c =

1/f = −1/f ′, dok su konstante k1 i k2 odredjene jednacinom (8.47b) pri n1 = 1 i n2 = n:

k1 = (n− 1)/r1, k2 = (1− n)/r2. Zamenom ovih vrednosti u jednacinu (8.51a), nalazimo

lH = f(1− n)

n

Δ

r2, l′H = f ′ (n− 1)

n

Δ

r1, (8.51b)

odakle vidimo da za tanko socivo vazi

lH = l′H = 0. (8.52)

Dakle, moze se reci da je tanko socivo centrirani opticki sistem nulte debljine (Δ = 0) kod

koga se obe glavne ravni medjusobno poklapaju i mogu se postaviti duz vertikalne ose sociva

(Fig. 61). Zizne daljine f i f ′ tankog sociva mogu se poistovetiti sa rastojanjem od ziza do

vertikalne ose (Fig. 61).

Matricu sistema S21 za tanko socivo dobijamo iz jednacine (8.27c) kada clanove reda

velicine Δ/∣r∣ zanemarimo prema 1. Za tanko socivo smesteno u vakuumu (n1 = 1, n2 = n),

nalazimo

S21 =

⎛⎝ 1 0

−k2 − k1 1

⎞⎠ . (8.53a)

Kako je, na osnovu izraza (8.47b),

k1 + k2 = (n− 1)

(1

r1− 1

r2

)=

1

f ′ , (8.53b)

za konacni oblik matrice S21 dobijamo

S21 =

⎛⎝ 1 0

− 1f ′ 1

⎞⎠ . (8.54)

106

FIG. 62: Prostiranje zraka kroz tanko socivo

Za matricu prelaza Q koja povezuje predmet i lik (Fig. 62), datu jednacinom (8.32b),

imamo

Q =

⎛⎝ 1 s′

0 1

⎞⎠

⎛⎝ 1 0

− 1f ′ 1

⎞⎠

⎛⎝ 1 −s

0 1

⎞⎠ (8.55a)

(iskoristili smo aproksimaciju d1 ≈ −l ≈ −s i d2 ≈ l′ ≈ s′). Dakle,

Q =

⎛⎝ 1 s′

0 1

⎞⎠

⎛⎝ 1 −s

− 1f ′

sf ′ + 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1− s′

f ′ (−s+ ss′f ′ + s′)

− 1f ′

sf ′ + 1

⎞⎠ . (8.55b)

Uslov formiranja lika kod sociva Q12 = 0, dat jednacinom (8.38b), sada postaje −s +

ss′f ′ + s′ = 0, odakle sledi

1

s− 1

s′= − 1

f ′ =1

f. (8.56)

Poslednja jednacina se poklapa sa formulom (7.7b) i predstavlja osnovnu formulu tankog

sociva, pomocu koje se odredjuje polozaj lika (s′).

Uz uslov (8.56), imamo 1− s′/f ′ = s′/s i s/f ′ +1 = s/s′, tako da matrica Q dobija oblik

Q =

⎛⎝

s′s

0

− 1f ′

ss′

⎞⎠ . (8.57)

Matrica Q u potpunosti opisuje ponasanje svih zraka pri prolasku kroz tanko socivo. Svi

zraci koji padaju na tanko socivo, prelamaju se na vertikalnoj osi (ravan H = H ′). Jedini

107

FIG. 63: Prostiranje snopa paralelnih zraka kroz tanko socivo

zrak koji se ne prelama je zrak koji prolazi kroz centar sociva O. Da bismo dokazali ovo

tvrdjenje, uocimo da izmedju pocetnog i krajnjeg stanja sada vazi relacija

⎛⎝ y′

®2

⎞⎠ =

⎛⎝

s′s

0

− 1f ′

ss′

⎞⎠

⎛⎝ y

®1

⎞⎠ , (8.58a)

odakle dobijamo dve jednacine:

y′ =s

s′y (8.58b)

®2 = − y

f ′ +s

s′®1. (8.58c)

Da bismo nasli zrak koji se ne prelama, treba naci zrak koji zadovoljava uslov ®1 = ®2

(vidi Fig. 62). Jednacina (8.58c) tada daje, uz pomoc (8.56): ®1(1− ss′ ) = − y

f ′ = (1s− 1

s′ )y =

ys(1− s

s′ ), odakle je ®1 = y/s, tj. −®1 = y/(−s), sto znaci da je tg(−®1) ≈ −®1 = y/(−s).

Sa Fig. 62 vidimo da je jedini zrak, ciji ugao skretanja ®1 zadovoljava ovaj uslov, zrak 33′

koji prolazi kroz centar sociva.

Posmatrajmo sada snop paralelnih zraka koji pod nekim uglom padaju na tanko socivo,

kao na Fig. 63. Ovakvi zraci poticu od predmeta u beskonacnosti tako da se svi seku u datoj

tacki zizne ravni F ′. Polozaj ove tacke odredjen je zrakom koji (bez prelamanja) prolazi

kroz centar sociva O. Primetimo da je talasni front u upadnom snopu (paralelnih zraka)

ravan normalna na ovaj snop. Svi zraci izmedju ove ravni i tacke P u kojoj se sazimaju su

108

FIG. 64: Karakteristicni slucajevi tankih sociva

tautohtoni, tj. odgovarajuce opticke duzine puteva su jednake. Zrak koji prolazi kroz centar

sociva ima najmanju duzinu, ali prolazi kroz socivo indeksa prelamanja n najduzi put, itd.

Primer

Prema ponasanju sociva u odnosu na snop paralelnih traka koji padaju na njega, sociva

se dele na sabirna (konvergentna) i rasipna (divergentna) sociva. Na Fig. 64 prikazani su

tipicni primeri sociva. Opticke jacine svih navedenih sociva se lako nalaze. Za n′ = 1, na

109

FIG. 65: Dublet

osnovu definicije (7.4a) imamo

Φ =1

f ′ = (n− 1)

(1

r1− 1

r2

). (8.59)

Tako, na primer, za sociva prikazana na Fig. 64(d) i Fig. 64(e) imamo Φ < 0 i Φ > 0,

respektivno. To su ”negativna” i ”pozitivna” sociva koja se koriste kao naocare (Φ = ΦL)

za kratkovido i dalekovido oko; vidi primer u odeljku 7.2. Kombinovanjem jednacine (8.59)

i jednacine (7.4d) navedenog primera mogu se priblizno naci poluprecnici r1 i r2 potrebnih

naocara.

8.5. Sistemi tankih sociva

Prednost ”matricne” geometrijske optike nad klasicnim pristupom postaje izrazita kada

se razmatraju slozeniji opticki sistemi. Ovde se ogranicavamo samo na razmatranje najjed-

nostavnijeg sistema, tzv. dubleta.

Dublet se sastoji od dva tanka sociva na medjusobnom rastojanju d12, Fig. 65(a). Svi

karakteristicni kardinalni elementi sociva (1) i (2) prikazani su na navedenoj slici. Dublet je

takodje centrirani opticki sistem ciji su kardinalni elementi prikazani na Fig. 65(b).

Da bismo nasli kardinalne elemente dubleta, formirajmo prvo matricu ovog sistema. Ona

110

predstavlja kompoziciju matrica prelamanja i matrica prelaza:

S21 = S22′T2′1′S1′1, (8.60a)

pri cemu su

S1′1 =

⎛⎝ 1 0

− 1f ′11

⎞⎠ , T2′1′ =

⎛⎝ 1 d12

0 1

⎞⎠ , S22′ =

⎛⎝ 1 0

− 1f ′21

⎞⎠ . (8.60b)

Zamenom izraza (8.60b) u jednacinu (8.60a) nalazimo

S21 =

⎛⎝ 1 0

− 1f ′21

⎞⎠

⎛⎝ 1 d12

0 1

⎞⎠

⎛⎝ 1 0

− 1f ′11

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 d12

− 1f ′2−d12

f ′2+ 1

⎞⎠

⎛⎝ 1 0

− 1f ′11

⎞⎠ , (8.61a)

odnosno

S21 =

⎛⎝ 1− d12

f ′2

d12[− 1

f ′2− 1

f ′1

(−d12

f ′2+ 1

)]−d12

f ′2+ 1

⎞⎠ ≡

⎛⎝ a b

c d

⎞⎠ . (8.61b)

Poredjenjem dobijene matrice S21 sa opstom matricom centriranog optickog sistema

(sociva) datom jednacinom (8.27c), uz pomoc jednacina (8.46a) i (8.46b): f ′ = −f = −1/c,

zakljucujemo da je

f =1

c= − 1

1f ′2+ 1

f ′1

(1− d12

f ′2

) = − f ′2f

′1

f ′1 + f ′

2 − d12. (8.62a)

Ako uvedemo ”algebarsku” velicinu

l = d12 − f ′1 + f2 = d12 − (f ′

1 + f ′2) , (8.62b)

prednje zizno rastojanje f dubleta mozemo izraziti u obliku

f =f ′1f

′2

l=

f1f2l

, (8.63a)

dok je zadnje zizno rastojanje f ′ dubleta dato sa

f ′ = −1

c= −f = −f ′

1f′2

l. (8.63b)

Koristeci opste relacije (8.42) za centrirani opticki sistem (sv civo): lH = 1−dc, l′H = a−1

c,

mozemo naci i polozaj glavnih ravni posmatranog dubleta. Za velicinu lH vazi sledeci izraz:

lH = 1−dc

= 1cd12f ′2= f d12

f ′2= −f d12

f2. Konacno, koristeci jednacinu (8.63a) imamo:

lH = −f2f1l

d12f2

= −f1d12l. (8.64a)

111

FIG. 66: Dublet kao sabirno socivo

Analogno,

l′H =a− 1

c= −1

c

d12f ′1

= f ′d12f ′1

= −f ′2f

′1

l

d12f ′1

= −f ′2

d12l. (8.64b)

Dosadasnja razmatranja su imala potpuno opsti karakter. Pokazimo sada da sistem dva

tanka sabirna sociva moze biti kako rasipno tako i sabirno socivo zavisno od znaka velicine

l. Na Fig. 66(a) prikazan je slucaj l > 0 a na Fig. 66(b) slucaj l < 0. Karakter rezultujuceg

sistema direktno sledi iz rasporeda kardinalnih elemenata dubleta. Naime, u prvom slucaju

imamo

f =f1f2l

> 0, f ′ < 0, (8.65a)

tako da je lH > 0 a l′H < 0 (vidi Fig. 66(a)), tako da je rezultujuce socivo rasipno. S druge

strane, pri l < 0, Fig. 66(b), bice f = f1f2l

< 0 i f ′ > 0, dok je lH < 0 i l′H > 0, tako da je

sistem sabirno socivo.

112

III. TALASNA OPTIKA

§9 Elektromagnetni talasi na granici dve opticke sredine

9.1. Refleksija i prelamanje ravanskog talasa na granici dve opticke sredine

U okviru geometrijske optike formulisali smo neke od osnovnih zakona optike. Medju

njima je i zakon refleksije i prelamanja (odeljak 6.4). Medjutim, postoji citava klasa optickih

pojava koje se uopste ne mogu objasniti u okviru geometrijske optike. Sustina svih ovih

pojava je u kompletnoj elektromagnetnoj talasnoj prirodi svetlosti. Oblast optike koja se

bavi ovim pojavama naziva se talasna optika.

Na granici dve opticke sredine dolazi do promene pravca prostiranja talasa (refleksija i

prelamanje), pri cemu se menja i amplituda i faza talasa. Prvu pojavu moguce je analizirati

samo na osnovu pojma zraka i Fermaovog principa, bez ulazenja u detalje o prirodi svetlosti.

U ovom odeljku bice pokazano kako se ovi zakoni dobijaju u okviru talasne optike, dok ce u

narednim odeljcima biti razmatrane promene amplituda i faza elektromagnetnih talasa.

Pretpostavimo da ravanski monohromatski talas pada na granicnu ravan dva homogena

i izotropna dielektrika. Neka je relativna dielektricna propustljivost sredine kroz koju se

prostire upadni talas "r1 , a druge sredine "r2 . Relativne magnetne propustljivosti neka su

¹r1 = ¹r2 = 1. U tom slucaju indeksi prelamanja prve, odnosno druge sredine su n1 =√"r1

i n2 =√"r2 , respektivno.

Eksperimenti pokazuju da ce se u drugoj sredini pojaviti ravanski prelomljeni talas, a

u prvoj sredini pored upadnog talasa i reflektovan (odbijen) ravanski talas. Svaki od ovih

talasa karakterise se svojim talasnim vektorom: k za upadni talas, k′ za reflektovan talas i

k′′ za prelomljeni talas. Talasni vektor upadnog talasa k i normala n na granicnu povrsinu

odredjuju ravan koja se naziva upadna ravan (Fig. 67(a)). Iz razloga simetrije sledi da

vektor k′ reflektovanog talasa mora da lezi u istoj ravni (koja je u ravni crteza na Fig.

67(b)). Naime, ako pretpostavimo da vektor k′ ne lezi u upadnoj ravni nego da sa njom

zaklapa neki ugao, onda bi potpuno ravnopravno mogao da zaklapa isti ugao ali sa druge

strane upadne ravni. Kako k′ mora biti jednoznacan, preostaje da mora da pripada upadnoj

ravni. Isti je slucaj i sa talasnim vektorom k′′ prelomljenog talasa. Dakle, talasni vektori k, k′

i k′′ svi leze u istoj (upadnoj) ravni. Veza izmedju ovih vektora (koja daje zakone refleksije

i prelamanja u okviru talasne optike) sledi iz granicnih uslova za normalnu i tangencijalnu

113

FIG. 67: (a) Upadna i granicna ravan i (b) talasni vektori k, k′ i k′′ na granici dve opticke sredine

komponentu jacine elektricnog polja E (svetlosni vektor) na granici dva dielektrika.

Za vremenski zavisno elektromagnetno polje, vektori E i B povezani su Maxwell-ovim

jednacinama (1.2a), (1.2b) i (1.4a), (1.4b). Ponasanje tangencijalne komponente vektora E

na granici dva dielektrika sledi iz jednacine (1.1a):

rotE = −∂B

∂t, (9.1a)

koja u integralnom obliku glasi

∮

C

E ⋅ dl = −∫

S

∂B

∂t⋅ dS. (9.1b)

Dakle, cirkulacija vektora E duz proizvoljne konture C jednaka je −dΦm/dt, gde je Φm

magnetni fluks kroz povrsinu S naleglu na konturu C. Primenivsi jednacinu (9.1b) na

konturu C sa Fig. 68, pri b → 0, jednacina (8.1b) se svodi na

∮

C

E ⋅ dl = (E1y − E2y)a = −∫

S

∂B

∂t⋅ dS. (9.2)

Kako se pri b → 0 anulira desna strana jednacine (9.2) (jer S = ab → 0), nalazimo granicni

uslov

E1y = E2y. (9.3)

114

FIG. 68: Cirkulacija vektora E

Primetimo da uslov (9.3) vazi duz proizvoljne y-ose koja lezi u granicnoj ravni.

Dalju analizu refleksije i prelamanja izvrsicemo u formalizmu kompleksnih svetlosnih

vektora definisanih jednacinom (1.32a). Kompleksni talasni vektor upadnog talasa (nulte

pocetne faze ®) jeˇE = Em exp[−i(!t− k ⋅ r)]. (9.4a)

Analogno, kompleksni svetlosni vektori reflektovanog i prelomljenog talasa imaju oblik

ˇE ′ = E ′

m exp[−i(!′t− k′ ⋅ r + ®′)], (9.4b)

ˇE ′′ = E ′′

m exp[−i(!′′t− k′′ ⋅ r + ®′′)]. (9.4c)

Kako svi talasni vektori ki = k, k′, k′′ leze u talasnoj ravni xOy, bice

ki ⋅ r = kixx+ kiyy. (9.5)

Rezultujuca jacina polja u prvoj optickoj sredini je

ˇE1 =

ˇE +

ˇE ′, (9.6a)

tj.ˇE1 = Em exp[−i(!t− kxx− kyy)] + E ′

m exp[−i(!′t− k′xx− k′

yy + ®′)], (9.6b)

a u drugoj sredini, jacina polja je data sa

ˇE2 =

ˇE ′′, (9.7a)

tj.ˇE2 = E ′′

m exp[−i(!′′t− k′′xx− k′′

yy + ®′′)]. (9.7b)

115

Granicni uslov (9.3) tvrdi da y-komponente vektora E1 i E2 na granici dve opticke sredine

(tj. pri x = 0) moraju biti jednake. Isto vazi i u kompleksnom domenu. Dakle,

Emy exp[−i(!t− kyy)] +E ′my exp[−i(!′t− k′

yy+ ®′)] = E ′′my exp[−i(!′′t− k′′

yy+ ®′′)]. (9.8)

Da bi relacija (9.8) vazila u svakom trenutku t, mora biti

! = !′ = !′′ (9.9)

(tada se clanovi ”exp(−!t)” skrate). Dakle, kruzna ucestanost reflektovanog i prelomljenog

talasa jednaka je kru vznoj ucestanosti upadnog talasa. Na ovu cinjenicu smo vec vise puta

ukazivali u dosadasnjim razmatranjima.

Pod uslovom (9.9), u jednacini (9.8) preostaje y-zavisnost. Kako granicni uslov mora da

bude zadovoljen i za svako y, to mora da vazi

ky = k′y = k′′

y , (9.10)

tj. y komponente talasnih brojeva upadnog, reflektovanog i prelomljenog talasa medjusobno

su jednake. Relacija (9.10) daje vezu izmedju upadnog ugla (µ), ugla refleksije (µ′) i ugla

prelamanja (µ′′), vidi Fig. 67(b). Naime,

ky = k sin µ, k′y = k′ sin µ′, k′′

y = k′′ sin µ′′, (9.11a)

tako da jednacina (9.10) prelazi u

k sin µ = k′ sin µ′ = k′′ sin µ′′. (9.11b)

Vektori k i k′ imaju iste intezitete: k = ∣k∣ = !/v1, k′ = ∣k′∣ = !/v1, gde je v1 (fazna) brzina

svetlosti u prvoj sredini, dok je k′′ = ∣k′′∣ = !/v2 gde je v2 brzina svetlosti u drugoj sredini.

Dakle,!

v1sin µ =

!

v1sin µ′ =

!

v2sin µ′′. (9.11c)

Iz jednacine (9.11c) direktno slede zakoni refleksije i prelamanja u obliku

µ = µ′,sin µ

sin µ′′=

n2

n1

. (9.12b)

Dakle, dobijaju se isti zakoni kao i u okviru geometrijske optike (jednacine (6.24) i (6.27b)).

Zakon prelamanja svetlosti tvrdi da se svetlost pri prelasku iz opticki gusce sredine u

opticki redju sredinu (n1 > n2) otklanja od normale (µ′′ > µ), Fig. 69(a). Povecavanjem

116

FIG. 69: Refleksija i prelamanje u slucaju n1 > n2; debljina zraka odgovara energiji

upadnog ugla µ dolazi do jos brzeg povecavanja ugla µ′′, tako da pri nekoj vrednosti µ = µgr,

ugao µ′′ postaje jednak ¼/2, ka na Fig. 69(b). Na osnovu jednacine (9.12b), nalazimo da je

sin µgr = n2/n1, tj. granicni ugao µgr je

µgr = arcsinn2

n1

. (9.13)

Da bismo razmotrili sta se desava sa svetloscu pri upadnom uglu µ > µgr u posmatranom

slucaju n1 > n2, razmotrimo proces prelamanja i refleksije sa energijskog stanovista. Svaki

od talasa (upadni, prelomljeni i reflektovani) prenose odgovarajucu energiju (po jedinici

vremena). Energija upadnog talasa rasporedjuje se na reflektovanu i energiju koju nosi

prelomljeni talas. Pri porastu ugla µ, energija prelomljenog talasa sve brze opada, a energija

reflektovanog talasa raste, tako da pri µ ≥ µgr energija prelomljenog talasa pada na nulu,

kao na Fig. 69(b).

Moze se pokazati da pri µ > µgr svetlosni talas ipak prodire u drugu sredinu, ali samo do

dubine reda rastojanja talasne duzine ¸, a zatim se vraca u prvu sredinu. Ova pojava se

naziva totalna unutrasnja refleksija.

117

FIG. 70: Normalni upad na granicu dve opticke sredine

9.2. Amplitude i faze ravanskog talasa na granici dve opticke sredine

Nadjimo sada vezu amplituda i faza upadne, reflektovane i prelomljene svetlosti. Radi

jednostavnosti ogranicicemo se na slucaj normalnog upada ravanskog monohromatskog ta-

lasa na granicu dve opticke sredine (dva homogena, linearna i izotropna dielektrika).

Svetlosni talas pada normalno na granicnu ravan prostiruci se duz x-ose, pri cemu svet-

losni vektor E osciluje duz y-ose (Fig. 70(a)). Na osnovu zakona prelamanja i refleksije,

prikazanog jednacinom (9.12b), zakljucujemo da ce se i reflektovan i prelomljen talas pro-

stirati duz x-ose, kao na Fig. 70(b). Svetlosni vektori reflektovanog i prelomljenog talasa

oscilovace takodje duz y-ose: E = Eyey, E′ = E ′

yey, E′′ = E ′′

y ey. Na granici dve sredine vazi

jednacina (9.3):

Ey + E ′y = E ′′

y . (9.14)

Energija koja u jedinici vremena padne na jedinicu granicne povrsine dva dielektrika

jednaka je intezitetu P Pointingovog vektora upadnog talasa (vidi jednacinu (3.9b)). U

slucaju ravanskog monohromatskog talasa koji se brzinom vf1 = v1 prostire duz x-ose kroz

prvu sredinu (magnetne propustljivosti ¹ = ¹1 ≈ ¹0), na osnovu jednacine (3.11b) za

Pointingov vektor P imamo

P =1

¹0v1E2ex. (9.15a)

118

Kako je E2 = E2y , za intezitet vektora P nalazimo

P =1

¹0v1E2

y . (9.15b)

Upadna energija se (u jedinici vremena sa jedinice povrsine) prerasporedjuje na energiju

(P ′) koja se putem reflektovanog talasa emituje sa granicne povrsine i energiju P ′′ koja se

brzinom vf2 = v2 prenosi u drugu sredinu (magnetne propustljivosti ¹2 ≈ ¹0). Velicine P ′ i

P ′′ su date sa

P ′ =1

¹0v1E ′2

y , P ′′ =1

¹0v2E ′′2

y . (9.15c)

Zakon odrzanja energije daje

P = P ′ + P ′′, (9.16a)

odakle nalazimo1

¹0v1E2

y =1

¹0v1E ′2

y +1

¹0v2E ′′2

y . (8.16b)

Uocivsi da je n1 = c/v1 i n2 = c/v2, jednacinu (9.16b) mozemo da napisemo u obliku

n1E2y = n1E

′2y + n2E

′′2y . (9.16c)

Poslednja jednacina zajedno sa jednacinom (9.14) predstavlja sistem jednacina pomocu koga

se komponente E ′y i E ′′

y mogu izraziti u funkciji Ey. Zamenom izraza E ′y = E ′′

y − Ey u

jednacinu (9.16c), nalazimo: n1E2y = n1(E

′′y−Ey)

2+n2E′′2y , tj. n1E

′′2y −2n1EyE

′′y+n2E

′′2y = 0,

odakle je

E ′′y =

2n1

n1 + n2

Ey. (9.17a)

Dalje, zamenom izraza (9.17a) u jednacinu (9.14), nalazimo da je Ey+E ′y =

2n1

n1+n2Ey, odakle

dobijamo

E ′y =

n1 − n2

n1 + n2

Ey. (9.17b)

Na osnovu dobijenih relacija (9.17a,b), koje se nazivaju Frenelove formule, vidimo da se

upadni, reflektovani i propusteni talasi u tacki O ponasaju kao

E = Em cos(!t)ey (8.18a)

E ′ =(n1 − n2

n1 + n2

)Em cos(!t)ey (9.18b)

E ′′ =2n1

n1 + n2

Em cos(!t)ey, (9.18c)

119

odakle direktno dobijamo veze amplituda i faza posmatranih talasa. Na osnovu formula

(9.18a) i (9.18c) vidimo da su vektori E i E ′′ uvek istog pravca i smera: svetlosni vektori E

i E ′′ upadnog i propustenog talasa osciluju u fazi. Poredjenjem jednacina (9.18a) i (9.18b),

zakljucujemo da su pravci vektora E i E ′ isti (y-osa) ali da im smerovi mogu biti isti

(n1 > n2) ili suporotni (n1 < n2). Drugim recima, pri refleksiji svetlosti na granici opticki

gusce i opticki redje sredine ne dolazi do promene faze, dok se u slucaju refleksije na granici

opticki redje i opticki gusce sredine faza oscilovanja svetlosnog vektora menja za ¼. Isti

rezultati vaze i za kos upad na granicu dve opticke sredine. Ponasanje svetlosnih vektora u

tacki O tokom vremena prikazano je na Fig. 71(a,b).

Da bi se opisao odnos jacina svetlosti u reflektovanom i propustenom talasu u odnosu na

jacinu svetlosti u upadnom talasu (u tacki O uvode se dve bezdimenzione fizicke velicine: ko-

eficijent refleksije ½I i koeficijent transmisije ¿I . Koeficijent refleksije se definise kao kolicnik

jacine reflektovane svetlosti I ′ i upadne svetlosti I, a koeficijent transmisije kao kolicnik

jacine propustene svetlosti I ′′ i upadne svetlosti I:

½I =I ′

I, ¿I =

I ′′

I. (9.19a)

Jacina svetlosti ravanskog monohromatskog talasa, jednacina (3.26a) proporcionalna je sa

nE2m. Prema tome imamo: I ∼ n1E

2m, I

′ ∼ n1

(n1−n2

n1+n2

2E2

m

)2

, I ′′ ∼ n2

(2n1

n1+n2

)2

E2m, tako da

je

½I =

(n1 − n2

n1 + n2

)2

, ¿I =n2

n1

(2n1

n1 + n2

)2

. (9.19b)

Pri n1 = n2, kao sto se ocekuje, ½I = 0 i ¿I = 1. Drugi granicni slucaj nastaje pri refleksiji

svertlosti na ogledalu, kada n2 → ∞. Tada ½I → 1 i ¿I → 0. Kako je u ovom slucaju

n2 > n1, pri refleksiji na ogledalu faza talasa se menja za ¼.

Primetimo na kraju da formule izvedene u ovom odeljku (koje se odnose na normalni

upad) mogu da se primene i pri malom upadnom uglu. Ukoliko je upadni ugao veci,

pored komponente elektricnog polja koja lezi u upadnoj ravni (E∥ = Eyey) postoji i kom-

ponenta normalna na ovu ravan (E⊥ = Ez ez). Obe ove komponente trpe odgovarajuce

promene na granici dva dielektrika. Ponasanje ovih komponenti dato je odgovarajucim

opstim Frenelovim formulama. Do ovih formula se moze doci ako se uoci da je ukupna

jacina polja E = E∥ + E⊥, kao i da je jacina magnetnog polja H ⊥ E pri cemu je H ∼ E.

Navedimo ovde samo jednu interesantnu posledicu opstih Frenelovih formula. Naime,

kada svetlost pada pod specificnim uglom µ = µB na granicu opticki gusce i opticki redje

120

FIG. 71: Ponasanje velicina Ey, E′y i E′′

y tokom vremena u tacki O granicne povrsine dve opticke

sredine za (a) n1 > n2 i (b) n1 < n2.

sredine (Fig. 72) reflektovani talas ima samo normalnu komponentu (E ′ = E ′⊥) dok je pravac

prelomljenog talasa pod pravim uglom u odnosu na pravac reflektovanog talasa. Opisani

efekat se naziva Brusterov efekat. On je posluzio kao dokaz ”transferzalnog” karaktera

121

FIG. 72: Kos upad na granici dve opticke sredine; Brusterov ugao µ¯

elektromagnetnih talasa.

Primetimo na kraju, da se pri refleksiji svetlosti u realnim eksperimentalnim uslovima

pri upadu pod Brusterovim uglom nikada ne realizuje u potpunosti relacija E ′ = E ′⊥ vec se

javlja i komponenta E ′∥ koja je na specifican nacin povezana sa E ′

⊥.

§10 Polarizacija svetlosti

10.1. Osnovni tipovi polarizacije svetlosti

Elektromagnetni talas predstavlja specificno vremenski zavisno elektromagnetno polje.

Svakoj tacki prostora pridruzuje se par vektora E(r, t) i B(r, t). Cinjenica da se radi o

vektorskim velicinama povlaci za sobom potrebu da se razmatra stepen uredjenosti pravaca

ovih vektora u prostoru i vremenu. U slucaju da postoji ovakva uredjenost za talas se kaze

da je polarizovan. Razmotrimo prvo neke osnovne tipove polarizacije svetlosti.

Za svetlosni talas kazemo da je linearno polarizovan ako je u odgovarajucem polju pravac

vektora E (odnosno B) u svim tackama prostora isti i ne menja se sa vremenom. Kao

primer navedimo ravanski elektromagnetni talas ciji su vektori E i B dati jednacinama

122

FIG. 73: (a) Linearno i (b) elipticki polarizovan talas

(1.29a,b), prikazan na Fig. 73(a). Vrh vektora E kod ovog talasa u datoj tacki prostora

tokom vremena opisuje pravu liniju (paralelnu y-osi). Analogno, vrh vektora B opisuje

pravu liniju paralelnu z-osi. Napomenimo da je refleksija pod Brusterovim uglom nacin

dobijanja linearno polarizovane svetlosti (E ′ = E ′⊥).

Ukoliko vrh vektora E u datoj tacki prostora tokom vremena opisuje elipsu za talas se

kaze da je elipticki polarizovan, a u specijalnom slucaju kada elipsa predje u krug, talas je

kruzno (cirkularno) polarizovan. Na Fig. 73(b) prikazano je ponasanje vektora E tokom

vremena za elipticki polarizovan talas.

U principu svaki elipticki polarizovan talas moze se dobiti superpozicijom dva linearno

polarizovana monohromatska talasa istih ucestanosti koji se prostiru u istom pravcu (x-osa),

pri cemu su pravci njihovih polarizacija uzajamno ortogonalni. Neka je prvi talas polarizovan

duz y-ose, a drugi duz z-ose:

E1 = E10 cos(!t− kx)ey (10.1a)

E2 = E20 cos(!t− kx+ ±)ez, (10.1b)

gde je sa ± oznacena fazna razlika ova dva talasa.

Rezultujuca jacina polja

E = E1 + E2, (10.2)

predstavlja elipticki polarizovan talas. Da bismo to pokazali ispitajmo ponasanje vektora

E u yOz-ravni tokom vremena. U tom cilju nadjimo y i z projekcije ukupnog vektora E.

123

Imamo

Ey = E1y = E10 cos(!t− kx) (10.3a)

Ez = E2z = E20 cos(!t− kx+ ±). (10.3b)

Jednacine (10.3a,b) predstavljaju jednacinu krive linije f(Ey, Ez) = 0 zadate u param-

etarskom obliku gde je » = !t − kx parametar. Eliminacijom parametra dolazimo

do jednacine f(Ey, Ez) = 0. Iz jednacine (10.3a) imamo cos » = Ey/E10, tako da je

sin » =√

1− cos2 » =√

1− (Ey/E10)2. Jednacina (10.3b) ima oblik

Ez = E20 cos(» + ±) = E20 cos » cos ± − E20 sin » sin ±, (10.3c)

tj.

Ez = E20Ey

E10

cos ± − E20

√1−

(Ey

E10

)2

sin ±. (10.4a)

Ako izvrsimo pregrupisavanje clanova, poslednju jednacinu mozemo napisati u obliku

Ez

E20

− Ey

E10

cos ± = −√

1−(

Ey

E10

)2

sin ±. (10.4b)

Standardni oblik dobijene krive linije dobijamo kvadriranjem gornjeg izraza:(

Ez

E20

)2

−

2(

Ez

E20

)(Ey

E10

)cos ± +

(Ey

E10

)2

cos2 ± =

[1−

(Ey

E10

)2]sin2 ±, odakle vidimo da je

(Ez

E20

)2

− 2

(Ez

E20

)(Ey

E10

)cos ± +

(Ey

E20

)2

= sin2 ±. (10.5)

Na osnovu jednacine (10.5) vidimo da je dobijena kriva elipsa cije se ose ne poklapaju sa

koordinatnim osama. Vrh vektora E obilazi celu elipsu pri promeni parametra » = !t− kx.

Za specijalne vrednosti faznog parametra ± ova elipsa moze postati centrirana. Za ± =

¼/2 + n¼ gde je n = 0,±1,±2, ..., imacemo cos ± = 0 i sin ± = (−1)n, pa jednacina (10.5)

prelazi u (Ez

E20

)2

+

(Ey

E10

)2

= 1. (10.6)

Jednacina (10.6) predstavlja jednacinu elipse sa centrom u koordinatnom pocetku i osama

duz z i y-ose (Fig. 74). Poluose elipse su E20 i E10. U posmatranom slucaju komponente

Ey i Ez vektora E, prikazane jednacinama (10.3a,c), date su sa

Ey = E10 cos(!t− kx) (10.7a)

124

FIG. 74: Elipsa koju opisuje vrh vektora E

Ez = −E20(−1)n sin(!t− kx). (10.7b)

Da bismo videli kako se tokom vremena ponasa vrh vektora E, uocimo talasnu ravan

x = 0, na kojoj je Ey = E10 cos!t i Ez = −E20(−1)n sin!t. U pocetnom trenutku vremena

t = 0, imamo Ey = E10, Ez = 0 (tacka 1 na Fig. 74). Pri porastu t, Ey se smanjuje, dok

se Ez smanjuje za parno n a raste za neparno n (tacka 1 se krece ka tackama 2 ili 2′). Prvi

slucaj odgovara kretanju po elipsi u smeru suprotnom od kretanja skazaljke na satu, dok

je u drugom slucaju smer suprotan. Prvi slucaj odgovara tzv. levo elipticki polarizovanoj

svetlosti a drugi desno polarizovanoj svetlosti.

Ukoliko je fazna razlika ± = ¼/2 + n¼ gde je n = 0,±1,±2, ..., a pri E10 = E20 = E0,

jednacina (10.6) prelazi u jednacinu kruznice

E2z + E2

y = E20 , (10.8)

kada je odgovarajuci svetlosni talas kruzno polarizovan.

U slucaju da je ± = n¼, imali bi cos ± = (−1)n i sin ± = 0, kada se jednacina (10.5) svodi

na (Ez

E20

)2

− 2

(Ez

E20

)(Ey

E10

)(−1)n +

(Ey

E10

)2

= 0, (10.9a)

tj.Ez

E20

− (−1)n(

Ey

E10

)= 0, (10.9b)

125

FIG. 75: Prave linije koje opisuje vrh vektora E

sto predstavlja jednacinu prave linije

Ey = (−1)nE10

E20

Ez. (10.10)

U posmatranom slucaju rezultujuci elektromagnetni talas je linearno polarizovan. Na Fig.

75(a) prikazan je slucaj kada je n paran broj, a na Fig. 75(b) slucaj neparnog n. U talasnoj

ravni (x = 0) komponente Ey i Ez (jednacine (10.3a,c)) menjaju se u toku vremena po

sledecem zakonu:

Ey = E10 cos!t, Ez = E20(−1)n cos!t. (10.10)

U trenutku t = 0, bice Ey = E10 i Ez = E20(−1)n, tacka 1 na Fig. 75. Sa porastom vremena

vrh vektora E seta po prikazanim pravim linijama izmedju tacaka 1 i 2.

Dakle, kod polarizovane svetlosti vrh vektora E u talasnoj ravni (x = 0) u toku vremena

opisuje elipsu koja pri odredjenim vrednostima faze ± i amplituda E10 i E20 moze da se

degenerise u kruznicu ili pravu liniju. Ponasanje vektora E ima regularan karakter i kada se

posmatra njegov raspored u prostoru, u datom trenutku vremena t, na primer u trenutku

t = 0. Neka je ± = ¼/2 + n¼, kada je cos ± = 0 a sin ± = (−1)n, kada jednacine (10.3a) i

(10.3c) u trenutku t = 0 dobijaju sledeci oblik:

Ey = E10 cos(kx), Ez = E20(−1)n sin(kx). (10.11)

Variranjem x dobijamo krivu liniju prikazanu na Fig. 76. Vektor E uvek lezi u talasnoj

126

FIG. 76: Zavojnica namotana na elipsoidni cilindar koju opisuje vrh vektora vecE

ravni paralelnoj yOz-ravni, a njegov kraj na prikazanoj krivoj liniji.

U ovom odeljku videli smo kako se superpozicijom dva linearno polarizovana talasa dobija

elipticki polarizovan talas. Moze se pokazati da vazi i obrnuta ”teorema”. Elektromagnetni

talas sa proizvoljnom polarizacijom moze biti predstavljen u obliku superpozicije dva lin-

earno polarizovana talasa cije su ravni oscilovanja elektricnog vektora uzajamno ortogonalne.

Drugim recima, svetlost (elektromagnetni talas) poseduje dva nezavisna stanja polarizacije.

10.2. Delimicna polarizacija. Matrica polarizacije i stepen polarizovanosti

Polarizovanost svetlosti smo definisali kao uredjenost u vremenu (i prostoru) stanja oscilo-

vanja svetlosnog vektora E. U odeljku 10.1 definisali smo tri osnovna tipa stroge uredjenosti.

Da bi se opisala delimicna polarizacija uvodi se pojam: stepen polarizovanosti. Pri defin-

isanju ove fizicke velicine uzima se u obzir cinjenica da su merljive karakteristike svetlosnog

talasa samo srednje prostorno-vremenske velicine.

Osnovna fizicka velicina koja opisuje stepen polarizovanosti talasa je tzv. matrica ko-

herencije ℑ, ciji su elementi srednje vrednosti karakteristicnih funkcija polja. Za talas koji

se prostire duz x-ose, potrebno je opisati stepen uredjenosti komponenti Ey i Ez vektora E

127

u yOz-ravni. Matrica ℑ je tada definisana kao komleksna matrica:

ℑ =1

2

⎛⎝ < EyE

∗y > < EyE

∗z >

< EzE∗y > < EzE

∗z >

⎞⎠ =

⎛⎝ ℑ11 ℑ12

ℑ21 ℑ22

⎞⎠ , (10.12)

gde su Ey i Ez komponente kompleksnog svetlosnog vektoraˇE duz y i z ose:

ˇE =

ˇEyey +

ˇEez. (10.13)

Navedimo neke od osnovnih osobina matrice koherencije ℑ. Po samoj definiciji, vidimo

da je ona ermitska, tj.

ℑ† = ℑ, (10.14a)

pri cemu je matrica ℑ† definisana sa

(ℑ†)ij = ℑ∗ji. (10.14b)

Vazna osobina ermitskih matrica je da imaju realne determinante. Trag Trℑ matrice ℑ,(suma njenih dijagonalnih elemenata) je:

Trℑ =1

2[< EyE

∗y > + < EzE

∗z >]. (10.15)

Vidimo da je i Trℑ realna velicina.

Matrica ℑ podeljena sa svojim tragom je po definiciji tzv. matrica polarizacije ½:

½ =ℑ

Trℑ . (10.16)

Matrica ½ ima jedinicni trag, pa u tom smislu predstavlja ”normiranu” matricu koheren-

cije. Stepen polarizabilnosti ℘ posmatrane svetlosti (elektromagnetnog talasa) definise se

relacijom

℘ = 1− 4det½. (10.17a)

Kako je det½ = 0 kada je svetlost polarizovana (vidi premere 1 i 2 ovog odeljka), za-

klju7cujemo da je stepen polarizovanosti ovih talasa ℘ = 1. Za delimicno polarizovane

talase det½ > 0 i ima utoliko vecu vrednost ukoliko je uredjenost vektora E manja. Dakle,

sto je talas ”manje” polarizovan, to je stepen polarizovanosti ℘ manji (videti primer 3, ovog

odeljka). Za potpuno nepolarizovanu svetlost bice ℘ = 0. Dakle, za delimicno polarizovanu

svetlost

0 ≤ ℘ ≤ 1. (10.17b)

128

Primer 1

Nadjimo prvo stepen polarizovanosti ℘ za linearno polarizovan (monohromatski talas).

Neka se talas prostire duz x-ose i neka je polarizovan duz y-ose. Tada je vektor E dat

jednacinom (10.1a):

E = E0 cos(!t− kx)ey. (10.18a)

Dakle, u razmatranom primeru imamo

Ey = E0 exp[−i(!t− kx)], Ez = 0, (10.18b)

tako da na osnovu jednacine (9.12) za matricu koherencije ℑ nalazimo:

ℑ =1

2

⎛⎝ E2

0 0

0 0

⎞⎠ =

1

2E2

0

⎛⎝ 1 0

0 0

⎞⎠ . (10.20a)

Trag matrice ℑ jednak je Trℑ = 12E2

0 , tako da je matrica polarizacije ℘ data sa

℘ =

⎛⎝ 1 0

0 0

⎞⎠ . (10.20b)

Determinanta matrice polarizacije je

det½ = 0, (10.20c)

tako da jednacina (9.17a) za stepen polarizovanosti ℘ linearno polarizovane svetlosti daje

sledecu vrednost:

℘ = 1. (10.21)

Primer 2

Drugi po slozenosti slucaj polarizovane svetlosti je kruzno polarizovana svetlost. Kom-

ponente Ey i Ez su tada date jednacinama (10.7a,b):

Ey = E10 cos(!t− kx) (9.22a)

Ez = E20(−1)n cos(!t− kx+

¼

2

), (10.22b)

u kojima je E10 = E20 = E0. Dakle, komponente Ey i Ez koje ulaze u definiciju matrice

koherencije sada su

Ey = E0 exp[−i(!t− kx)], Ez = E0(−1)n exp[−i

(!t− kx+

¼

2

)], (10.22c)

129

tako da je, na osnovu jednacine (10.12),

ℑ =1

2

⎛⎝ E2

0 iE20(−1)n

−iE20(−1)n E2

0

⎞⎠ =

1

2E2

0

⎛⎝ 1 i(−1)n

−i(−1)n 1

⎞⎠ . (10.23a)

Kako je Trℑ = E20 , za matricu polarizacije, definisanu jednacinom (10.16), imamo

½ =1

2

⎛⎝ 1 i(−1)n

−i(−1)n 1

⎞⎠ . (10.23b)

Determinanta matrice polarizacije

det½ =1

4(1 + i2) = 0, (10.23c)

tako da je na osnovu jednacine (10.17a) stepen polarizovanosti ℘ kruzno polarizovane svet-

losti

℘ = 1. (10.24)

Primer 3

Posmatrajmo sada delimicno polarizovan kvazimonohromatski talas koji predstavlja su-

perpoziciju dva linearno polarizovana kvazi-monohromatska talasa: E = E1 + E2, gde su

talasi E1 i E2 polarizovani duz y i z ose:

E1 = A1(x, t) cos(!t− kx+ fg1(x, t))ey (10.25a)

E2 = A2(x, t) cos(!t− kx+ fg2(x, t))ez. (10.25b)

Odgovarajuci kompleksne komponente Ey i Ez sada su date sa

Ey = A1(x, t) exp[−i(!t− kx+ fg1)] (10.26a)

Ez = A2(x, t) exp[−i(!t− kx+ fg2)]. (10.26b)

Ukoliko su velicine A1, A2 i Δf = fg2−fg1 ponasaju kao slucajne velicine koje se potpuno

neregularno menjaju u oblasti usrednjavanja, vrh vektora E opisivace (na primer u talasnoj

ravni xOy), neregularnu krivu shematski prikazanu na Fig. 77; posmatrani talas bice pot-

puno nepolarizovan. Ovako se, na primer, ponasa prirodna svetlost. Ukoliko velicine A1,

A2 i Δf = fg2 − fg1 nisu slucajne velicine, svetlost ce biti delimicno polarizovana, dok pri

konstantnim, vrednostima svih ovih velicina ona postaje polarizovana (slucaj razmatran u

predhodnom odeljku).

130

FIG. 77: Nepolarizovan (kvazi-monohromatski) talas, shematski

U posmatranom primeru, matrica ℑ je

ℑ =1

2

⎛⎝ < A2

1 > < A1A2eiΔf >

< A1A2e−iΔf > < A2

2 >

⎞⎠ . (10.27a)

Pretpostavimo dalje, radi jednostavnosti da je A1 = A2 = A0, kao i da je A0 ≈ const u

oblasti usrednjavanja. U tom slucaju matrica koherencije ima oblik

ℑ =1

2A2

0

⎛⎝ 1 < eiΔf >

< e−iΔf > 1

⎞⎠ . (10.27b)

Trag ove matrice je jednak Trℑ = A20, tako da na osnovu jednacina (10.16) za matricu

plarizacije ½ imamo

½ =1

2

⎛⎝ 1 < eiΔf >

< e−iΔf > 1

⎞⎠ . (10.28a)

Determinanta matrice ½ je:

det½ =1

4[1− < eiΔf >< e−iΔf >], (10.28b)

tako da za stepen polarizovanosti ℘, definisan jednacinom (10.17a), nalazimo

℘ =< eiΔf >< e−iΔf >= ∣ < eiΔf > ∣2. (10.29a)

Kako je 0 ≤ ∣ < eiΔf > ∣2 ≤ 1, za stepen polarizovanosti delimicno polarizovane svetlosti,

nalazimo

0 ≤ ℘ ≤ 1. (10.29b)

131

Dakle, delimicno polarizovana svetlost ima stepen polarizovanosti iz intervala [0, 1]. Kod

potpuno nepolarizovane svetlosti bice ∣ < eiΔf > ∣2 = 0, pa je ℘ = 0, a za polarizovanu

svetlost, kada Δf = const, imamo < eiΔf >= eiΔf , tako da je ∣ < eiΔf > ∣2 = 1, pa je

℘ = 1.

10.3. Merenje stepena polarizovanosti svetlosti

Stepen polarizovansti svetlosti je u potpunosti poznat ako je poznata matrica koherencije,

tj. ako su poznate vrednosti ℑ11 =< EyE∗y > /2 =< ∣Ey∣2 > /2, ℑ12 =< EyE

∗z > /2, ℑ21 =

< EzE∗y >/2 =< EyE

∗z >∗ /2 i ℑ22 =< EzE

∗z > /2 =< ∣Ez∣2 > /2. Dakle, treba odrediti 4

nezavisne relane velicine: < ∣Ey∣2 >,Re < EyE∗z >, Im < EyE

∗z > i < ∣Ez∣2 >. U principu

za ovo je potrebno izvrsiti cetiri nezavisna merenja.

Uredjaji koji se koriste pri odredjivanju ovih parametra su polarizatori. Svaki polarizator

se karakterise osom slobodnog propustanja e; naime, on propusta samo deo elektromag-

netnog talasa (svetlosti) koji pada na njega i to onaj deo koji je polarizovan u pravcu ose

polarizatora. U principu polarizator (simbolicki Pe) se ponasa kao ”projektor”:

PeE = (E ⋅ e)e. (10.30)

Razmotrimo sada nacin merenja stepena polarizovanosti delimicno polarizovanog kvazi-

monohromatskog talasa koji se prostire duz x-ose. Ovakav talas se uvek moze razloziti na

dva linearno polarizovana talasa, tj.

ˇE = Eyey +

ˇEz ez, (10.31a)

gde su Ey i Ez dati jednacinama (10.26a,b):

Ey = A1 exp[−i(!t− kx+ fg1)], Ez = Az exp[−i(!t− kx+ fg2)], (10.31b)

Odgovarajuca matrica koherencije data je izrzom (10.27a), na osnovu koga zakljucujemo da

je u posmatranom slucaju ova matrica poznata ako izmerimo velicine

ℑ11 =1

2< A2

1 >, ℑ22 =1

2< A2

2 >, (10.32a)

Reℑ12 =1

2Re < A1A2e

iΔf >, Imℑ12 =1

2Im < A1A2e

iΔf > . (10.32b)

132

Ovakva merenja se svode na merenja jacine svetlosti posle prolaska kroz specificno postavl-

jene polarizatore.

Podsetimo se da je jacina svetlosti definisana jednacinom (3.18) kao intezitet srednje

vrednosti Pointingovog vektora:

I = ∣ < E × H > ∣. (10.33a)

Za posmatrani elektromagnetni talas vektori E i H su ortogonalni i osciluju u fazi, pri cemu

je kEm = !Bm, tako da je (za ¹ = ¹0)

H =1

c¹0

nE (10.33b)

(vidi izvodjenje jednacine (3.25)). Dakle

I =1

c¹0

n < E2 >=1

c¹0

n < ReˇE ⋅ Re ˇE > (10.34a)

Koristeci relaciju ReˇE = 1

2(ˇE +

ˇE∗), imamo

I =1

4c¹0

n <(ˇE +

ˇE∗

)⋅(ˇE +

ˇE∗

)>=

1

4c¹0

n[< E2 > +2 <

ˇE ⋅ ˇE∗ > + < E∗2 >

].

(10.34b)

Kako jeˇE ⋅ ˇE∗ = ∣E∣2, i vazi E2 + E∗2 = 2ReE2, nalazimo

I =1

2c¹0

n[Re < E2 > + < ∣E∣2 >]. (10.34c)

Propustimo sada svetlost kroz sistem pogodnih mernih uredjaja. U prvom merenju po-

larizator se postavlja duz y-ose (Fig. 78). Po izlasku iz njega svetlost je polarizovana duz

y-ose, a svetlosni vektor u kompleksnom obliku je dat sa

PeyˇE = (

ˇE ⋅ ey)ey = Eyey. (10.35)

Po izlasku iz polarizatora meri se jacina svetlosti I1. Na osnovu jednacine (10.34c) ova jacina

svetlosti je

I1 =1

2c¹0

n[Re < E2y > + < ∣Ey∣2 >], (10.36a)

gde je velicina Ey data jednacinom (10.31b). Dakle, ako uzmemo u obzir da su amplitude

A1 i A2 kao i faze fg1 i fg2 sporo promenjive funkcije koordinata i vremena, tako da se u

procesu usrednjavanja mogu smatrati konstantnim, nalazimo:

I1 =1

2c¹0

n[A2

1Re(e−2ifg1 < e−2i(!t−kx) >) + A2

1

]. (10.36b)

133

FIG. 78: Prvo merenje: meri se jacina svetlosti I1 posle prolaska kroz polarizator Pey

U opstem slucaju usrednjavanje koje se javlja u izrazu (10.36b) za jacinu svetlosti je

prostorno-vremenskog tipa; ovo usrednjavanje se svodi na srednju vrednost po periodu T za

x = x0, vidi jednacinu (3.19b):

< e−2i(!t−kx) >≈ e2ikx0 < e−2i!t >T= 0, (10.36c)

tako da je

I1 =1

2c¹0

nA21 ≈

1

2c¹0

n < A21 > . (10.37a)

Na osnovu izraza (10. 32a) vidimo da je

ℑ11 =c¹0

nI1, (10.37b)

tako da se merenjem I1 odredjuje matricni element ℑ11 matrice koherencije.

U drugom merenju meri se jacina svetlosti I2 posle prolaska svetlosti kroz polarizator Pez

cija je osa postavljena duz z-ose, kao na Fig. 79. Sada imamo

PezˇE = Ez ez, (10.38)

tako da je jacina svetlosti I2 data jednacinom (10.36a) u kojoj je y → z. Kako je Ez dato

sa jednacinom (10.31b), za jacinu svetlosti I2, nalazimo izraz (10.37a) u kome je A1 → A2.

Dakle merenjem I2 direktno nalazimo matricni element ℑ22 matrice koherencije:

ℑ22 =c¹0

nI2. (10.39)

134

FIG. 79: Drugo merenje: meri se jacina svetlosti I2 posle prolaska kroz polarizator Pez

FIG. 80: Trece merenje: meri se jacina svetlosti I3 posle prolaska kroz polarizator ℘ey

Trece merenje se vrsi sa polarizatorom cija je osa postavljena u yOz-ravni pod uglom od

45∘ u odnosu na y-osu (Fig. 80). Svetlost koja prodje kroz polarizator Pey′ polarizovana je

u y′-pravcu, a njen svetlosni vektor u kompleksnom obliku je

Pey′ˇE = (

ˇE ⋅ ey′)ey′ = Ey′ ey′ . (10.40)

Po analogiji sa jednacinom (10.36a), jacina svetlosti I3 posle prolaska kroz ovaj polarizator

data je sledecim izrazom:

I3 =1

2c¹0

n[Re < E2y′ > + < ∣Ey′∣2 >]. (10.41a)

135

Kako jeˇE = Eyey + Ez ez, bice Ey′ = E ⋅ ey′ = Eyey ⋅ ey′ + Ez ez ⋅ ey′ . Uocivsi da je

ey ⋅ ey′ = ez ⋅ ey′ = cos(¼/4) = 1/√2, nalazimo

Ey′ =1√2(Ey + Ez), (10.41b)

tj. zamenom izraza za Ey i Ez iz jednacine (10.31),

E ′y =

1√2(A1e

−ifg1 + A2e−ifg2 )e−i(!t−kx). (10.41c)

Konacno, za jacinu svetlosti I3, imamo

I3 =1

4c¹0

n{Re[(A1e−ifg1 +A2e

−ifg2 ) < e−i(!t−kx) >]+ < ∣A1e−ifg1 +A2e

−ifg2 ∣2 >}, (10.42a)

tj. koristeci jednacinu (10.36c),

I3 =1

4c¹0

n < ∣A1e−ifg1 + A2e

−ifg2 ∣2 > . (10.42b)

Kako je ∣z1 + z2∣2 = ∣z1∣2 + ∣z2∣2 + 2Re(z∗1z2), za jacinu svetlosti I3 imamo

I3 =1

4c¹0

n[< A21 > + < A2

2 > +2Re < A1A2eiΔf >]. (10.42c)

Kako su velicine < A21 > i < A2

2 > vec poznate, na osnovu merenja jacina svetlosti I1 i I2,

poznavanje jacine svetlosti I3 omogucava da se nadje Reℑ12:

Reℑ12 =1

2Re < A1A2e

iΔf >=c¹0

nI3 − 1

4< A2

1 > −1

4< A2

2 > . (10.43a)

Dakle, koristeci relaciju (10.37a)za jacinu svetlosti I1, i analognu za I2, nalazimo

Reℑ12 =c¹0

n

(I3 − 1

2I1 − 1

2I2

). (10.43b)

Da bi kompletirali matricu koherencije treba jos izmeriti Imℑ12 = Im < A1A2eiΔf > /2.

U ovom, cetvrtom merenju, koristi se tzv. ”plocica ¸/4”, koja se postavlja ispred polarizatora

Pey′ . Ova plocica ima dve ose polarizovanja e1 i e2 i moze da napravi faznu razliku izmedju

komponenti talasa duz ovih osa. Ako ovu plocicu oznacimo simbolicki sa Pe1e2 , imamo

Pe1e2ˇE = (

ˇE ⋅ e1)e1 + e

i¼2 (

ˇE ⋅ e2)e2. (10.44a)

Ako se plocica ¸/4 postavi tako da su e1 = ey i e2 = ez, kao Fig. 81, onda svetlost svetlosnog

vektora (u kompleksnom obliku)ˇE = Eyey + Ez ez po prelasku kroz plocicu prelazi u

Pey ezˇE = Eyey + e

i¼2 Ez ez. (10.44b)

136

FIG. 81: Cetvrto merenje

Sada na polarizator Pey′ pada svetlost svetlosnog vektora Eyey + (iEz)ez, gde su Ey i Ez

dati sa jednacinom (10.31b); za iEz imamo

iEz = A2 exp[−i(!t− kx+ fg2 −¼

2)], (10.45)

sto se od Ez razlikuje samo po fazi. Dakle kada se posle prolaska kroz polarizator Pe′y meri

jacina svetlosti I4, dobicemo vrednost datu jednacinom (10.42c) u kojoj umesto Δf stoji

Δf − ¼/2:

I4 =1

4c¹0

n[< A21 > + < A2

2 > +2Re < A1A2eiΔfe−i¼

2 >]. (10.46a)

Kako je Re(ze−i¼/2) = Re(−iz) = Imz, imamo

I4 =1

c¹0

n1

4[< A2

1 > + < A22 > +2Im < A1A2e

iΔf >]. (10.46b)

Po analogiji sa jednacinom (10.43b), sada imamo

Imℑ12 =c¹0

n

(I4 − 1

2I1 − 1

2I2

). (10.47)

Jednacinama (10.37b), (10.39), (10.43b) i (10.47) u potpunosti je odredjena matrica ko-

herencije, a na osnovu nje se moze odrediti stepen polarizovanosti ℘.

137

§11 Interferencija svetlosti

11.1. Fenomen interferencije

Interferencija svetlosti je pojava povezana sa preraspodelom jacine svetlosti u prostoru i

u vezi je sa superpozicijom svetlostnih (elektromagnetnih) talasa. Kako je jacina svetlosti

jednaka srednjoj vrednosti energije koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrsine

normalne na pravac prostiranja svetlosti (vidi odeljak 3.5), interferencija se moze posmatrati

kao preraspodela svetlosnog fluksa, definisanog jednacinama (3.18) i (3.9).

Najjednostavniji slucaj imamo pri superpoziciji dva svetlosna talasa. Ukupna jacina polja

u proizvoljnoj tacki prostora (u datom trenutku) tada je jednaka

E(r, t) = E1(r, t) + E2(r, t), (11.1)

tako da je jacina svetlosti I, u posmatranoj tacki prostora (i datom trenutku vremena) data

jednacinom (10.34a):

I =1

c¹0

n < E2 >= const ⋅ n < E ⋅ E > . (11.2a)

gde smo uveli oznaku const = 1/(c¹0). Zamenom jednacine (11.1) u (11.2a), nalazimo

I = const ⋅ n < (E1 + E2) ⋅ (E1 + E2) >, (11.2b)

odnosno

I = const ⋅ n[< E21 > + < E2

2 > +2 < E1 ⋅ E2 >]. (11.2c)

Kako je u polju svetlosnog vektora Ei jacina svetlosti Ii u posmatranoj tacki prostora (i

datom trenutku)

Ii = const ⋅ n < E2i >, i = 1, 2 (11.3)

na osnovu jednacine (11.2c) nalazimo da je

I = I1 + I2 + I12, (11.4a)

gde je

I12 = const ⋅ 2n < E1 ⋅ E2 > . (11.4b)

Vidimo da jacina svetlosti I nije prost zbir jacina svetlosti I1 i I2 vec se javlja i dodatni

clan I12, tzv. interferencioni clan (Fig. 82). Po pravilu interferencioni clan I12 ima razlicite

138

FIG. 82: Shematski prikaz interferencije

vrednosti u razlicitim tackama prostora, tako da se u prostoru stvara preraspodela jacine

svetlosti. Na nekom zaklonu unetom u posmatrano polje pojavljuju se svetle i tamne oblasti

koje mogu da obrazuju pruge, koncentricne prstenove... Ovakva slika naziva se interferen-

ciona slika.

Interferencioni clan dat jednacinom (11.4b), definisan je preko srednje vrednosti

< E1 ⋅ E2 >, pri cemu se usrednjavanje vrsi po tzv. vremenu merenja Δ¿ (vidi jednacinu

(3.19b)):

I12(r, t) = const ⋅ 2n 1

Δ¿

∫ t+Δ¿/2

t−Δ¿/2

E1 ⋅ E2dt. (11.5)

Dakle, za registrovanje interferencije potrebno je neko vreme Δ¿ . Vrednost interferencionog

clana I12(r, t), medjutim, ne zavisi samo od ovog vremena. Naime, i sami izvori svetlosti

mogu menjati svoj karakter u toku vremena, sto utice i na karakter polja E1 i E2. Tako,

na primer, u toku vremenskog intervala Δt (oko trenutka t) svetlosni talasi E1 i E2 mogu

imati iste ucestanosti, a izvan ovog intervala razlicite. ”Saglasni” svetlosni talasi koji se

pojavljuju u toku vremenskog intervala Δt nazivaju se koherentni talasi, a vreme Δt je

tzv. vreme koherencije. Oba vremena Δ¿ i Δt, kao karakteristike izvora i optickog sistema

pomocu koga se postize interferencija, uticu na stabilnost interferencione slike. Naime,

interferenciona slika je vidljiva samo ako je vreme merenja Δ¿ manje od vremena koherencije

Δt:

Δ¿ < Δt, (11.6)

tj. interferencija je moguca samo dok su talasi koherentni u toku merenja.

Ako su u toku vremena koherentnosti oba talasa E1 i E2 monohromatska i istih ucestanosti

!, i rezultujuci talas E bice monohromatski. U tom slucaju se usrednjavanje po vremenu

139

FIG. 83: (a) Interferencija dva monohromatska talasa polarizovana u istom pravcu i (b) u dva

razlicita pravca

svodi na usrednjavanje po periodu Δ¿ = T , tako da na osnovu jednacine (3.25b) za jacinu

svetlosti imamo

I = const ⋅ n ⋅ 12∣ ˇE∣2. (11.7)

Primetimo, na kraju da se interferencija ne uspostavlja u celom prostoru vec samo u

jednom njegovom delu. Ova oblast se naziva polje (prostor) interferencije.

11.2. Interferencija dva monohromatska talasa istih ucestanosti

Pretpostavimo da u nekoj tacki M polja dolazi do preklapanja talasnih polja dva

monohromatska talasa istih ucestanosti !. Pretpostavimo takodje da su oba talasa linearno

polarizovana.

Razmotrimo prvo slucaj kada su oba talasa linearno polarizovana duz iste, y-ose. Tada

su kompleksni svetlosni vektori komponentnih polja (u tacki M i trenutku t), Fig. 82(a),

ˇE1(r, t) = A1(r) exp[−i(!t− k1 ⋅ r + '01)]ey (11.8a)

ˇE2(r, t) = A2(r) exp[−i(!t− k2 ⋅ r + '02)]ey, (11.8b)

tj. talasi 1 i 2 stizu u tacku M sa koordinatom r u trunutku t sa amplitudama A1(r) i A2(r)

i sa fazama

'1 = k1 ⋅ r − '01, '2 = k ⋅ r − '02. (11.9)

140

Kao rezultat superpozicije talasa, formira se ukupni talasni vektorˇE =

ˇE1+

ˇE2, rezultujuceg

monohromatskog talasa:ˇE = (A1e

i'1 + A2ei'2)e−i!tey. (11.10)

Jacina svetlosti u tacki M data je jednacinom (11.7):

I = const ⋅ n ⋅ 12∣A1e

i'1 + A2ei'2∣. (11.11a)

Kako je ∣z1 + z2∣2 = ∣z1∣2 + ∣z2∣2 + 2Re(z∗1z2), bice

I = const ⋅ n ⋅ 12[A2

1 + A22 + 2A1A2 cos('2 − '1)]. (11.11b)

Uocivsi da su

Ii = const ⋅ n ⋅ 12A2

i , i = 1, 2 (11.12)

jacine svetlosti od komponentnih polja, imamo

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos ±, (11.13a)

gde je

± = '2 − '1 (11.13b)

fazna razlika posmatrana dva talasa u posmatranoj tacki polja interferencije. U razmatgra-

nom slucaju interferencioni clan je

I12 = 2√

I1I2 cos ± = const. (11.14)

Naime dva monohromatska talasa istih ucestanosti i polarizovana u istom pravcu predstavl-

jaju koherentne talase sa beskonacnim vremenom koherencije. Zbog toga je interferenciona

slika stabilna.

U onim tackama prostora u kojima je cos ± > 0, ukupna jacina svetlosti I ce biti veca od

I1+ I2, a u tackama u kojima je cos ± < 0, I ce biti manje od I1+ I2. Zbog toga pri slaganju

posmatranih talasa dolazi do preraspodele jacine svetlosti u prostoru. Na nekim mestima

nastaju maksimumi Imax, a na drugim minimumi Imin jacine svetlosti:

Imax = I/cos ±=1 = (√

I1 +√

I2)2 (11.15a)

Imin = I/cos ±=−1 = (√

I1 −√

I2)2. (11.15b)

141

U slucaju interferencije talasa istih amplituda (A1 = A2), jacine svetlosti I1 i I2 bile bi

medjusobno jednake (I1 = I2 = I0) i tada efekat interferencije postaje izrazit. Jacina

svetlosti I, data jednacina (11.13a), tada ima sledecu vrednost:

I = 2I0(1 + cos ±) = 4I0 cos2 ±

2, (11.16)

tako da je Imax = 4I0, a Imin = 0.

U opstem slucaju kada talasi koji interferiraju poseduju razlicite ose polarizacije (Fig.

83(b)) okarakterisane ortovima e1 i e2, imali bi

ˇE1 = A1(r) exp[−i(!t− k1 ⋅ r + '01)]e1 (11.17a)

ˇE2 = A2(r) exp[−i(!t− k2 ⋅ r + '02)]e2, (11.17b)

tako da je rezultujuci svetlosni vektor

ˇE = (A1e

i'1 e1 + A2ei'2 e2)e

−i!t. (11.17c)

Ponovo se dobija monohromatski talas, tako da je jacina svetlosti data jednacinom (11.7):

I = const ⋅ n ⋅ 12∣A1e

i'1 e1 + A2ei'2 e2∣2. (11.18a)

Vertikalne crte oznacavaju istovremeno i moduo kompleksnog broja i intezitet vektora (vidi

jednacinu 3.26b). Dakle,

I = const ⋅ n ⋅ 12

(A1e

i'1 e1 + A2ei'2 e2

) ⋅ (A1e−i'1 e1 + A2e

−i'2 e2), (11.18b)

tj.

I = const ⋅ n ⋅ 12

[A2

1 + A22 + A1A2(e

i± + e−i±)(e1 ⋅ e2)], (11.18c)

odnosno

I = I1 + I2 + 2√

I1I2(e1 ⋅ e2) cos ± (11.19)

Interferencioni clan u jednacini (11.19) zavisi od e1 ⋅ e2. Prema tome, talasi linearno

polarizovani duz iste ose (e1 ⋅ e2 = 1) maksimalno interferiraju, dok talasi polarizovani pod

pravim uglom (e1 ⋅ e2 = 0) uopste ne interferiraju.

Primer 1

Nadjimo prvo faznu razliku ± pri interferenciji svetlosti od dva tackasta izvora S1 i S2

koji su izvori sfernih talasa.

142

FIG. 84: Interferencija dva sferna talasa

Neka tackasti izvori S1 i S2 zrace monohromatske talase istih ucestanosti !, Fig. 84.

Pretpostavicemo takodje da u trenutku vremena t = 0 talasi u izvorima osciluju u fazi. U

nekom trenutku t i tacki M na rastojanju s1 od izvora S1 i na rastojanju s2 od izvora S2,

svetlosni talasi imaju sledeci oblik:

ˇE1 = A1(r) exp[−i(!t− k1s1)]e1 (11.20a)

ˇE2 = A2(r) exp[−i(!t− k2s2)]e2, (11.20b)

Za faznu razliku ± ovih talasa imamo ± = k2s2− k1s1. Ako se talasi prostiru kroz homogenu

opticku sredinu indeksa prelamanja n, kao na Fig. 84, talasni brojevi k1 = !/v = !n/c,

i k2 = !n/c bice medjusobno jednaki k1 = k2 = k. Uvodeci putnu razliku Δ = s2 − s1,

nalazimo

± = kΔ,Δ = s2 − s1. (11.20c)

Ukoliko talasi stizu u tacku M posle visestrukih refleksija, kao na Fig. 85, onda formula

(11.20c) mora da se modifikuje. Naime, pri svakoj refleksiji od opticki gusce sredine (u

odnosu na sredinu kroz koju se prostire talas), menja se faza talasa za ¼ (vidi jednacinu

(9.18b) i Fig. 71), sto doprinosi ukupnoj faznoj razlici ±'. U tom slucaju, fazna razlika ± je

data sa

± = kΔ+ ±', Δ = s2 − s1 (11.20d)

pri cemu su s1 i s2 ukupni putevi zraka 1 i 2 od S1 do M i od S2 do M .

Ukoliko se zraci kroz opticki sistem prostiru bez prelamanja, mozemo smatrati da su

zadovoljeni uslovi za vazenje relacije (6.32). U tom slucaju vazi jednacina (6.33b), tako da

143

FIG. 85: Interferencija dva sferna talasa posle visestrukih refleksija

FIG. 86: Interferencija dva ravanska talasa

se jacina svetlosti I ne menja duz zraka. U ovakvim slucajevima I1 i I2 u jednacini (11.19)

mogu da se poistovete sa jacinama svetlosti koje izrace izvori 1, odnosno 2 (u datom pravcu)

ili sa jacinama svetlosti duz zraka 1 tj. 2.

Primer 2

Posmatrajmo sada slucaj interferencije dva ravanska talasa koji se prostiru u pravcima

odredjenim talasnim vektorima k1 i k2 kao na Fig. 86. U ovom slucaju pojam putne razlike

se ne poklapa sa razlikom puteva zraka.

Neka su oba talasa monohromatska istih ucestanosti !. Pretpostavimo takodje da pos-

matrani talasi imaju iste faze u koordinatnom pocetku O. U nekom trenutku t i tacki M

144

vektora polozaja r, svetlosni talasi imaju sledeci oblik:

ˇE1 = A1(r) exp[−i(!t− k1 ⋅ r)]ey (11.21a)

ˇE2 = A2(r) exp[−i(!t− k2 ⋅ r)]ey, (11.21b)

tj. uzmimo da je '01 = '02 = 0. Fazna razlika ±, definisana jednacinom (11.13b), sada ima

sledecu vrednost:

± = k2 ⋅ r − k1 ⋅ r. (11.21c)

Neka pravci vektora k1 i k2 zaklapaju uglove '1 i '2 sa x-osom. Oznacimo sada sa s1

rastojanje od tacke O (u kojoj su talasi po pretpostavci u fazi) do talasnog fronta Σ1 prvog

talasa kroz tacku M , a sa s2 rastojanje od tacke O do talasnog fronta Σ2 drugog talasa kroz

tacku M , Fig. 86. Sa slike se vidi da je s2 = r cos('2+®), dok je s1 = r cos('1−®), gde je ®

ugao koji vektor r zaklapa sa x osom. Kako je ± = k2⋅r−k1⋅r = k2 cos('2+®)−k1 cos('1−®),

za faznu razliku ± posmatrana dva ravanska talasa imamo ± = k2s2 − k1s1. U specijalnom

slucaju k = k1 = k2 = c!/n, ponovo dobijamo formulu (11.20d):

± = kΔ, Δ = s2 − s1. (11.22)

Interferencija dva monohromatska talasa istih ucestanosti predstavlja samo najjednos-

tavniji teorijski model procesa interferencije. Svaki slozeniji model mora da uzme u obzir da

svetlosni talasi iz realnih izvora nisu strogo monohromatski, kao i to da se karakter izracenih

talasa menja tokom vremena. Prvu cinjenicu mozemo ukljuciti u model posmatrajuci talase

kao kvazi-monohromatske ili kao talasne pakete. Druga cinjenica se modeluje svetlosnim

talasima cija se ucestanost menja u segmentima, tzv. talasni segmenti. Ucestanost ovakvih

talasa ima vrednost !1 u intervalu Δt1, pa !2 u intervalu Δt2, itd. Zbog svega ovoga vreme

koherencije talasa iz realnih izvora je uvek konacno. Dodatnu otezavajucu okolnost pri

razmatranju realnih izvora je njihova prostornost. Tackasti izvori predstavljaju samo prvu

aproksimaciju jednog prostornog izvora.

11.3. ”Interferencija” dva monohromatska talasa razlicitih ucestanosti

Pokazimo sada da ne moze doci do interferencije talasa nejednakih ucestanosti.

145

Neka se dva monohromatska talasa ucestanosti !1 i !2 prostiru duz x-ose i neka su oba

linearno polarizovana duz y-ose. Za kompleksne svetlosne vektore tada imamo

ˇE1 = A1(x) exp[−i(!1t− k1x+ '01)]ey (11.23a)

ˇE2 = A2(x) exp[−i(!2t− k2x+ '02)]ey; (11.23b)

odgovarajuci svetlosni vektori E1 = ReˇE1 i E2 = Re

ˇE2 su

E1 = A1(x) cos(!1t− k1x+ '01)ey (11.24a)

E2 = A2(x) cos(!2t− k2x+ '02)ey. (11.24b)

Rezultujuci talas svetlosnog vektora E = E1 + E2, nastao superpozicijom dva monohro-

matska talasa razlicitih ucestanosti, nije monohromatski. Jacina svetlosti u datoj tacki

rezultujuceg polja data je opstim izrazom (11.4a): I = I1 + I2 + I12, gde su jacine svetlosti

Ii = const ⋅n⋅ < E2i > , i = 1, 2 (od monohromatskih komponenti) date jednacinom (11.12):

Ii = const ⋅ n ⋅ 12A2

i , (11.25a)

dok je interferencioni clan dat jednacinom (11.4b):

I12 = const ⋅ 2n < E1 ⋅ E2 > . (11.25b)

Ako predpostavimo da su amplitude A1 i A2 sporo promenjive funkcije koordinata, nalazimo

I12 = const ⋅ 2n ⋅ A1A2 < cos(!1t− '1) cos(!2t− '2) >, (11.26a)

gde smo uveli faze 'i = kix−'0i, i = 1, 2. Kako je cos µ1 cos µ2 =12[cos(µ1−µ2)+cos(µ1+µ2)],

uvodeci oznake ±− = ± = '2 − '1 i ±+ = '2 + '1, kao i oznake Δ!− = !2 − !1 = Δ! i

Δ!+ = !2 + !1, za interferencioni clan nalazimo

I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2[< cos(Δ!−t− ±−) > + < cos(Δ!+t− ±+) >]. (11.26b)

Srednje vrednosti u interferencionom faktoru se odnose na trenutak t i racunaju se u

vremenskom intervalu jednakom vremenu merenja Δ¿ ; na osnovu jednacine (11.5) imamo

< cos(Δ!t− ±) >=1

Δ¿

∫ t+Δ¿2

t−Δ¿2

cos(Δ!t− ±)dt

146

=1

Δ¿Δ!

[sin

(Δ!

(t+

Δ¿

2

)− ±

)− sin

(Δ!

(t− Δ¿

2

)− ±

)]

=1

Δ¿Δ!

[sin

(Δ!t− ± +

Δ!Δ¿

2

)− sin

(Δ!t− ± − Δ!Δ¿

2

)]. (11.27a)

Uvodeci oznake ® = Δ!t− ± i ¯ = Δ!Δ¿/2, imamo

< cos(Δ!t− ±) >=1

Δ¿Δ![sin(®+ ¯)− sin(®− ¯)]

=1

Δ¿Δ![sin® cos ¯ + cos® sin ¯ − sin® cos ¯ + cos® sin ¯] =

2

Δ¿Δ!cos® sin ¯

=2

Δ¿Δ!cos(Δ!t− ±) sin

(Δ!Δ¿

2

). (11.27b)

Zamenom ovog izraza u (11.26b), nalazimo

I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2

⎡⎣sin

(Δ!−Δ¿

2

)

Δ!−Δ¿2

cos (Δ!−t− ±−) +sin

(Δ!+Δ¿

2

)

Δ!+Δ¿2

cos (Δ!+t− ±+)

⎤⎦ .

(11.28a)

Da bismo procenili red velicine interferencionog faktora (11.28a), posmatrajmo tacku

talasne ravni x = 0 u trenutku t = 0, i pretpostavimo da su pocetne faze '01 = '02 = 0.

Tada su ±+ = ±− = 0, pa je

I12 ∼sin

(Δ!−Δ¿

2

)

Δ!−Δ¿2

+sin

(Δ!+Δ¿

2

)

Δ!+Δ¿2

. (11.28b)

Uobicajno vreme merenja je Δ¿ ∼ 10−9s, a Δ!+/2 ∼ ! ∼ 1015s−1 (vidi odeljak 3.4). Za

ove vrednosti drugi clan u izrazu (11.28b) je

∣∣∣∣∣∣sin

(Δ!+Δ¿

2

)

Δ!+Δ¿2

∣∣∣∣∣∣∼

∣∣∣∣sin (!Δ¿)

!Δ¿

∣∣∣∣ ≤1

!Δ¿∼ 10−6 ≪ 1. (11.29a)

Pri analizi reda velicine prvog clana u (11.28b) uzimamo da Δ!− = !2 − !1 odgovara

intervalu ucestanosti vidljivog spektra: Δ!− ∼ 1015s−1. U tom slucaju imamo

∣∣∣∣∣∣sin

(Δ!−Δ¿

2

)

Δ!−Δ¿2

∣∣∣∣∣∣≲ 2

Δ!−Δ¿= 2 ⋅ 10−6 ≪ 1. (11.29b)

Dakle pri !1 ∕= !2 interferencioni clana je zanemarljiv

I12 ≪ I1 ∼ I2, !1 ∕= !2. (11.30)

147

Izraz (11.28a) omogucava da se razmotri i slucaj !1 = !2. U tom slucaju procena reda

velicine data sa (11.29a) ostaje u vaznosti, a umesto izraza (11.29b) imamo:

sin(

Δ!−Δ¿2

)

Δ!−Δ¿2

→ 1, Δ!− → 0,Δ¿ < ∞, (11.31a)

tako da u tom slucaju, na osnovu jednacine (11.28a), za interferencioni clan imamo

I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2 cos ± = 2√

I1I2 cos ±, !1 = !2, (11.31b)

gde su Ii jacine svetlosti date jednacinom (11.25a). Jednacina (11.31b) se poklapa sa pred-

hodno dobijenim izrazom (11.14) za interferencioni clan pri interferenciji dva monohromat-

dka talasa istih ucestanosti.

Pri slaganju talasa dovoljno bliskih ucestanosti !1 i !2, interferencioni clan je dat izrazom

(11.28a) u kome je drugi sabirak zanemarljiv prema prvom. Kako je pod ovim uslovima

Δ!−t ≈ 0, bice

I12 = const ⋅ n ⋅ A1A2

sin(Δ!Δ¿

2

)Δ!Δ¿

2

cos ±, (11.32a)

tj.

I12 =sin

(Δ!Δ¿

2

)Δ!Δ¿

2

⋅ 2√

I1I2 cos ±, !1 ≈ !2. (11.32b)

Dakle, pri !1 ≈ !2, vidljivost interferencije zavisi od vrednosti funkcije

V (Δ!,Δ¿) =sin

(Δ!Δ¿

2

)Δ!Δ¿

2

, (11.33a)

koju mozemo nazvati faktor vidljivosti; interferencioni clan ima sledeci oblik:

I12 = V (Δ!,Δ¿) ⋅ 2√

I1I2 cos ±, !1 ≈ !2. (11.33b)

Poslednji izraz se od izraza (11.14) razlikuje za faktor vidljivosti V .

11.4. Interferencija talasa nastalih deobom amplituda talasa (plan-paralelna plocica)

U slucaju slaganja dva monohromatska talasa istih ucestanosti dobija se izrazit interfer-

encioni efekat. Vreme koherencije ovakvih talasa je beskonacno pa je interferenciona slika

stabilna. Ovakvi talasi mogu da se dobiju razdvajanjem (deobom) jednog monohromatskog

talasa na dva dela. Na ovaj nacin se dobijaju dva talasa koji su u pogledu svoje vremenske

148

zavisnosti tacne kopije originalnog talasa. Primetimo, medjutim, da u realnim uslovima

ovakvi talasi mogu da se odrzavaju samo odredjeno vreme, tj. karakterisu se konacnim

vremenom koherencije.

Postoje principijalno dva nacina deobe talasa: deoba amplitude talasa i deoba talasnog

fronta. Za postizanje deobe talasa koriste se opticki sistemi (ogledala, sociva,...). Zbog

toga se namece potreba da se u objasnjenje jednog cisto talasnog fenomena (kao sto je

interferencija) uvedu i neki elementi geometrijske slike svetlosti - svetlosni zraci. Treba

imati u vidu, medjutim, da se u svakoj tacki prostora formira jedinstveno vremenski zavisno

elektromagnetno polje (E(r, t), B(r, t)), a da zraci prikazuju samo pravac i smer transporta

energije ovog polja.

U ovom odeljku cemo razmatrati amplitudnu deobu talasa. Najjednostavniji opticki

sistem pomocu koga se moze izvrsiti amplitudna deoba talasa je plan-paralelna plocica A1A2

od dielektrika (Fig. 87). Kao izvor svetlosti koristi se zapreminski izvor monohromatske

svetlosti. Detekcija svetlosti se vrsi pomocu teleskopa sa socivom. Radi refleksije zraka u

sistem se postavlja i jedno ogledalo.

Kako je u sistemu prisutno tanko socivo, u tacki M zizne ravni ovog sociva gde se ”de-

tektuje” jacina svetlosti, sabirace se svi zraci koji su paralelni sa pravcem OM kroz centar

sociva (vidi Fig. 63, odeljak 8). Oznacimo ugao izmedju ovog pravca i x-ose sa µ, kao na

Fig. 87. y-koordinata tacke M koja lezi u zadnjoj ziznoj ravni sociva je tada, za male uglove

µ,

y = f ′ cos µ ≈ f ′µ. (11.38)

Sa Fig. 87 se vidi da ce upravu zrak koji pod uglom µ pada na povrsinu A1 plan-paralelne

plocice dati zrake koji se posle amplitudne deobe sabiraju u tacki M . Ovakav zrak polazi iz

tacke S1 izvora, i posle refleksije od ogledala pada na plan-paralelnu plocicu od dielektrika.

Ponasanje svetlosti (elektromagnetnog talasa) na granici dva dielektrika vec je razmatrano

u odeljku 9.2 za normalni upad svetlosti; analogni rezultati vaze i za kos upad ako je upadni

ugao mali.

Ponasanje uocenog zraka koji pod uglom µ pada na plan-paralelnu plocicu prikazano je

na Fig. 88. Posmatrani zrak se u tacki O1 reflektuje (zrak I) pod uglom µ i prelama pod

uglom µ′′ (zrak I ′′). Ugao µ′′ je odredjen relacijom (9.12b):

sin µ

sin µ′′=

n2

n1

. (11.39)

149

FIG. 87: Amplitudna deoba talasa pomocu plan-paralelne plocice

U tacki O2 zrak I ′′ se reflektuje (zrak II ′′) i prelama. Konacno, u tacki O3, zrak II ′′ se

reflektuje i prelama (zrak II). Oznacimo sada amplitudu upadnog talasa sa A0 (velicina Em

i jednacina (9.18a)). U tacki O1 dolazi do ”amplitudne deobe”; amplituda AI talasa koji se

prostire duz zraka I (reflektovan talas), i amplituda AI′′ talasa koji se prostire duz zraka I ′′

(prelomljeni talas) date su jednacinama (9.18b,c):

AI =

∣∣∣∣n1 − n2

n1 + n2

∣∣∣∣A0, AI′′ =2n1

n1 + n2

A0. (11.40a)

150

FIG. 88: Amplitudna deoba na plan-paralelnoj plocici

U tacki O2 zrak I ′′ (sa amplitudom AI′′) predstavlja upadni zrak, dok je zrak II ′′ reflektovan

zrak duz koga se sada prostire talas amplitude AII′′ koja je jednaka

AII′′ =

∣∣∣∣n2 − n1

n2 + n1

∣∣∣∣AI′′ . (11.40b)

Konacno, zrak II ′′ je upadni zrak u tackiO3 (sa amplitudom AII′′), dok je zrak II prelomljeni

zrak duz koga se prostire talas sa amplitudom

AII =2n2

n1 + n2

AII′′ . (11.40c)

Dakle, na izlasku iz plocice imamo dva paralelna zraka I i II duz kojih su amplitude

talasa date sa

AI =

∣∣∣∣n1 − n2

n1 + n2

∣∣∣∣A0 ≡ ½A0 (11.41)

i

AII =2n2

n1 + n2

∣∣∣∣n1 − n2

n1 + n2

∣∣∣∣2n1

n1 + n2

A0 =4n1n2

(n1 + n2)2½A0. (11.42a)

Kako je 1− ½2 = 1− (n1−n2

n1+n2)2 = (n1+n2)2−(n1−n2)2

(n1+n2)2= 4n1n2

(n1+n2)2, vidimo da je

AII = (1− ½2)½A0. (11.42b)

151

U slucajevima da je plan-paralelna plocica od stakla smestena u vazduhu imali bi ½ = 0.2,

a 1− ½2 = 0.96 ≈ 1, tako da za amplitudu AII imamo

AII ≈ ½A0 = AI . (11.42c)

Primetimo da je velicina ½2 jednaka koeficijentu refleksije ½I koji jedefinisan jednacinom

(9.19b).

Na osnovu jednacina (11.41) i (11.42c) vidimo da se na izlasku iz plocice javljaju dva

paralelna zraka I i II koji pod uglom µ napustaju plocicu (zraci I i II na Fig. 87). Svetlosni

talasi se duz ovih zraka priblizno au jednaki (istih ucestanosti i priblizno istih amplituda).

Uoceni zraci se sabiraju u tacki M zaklona, ucestvujuci u stvaranju interferencione slike.

Jacina svetlosti koja potice od tacke S1 izvora u tacki M zaklona bice data jednacinom

(11.13a):

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos ±, (11.43a)

gde je ± fazna razlika talasa I i II, dok je

Ii = ½2I0, I0 = const ⋅ n ⋅ 12A2

0, i = 1, 2. (11.43b)

Zamenom (11.43b) u (11.43a) nalazimo

I = 4½2I0 cos2 ±

2. (11.43c)

Kako se zrak I dva puta reflektuje od opticki gusce sredine a zrak II jedanput, imamo

± = kΔ+ ¼, (11.43d)

pri cemu putnu razliku Δ treba racunati samo do svetlosnog fronta (talasne ravni) Σ. Naime,

od ove ravni do tacke M svi zraci su tautohtoni (tako da imaju iste opticke puteve) pa

ne doprinose faznoj razlici ± (vidi primer 2, odeljka 11.2). Pri pisanju jednacine (11.44a)

pretpostavili smo da je promena talasnog broja pri putu zraka kroz plocicu zanemarljiva.

Da bismo nasli putnu razliku Δ zraka I i II pretpostavimo da je µ′′ ≈ µ, tj. zanemarimo

skretanje zraka u tackama O1 i O2, kao na Fig. 89. U tom slucaju putna razlika

Δ = (S0O2 +O2B2)− (S0O1 +O1B1) (11.44a)

moze lako da se nadje ako se uvedu ”likovi” S ′1 i S

′2 tacke S0 (simbolicki prikazane kao izvor

svetlosti na Fig. 89) u odnosu na ravni A1 i A2, tj. postavljajuci tacke S ′1 i S ′

2 tako da je

152

FIG. 89: Odredjivanje putne razlike metodom likova

S0A1 = A1S ′1 i S0A2 = A2S ′

2. Sa Fig. 89 se vidi da je S0O2 = S ′2O2 i S0O1 = S ′

1O1, tako da

je

Δ = (S ′2O2 +O2B2)− (S ′

1O1 +O1B1) = S ′2B2 − S ′

1B1. (11.44b)

Ocigledno,

Δ = S ′1S

′2 cos µ, (11.44c)

pri cemu je S ′1S

′2 = S0S ′

2 − S0S ′1 = 2(S0A2 − S0A1) = 2d, tako da je

Δ = 2d cos µ. (11.45)

Pored posmatrana dva zraka koji se sabiraju u tacki M , a potice od tacke S1 izvora, u

ovoj tacki ce se sabirati i zraci koji iz razlicitih tacaka izvora krecu paralelno uocenom zraku

iz tacke S1 (Fig. 87). Svaki od ovih zraka ce se amplitudno podeliti u plan-paralelnoj plocici

na dva ”parcijalna” zraka. Kako svaki od zraka iz uocenog snopa paralelnih zraka pada pod

istim uglom µ na plocicu, fazne razlike svetlosti odgovarajucih parcijalnih talasa bice ponovo

date sa jednacinama (11.43c) i (11.45):

± = 2kd cos µ + ¼. (11.46)

Parcijalni talasi I i II nastali amplitudnom deobom pojedinog zraka iz snopa medjusobno

interferiraju, tako da je jacina sv etlosti u tacki M data jednacinom (11.43c). Ako uzmemo

153

FIG. 90: Zavisnost I od µ

u obzir da je izvor svetlosti kontinualan, za jacina svetlosti dI u tacki M , od elementa dV

izvora oko tacke S1, imamo:

dI = 4½2dI0 cos2 ±

2, (11.47)

gde je sa dI0 oznacena jacina svetlosti od elementa dV u posmatranom pravcu (u kome se

prostire snop paralelnih zraka koji se sabira u tacki M). ”Parcijalni talasi” razlicitih zraka

su medjusobno nekoherentni , tj. ne interferiraju. Zbog toga za ukupnu jacinu svetlosti u

tacki M imamo zbir (inhtegral) jacine svetlosti dI:

I =

∫dI. (11.48a)

Kako su sve fazne razlike u izrazu za dI jednake, za ukupnu jacinu svetlosti u tackiM imamo

I = 4½2I0 cos2(kd cos µ +

¼

2

), (11.48b)

gde je I0 =∫dI0 ”ukupna” jacina svetlosti (celog izvora) izracena u uocenom pravcu.

Na osnovu jednacine (11.48b) vidimo da je jacina svetlosti u zadnjoj ziznoj ravni F ′,

funkcija ugla µ, kao sto je prikazano na Fig. 90. Kako zraci iz izvora padaju na plocicu pod

svim mogucim uglovima µ, pri cemu je na osnovu jednacine (11.38) y = f ′ ⋅ µ, uocavamo

154

FIG. 91: Interferenciona slika nastala amplitudnom deobom

da se na zaklonu javlja interferenciona slika, koja zbog rotacione simetrije sistema imam

oblik koncentricnih svetlih i tamnih prstenova. Da bi se opisala ova slika uvodi se tzv. red

interferencije m, jednacinom

±m = 2¼m. (11.49a)

Po svojoj definiciji m predstavlja celobrojni umnozak velicine 2¼ sadrzane u fazi ±. Kako je

± dato izrazom (11.46), imamo

m =kd

¼cos µm +

1

2= 1, 2, ... (11.49b)

Red interferencije se moze izraziti i preko talasne duzine ¸ = 2¼/k:

m =2d

¸cos µm +

1

2. (11.49c)

Po definiciji (11.49a) za µ = µm vazi ±m = 2¼m, tako da je cos2(±m/2) = 1, tj. za µ = µm

jacina svetlosti ima maksimume. Na osnovu nejednakosti cos µm ≤ 1, vidimo da postoji

maksimalan red interferencije

mmax =

[2d

¸+

1

2

]. (11.50)

155

Broj mmax odredjuje ukupan broj interferencionih prstenova na zaklonu. Kako mmax odgo-

vara vrednosti cos µm ≈ 1, tj. µ ≈ 0, vidimo da maksimalni red interferencije odgovara

centralnoj tacki na zaklonu (vidi Fig. 91).

Preko velicine mmax ≈ 2d¸+ 1

2, red interferencije se moze izraziti u obliku

m =

(mmax − 1

2

)cos µm +

1

2. (11.51a)

Za male uglove µ, bice cos µ =√

1− sin2 µ ≈ √1− µ2 ≈ 1− µ2/2, tako da je, za mmax ≫ 1

i µm ≪ 1,

m =

(mmax − 1

2

)(1− 1

2µ2m

)+

1

2≈ mmax

(1− 1

2µ2m

). (11.51b)

Poluprecnik ym m-tog prstena je dat jednacinom (11.38):

ymf ′ = µm. (11.52a)

Zamenom µm iz jednacine (11.51b) u jednacinu (11.52a) nalazimo

ym = f ′√

2mmax −m

mmax

. (11.52b)

Na osnovu jednacine (11.50) vidimo da sa porastom debljine plocice d raste mmax, tako

da prstnovi postaju sve blizi jedan drugom, pri cemu se na rubovima interferencione slike oni

slivaju u jedan i ne mogu se jasno raspoznavati. Sama interferenciona slika je lokalizovana

u prostoru. Linearne dimenzije ove oblasti su odredjene velicinom

y0 = f ′√2. (11.52c)

11.5. Amplitudna deoba-Majkelsonov interferometar

Amplitudna deoba svetlosnog talasa se moze postici i pomocu Majkelsonovog interfer-

ometra. Ovaj opticki instrument moze biti podesen za razlicite vrste merenja, na primer za

merenje talasne duzine svetlosti, za razna spektroskopska merenja i slicno. U ovom odeljku

mi cemo prvo opisati kako se pomocu ovog uredjaja moze izmeriti talasna duzina, a zatim

cemo objasniti kako isti uredjaj sluzi za dobijanje interferencione slike.

Shema uredjaja je data na Fig. 92. Kao izvor svetlosti koristi se zapreminski izvor

monohromatske svetlosti. Amplitudna deoba se vrsi pomocu jednostrano posrebrenog

ogledala nagnutog pod uglom od 45∘ prema optickoj osi sistema (x-osa). Ovakvo ogledalo

156

FIG. 92: Majkelsonov interferometar

predstavlja polupropustljivo ogledalo. Zraci nastali amplitudnom deobom reflektuju se od

ogledala A1 i A2 i ponovo rekombinuju na polupropustljivom ogledalu. Deo uredjaja je i

kompenzaciona plocica koja se postavlja da bi svaki zrak prolazio jednak put kroz staklo od

koga je napravljeno polupropustljivo ogledalo. Kao detektor svetlosti se koristi durbin sa

socivom. Ukoliko se interferenciona slika detektuje okom treba uociti da i oko sadrzi socivo.

Razmotrimo prvo nacin formiranja zraka koji u detektor stizu u tacku M na optickoj

osi, tj. pod uglom µ = 0 (Fig. 92). U tacki M se sazimaju zraci koji nastaju amplitudnom

deobom zraka S0O kao i oni koji poticu od snopa svetlosnih zraka paralelnih zraku S0O.

Kako kompenzaciona plocica ponistava faznu razliku zraka nastalu usled prelaska kroz staklo,

na Fig. 93 polupropustljivo ogledalo je prikazano bez dimenzija.

Zrak 1 koji polazi iz izvora S0 pada na polupropustljivo ogledalo. Zrak se u tacki O

delimicno reflektuje i delimicno prolazi kroz ogledalo. Zrak 1′ koji se reflektuje ide ka ogledalu

A1, a propusten zrak 2′ ide ka ogledalu A2. Posle odbijanja od ogledala A1 (zrak 1′′) i

157

FIG. 93: Amplitudna deoba zraka kod Majkelsonovog interferometra

ogledala A2 (zrak 2′′), zraci ponovo padaju na polupropustljivo ogledalo u tacki O. Zrak 1′′

se delimicno odbija (zrak 1′′′) a delimicno prolazi kroz polupropustljivo ogledalo (zrak I),

dok se zrak 2′′ delimicno reflektuje (zrak II) i delimicno prolazi (zrak 2′′′). Talasi koji se

krecu duz zraka I i II (koji su u pravcu ose x ose) medjusobno interferiraju i po prolasku

kroz socivo sabiraju se u tacki M . Interferencija je posledica koherentnosti talasa koji se

prostiru duz zraka I i II; naime ovi talasi su monohromatski talasi istih ucestanosti.

Amplitude talasa I i II nalazimo razmatrajuci deobe amplituda na svim granicama

izmedju dve opticke sredine. Strogo govoreci, sada bi trebalo ponoviti analizu iz prethodnog

odeljka. Medjutim, radi jednostavnosti, pretpostavicemo da se pri deobi talasa energija

talasa deli na dva jednaka dela. Oznacimo sada sa A0 amplitudu talasa duz upadnog zraka

1. Energija koja duz zraka 1 padne na jedinicu povrsine u jedinici vremena proporcionalna je

sa A20. Ona se deli na reflektovanu energiju (A2

0/2) koja se prostire duz zraka 1′ i propustenu

energiju (A20/2) koja se prostire duz zraka 2′. Prema tome amplitude talasa duz zraka 1′ i

158

2′ bice A0/√2. Posle refleksije na ogledalima A1 i A2 gde se ne menja energija, zraci 1′′ i 2′′

(sa amplitudama A0/√2) ponovo dolaze u tacku O. Kako se energija svakog od njih deli na

dva jednaka dela, zakljucujemo da ce amplitude talasa AI i AII biti

AII ≈ AI ≈ 1

2A0. (11.53)

Dakle, talasi I i II sada interferiraju po zakonu (11.43c) gde je ½ = 1/2. Jacina svetlosti

u tacki M od elemenata dV izvora data je formulom (11.47):

dI = dI0 cos2 ±

2, (11.54)

gde je dI0 jacina svetlosti od elementa dV u pravcu S0O. Velicina ± u jednacini (11.54)

predstavlja faznu talasa I i II u tacki M . Ako se uzme u obzir da oba talasa dozivljavaju

isti broj refleksija, ukupna fazna razlika zbog refleksije ce biti jednaka nuli, tako da je

± = kΔ =2¼

¸, (11.55a)

gde je Δ putna razlika zraka I i II. Kod Majkelsonovog interferometra putna razlika je

jednaka:

Δ = s2 − s1, (11.55b)

gde su si ukupni putevi koje predju zraci I i II od S0 do B. Sa Fig. 93 vidimo da su ovi

putevi dati sa: s1 = y1 + 2l1 + x, s2 = y1 + 2l2 + x, tako da je

Δ = 2d, d = l2 − l1. (11.55c)

Ukupna jacina svetlosti od snopa svetlosnih zraka paralelnih y osi (koji medjusobno ne

interferiraju) sada se nalazi integracijom jednacine (11.54):

I =

∫dI, (11.56a)

tj.

I = I0 cos2 ±

2, ± =

4¼

¸d, (11.56b)

gde je I0 ukupna jacina svetlosti koju zraci izvor u pravcu y-ose. Vidimo da se variranjem

vrednosti l1 i l2 moze postici razlicita jacina svetlosti u detektoru. Pri ±m = 2¼m, kada je

2¼¸dm = m¼ gde je m = 0, 1, 2, ... imali bi I = I0. U posmatranom slucaju celokupna energija

izracena iz izvora (u posmatranom pravcu y ose, u jedinici vremena) stize u detektor. Na

159

FIG. 94: Metod likova i Majkelsonov interferometar

osnovu formule (11.56b) vidimo da iz poznavanja rastojanja dm pri kome jacina svetlosti

ima maksimum, moze da se odredi talasna duzina ¸. Za m = 1, imamo

¸ = 2d1. (11.57)

Kako se velicina d moze da menja pomeranjem ogledala A1 i A2 Majkelsonov uredjaj moze

da sluzi za merenje jacine svetlosti.

Pri fiksiranom polozaju ogledala, interferencionu sliku mozemo detektovati u zadnjoj

ziznoj ravni. Sada ce se u posmatranoj tacki M (pod uglom µ) u odnosu na x-osu, sabirati

zraci koji su paralelni pravcu koji formira centar sociva i tacka M . Da bismo pojednostavili

analizu interferencione slike, pokazimo prvo da se slucaj µ = 0 moze lako opisati metodom

likova. Potrebno je uvesti lik S ′0 izvora S0 i lik A′

2 ogledala A2 (Fig. 94(a)). U ovom slucaju

svi opticki sistemi A1, A′2, S

′0, sociva su na istoj osi (x-osa). Zrak I sada kao da ide od S ′

0

odbija se od A1 i vraca duz x-ose, dok zrak II polazi iz izvora S ′0 reflektuje se od A′

2 i vraca

duz x-ose. Fazna razlika ovako formiranih zraka je ± = kΔ, gde je Δ = 2d = 2(l2 − l1), tako

da sa stanovista detekcije svetlosti u tacki M nema razlike izmedju sistema sa Fig. 93 i Fig.

94(a).

Ako se usvoji ista ekvivalentnost i pri uglu µ ∕= 0 imali bi kos upad na sistem A1A′2, kao

160

na Fig. 94(b), pod uglom µ. Ovim smo Majkelsonov interferometar sveli na slucaj plan-

paralelnih plocica prikazan na Fig.89. Jedina razlika u odnosu na plan-paralelnu plocicu je

sto su A1 i A′2 sada ogledala. Zrak I ide od izvora S ′

0, reflektuje se od ogledala A1 i vraca se

u M , dok se zrak II formira kada zrak formalno prodje kroz A1, reflektuje se o A2 i vraca

u M (Fig. 94(b)). Po analogiji sa jednacinom (11.45), fazna razlika posmatranih zraka je

sada jednaka:

± = kΔ =2¼

¸Δ, Δ = 2d cos µ, d = l2 − l1. (11.57)

Jacina svetlosti u tacki M sada zavisi od jacine svetlosti izvora izracene u pravcu ra-

zlicitom od y-ose. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da izvor zraci izotropno, tj. da je

ukupna jacina svetlosti I0 ista u svim pravcima. U tacki M , tada imamo

I = I0 cos2 ±

2, ± =

4¼

¸d cos µ = 2kd cos µ (11.58a)

(dobili smo izraz (11.48b) u kome je ½ = 1/2 i bez fazne razlike ¼/2). Dalja analiza inter-

ferencione slike bila bi analogna onoj u predhodnom odeljku. Po analogiji sa (11.49c), red

interferencije sada bi bio dat jednacinom

m =2d

¸cos µm = 0, 1, 2, ... (11.58b)

gde vrednosti µm odgovaraju maksimumima jacine svetlosti. Interferenciona slika je analogna

onoj prikazanoj na Fig. 91. Broj interferencionih prestenova odredjen je sa maksimalnim

redom interferencije, koji je sada jednak

mmax = [2d

¸]. (11.58c)

Poluprecnik m-tog prstena je dat jednacinom (11.52b):

ym = f ′√

2mmax −m

mmax

. (11.59)

Dakle, pri malom rasipanju svetlosnog snopa, i paralelnim ravnima A1 i lika ravni A2,

dobijaju se ravnomerno rasporedjeni koncentricni svetli i tamni prstenovi kojih ukupno ima

mmax i ciji su poluprecnici dati jednacinom (11.59).

Pomocu opisanog interferometra Majkelson je ostvario nekoliko istorijskih eksperimenata.

Najpoznatiji od njih ostvaren je u saradnji sa Morlijem 1887. godine sa ciljem da se utvrdi

kretanje Zemlje u odnosu na etar. Primetimo da Majkelsonov interferometar moze da se

iskoristi na vise nacina. U jednoj od varijanti on predstavlja osnovni uredjaj tzv. interfer-

encione spektrometrije.

161

11.6. Interferencija talasa nastalih deobom talasnog fronta

Deoba talasnog fronta talasa iz jednog izvora svetlosti predstavlja drugi nacin da se ostvari

koherencija talasa koji interferiraju. Najjednostavniji nacin da se ostvari deoba talasnog

fronta predlozio je Jung (1801. godine).

Shematski prikaz Jungovog eksperimenta dat je na Fig. 95. Zraci koji polaze od izvora

svetlosti S nailaze na nepropustljivu pregradu na kojoj se nalaze dva mala otvora koji su

simetricno postavljeni, kao na Fig. 95. Tackasti izvor svetlosti S se nalazi na x-osi koja

je ortogonalna na pregradu. U saglasnosti sa Hajgensovim principom (odeljak 6.5), svaka

tacka talasnog fronta svetlosnog talasa Σ iz izvora S postaje izvor sekundarnog talasa. Zbog

postojanja pregrade ostaju aktivne samo otvori S1 i S2, tako da se oni javljaju kao izvori

sekundarnih talasa. Izvor S kao i otvori S1 i S2 predstavljaju izvore sfernih talasa. Kako

izvore S1 i S2 pobudjuje isti prvobitni talasa, sekundarni talasi iz ovih izvora bice uzajamno

koherentni. Primetimo da je za malo rastojanje d izmedju otvora sistem priblizno rotaciono

simetrican u odnosu na x-osu (vidi Fig. 95).

Sekundarni (sferni) talasi interferiraju, tako da se na zaklonu (yOz-ravan) koji je postavl-

jen na rastojanju l od pregrade, javlja interferenciona slika. Oznacimo sa y, y-koordinatu

proizvoljne tacke M na zaklonu. Izvori S1 i S2 su izvori monohromatskih talasa istih

ucestanosti !. Ovi talasi su istih amplituda, koje se mogu smatrati konstantnim duz zraka

1 i 2 (od tacaka S1 i S2 do M). Zbog toga su jacine svetlosti I1 i I2 od izvora S1 i S2

medjusobno jednake, I1 = I2 = I0, tako da je jacina svetlosti u tacki M data sa jednacinom

(11.16):

I = 4I0 cos2 ±

2. (11.60a)

Kako talasi u izvorima S1 i S2 osciluju u fazi, fazna razlika ± bice odredjena jednacinom

(11.20c):

± = k(s2 − s1), (11.60b)

gde su s1 i s2 udaljenosti tacke M od izvora S1 i S2.

U realnim eksperimentalnim uslovima rastojanje izmedju otvora d je znatno manje od

udaljenosti l izmedju pregrade i zaklona. Takodje, u oblasti u kojoj se realno ostvaruje

interferencija i udaljenost tacke M od x-ose, bice znatno manja od l:

d ≪ l, y ≪ l. (11.61)

162

FIG. 95: Shematski prikaz Jungovog eksperimenta

Pod uslovima (11.61) izraz za faznu razliku se znatno pojednostavljuje. Naime, sa Fig. 95

imamo

s21 = l2 +

(y − d

2

)2

, s22 = l2 +

(y +

d

2

)2

, (11.62a)

tako da je

s22 − s21 = (s2 + s1)(s2 − s1) =

(y +

d

2

)2

−(y − d

2

)2

= 2yd. (11.62b)

Kako je, pod uslovima (11.61), s1 ≈ s2 ≈ l, iz jednacine (11.62b) nalazimo

s2 − s1 ≈ yd

l. (11.62c)

Zamenom ove vrednosti u izraz (11.60b), i uocivsi da je k = 2¼/¸, za faznu razliku ±

nalazimo:

± =2¼

¸Δ, Δ =

yd

l. (11.63)

Dakle, na zaklonu se javlja interferenciona slika u obliku svetlih i tamnih prstenova. Duz

163

FIG. 96: (a) Zavisnost I od y i (b) interferenciona slika

y-pravca, jacina svetlosti I se menja po zakonu

I = 4I0 cos2

(¼d

¸ly

). (11.64)

Interferenciona slika se ponovo moze okarakterisati pomocu reda interferencije m koji je

definisan sa ±m = 2¼m,jednacinom (11.49a). U posmatranom slucaju imamo:

m =ymd

¸l= 0,±1,±2, ... (11.65a)

Ocigledno, polozaji

ym = ml

d¸, m = 0,±1,±2, ... (11.65b)

oznacavaju polozaje maksimalnih inteziteta svetlosti (vidi Fig. 96). Inteziteti svetlosti bice

minimalni za ±m = (2m+ 1)¼, odakle vidimo da su polozaji minimuma odredjeni sa

ymin =

(m+

1

2

)l

d.¸. (11.66c)

Rastojanje izmedju susednih maksimuma, jednako je rastojanju izmedju susednih minimuma

i iznosi

Δy =l

d¸. (11.66d)

Za sirinu prstena se takodje moze uzeti gornji izraz.

164

Dakle, rastojanje izmedju prstenova opada sa povecanjem rastojanja d izmedju otvora.

U slucaju da je d reda velicine l, rastojanje izmedju prstenova bi bilo reda velicine ¸, tj.

nekoliko ¹m i pojedini prstenovi se ne bi uocavali. Da bi interferenciona slika bila uocljiva

neophodan je uslov d ≪ l, kao sto je i bilo zadato uslovom (11.61).

Napomenimo na kraju, da se jacina svetlosti I menja duz y-ose po zakonu (11.60a) samo

za monohromatsku svetlost. Ukoliko bi izvor S bio prirodna bela svetlost (tj. svetlost koja

je sastavljena od komponentnih talasa svih ucestanosti ! iz vidljivog dela spektra) interfer-

enciona slika bi postala razmazana. Naime, za svaku od komponenti, vazila bi jednacina

(11.60a), pa bi se maksimumi inteziteta svetlosti ym = ml¸/d pojedinih komponenti raz-

likovali. Ovi maksimumi bi se poklapali jedino u centru zaklona (m = 0, ym = 0). Pri

udaljavanju od centra maksimumi razlicitih ”boja” se medjusobno mesaju.

Jasna interferenciona slika koja se dobija u slucaju monohromatskog izvora date talasne

duzine ¸ moze da se iskoristi za merenje ove fizicke velicine. Treba samo uociti da je, na

osnovu jednacine (11.66d) ¸ = dlΔy, tako da merenjem rastojanja izmedju prstenova moze

da se odredi talasna duzina svetlosti. Upravo je u eksperimentima ovog tipa prvi put i bila

izmerena jacina svetlosti.

Deoba talasnog fronata moze da se izvede i sa izvorom u obliku svetlece niti postavljenim

duz z-ose, ako se na pregradi naprave tanke pukotine takodje u ovom pravcu. Izvor svetlosti

S, kao i pukotine S1 i S2 su tada izvori cilindricnih talasa. Ovi talasi takodje interferiraju, a

rezultujuca jacina svetlosti duz y ose je ponovo data jednacinom (11.64); medjutim, umesto

koncenticnih krugova na na zaklonu se javljaju paralelne svetle i tamne pruge.

§12 Koherencia svetlosti

12.1. Vremenska koherencija (talasni segmenti)

Pojam koherencije svetlosnih talasa vec je uveden u odeljku 11.1 gde smo diskutovali

fenomen interferencije, kao saglasnost svetlosnih talasa koji ucestvuju u interferenciji. Ova

saglasnost moze biti vise ili manje izrazena, tako da je potrebno definisati stepen koherent-

nosti.

Stepen koherentnosti talasa bitno utice na stabilnost interferencione slike. Naime,

narusavanjem prostorno-vremenske koherencije talasa koji ucestvuju u interferenciji, dolazi

165

FIG. 97: Vremenska koherencija: model (a) talasnih segmenata i (b) talasnog paketa

do gubitaka interferencione slike. Svetlosni talasi koji poticu od realnih izvora (dakle, pros-

tornih, nemonohromatskih izvora) karakterisu se konacnim vremenom koherencije Δt. In-

terferenciona slika je vidljiva samo pod uslovom (11.6), kada je vreme Δt vece od vremena

merenja Δ¿ .

U ovom odeljku i odeljku 12.2 bice razmatrana tzv. vremenska koherencija koja je karak-

teristicna za interferenciju svetlosti nastalu amplitudnom deobom. Prostorna koherencija

koja se javlja pri interferenciji talasa nastalih deobom talasnog fronta bice analizirana u

osljku 12.3.

Vremensku koherenciju razmotricemo na primeru Majkelsonovog interferometra, zasno-

vanog na postizanju koherencije amplitudnom deobim (odeljak 11.5). U ovom slucaju sta-

bilna interferenciona slika moze biti ostvarena samo ako je velicina d = l2−l1 dobro podesena

u odnosu na karakteristike izvora. Pritom bitnu ulogu igra nemonohromatski karakter real-

nih izvora. Za opis ovakvih izvora koriste se dva modela: model talasnih segmenata i model

talasnog paketa, koji su prikazani na Fig. 97(a,b), respektivno.

U prvom slucaju se pretpostavlja da izvor zraci talas date ucestanosti samo u toku vre-

mena koherencije Δt, a da se van ovog intervla ucestanost menja, Fig. 97(a). Zraci I i II

koji interferiraju prelaze razlicite puteve. Prema tome, svetlosnim talasima I i II koji stizu

u tacku M , polazeci od tacke S0 treba razlicito vreme t1 i t2. Kako su zraci od talasne ravni

166

FIG. 98: Zavisnost ! od vremena za talasne segmente

Σ do M tautohtoni, razlika Δ¿ = t2− t1 u vremenima jednaka je Δ¿ = Δ/v, gde je v brzina

svetlosti a Δ putna razlika data jednacinom (11.55c):

Δ¿ =Δ

v, Δ = 2d, d = l2 − l1. (12.1)

Vreme kasnjenja Δ¿ u posmatranom modelu igra ulogu vremena merenja.

Pri interferenciji u Majkelsonovom interferometru talasi duz zraka I i II imace u trenutku

detekcije t ucestanosti !I = !(t − t1) i !II = !(t − t2), gde je t2 − t1 = Δ¿ . Ako trenutak

t− t1 oznacimo sa t′, imamo

Δ!(t) = !II − !I = !(t′ −Δ¿)− !(t′). (12.2a)

Za talasne segmente zavisnost ! od t′ je data na Fig. 98. Vazno je razlikovati dve situacije:

Δ¿ < Δt, Fig 98(a) i Δ¿ > Δt, Fig 98(b). U posmatranim slucajevima imamo

Δ!(t) = 0;Δ¿ < Δt, Δ!(t) = !2 − !1; Δ¿ > Δt. (12.2b)

U opstem slucaju dolazi do ”interferencije” dva monohromatska talasa razlicitih

ucestanosti !1 i !2. Ako, radi jednostavnosti, pretpostavimo da je !1 ≈ !2, za interfer-

encioni clan I12 jacine svetlosti u tacki M u trenutku t imamo izraz dat jednacina (11.32b),

u kome su zbog deobe amlituda (AI = AII = A0/2) jacine svetlosti I1 = I2 = I0/4. Ukupna

jacina svetlosti je prema tome data sledecim izrazom:

I =1

2I0[1 + V (Δ!,Δ¿) cos ±], ± ≈ 4¼

¸1

d, d = l2 − l1, (12.3a)

167

gde je vidljivost

V (Δ!,Δ¿) =sin

(Δ!(t)Δ¿

2

)

Δ!(t)Δ¿2

. (12.3b)

Ocigledno, za Δ¿ < Δt, kada je Δ!(t) = 0, imamo V → 1, tj. interferenciona slika je

jasno vidljiva. Kada je Δ¿ > Δt, vrednost funkcije V je manja od 1. U tom slucaju vidljivost

slike zavisi od odnosa Δ! = !2 − !1 i vremena kasnjenja Δ¿ . Iz predhodne analize je jasno

zasto vreme trajanja segmenta Δt mozemo smatrati vremenom koherencije. Uslov jasne

vidljivosti (V = 1) ispunjen je pod uslovom

Δ¿ =Δ

v< Δt. (12.4a)

Pri datom Δt (karakteristika izvora) nejednakost (12.4a) karakterise ponasanje jacine svet-

losti u tacki M kao funkcije rastojanja Δ = 2d = 2(l2− l1). Naime, pri povecanju Δ, u tacki

M se prvo smenjuju svetlost i tama, a zatim se pri Δ = Δgr, gde je

Δgr

v= Δt (12.4b)

interferencioni efekat gubi. Pri daljem povecanju Δ(Δ > Δgr) ne dolazi do promene jacine

svetlosti: ona ce biti data jednacinom (12.3a) u kojoj je V = 0.

Primetimo da u jednacinama (12.4a,b) figurise velicina v ⋅Δt koja ima dimenzije duzine

i naziva se duzina koherencije:

lkoℎ = v ⋅Δt (12.5a)

Uslov jasne vidljivosti (12.4a) kao i ”granicni” uslov (12.4b) mogu da se izraze i preko duzine

koherencije kao

Δ < lkoℎ, (12.5b)

odnosno

Δgr = lkoℎ. (12.5c)

Dosadasnja analiza se odnosila na detekciju svetlosti u tacki M na x-osi optickog sistema.

Ukoliko se detekcija svetlosti vrsi u tacki M koja ne lezi na x-osi nego je pod uglom µ u

odnosu na centar sociva, videti npr. Fig. 94(b), onda za vreme kasnjenja (merenja) Δ¿

imamo Δ¿ = Δv, gde je Δ = 2d cos µ, pri cemu je d = l2 − l1. Uslov vremenske koherencije

Δ¿ < Δt dobija sledeci eksplicitni oblik:

2d

vcos µ < Δt. (12.6a)

168

Pri fiksiranoj vrednosti d, uslov (12.6a) odredjuje prostornu oblast u kojoj je obezbedjena

vremenska koherencija. Granicni ugao µgr je odredjen relacijom

cos µgr =vΔt

2d. (12.6b)

Na osnovu jednacinu (12.6a), velicina vΔt u jednacini (12.6b) predstavlja duzinu koherencije,

tako da je

cos µgr =lkoℎ2d

. (12.6c)

Dakle, zbog zahteva za vremenskom koherentnoscu, interferenciona slika je vidljiva samo

do µ < µgr, tj. postoji konacna prostorna oblast (polje) interferencije. Na osnovu jednacine

(12.6c) vidimo da su linearne dimenzije ove oblasti odredjene duzinom koherencije.

12.2. Vremenska koherencija (talasni paket)

Drugi model zracenja realnog izvora, pretpostavlja da izvor zraci kontinum ucestanosti

iz intervala ! ∈ [!0 − Δ!2, !0 +

Δ!2], tako da se umesto monohromatskih talasa formiraju

talasni paketi (Fig. 97(b)), opisani u odeljku 1.5. Talasni paketi koji se prostiru duz y ose

su prostorno lokalizovani u oblasti Δy, pri cemu izmedju Δk = Δ!/v i Δy vazi relacija

”neodredjenosti” (1.44): ΔyΔk = 2¼, gde je Δk = Δ!/v interval talasnih brojeva paketa.

Pretpostavimo sada da do interferencije dolazi samo izmedju talasa nastalih amplitudnom

deobom parcijalnih talasa datog !, dok izmedju talasa razlicitog ! nema interferencije. U

tom slucaju rezultujuca jacina svetlosti data je sa:

I =

∫ !0+Δ!2

!0−Δ!2

dI(!) (12.7a)

gde je dI(!) jacina svetlosti u detektoru od dela paketa ucestanosti d!. Velicina dI(!) je

data jednacinom (11.56b):

dI! = I0! cos2

(±(!)

2

)d! =

1

2I0!(1 + cos ±(!))d!, (12.7b)

gde je I0! jacina svetlosti koju posmatrani izvor izraci (u odgovarajucem pravcu) po jedinici

!, tj. I0!d! je jacina svetlosti ucestanosti ! iz intervala d!. Fazna razlika ± odgovara

uocenom parcijalnom talasu:

±(!) = kΔ =!

vΔ, Δ = 2d, d = l2 − l1. (12.7)

169

Rezultujucu jacinu svetlosti nalazimo zamenom (12.7b) u (12.7a):

I =1

2

∫ !0+Δ!2

!0−Δ!2

I0!

[1 + cos

(Δ

v!

)]d!. (12.8a)

Primenom teoreme o srednjoj vrednosti, za jacinu svetlosti nalazimo

I =1

2< I0! >

∫ !0+Δ!2

!0−Δ!2

[1 + cos

(Δ

v!

)]d! (12.8b)

gde je < I0! > srednja vrednost velicine I! po ! u intervalu ! ∈ [!0 − Δ!2, !0 +

Δ!2].

Direktnom integracijom, za jacinu svetlosti I, nalazimo

I =1

2< I0! >

⎡⎣Δ! +

v

Δsin

(Δ

v!

) ∣∣∣∣∣∣!0 +

Δ!2

!0 − Δ!2

⎤⎦ , (12.9a)

odnosno

I =1

2< I0! > Δ![1 + ²], (12.9b)

gde je

² =sin

(Δv!)

ΔvΔ!

∣∣∣∣∣∣!0 +

Δ!2

!0 − Δ!2

=

=1

ΔvΔ!

[sin

(Δ

v!0 +

Δ

2vΔ!

)− sin

(Δ

v!0 − Δ

2vΔ!

)]. (12.9c)

Za ® = Δv!0 i ¯ = Δ

2vΔ!, imamo

² =1

2¯[sin(®+ ¯)− sin(®− ¯)] =

1

2¯⋅ sin ¯ cos®. (12.10a)

Uocivsi da je ® = k0Δ = ±(!0), nalazimo:

² =sin

(Δ2vΔ!

)Δ2vΔ!

cos ±(!0). (12.10b)

Zamenom (12.10b) u (12.9b), nalazimo

I =1

2< I0! > Δ!

[1 +

sin(Δ2vΔ!

)Δ2vΔ!

cos ±(!0)

]. (12.11)

Pretpostavimo sada da je zracenje izvora ravnomerno. Tada je

< I0! >=I0Δ!

, (12.12)

170

FIG. 99: Grafik funkcije sin »!/»!

gde je I0 ukupna jacina svetlosti koju izvor izraci u datom pravcu. Tada se jacina svetlosti

I moze napisati u sledecem obliku

I =1

2I0(1 + V! cos ±(!0)), (12.13a)

gde je

V! =sin

(Δ2vΔ!

)Δ2vΔ!

. (12.13b)

Izraz (12.13a) ima oblik koji se od odgovarajuce jacine svetlosti za monohromatski izvor

razlikuje samo za faktor V!. Kada se talasni paket koji zraci izvor redukuje na monohro-

matski talas (Δ! → 0), funkcija V! → 1, tako da se izraz (12.13a) poklapa sa izra-

zom (11.56b) za jacinu svetlosti dobijenu interferencijom svetlosti monohromatskog izvora

pomocu Mejkelsonovog interferometra. Primetimo takodje da V! → 0 kada Δ! → ∞,

kada I → I0/2. Ocigledno funkcija V! odredjuje vidljivost interferencione slike i karakterise

stepen koherentnosti talasa koji interferiraju.

Ako uvedemo velicinu »! = Δ ⋅Δ!/(2v) vidimo da je vidljivost V! data sa

V! =sin »!»!

. (12.13c)

Grafik ove funkcije je dat na Fig. 99, sa koga vidimo da je V! ≈ 1 za −¼2< »! < ¼

2, sto

znaci da talase mozemo smatrati vremenski koherentnim za

Δ ⋅Δ!

2v<

¼

2. (12.14a)

171

Ako gornju nejednakost izrazimo preko vremena kasnjenja Δ¿ = Δ/v, koje se moze smatrati

vremenom merenja, imamo

Δ¿ <¼

Δ!. (12.14b)

Poslednja relacija moze da se protumaci kao uslov (potpune) vidljivosti interferencione slike,

koji se izrazava uslovom (10.4a): Δ¿ < Δt. U tom smislu vreme koherencije za izvor koji

zraci ”kontinuum” ucestanosti iz intervala sirine Δ! iznosi

Δt =¼

Δ!. (12.15a)

Duzina koherencije koja odgovara ovom vremenu koherencije je lkoℎ = vΔt, tj.

lkoℎ =¼v

Δ!. (12.15b)

Primetimo da duzina koherencije moze da se poveze sa prostornoscu talasnog paketa Δy.

Naime, kako je ΔyΔk = ΔyΔ!/v = 2¼, vidimo da je lkoℎ = Δy/2.

Granica vidljivosti u slucaju talasnog paketa odredjena je jednakoscu u nejednacini

(12.14b). Ona se moze izraziti u dva ekvivalenta oblika

Δ¿gr = Δt, Δgr = lkoℎ (12.15c)

gde je Δgr granicna vrednost putne razlike Δ = 2d.

Kada je vreme koherencije Δt = ¼/Δ! manje od vremena merenja Δ¿ = Δ/v, bice V! ≈0, pa se gubi interferencioni efekat. Naime, za Δ¿ > Δt, tj. Δgr > lkoℎ, polozaji maksimuma

inteziteta svetlosti jednih ucestanosti mogu se poklapati sa polozajima minimuma inteziteta

svetlosti drugih ucestanosti tako da se interferenciona slika gubi. Vidljivost interferencione

slike ocigledno zavisi od karakteristika interferometra (d = l2−l1) i vremenskih karakteristika

izvora (Δ!).

12.3. Prostorna koherencija

Vrsta koherencije koja se ostvaruje pri deobi talasnog fronta je tzv. prostorna koherencija.

Naime, u ovom slucaju je potrebno ostvariti fazne korelacije duz talasnog fronta u datom

vremenskom intervalu.

Stepen ove koherencije u realnim uslovima povezan je sa prostornoscu izvora svetlosti.

U odeljku 11.6 mi smo razmatrali interferenciju talasa nastalih deobom talasnog fronta za

172

FIG. 100: Amplitudna deoba sa prostornim izvorom

tackasti izvor svetlosti S. Pretpostavimo sada da je izvor svetlosti konacnih dimenzija. Radi

jednostavnosti ogranicimo se na linijski izvor postavljen duz y-ose visine 2u0 (Fig. 100) i

oznacimo sa y′ tekucu koordinatu izvora.

Fazna razlika sfernih talasa od elementa izvora koordinate y′ u tacki M zaklona jednaka

je ± = kΔ, gde je

Δ = s2 − s1 + s′2 − s′1 (12.16a)

(videti primer 1, odeljka 11.2). Pretpostavimo sada da vaze uslovi (11.61): d ≪ l, y ≪ l,

kao i d ≪ l′ i y′ ≪ l′. Tada, po analogiji sa jednacinom (11.62c) imamo

s2 − s1 =yd

l, s′2 − s′1 =

y′dl′

. (12.16b)

Talasi nastali amplitudnom deobom u otvorima su istih amplituda i istih ucestanosti, tako

da za jacinu svetlosti dI od uocenog elementa izvora vazi ednacina (11.16):

dI = 4I0y cos2 ±

2dy = 2I0y(1 + cos ±)dy, (12.17a)

173

gde je I0ydy′ jacina svetlosti koju bi emitovao izolovan deo izvora koordinate y′ u pravcu

otvora S1 (odnosno S2). Kako zraci koji stizu u tacku M od razlicitih delova izvora nisu

medjusobno koherentni, oni ne interferiraju, tako da je ukupna jacina svetlosti u tacki M

jednaka

I =

∫dI. (12.17b)

Zamenom (12.17a) u (12.17b), nalazimo

I = 2 < I0y >

∫ u0

−u0

[1 + cos

(kd

ly +

kd′

l′y′)]

dy, (12.18a)

gde smo sa < I0y > oznacili prostornu srednju vrednost velicine I0y(y′). Dakle

I = 2 < I0y >

⎡⎣2u0 +

l′

kdsin

(kd

ly +

kd

l′y′) ∣∣∣∣∣∣

u0

−u0

⎤⎦ , (12.18b)

odnosno, za ® = kdly i ¯ = kd

l′ u0,

I = 4 < I0y > u0

[1 +

1

2¯(sin(® + ¯)− sin(®− ¯))

]= 4 < I0y > u0

(1 +

1

¯sin ¯ cos®

),

(12.18c)

tako da je

I = 4 < I0y > u0

[1 +

sin(kdl′ u0

)kdl′ u0

cos

(kd

ly

)]. (12.18d)

Ako je zracenje izvora prostorno ravnomerno, bice < I0y >= I02u0

gde je I0 jacina svetlosti

koju emituje izvor u pravcu otvora S1 (odnosno S2). Jacina svetlosti od ovakvog izvora u

tacki M zaklona jednaka je

I = 2I0

[1 + Vu cos

(kd

ly

)], (12.19a)

gde je velicina Vu data sa

Vu =sin

(kdl′ u0

)kdl′ u0

. (12.19b)

Uporedjujuci izraz (12.19a) sa izrazom (11.64) koji vazi za tackasti izvor:

I = 2I0

[1 + cos

(kd

ly

)], (12.19c)

vidimo da se oni razlikuju za faktor Vu, koji sada preuzima ulogu vidljivosti. Kada u0 →0 (prostorni izvor se svodi na tackasti), imamo Vu → 1, pa se izrazi (12.19a) i (12.19c)

174

poklapaju, a interferenciona slika je potpuno jasna. Kada u0 → ∞, vidljivost Vu → 0, pa

interferenciona slika u potpunosti nestaje.

Za konacni izvor bice

0 < Vu < 1, (12.20)

a talasi koji nastaju deobom talasnog fronta talasa iz date tacke izvora bice samo delimicno

(prostorno) koherentni. Vidljivost Vu bitno zavisi od kolicnika u0/l′ = tan'/2 ≈ '/2, gde je

' tzv. ugaona dimenzija izvora (vidi Fig. 100). Prema tome, mereci vidljivost Vu svetlosti od

prostornog izvora mogu se odrediti njegove ugaone dimenzije. Na ovom principu je zasnovan

tzv. Majkelsonov zvezdani interferometar.

U vezi sa velicinom Vu moze se definisati granica vidljivosti interferencione slike. Naime,

izrazena preko velicine »u = kdu0/l′ = 2¼du0/(¸l

′) = ¼'d/¸, vidljivost Vu je

Vu =sin »u»u

, (12.21)

tj. ima isti oblik kao vidljivost V! definisana jednacinom (12.13c). Ako granicu vidljivosti

definisemo sa uslovom Vu ≈ 1,−¼2< »u < ¼

2(Fig. 100), zakljucujemo da talase mozemo

smatrati prostorno koherentnim za'd

¸<

1

2. (12.22)

Vidljivost interferencione slike u slucaju razmatrane prostorne koherencije zavisi od karak-

teristika ”interferometra” (d) i prostornih karakteristika izvora (').

Primetimo, medjutim da se razlicite vrste koherencije ne javljaju izolovano. Tako, na

primer, u interferencionom eksperimentu sa deobom talasnog fronta izvora koji nije strogo

monohromatski, nego zraci kontinuum ucestanosti ! ∈ [!0 − Δ!2, !0 +

Δ!2], pored uslova

(12.22) treba uzeti u obzir i prostornu ogranicenost interferencione slike, odredjene, na

primer, uslovom (12.15c): Δ < lkoℎ, gde je lkoℎ = ¼v/Δ!. Pritom se za putnu razliku

Δ moze uzeti isti izraz (11.63) kao i za tackasti izvor (Δ = yd/l).

Dakle, u principu, postoje kombinovana ogranicenja. Zbog prostornosti izvora, interfer-

enciona slika je vidljiva samo za izvore cije su ugaone dimenzije manje od 'gr gde je

'gr =¸

2d. (11.23a)

Zbog nemonohromaticnosti izvora, postoji ograniceno polje interferencije, tj. interferenciona

slika je vidljiva do ygr gde je

ygr = lkoℎ ⋅ ld. (12.23)

175

Poslednji vidljiv red interferencije m = d ⋅ ym/(¸l), jednacina (11.65a), je prema tome dat

uslovom ym = ygr, odakle dobijamo

mgr =lkoℎ¸

. (12.23c)

Primetimo da je u opstem slucaju lkoℎ = Δt ⋅ v gde je Δt vreme koherencije (karakteristika

izvora).

§13 Difrakcija

13.1. Fenomen difrakcije

Pod difrakcijom se u najopstijem smislu podrazumeva ponasanje svetlosti na granicama

neprovidnih sredina, tj. kada se na putu svetlosti nadju zakloni sa otvorima ili neko ne-

providno telo. Na osnovu zakona geometrijske optike u ovim slucajevima bi razlikovali

mesta jasne osvetljenosti i tamna mesta (senke). Medjutim, eksperimenti pokazuju da svet-

lost zalazi u geometrijsku senku, a da u okolini granica neprovidnih tela jacina svetlosti

postaje neravnomerno rasporedjena (kao pri interferenciji). Ova pojava se naziva difrakcija

svetlosti.

Na primer, ako se na put svetlosti postavi neprovidna prepreka sa kruznim otvorom,

Fig. 101, onda bi se na zaklonu iza otvora pojavila slika otvora (svetlost) i oko nje oblast

(geometrijske) senke. Medjutim, zavisno od velicine otvora, osvetljenost na zaklonu je vise

ili manje prosirena, tj. svetlost ulazi u oblast geometrijske senke. Takodje, smanjenjem

poluprecnika otvora, koje bi prema zakonima geometrijske optike trebalo da bude praceno

smanjenjem osvetljene oblasti na zaklonu, dovodi do suprotnog efekta. Svetlost sve dublje

prodire u oblast geometrijske senke. Dalje, osvetljena oblast na zaklonu nije monotono

osvetljena vec se javljaju oblasti maksimalne i minimalne osvetljenosti. Moze se cak desiti

(pri nekoj velicini otvora) da se nasuprot otvora pojavljuje senka!

Sa teorijskog stanovista, ovakvo ponasanje nije neocekivano. Potrebno je samo da se

podsetimo da su granice neprovidnih sredina oblasti jake opticke nehomogenosti tako da

je uslov (6.12a) pod kojim vazi ajkonalna aproksimacija (a koja lezi u osnovi geometrijske

optike) narusen. Drugim recima, na ovim granicama svetlosni vektor menja svoj pravac i

svoju amplitudu kao na granici dve opticke sredine u skladu sa opstom elektromagnetnom

teorijom.

176

FIG. 101: Ponasanje svetlosti pri nailasku na kruzni otvor u okviru geometrijske optike

FIG. 102: Ponasanje svetlosti pri nailasku na kruzni otvor na osnovu Hajgensonovog principa

U odeljku 6.5, medjutim, formulisali smo Hajgensov princip koji daje mogucnost kvalita-

tivnog objasnjenja pojave difrakcije. Saglasno ovom principu svaka tacka talasnog fronta se

moze posmatrati kao izvor sekundarnog talasa cija obvojnica formira novi talasni front. Ako

ovaj princip primenimo na prepreku sa otvorom videcemo da je moguce skretanje svetlosti u

geometrijsku senku (Fig. 102). Potpuno objasnjenje difrakcije na otvoru, medjutim, zahteva

da se uzme u obzir interferencija sekundarnih talasa i to smatrajuci da su oni medjusobno ko-

herentni. U tom smislu, nema principijelne razlike izmedju interferencije i difrakcije. Jedino

177

FIG. 103: Fraunhoferova difrakcija

FIG. 104: Frenelova difrakcija

se u okviru interferencije razmatraju dva koherentna talasa, dok se u difrakcionim pojavama

radi o kontinumu koherentnih talasa.

Prvi kvantitativan opis pojave difrakcije zasnivao sa na Hajgens-Frenelovom principu.

Ovaj princip daje semi-empirijsku formulu pomocu koje se moze naci rezultujuci talasni

vektor koji nastaje superpozicijom sekundarnih talasa. Formula ovakvog tipa moze se dobiti

i polazeci od Maksvelovih jednacina za elektromagnetno polje na osnovu analize ponasanja

talasnih jednacina koje iz njih slede (odeljak 13.2).

Pre nego sto predjemo na ova teorijska razmatranja primetimo da postoje dva tipa difrak-

178

cije: Fraunhoferova i Frenelova. U prvom slucaju interferiraju (ravanski) talasi u okviru

snopa paralelonih zraka, dok se u drugom slucaju difrakcija dobija interferencijom sfernih

talasa. Fraunhoferova difrakcija se moze dobiti postavljanjem po jednog (tankog) sociva iza

tackastog izvora S i ispred tacke detekcije M , Fig. 103, tako da tacke S i M leze u ziznim

ravnima sociva. Ukoliko u sistemu nema sociva, dolazi do Frenelove difrakcije, Fig. 104.

13.2. Kirkhofova formula i Hajgens-Frenelov princip

Razmotrimo sada kako se Hajgens-Frenelov princip moze dobiti egzaktno na osnovu elek-

tromagnetne prirode svetlosti.

Posmatrajmo polje monohromatskih talasa E(r, t) i B(r, t). Ove vektore mozemo pred-

staviti u kompleksnom obliku:ˇE =

ˇE0(r)e

−i!t iˇB =

ˇB0(r)e

−i!t. Vektori E i B u ne-

provodnim sredinama bez stranih naelektrisanja koje su homogene ("r = const, ¹r = const)

i stacionarne ("r ∕= "r(t), ¹r ∕= ¹r(t)), zadovoljavaju talasne jednacine (1.8a) i (1.9a). Isto

vazi i za kompleksne vektoreˇE i

ˇB. S obzirom na pretpostavljeni monohromatski karakter

talasaˇE i

ˇB, obe ove jednacine, mogu da se napisu u obliku jednacine (6.4):

ΔΨ = −n2k20Ψ = −k2Ψ, (13.1)

gde je Ψ proizvoljna komponenta vektoraˇE0 ili

ˇB0.

Dokazimo sada jednu vaznu osobinu jednacine (13.1) koja se cesto formulise kao teorema

o jedinstvenosti. Naime, resenje jednacine (13.1) je jednoznacno odredjeno u celom prostoru

ako je poznato na nekoj zatvorenoj povrsini (S). Da bismo dokazali ovo tvrdjenje uocimo

proizvoljnu tacku M unutar oblasti obuhvacenoj povrsinom S, kao na Fig. 105. Uocimo

takodje sferu S0 oko tacke M . Konstruktivni dokaz se zasniva na primeni Gausove teoreme

po oblasti zapremine V − V0, koja se nalazi izmedju povrsina S0 i S,∫

V−V0

divˇa dV =

∫

S+S0

ˇa ⋅ dS. (13.2a)

Gausova teorema se primenjuje na kompleksni vektor ˇa = ˇa(r), gde je sa r oznacena tekuca

koordinata zapremine V − V0, oblika

ˇa = Ψgrad

(eikr

r

)− eikr

rgradΨ (13.2b)

Izabrani oblik vektor ˇa je pogodan, zato sto omogucava da se polje u tacki M izrazi preko

polja na povrsini S preko pojma sekundaarnih sfernih talasa eikr/r, sto u krajnjoj liniji

179

FIG. 105: Povrsine S i S0 oko tacke M

dovodi do formulisanja Hajgens - Frenelovog principa. Primetimo da je u oblasti V − V0

moduo ∣ˇa∣ konacna velicina.

Divergencija kompleksnog vektora ˇa je

divˇa = div

(Ψgrad

(eikr

r

))− div

(eikr

rgradΨ

), (13.3a)

odnosno

divˇa = gradΨ ⋅ grad(eikr

r

)+ ΨΔ

(eikr

r

)− grad

(eikr

r

)⋅ gradΨ− eikr

rΔΨ, (13.3b)

tj.

divˇa = ΨΔ

(eikr

r

)− eikr

rΔΨ. (13.3c)

S druge strane, vaze sledeci izrazi:

grad

(eikr

r

)=

∂

∂r

(eikr

r

)er (13.4a)

i

gradΨ ⋅ dS =∂Ψ

∂sdS =

∂Ψ

∂sen ⋅ dS, (13.4b)

gde je s varijabla u pravcu normale na povrsinu, a en jedinicni ort normale (vidi Fig. 105).

Koristeci jednacine (13.4a) i (13.4b), nalazimo

ˇa ⋅ dS =

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS. (13.4c)

Zamenom jednacina (13.3a) i (13.4c) u jednacinu (13.2a), dobijamo

∫

V−V0

[ΨΔ

(eikr

r

)− eikr

rΔΨ

]dV =

∫

S+S0

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂ren

]⋅ dS. (13.5)

180

Uocivsi da je

Δ

(eikr

r

)=

1

r

∂2

∂r2

(reikr

r

)= −k2 e

ikr

r, (13.6a)

kao i da je (na osnovu jednacine (13.1)) ΔΨ = −k2Ψ, zakljucujemo da je leva strana

jednacine (13.5) jednaka nuli. Prema tome, bice jednaka nuli i desna strana ove jednacine:

∫

S+S0

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS = 0, (13.7a)

odnosno, razdvajajuci integral po S + S0 na integrale po S i S0,

∮

S0

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS = −

∮

S

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS. (13.7b)

Pretpostavimo sada da se sfera S0 sazima u tacku M . Tada, uocivsi da je na povrsi S0

element povrsine dS = −dSer, imamo

∮

S0

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS = lim

r→0

[−Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)⋅ 4r2¼ − eikr

r

∂Ψ

∂s⋅ 4r2¼

]

= limr→0

[4¼Ψeikr − Ψ(ik)eikr4r¼ − ∂Ψ

∂seikr4r¼

]. (13.8a)

Kako je velicina Ψ konacna u tacki M , vidimo da poslednja dva clana teze nuli, dok

exp(ikr) → 1, a Ψ → Ψ(M). Dakle,

∮

S0

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS = 4¼Ψ(M). (13.8b)

Zamenom poslednje jednacine u jednacinu (13.7b) imamo

Ψ(M) = − 1

4¼

∮

S

[Ψ

∂

∂r

(eikr

r

)er − eikr

r

∂Ψ

∂sen

]⋅ dS, (13.9a)

tj. koristeci jednacine (13.4a,b),

Ψ(M) = − 1

4¼

∮

S

[Ψgrad

(eikr

r

)− eikr

rgradΨ

]⋅ dS. (13.9b)

Analizom jednacine (13.9b) dolazimo do zakljucka da je funkcija Ψ(M) u proizvoljnoj

tacki M odredjena vrednostima Ψ i gradΨ na proizvoljnoj zatvorenoj povrsini S koja obuh-

vata tacku M . Jednacina (13.9b) po svojoj sustini predstavlja tzv. integralnu jednacinu za

Ψ ciji je diferencijalni oblik talasna jednacina (13.1).

Primenimo sada jednacinu (13.9b) na opis Frenelove difrakcije na kruznom otvoru. Za

zatvorenu povrsinu S uzimamo da se delimicno poklapa sa delom talasne povrsine sfernog

181

FIG. 106: Pregrada sa kruznim otvorom; izbor povrsine S

talasa koga zraci tackasti izvor svetlosti (povrsina ΔS), a delom da se poklapa sa pregradom

ili da odlazi u beskonacnost (povrsina S−ΔS), kao na Fig. 106. Pri ovakvom izboru povrsine

S, talasni vektor E bice poznat na celoj ovoj povrsini. Na prepreci, kao i na delu povrsi

S −ΔS ovaj vektor se anulira. Na povrsi ΔS koja predstavlja deo sfere poluprecnika R, to

je sferni talas dat jednacinom (1.43a):

ˇE =

A

ReikReµ, (13.10a)

gde je eµ ort u pravcu porasta ugla µ, vidi Fig. 106. Odgovarajuce dekartove koordinate

vectoraˇE su:

ˇE0i = A

ReikReµ ⋅ ei gde su ei = ex, ey iez ortovi x, y i z-ose. Kada je izvor

dovoljno daleko od otvora (tj. kada je otvor dovoljno mali) bice eµ ⋅ ex ≈ eµ ⋅ ez ≈ 0, dok je

eµ ⋅ ey ≈ 1. Tada mozemo uzeti da je

ˇE ≈ A

ReikRey = E0yey ≈ Ψey. (13.10b)

U posmatranom slucaju za Ψ i gradΨ na povrsi S imamo

Ψ =

⎧⎨⎩

AReikR ,ΔS

0 , S −ΔSgradΨ =

⎧⎨⎩

grad(Ar′ e

ikr′)/r′=R ,ΔS

0 , S −ΔS(13.10c)

Zamenom izraza (13.10c) u jednacinu (13.9b) nalazimo:

Ψ(M) = − 1

4¼

∫

ΔS

[A

ReikRgrad

(eikr

r

)− eikr

rgrad

(A

r′eikr

′)/r′=R

]dSen. (13.11)

Uocivsi da je

grad

(eikr

r

)=

∂

∂r

(eikr

r

)er =

1

r

(−1

r+ ik

)eikrer, (13.12a)

182

kao i da je

grad

(eikr

′

r′

)

r′=R

=1

R

(− 1

R+ ik

)eikReR, (13.12b)

gde je eR = −en, imamo

Ψ(M) = − 1

4¼AeikR

R

∫

ΔS

[(−1

r+ ik

)er +

(− 1

R+ ik

)en

]⋅ dS. (13.13a)

Konacno, kako je dS = dSen, a er ⋅ en = cos', vidi Fig. 106, nalazimo

Ψ = − 1

4¼AeikR

R

∫

ΔS

eikr

r

[(−1

r+ ik

)cos'+

(− 1

R+ ik

)]dS. (13.13b)

Formula (13.13b) predstavlja tzv. Kirhofovu formulu, pomocu koje je moguce naci svetlosni

vektor E = Re[Ψ exp(−i!t)]e, u proizvoljnoj tacki M iza zaklona sa kruznim otvorom.

Kirhova formula (13.13b) moze se uprostiti kada su izvor S i tackaM (u kojoj posmatramo

svetlost) udaljeni od otvora na rastojanja znatno veca od talasne duzine ¸ talasa. U tom

slucaju mogu se zanemariti clanovi 1/r i 1/R u odnosu na k. Tada dobijamo

Ψ = − ik

2¼AeikR

R

∫

ΔS

eikr

r

1

2(cos'+ 1)dS. (13.14)

Oznacimo izraz ispred integrala sa a0:

a0 = − ik

2¼AeikR

R, (13.15a)

i uvedimo oznaku1

2(cos'+ 1) = cos2

'

2= K('). (13.15b)

Tada se izraz (13.14a) za Ψ(M) svodi na

Ψ(M) =

∫

ΔS

k(')a0reikrdS. (13.15c)

Na osnovu poslednjeg izraza, za intezitet talasnog vektora E u tacki M imamo E =

Re[Ψexp(−i!t)] = Re(E), gde je

E(M) =

∫

ΔS

K(')a0re−(!t−kr)dS. (13.16)

Poslednja formula se moze interpretirati kao da svaka tacka dela talasnog fronta ΔS koji

”stane” u otvor postaje izvor sekundarnog sfernog talasa a0 exp[−i(!t− kr)]/r, pri cemu se

ovi talasi superponiraju (interferiraju), tako da u tacki M , u trenutku t, daju ukupni svet-

losni vektor inteziteta E datog formulom (13.16). Faktor k(') karakterise razlicit doprinos

pojedinih delova ΔS. Njegova vrednost je maksimalna u pravcu normale na talasni front

(er = en, kada je cos' = 1), tako da je K(') = 1. Jednacina (13.16) ima isti oblik kao i

semiempirijski Hajgens-Frenelov princip.

183

FIG. 107: Frenelove zone

13.3. Frenelove zone i zakon slaganja amplituda

Izracunavanje velicine E na osnovu formule (13.16) se znatno pojednostavljuje ako se

talasna povrs podeli na zone (delove povrsi) ciji se doprinos ukupnom svetlosnom talasu u

tacki M lako izracunava. Na taj nacin, izracunavanje rezultujuce jacine svetlosti moze se

svesti na algebarski (ili geometrijski) problem.

Talasna povrs sfernog monohromatskog talasa (talasne duzine ¸), posmatrana iz tacke

M , moze se izdeliti na zone, simetricno postavljene duz pravca SM , Fig. 107. Definisimo

ove zone tako da se rastojanja od kraja svake zone do tacke M razlikuju za ¸/2. Zone koje

imaju ovo svojstvo nazivaju se Frenelove zone. Rastojanja bm od kraja m-te zone do tacke

M je dato sa

rm = b+m¸

2, m = 1, 2, ..., (13.17)

gde je b rastojanje centralne tacke O talasne povrsi od tacke M (vidi Fig. 107).

Podelivsi talasnu povrs na zone, povrsinu ΔS po kojoj se vrsi integracija u jednacini

(13.16) mozemo podeliti na povrsine ΔSm, tako da je

E(M) =∑m

Em(M), (13.18a)

gde je

Em(M) =

∫

ΔSm

K(')a0re−i(!t−kr)dS. (13.18b)

184

FIG. 108: m-ta Frenelova zona

Sumiranje u jednacini (13.18a) se vrsi po svim otvorenim Frenelovim zonama, tj. zonama

koje stanu u ”otvor”. S obzirom da su povrsine ΔSm vrlo male, imamo

Em(M) ≈ Km(')a0rm

e−i(!t−krm)ΔSm. (13.19a)

Ako kompleksnu velicinu a0 izrazimo preko modula a0 = ∣a0∣ i faze ® kao a0 = a0ei®, izraz

(13.19a) se moze predstaviti u sledecem pogodnom obliku:

Em(M) = Amei®0e−i!t+ikrm , (13.19b)

gde je Am realna velicina (amplituda) odredjena relacijom

Amei®0 = Km(')

a0rm

ΔSm. (13.19c)

Povrsinu m-te Frenelove zone mozemo naci integracijom elementarne povrsine dS =

R2 sin µdµdÁ:

ΔSm =

∫ µm

µm−1

∫ 2¼

0

R2 sin µdµdÁ, (13.20a)

gde su granice integracije date sa

cos µm =R− ℎm

R, cos µm−1 =

R− ℎm−1

R. (13.20b)

Dakle,

ΔSm = 2¼R2(cos µm−1 − cos µm). (13.20c)

Zamenom izraza (13.20b) u izraz (13.20c), nalazimo

ΔSm = 2¼R2

(R− ℎm−1

R− R− ℎm

R

)= 2¼R (ℎm − ℎm−1) . (13.21)

185

Velicina ℎm, sledi iz geometrijskih odnosa koji se mogu uociti na Fig. 108. Naime,

½2m = R2 − (R− ℎm)2 = r2m − (b+ ℎm)

2, (13.22a)

odakle je

ℎm =r2m − b2

2(b+R). (13.22b)

Iskoristivsi definiciju (13.17) za rm, za velicinu ℎm imamo

ℎm =

(b+m¸

2

)2 − b2

2(b+R)=

bm¸

2(b+R)

(1 +

m

4

¸

b

). (13.22c)

Ako broj otvorenih Frenelovih zona nije veliki, onda je m¸/(4b) ≪ 1, tako da je

ℎm =bm¸

2(b+R). (13.23)

Zamenom izraza (13.23) u (13.22a) mozemo naci poluprecnik ½m m-te Frenelove zone

usledecem obliku:

½2m = R2 − (R− ℎm)2 = (2R− ℎm) ⋅ ℎm. (13.24a)

Pri relativno malom m, bice ℎm ≪ R, tako da je

½2m ≈ 2Rℎm, (13.24b)

odnosno, zamenom izraza (13.23) u izraz (13.24b),

½2m = 2Rbm¸

2(b+ r). (13.24c)

Dakle, poluprecnik ½m, m-te zone je

½m =

√Rb

R + bm ⋅ ¸. (13.25a)

Da bismo procenili red velicine zona, pretpostavimo da je R = b = 1 m i ¸ = 0.5¹m =

0.5 ⋅ 10−6 m. Tada za poluprecnik centralne (I zone) imamo

½1 =

√1

2⋅ 12⋅ 10−6m =

1

2⋅ 10−3m = 0.5mm. (13.25b)

Sa porastom m, poluprecnik zone raste kao√m.

Koristeci izraz (13.23) za ℎm, za povrsinu m-te zone, koja je data jednacinom (13.21),

nalazimo:

ΔSm = 2¼R

[bm¸

2(b+R)− b(m− 1)¸

2(b+R)

],

186

tj.

ΔSm =¼Rb

b+R¸. (13.26)

Dakle, za veliko R i b, povrsine svih Frenelovih zona malog rednog broja su priblizno jednake.

Vratimo se sada na jacinu polja E u tacki M , izrazenoj jednacinama (13.18a) i (13.19b):

E(M) =∑m

Amei®0e−i(!t−krm). (13.27a)

Kako je, za velicinu rm datu jednacinom (13.17) i k¸ = 2¼,

eikrm = eik(b+m¸2

) = eikbeikm¸/2 = eikbeim¼ = (−1)meikb, (13.27b)

za jacinu polja u tacki M imamo

E(M) =

[mmax∑m=1

(−1)m+1Am

]ei(®0+¼)eikbe−i!t. (13.27c)

Poslednji izraz moze da se napise u obliku

E(M) = Ae−i(!t−kb−®0−¼), (13.28a)

gde je

A =mmax∑m=1

(−1)m+1Am. (13.28b)

Poslednja relacija ukazuju na to da se amplituda A ukupne jacine polja u tacki M dobija

kao alternativna suma (13.28b) amplituda od svih otvorenih Frenelovih zona. Zapravo, zone

su i konstruisane tako da talasi susednih zona u tacku M stizu u protiv-fazi.

Amplituda Am, definisana je jednacinom (13.19c). Kako ΔSm ne zavisi od m, a takodje

ni Km, vidimo da je Am ∼ 1/rm, tj. amplitude Am formiraju monotono opadajuci niz:

A1 > A2 > A3 > ... (13.29a)

Zbog ovakvog karaktera amplituda Ai, vazi sledeca priblizna relacija:

Am ≈ Am−1 + Am+1

2. (13.29b)

Grupisuci clanove u izrazu za amplitudu A imamo (za parno, odnosno neparno m = mmax )

A =A1

2+

(A1

2− A2 +

A3

2

)+

(A3

2− A4... +

⎧⎨⎩

Am−1

2− Am ,m− parno

Am

2,m− neparno

. (13.30a)

187

Iskoristivsi sada pribliznu relaciju (13.29c), imamo

A ≈ A1

2+ 0 + ...+

⎧⎨⎩

Am−1

2− Am ,m− parno

Am

2,m− neparno

. (13.30b)

Kako su amplitude susednih Frenelovih zona prakticno jednake, bice Am ≈ Am−1, pa je

A ≈ A1

2∓ Am

2, m = mmax =

⎧⎨⎩

parno

neparno. (13.30c)

Napomenimo da u slucaju kada uopste nema zatvaranja Frenelovih zona (tj. ako se na putu

svetlosti ne nalazi zaklon)

A =A1

2, m = mmax → ∞. (13.30d)

jer je u tom slucaju Am ≪ A1.

13.4. Frenelova difrakcija na kruznom otvoru i disku

Metod slaganja amplituda razmatran u prethodnom odeljku omogucava da se resi niz

problema is difrakcije svetlosti. Razmotrimo prvo difrakciju na kruznom otvoru.

Neka se na putu sfernog talasa iz izvora S (Fig. 109) nalazi pregrada sa kruznim otvorom

poluprecnika ½0, tako da normala (x-osa) povucena iz izvora S na prepreku pada na centar

otvora. Na produzetku ove normale nalazi se tacka detekcje M . Pretpostavicemo da je otvor

dovoljno mali, tako da je

½0 ≪ b, ½0 ≪ R, (13.31)

gde je R normalno rastojanje od izvora do pregrade, a b rastojanje od otvora do zaklona

(duz OM na Fig. 109).

Jacina polja E u tacki M data je jednacinom (13.28a). Kako je rezultujuci talas u tacki

M monohromatski talas, jacina svetlosti u tacki M bice data jednacinom (3.25b):

I = const ⋅ n ⋅ 12∣E∣2 = const ⋅ n ⋅ 1

2A2, (13.32a)

gde je A amplituda svetlosnog vektora data jednacinom (13.28b), tj. jednacinom (13.30c).

Dakle,

I = const ⋅ n ⋅ 18(A1 ∓ Ammax)

2 , (13.32b)

188

FIG. 109: Frenelova difrakcija na kruznom otvoru

gde je mmax broj otvorenih Frenelovih zona. Broj mmax nalazimo izjednacavanjem

poluprecnika ½m m-te zone, datog jednacinom (12.25a), sa poluprecnikom otvora:

√Rb

R + bmmax ⋅ ¸ = ½0, (13.33a)

odakle je

mmax =

[½2

¸

(1

R+

1

b

)], (13.33b)

gde [x] oznacava ceo broj od x.

Jacina svetlosti u tacki M imace maksimum ili minimum u zavisnosti od toga da li je

mmax parno (znak ”-” u jednacini (13.32b)) ili neparno (znak ”+”). Ako je broj otvorenih

Frenelovih zona mali, bice A1 ≈ Ammax , tako da je

I = const ⋅ n ⋅ 12

⎧⎨⎩

0 ,mmax − parno

A21 ,mmax − neparno

. (13.34a)

Primetimo da je u slucaju kada uopste nema prepreke, jacina svetlosti I0 data jednacinom

(13.32a), gde je na osnovu jednacine (12.30d) amplituda A = A1/2, tj.

I0 = const ⋅ n ⋅ 18A2

1. (13.34b)

Dakle, jacina svetlosti u tacki M na zaklonu je

I =

⎧⎨⎩

0 ,mmax − parno

4I0 ,mmax − neparno. (13.34c)

189

FIG. 110: Difrakciona slika za razlicite vrednosti mmax

Vidimo da se u slucaju malog broja otvorenih Frenelovih zona, u tacki M nasuprot otvora

moze dobiti ili tamno mesto (Fig. 109(b)) ili je jacina svetlosti veca nego bez otvora

(Fig. 109(a))! Oba ova rezultata su potvrdjena eksperimentalno. Istorijski gledano, ovakvo

ponasanje svetlosti pri difrakciji predstavljalo je potvrdu talasne prirode svetlosti.

Ako je broj otvorenih Frenelovih zona veliki, kao na Fig. 110(c), onda je Ammax ≪ A1,

tako da se u tacki M nasuprot otvoru javlja jacina svetlosti data jednacinama (13.32b) i

(13.34b):

I = I0, (13.34d)

tj, dobija se ista vrednost kao i kada nema prepreke sa otvorom.

190

FIG. 111: Frenelove zone u odnosu na pravac SM

Da bismo ispitali sta se desava sa jacinom svetlosti duz y-ose, uocimo da su Frenelove

zone definisane relativno, tj. uvek u odnosu na pravac SM (Fig. 111). Prema tome, ako je

tacka M pomerena sa x-ose, broj otvorenih Frenelovih zona bice razlicit od broja otvorenih

zona vidjenih iz tacke M . Pomeranjem duz y-ose broj otvorenih Frenelovih zona se menja,

tako da se jacina svetlosti menja periodicno. Pritom, sa udaljavanjem od x-ose, pojedine

zone nece biti u potpunosti otvorene, tako da maksimalne jacine svetlosti opadaju, vidi Fig.

110(a,b).

Dakle, ako se na putu svetlosti postavi dovoljno mali otvor, tako da vazi jednacina (13.31),

na zaklonu ce se pojaviti difrakciona slika koja ce se sastojati od koncentricnih svetlih i

tamnih prstenova, pri cemu sa udaljavanjem od centra zaklona jacina svetlosti prstenova

slabi. Ukoliko je broj otvorenih frenelovih zona veliki, u oblasti geometrijske senke, jacina

svetlosti imace priblizno konstantnu vrednost (I ≈ I0); svetlost zadire i u oblast geometrijske

senke gde se javljaju oscilacije jacine svetlosti, kao na Fig. 110(c).

Ukoliko bi na putu svetlosti imali dovoljno mali disk, ponovo bi se javio efekat difrakcije.

Analiza difrakcije u ovom slucaju je komplementarna diskusiji difrakcije na otvoru. Naime,

sada bi mmax zona bilo zatvoreno, a pocev od mmax + 1-zone sve zone bi bile otvorene. Na

zaklonu se javlja difrakciona slika, koja sada zavisi od vrednosti amplitude Ammax+1.

Ako je broj zatvorenih Frenelovih zona mali u tacki M nasuprot disku, imali bi jacinu

svetlosti datu jednacinom (13.32a) gde je amplituda A = 12Ammax+1 , tj. I = const ⋅ n ⋅

18(Ammax+1)

2 ≈ const ⋅ n ⋅ 18A2

1. Uporedivsi I sa jacinom svetlosti I0 datom jednacinom

(12.34b), vidimo da je I = I0, Fig 112(a). Ponasanje jacine svetlosti duz y-ose, nalazimo

191

FIG. 112: Frenelova difrakcija na disku

analogno kao za otvor. Sada se na zaklonu pojavljuje difrakciona slika koja se ponovo

sastoji od koncentricnih svetlih i tamnih prstenova, stim sto je nasuprot ”malom” disku

sada osvetljeno mesto (Fig. 112(a))!

Ako je broj zatvorenih Frenelovih zona veliki, onda je u tacki M jacina svetlosti jednaka

I = const ⋅ n ⋅ 18(Amax+1)

2 ≈ 0. Dakle u ovom slucaju, nasuprot disku se javlja senka, sa

koncentricnim prugama na rubu ove oblasti (Fig. 112(b)). Drugi granicni slucaj je kada

disk zaklanja samo mali deo centralne Frenelove zone. Ovakav disk uopste ne pravi senku;

osvetljenost zaklona bice svuda ista kao i da nema prepreke.

Primetimo, na kraju, da su kruzni otvor i disk samo tipicni primeri za difrakcioni efekat.

Pored ovih slucajeva u red jednostavnih primera spadaju difrakcija na ravnoj ivici poluravni

kao i difrakcija na pukotini. Difrakcione slike (koje se u ovim slucajevima sastoje od niza

svetlih i tamnih paralelnih pruga) objasnjavaju se ponovo Frenelovom shemom slaganja am-

plituda koja se zasniva na prevodjenju integrala u jednacini (13.16) za E(M) u odgovarajuce

sumiranje amplituda.

Napomenimo da svi rezultati dobijeni u ovom odeljku vaze pod uslovom da je radijus ko-

herentnosti svetlosnog talasa koji pada na prepreku mnogo veci od karakteristicnih dimenzija

prepreke (precnici otvora, radijus diska, itd.).

192

FIG. 113: Fraunhoferova difrakcija na pukotini

13.5. Fraunhoferova difrakcija na pukotini

Drugi tip difrakcije nastaje u polju paralelnih zraka posle prolaska svetlosti kroz odgo-

varajuce pukotine.

Neka na beskonacno dugacku pukotinu, odnosno na pukotinu cija je duzina l mnogo veca

od njene sirine b pada ravanski monohromatski svetlosni talas. Iza pukotine postavlja se

tanko sabirno socivo a u ziznu ravan sociva postavlja se zaklon na kome se detektuje jacina

svetlosti (Fig. 113). Talasne povrsi upadne svetlosti, ravan i zaklon medjusobno su paralelni.

Kako je pukotina ”beskonacna”, slika koja se javlja u bilo kojoj ravni normalnoj na pukotinu

bice ista. Zbog toga je dovoljno razmotriti difrakcionu sliku u jednoj od tih ravni, na primer

u ravni xy (ravan crteza na Fig. 113).

Osnovna formula na kojoj se zasniva nalazenje jacine svetlosti u tacki M predstavlja

modifikovanu formulu (13.16) u kojoj umesto sfernih talasa figurisu ravanski talasi tako da

je K(')/r = K0 konstantna velicina. Koristeci oznaku a0 = a0 exp(i®0), nalazimo

E(M) =

∫

ΔS

K0a0e−i(!t−∑

kisi−®0)dS. (13.35)

Pri pisanju poslednje formule uzeto je u obzir, da se, posle prolaska kroz pukotinu, svetlost

sabira pomocu sociva, tako da opticka sredina nije homogena. Sa ki je oznacen talasni broj

193

i-te opticke sredine, a sa si put koji predje uoceni zrak kroz ovu sredinu.

Radi integracije u jednacini (13.35), podelimo otkriveni deo talasne povrsi ΔS (koji se

poklapa sa pukotinom) na elementarne zone. One ce u posmatranom slucaju biti trake sirine

dy′ paralelne ivicama pukotine, tj. u jednacini (13.35) mozemo uzeti da je dS = ldy′. Dakle,

u slucaju Fraunhoferove difrakcije imamo

E(M) =

∫ b

0

K0la0e−i(!t−∑

kisi−®0)dy′. (13.36a)

Radi pogodnosti, uvodi se oznaka

K0la0 =A0

b, (13.36b)

tako da se jacina svetlosti u tacki M moze napisati u obliku

E(M) =

∫ b

0

A0

be−i(!t−∑

kisi−®0)dy′. (13.36c)

Kako se zraci u tacki M sabiraju pomocu sociva, to ce u tacku M odredjenu uglom 'M stici

svi zraci paralelni pravcu OM , vidi Fig. 113. Od talasnog fronta Σ do tacke M posmatrani

zraci su tautohtoni, odnosno imaju iste opticke duzine puteva. Prema tome, velicina

∑kisi = !Σ

sivi

=!

c

∑nisi (13.37a)

moze da se napise u obliku

∑kisi =

!

c(nΔ+ LΣM) = kΔ+

!

cLΣM , (13.37b)

gde je LΣM opticka duzina puta od talasnog fronta Σ do tacke M , dok je

Δ = Δ(y′) = y′ sin'M (13.38)

duzina puta od elementa dy′ povrsi ΔS do talasnog fronta Σ, duz koga se ostvaruje fazna

razlika.

Zamenom izraza (13.37b) i (13.38) u jednacinu (13.36c), nalazimo

E(M) =

∫ b

0

A0

be−i(!t−!

cLΣM−®0−kΔ(y′))dy′. (13.39a)

Radi jednostavnosti, uzecemo da je ®0 +!cLΣM = 0, cime je odredjena pocetna faza ®0.

Prelazeci na realan domen, za jacinu polja u tacki M , nalazimo

E(M) =

∫ b

0

A0

bcos(!t− ky′ sin'M)dy′. (13.39b)

194

FIG. 114: Zavisnost IM od » = ¼b¸ sin'M

Podintegralni izraz u jednacini (13.39b) predstavlja talas dEy′ (od elementarne zone sa

koordinatom y′) u tacki M ciji je polozaj na zaklonu odredjen uglom 'M .

Ako izvrsimo integraciju u jednacini (13.39b), nalazimo (smenom ¿ = !t− ky′ sin'M)

E(M) =A0

b

(− 1

k sin'M

)[sin(!t− kb sin'M)− sin!t] . (13.40a)

Koristeci relaciju sin®− sin ¯ = 2 sin ®−¯2

cos ®+¯2, izraz (13.40a) mozemo napisati u obliku

E(M) = A0

sin(kb2sin'M

)kb2sin'M

cos

(!t− kb

2sin'M

). (13.40b)

Dakle, u tacku M stize monohromatski talas amplitude

AM =

∣∣∣∣∣A0

sin(kb2sin'M

)kb2sin'M

∣∣∣∣∣ . (13.40c)

Jacina svetlosti u tacki M je proporcionalna kvadratu amplitude AM :

IM = const ⋅ 12⋅ n(AM)2, (13.41a)

odnosno

IM = I0sin2

(kb2sin'M

)

(kb2sin'M)2

, (13.41b)

gde je sa I0 oznacena jacina svetlosti u sredini difrakcione slike (nasuprot centra sociva, u

tacki ugaone kordinate 'M = 0). Kako je polozaj tacke na zaklonu odredjen koordinatom

y = ±f ′ tan'M , na osnovu formule (13.41b) moze se naci zavisnost IM(y). Dobija se parna

funkcija od y, sto znaci da je difrakciona slika simetricna u odnosu na centar sociva. Izrazeno

preko varijable » = kb2sin'M = ¼b

¸sin'M , jacina svetlosti IM se ponasa kao na Fig. 114. U

195

FIG. 115: Frenelove zone pri Fraunhoferovoj difrakciji na pukotini

tacki y = 0 u kojoj je » = 0 jacina svetlosti je maksimalna. Pri udaljavanju od ove tacke

smenjuju se tamna i svetla mesta koja na zaklonu obrazuju sistem pruga. Vidimo da su

minimumi jacine svetlosti odredjeni uslovom » = ¼b¸sin'M = m¼,m = ±1,±2, ... odnosno

uslovom

sin'min =m¸

b, m = ±1,±2, ... (13.42a)

Kako apsolutna vrednost sin'min ne moze biti veca od jedinice, vidimo da je broj minimuma

(broj pruga) ogranicen; naime,

m ≤ b

¸. (13.42b)

Kada je sirina pukotine b manja od talasne duzine, minimumi se uopste ne pojavljuju. U

tom slucaju jacina svetlosti monotono opada duz y-ose. Granicna vrednost » = ¼b/¸ takodje

je prikazana na Fig. 114.

Krajevima centralnog maksimuma odgovara vrednost » = ±¼, odnosno uglovi sin'M =

±¸/b. Prema tome, ugaona sirina centralnog maksimuma jednaka je

±' = 2arcsin¸

b. (13.43a)

U slucaju kada je b ≫ ¸, za vrednost sin ¸bmozemo priblizno uzeti ¸/b. Tada se formula

(13.43a) za ugaonu sirinu centralnog maksimuma pojednostavljuje:

±' ≈ 2¸

b. (13.43b)

Primetimo, na kraju, da se i u slucaju Fraunhoferove difrakcije na pukotini moguce

uvesti Frenelove zone. One se definisu kao trake debljine Δy′, tako da duzina Δm definisana

196

jednacinom (13.38), bude jednaka

Δm =¸

2m, m = 1, 2, ... (13.44a)

(vidi Fig. 115). Pri ovakvoj podeli na zone, jednacina (13.39a) moze da se napise u obliku

E(M) ≈mmax∑m=1

A0

be−i(!t−kΔm)Δy′. (12.45a)

Kako je kΔm = k ¸2⋅m = m¼, dok je Δy′ = ¸

2 sin'M= ¼

k sin'M, nalazimo

E(M) ≈ A0¼

kb sin'M

Ãmmax∑m=1

(−1)m

)e−i!t ≡ Ae−i!t. (13.45b)

Sumiranje u poslednjoj jednacini ide do mmax, koji prerdstavlja broj otvorenih Frenelovih

zona posmatranih u pravcu odredjenim uglom 'M :

mmax = [bsin'M

¸/2]. (13.46a)

Prema jednacini (13.45b) u tackama zaklona u kojima je mmax = 2m, imacemo nultu am-

plitudu, tj. pojavice se minimumi inteziteta svetlosti; odgovarajuci uglovi 'min odredjeni su

uslovom

2m = [b sin'min

¸/2], (13.46b)

tj. poklapaju se sa vec dobijenim uslovom (13.42a).

Pri upotrebi Frenelovih zona, jedini problem cini tacka nasuprot pukotini (na x-osi). Vec

smo ranije videli da se u ovim tackama javlja maksimum. Zato pri sumiranju (13.45b) treba

koristiti konvenciju∑mmax

m=1 (−1)m = 1 za mmax = 0.

13.6. Difrakciona resetka

Pod dirakcionom resetkom se podrazumeva sistem velikog broja jednakih pukotina koje

su rasporedjene na jednakim medjusobnim raastojanjima. Rastojanje d izmedju sredina

susednih pukotina naziva se period resetke.

Razmotrimo ponasanje resetke u uslovima Fraunhoferove difrakcije. Naime, iza resetke

se postavlja sabirno socivo a u njegovoj ziznoj ravni zaklon. Na resetku pada ravanski

monohromatski talas. Radi jednostavnosti, pretpostavicemo da talas pada normalno na

resetku (Fig. 116).

197

FIG. 116: Difrakciona resetka

Svaka pukotina nezavisno obrazuje na zaklonu sliku kojoj odgovara raspodela jacine svet-

losti datu jednacinom (13.41b). Difrakcione slike od svih pukotina padaju na isto mesto

zaklona; centralni maksimum od svake pukotine lezi nasuprot centru sociva na x-osi. Ako bi

talasi koji stizu u tacku M iz razlicitih pukotina bili medjusobno nekoherentni, rezultujuca

slika od N pukotina razlikovala bi se od slike jedne pukotine samo utoliko sto bi intezitet

porastao N puta (IM,res = NIM). Medjutim, talasi od razlicitih pukotina su u manjoj ili

vecoj meri medjusobno koherentni. Zbog toga rezultujuca jacina svetlosti IM,res nece biti

data prostim slaganjem jacina svetlosti pojedinih pukotina.

Radi jednostavnosti, prepostavicemo da je duzina koherencije upadnih talasa mnogo veca

od duzine resetke, tako da talase od svih pukotina mozemo smatrati medjusobno koherent-

198

nim. U tom slucaju, rezultujuci talas u tacki M ciji je polozaj odredjen uglom 'M pred-

stavlja sumu N -talasa istih amplituda AM pomerenih jedan u odnosu na drugi po fazi za

konstantnu velicinu ± = kΔij. Velicina Δij, vidi Fig. 116 predstavlja putnu razliku talasa

susednih pukotina, tako da je:

± = k ⋅ d sin'M =2¼

¸d sin'M , (13.47)

gde je ¸ talasna duzina svetlosti a d period resetke.

U tacki M interferira N posmatranih talasa:

E =N∑

n=1

En, (13.48a)

gde je kompleksni oblik talasa En od n-te pukotine, dat jednacinom (13.40b) uz uracunatu

razliku u fazi ± izmedju susednih talasa,:

En = AMe−i(!t−(n−1)±), n = 1, 2, ...N (13.48b)

Faktor kb2sin'M koji postoji u izrazu (13.40b) predstavlja konstantnu fazu u datoj tacki

M svih talasa i uzet je za nulu. Primetimo da ovaj faktor ne postoji u pribliznom izrazu

(13.45b). Zamenom (13.48b) u (13.48a), nalazimo

E = AMe−i!t

N∑n=1

ei(n−1)±. (13.48c)

Poslednja suma predstavlja sumu prvih N clanova geometrijske progresije ciji je prvi clan

jednak jedinici. Naime, S =∑N

n=1 ei(n−1)± =

∑N−1m=0 e

im± =∑N−1

m=0(ei±)m =

∑N−1m=0 q

m gde je

q = ei±, tako da je

S =qN − 1

q − 1=

ei±N − 1

ei± − 1, (13.49)

odnosno

E = AMe−i!t1− eiN±

1− ei±= Ae−i!t, (13.50a)

gde smo uveli kompleksnu amplitudu

A = AM1− eiN±

1− ei±. (13.50b)

Jacina svetlosti u tacki M je

IM,res = const ⋅ n ⋅ 12∣A∣2. (12.51a)

199

Kako je

∣A∣2 = AA∗ = A2M

(1− eiN±)(1− e−iN±)

(1− ei±)(1− e−i±)= A2

M

2− eiN± − e−iN±

2− ei± − e−i±= A2

M

1− cosN±

1− cos ±,

(13.51b)

tj.

∣A∣2 = A2M

sin2 N±2

sin2 ±2

, (13.51c)

za jacinu svetlosti nalazimo

IM,res = const ⋅ n ⋅ 12A2

M

sin2 N±2

sin2 ±2

. (13.52a)

Uocivsi da je na osnovu jednacine (13.41a), velicina const ⋅ n ⋅ 12A2

M = IM , gde je IM jacina

svetlosti u tacki M pri difrakciji na jednoj pukotini, nalazimo

IM,res = IMsin2 N±

2

sin2 ±2

, (13.52b)

gde je ± dato jednacinom (13.47)

Zamenom izraza (13.41b) za jacinu svetlosti IM , u jednacinu (13.52b) dobijamo

IM,res = I0sin2(kb

2sin'M)

(kb2sin'M)2

sin2(Nkd2

sin'M)

sin2(kd2sin'M)

, (13.53)

gde je I0 jacina svetlosti pri difrakciji na jednoj pukotini u tacki zaklona nasuprot centra

sociva. Prvi mnozitelj u izrazu (13.53) se anulira pri » = kb2sin'M = m¼,m = ±1,±2, ... tj.

b sin'M = m¸; m = ±1,±2, ... (13.54a)

U ovim tackama jacina svetlosti ”od pojedinih pukotina” jednaka je nuli, videti jednacinu

(13.42a). Drugi mnozitelj u jednacini (13.53) dobija maksimalnu vrednost u tackama u

kojima je »′ = kd2sin'M = m′¼,m′ = 0,±1,±2, ..., tj. za

d sin'M = m′¸, m′ = 0,±1,±2, ... (13.54b)

Zaista, u ovim tackama imamo: limd sin'M→m′¸sin(Nkd

2sin'M )

sin( kd2

sin'M )= lim»′→m′¼

sin(N»′)sin »′ =

N lim»′→m′¼cos(N»′)cos(»′) = N(−1)(N−1)m′

, tako da jesin2(Nkd

2sin'M )

sin2( kd2

sin'M )= N2. U pravcima odred-

jenim uslovom (13.59b) talasi pojedinih pukotina se uzajamno pojacavaju, pa se na zaklonu

javljaju maksimumi inteziteta svetlosti (IM,res)max = N2IM , gde je IM jacina svetlosti od

200

FIG. 117: (a) Jacina svetlosti dobijena difrakcijom na resetci i (b) pukotini (slucaj +¸b = 3¸

d, tj.

N = 4, db = 3

201

jedne pukotine. Maksimumi inteziteta svetlosti (IM,res)max odredjeni uslovom (13.54b) nazi-

vaju se glavni maksimumi. Broj ∣m′∣ daje red glavnog maksimuma. Postoji samo jedan

glavni maksimum nultog reda, dok maksimumi prvog, drugog, itd. reda ima po dva.

Pored minimuma odredjenih uslovom (13.54a), u intervalu izmedju susednih glavnih mak-

simuma postoji po N −1 dodatni minimum. Ovi minimumi se javljaju u pravcima u kojima

se talasi od pojedinih pukotina uzajamno ponistavaju. U skladu sa formulom (13.53) polozaji

dodatnih minimuma odredjeni su uslovom N»′ = m′′¼,m′′ = ±1,±2, ...; »′ ∕= m′¼, tj.

d sin'M =m′′

N¸, m′′ = ±1,±2, ...;m′′ ∕= m′N (13.54c)

Naime, m′′ moze uzimati sve vrednosti ±1,±2, .. osim onih (m′′ = m′N) za koje se dobija

uslov (13.54b) glavnih maksimuma.

Izmedju dodatnih minimuma rasporedjeni su slabi sekundarni maksimumi. Broj ovih

maksimuma u intervalu izmedju susednih glavnih maksimuma jednak je N − 2. Inteziteti

sekundarnih maksimuma ne prelaze 1/22 inteziteta najblizeg glavnog maksimuma. Na Fig.

117(a) prikazan je slucaj N = 4 i d/b = 3. Pri ovom odnosu d/b, glavni maksimumi 3-ceg,

6-tog, itd. reda se poklapaju sa minimumima inteziteta od jedne pukotine (Fig. 117(b)),

usled cega se ovi maksimumi gube.

Broj glavnih maksimuma odredjen je odnosom perioda resetke d i talasne duzine ¸.

Apsolutna vrednost sin'M ne moze biti veca od jedinice, tako da iz jednacine (13.54b) sledi

m′ ≤ d

¸. (13.55)

Polozaji glavnih maksimuma zavise od talasne duzine ¸. Zbog toga, ako se kroz resetku

propusta bela svetlost, svi maksimumi, osim centralnog, razlazu se u spektar ciji se ljubicasti

deo nalazi blize centru slike, a crveni prema kraju. Na taj nacin, difrakciona resetka pred-

stavlja spektralni uredjaj.

Kraj kursa

202

LITERATURA

203