TABLE DES MATIÈRES - mastercorp.free.fr · Introduction 1 Introduction Origine des Réseaux de...
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Réseaux de Petri
SCIA 2007
Professeur : Stéphane Marielstf�rift.frAuteurs :
Thibaut Assus & Benoit Beaudenon
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Introduction 41.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 D’un point de vue sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Le marquage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Franchissabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Règles de franchissement effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Structures de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.1 Séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.2 Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.3 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.4 Synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.5 Rendez-vous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.6 Sémaphore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Réseaux de Pétri remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7.1 Graphe d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7.2 Réseaux de Pétri sans conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7.3 Réseaux de Pétri avec conflit mais simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.4 Réseaux de Pétri Purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.1 Marquage initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.2 Marquages accessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.3 Transitions franchissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.4 Séquences de transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8.5 Franchissement effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8.6 Ordre sur les marquages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Propriétés 122.1 Places et Réseaux de Pétri bornés (pour un marquage initial) . . . . . . . . . . 122.2 Vivacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Quasi-vivacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Etat d’accueil et Réseau de Pétri réinitialisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Composantes conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Méthodes graphiques de détermination des propriétés 163.1 Graphe des marquages accessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Graphe de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.4 Un graphe de jeu ! ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.5 Propriétés et algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.6 Equation Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Reseaux de Petri 2
TABLE DES MATIÈRES
4 Méthodes de réduction 264.1 R1 : Substition de place (en fait suppression) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.3 Cas des jetons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 R2 : Suppression des places implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 R3 : Suppression des transitions neutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 R4 : suppression des transitions identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Ra : Suppression des transitions impures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 Rb : Suppression des transitions pures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6.4 Cas irréductibles de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Extensions de Réseaux de Pétri 405.1 Réseaux de Pétri généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Réseaux de Pétri à capacités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Réseaux de Pétri à arc inhibiteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Réseaux de Pétri colorés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Reseaux de Petri 3
TABLE DES FIGURES
Table des figures
1 Exemple de transition franchissable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Franchissabilité des transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Structure de contrôle : Séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Structure de contrôle : Altarnative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Structure de contrôle : Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Structure de contrôle : Synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Structure de contrôle : Rendez-vous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Structure de contrôle : Sémaphore - Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Structure de contrôle : Sémaphore - Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 Différence entre un Réseau de Pétri et un graphe d’états . . . . . . . . . . . . . 811 Réseaux de Pétri sans et avec conflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 Exemple de conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 Transformation 1 de Réseau de Pétri impur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 Transformation 2 de Réseau de Pétri impur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217 Réseau de Pétri quasi-vivant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318 Exemple de blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 Réseau de Pétri réinitialisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1621 Graphe de marquage accessible de la figure 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622 Autre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723 Graphe de marquage accessible de la figure 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724 Dernier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825 Graphe de marquage accessible de la figure 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927 Graphe de couverture de la figure 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928 Graphe de couverture réduit de la figure 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2130 Graphe de couverture réduit de la figure 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2131 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2232 Graphe de couverture réduit de la figure 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233 Exemple d’un jeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334 Modélisation du jeu sous forme de Réseau de Pétri. . . . . . . . . . . . . . . . . 2335 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436 Exemple 1 de Réduction R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737 Exemple 2 de Réduction R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738 Exemple 3 de Réduction R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739 Exemple 4 de Réduction R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2840 Exemple 5 de Réduction R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841 Exemple 1 de Réduction R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2942 Exemple 2 de Réduction R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2943 Exemple de réduction R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Exemple de réduction R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145 Exemple de réductions R1 et R2 combinées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3246 Exemple de transition impure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Reseaux de Petri 4
TABLE DES FIGURES
47 Exemple 1 de réduction Ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348 Exemple 2 de réduction Ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449 Exemple 1 de réduction Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3550 Exemple 2 de réduction Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3651 Exemple 1 de réduction Ra et Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3752 Cas irréductibles : Place isolée, Transition puits, source et combiné . . . . . . 3853 Exemple 2 de réduction Ra et Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3954 Réseau de Pétri généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4055 Réseau de Pétri à capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4056 Exemples de Réseau de Pétri à arc inhibiteur non franchissable . . . . . . . . . 4157 Exemple 1 de Réseau de Pétri à arc inhibiteur franchissable . . . . . . . . . . . 4158 Exemple 2 de Réseau de Pétri à arc inhibiteur franchissable . . . . . . . . . . . 4259 Réseau de Pétri coloré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Reseaux de Petri 5
Introduction
1 Introduction
Origine des Réseaux de Pétri : Carl Adam Petri (1962)
1.1 Définition
Un Réseau de Pétri est un graphe bi-parti avec
• des arcs orientés entre les nœuds• deux types de nœuds• les arcs relient des nœuds de catégories différentes• une place est symbolisée par un rond• une transition est symbolisée par un trait noir
1.2 D’un point de vue sémantique
• on associe les places à des états / ressources• on associe les ressources
︸ ︷︷ ︸
R.P
à des operations/actions︸ ︷︷ ︸
systeme reel
1.3 Le marquage
Le marquage constiste à placer des marques ou des jetons dans les places.
1.4 Franchissabilité
Une transition est franchissable ssi chacune des places en amont/entrée contient aumoins un jeton.
•
P1
P2 P3
t1
FIG. 1 – Exemple de transition franchissable
Reseaux de Petri 6
Introduction
1.5 Règles de franchissement effectif
• opération atomique• consomme un jeton dans chacune des places en entrée• produit un jeton dans chacune des places en sortie
2 éléments importants :
• franchissabilité 6= franchissement effectif• il n’est pas question de temps
t r a n s i t i o n s o u r c et r a n s i t i o n p u i t
FIG. 2 – Franchissabilité des transitions
1.6 Structures de contrôle
1.6.1 Séquence
⇒La transition t2 ne sera franchie que si t1 l’a été
P1 P2
t1 t2
FIG. 3 – Structure de contrôle : Séquence
Reseaux de Petri 7
Introduction
1.6.2 Alternative
••
P1
P2 P3
t1 t2
FIG. 4 – Structure de contrôle : Altarnative
1.6.3 Parallélisme
•
P1
P2 P3
t1
t2 t3
FIG. 5 – Structure de contrôle : Parallélisme
1.6.4 Synchronisation
Vendeur Client
PayerPrendre
FIG. 6 – Structure de contrôle : Synchronisation
Reseaux de Petri 8
Introduction
1.6.5 Rendez-vous
• •
P1
P3
P2
P4
Echanges
FIG. 7 – Structure de contrôle : Rendez-vous
1.6.6 Sémaphore
•
•
P1
P2
P3
P4
Crayon
t1
t2
t3
t4
FIG. 8 – Structure de contrôle : Sémaphore - Exemple 1P r o d u c t e u r E n t r e p ô t C o n s o m m a t e u rE n t r e p ô tP l a c e L i b r ep 2
FIG. 9 – Structure de contrôle : Sémaphore - Exemple 2
Reseaux de Petri 9
Introduction
1.7 Réseaux de Pétri remarquables
1.7.1 Graphe d’états
FIG. 10 – Différence entre un Réseau de Pétri et un graphe d’états
1.7.2 Réseaux de Pétri sans conflit
FIG. 11 – Réseaux de Pétri sans et avec conflits
Reseaux de Petri 10
Introduction
1.7.3 Réseaux de Pétri avec conflit mais simple
t 1 t 2 t 3FIG. 12 – Exemple de conflit
t1 ou t2 et t2 ou t3← Dépendance entre entre les conflits.
1.7.4 Réseaux de Pétri Purs
Transformation d’un Réseaux de Pétri impur en son équivalent purt 1t 2
FIG. 13 – Transformation 1 de Réseau de Pétri impur
Reseaux de Petri 11
Introduction
FIG. 14 – Transformation 2 de Réseau de Pétri impur
Reseaux de Petri 12
Introduction
1.8 Notations
•
P2
P1
P3
P5P4
t2
t1
t3
t4
FIG. 15 – Exemple
1.8.1 Marquage initial
M0 =
10000
1.8.2 Marquages accessibles
∗M0 : L’ensemble des marquagaes accessibles.
∗M0 =
M0, M1 =
01100
M2 =
00110
M3 =
00011
, M4 =
01010
1.8.3 Transitions franchissables
M[t > (1)
M3[t4 > (2)
M0[t1 > (3)
Reseaux de Petri 13
Propriétés
1.8.4 Séquences de transitions
σ = t1t2 (4)
M0[σ > (5)
1.8.5 Franchissement effectif
M0[t1 > M1 (6)
M0[t1t2t3 > M3 (7)
M0[t1t3t2 > M3 (8)
1.8.6 Ordre sur les marquages
M′ ≥ M ⇔ ∀P, M′(P) ≥ M(P)
2 Propriétés
2.1 Places et Réseaux de Pétri bornés (pour un marquage initial)
• P est bornée pour M0 donnéessi ∃k ∈ N, ∀M ∈∗ M0, M(P) ≤ kP est k-bornée
• Un Réseau de Pétri est dit bornéssi toutes les places sont bornées
• Réseau sauf/binaire = Réseau non borné
• • •
•
P1
P2
FIG. 16 – Exemple
{
M0 =00
, M1 =01
}
Bornage et ordre sur les marquages. Si le réseau est non borné pour M0, alors il est nonborné pour tout M′
0 ≥ M0
Reseaux de Petri 14
Propriétés
2.2 Vivacité
Transition vivante tj est vivante pour M0 donnée si
∀M ∈ ∗M0, ∃ σ, σ′/M[σtjσ
′>
Réseau de Pétri vivant Un Réseau de Pétri vivant est un Réseau de Pétri dans lequel toutesles transitions sont vivantes
2.3 Quasi-vivacité
quasi-vivacité d’une transition tj est quasi-vivante pour M0 donné ssi
∃M ∈ ∗M0/∃σ, σ, σ′/M[σtjσ
′>
Réseau de Pétri quasi-vivant or toutes les transitions sont quasi vivantes.
•
P1
P2
P3
t1
t2
t3
FIG. 17 – Réseau de Pétri quasi-vivant
M0[t1 >
M0[t1t2 >
M0[t1t2t3 >
M0[t1t2t3t2t3 >
Réseau de Pétri quasi-vivant.M1
010
M1 ∈∗M0
M1[t1 > Réseau de Pétri non vivant
Reseaux de Petri 15
Propriétés
2.4 Blocage
Un blocage est un marquage dans lequel aucune transition n’est franchissable.
•
P1
P2 P3
P4
t1 t2
t3
t4
FIG. 18 – Exemple de blocage
M0 =
1000
, M1 =
0100
⇒ M1 a un bloquage
Reseaux de Petri 16
Propriétés
2.5 Etat d’accueil et Réseau de Pétri réinitialisables
Ma est un état d’accueil pour M0 donné
ssi ∀M ∈ ∗M0, ∃σ/M[σ > Ma
•
P1
P2
P3
t1
t2
t3
FIG. 19 – Réseau de Pétri réinitialisable
M0 =
100
, Ma =010
, M′a =
001
Réseau de Pétri est réinitialisable ssi M0 est 1 état d’accueil
2.6 Composantes conservatives
1 ensemble de placesC1 = {P1, P2, P4}
C2 = {P1, P3, P5}
Vecteurs de pondérations
V1 =
11010
V2 =
10101
1m(P1) + 1m(P2) + 1m(P4) = 1
Reseaux de Petri 17
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3 Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.1 Graphe des marquages accessibles
P1
P2P3
t1 t2
t3
FIG. 20 – Exemple
M0 1
0
0
t2
t1
0
1
0
0
0
1
t30
0
1
t3
FIG. 21 – Graphe de marquage accessible de la figure 20
Reseaux de Petri 18
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
•
P1
P2
P5
P3
P4
P6
t1
t3
t5
t2
t4
FIG. 22 – Autre exemple
M0 1
0
0
0
0
0
t1
0
1
1
1
0
0
t2
t3
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1t5
t4
FIG. 23 – Graphe de marquage accessible de la figure 22
Reseaux de Petri 19
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
P
source
puits
FIG. 24 – Dernier exemple
M0
0 1 2 . . .
t1 t1 t1
t2 t2 t2
FIG. 25 – Graphe de marquage accessible de la figure 24
Reseaux de Petri 20
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.2 Graphe de couverture
3.2.1 Exemple 1
• P1
P2 P3
t1
t2
t3
FIG. 26 – Exemple 1
M0 1
0
0
t10
1
1
t2
t3
0
0
0
1
0
1 t10
1
2
t2
t3
0
0
1
1
0
2
M1
FIG. 27 – Graphe de couverture de la figure 26
Reseaux de Petri 21
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
M0 1
0
0
t10
1
1
t2
t3
0
0
0
1
0ω
t10
1ω
t2
0
0ω
t3
FIG. 28 – Graphe de couverture réduit de la figure 26
Reseaux de Petri 22
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.2.2 Exemple 2
• P1
P2
P3 P4
t2
t1
t3
FIG. 29 – Exemple 2
M0 1
0
0
0
t1
0
1
0
0
t3
t2
1
0
0
0
0
1ω
0
t3
0
0ω
1
t2
FIG. 30 – Graphe de couverture réduit de la figure 29
Reseaux de Petri 23
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.2.3 Exemple 3
• P1 P2
P3
P4t1
t2
t3
FIG. 31 – Exemple 3
M0 1
0
0
0
t2
0
1
0
0
t1
1
0ω
0
t2
0
1ω
0
t1
t3
0
1ω
ω
t1
t3
1
0ω
ω
t2
FIG. 32 – Graphe de couverture réduit de la figure 31
Reseaux de Petri 24
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.2.4 Un graphe de jeu ! ! !
Depart
+$1
P1
P2
P3
P4
Prison
P5
P6
P7
Arrivee
Lave− $1
Teleportations
FIG. 33 – Exemple d’un jeu. . .
P1
P2
P3
P5
P4P6P7
PCagnotte
t1
t2
t3
t8
t4
t5t6
t7
FIG. 34 – Modélisation du jeu sous forme de Réseau de Pétri. . .
Reseaux de Petri 25
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.2.5 Propriétés et algèbre linéaire
Réseau de Pétri non marqué :
Quadruplet : R = (P, T, Pre, Post)
où :• P = {P1, P2, . . . , Pn}• T = {t1, t2, . . . , tm}• P ∩ T = ⊘• Pre : P× T → {0, 1} application d’incidence avant• Post : P× T → {0, 1} application d’incidence arrière
P2
P1
P3
P5P4
t2
t1
t3
t4
FIG. 35 – Exemple
• Pre : (Pi, tj) est le poids de l’arc Pi → t1
• Post : (Pi, tj) est le poids de l’arc tj → Pi
• Pre(P3, t3) = 1• Post(P3, t3) = 0
Soit :• W− = [W−
i,j ] matrice d’incidence avant W−i,j = Pr(Pi, tj)
• W+ = [W+i,j ] matrice d’incidence arrière W−
i,j = Post(Pi, tj)
W− =
t1 t2 t3 t41 0 0 0 P1
0 1 0 0 P2
0 0 1 0 P3
0 0 0 1 P4
0 0 0 1 P5
W+ =
t1 t2 t3 t40 0 0 1 P1
1 0 0 0 P2
1 0 0 0 P3
0 1 0 0 P4
0 0 1 0 P5
W =︸︷︷︸
W+−W−
t1 t2 t3 t4-1 0 0 11 -1 0 01 0 -1 00 1 0 -10 0 1 -1
Soit :• σ = t1 t2 t3 séquence de transition• σ = vecteur caractéristique de σ
• σ = (1, 1, 1, 0) ⇒ premier 1 : nb de fois où t1 est franchie dans σ. . .
Reseaux de Petri 26
Méthodes graphiques de détermination des propriétés
3.2.6 Equation Fondamentale
Mk = M1 + W.σ
M0 = (1, 0, 0, 0, 0)
M0[σ > M1]
W = W+ −W−
σ = t1t2t3
W =
-1 0 0 11 -1 0 01 0 -1 00 1 0 -10 0 1 -1
.
11100
+
10000
=
00011
V = vecteur de pondération (9)
= (α1, . . . , αi, . . . , αn) (10)
∀M ∈ M0 ∑ αi ×M(Pi) = Cte (11)
Vt.Mk = Vt.M0 + Vt.W.σ (12)
Vt.W.σ = 0 (13)
Vt.W.σ = 0 (14)
Vt.W = 0 (15)
C = P1, P2, P4 (16)
V = (1, 1, 0, 1, 0) (17)
Reseaux de Petri 27
Méthodes de réduction
4 Méthodes de réduction
Il existe 6 méthodes :
• 4 méthodes conservent les propriétés classiques : R1 → R4
• 2 méthodes conservent les invariants de marquage : Ra → Rb
Dans ce cours nous verrons :
• Conditions• Méthode de réduction• Cas des jetons
4.1 R1 : Substition de place (en fait suppression)
4.1.1 Conditions
Une place P peut être située si et seulement si :
• les transitions en sortie de P n’ont pas d’autre place en entrée que P• il n’existe pas de transition tj qui soit à la fois en entrée et en sortie de P (P doit être
pure)• au moins une transition en sortie de P n’est pas une transition puit. Si toutes ces condi-
tions sont remplies, P peut être supprimée.
4.1.2 Méthode
• on supprime la place• on supprime les transitions en sortie• on crée une transition ti,j par couple ti, tj des transitions en entrée et sortie de P
4.1.3 Cas des jetons
• si une transition en sortie, facile : marquage après franchissement• on doit étudier autont de réseaux que de transitions en sortie
4.1.4 Exemples
Reseaux de Petri 28
Méthodes de réduction
• •P1
P2
P3
P1
P3
t1
t2
t12
◦P2 = {t1}
P2◦ = {t2}
◦t1 = {P1}
t1◦ = {P2}
◦t2 = {P2}
t2◦ = {P3}
R1
FIG. 36 – Exemple 1 de Réduction R1
•
•
P1
P1
P4
P4
P2
P3
P3
P5
P5
t1
t2
t12
R1
◦P2 = {t1}
P2◦ = {t2}
FIG. 37 – Exemple 2 de Réduction R1
• •
P1 P1P2 P2
P3
P4 P4
t1 t2
t3
t13 t23
R1
◦P3 = {t1, t2}
P3◦ = {t3}
FIG. 38 – Exemple 3 de Réduction R1
Reseaux de Petri 29
Méthodes de réduction
• •
P1 P1
P2
P3 P3P4 P4
t1
t2 t3
t12 t23
R1
◦P2 = {t1}
P2◦ = {t2, t3}
FIG. 39 – Exemple 4 de Réduction R1
• •
• •
P5
P1 P1P2 P2
P3 P3P4 P4
t1 t2
t3 t4
t13 t14 t23 t24
R1
◦P5 = {t1, t2}
P5◦ = {t3, t4}
FIG. 40 – Exemple 5 de Réduction R1
Reseaux de Petri 30
Méthodes de réduction
4.2 R2 : Suppression des places implicites
4.2.1 Conditions
La place doit être implicite. Elle l’est ssi :
• son marquage n’a aucun impact sur le franchissement des transitions en sortie• Ce même margquage peut s’exprimer sous la forme d’une combinaison linéaire des
marquages des autres places
M(Pi) = (∑k 6=i
ak.M(Pk)) + b
4.2.2 Méthode
On supprime place et arcs en entrée et sortie.
4.2.3 Exemple
•
P1 P1
P2
P3 P3
t1 t1
R2
P2 est implicite
FIG. 41 – Exemple 1 de Réduction R2
• •
P1 P1
P2
P3 P3
t1
t1
t3
t1
t1
t3
R2
M(P2) = M(P1) + M(P3)
FIG. 42 – Exemple 2 de Réduction R2
Reseaux de Petri 31
Méthodes de réduction
4.3 R3 : Suppression des transitions neutres
4.3.1 Conditions
Une transition neutre est une transition dont les places en entrée sont aussi des places ensortie. tj est neutre ssi ◦tj = tj
◦
Si ∃ tk 6= tj tq ∀Pi ∈◦tj Post(Pi, tk) ≥ Pre(Pi, tj)
4.3.2 Méthode
On supprime transitions et arcs
4.3.3 Exemple
P1 P1P2 P2
t1
t2
t4
t5
t3
t1
t2
t4
t5
R3
FIG. 43 – Exemple de réduction R3
Reseaux de Petri 32
Méthodes de réduction
4.4 R4 : suppression des transitions identiques
4.4.1 Conditions
Deux transitions identiques. Deux transitions sont identiques si on a :
◦tj =◦ tk et tj◦ = tk
◦
4.4.2 Méthode
Suppression d’une des 2 transitions et les arcs correspondants.
4.4.3 Exemples
• •
P1 P1P2 P2
P3 P3
t1 t1t2
R4
FIG. 44 – Exemple de réduction R4
Reseaux de Petri 33
Méthodes de réduction
•
P2
P1
P3
P5P4
t2 t3
t4
t1
◦P2 = {t1}
P2◦ = {t2}
R1
1
• P1
P3
P5P4
t3
t4
t12
R2
2
• P1
P3
P5
t3
t4
t12
R1
3
•
•P1
P1
P5
t4
t123
t1234R1
4 5
FIG. 45 – Exemple de réductions R1 et R2 combinées
Reseaux de Petri 34
Méthodes de réduction
4.5 Ra : Suppression des transitions impures
4.5.1 Conditions
La transition doit être impure.
•P t
FIG. 46 – Exemple de transition impure
4.5.2 Méthode
• Suppression des arcs Pi → tj et tj → Pi où Pi est la place impure• Suppression de la transition si elle est isolée
4.5.3 Exemples
Pi t1
Ra
Pi
FIG. 47 – Exemple 1 de réduction Ra
Reseaux de Petri 35
Méthodes de réduction
• •
P1
P2
P3
P1
P3
t1 t1
Ra
P2
FIG. 48 – Exemple 2 de réduction Ra
Reseaux de Petri 36
Méthodes de réduction
4.6 Rb : Suppression des transitions pures
4.6.1 Conditions
On peut réduire tj si ◦tj 6= ∅ et t◦j 6= ∅
4.6.2 Méthode
• Supprime de la transition tj
• (Pi, Pk)/Pi ∈◦ tjPk ∈ t◦j
On va créer une place Pi+k
Le marquage de Pi+k = M(Pi) + M(Pk)• Les transitions en entrée de Pi + k osnt celles de Pi et Pk. Idem pour les transitions en
sortie.
4.6.3 Exemples
•
•
P1
P2
P1+2
t1
t2
t3
t1
t3
Rb
◦t2 = {P1}
t2◦ = {P2}
FIG. 49 – Exemple 1 de réduction Rb
Reseaux de Petri 37
Méthodes de réduction
•
•
•• • •
P1
P3
P2
P4
P1+3 P1+4 P2+3 P2+4
t1 t2
t3
t4 t5
t1 t2
t4 t5
Rb
◦t2 = {P1, P2}
t2◦ = {P3, P4}
FIG. 50 – Exemple 2 de réduction Rb
Reseaux de Petri 38
Méthodes de réduction
•
•P2
P1
P3
P5P4
t2
t1
t3
t4Rb
1
•
•
P1
P3
P5
P2+4
t1
t3
t4 Rb
2
•
•
P1
P3+5P2+4
t1
t4 Rb
3
• •• P1+3+5P1+2+4
t1
Ra
4
• •• P1+3+5P1+2+4
5
Invariants de marquage : {P1+2+4, P1+3+5}
FIG. 51 – Exemple 1 de réduction Ra et Rb
Reseaux de Petri 39
Méthodes de réduction
4.6.4 Cas irréductibles de réduction
•
P1+2
• P3+4
t1
• P3+4
t1
• P1+2
t1
t2
FIG. 52 – Cas irréductibles : Place isolée, Transition puits, source et combiné
Reseaux de Petri 40
Méthodes de réduction
•
•
•P1
P2
P5
P6
P3
P4
t1
t2
t3
t4
t5
Rb 1
•• •
P1+2
P5
P6
P3
P4
t1
t3
t4
t5Ra
2
•• •
P1+2
P5
P6
P3
P4
t1
t3
t4
t5
Rb 3
•• •
P1+2 P5+6P3
P4
t1
t3
t4
Ra
4
•• •
P1+2 P5+6P3
P4
t1
t3
t4
Rb 5
•• •
P1+2 P5+6
P3+4
t1 t4
Invariants de marquage : {P1+2, P5+6}
6
FIG. 53 – Exemple 2 de réduction Ra et Rb
Reseaux de Petri 41
Extensions de Réseaux de Pétri
5 Extensions de Réseaux de Pétri
5.1 Réseaux de Pétri généralisés
• • • •• ••
•••
P1
P3
P2
P4
P1
P3
P2
P4
t3 t3
3 3
2 2t1
FIG. 54 – Réseau de Pétri généralisé
La place R1 nécessite d’avoir 3 jetons pour que t1 soit franchissable et ce franchissementproduit 2 jetons dans P4
5.2 Réseaux de Pétri à capacités
• • • • • •
••
P1 P1
P2 P2
P2′t1
t2
t1
t2
Cap de P2 = 2
FIG. 55 – Réseau de Pétri à capacité
La place ainsi générée modélise la “capacité” ⇒ en franchissant 2 fois t1, de la place P2,la seule façon de la refranchir est de frarchir t2 avant.
Reseaux de Petri 42
Extensions de Réseaux de Pétri
5.3 Réseaux de Pétri à arc inhibiteur
P1 P2
P3
t1
• •
P1 P2
P3
t1
FIG. 56 – Exemples de Réseau de Pétri à arc inhibiteur non franchissable
•
•
P1 P1P2 P2
P3 P3
t1 t1
t1
FIG. 57 – Exemple 1 de Réseau de Pétri à arc inhibiteur franchissable
Reseaux de Petri 43
Extensions de Réseaux de Pétri
•
P1
P2
P1
P2 P′
t2 t3 t2 t3
t1 t1
t1
FIG. 58 – Exemple 2 de Réseau de Pétri à arc inhibiteur franchissable
Reseaux de Petri 44
Extensions de Réseaux de Pétri
5.4 Réseaux de Pétri colorés
P1 P2
P3
t1
beer()
f oo() bar()
FIG. 59 – Réseau de Pétri coloré
Reseaux de Petri 45